Sadržaj Milerova teorema - leda.elfak.ni.ac.rsleda.elfak.ni.ac.rs/education/elektronika... · 1968 E. Cherry & D. Hooper dali matemati čku vezu izme đu poja čanja i ulazne kapacitivnosti

11

Sadržaj

1. Milerova teorema2. Operacioni pojačavači

a. Idealni operacioni pojačavačib. Polarizacijac. Modeli d. Primenae. Realni operacioni pojačavači

13. novembar 2014. Operacioni pojačavači2

Milerova teorema

13. novembar 2014. Operacioni pojačavači

3

1919 J.M. Miller primetio da ulazna kapacitivnost triode zavisi od otpornosti opterećenja, odnosno pojačanja!

1968 E. Cherry & D. Hooper dali matematičku vezu između pojačanja i ulazne kapacitivnosti

Definisali pojam Miller-ova kapacitivnost.

Veće pojačanje => veća ulazna kapacitivnost

Veća ulazna kapacitivnost => manja granična frekvencija

dalje


ViVu Rp

A

4

1972 generalizacija problema:

Millerova teorema:

Izlaz pojačavača

Ulaz pojačavača

Vu Rp

A

ZVu

Vi=AVu

Vi=AVu

C


Millerova teorema:

Vu Rp

A

Z

I IAI

I 1

Vu

AZ1 Z2 Vi=AVu

IA

Dokaz:

1

1 Z

VI u=

22

2 Z

VA

Z

VI ui ⋅−=−=

I 2Rp


1/112 −⋅=

−=

AZA

AZ

Z

Z

VA

Z

VAV

Z

VVI uuuiu )1( −=⋅−=−=

Vi=AVu

A

ZZ

−=

11


Millerova teorema:

VuRp

AZ1 Z2

I 2I 1

Vi=AVu

IA

Dokaz nastavak:

1

1 Z

VI u=

Z

VAI

Z

VAI uu ⋅−==⋅−= )1(2

2

Z

VAI u)1( −==

A

ZZ

−=

11

1/112 −⋅=

−=

A

ZA

A

ZZ

Millerova teorema

Domaći 4.1

Zadatak:

Odrediti elemente ekvivalentnog Millerovog kola za pojačavač sa

slike (upotrebljen je idealni pojačavač sa A=-100) i ukupno

naponsko pojačanje (A(s)=Vi(s)/Vg(s)) u slučaju kada je Z:

a) R=1M

b) C=1pFc) Šta će biti ako je Z=1/sC i

A>1?A=1?1>A>0?

VgVi=-100VuVu

Rg=10k


A

ZZ

−=

11

1/112 −⋅=

−=

A

ZA

A

ZZ


Millerova teorema:

Odrediti vrednost ukupnog pojačanja (Vi/Vg) u slučaju kada je pojačanje pojačavača A=

a) -10 V/V

b) -100 V/V

c) -1000 V/V

d) -10000 V/V

Vu

Vi

Vg=1VA

Dalje

Tema za razmišljanje:Šta biva kada je |A|>>1?Šta ako je R=100k?

|Au|

1

10

100

-1.E+00 -1.E+01 -1.E+02 -1.E+03 -1.E+04 -1.E+05 -1.E+06

R=10k

R=100k


Millerova teorema:

Zašto je važna milerova kapacitivnost sa stanovišta savremenih (CMOS) elektronskih kola?

Vu

Vi

Vg=1VA

10

Operacioni pojačavači

Zašto “Operacioni”?


Idealni

Da se podsetimo

Naponski

Iu I i

A ∞→

[V/V] A

0 =

=

uIuV

iV

∞=uR 0=iR

Vu Vi

AVu

Vo

Operacioni pojačavač po karakteristikama li či na

idelani naponski pojačavač

!!!


Idealni

Idealni operacioni pojačavač

∞→i

V

0 =u

V

A ⇒∞→=u

Vi

Vbeskonačno pojačanje !!!

