PREHRAMBENO INŽENJERSTVO

NASTAVNI PREDMET:Verovatnoća i statistika za inženjere

SEMINARSKI RAD

PRIMENA PROGRAMSKOG JEZIKA R U STATISTIČKOJ

KONTROLI KVALITETA

Student: Zoltan KatonaBroj indeksa: 29/15-D

Maj, 2016

Sadržaj

1 Uvod 2

2 Statistička kontrola kvaliteta 32.1 Deskriptivna statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Statistička analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.1.1 Tačkaste ocene parametara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1.2 Intervalne ocene parametara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Testiranje statističkih hipoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Grafičko prikazivanje karakteristika uzorka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Statistička kontrola procesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Sposobnost procesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Kontrolne karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Kontrola prijema robe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Primena R u statističkoj kontroli procesa 123.1 Deskriptivna statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 Grafička deskriptivna statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2 Numerička deskriptivna statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Sposobnost procesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Kontrolne karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Kontrola prijema robe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Zaključci 32

Literatura 33

1

1 UvodOsnovni zadatak proizvođača je proizvodnja proizvoda zadatog kvaliteta koji zadovoljavaju

zahteve potrošača. Kompanije zbog toga moraju sprovoditi različite sisteme kontrolisanja da biosigurali da proizvodi ispunjavaju propisane zahteve.

Tradicionalni način razmišljanja u kontroli kvaliteta hrane vodi strategiji otkrivanja grešaka inedostataka gotovog proizvoda, u kojoj se gotov proizvod pregleda pri završetku procesa proizvodnjeu cilju razdvajanja zadovoljavajućih (u skladu sa specifikacijom) i nezadovoljavajućih (nije u skladusa specifikacijom) proizvoda. Na ovaj način nezadovoljavajući proizvodi se otkrivaju suviše kasnou proizvodnom procesu, te je ova tehnika kontrole kvaliteta neekonomična, troše se resursi uproizvodnju proizvoda nezadovoljavajućeg kvaliteta i ne obuhvata objašnjenja nastanka varijacija,niti unapređenja u cilju postizanja optimalnih ciljeva.

Savremeni pristup je strategija prevencije, odnosno predupređivanje proizvodnje proizvodanezadovoljavajućeg kvaliteta. Ova strategija je bazirana na poznavanju procesa, uzroka varijacija,načina smanjenja varijacija i postizanja konzistentnog, ciljanog učinka.

Glavni uzroci nastanka proizvoda nezadovoljavajućeg kvaliteta su poremećaji u proizvodnomprocesu. Merenjem i analizom poremećaja i unapređenjem proizvodnog procesa primenom mera kojesu rezultat zaključaka analize, broj neadekvatnih proizvoda se mogu svesti na minimum. Statističketehnike, uključujući i statističku kontrolu procesa, predsavljaju glavni alat kontrole kvaliteta iunapređenja procesa. Statistička kontrola procesa omogućava smanjenje poremećaja u procesu ipostizanje stabilnosti procesa. Smanjenje poremećaja procesa dovodi do smanjenja nezadovoljavaju-ćih proizvoda, smanjenja dorade proizvoda, smanjenja troškova, unapređenja kvaliteta procesa iproizvoda.

U ovom radu će se prikazati primena statističkih tehnika pomoću programskog jezika R ustatističkoj kontroli kvaliteta u proizvodnom procesu proizvodnje penastih štanglica.

2

2 Statistička kontrola kvalitetaStatistička kontrola kvaliteta predstavlja primenu statističkih metoda i tehnika. Obuhvata

analizu prethodno prikupljenih podataka proizvodnog procesa, prepoznavanje uzroka nastankaporemećaja i unapređenje proizvodnog procesa na bazi statističkih tj. numeričkih podataka ipreduzimanje određenih mera u cilju sprečavanja nastanka poremećaja primenjujući statističkemetode i tehnike statističke kontrole kvaliteta.

Koncept statističke kontrole kvaliteta razvijen je 1920-ih od strane Walter Shewhart-a, pred-stavljanjem kontrolnih karata. Tokom 1930-ih na osnovu Shewhartovih radova je razvijen metodstatističke kontrole prijema robe. Međutim sve do završetka II Svetskog rata značaj statističkogpristupa kontroli kvaliteta nije prepoznat od strane industrije. Krajem 1940-ih, usvojivši Shewhartovrad, W. Edwards Deming je uvideo da statističke tehnike, kao što su kontrolne karte mogu bitiuspešno primenjene u proizvodnoj industriji [1, 2]. Tokom 1950-ih i 1960-ih Deming, Juran, Ishikawai mnogi drugi su razvijali i konstantno unapređivali koncept statističke kontrole kvaliteta kojaje uspešno primenjivana u Japanskoj industriji. Od 1980-ih kao odgovor japanskoj konkurencijistatistička kontrola kvaliteta se naglo širi u Severnoj Americi najpre u auto industriji, a zatim i udrugim granama. Motorola 1987 godine predstavlja princip six-sigma koja se 1997 godine prihvata iu drugim industrijskim granama. Filozofija Six sigme je unapređenje proizvodnog procesa u ciljupostizanja stabilnosti procesa koji doprinosi smanjenju varijacija i rezultuje ponašanjem procesa kojemože da se predvidi. Unapređenja mogu biti postignuta identifikacijom kontrolnih karakteristikakoje mogu da se izmere, analiziraju i kontrolišu.

Statistička kontrola kvaliteta obuhvata skup statističkih alata i može se podeliti u tri kategorije:

1. Deskriptivna statistika koja se koristi za opisivanje karakteristike kvaliteta, aritmetičku sredinu,standardno odstupanje, opseg i raspodelu podataka,

2. Statistička kontrola procesa, koja obuhvata skup statističkih metoda i tehnika na osnovu kojese odlučuje da li proces ima za rezultat proizvode sa karakteristikama koje spadaju unutarzahtevanog opsege, tj. da li je proces pod kontrolom, i

3. Kontrola prijema robe, gde se na osnovu inspekcije slučajno izabranog uzorka donosi odluka oprihvatanju celine na osnovu rezultata

2.1 Deskriptivna statistika

Statistička kontrola kvaliteta industrijskih proizvoda primenjuje statističke kriterijume i metode[3]. Statistika je nauka analize podataka i izvođenja zaključaka, uzimajući u obzir varijacije, pomoćutehnika baziranih na analizi podataka uzorka iz populacije, korisnih za donošenje odluka vezanih zaproces [1]. Statistika se često posmatra kao primenjena teorija verovatnoće pri čemu procenjivanjeparametara odabrane raspodele neke slučajne veličine, na osnovu raspoloživih eksperimentalnihpodataka, predstavlja jedan od osnovnih zadataka statistike.

2.1.1 Statistička analiza

Zadatak statističke analize je da na osnovu podataka iz uzorka izvede neke zaključke o osnov-nom skupu. Faze statističke analize su: statističko posmatranje (plansko prikupljanje podataka),sređivanje podataka (tabelarno i grafičko prikazivanje), obrada i analiza rezultata (matematičkaobrada podataka i njihovo tumačenje) [3].

Osnovni zadaci statistike su da se definiše raspodela verovatnoće ili gustina raspodele posmatranekarakteristike u proizvodnom procesu, izračunaju tačkaste i intervalne ocene parametara raspodelei da na osnovu ovih podataka sa određenom pouzdanošću definišu kvantitativne karakteristikeprocesa.

