Prijenos topline

Seminar

Stacionarna kondukcija kroz jednoslojni zid

𝑞 =𝑄

𝐴= −𝜆

𝑑𝑇

𝑑𝑥 𝑞 = 𝜆

𝑇1 − 𝑇2𝑙

Stacionarna kondukcija kroz višeslojni zid

𝑞 = 𝐾 ∙ ∆𝑇 𝐾 =1

𝑅𝑖𝑛𝑖=1

𝑅𝑖 =𝑙𝑖𝜆𝑖

𝐾 =1

𝑙𝑖𝜆𝑖

𝑛𝑖=1

U stacionarnim uvjetima fluks topline je konstantan

𝑞𝑢𝑘 = 𝑞𝑙𝑜𝑘 ∆𝑇𝑢𝑘𝑅𝑢𝑘

=∆𝑇𝑙𝑜𝑘𝑅𝑙𝑜𝑘

Općenito

Kinetička jednadžba za toplinu

Bilančna jednadžba za toplinu

𝑄 = 𝐾 ∙ 𝐴 ∙ ∆𝑇𝐿𝑀

𝑄 = 𝑚 ∙ 𝑐𝑝 ∙ ∆T

𝑅𝑘𝑜𝑛𝑑 =𝑙

𝜆 𝑅𝑘𝑜𝑛𝑣 =

1

𝛼

Odredite količinu prenesene topline po jedinici površine i jedinici vremena kroz ploču od porozne opeke debljine 2 cm. Temperature na površinama ploče održavaju se na stalnoj vrijednosti od 80 i 15 °C. Koeficijent toplinske vodljivosti materijala iznosi λ=0.174 Wm-1K-1.

Zadatak 1 T

x

T1

T2

l

𝑇1 = 80 °𝐶 𝑇2 = 15 °𝐶 𝑙 = 0,02 𝑚 𝜆 = 0,174 𝑊𝑚−1𝐾−1

𝑞 = 𝜆𝑇1 − 𝑇2

𝑙

Mramorna ploča debljine 5 cm i koeficijenta toplinske vodljivosti λ =3.489 Wm-1K-1 izložena je stalnim temperaturama od 20 i 100 °C. Izračunajte količinu prenesene topline u pozitivnom smjeru x-osi po jediničnoj površini i vremenu.

Zadatak 2 T

x

T1

T2

l

𝑇1 = 100 °𝐶 𝑇2 = 20 °𝐶 𝑙 = 0,05 𝑚 𝜆 = 3,489 𝑊𝑚−1𝐾−1

𝑞 = 𝜆𝑇1 − 𝑇2

𝑙

Stijenke industrijske peći načinjene su od glinene cigle debljine 15 cm i koeficijenta toplinske vodljivosti λ=1,128Wm-1K-1. Stijenke su prekrivene slojem izolacije debljine 3 cm koeficijenta toplinske vodljivosti λ =0.055 Wm-1K-1. Najviša unutarnja temperatura peći je 1000°C, a vanjska 40°C. Izračunaj količinu prenesene topline po jediničnoj površini. Ako je maksimalno dopuštena količina prenesene topline 1200 Wm-2, kolika mora biti debljina sloja izolacije?

Zadatak 3

T

x

T1

T2

l1

𝑇1 = 1000 °𝐶 𝑇3 = 40 °𝐶 𝑙1 = 0,15 𝑚 𝜆1 = 1,128 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝑙2 = 0,03 𝑚 𝜆2 = 0,055 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝑞 =? 𝑞𝑚𝑎𝑥 = 1200𝑊𝑚−2 𝑙2 =? T3

l2

𝑞 = 𝐾 ∙ ∆𝑇

𝐾 =1

𝑙𝑖𝜆𝑖

𝑛𝑖=1

Stijenka peći sastoji se od tri sloja različitih materijala. Prvi sloj je debljine 18 cm (λ1 = 10,1 Wm-1K-1), drugi 5 cm (λ2 = 0,98 Wm-1K-1), a treći 15 cm (λ3 = 0,12 Wm-1K-1). Temperatura unutarnje strane peći je 1300 K, a vanjske 343 K. Odredite temperature na granicama slojeva za slučaj stacionarnog prijenosa topline.

Zadatak 4

l3 T

x

T1

T2

l1

T3

l2

T4

𝑇1 = 1300 𝐾 𝑇4 = 343 𝐾 𝑙1 = 0,18 𝑚 𝜆1 = 10,1 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝑙2 = 0,05 𝑚 𝜆2 = 0,98 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝑙3 = 0,15 𝑚 𝜆3 = 0,12 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝑇2, 𝑇3 =?

