strana 1

1.0 Prijemnici optičkih signala

1.1 Fotodiode PIN tipa

Princip rada fotodioda zasniva se na apsorbciji fotona svetlosti u poluprovodničkom materijalu čiji je energetski procep manji ili jednak energiji fotona. Ova apsorbcija se odigrava u ispražnjenoj oblasti prostornog tovara čime se formira par elektron-šupljina koji se pod dejstvom električnog polja razdvajaju tako da se javlja impuls struje.

Struktura PIN diode i raspodela električnog polja u njoj vide se na slici 1.1.1

Slika 1.1.1

Ispražnjena oblast se veštački proširuje ubacivanjem slabo dopiranog I sloja. Dioda se osvetljava sa P strane jer tako šupljine koje su sporije od elektrona, moraju da prevale manji put. Ako materijal ima energetski procep Eg, tada se najniža frekvencija optičkog talasa koji može da generiše par elektron-šupljina nalazi iz relacije

[ ]νmin =

Eg eVh

............ 1.1.1

što odgovara maksimalnoj talasnoj dužini

[ ][ ]λ μmax

,= =

hcEg Eg eV

m1 24

................... 1.1.2

Ova veličina je za silicijum 1,06 μm, za germanijum 1,6 μm, a za legure na bazi In Ga As oko 1,8 μm.

Osnovni parametar materijala za osnovu koga se izračunava apsorbovana snaga, a time i generisana struja, je koeficijent apsorbcije α0 , čija se zavisnost od talasne dužine za razne materijale može videti na slici 1.1.2

strana 2

Slika 1.1.2

Ovaj koeficijent trebalo bi da ima što veću vrednost kako bi se što više fotona apsorbovalo, u protivnom za α=0 na primer, materijal postaje providan za tu svetlost.

Prostiranje optičke snage kroz fotodiodu može se opisati relacijom

( ) ( )P y P e y= ⋅ −0 0α ....... 1.1.3

gde je y rastojanje od upadne površine, a P(O) upadna snaga.

Pod pretpostavkom da svaki upadni foton generiše par elektron-šupljina primarna foto struja se može izraziti kao

( )[ ]Ip P R eq

hFw= − − −

0 1 1 0α

ν ...... 1.1.4

gde je RF koeficijent refleksije upadne površine i koji se obično nastoji smanjiti postavljanjem antirefleksivnog sloja, w ekvivalentna debljina apsorbujuće zone.

Dve bitne veličine za foftodiode su kvantna efikasnost - η i koeficijent konverzije - RK. Kvantna efikasnost predstavlja odnos broja generisanih parova elektron-šupljina i broja upadnih fotona u jedinici vremena

( )( )ην

α= = − − −Ip qP h

R eFw/

/01 1 0 ................ 1.1.5

Koeficijent konverzije govori o veličini fotostruje za određenu upadnu snagu svetlosti i izražava se u A/W .

Da bi se postigla visoka kvantna efikasnost potrebna je što veća debljina ispražnjenog I sloja. Pri tome, povećano vreme drifta kroz ispražnjenu oblast postaje glavni ograničavajući faktor u pogledu brzine odziva. Za debljinu ispražnjene oblasti obično se usvaja kompromisno rešenje w =1/α0 .

Niskofrekventna strujnonaponska karakteristika fotodiode data je na slici 1.1.3

strana 3

Slika 1.1.3

Dioda radi sa inverznom polarizacijom što dovodi do širenja ispražnjene oblasti, smanjenja kapacitivnosti i povećanja kvantne efikasnosti jer se generiše manji broj parova elektron-šupljina izvan ispražnjene oblasti, a time je dioda brža i efikasnija.

1.1.1 Detekcija poruke sadržane u amplitudski modulisanom nosiocu

Svetlost koja pada na fotodiodu ima promenljiv intezitet tako da se u vremenu generiše različit broj parova elektron-šupljina. Detekcija fotona predstavlja Poasonov disketni slučajni proces sa raspodelom verovatnoće da će se generisati N parova elektron-šupljina u intervalu τ

( )P N nNsrn

e Nsr= = −

! ............... 1.1.1.1

gde je Nsr srednji broj generisanih parova elektron-šupljina u intervalu (t, t+τ)

( )Nsrh

p t dtt

t

=+

∫ην

τ

............... 1.1.1.2,

ako se zanemari broj generisanih parova usled struje mraka.