U cilju opisa proizvodnog procesa, odnosno numeričkog izražavanja prisutnih varijacija u njemu sekoriste različite statističke tehnike. Deskriptivne statističke tehnike kao što su numeričko, tabelarnoi grafičko prikazivanje sumiranih podataka služe za jednostavno prikazivanje informacija dobijenih izuzoraka, dok tehnike statističkog zaključivanja imaju za cilj da se na osnovu podataka deskriptivne

3

statističke tehnike donesu zaključci o populaciji iz kojih su uzeti uzorci. Uopšteno termin statistikase korisisti kao kvantifikacija svojstva uzorka, dok je parametar karakteristika populacije.

Ukoliko su uzorci uzeti iz proizvodnog procesa reprezentativni uzorci, ne razlikuju se značajnood strukture osnovnog skupa, odnosno da su slučajni uzorci i da je šansa pojavljivanja njegovihelemenata u populaciji jednak i nezavisan od ostalih, tada se na osnovu statističkih obeležja uzorkamogu doneti zaključci o osnovnom skupu, u ovom slučaju o proizvodnom procesu tj. moguće jedefinisati parametre teorijske raspodele. Ocena parametra teorijske raspodele je funkcija uzorka, zakoju se uopšte koristi termin statistika ili uzorački parametar [3].

2.1.1.1 Tačkaste ocene parametara

Statistika koja ima konkretnu brojčanu vrednost naziva se tačkasta ocena za nepoznati parametarteorijske raspodele.

Tačkaste ocene u slučaju populacije sa normalnom raspodelom su uzoračka srednja vrednost iuzoračka disperzija.

Mere centralne tendencije

Mere centralne tendencije su mod, medijana i aritmetička sredina koje predstavljaju središnje,najčešće i prosečne vrednosti uzorka. U nekim naučnim disciplinama se kao mere centralne tendencijekoriste još geometrijska sredina i harmonijska sredina.

Za uzorak x1,x2,..., xn obima n aritmetička sredina je:

x = 1n

n∑i=1

xi (2.1)

Kao tačkasta ocena srednje vrednosti populacije uzima se aritmetička sredina uzorka, poštoona prema metodi maksimalne verovatnoće predstavlja najverodostojniju ocenu srednje vrednostipopulacije i generalno se usvaja kao uzoračka srednja vrednost, bez obzira na tip raspodele, odnosnoµx̄ = µ sa standardnim odstupanjem σx̄ = σ/

√n koja se još naziva i standardna greška statistike.

Pošto je uzoračka srednja vrednost slučajna veličina, ona ima neku svoju raspodelu koja nezavisi od zakona raspodele slučajne promenljive. U slučaju uzoraka obima n uzetih iz bilo kakveraspodele se srednjom vrednošću µx i standardnim odstupanjem σx, raspodela uzoračke srednjevrednosti teži normalnoj raspodeli N (µx, σx/

√n), kada obim uzorka n neograničeno raste [3].

Mere varijacije

Varijacija je rasipanje neke karakteristike oko srednje vrednosti, odnosno pokazatelj kako sevrednosti grupišu oko centralne, srednje vrednosti. Postoje različiti pokazatelji mere varijacija,kao što su rang (engl. range) ili interval varijacije, srednje apsolutno odstupanje, disperzija (engl.variance), standardno odstupanje (engl. standard deviation). Disperzija je najšire prihvaćenipokazatelj varijacije koja predstavlja srednju vrednost kvadrata odstupanja vrednosti od srednjevrednosti.

Za uzorak x1,x2,..., xn obima n disperzija uzorka je:

s2 = σ2x = 1

n

n∑i=1

(xi − x)2

Standardno odstupanje je pozitivna vrednost kvadratnog korena disperzije:

s = σx =√σ2x

Iako je prema metodu maksimalne verovatnoće najverodostojnija ocena disperzije srednji kvadratodstupanja pojedinih vrednosti iz uzorka od aritmetičke sredine uzorka, ona je pristrasna, odnosnonecentrirana, te za tačkastu ocenu disprezije, odnosno za uzoračku disperziju se koristi statistika,tkz. korigovana disperzija s2:

4

s2 = 1n− 1

n∑i=1

(xi − x)2 (2.2)

gde vrednost n− 1 predstavlja broj stepeni slobode d = n− k. Broj stepeni slobode d je jednakrazlici između obima uzorka n i broja prisutnih veza k između podataka, odnosno broja ostalihparametara koji figurišu u proračunu posmatranog parametra.

U statističkoj kontroli procesa zbog jednostavnosti izračunavanja za ocenu standardne devijacijepopulacije u slučaju kada je broj uzoraka n 6 6, koristi se metod raspona (engl. range method), gdeje:

R = max(xi)−min(xi) = xmax − xmin (2.3)

a W = R/σ relativni raspon. Srednja vrednost relativnog raspona W je konstanta d2 i zavisi odobima uzoraka, te je tačkasta ocena standardne devijacije populacije sa normalnom raspodelom:

σ̂ = R

d2(2.4)

Kao nepristrasna ocena standardne devijacije u slučaju kada je broj uzoraka 2 6 n 6 25, koristise uzoračko standardno odstupanje računata kao:

σ̂ = s

c4(2.5)

gde su c4 i d2 tabelarne vrednosti koje zavise od broja uzoraka [1].Pošto je uzoračka disperzija slučajna veličina, ona ima neku svoju raspodelu. Ukoliko su uzorci

obima n uzeti iz populacije sa normalnom raspodelom tada važi da statistika

χ2 = (n− 1)S2

σ2

ima χ2 raspodelu sa brojem stepeni slodbode d = n − 1, jednakom broju stepeni slobode sakojim se računa vrednost statistike S2 kao ocena disperzije populacije, σ2.

2.1.1.2 Intervalne ocene parametara

Tačkaste ocene parametara kao slučajne promenljive ne daju potpunu informaciju o karakteri-stikama populacije, one se rasipaju oko neke srednje vrednosti, te je potrebno definisati određeniinterval koji će sa određenom verovatnoćom sadržati tačnu vrednost parametra. Interval nazivamointervalom poverenja ili pouzdanosti, sa nivoom pouzdanosti ili poverenja γ ukoliko sa unapredzadatom verovatnoćom γ sadrži tačnu vrednost parametra, a verovatnoća α = 1− γ se naziva rizik,koji predstavlja verovatnoću da tačna vrednost parametra bude izvan procenjenog intervala.

Intervalna ocena srednje vrednosti

Pri poznatoj disperziji populacije sa normalnom raspodelom N (µ, σ) uzoračka srednjavrednost ima raspodelu N (µ, σ√

n) a interval pouzdanosti sa nivoom pouzdanosti γ = 1 − α, za

srednju vrednost populacije µ je:

µ = x± zασ√n

gde zα predstavlja koeficijent pouzdanosti.U slučaju velikih uzoraka gde je n > 30 primenljiva je aproksimacija da je:

s2 = (σ2)∗ = σ2

te se za veće uzorke iz populacije sa nepoznatom disperzijom bez obzira na tip raspodeleinterval poverenja može aproksimirati intervalom:

5

µ = x± zαs√n

(2.6)

Pri nepoznatoj disperziji populacije i ako uzorak nije velik n < 30 određivanje intervala po-uzdanosti srednje vrednosti populacije sa normalnom raspodelom N (µ, σ) se zasniva na Studentovojili t−raspodeli. Tada statistika

T = X − µS√n

= X − µSx

gde S dobijen iz korigovane uzoračke disperzije sa brojem stepeni slobode n− 1 ima Studentovuili t-raspodelu sa brojem stepeni slobode jednak broju stepeni slobode sa kojim je računata ocenadisperzije, odnosno uzoračka disperzija. Prema tome interval poverenja za srednju vrednost normalneraspodele bez poznate disperzije populacije, µdobijamo:

µ = x± td,αs√n

(2.7)

gde je td,α koeficijent pouzdanosti.

