Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Teplota
• tlaky v obou částech se vyrovnají
22
2
22
2
11
21
vmn
vmn VV
1 2
1 2 • v rovnováze budou střední kinetické
energie obou druhů molekul stejné:
22
2
22
2
11 vmvm
• těžší molekuly se pohybují pomaleji než lehčí
• stejné musí tedy být i objemové koncentrace: 21 VV nn
• když mají dva plyny stejnou teplotu jsou střední kinetické energie jejich molekul stejné
• střední kinetická energie nezávisí na typu plynu, ale jen na teplotě
kTmv
2
3
2
2
definice teploty
• Boltzmanova konstanta k = 1.380648 10-23 J K-1
Teplota
1 2
1 2
• když mají dva plyny stejnou teplotu jsou střední kinetické energie jejich molekul stejné
kTmv
2
3
2
2
definice teploty
• Boltzmanova konstanta
k = 1.380648 10-23 J K-1
• Na každý nezávislý pohyb (stupeň volnosti) připadá střední hodnota kinetické energie kT2
1
• teplota
• těžší molekuly se pohybují pomaleji než lehčí
• r-atomová molekula: 3r nezávislých směrů pohybu (stupňů volnosti)
• kinetická energie hmotného středu: 3/2 kT
• vnitřní (vibrační a rotační) kinetická energie: 3/2(r-1) kT
Stavová rovnice ideálního plynu
• Avogadrova konstanta NA = 6.022140 1023
Umv
NpV3
2
23
2 2
kTmv
2
3
2
2
stavová rovnice ideálního plynu
nRTNkTpV
• počet molekul NA 1 mol
• Stejné objemy plynů mají při stejné teplotě a tlaku stejný počet molekul konst.T
pV
• je to tak definováno proto aby M[g] = A
• hmotnost 1 mol atomů 12C je 12 g
• n – látkové množství (počet molekul v molech)
AN
Nn
• R – molární plynová konstanta 11molJK31446.8 kNR A
molární objem plynu za
standardní teploty a tlaku:
p = 101.325 kPa
T = 273.15 K (0oC)
Vm = 22.41 l
Tlakové lahve
p = 200 bar = 20.3 MPa
T = 293 K (20oC)
V = 50 l = 50 10-3 m3
R =8.3144 JK-1mol-1
Stavová rovnice ideálního plynu
H2, A = 1 g mol-1 M = 0.42 kg
O2, A = 32 g mol-1 M = 13.4 kg
Izotermická atmosféra
• pokles tlaku s výškou: zmgnp vdd
• počet molekul v jednotkovém objemu: V
Nnv
• stavová rovnice ideálního plynu: NkTpV kTnp V
vv n
kT
mg
z
n
d
d
• řešení:
zkT
mg
vv enn
0
• hustota těžších plynů klesá s výškou rychleji
z (km)
0 20 40 60 80
nv /
nv0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
O2
N2
H2
He
Boltzmannův princip
• izotermická atmosféra:
potenciální energie atomu
zkT
mg
vv enn
0
kT
Epexp~• hustota:
• Boltzmannův princip: Pravděpodobnost nalezení molekuly v dané prostorové konfiguraci se mění
exponenciálně se zápornou potenciální energií této konfigurace dělenou kT.
