-
Institut za matematiku i informatiku, PMF Kragujevac
LOGARITAMSKE JEDNA^INE
Profesor dr Tatjana Aleksi} Lampert
Student Dragana Popadi} 35/2012
Profesor Student dr Tatjana Aleksi} Lampert Dragana Popadi}
35/2012 (IMI, PMF)Institut za matematiku i informatiku, PMF
Kragujevac Kragujevac, 2015 1 / 5
-
Izraz
logb(x) a(x)
definisan je ako i samo ako je a(x) > 0; b(x) > 0 i b(x)
6= 1.Logaritamske jedna~ine su jedna~ine u kojima se nepoznata
(nepoznate)
javqaju i pod znakom logaritma. Na primer,
log2(x+ 3) = x:
Pre re{avawa logaritamske jedna~ine neophodno je uvek proveriti
da li
su svi izrazi koji se u woj pojavquju svuda definisani, a ako
nisu, {to je
naj~e{}e slu~aj, treba utvrditi intervale definisanosti i
re{avati
jedna~inu samo pod pretpostavkom da se nepoznata nalazi u
tim
intervalima.
Osnovna ideja, pri re{avawu logaritamskih jedna~ina je da se
jedna~ina
transformi{e, primenom osobina logaritamske funkcije, na {to je
mogu}e
jednostavniji oblik.
Profesor Student dr Tatjana Aleksi} Lampert Dragana Popadi}
35/2012 (IMI, PMF)Institut za matematiku i informatiku, PMF
Kragujevac Kragujevac, 2015 2 / 5
-
Primer 1.
Re{iti jedna~inu log3(x 1) = 1.Ova jedna~ina je ekvivalentna sa
x 1 = 31, odnosno x = 4, pa je wenojedinstveno re`ewe x = 4 (uvek
imamo na umu uslov definisanosti, uovom primeru je to x >
1).
Primer 2.
Re{iti jedna~inu log2(3 x) + log2(1 x) = 3.Uslovi definisanosti
su ovde 3 x > 0; 1 x > 0. Dakle, x < 1.Jedna~ina koju
re{avamo je ekvivalentna jedna~ini
log2(3 x)(1 x) = 3;a ova jedna~ini
(3 x)(1 x) = 23;tj. x2 4x 5 = 0, ~ija su re{ewa x1 = 5; x2 = 1.
Zbog uslova x < 1,jedino re{ewe je broj 1.Profesor Student dr
Tatjana Aleksi} Lampert Dragana Popadi} 35/2012 (IMI, PMF)Institut
za matematiku i informatiku, PMF Kragujevac Kragujevac, 2015 3 /
5
-
Primer 3.
Re{iti jedna~inu log52+x10 = log5
2x+1 .
Ova jedna~ina je ekvivalentna sa
2+x10 =
2x+1 , uz uslov da je
2x+1 > 0, tj.
x > 1. Dobijamo
(2 + x)(x+ 1) = 20; x > 1;tj.
x2 + 3x 18 = 0; x > 1:Re{ewa ove kvadratne jedna~ine su x1 =
3; x2 = 6, ali zbog uslovax > 1, jedino re{ewe je x1 =
3.Slo`enije logaritamske jedna~ine re{avaju se tako {to se
primenom
osobina logaritma svedu na jednostavnije jedna~ine.
Profesor Student dr Tatjana Aleksi} Lampert Dragana Popadi}
35/2012 (IMI, PMF)Institut za matematiku i informatiku, PMF
Kragujevac Kragujevac, 2015 4 / 5
-
Primer 4.
Re{iti jedna~inu log4(x 2) + log16(x 2) + log2(x 2) =
7.Jedna~ina ima smisla samo za x > 2. Kako je 4 = 22 i 16 = 24,
datajedna~ina je ekvivalentna sa
1
2log2(x 2) +
1
4log2(x 2) + log2(x 2) = 7; x > 2;odakle se dobija log2(x 2)
= 4; x > 2, pa je jedino re{ewe x1 = 18.
1. Re{iti slede}e jedna~ine.
a) log4(x2 5) = 1;b) log 1
3(x2 5x+ 7) = 0;v) log5(x 3) = log5(x2 5x 10):
Profesor Student dr Tatjana Aleksi} Lampert Dragana Popadi}
35/2012 (IMI, PMF)Institut za matematiku i informatiku, PMF
Kragujevac Kragujevac, 2015 5 / 5