Naponski

Iu I i

A

0 [V/V] A

0 ul

∞→

=∞=

==

i

u

IR

R

Vi

V

uVu Vi

AVu

Ri

Ru Vo



Prenosna karakteristika

Vi [V]

Vu [mV]

Vi [V]

Vu [mV]



Prenosna karakteristika

V [V]i

V [mV]u



Idealna prenosna karakteristika

Vi [V]

Vu [mV] t[ms]


IdealniNaponski

Pojačavači koji imaju beskonačnu ulaznu otpornost:

A0 =u

I ⇒∞→

uR

Iu I i


A

0 [V/V] A

0

∞→

=∞=

==

i

u

IR

R

uV

iV

uVu Vi

Ne slabe ulazni signal: Ru/(Rg+Ru)=1

Ne opterećuju prethodni stepen!!!

Vu

AVu

Ri

Ru Vo

da se podsetimo


Idealni

Naponski Pojačavači koji imaju izlaznu otpornost jednaku nuli

o

VRR

Ri

Vpi

p

+= 0 ⇒=

iR

Rp

Iu I i


A

0 [V/V] A

0

∞→

=∞=

==

i

u

IR

R

uV

iV

u

)( pfi

V R≠

Vu Vi

AVu

VoVu

AVu

Ri

Ru Vo

0

uVo

V A==

da se podsetimo



Izlaz

Dva ulazna priklju čkaneinvertujući “+”

i invertuju ći “–” ulazJedan izlazni priklju čak

Simbol operacionog pojačavača

Neinvertujući ulaz

Invertuju ći ulaz

Šta operacioni pojačavač pojačava kad ima dva ulaza?



Invertuju ći ulaz

Neinvertujući ulaz

Izlaz

Treba da pojačavarazliku signalana

neinvertujućem “+” i

invertuju ćem “–” ulazu

Zajednička masa

12 vvdvuv −==

∞→−

=12 vv

ivA 0

12=− vv

12vv =



Ne želimo da pojačavasrednju vrednost signalana neinvertujućem (+) i invertujućem (-) ulazu

)12

(2

1vv

ucmv +=

Značenje:

Ukoliko se signali v2 i v1 sastoje od DC komponente i fazno obrnutih prostoperiodi čnih signala:

)sin(2

);sin(1 00 tVVvtVVv uu ωω +=−=

)sin(212

tVvvud

v u ω=−= ;)12

(2

10Vvv

ucmv =+=

Želimo samo pojačanje razlike signala na izlazu (šumovi)



,0)

12(

21

=+

===vv

iv

ucmv

iv

cmAA

Značenje:

Na izlazu ne želimo DC komponentu niti signale koji su isti na oba ulaza

∞⇒−

===12 vv

iv

dviv

dAA

a razlika signala mora maksimalno da se pojača

Faktor potiskivanja srednje vrednosti signala CMRR

012

=− vv 12vv =

∞⇒=cmAdA

CMRR



izlazna otpornost jednaka nuli

beskonačno pojačanje razlike

beskonačna ulazna otpornost

Idealne operacione pojačavače karakterišu

0 [V/V]

0

0=

=∞=

==

cm

i

u

I

A

R

R

uV

iV

A

u

Vu=0 →V+=V-

I u=0

Vi≠ f(Rp)

ne pojačava srednju vrednost Acm=0

beskonačni propusni opseg idealne f k-ke



Polarizacija OpAmp-a

V [V]i

V [mV]u



Polarizacija OpAmp-a



Kako koristiti pojačavač

sa beskonačnim pojačanjem?

Nikadase ne koristi bez drugih elemenata u kolu –preko kojih se ostvaruje povratna sprega

(biće više reči u nastavku kursa)

Zato se pojačanje OpAmpa (o kome smo do sada govorili) naziva

pojačanje u otvorenoj petlji(Open loop gain)

Primena OpAmp-a



Prieri primene OpAmp-a

Nikadase ne koristi bez drugih elemenata u kolu – preko kojih se ostvaruje povratna sprega–

Mora da postoji bar još jedan element kola između izlaza i ulaza operacionog pojačavača.

Sprega između izlaza i ulaza čini „zatvorenu petlju“ –closed loop



Invertorski pojačavač* –

izlazni signal suprotne faze od ulaznog

i1

i2

iu=0

v2=0V

v2 –v1=0V

v1 =v2=0V

vg vi

Koliko je pojačanje u zatvorenoj petlji A=vi /vg ?