Intervalne ocene disperzije

Ukoliko se uzoračka disperzija s2 računa sa brojem stepeni slobode d = n− 1 iz uzorka obima nuzete iz populacije sa normalnom raspodelom, tada statistika

χ2 = dS2

σ2 , d = n− 1

ima χ2 raspodelu sa d stepeni slobode, jednak broju stepeni slobode sa kojim je izračunatauzoračka disperzija. Prema tome interval pouzdanosti za disperziju sa nivoom pouzdanosti γ = 1−α:

ds2

χ2d,α/2

< σ2 <ds2

χ2d,1−α/2

(2.8)

gde su χ2d,1−α/2, χ

2d,α/2 koeficijenti poverenja [1, 3].

2.1.2 Testiranje statističkih hipoteza

Tačkaste i intervalne ocene parametara, dobijene na osnovu raspoloživog slučajnog uzorkanisu dovoljne za donošenje zaključaka o parametrima osnovnog skupa, već je potrebno testiratipostavljenu pretpostavku o vrednostima parametara odnosno raspodeli, da li su one prihvatljive ili ne.Statistička hipoteza je pretpostavka, a postupak provere je statistički test, kojim se hipoteza prihvataili odbacuje. Razlikuju se parametarske hipoteze koje predstavljaju pretpostavku o vrednosti nekogparametra poznate raspodele i neparametarske hipoteze koje predstavljaju pretpostavku o tipuraspodele osnovnog skupa.

Hipoteza koja se proverava naziva se nulta hipoteza H0, a hipoteza koja je tačna kada je nultahipoteza odbačena se naziva alternativna hipoteza H1. Testiranje statističke hipoteze se sastojiod izbora odgovarajuće funkcije uzorka, test statistike, izračunavanja njene vrednosti iz uzorka ipoređenja sa kritičnom vrednošću odnosno provere da li se ona nalazi u oblasti prihvatanja hipoteze(nulta hipoteza prihvata) ili se nalazi u kritičnoj oblasti (nulta hipoteza se odbacuje).

Prilikom testiranja hipoteze postoji rizik da je rezultat testa pogrešan, pri čemu je greška prvevrste (rizik prve vrste, α) kada je tačna hipoteza H0 odbačena jer je test statistika u kritičnojoblasti a greška druge vrste (rizik druge vrste, β) kada je hipoteza H0 pogrešna ali prihvaćena jer jetest statistika u oblasti prihvatanja hipoteze.

Uobičajena procedura pri testiranju hipoteza je da se kritične oblasti formiraju na osnovuzadate verovatnoće greške prve vrste α, što u stvari predstavlja proveru statističke značajnostiuočenog odstupanja uzoračkog od pretpostavljenog parametra populacije. Ukoliko uočeno odstupanje

6

prevazilazi kritičnu granicu smatramo ga statistički značajnim i odbacujemo hipotezu sa nivoomznačajnosti testa α, odnosno sa rizikom α da smo učinili grešku. Pri čemu se kaže da je uočenoodstupanje u slučaju odbacivanja H0 statističko značajno pri α = 5%, a statističko vrlo značajnopri α = 1%.

Alternativni način za testiranja hipoteza je da se umesto poređenja uzoračkog parametrasa kritičnom vrednošću, poredi verovatnoća podređena iz raspodele test statistike sa usvojenomvrednošću α, pri čemu se nulta hipoteza prihvata kada je p > α, a odbacuje kada je p < α.Verovatnoća pse naziva p− vrednost (engl. p− value) i predstavlja najniži nivo značajnosti koji ćedovesti do odbacivanja nulte hipoteze [1].

2.1.3 Grafičko prikazivanje karakteristika uzorka

Histogram je jedan od najčešće korišćenih grafičkih načina prikazivanja dobijenih informacijaiz uzorka. U slučaju neprekidnih slučajnih promenljivih, kao što je slučaj kod kontrole mase gotovogproizvoda kao statističkog obeležja interval kome pripadaju sve vrednosti iz uzorka se dele napodintervale, odnosno klase, jednake širine. Ovako intervalno sređeni podaci se prikazuju grafičkiu vidu niza pravougaonika čije su osnove podintervali, a visine takve da su im površine jednakerelativnim frekvencama. Histogram prikazuje empirijsku raspodelu, odnosno daje približnu slikuraspodele statističkog obeležja [3].

Kumulativni histogram služi za kumulativni prikaz posmatranog obeležja, gde visine pravo-ugaonika predstavljaju ukupni broj obeležja koji su manji ili jednaki gornjoj granici pravougaonika[1]. Kumulativni histogram u slučaju diskretnih promenljivih daje empirijsku funkciju raspodele,odnosno aproksimaciju teorijske funkcije raspodele gde je aproksimacija utoliko bolja ukoliko jeobim uzoraka veći [3].

Boxplot služi za grafičko sažimanje raspodele neprekidnih pomenljivih. Prikazuje se u oblikupravougaonika, slika 2.1 čije stranice predstavljaju prvi i treći kvartil sa linijom unutar pravougaonikakoja obeležava drugi kvartil odnosno medijanu. Linije izvan pravougaonika sa obe strane predstavljajunajveću i najmanju vrednost u seriji podataka između donje i gornje unutrašnje granice. Vrednostikoje se nalaze izvan unutrašnjih granica se nazivaju atipične (engl. outliers), a vrednosti izvanspoljašnje granice ekstremne. Boxplot je naročito koristan prilikom upoređivanja prisutnih varijacijaunutar i između grupa [1].

2.2 Statistička kontrola procesa

Statistička kontrola procesa je metod za praćenje i kontrolu procesa prikupljanjem podatakao karakteristikama proizvoda, analizu tih podataka na bazi statističkih izračunavanja i donošenjeodluka na osnovu podataka. Cilj statističke kontrole procesa je saznati da li proces funkcionišedobro ili ne. U slučaju da je proces van kontrole potrebno je njegovo podešavanje da bi se odvijaooptimalno [1].

Da bi proizvodi ispunjavali zahteve potrošača, odnosno specifikacije, potrebno je da se proizvodeu proizvodnom procesu koji je stabilan, pod kontrolom, sa što manje varijacija u okolini propisaneili nominalne vrednosti kontrolne promenljive. Svaki proizvodni proces, odnosno proizvodi kaorezultat proizvodnog procesa sadrže različite varijacije. Proces bez varijacija ne postoji. Varijacijezavise od većeg broja faktora, neki od faktora se mogu kontrolisati, dok su neki sastavni deo procesa.Kod proizvodnih procesa razlikujemo dve vrste uzroka poremećaja u procesu opšti (engl. commoncauses) i posebni (engl. assignable causes).