Ako funkcija hs(t) predstavlja oblik generisanog impulsa, tada se srednja vrednost napona na opterećenju dobija kao

Us tq

hhs t p d( ) ( ) ( )= −∫η

ντ τ τ ................ .1.1.1.3

ili u frekventnom domenu

Us wq

hHs w P w R Hs w P wK( ) ( ) ( ) ( ) ( )= =

ην

............. 1.1.1.4

strana 4

Ovo pokazuje da je izlazni napon ustvari filtrirana verzija srednje optičke snage. Ovaj filtar, ako se posmatra najjednostavnije kolo dioda - otpor ima funkciju prenosa

Hs w

RjwC

Lt

( ) =+

11 .............. 1.1.1.5

gde je Ct kapacitivnost diode i veza.

Ako se dioda pobudi pravougaonim impulsom, tada se zavisno od konstrukcije mogu javiti tri tipična slučaja prikazana na slici

Slika 1.1.1.1

Slučaj a imamo kada su p i n slojevi tanki i apsorpcija se dominantno obavlja u ispražnjenom I sloju.

Kada je ispražnjena oblast uska tada imamo slučaj b gde se vidi kratkotrajno brzo uspostavljanje impulsa i zatim sporo dostizanje ustaljenog stanja što se dešava zbog mnoštva sporih nosioca generisanih u p i n oblasti.

Kada je ispražnjena oblast previše široka tada imamo slučaj c gde efekti RC kola diode postaju dominantni.

1.2 Lavinske fotodiode

Lavinske fotodiode rade sa visokim inverznim naponom tako da elektroni i šupljine generisani fotonima svetlosti dostižu energiju dovoljnu za udarnu jonizaciju i formiranje novih parova elektron-šupljina. Sa slike 1.2.1 se vidi da lavinska dioda, za razliku od PIN diode, poseduje dodatni π sloj.

strana 5

Slika 1.2.1

Ovim rasporedom slojeva postiže se potrebna raspodela električnog polja, čija se vršna vrednost dostiže između p i n+ oblasti gde ustvari i dolazi do lavinskog proboja. Optički signal biva apsorbovan u π oblasti. Elektron pod dejstvom električnog polja biva ubrzan i stiče energiju dovoljnu za formiranje novog para elektron-šupljina u delovima p i n+ oblasti. Ovaj proces se dalje nastavlja lančano sve dok izbijeni elektroni poseduju dovoljnu energiju. Proces lavinskog umnožavanja nosilaca karakteriše se koeficijentom jonizacije koji predstavlja srednji broj parova elektron-šupljina koje stvara jedan primarni nosilac na jediničnoj dužini.

Ovaj koeficijent ima različitu vrednost za elektrone i šupljine. Radi smanjenja dodatnih šumova usled stohastičke prirode lavinskog umnožavanja i većeg proizvoda pojačanja i propusnog opsega poželjno je da on bude znatno veći za elektrone nego za šupljine.

Pošto svaki elektron ne proizvodi isti broj sekundarnih parova, dolazi do pojave šuma tako da se osetljivost prijemnika povećava za isnos nešto manji od iznosa lavinskog pojačanja. Nedostatak lavinske u odnosu na PIN diodu je značajna temperaturna zavisnost strujnog pojačanja što zahteva od izvora napajanja odgovarajuće regulatorske karakteristike.

Koeficijent konverzije definiše se kao i kod PIN diode

Rq

hM R Mkm k= =

ην

................ 1.2.1

gde je M strujno pojačanje tj. odnos ukupne i primarne struje.

Što se tiče materijala za izradu fotodioda u prvom prozoru dominira silicijum, a u drugom i trećem germanijum i višekomponentne legure InGaAsP/InP, InGaAs/InP i dr.

Germanijum je gotovo idealan materijal što se tiče apsorbcijskog koeficijenta, ali ima veliku struju mraka i dodatni šum zbog nepovoljnog odnosa koeficijenata jonizacije elektrona i šupljina. Lavinsko pojačanje silicijumskih fotodioda kreće se i preko 100 dok je za legure oko 20.

Sve rečeno u vezi detekcije amplitudski modulisanih signala PIN diodom važi i za lavinske diode s tim da je detektovani signal M puta veći.

strana 6

1.3 Konstrukcija i karakteristike fotodioda

1.3.1 Fotodiode za prvi optički prozor

U prvom optičkom prozoru (800-900 nm) najviše se primenjuju slicijumske fotodiode koje imaju dobre spektralne karakteristike, veliku brzinu odziva i malu struju mraka. Osim toga visoko razvijena silicijumska tehnologija omogućava proizvodnju fotodioda optimalno prilagođenih specifičnim potrebama. Gotovo isključivo se proizvode u planarnoj tehnici.

PIN fotodiode

Tipična konstrukcija PIN fotodiode prikazana je na slici 1.3.1.1.