Boltzmannův princip
potenciální energie atomu
kT
Epexp~• hustota:
Boltzmannův princip
odpudivá interakce, ~1/r12
přitažlivá interakce, ~ -1/r6
Potenciál V(r)
• kT >> | V(r)| na poloze příliš nezáleží
• kT << | V(r)| velký rozdíl pravděpodobnosti výskytu
molekuly v r0 a jinde
Rozdělení rychlostí molekul
• izotermická atmosféra:
zkT
mg
vv enn
0
• molekuly s vz < u se do výšky h nedostanou
výška
hz
0z
00 zVzV vhznuvzn
z
000 zVzV vhznvzn
mghmu 2
2
1
kT
mu
kT
mgh
vzn
vhzn
vzn
uvzn
zV
zV
zV
zV
2expexp
00
0
00
0 2
• Boltzmannův princip:
• platí pro každou výšku
kT
Euvn k
zV exp~
Rozdělení rychlostí molekul
• izotermická atmosféra:
zkT
mg
vv enn
0
• rozdělení rychlostí
výška
hz
0z
u
kz uufu
kT
ECuvn dexp1
z
uf
• celková hustota pravděpodobnosti
kT
vvvm
kT
mvvvf
zyx
zyx2
exp2
,,
2222/3
• hustota pravděpodobnosti:
kT
muCuf
2exp
2
2Gaussián
kT
mC
22
Maxwell-Boltzmannovo rozdělení
Rozdělení rychlostí molekul
• izotermická atmosféra:
zkT
mg
vv enn
0
• rozdělení rychlostí
výška
hz
0z
z
kT
mv
kT
mvvvf zyx
2exp
2,,
22/3
• marginální celková hustota pravděpodobnosti
pro velikost rychlosti:
kT
mvv
kT
mvvfvfv
2exp
24ddsin,,
22
2/3
0
2
0
2
kT
mv
kT
mvf
2exp
2,,
22/3
• ve sférických souřadnicích
• Maxwell-Boltzmannovo rozdělení
Rozdělení rychlostí molekul
kT
mvv
kT
mvfv
2exp
24
22
2/3
1m
kT
2m
kT
5m
kT• střední hodnota velikosti rychlosti
• nejpravděpodobnější velikost rychlosti
• počet srážek jedné molekuly za čas t:
Střední doba mezi srážkami
NtNS • pro N molekul:
nn N
t
N
1
d
d
• Nn(t) - počet molekul, které se za dobu t ještě nesrazily :
ttNtNttN nnn
d-d
t
n eN
tNtP
0
• pravděpodobnost, že se molekula za dobu t ještě nesrazila:
tNS
střední doby mezi srážkami
t
n eNtN
0
• doba mezi srážkami je náhodná proměnná s exponenciálním rozdělením:
t
etf
1
• střední doba mezi srážkami:
tetttftt
d1
d00
• střední volná dráha: vl
• pravděpodobnost srážky na vzdálenosti dx: l
xxnP V
dd
1lnV
účinný průřez 2
2
2
1 rr
xd
1S
Drift
m
Fvdrift • driftová rychlost:
F
střední doba mezi srážkami zrychlení
Fvdrift • driftová rychlost:
m
pohyblivost
Difúze
1S
x
• tok molekul jednotkou plochou:
xvv
xvxv
x vnnt
tvntvnJ
d
dd
• nv-, nv+ koncentrace ve vzdálenosti l/2 (střední volné dráhy)
od rozhraní
• koncentrace difundujících molekul: tzyxnva ,,,
lx
nnn va
vv
x
nD
x
nvl
x
nlvJ va
xvava
xx
3
1
• difúzní koeficient: vlDx3
1
vl
m
23
2 2mvDx
kTmv
2
3
2
2
x
nDJ va
xx
1. Fickův zákon
kTDx
Difúze
1S
x
• tok molekul jednotkou plochou:
dxt
nvnnJ va
xvvx
• 1. Fickův zákon:
t
n
x
J vax
x
nDJ va
xx
(stacionární stav)
• derivace 1. Fickova zákona: 2
2
x
nD
x
J vax
x
2
2
x
nD
t
n vax
va
2. Fickův zákon
(diferenciální rovnice pro časový vývoj koncentrace)
Difúze
2
2
x
nD
t
n vax
va
2. Fickův zákon
X
0 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0t
• okrajová podmínka: 0,0 ntxnva
00,0 txnva• počáteční podmínka:
01 t
12 tt
tD
xerfntxn
x
va2
1, 0
• řešení:
• error funkce: texerf t d2
0
2
X
0 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0t
Difúze
2
2
x
nD
t
n vax
va
2. Fickův zákon
• okrajová podmínka:
tD
xerfntxn
x
va2
1, 0
0,0 ntxnva
00,0 txnva• počáteční podmínka:
01 t
12 tt
• řešení:
Difúze
2. Fickův zákon
• izotropní difůze v prostoru v prostoru:
1. Fickův zákon