Opšti poremećaji su uzroci neznatnih nekontrolisanih varijacija u procesu i oni su nerazdvojnidelovi procesa, promene kontrolne promenljive su slučajne varijacije koje se još nazivaju i neobjašnjeneili preostale – rezidualne varijacije. U prisustvu samo opštih poremećaja smatra se da je procespod kontrolom. Posebni poremećaji su uzroci varijacija u procesu kod kojih se vrednost kontrolnepromenljive nalazi izvan kontrolnih granica, smatra se da je proces izvan kontrole i neophodna jekorigujuća akcija. Varijacije procesa u prisustvu opštih i posebnih poremećaja su prikazane na slici2.2. Kao rezultat odgovarajuće akcije, uzrok poremećaja se uklanja i proces se ponovo vraća podkontrolu [3].

7

Slika 2.1: Boxplot

U toku statističke kontrole praćenje procesa se obavlja merenjem kontrolne karakteristike kvali-teta, kao statističke veličine, koja kao slučajna promenljiva ima raspodelu koja se može aproksimiratisa normalnom, naročito u slučaju velikog broja merenja (uzoraka) bez obzira na raspodelu osnovnogskupa. Kriva normalne raspodele je zvonastog oblika i simetrična je u odnosu na aritmetičkusredinu. Vrednost aritmetičke sredine određuje centar distribucije, a standardno odstupanje širinudistribucije. Ukupna površina ispod krive normalne distribucije je 100%, verovatnoća pojavljivanjavrednosti slučajne promenljive u intervalu µ ± 3σ je oko 99,7%, u intervalu µ ± 2σ oko 95% a uintervalu µ± 1σ 68,26%. Verovatnoća nastanka neadekvatnih proizvoda je oko 0,3%. Da bi procesispoštovao propisane zahteve mora biti toliko sposoban da je verovatnoća generisanja škarta manjaod 0,3%.

Slika 2.2: Prisustvo opštih i posebnih poremećaja u procesu

8

Tabela 2.1: Pokazatelji sposobnosti procesa

Pokazatelj Način izračunavanja

CpUSL−LSL

6σ

CpuUSL−µ

3σ

Cplµ−LSL

3σ

Cpk min(USL−µ3σ , µ−LSL3σ )Cpm

USL−LSL6√σ2+(µ−T )2

2.2.1 Sposobnost procesa

Sposobnost procesa određuje da li je proces u prisustvu opštih, prirodnih poremećaja u moguć-nosti da zadovolji zahteve kupca, slika 2.3 [4].

Slika 2.3: Sposobnost procesa

Proces je sposoban ako su granice zahteva specifikacije veće ili jednake sa prirodnom tolerancijom.Sposobnost procesa se najčešće procenjuje računanjem indeksa potencijala procesa Cp, indeksasposobnosti Cpk, Cpm, Pp, Ppk.

Ocenom sposobnosti procesa meri se efektivnost i efikasnost procesa u slučaju nepostojanjaposebnih uzroka varijacija, dakle u slučaju kada je proces u stanju statističke kontrole. Kada jeproces pod kontrolom manja je verovatnoća da se kontrolna promenljiva nađe izvan kontrolnihgranica [1].

Indeks potencijala procesa Cp je mera rasipanja procesa i predstavlja odnos propisane i prirodnetolerancije [5]. Indeks potencijala procesa ne uzima u obzir centriranost procesa, njegova vrednostzavisi od granica propisanih specifikacijom i prirodne tolerancije i u slučaju da proces nije ispravnocentriran ne daje dobru ocenu sposobnosti procesa.

Indeks sposobnosti procesa Cpk uzima u obzir i centriranost, odnosno udaljenost srednje vrednostiod nominalne.

Indeks sposobnosti procesa Cpm naspram Cp i Cpk uzima u obzir i disperziju i kvadratnoodstupanje srednje vrednosti od nominalne i predstavlja efikasniju ocenu sposobnost procesa [6].

Na osnovu vrednosti indeksa sposobnosti proces se može oceniti kao precizan i tačan kada jeCp > 1,33, zadovoljavajući uz neophodno stalno praćenje i monitoring kada je 1 6 Cp 6 1,33 inezadovoljavajući kada je Cp < 1. Vrednosti indeksa sposobnosti procesa pri različitim rasipanjimai podešenosti procesa su prikazana na slici 2.4 [5].

9

Slika 2.4: Rasipanje i podešenost procesa

2.2.2 Kontrolne karte

Za praćenje procesa, da li je pod statističkom kontrolom ili ne, se koriste kontrolne karte kojepredstavljaju metod uočavanja promena u procesu, odnosno prikazuju da li je proces unutar granicaočekivanih varijacija. Osnovni cilj kontrolne karte je da blagovremeno detektuje promenu u procesuda bi se preduzele akcije pre nastanka neadekvatnih proizvoda. Kontrolna karta je grafik merenihvrednosti kontrolne promenljive u funkciji od vremena [3].

Postoje različite vrste kontrolnih karti. Za praćenje prosečne vrednosti procesa ili srednjeg nivoakvaliteta se uobičajeno koristi x̄- karta u koju se unose uzastopne srednje vrednosti uzorka. x̄- kartepredstavljaju meru varijacija između uzoraka, dok se za praćenje varijacija koristi kontrolna kartaza standardno odstupanje tzv. s kontrolna karta ili kontrolna karta za raspon tj. R-karta [1] ukoje se unose vrednosti intervala varijacije uzoraka. Interval varijacije je razlika najveće i najmanjevrednosti u uzorku i predstavlja meru rasipanja vrednosti oko centra [3]. R-karte predstavljajumeru varijacija unutar uzorka i koriste se za procenu tzv. kratkoročnih (engl. short term) varijacijau procesu.

Kontrolna karta ima dve paralelne linije koje predstavljaju donju i gornju kontrolnu granicu icentralnu liniju koja predstavlja ciljanu vrednost kontrolne promenljive. Proces je pod statističkomkontrolom ako se vrednosti kontrolnih promenljivih nalaze u okviru kontrolnih granica. Kontrolnegranice se dobijaju na osnovu pravila tri sigme, pri čemu se kod x̄-karti računaju kao:

U.C.L. = x̄+A2R̄

Centralna linija = x̄ (2.9)

L.C.L. = x̄−A2R̄

gde je konstanta A2 tabelarna vrednost koja zavisi od obima uzorka i jednaka je:

A2 = 3d2√n

Kontrolne granice za R-kontrolnu kartu se računaju kao:

U.C.L. = D4R̄

Centralna linija = R̄ (2.10)

10

L.C.L. = D3R̄

gde su D3 i D4 definisane jednačinama:

D3 = 1− 3d3d2

D4 = 1 + 3d3d2

gde su konstante d2 i d3 tabelarne vrednosti koje zavise od obima uzorka.Gore pomenute kontrolne karte nisu u mogućnosti da uoče male varijacije u procesu, one uzimaju

u obzir pojedinačne tačke u procesu nezavisno od ostalih te poremećaji u procesu često ostajunezapaženi zbog relativno većih rezidualnih varijacija [3].

Kontrolne karte CUSUM (kumulativna suma) i EWMA (Exponentially Weighted MovingAverage) omogućuju detektovanje i manjih varijacija u procesu uzimajući u obzir informacijesadržane u više uzastopno uzetih uzoraka. CUSUM karta posmatra akumulisanje odstupanja odneke standardne vrednosti i predstavlja kumulativnu sumu razlika između vrednosti i proseka [1].

2.3 Kontrola prijema robe

Cilj kontrole prijema robe je da se na osnovu ispitivanja uzorka donese odluka o prihvatanjuili odbacivanju celokupne serije proizvodnje. Odluka se može doneti na osnovu ocene proporcijeneispravnih proizvoda u uzorku, kontrola na osnovu atributivnog obeležja, ili merenjem praćenekarakteristike pojedinačnog uzorka i upoređivanjem rezultata sa unapred utvrđenim standardomkvaliteta, tj. kontrola na osnovu kvantitativnog obeležja [3].