Slika 1.3.1.1

Da bi se smanjili gubici zbog refleksije na površini se postavlja antirefleksioni sloj Si3N4, nadalje radi povećanja brzine slojevi p+ i n+ su veoma tanki u odnosu na i-oblast tako da se apsorpcija fotona obavlja uglavnom u i-oblasti. Ovakva konstrukcija omogućava usklađivanje odnosa vremena drifta elektrona i šupljina jer šupljine u proseku prevaljuju manji put od elektrona koji su približno duplo brži*. Za ove fotodiode kvantna efikasnost se kreće oko 80%, ukupna kapacitivnost zajedno sa vezama i aktivnom zonom (oko 200 μm prečnika) kreće se oko 0,2 pF. Površinska struja curenja je smanjena na red pikoampera ubacivanjem n+ sloja oko površine osetljive na svetlost.

Lavinske fotodiode

Potreba za lavinskim fotodiodama nastala je zbog veoma dobrih karakteristika PIN diode koje su obično bivale degradirane šumom koje unosi neophodno pojačanje signala iza ovih elemenata (termički šum predpojačavača). Naime, kod lavinskih fotodioda koje poseduju interno strujno pojačanje signal biva pojačan pre nego što dođe u dodir sa termičkim šumom pretpojačavača u prijemniku. Silicijum je pogodan u smislu proizvodnje lavinskih fotodioda zbog izuzetno povoljnog odnosa jonizacionih koeficijenata šupljina i elektrona koji se kreće čak i do 0,01, što znatno utiče na smanjenje dodatnog šuma F<10.

* Ovo se odnosi na silicijum

strana 7

U princiipu PIN fotodiode bi se mogle koristiti kao lavinske ali bi imale značajne nedostatke kao što su potreba za visokim ( i do 1000V ) inverznim naponom za otpočinjanje lavinske multiplikacije, nadalje proizvod propusnog opsega i pojačanja bi bio vrlo mali zbog velike širine oblasti u kojoj se obavlja multiplikacija.

Konstrukcija koja zadovoljava zahteve za minimalnim inverznim naponom, velikim proizvodom pojačanja i propusnog opsega, te visokom kvantnom efikasnošću, prikazana je na slici 1.3.1.2.

Slika 1.3.1.2

Maksimum polja je dostignut između n+ i p sloja dok se prikupljanje obavlja u širokoj π oblasti. Iz tehnoloških razloga se proizvodi kao n+pπp+, mada bi bolja bila inverzna struktura sa p na vrhu (zbog brzine elektrona i šupljina). Struktura n+pπp+ bira se kada je jonizacioni koeficijent elektrona veći nego jonizacioni koeficijent šupljina (Si). Kod Ge i InGaAs situacija je obrnuta pa se bira p+nνn+

Fotodioda sadrži zaštitni prsten n tipa za sprečavanje ivičnog proboja i p+ tipa za sprečavanje moguće inverzije slojeva na površini. U praktičnim sistemima diode rade sa naponima 100÷400 V i sa pojačanjem manjim od 100.

Dijagram osetljivosti PIN i lavinskih dioda u funkciji digitalnog protoka dat je na slici 1.3.1.3.

strana 8

Slika 1.3.1.3

1.3.2 Fotodiode za drugi i treći optički prozor

Za talasne dužine preko 1100 nm silicijum postaje providan pa se ne može koristiti za izradu fotodioda. U ovoj oblasti koriste se germanijum i razne legure poluprovodničkih materijala III i V grupe. Najčešće je u upotrebi struktura InGaAsP/InP koja se može podesiti za opseg talasnih dužina od 930 do 1650 nm. Ova struktura pokazuje mnogo bolje osobine nego germanijum, ali nažalost postoje poteškoće pri izradi i neke nepovoljne osobine kao što su efekat “tuneliranja” bez lavinskog pojačanja, mnogo je veći odnos koeficijenata jonizacije nego za silicijum i kreće se oko 2÷3 što uzrokuje povećani faktor dodatnog šuma.

Germanijumske fotodiode

Konstrukcija često korišćene fotodiode, sa minimumom tehnoloških zahteva, za talasne dužine oko 1300 nm, odnosno drugi optički prozor prikazano je na slici 1.3.2.1.

Slika 1.3.2.1

strana 9

Ova fotodioda poseduje aktivnu zonu prečnika oko 100 μm, zaštitni prsten za sprečavanje ivičnog proboja izolacioni sloj na površini oko aktivne zone, te antirefleksioni sloj radi povećanja kvantne efikasnosti.