Invertorski pojačavač

iu=i1+i2=0A => i1=-i2

i1=1

1R

vg

v −

i2=2

1R

vi

v −1

Rg

v=

2R

iv

=12

R

gv

Ri

v−= g

vR

R

iv

1

2−=0V

0V

i1

i2

iu=0

v2=0V

v2 –v1=0V

v1 =v2=0V

vg vi

1

2R

R

gv

iv

A −==



Invertorski poja čavač

osobine

Naponsko pojačanje

Ulazna otpornost

Izlazna otpornost

Rul Riz




ig=i1

i2

iu=0

v2 –v1=0V

ig=i1

i1=1

1R

vg

v −

1R

gv

= 1)(R

gig

v

zpuR ==

0V

vg vi

Ru(zp)

?)(

==g

i

gv

zpuR

Ako se zahteva veliko Ru(zp), R1 mora da bude veliko!

veliko pojačanje (Ad=R2/R1) zahteva još veće R2

– Ru(zp)




ig=i1

i2

iu=0

v2 –v1=0Vvg vi

Ω=== 02)()( iRRopiRzpiR

Rip

i i

Kod realnih OpAmp, izlazana otpornost pojačavača (u zatvorenoj petlji) manje od sopstvene izlazne otpornosti OpAmpa (u otvorenoj petlji)!!!

– Ri(zp)

32


Neinvertorski pojačavač –

izlazni signal je u fazi sa ulaznim

Koliko je pojačanje u zatvorenoj petlji A=vi /vg?

i1

i2

iu=0

v2=vg

v2 –v1=0V

v1 =vg

vgvi




Neinvertorski pojačavač

iu=i1+i2=0A => i1=-i2

i1=1

R

gv−0

i2=2

R

gv

iv −

1R

gv

−=

12R

gv

R

gv

iv

=−

gv

R

R

iv

+=

1

21

i1

i2

iu=0

v2=vg

v2 –v1=0V

v1 =vg

vgvi

+==

1

2R

R

gv

iv

A 1



Neinvertorski pojačavač

ig iu=0ig=iu=0vi

Ru(zp)

Ru(zp)

∞→=g

ig

v

zpuR

)(

Ri(zp)

Ω=== 02)()( iRRopiRzpiR

Ri(zp)



Neinvertujući pojačavač sa jediničnim pojačanjem -

bafer (buffer)

gV

gV

R

R

oV

R

R

=

+=

∞→=

1

2 01

21

vgvi

vuvi1 x vu

;)(

∞→zpu

R

iu=0

iu=0

0)(

=zpi

R



Kolo za sabiranje– Weighted Summer

vg1

vi

v2=0V

vg2

vgn

i1

i2

in

i

i

iu=0

n

n

gnn

gg

iiii

R

vi

R

vi

R

vi

+++=

===

...

... ; ;

21

2

22

1

11

fi iRv −= 0

+++−= gn

n

fg

fg

fi v

R

Rv

R

Rv

R

Rv ... 2

21

1



Domaći 4.2

Odrediti napon na izlazu pojačavača sa slike

44

33

22

11

gc

gc

gb

cag

b

cai v

R

Rv

R

Rv

R

R

R

Rv

R

R

R

Rv −−+=

vi

vg1

vg2 vg3

vg4



Diferencijalni balansnipojačavač

Kolo za „oduzimanje“ – pojačavač razlike signala

vg1

vg2vi

R1

R2

121

2

−=

gv

gv

R

R

iv



Diferencijalni balansnipojačavač – pojačavač razlike

vg1

vg2 vi

Ideja: Izjednačiti poja čanja invertorskog i neinvertorskog i napraviti pojačavač razlike signala

=

vg1

vi1

vi2

vg2

+

Metod superpozicije:Posebno posmatramo uticaj svakog signala dok je drugi anuliran (=0V); rezultate saberemo