Pouzdanost odluke o prihvatanju ili odbacivanju celokupne serije na osnovu uzorka zavisi odšeme kontrolisanja, odnosno plana kontrole. Da li će se odluka doneti na osnovu jednog uzorka,uzimanjem više nezavisnih uzoraka sa unapred utvrđenom veličinom ili će se pristupiti sekvencijalnimuzimanjem uzoraka gde se uzimanje uzoraka produžava dok nema dovoljno osnova za donošenjeodluke zavisi od unapred definisanih pragova značajnosti, odnosno rizika proizvođača, verovatnoćeda se dobra serija odbaci i rizika kupca, verovatnoće da se loša serija prihvati.

U cilju kontrole rizika proizvođača i kupca se koristi operaciona kriva (O-C kriva), koja za datiplan kontrole predstavlja grafik verovatnoće prihvatanja serije kao funkcija proporcije neispravnihdelova u seriji.

Odluka o prihvatanju ili odbacivanju serije se može posmatrati kao testiranje hipoteza. Testirase nulta hipoteza, udeo neispravnih delova je prihvatljiv, i alternativna hipoteza, udeo neispravnihdelova je veći od prihvatljivog uz dve moguće vrste grešaka, odbacivanje tačne nulte hipoteze,neprihvatanje dobre serije (rizik proizvođača) greška tipa I, i prihvatanje pogrešne nulte hipoteze,prihvatanje loše serije (rizik kupca), greška tipa II [3].

11

3 Primena R u statističkoj kontroli procesa

U ovom radu je prikazana primena programskog jezika R u programskom okruženju RStudio [7]u statističkoj kontroli kvaliteta proizvodnog procesa proizvodnje čokoladiranih štanglica, koje seproizvode kontinualno na proizvodnoj liniji Conbar.

Penasta masa dobijena aeracijom ukuvanog šećerno-skrobnog sirupa i sredstva za stvaranje penemešanjem sa masnim premiksom formira se na ohlađenim valjcima u vidu sloja zadate debljine.Nakon prolaska kroz tunel za hlađenje penasti sloj se seče najpre uzdužno kružnim noževima, zatimpoprečno formirajući štanglice zadate dužine koje se u sledećoj fazi prelivaju čokoladom, hlade ipakuju.

Prema postojećem planu kontrolisanja svakog sata tokom osmočasovnog proizvodnog procesa seuzima uzorak od 10 komada gotovog proizvoda, nazivne mase 30g, izmeri masa svake pojedinačneštanglice na overenoj vagi, izmerena vrednost se beleži u kontrolnoj listi, izračuna srednja vrednosti na osnovu tih podataka se donosi odluka o prihvatanju ili odbacivanju proizvodnje tokom satvremena, prema zahtevima Pravilnika o prethodno upakovanim proizvodima [8].

Na osnovu dosadašnjih iskustava, u cilju smanjenja rizika neprihvatanja proizvodnog lota,proizvodni proces je vođen na način da verovatnoća nastajanja neadekvatnog proizvoda bude veomamala što za posledicu ima da je srednja vrednost veća za 1-2 g od nazivne mase što ujedno vodi doneprofitabilnosti proizvodnje što se podudara sa zaključcima autora Djekić i ost. [9].

Cilj ovog rada je da se primenom statističkih metoda u programskom jeziku R odrede optimalniparametri procesa.

Radi prikaza stanja proizvodnog procesa analizirane su prethodna merenja iz dužeg vremenskogperioda. Analiza procesa je urađena na osnovu 100 uzoraka obima 10.

Za analizu podataka su korišćeni različiti paketi koji se u programskom okruženju R aktivirajusa funkcijom library() [10–15]

library("reshape2")library("qcc")library("SixSigma")library("knitr")library("xtable")library("AcceptanceSampling")options(scipen=999)opts_chunk$set(size="footnotesize")qcc.options(cex=0.6,cex.stats=0.6)

Prikupljeni rezultati merenja su uneti u excel tabelu i sačuvani u obliku csv fajla. Pomoćufunkcije read.csv() podaci su učitani u programsko okruženje RStudio.

masa.data <- read.csv("kidypre.csv")

3.1 Deskriptivna statistika

Učitani podaci se moraju prilagoditi za korišćenje u različitim paketima, npr. brisanje redova ilikolona, zamena redova sa kolonama sa funkcijom t() - transpose, promene strukture podataka safunkcijom as.matrix(), as.data.frame()[16].

masa.data1 <- masa.data[,-(1)]masa.data.kol <- melt(masa.data, id='UZORAK')masa.data.kol1 <- masa.data.kolmasa.data.kol1$variable <- NULLnames(masa.data.kol1)[names(masa.data.kol1)=="value"] <- "MASA"masa.data.kol2 <- masa.data.kol1masa.data.kol2$UZORAK1 <- as.factor(masa.data.kol1$UZORAK)attach(masa.data.kol2)masa2 <- qcc.groups(MASA, UZORAK)attach(masa.data.kol1)

12

masa <- qcc.groups(MASA, UZORAK)masa.t <- t(masa)

3.1.1 Grafička deskriptivna statistika

Prvi korak pri analizi procesa je prikaz prisutnih varijacija u procesu. Najefikasniji način prikazavarijacija je grafički opis.

Histogram

Histogram se najčešće koristi za opisivanje varijacija neprekidnih karakteristika, prikazujeraspodelu merenih veličina.

Histogram se u programskom jeziku R može formirati na različite načine.Naredbom cut(x, breaks, ...) podaci zapisani u matrici x se dele u broj klasa jednak

argumentu breaks a kao rezultat daje broj podataka koji pripadaju datoj klasi. Naredbom table()se prikazuje rezultat naredbe cut(), odnosno klase sa apsolutnim frekvencama. Naredba barplot()formira histogram na osnovu vrednosti sadržanih u table(klase) [17].

Naredba hist() je generička funkcija programskog jezika R i pored formiranja histogramaizračunava i njene vrednosti (breaks, counts, density, mids).

Kumulativni histogram se dobija modifikacijom vrednosti funkcije hist(), gde se argumenticounts i density zamenjuju kumulativnim sumama sa funkcijom cusum().

par(mfrow = c(1,3), pin=c(1.5,2), cex.main=0.9)histogram <- hist(masa, breaks = 10, prob=T, xlab = "masa [g]", main = "Histogram, hist()"); lines(density(masa))curve(dnorm(x, mean(masa), sd(masa)), add = TRUE, lty = 2, lwd = 2, col = "red")klase <- cut(masa, breaks = histogram$breaks)barplot(table(klase), xlab = "masa [g]", main = "Histogram, barplot()")h1 <- hist(masa, plot=FALSE, breaks=10)h1$counts <- cumsum(h1$counts)h1$density <- cumsum(h1$density)plot(h1, freq = TRUE, xlab = "masa [g]", main = "Kumulativni histogram")box()

Histogram, hist()

29 31 33 35

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

(28.5,29] (31.5,32] (34.5,35]

Histogram, barplot()

050

100

150

200

Kumulativni histogram

Fre

quen

cy

29 31 33 35

020

040

060

080

010

00

Slika 3.1: Histogram

Histogrami su prikazani na slici 3.1. Na histogramu je prikazana kriva gustine raspodele dobijenanaredbom lines(density) na osnovu prikupljenih podataka, dok crvena linija prikazuje teoretskufunkciju normalne raspodele dobijena naredbom curve(dnorm(x, mean, sigma)) sa argumentimagde su srednja vrednost i standardno odstupanje procenjene vrednosti.