Karakteristike ove fotodiode su da ima kvantnu efikasnost oko 80%, pojačanje oko 10, faktor dodatnog šuma F oko 11, struja mraka na sobnoj temperaturi je reda desetog dela mikroampera, osetljivost za tri standardne veličine digitalnog protoka od 34,140 i 565 Mb/s je -46, -40 i -35 dBm uz verovatnoću greške od 10-9.

In0,53 Ga0,47 As / In P fotodioda bez pojačanja

Struktura ove diode prikazana je na slici 1.3.2.2. Ova dioda se odlikuje izuzetno malom strujom mraka reda nA, za napone do 40V. Sa daljim povećanjem napona dolazi do njenog gotovo eksponencijalnog rasta, a istovremeno i do tunel efekta. Kvantna efikasnost joj je oko 90% u drugom i trećem optičkom prozoru, a u opsegu 950-1650 nm se ponaša kao propusnik opsega jer izvan njega kvantna efikasnost pada na nulu.

Slika 1.3.2.2

Za radni napon od 10V parazitna kapacitivnost iznosi oko 0,5 pF, struja mraka oko 1 nA, kvantna efikasnost oko 90%, a vreme porasta oko 200 pS. Ako je proizvedena zajedno sa FET pretpojačavačem, osetljivost za 34, 140 i 565 Mb/s iznosi -51, -46, -38 dBm.

strana 10

In0,53 Ga0,47 As / In P lavinska fotodioda

Radi izbegavanja tunel efekta koristi se specijalna hetero struktura kao što je prikazano na slici 1.3.2.3.

Slika 1.3.2.3

Ovde se osvetljavanje vrši preko osnove, apsorpcija se obavlja u InGaAs sloju, a lavinski proboj u n- In P sloju gde se lako dostiže potrebna jačina polja. Tako se postiže pojačanje i do M=50.

Karakteristike su joj mala parazitna kapacitivnost oko 0,3 pF, kvantna efikasnost oko 90%, vreme porasta i opadanja oko 300 pS.

1.4 Šumovi PIN i lavinskih fotodioda

Za fotodiode se može definisati tzv. kvantna granica* kao minimalna optička snaga potrebna da bi se signal određenog digitalnog protoka detektovao sa određenom verovatnoćom greške. Ranije je rečeno da je proces apsorpcije stohastički sa Poasonovom raspodelom tako da se za verovatnoću greške od 10-9 dobija

P N eEdh( )= = =

− −0 10 9ν ............... 1.4.1

odnosno potrebna je energija signala od 21 fotona da se u najviše jednom od 109 slučajeva ne generiše ni jedan par elektron šupljina. Pod pretpostavkom jednake verovatnoće slanja “nula” i “jedinica” dobija se kvantna granica u funkciji digitalnog protoka.

Pdm h Bp= 10 5, ν ............... 1.4.2

Za analogne signale ovo se mora definisati u funkciji odnosa signal-šum. Može se pokazati da važi

* Kvantna granica defini{e se za idealni opti~ki prijemnik kod kojeg {um poti~e samo od stohasti~ke prirode

detekcije fotona.

strana 11

Ph B signal

kvantnisummin =2 νη

............... 1.4.3

Na žalost zbog dodatnog šuma ovo je daleko od stvarno potrebne minimalne snage.

Kroz fotodiodu, kada nema optičkog signala, teče struja mraka koja ima dve izrazite komponente površinsku i unutrašnju.

Unutrašnja komponenta je posledica generisanja parova elektron-šupljina usled termičkog efekta i može se opisati izrazom

i qI M F M BDV V2 22= ( ) ................ 1.4.4

gde je Iv primarna struja mraka, M strujno pojačanje, F(M) faktor dodatnog šuma i B širina propusnog opsega kola fotodetektora.

Faktor dodatnog šuma F(M) predstavlja odnos generisane snage šuma u fotodiodi sa šumom koji bi se javio kada bi se svi primarni nosioci umnožili za isti broj.

Površinska komponenta struje mraka zavisi od defekata na površini fotodiode, čistoće, predpolarizacije i dimenzija. Ova komponenta je naročito izražena za fotodiode na bazi germanijuma i veća je za nekoliko redova veličina nego za silicijum. Srednja kvadratna vrednost ove struje iznosi

i qI BDP L2 2= ............. 1.4.5

i ista je za PIN i lavinske fotodiode jer ona ne teče kroz oblast lavinskog umnožavanja.