Diferencijalni balansni pojačavačIdeja: Izjednačiti poja čanja invertorskog i neinvertorskog ulaza i napraviti

pojačavač razlike signala

vg1

vi1vi2

vg2

1

1

21 g

vR

R

iv −=

v2=0Vv2 –v1=0V

v2=?

v2 –v1=0V

v1 =v2

2

43

42 g

vRR

Rv

+=

2

43

4

1

212

)1

21(2 g

vRR

R

R

Rv

R

R

iv

+

+=+=

243

21

1

4 2

43

4

1

212 g

vRR

RR

R

R

gv

RR

R

R

RR

iv

+

+⋅=

+⋅

+=



Diferencijalni balansni pojačavač

vg1vi1

vi2vg2

243

21

1

41

1

2g

vRR

RR

R

R

gv

R

R

iv

+

+⋅+−=

vg1

vg2 vi

21 i

vi

vi

v +=

−=

121

2g

vg

vR

R

iv

221

21

1

21

1

2 24

i 13

zag

vRR

RR

R

R

gv

R

R

ivRRRR

+

+⋅+−===



Diferencijalni balansni pojačavač –

Diferencijalno pojačanje u zatvorenoj petlji

1

2

12R

R

gv

gv

vd

A i =−

=vg1

vg2 viR2

R2

R1

R1

43

R2

R2

R1

R1vUcm

v2

v1

i2i1

vi



Diferencijalni balansni pojačavač –Acm u zatvorenoj petlji

21

22

21

21

21

Ucm

Ucm

vRR

Rv

vv

vRR

Rv

+=

=+

=

22121

2

11

1

1iv

RRv

RR

Rv

Ri UcmUcmUcm −=

+=

+−=

2221

2221 Riv

RR

RRivv Ucmi +

+=+=



Diferencijalni balansni pojačavač –Acm u zatvorenoj petlji

0==Ucm

icm v

vA

2121

2 RivRR

Rv Ucmi −

+=

021

2

21

2 =+

−+

= UcmUcmi vRR

Rv

RR

Rv

R2

R2

R1

R1vUcm v2

v1

i2i1

vi

01

22121

2 =⋅

+−

+= Rv

RRv

RR

Rv UcmUcmi



Diferencijalni balansni pojačavač - Ru

vud

Rup

vi

R2

R2

R1

R1

1i

vR ud

up ≡

i1

i1 Virtuelni kratak spoj

2 11

Ri

vR ud

up ==Ako se zahteva veliko Ru, R1 mora da bude veliko!

veliko pojačanje (Ad=R2/R1) zahteva još veće R2

( ) 202 11111111 iRiRiRvviRvud ⋅⋅=+⋅⋅=+−+= −+




Postoje primene u kojima se zahteva veliko Ru

pojačavača kako se signal ne bi oslabio.

Jedna od njih je merenje: V-metar mora da ima jako veliku ulaznu otpornost da ne bi uticao na napon koji se meri.

Kako napraviti diferencijalni poja čavač sa većom ulaznom otpornošću?





R2

R1

R2

R1

vg2

vg1

Instrumentacioni pojačavač48





R2

R1

vg2

vg1

R2

R1



Instrumentacioni pojačavač

+=

−=

1

2

3

4

12

1 R

R

R

R

vv

vA

gg

id

vi

vg1

vg2

Neinvertujući pojačavači kao baferi sa

A=(1+R2/R1).

Povećano pojačanje i ulazna otpornost.

-A1 i A2 moraju da budu savršeno upareni

-Da bi se menjalo Ad, treba menjati po dva otpornika Rn istovremeno




vi

vg1

vg2

vi

vg1

vg2

Integrisano kolo




Integrisano kolo

NIJE isto što i operacioni!