𝑞𝑢𝑘 = 𝑞𝑙𝑜𝑘

∆𝑇𝑢𝑘𝑅𝑢𝑘

=∆𝑇𝑙𝑜𝑘𝑅𝑙𝑜𝑘

Ravni zid peći se sastoji od sloja vatrostalne opeke debljine 10 cm koeficijenta toplinske vodljivosti λ=0.140 Wm-1K-1 i sloja obične opeke debljine 25 cm čiji je koeficijent toplinske vodljivosti λ =1.38 Wm-1K-1. Temperatura vatrostalne opeke na unutarnjoj strani peći iznosi 1100 K, a vanjska temperatura obične opeke je 348 K. Potrebno je odrediti gubitak topline kroz zid po jediničnoj površini peći i temperaturu na granici između dvije opeke. Ako se na sloju opeke izvede još i sloj izolacijske termožbuke koeficijenta toplinske vodljivosti λ =0.065 Wm-1K-1, kolika mora biti njegova debljina da se gubici topline smanje za 30%?

Zadatak 5 𝑇𝑢 = 1100 𝐾 𝑇𝑣 = 348 𝐾 𝑙1 = 0,10 𝑚 𝜆1 = 0,140 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝑙2 = 0,25 𝑚 𝜆2 = 1,36 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝜆3 = 0,065 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝑞 =? 𝑇2 =? 𝑞′ = 0,7 ∙ 𝑞 𝑙3 =?

𝑞𝑢𝑘 = 𝑞𝑙𝑜𝑘

∆𝑇𝑢𝑘𝑅𝑢𝑘

=∆𝑇𝑙𝑜𝑘𝑅𝑙𝑜𝑘

x

T

Tu

T2

l1

Tv

l2

Stijenka peći sastoji se od dva sloja različitog materijala. Prvi sloj je debljine 30 cm ( λ1 = 10,3 Wm-1K-1), a drugi 13 cm (λ2 = 8,35 Wm-1K-1). Površina peći iznosi 15 m2. Temperatura unutarnje strane peći je 1500 K, a na granici dva materijala 1050 K. Temperatura na vanjskoj strani peći ne smije biti veća od 350 K. Je li potrebno dodatno izolirati peć da bi se ostvarili traženi uvjeti?

Zadatak 6 𝑇𝑢 = 1500 𝐾 𝑇2 = 1050 𝐾 𝑙1 = 0,30 𝑚 𝜆1 = 10,3𝑊𝑚−1𝐾−1 𝑙2 = 0,13 𝑚 𝜆2 = 8,35 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝐴 = 15𝑚2 𝑇𝑣 ≤ 350 𝐾 ∆𝑇𝑢𝑘=?

𝑞𝑢𝑘 = 𝑞𝑙𝑜𝑘

∆𝑇𝑢𝑘𝑅𝑢𝑘

=∆𝑇𝑙𝑜𝑘𝑅𝑙𝑜𝑘

x

T

Tu

T2

l1

Tv

l2

U kotlu debljine stijenke 6 mm (λs = 47,2 Wm-1K-1) nalazi se voda temperature 365 K. Koliko će se % topline uštedjeti ako se kotao izolira slojem izolacije debljine 25 mm (λiz = 0,057 Wm-1K-1). Vanjska površina neizoliranog kotla iznosi 18 m2, a izoliranog 19,5 m2. Koeficijent prijelaza topline na strani vode αv = 3440 Wm-2K-1. Koeficijent prijelaza topline na strani zraka αz = 7,8 Wm-2K-1. Temperatura okolišnog zraka iznosi 295 K.

Zadatak 7 𝑇𝑣 = 365 𝐾 𝑇𝑧 = 295 𝐾 𝑙𝑠 = 0,006 𝑚 𝜆𝑠 = 47,2𝑊𝑚−1𝐾−1 𝑙𝑖𝑧 = 0,025 𝑚 𝜆𝑖𝑧 = 0,057 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝐴 = 18𝑚2 𝐴𝑖𝑧 = 19,5𝑚2 𝛼𝑣 = 3440 𝑊𝑚−2𝐾−1 𝛼𝑧 = 7,8 𝑊𝑚−2𝐾−1 𝑄 =? 𝑄𝑖𝑧 =? 𝑄 = 𝐾 ∙ 𝐴 ∙ ∆𝑇

𝐾 =1

𝑅𝑖𝑛𝑖=1

=1

1𝛼𝑣

+𝑙𝑠𝜆𝑠

+1𝛼𝑧

(+𝑙𝑖𝑧𝜆𝑖𝑧

)

liz ls

voda zrak

Stijenka peći sastoji se od sloja vatrostalne opeke debljine 0,25 m ( λo = 0,8 Wm-1K-1) te sloja

izolacijskog materijala debljine 0,15 m (λiz = 0,17 Wm-1K-1). Temperatura unutarnje strane peći iznosi 1600 K a okoline 295 K. Koeficijent prijelaza topline na vanjskoj strani peći je α = 10 Wm-2K-1. Odredi temperaturu na granici slojeva te na vanjskoj strani peći za slučaj stacionarnog prijenosa topline.

Zadatak 8 𝑇𝑢 = 1600 𝐾 𝑇𝑜 = 295 𝐾 𝑙𝑠 = 0,25 𝑚 𝜆𝑠 = 0,8𝑚−1𝐾−1 𝑙𝑖𝑧 = 0,15 𝑚 𝜆𝑖𝑧 = 0,17 𝑊𝑚−1𝐾−1 𝛼𝑧 = 10 𝑊𝑚−2𝐾−1 𝑇2, 𝑇3 =?