Može se reći da je glavni uzrok kvantnog ili sačma šuma to što svaki primarni par ne generiše isti broj sekundarnih parova elektron-šupljina odnosno faktor M varira. Pojavom optičkog signala se javlja i primarna struja

i tq

hp t I i tps p s( ) ( ) ( )= = +

ην

.............. 1.4.6

koja , pošto optička snaga ne može biti negativna, ima jednosmernu i naizmeničnu komponentu.

Sada se srednja kvadratna vrednost kvantnog šuma u prisustvu optičkog signala može napisati kao

i qI M F M BQ p2 22= ( ) ................ 1.4.7

Ovaj izraz važi za analogne signale, dok se za digitalne Ip uzima dve vrednosti Ip0 za slučaj kada signala nema i Ip1 kada signala ima.

U kolu fotodiode na radnom otporniku se generiše termički šum čija srednja kvadratna vrednost iznosi

ikTBRR

LL

2 4= .............. 1.4.8

strana 12

Pošto su do sada navedeni šumovi nekorelisani, ukupna struja šuma je jednaka zbiru pojedinih komponenti.

i q I I M F M B qI B kTB RT p v L L2 22 2 4= + + +( ) ( ) / .............. 1.4.9

Za analogne signale srednja snaga iznosi

P R M is L s= 2 2 .................1.4.10

a snaga šuma

P R is L T= ⋅ 2 ................. 1.4.11

tako da se dobija odnos signal-šum kao

PP

M iq I I M F M B qI kTB R

s

s

s

p v L L=

⋅+ + +

2 2

22 2 4( ) ( ) / .............. 1.4.12

Može se definisati “snaga ekvivalentna šumu” kao snaga optičkog signala koji udvostručava ukupnu snagu na izlazu, odnosno snagu za koju je odnos signal-šum jednak jedinici.

Takođe, definiše se faktor dobrote kao odnos efektivne struje šuma i vršne vrednosti struje koju stvara jedan generisani par elektron šupljina.

strana 13

2. Analiza prijemnika optičkih signala

Pošto je izlazni signal fotodetektora vrlo mali postoji potreba da se on pojača pre dalje obrade s tim da se ostvari što veći odnos signal šum uz minimalnu intersimbolsku interferenciju za digitalne i minimalno izobličenje za analogne signale.

Ekvivalentna šema standardnog prijemnika je prikazana na slici 2.1

Slika 2.1

is- strujni generator signala i fotodioda

iq- strujni generator kvantnog šuma

iL,ia- strujni generator termičkog šuma fotodetektora i pojačavača

RL,RA- radne otpornosti diode i pojačavača

Cd- kapacitivnost diode

Ca- ulazna kapacitivnost pojačavača

ea- naponski generator termičkog šuma pojačavača

Smatra se da su svi termički šumovi beli, Gausovi i međusobno nekorelisani.

strana 14

2.1 Signal na izlazu optičkog prijemnika

Struja fotodiode proporcionalna je srednjoj snazi optičkog signala

i tq

hM p t R M p ts k( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅

ην

.....................2.1.1

Ako je hB(t) impulsni odziv mreže kola fotodiode i ulaznog kola pojačavača dobija se signal na izlazu iz pojačavača u obliku

U t R M A p t h tA k B( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ∗ ........................2.1.2

a signal na izlazu iz korektora je

U t U t h tiz A k( ) ( ) ( )= ∗ .............2.1.3

Provođanjem u spektralni domen

U w R M A P w H w H wiz k B k( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ..................2.1.4

gde je H wjwcB

R( ) =

+1

1 ......2.15, 1 1 1R R RaL

= + ....2.16 C Ca Cd= + .......2.17.

Pod predpostavkom da ostali elementi sistema ne unose izobličenja, idealan prijemnik bi zadovoljavao relaciju

U wP w

R MAH w H w konstizk B k

( )( )

( ) ( ) .= = ................2.1.8

što znači da bi izlazni signal bio proporcionalan ulaznom.

Ovo važi za analogne signale, dok je za digitalne važno ostvariti prenos bez intersimbolske interferencije.

2.2 Šumovi u optičkom prijemniku

Izraz za izlazni signal prijemnika, kada se u obzir uzmu i šumovi postaje

U t U t U tiz iz s( ) ( ) ( )= + .....2.2.1

Šum ima više komponenti koje su međusobno nekorelisane

- U tq2 ( ) kvantni (sačma) šum

- U tL2 ( ) termički šum radne otpornosti fotodiode

- U tI2 ( ) termički šum ulazne otpornosti pojačavača

strana 15

- U tE2 ( ) termički šum samog pojačavača

U t U t U t U t U ts q L I E2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + .........2.2.2

Spektralna gustina srednje snage šuma na izlazu, zavisi od mesta na kome je šum generisan, odnosno biva transformisana kroz mrežu do izlaza.