13

Boxplot

Grafički prikaz varijacija u slučaju uzoraka prikupljenih u grupama se najefikasnije može prikazatiu vidu bloxpota [14], Box and Whisker grafikom, sa funkcijom boxplot().

layout(matrix(c(1,2,2,2), 1, 2, byrow = TRUE), widths=c(1,3))boxplot(MASA, main = "Boxplot svih posmatranja", cex.main = 0.7, cex.axis=0.5)boxplot(masa.t, xlab ='n-ti uzorak', ylab ='masa [g]',main = "Boxplot pojedinacnih uzoraka obima n",cex.main=0.7, cex.lab=0.7, cex.axis=0.5)

2930

3132

3334

35

Boxplot svih posmatranja

1 5 9 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98

2930

3132

3334

35Boxplot pojedinacnih uzoraka obima n

n−ti uzorak

mas

a [g

]

Slika 3.2: Boxplot

Boxplot je prikazan na slici 3.2 na osnovu svih observacija, 1000 uzoraka, odnosno iz 100 uzorakaobima 10.

Na osnovu grafičkog prikaza podataka dobijenih merenjem posmatranih karakteristika uzorakadobijamo osnovni uvid u karaktristike procesa. Na osnovu histograma, koji nam prikazuje raspodeluobeležja procesa, u ovom slučaju mase proizvoda možemo da zaključimo da je raspodela približnonormalna, da se mase proizvoda rasipaju približno simetrično oko srednje vrednosti, odnosno da sucentrirane. Boxplot objedinjenog uzorka nam prikazuje meru rasipanja mase proizvoda, ukazujeda postoje neke ekstremne vrednosti nastale greškom merenja, neadekvatnim uzorkovanjem ilizapisivanjem podataka. Boxplot grupisanih podataka ukazuje da postoje varijacije u srednjimvrednostima između šarži proizvodnje, da su varijacije veće upoređujući različite lotove proizvodnje.

Grafički prikaz daje samo osnovni uvid u karakteristike procesa, da bi dobili jasniju sliku oprocesu potrebno je da se daju i numeričke vrednosti procesa.

3.1.2 Numerička deskriptivna statistika

Statističke metode i tehnike koje se koriste u statistici za procenu parametara populacijepretpostavljaju normalnu raspodelu, te je pre njihovih primena potrebno proveriti normalnostraspodele posmatranih obeležja.

Pored histograma na osnovu kojeg se može proceniti da li je reč o normalnoj raspodeli obeležjapostoje druge pouzdanije metode i tehnike za procenu normalnosti raspodele.

QQplot je graf koji prikazuje teoretske kvantile neke raspodele u zavisnosti od uzoračkih kvantiladatog uzorka. Ukoliko su tačke grafa na pravoj liniji smatra se da je reč o normalnoj raspodeli.

U progmarmskom jeziku R QQplot se prikazuje s naredbom qqnorm().

14

par(pin=c(3,1.5), cex=0.7)qqnorm(masa);qqline(masa, col='red')

−3 −2 −1 0 1 2 3

2931

3335

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

Slika 3.3: Q-Q plot

Pošto se tačke na grafu nalaze na pravoj liniji smatramo da je reč o normalnoj raspodeli.Za testiranje statističkih hipoteza za proveru normalnosti raspodele se najčešće koristi Shapiro

Wild test, gde je nulta hipoteza da je uzorak iz normalne raspodele. Ukoliko je p-vrednost testa većaod praga zančajnosti alfa, prihvatamo nultu hipotezu, te smatramo da je reč o normalnoj raspodeli[13].

shapiro.test(masa)

#### Shapiro-Wilk normality test#### data: masa## W = 0.98118, p-value = 0.0000000004489

p.shapiro <- shapiro.test(masa)

Iako je p-vrednost manja od 0.05, zbog velikog broja uzoraka usvaja se da se radi o normalnojraspodeli podataka.

Nakon provere normalnosti raspodele pristupa se izračunavanju tačkastih i intervalnih ocenaparametara populacije. Osnovni parmetri u slučaju normalne raspodele su uzoračka srednja vrednosti uzoračka disperzija.

Mera centralne tendencije

Nepristrasna ocena srednje vrednosti populacije je uzoračka srednja vrednost, koja predstavljaaritmetičku sredinu svih uzoraka 2.1, u R-u se dobija sa naredbom mean()

masa.mean <- mean(masa)masa.mean

## [1] 31.3207

15

Pokazatelji rasipanja

Rasipanje neke karakteristike oko srednje vrednosti se opisuje disperzijom. Disperzija predsta-vlja srednju vrednost kvadrata odstupanja, a pozitivna vrednost korena disperzije je standardnoodstupanje.

Kao nepristrasna ocena disperzije populacije se smatra uzoračka disperzija koja se u R-u dobijanaredbom var(), međutim pošto s, nije nepristrasna ocena standardne devijacije populacije, uzavisnosti od broja uzetih uzoraka za procenu parametara ona se računa pomoću konstanti c4 ili d2prema jednačinama 2.5 ili 2.4. U programskom jeziku R se njihove vrednosti dobijaju naredbamass.cc.getc4() i ss.cc.getd2() iz paketa SixSigma [13, 14].

U cilju izračunavanja gore navedenih veličina rezultati merenja masa se sređuju u vidu dataframe-a. Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli 3.1.

masa.tabela <- masa.data1 # definisali smo novi data frame da bi dodali kolonemasa.tabela$xbar <- apply(masa.data1, 1, mean) #kolona za srednju vrednostmasa.tabela$min <- apply(masa.data1, 1, min) #kolona za min vrednostimasa.tabela$max <- apply(masa.data1, 1, max) #kolona za max vrednostimasa.tabela$R <- masa.tabela$max - masa.tabela$min #kolona za rangemasa.tabela.razl.kv <- (masa.data1-masa.tabela$xbar)^2masa.tabela$suma.kv <- apply(masa.tabela.razl.kv, 1, sum)masa.tabela$s <- sqrt(masa.tabela$suma.kv/(ncol(masa.data1)-1))masa.tabela$sc4 <- masa.tabela$s/ss.cc.getc4(ncol(masa.data1))masa.tabela$Rd2 <- masa.tabela$R/ss.cc.getd2(ncol(masa.data1))masa.tabela$var <- apply(masa.data1, 1, var)masa.tabela$sqrvar <- sqrt(masa.tabela$var)masa.tabela$sd <- apply(masa.data1, 1, sd)R.bar <- mean(masa.tabela$R)

U kolonama tabele su prikazane aritmetičke sredine x̄ prema jednačini 2.1, maksimalne iminimalne vrednosti xmax i xmin, rasponi između maksimalnih i minimalnih vrednosti R premajednačini 2.3, standardno odstupanje sd2 , sc4 i s prema jednačinama 2.4, 2.5 i kvadratni koren izjednačine 2.2 respektivno, disperzija prema jednačini 2.2.