Iako ima diferencijalni ulaz-IN i +IN,ima beskonačnu ulaznu Rizlazna otpornost mala, NEMA BESKONAČNO POJAČANJE RAZLIKE SIGNALAVOUT – VREF = G(VIN+ – VIN–)

G = (49.4kΩ /RG) + 1



)(1

)(2

)(

)(

sZ

sZ

sg

V

si

VA −==

ViVg

Invertujući pojačavač sa impedansama –

A(s) u zatvorenoj petlji (ZP)



vi

+ vC -

vg

i1

i2

iu=0

vivg

gvsCCj

gv

Zgv

iC

⋅==−

=ωωωω/1

)0(1

Ri

v

gsCv −= gvCRsiv ⋅⋅⋅−=

R

v

R

vi ii −=

−=

02

21 ii =

o

sCRs

gviv

sAωωωω

−=⋅⋅−==)(

Kolo za diferenciranje– f karakteristika

diferenciranje?



Kolo za diferenciranje – f karakteristika

20log(Vi/Vg) o

ssRC

gv

iv

sAω

−=−==)(

ω ω ω ω (log skala)

Ponaša se kao VF filtar sa graničnom frekvencijom u beskonačnosti

RCsA ω=)(

2/0

)(Re

)(Im

πω

ϕ

−=

−=

=

=

RCarctg

sA

sAarctg



Kolo za diferenciranje

vi

+ vC -

vg

i1

i2

iu=0

dt

tdvCti

dt

tvdC

dt

tdvCti

g

gC

)()(

)0)(()()(

1

1

=

−==

R

tiv

dt

tgdvC

)()(−=

dt

tgdvRCtiv

)()( −=

R

tvti i )(0)(2

−=

)()( 21 titi =

- vi(t)

diferenciranje?



Kolo za diferenciranje - vi(t)

vi

+ vC -

vg

i1

i2

iu=0dt

gdv

RCi

v −=

vu(t)

-10V

1ms 2ms tKako će izgledati talasni oblik napona na izlazu kola za diferenciranje sa R=10k i C=10nF ako se pobudi trougaonim talasnim impulsima sa slike: vg(t)

1V

-1V

1ms

t

2ms



Kolo za integraljenje

R

gv

R

gv

i =−

=)0(

1

isCv

R

gv

−=g

vRCsi

v1−=

iii

C

i sCvCvjCj

v

Z

vi −=−=−=−= ω

ω/1

02

21 ii =

ssRCg

vi

vsA oω−=−== 1)(

vi

+ vC -

vg

i1

i2

iu=0

– f karakteristika

integraljenje?



Kolo za integraljenje – f karakteristika

20log(Vi/Vg)

ω ω ω ω (log skala)

Ponaša se kao NF filtar sa graničnom frekvencijom u nuli

RCsA

ω1

)( =

ωω

ωωω ooo jjssRC

sA =−=−=−= 1)(

2/0

/1

)(Re

)(Im

πω

ϕ

=

=

=

=

RCarctg

sA

sAarctg



vi

+ vC -

vg

i1

i2

iu=0

dt

tidvCti

dt

tivdC

dt

tCdvCti

)()(

))(0()()(

2

2

−=

−==

Kolo za integraljenje

R

tgv

R

tgvti

)(0)()(1 =

−=

dt

tidvC

R

tgv )()(−= ∫−= dttgv

RCtiv )(

1)(

)()( 21 titi =

- vi(t)



vi

+ vC -

vg

Kolo za integraljenje - vi(t)

∫−= dtu

vRCi

v1

R=10k

C=10nF

−⋅−==−= ∫∫∫∫

=

=

==

−

msT

msT

msTmsT

dtdtdttvdttvRCi

v2

012/

12/

0

42

0

g84g V110)(1010

1)(

1

vg(t)

1V

-1V

1ms

t

2ms

vi(t)

-10V

1ms 2ms t



vi

+ vC -

vg

Kolo za integraljenje - vi(t)

∫−= dtg

vRCi

v1

vivg

vi

vi

6262

Zašto “Operacioni”?

Mogu da se koriste za različite računske OPERACIJE•Sabiranje,•Oduzimanje •Diferenciranje•Integraljenje ali iLogaritmovanje,

AntilogaritmovanjeMnoženjeDeljenje


6313. novembar 2014. Uvod

http://leda.elfak.ni.ac.rs/63

Šta smo naučili?

• Karakteristike idealnog operacionog pojačavača.