Pošto je spektralna karakteristika termičkih šumova konstanta za svako f, za njih se mogu definisati ekvivalentni propusni opsezi

21

0 02

2B

H HH w H w dwek

B kB k=

−∝

∝

∫( ) ( )

( ) ( ) ..................2.2.3

ili

200

2 2

BP

UU wP w

dwekiz

iz= ⋅−∝

∝

∫( )( )

( )( )

.....................................2.2.4

Sada se mogu izračunati srednje kvadratne vrednosti napona termičkih šumova

U tKTR

Bek R ALL

2 2 24( ) = ⋅ ..............................................2.2.5

U tKTRa

Bek R AI2 2 24

( ) = ⋅ ..............................................2.2.6

Termički šum pojačavača UE prolazi samo kroz korektor pa je njegov ekvivalentni propusni opseg

210

22

BkHk

Hk w dw=−∝

∝

∫( )

( ) ..........................................2.2.7

odnosno

200

12 2

BkRPU

U wP w R

jwc dwiz

iz= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−∝

∝

∫( )( )

( )( )

.............................2.2.8

Sada je

U t S B AE E K2 22( ) = ⋅ .........................................................2.2.9

gde je SE dvostrana spektralna gustina naponskog izvora šuma pojačavača koja je konstantna u celom radnom opsegu pojačavača.

Kvanti (sačma) šum izrazito zavisi od nivoa signala zbog čega se kod digitalnih za slanje “nule” može zanemariti.

strana 16

Varijansa izlaznog napona usled kvantnog šuma može se naći iz relacije

σ τ τ τ2 2 2 2q K TqM F M R A h t p d= ⋅ − ⋅

−∝

∝

∫( ) ( ) ( ) ................2.2.10

gde je

h t h t h tT B K( ) ( ) ( )= ∗ ............2.2.11

Rešavanje integrala 2.2.10 u opštem slučaju može biti vrlo složeno tako da treba tražiti rešnja primenjiva u praksi.

Ako je u pitanju analogni modulišući signal vremenske zavisnosti m(t) onda se srednja optička snaga može pisati u obliku

[ ]p t P K m tm( ) ( )= +0 1 ............2.2.12 uz uslov m tKm

( ) max =≤

11

Sada se σq2 može usrednjiti po raspodeli verovatnoća amplituda m(t) uz pretpostavku da je

funkcija gustine verovatnoće za m(t) p(m) i da je srednja vrednost m(t) jednaka nuli

σ σ

τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ

2 2

02

02

02

02

q q

T m T

T m T

p m dm

C P h t p m dmd C K P h t m p m dmd

C P h t d p m dm C K P h t d m p m dm

= ⋅

= ⋅ − + ⋅ ⋅ −

= ⋅ − + ⋅ ⋅ −

−∝

∝

−∝

∝

−∝

∝

−∝

−∝

−∝

∝

−∝

∝

−∝

∝

−∝

∝

−∝

∝

∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.......2.2.13

uz uslov p m dm( ) =−∝

∝

∫ 1 što važi za svaku gustinu verovatnoće i uslov da je

m t p m dm( ) ( ) =−∝

∝

∫ 0 odnosno da je srednja vrednost m(t) jednaka nuli dobiva se

σ τ τq TC P h t d20

2= ⋅ −−∝

∝

∫ ( ) .......................2.2.14

što je ekvivalentno sa

σq TC P h t dt20

2= ⋅−∝

∝

∫ ( ) ....................2.2.15

C qM F M R AK= 2 2( )

strana 17

Dalje ako smatramo da je HT(w) konstanto u opsegu učestalosti B važi

h t dt H w df H B B RT TB

B

T2 2 2 20 2 2( ) ( ) ( )

−∝

∝

−

∫ ∫= = ⋅ = ⋅ .............................2.2.17

Konačni izraz za napon kvantnog šuma je

σq qU t qIpM F M BR A2 2 2 2 22= =( ) ( ) ..................2.2.18

gde je Ip R PK= ) ...........2.2.19 srednja primarna struja kroz fotodiodu

Za digitalne signale se ovo može uprostiti ako pretpostavimo da se srednja optička snaga može predstaviti kao suma impulsa i pauza

p t b h t nTn p bn

( ) ( )= −=−∝

∝

∑ ................2.2.20

h t dtp ( ) =−∝

∝

∫ 1 ...............2.2.21

gde su bn-energija signala u n- tom signalizacionom intervalu, a Tb signalizacioni interval.

Pošto je prisutna intersimbolska interferencija, kvantni šum zavisi i od signala u susednim signalizacionim intervalima.