To

zrak

T

x

Tu

T2

ls

T3

liz

𝑞𝑢𝑘 = 𝑞𝑙𝑜𝑘

∆𝑇𝑢𝑘𝑅𝑢𝑘

=∆𝑇𝑙𝑜𝑘𝑅𝑙𝑜𝑘

𝑅𝑢𝑘 =𝑙𝑠𝜆𝑠

+𝑙𝑖𝑧𝜆𝑖𝑧

+1

𝛼𝑧

Kroz unutarnju cijev izmjenjivača topline struji zrak čija je ulazna temperatura 295 K, a izlazna 353 K. Debljina aluminijske stjenke iznosi 1.5 mm, a njen je koeficijent toplinske vodljivosti λ=205 Wm-1K-1. S vanjske strane cijevi struji ogrjevna para temperature 373 K, a izlazi kao kondenzat na istoj temperaturi. Koeficijent prijelaza topline na strani zraka je α =579 Wm-2K-1, a na strani pare α =9400 Wm-2K-1. Srednji specifični toplinski kapacitet zraka je 1000 Jkg-1K-1. Kolika je potrebna površina izmjene topline ako je protok zraka 3500 kgh-1?

Zadatak 9 Tp

Tz

ls

αp

λs

αz

𝑇𝑧,1 = 295 𝐾 𝑇𝑧,2 = 353 𝐾 𝑇𝑝 = 373 𝐾 𝑙𝑠 = 0,0015 𝑚 𝜆𝑠 = 205𝑊𝑚−1𝐾−1 𝛼𝑧 = 579 𝑊𝑚−2𝐾−1 𝛼𝑝 = 9400 𝑊𝑚−2𝐾−1 𝑐𝑝,𝑧𝑟𝑎𝑘 = 1000 𝐽𝑘𝑔−1𝐾−1 𝑚𝑧 = 3500𝑘𝑔ℎ−1 𝐴 =?

𝑄 = 𝑚𝑧 ∙ 𝑐𝑝,𝑧 ∙ ∆𝑇𝑧

𝑄 = 𝐾 ∙ 𝐴 ∙ ∆𝑇𝐿𝑀

𝐾 =1

1𝛼𝑝

+𝑙𝑠𝜆𝑠

+1𝛼𝑧

T

x

Tp

Tz,2

Tz,1

∆T1

∆T2

∆𝑇𝐿𝑀 =∆𝑇1 − ∆𝑇2

ln∆𝑇1∆𝑇2

U uvjetima turbulentnog toka fluida u cijevi vrijedi izraz:

Nu = 0.023∙Re0,8∙Prn .

Ako kroz dugi zračni tunel promjera 0,3 m protječe 15000 m3h-1 zraka, odredi koeficijent prijelaza topline na strani

zraka ako se cijev izvana:

a) hladi (n = 0,3);

b) grije (n = 0,4).

Pretpostavimo da je srednja temperatura u oba slučaja ista: λ =0,029 Wm-1K-1,

η= 1,99∙10-5 N s m-2,

cp = 1,1∙103 Jkg-1K-1,

ρ = 1,05 kg m-3.

Zadatak 10

𝑑𝑐 = 0,3 𝑚 𝑉𝑧 = 15000𝑚3ℎ−1 𝛼𝑧 =?

𝑃𝑟 =𝜈

𝑎

𝜈 =𝜂

𝜌

𝑎 =𝜆

𝜌 ∙ 𝑐𝑝

𝑅𝑒 =𝑣𝑧 ∙ 𝑑𝑐 ∙ 𝜌

𝜂 𝑣𝑧 =

𝑉𝑧𝐴

𝑁𝑢 =𝛼𝑧 ∙ 𝑑𝑐

𝜆

𝑁𝑢 = 0,023 ∙ 𝑅𝑒0,8 ∙ 𝑃𝑟𝑛

U uvjetima turbulentnog toka fluida u cijevi vrijedi izraz:

Nu = 0.023∙Re0,8∙Prn .

Ako kroz dugu cijev promjera 5 cm protiče 25 m3h-1 vode

ρ =995 kg m-3,

cp =4,1763 kJkg-1K-1,

η =8,019∙10-4 Pa s,

λ =0,6125 Wm-1K-1.

Odredi koeficijent prijelaza topline na strani vode ako se cijev izvana hladi (n=0,3) odnosno grije (n=0,4)

Zadatak 11

𝑑𝑐 = 0,05 𝑚 𝑉𝑧 = 25𝑚3ℎ−1 𝛼𝑧 =?

𝑃𝑟 =𝜈

𝑎

𝜈 =𝜂

𝜌

𝑎 =𝜆

𝜌 ∙ 𝑐𝑝

𝑅𝑒 =𝑣𝑧 ∙ 𝑑𝑐 ∙ 𝜌

𝜂 𝑣𝑧 =

𝑉𝑧𝐴

𝑁𝑢 =𝛼𝑧 ∙ 𝑑𝑐

𝜆

𝑁𝑢 = 0,023 ∙ 𝑅𝑒0,8 ∙ 𝑃𝑟𝑛