Tabela 3.1: Tabela sa vrednostima mere varijacija

x̄ xmax xmin R sd2 sc4 s σ̂

1 33.53 34.80 32.50 2.30 0.75 0.77 0.75 0.562 32.12 33.80 30.80 3.00 0.97 0.94 0.92 0.843 32.78 34.60 30.40 4.20 1.36 1.53 1.49 2.234 31.36 32.00 30.60 1.40 0.45 0.53 0.51 0.265 31.53 32.60 30.40 2.20 0.71 0.83 0.81 0.666 32.08 33.50 29.70 3.80 1.23 1.29 1.26 1.587 32.76 34.50 31.30 3.20 1.04 1.15 1.12 1.258 31.55 32.80 30.20 2.60 0.84 0.84 0.82 0.679 33.21 34.70 32.00 2.70 0.88 0.96 0.94 0.87

10 31.09 32.50 29.70 2.80 0.91 0.98 0.96 0.92

U slučaju uzorkovanja u grupama, gde m predstavlja broj uzorka, a n obim uzorka, odnosnobroj posmatranja u jednom uzorku, uzoračka srednja vrednost je jednaka sumi aritmetičkih sredinauzoraka podeljen sa brojem uzoraka.

masa.mean.all <- sum(masa.tabela$xbar)/nrow(masa.data1)x.bar <- masa.mean.all

16

Uzoračko standardno odstupanje se računa kao:

disperzija <- var(MASA)sd.sqr.var <- sqrt(disperzija)sd.est.all <- sd(MASA)ukup.broj.uzor <- as.numeric(length(MASA))sd.est.c4.bar <- mean(masa.tabela$sc4)sd.est.Rd2.bar <- mean(masa.tabela$Rd2)

A vrednosti za procenu standardnog odstupanja na osnovu različitog načina izračunavanja su:

σ̂√1

nm−1∑ni=1(xi − ¯̄x)2 1.01

1m

∑ni=1 sc4 0.77

1m

∑ni=1Rd2 0.74

Pri čemu se uočene razlike u procenama standardnog odstupanja mogu objasniti različitimrasipanjima prisutnim unutar i između uzetih uzoraka u grupama. U slučaju uzoraka uzetih ugrupama procena standardnog odstupanja računata kao aritmetička sredina uzoračke standardnedevijacije pojedinačnih uzoraka opisuje varijacije nastale usled opštih uzroka poremećaja u procesu,takozvane "short-term" poremećaje, dok procena standardnog odstupanja računata kao koren srednjevrednosti kvadratnih odstupanja svakog posmatranja od procenjene srednje vrednosti celog uzorkauzima u obzir sve varijacije i unutar i između uzoraka, odnosno ukazuje pored opštih uzroka i naposebne uzroke poremećaja u procesu i predstavlja takozvane "long-term" poremećaje.

Intervalne ocene

Pošto uzorci uzeti iz procesa predstavljaju slučajne promenljive, procene parametara procesasu isto slučajne promeljive, te se rasipaju određenom merom oko srednje vrednosti, sa zadatomverovatnoćom će se nalaziti u nekom intervalu.

U slučaju populacije čija je disperzija poznata ili u slučaju nepoznate disperzije populacije,kada na raspolaganju imamo veći broj uzoraka (više od 30) i uzima aproksimacija da je disperzijapopulacije uzoračka disperzija, odnosno da je σ2 = (σ2)∗ = s2 intervalna ocena srednje vrednostipopulacije računa se prema jednačini 2.6. Vrednosti za koeficijent zα za zadatu verovatnoću u R-use dobijaju naredbom qnorm(x), gde je x = 1− α

2Tako će intervalna ocena za dati slučaj biti:

verovatnoca <- 0.95z.alfa <- qnorm(1-(1-verovatnoca)/2)broj.uzoraka <- length(MASA)sigma <- sd.est.allgranica <- z.alfa*(sigma/(sqrt(broj.uzoraka)))g.granica <- x.bar + granicad.granica <- x.bar - granica

Kao verovatan interval uzoračke srednje vrednosti sa pouzdanošću od 95% dobija:

31.2579 g < µ < 31.3835 g tj. µ = 31.3207 ± 0.0628 g

U slučaju nepoznate disperzije i kada je uzorak mali (manje od 30), interval pouzdanosti srednjevrednosti populacije se dobija na osnovu Studentove, odn. t-raspodele, prema jednačini 2.7.

uzorak <- masa.data.kol$valueobim.uzor <- length(uzorak) #broj uzorkabss <- obim.uzor - 1 #broj stepeni slobodet.alfa <- qt(1-(1-verovatnoca)/2, bss) # koeficijent pouzdanosti se dobija naredbom qt()

17

st.dev <- sd(uzorak) # Procena disperzije iz uzorkas.est <- st.dev / sqrt(obim.uzor)uzorak.mean <- mean(uzorak)granica.uzorak <- t.alfa*s.estg.granica.uzorak <- uzorak.mean + granica.uzorakd.granica.uzorak <- uzorak.mean - granica.uzorak

Kao verovatan interval uzoračke srednje vrednosti sa pouzdanošću od 95% dobija:

31.2578 g < µ < 31.3836 g tj. µ = 31.32 ± 0.0629 g

Interval pouzdanost se u R-u može uraditi naredbom t.test()

t.test(uzorak)

#### One Sample t-test#### data: uzorak## t = 976.91, df = 999, p-value < 0.00000000000000022## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0## 95 percent confidence interval:## 31.25779 31.38361## sample estimates:## mean of x## 31.3207

Interval poverenja disperzije se na osnovu uzoraka uzetih iz populacije sa normalnom raspodelomračuna jednačinom 2.8:

alfa <- 1 - verovatnocadisp.est <- var(uzorak)chi.kvadrat.gornja <- qchisq(alfa/2,bss)chi.kvadrat.donja <- qchisq(1-alfa/2,bss)disp.gornja <- bss*disp.est/chi.kvadrat.gornjadisp.donja <- bss*disp.est/chi.kvadrat.donjac(disp.donja, disp.est, disp.gornja) # Disperzija

## [1] 0.9434026 1.0279094 1.1243626

c(sqrt(disp.donja), sqrt(disp.est), sd.est.all, sqrt(disp.gornja)) # Standardno odstupanje

## [1] 0.9712891 1.0138587 1.0138587 1.0603597

Gde je intervalna procena disperzije sa pouzdanošću od 95%:

0.9434 g2 < σ2 < 1.1244 g2

Odnosno intervalna procena standardne devijacije:

0.9713 g < σ < 1.0604 g

Intervalna ocena disperzije se može dobiti funkcijom [18]:

var.interval = function(data, conf.level = 0.95) {df = length(data) - 1chilower = qchisq((1 - conf.level)/2, df)chiupper = qchisq((1 - conf.level)/2, df, lower.tail = FALSE)v = var(data)

c(df * v/chiupper, df * v/chilower)}

var.interval(MASA)

18

## [1] 0.9434026 1.1243626

3.2 Sposobnost procesa

U statističkoj kontroli procesa kao pokazatelji mere poremećaja procesa se koriste indeksisposobnosti procesa Cp, Cpk, Cpm itd.