Kod prijema “nule” , najgori slučaj je kad su svi predhodni i svi naredni signali “jedinice”. Tada imamo

Ip R bTb

h t nTb dtK pTb

Tb

n0

1

2

2

0

1= − =

−≠∫∑ ( )

/

/

dodajemo i oduzimamo član za n=0

= − −−−=−∝

∝

∫∫∑ R bTb

h t nTb dt R bTb

h t dtK p K pTb

Tb

Tb

tb

n

1 1

2

2

2

21 1( ) ( )

/

/

/

/

.........2.2.22

Korišćenjem h t nTb dt h t dtp pTb

Tb

n( ) ( )

/

/

− = =−∝

∝

−=−∝

∝

∫∫∑ 12

2

..........2.2.23

i oznake γ =−

∫ h t dtpTb

Tb

( )/

/

2

2

....... 2.2.24 što predstavlja energiju koja se prima pri slogu

“jedinice” dobija se

Ip RbTbK0

1

1= −( )γ .......2.2.25

U idealnom slučaju γ=1 pa sledi da je Ip0=0, tj. nema ISI. Realno je γ<1 tako da dolazi do intersimbolske interferencije.

strana 18

Za prijem jedinice najgori je slučaj kad su svi predhodni i svi naredni simboli jedinice. Tada imamo

Ip RbTK

b1

1

= ............2.2.26

2.3 Verovatnoća greške kod prijema digitalnih signala

Za prijem digitalnih signala potrebno je obezbediti minimalan međusobni uticaj signala iz susednih signalizacionih intervala i maksimalnu razliku pri prijemu signala različitih nivoa kako bi se što više smanjio uticaj kvantnog i termičkog šuma.

U praksi se najviše koriste binarni signali zbog mogućnosti amplitudske modulacije poluprovodničkih izvora svetlosti velikom brzinom. Da bi se odredila verovatnoća greške potrebno je poznavati funkcije raspodele verovatnoća amplituda signala na ulazu u sklop za odlučivanje. Funkcije raspodele se razlikuju za signale “0” i “1” zbog različite veličine kvantnog šuma za vsaki od njih.

Primer ovih raspodela dat je na slici 2.3.1

Slika 2.3.1

Termički šum ima Gausovu raspodelu, a kvantni Poasonovu koja se može apraksimirati ekvivalentnom Gausovom.

Treba da se proceni srednja optička snaga za određenu veerovatnoću greške, pri tome će se koristiti sledeće prepostavke

- binarni signal je povorka pravougaonih impulsa pri čemu srednja optička snaga pri slanju ”0” iznosi P0, a pri slanju “1” P1 ,

- šum na izlazu prijemnika ima Gausovu raspodelu sa varijansama σ0 i σ1 pri slanju “0” i “1”,

parametri fotodetektora su koeficijent Rk , lavinsko pojačanje M, faktor dodatnog šuma F(M), apsolutna temperatura T, propusni opseg B i radni otpor RL ,

strana 19

-srednja kvadratna vrednost napona šuma jednaka je varijansi ekvivalentne Gausove raspodele

podrazumeva se da intersimbolska interferencija ne dovodi do greške u odlučivanju.

Verovatnoće pogrešnog prijema su

P e dii i

ip

( / )( )

1 01

2 0

20

2

02=

−−∝

∫πσ

σ .........2.3.1

P e dii iip

( / )( )

0 11

2 1

21

2

112=

−−

−∝

∫πσ

σ ............2.3.2

a ukupna verovatnoća greške je

Pe P P P P

P erfcip io

P erfci ip

= ⋅ + ⋅ =−

+−

( ) ( / ) ( ) ( / )

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 0 1 0 112

02

12

11

20 1σ σ ..............2.3.3

gde je ip struja praga odluke.

Za varijanse šuma mogu se izvesti izrazi

σ02 2

1 12 4= + ⋅ = +qR M F M eP B Ft kTB R aeP bK L( ) / .............2.3.4

σ12 2

1 12 4= + ⋅ = +qR M F M P B Ft kTB R aP bK L( ) / ..........2.3.5

gde su e tzv. Pobudni odnos, a Ft faktor šuma pojačavača prijemnika.