• Objasniti značenje beskonačnog naponskog pojačanja, beskonačne ulazne otpornosti i nulte izlazne otpornosti kod idealnog operacionog pojačavača

• Operacioni pojačavač kao invertorski pojačavač (električna šema i izraz za pojačanje)

• Operacioni pojačavač kao neinvertorski pojačavač (električna šema i izraz za pojačanje)

Na web adresi http://leda.elfak .ni.ac.rs

> EDUCATION > ELEKTRONIKA

slajdovi u pdf formatu64

13. novembar 2014. Uvod http://leda.elfak.ni.ac.rs/

64

Ispitna pitanja?

1. Šta je faktor potiskivanja srednje vrednosti signala i koje su vrednosti kod idealnog i realnog OpAmpa?

2. Kako se koriste pojačavači sa beskonačnim naponskim pojačanjem?

3. Jedinični baferski pojačavač napona

4. Kolo za sabiranje.

5. Diferencijalni pojačavač

6. Instrumentacioni pojačavač

7. Kolo za diferenciranje.

8. Kolo za integraljenje.



Sledećeg časa

Modeli poluprovodničkih komponenata

(Osnovni jednostepeni pojačavači sa BJT)

6618. oktobar2011 Uvod


Pojačanje signala

Zadatak: Odrediti prenosnu funkciju kola sa slike.

)/(1

1

)/(1

/

1)(

)()(

)(1

)(/1

)()(

/1/1

js ss

s

RCj

RCj

jV

jVjT

jVRCj

RCjjV

RCj

RjV

RZ

RjV

oRC

o

o

u

i

uuuC

i

o

ωωω

ωω

ωωω

ωω

ωωω

ωω

τωω +

=+

=+

==

+=

+=

+=

===

VizVu

Rešenje 3.1



Pojačanje signala


VizVu

)/(1

/)(

/1/1

js

RCo

o

o

s

sjT

===+

=τω

ωωωω

Rešenje 3.1



Pojačanje signala


Rešenje 3.2


http://leda.elfak.ni.ac.rs/

Pojačanje signalaOdrediti prenosnu funkciju (ukupno naponsko pojačanje) kola sa slike.

Ako je Rs=20k, Ri=100k, Ci=60pF, µµµµ=144 V/V, Ro=200ΩΩΩΩ i RL=1k

a) Odrediti pojačanje pri ωωωω=0rad/s (jednosmerno) (A=100 V/V)

b) Graničnu frekvenciju (3dB) (ωωωωo=106 rad/s, fo=159,2kHz)

c) Odrediti frekvenciju pri kojoj A padne na 0dB (108 rad/s)

Rešenje 3.3

( )( )

)()||(1

1)()(

)()||(1

1)(

1

1)()(

sVRRsCRR

R

RR

RsV

RR

RsV

sVRRsCRR

RsV

RRsCR

RsCRsV

RZ

ZsV

ssiisi

i

Lo

Li

Lo

Lo

ssiisi

is

siii

iiis

si

ii

+++=

+=

++=

+++=

+=

µµ

VVk

k

k

k

RR

R

RR

RA

sRRC

sA

RRsCA

sV

sVsA

RRsCRR

R

RR

R

sV

sVsA

si

s

Lo

Lo

sii

osii

os

o

siisi

i

Lo

L

s

o

/100120

100

2.1

1144

10)||(

;1

1

)||(1

1

)(

)()(

)||(1

1

)(

)()(

6

==++

=

==

+=

+==

+++==

−

µ

τ

τ

µ ( )

( )

( )

sradsradAA

AAjA

srad

AAjA

AjA

dBoo

oo

dB

dBo

dB

odB

o

/10/10100

1 1

1)(

/101

1

21)(

1

1)(

8631

2

22

12

1

1

63

32

3

3

2

=⋅=⋅=≈

−=⇒=⋅+

=

==

=⇒=⋅+

=

+=

ωτ

ω

τω

τωω

τω

τω

τωω

ωτω

Documents

Sadržaj Milerova teorema - leda.elfak.ni.ac.rsleda.elfak.ni.ac.rs/education/elektronika... · 1968 E. Cherry & D. Hooper dali matemati čku vezu izme đu poja čanja i ulazne kapacitivnosti