Za slučaj BSC kanala odnosno jednakih verovatnoća greške dobija se

ip io i ip−=

−2

120 1σ σ

...........................2.3.6

odnosno ipi i

=++

0 1 0

1 0

1σ σσ σ

..............2.3.7

Ako su verovatnoće slanja “0” i “1” iste tada prag odlučivanja ne zavisi od p(0) i p(1), a verovatnoća greške se dobija iz

P erfci i

e =−+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12 2

1 0

0 1( )σ σ ................2.3.8

strana 20

3. Osnovni principi konstrukcije predpojačavača Predpojačivači se priključuju na kolo fotodiode sa zadatkom da izvrše pojačanje signala vrlo

malih nivoa. Postoje dva osnovna pristupa u konstrukciji predpojačavača, a to su

a) predpojačavači sa velikom ulaznom impedansom

b) predpojačivač sa transimpedansom

Ako se prepojačavač sastoji iz više stepeni, prvi je dominantan kao izvor degradacije prijemnika u pogledu šuma.

3.1 Prepojačivači sa FET trazistorom na ulazu

Tipična šema prema kojoj se ovo kolo izgrađuje je prikazana na slici 3.1.1.1

Slika 3.1.1.1

Upp - napon predpolarizacije

CS,RS - elementi za polarizaciju gejta FET-a

RL - radna otpornost FD

FD - fotodioda

A - glavni pojačavač

K - korektor (ekvalizator)

Osnovna karakteristika mu je belika ulazna otpornost reda MΩ tako da se može zanemariti prema radnoj otpornosti fotodiode RL.

U ovom kolu osnovni šum potiče od termičkog šuma provodnosti kanala čija spektralna gustina u zavisnosti od transkonduktanse gm iznosi

strana 21

SkTgE

m=

23

4 ...............3.1.1.1

Zbog parazitnih kapacitivnosti ovo kolo pokazuje osobine integratora pa se često pre glavnog pojačavača postavlja diferencijator da bi se smanjili šumovi, a to ima za posledicu mali dinamički opseg. FET tranzistori na bazi silicijuma mogu da rade do tridesetak Mhz, za razliku od FET - ova na bazi GaAs, pogotovo ako su integrisani sa PIN diodama (PINFET) koji mogu da rade i na znatno višim frekvencijama jer su im prilično smanjene parazitne kapacitivnosti.

3.2 Predpojačavač sa bipolarnim tranzistorom na ulazu

Tipično kolo sa bipolarnim ulaznim tranzistorom prikazano je na slici 3.1.2.1

Slika 3.1.2.1

Upp - napon predpolarizacije FD

R1,R2,CS - elementi za predpolarizaciju baze tranzistora

RL - radna otpornost FD

FD - fotodioda

A - glavni pojačavač

K - korektor (ekvalizator)

Ulazna otpornost ovakvog predpojačavača je velika i može se naći iz izraza

RkTqIin

B= .................3.1.2.1

gde je IB strija baze tranzistora. Ovde su znemarne otpornosti R1 i R2 jer se one tako biraju da im se efekat može zanemariti.

strana 22

Za ovakvo kolo kvantni šum u kolu baze tranzistora čija spektralna gustina kao naponskog izvora iznosi

SkTgE

m=

2 ...............3.1.2.2

Ovde je gm transkonduktansa i ona se može izraziti preko sačma šuma struje kolektora kao

gqIkT Rm

c

in= =

β..................3.1.2.3

gde je β strujno pojačanje tranzistora.

Za predpojačavače sa bipolarnim tranzistorom takođe važi da imaju mali dinamički opseg, odnosno mali je linearni deo prenosne karakteristike.

3.2 Transimpedanski predpojačavač

Principska šema ovog predpojačavača data je na slici 3.2.1

Slika 3.2.1

Vpp - Napon polarizacije FD

FD - fotodioda

zf - transimpedanca

Af - predpojačavač (sa BT ili FET tranzistorom)

Ovi pojačavači su najčešće u upotrebi pri konstrukciji optičkih prijemnika jer otklanjaju bitne nedostatke predpojačavača sa visokom ulaznom otpornošću kao što su zahtev za širokim opsegom ekvalizacije (korekcije) i mali dinamički opseg.

strana 23

Rade u bitno izmenjenom režimu zbog kola negativne povratne sprege. Ako se predpostavi da je pojačanje dovoljno veliko tada izlazni napon iznosi

U w Z w I wiz f d( ) ( ) ( )= ............... 3.2.1

Dalje, ako je Zf čist otpor, vidi se da spektar izlaznog napona potpuno odgovara spektru pobudne struje što znači da korektor nije potreban jer njegovu ulogu igra sam transimpendansni pojačavač.

Prednosti koje ovakav predpojačavač pruža su širok propusni opseg, nema potrebe za ekvalizacijom (mali je integracioni efekat), ne “skuplja” šumove zbog male izlazne otpornosti. Mali nedostatak je veći termički šum koji snižava osetljivost za nekoliko decibela.