Sposobnost procesa određuje da li je proces u mogućnosti da zadovolji zahteve kupca, odnosnoda li se posmatrana obeležja nalaze u granicama propisanim specifikacijama.

sigma.kapa.short <- sd.est.Rd2.barsigma.kapa.long <- sd.est.allnom.vred <- 30dozv.neg.odstupanje <- nom.vred * 0.09LSL <- nom.vred - dozv.neg.odstupanjeLSL2 <- nom.vred - (2*dozv.neg.odstupanje)USL <- nom.vred + dozv.neg.odstupanje

Na osnovu vrednosti indeksa potencijala procesa moguće je odrediti procenat neadekvatnihproizvoda koji će se nalaziti izvan zahtevane granice specifikacije

cp <- (USL-LSL)/(6*sigma.kapa.short)prob.cp <- 2 * pnorm(-3*cp)proc.neadekvatnih.cp <- prob.cp * 100

Cp= 1.22, procenat izvan granica propisana specifikacijom 0.03 %.Indeks potencijala Cp pokazuje meru rasipanja procesa uz pretpostavku da je srednja vrednost

obeležja jednaka nominalnoj, ne uzima u obzir koliko je srednja vrednost pomerena od nominalnevrednosti, te ne daje dobru procenu udela neodgovarajućih proizvoda kada srednja vrednost nijejednaka nominalnoj.

Indeks sposbnosti procesa Cpk uzima u obzir i udaljenost srednje vrednosti od nominalne.

cpk.L <- (x.bar-LSL)/(3*sigma.kapa.short)cpk.U <- (USL-x.bar)/(3*sigma.kapa.short)cpk <- min(c(cpk.U, cpk.L))prob.cpk.L <- pnorm(-3*cpk.L)prob.cpk.U <- 1 - pnorm(3*cpk.U)prob.cpk <- prob.cpk.L + prob.cpk.Uproc.cpk.L <- prob.cpk.L * 100proc.cpk.U <- prob.cpk.U * 100proc.cpk <- prob.cpk * 100

gde su:Cpkl= 1.81 - indeks sposobnosti procesa kada je data samo donja granica specifikacijeCpku= 0.62 - indeks sposobnosti procesa kada je data samo gornja granica specifikacijeCpk= 0.62 - indeks sposobnosti procesa kada su date i donja i gornja granica specifikacije,a:udeo proizvoda ispod donje granice specifikacije je 0%udeo proizvoda iznad gornje granice specifikacije je 3.1%udeo proizvoda izvan donje i gornje granice specifikacije je 3.1%

proc.izn.nom <- (1 - pnorm((nom.vred-x.bar)/sigma.kapa.long))*100proc.izn.nom

## [1] 90.36524

Udeo proizvoda iznad nominalne vrednosti je 90.37%Indeks sposobnosti procesa Cpm naspram Cp i Cpk uzima u obzir i disperziju i kvadratno

odstupanje srednje vrednosti od nominalne i predstavlja efikasnije sposobnost procesa.

19

cpm <- (USL-LSL)/(6*(sqrt((sigma.kapa.short)^2+(x.bar-nom.vred)^2)))cpm

## [1] 0.5946437

Sa naredbom process.capability iz paketa qcc [10] se mogu dobiti gore navedeni pokazateljisposobnosti procesa.

objX <- qcc(masa, type = 'xbar', plot = FALSE, data.name="Kidy sa mlekom pre optimizacije procesa")process.capability(objX, spec.limits = c(LSL,USL), restore.par="TRUE")

#### Process Capability Analysis#### Call:## process.capability(object = objX, spec.limits = c(LSL, USL), restore.par = "TRUE")#### Number of obs = 1000 Target = 30## Center = 31.32 LSL = 27.3## StdDev = 0.7391 USL = 32.7#### Capability indices:#### Value 2.5% 97.5%## Cp 1.2177 1.1643 1.2710## Cp_l 1.8133 1.7443 1.8822## Cp_u 0.6220 0.5933 0.6508## Cp_k 0.6220 0.5878 0.6563## Cpm 0.5947 0.5601 0.6292#### Exp<LSL 0% Obs<LSL 0%## Exp>USL 3.1% Obs>USL 8.4%

Process Capability Analysisfor Kidy sa mlekom pre optimizacije procesa

28 30 32 34 36

LSL USLTarget

Number of obs = 1000

Center = 31.3207

StdDev = 0.7391163

Target = 30

LSL = 27.3

USL = 32.7

Cp = 1.22

Cp_l = 1.81

Cp_u = 0.622

Cp_k = 0.622

Cpm = 0.595

Exp<LSL 0%

Exp>USL 3.1%

Obs<LSL 0%

Obs>USL 8.4%

Slika 3.4: Sposobnost procesa

Na slici 3.4 se pored vrednosti indeksa sposobnosti procesa prikazuje i očekivani udeo neod-govarajućih proizvoda koji su ispod donje granice i iznad gornje granice specifikacije, kao i udeoneodgovarajućih proizvoda u uzorku.

20

Prema Pravilniku o prethodno upakovanim proizvodima [8] definisano je samo dozvoljenonegativno odstupanje, gornja dozvoljena granica nije definisana.

Prema zahtevima Pravilnika proizvođač mora da ispoštuje tri osnovna pravila:

• da je srednja vrednost veća ili jednaka nominalnoj• da je udeo proizvoda sa masom manjom od dozvoljenog negativnog odstupanja manji od 2,5%,• da ne postoje proizvodi sa masom manjom od dvostruke vrednosti dozvoljenog negativnog

odstupanja.

Na osnovu statističke analize datog procesa zaključujemo da:

• proces odgovara zahtevima Pravilnika, verovatnoća nastanka neodgovarajućih proizvoda čijaje masa ispod dozvoljene granice je veoma mala,

• je udeo proizvoda čija je masa veća od nominalne vrednosti 90.37%• u prisustvu samo opštih poremećaja u procesu, uz standardno odstupanje od 0.7392 g, uz

pretpostavku da je srednja vrednost približno jednaka nazivnoj masi, prema pravilu tri sigme,99.7% proizvoda će imati masu u intervalu 3 sigme, 27.78 i 32.22 g.

Na osnovu prethodno iznetih zaključaka proces je u mogućnosti da daje proizvode prema zahtevimaPravilnika [8] ako je srednja vrednost približno jednaka nazivnoj masi.

Zahtev Pravilnika da srednja vrednost serije bude veća od nominalne vrednosti možemo for-mulisati kao verovatnoću da je srednja vrednost uzorka, X̄ veća od nominalne, NOM jednakjedinici:

P [X̄ > NOM ] = 1.00

odnosno uz rizik od 5% i pretpostavkom da uzoračka srednja vrednost sledi normalnu raspodeluN (µ, σ/

√n)

P [X̄ > NOM ] = 0.95

P [X̄ <NOM − µ0

σ√n

] = 1− 0.95

p[Z <NOM − µ0

σ√n

] = 1− 0.95

NOM − µ0σ√n

= qnorm(1− 0.95)

µ0 = NOM − σ√n∗ qnorm(1− 0.95) (3.1)

Optimalna srednja vrednost mase procesa se dobija prema jednačini 3.1 [6]:

proc.gran1 <- 0.025proc.gran2 <- 0.001opt.masa <- nom.vred - (sigma.kapa.long * qnorm(1-0.95)/(sqrt(ukup.broj.uzor)))opt.masa

## [1] 30.05274

Da bi se ispoštovali zahtevi Pravilnika potrebno je proces voditi sa ciljanom srednjom vrednošćuod 30.05 g.

21

3.3 Kontrolne karte

Da bi se ispoštovali zahtevi Pravilnika [8] nije dovoljno proces voditi sa ciljanom srednjomvrednošću, već je potrebno njeno praćenje u cilju kontrole da li je pod statističkom kontrolom, a uslučaju da nije preduzeti korigujuće akcije.

Radi prikaza kontrolnih karata proces je praćen u toku 3 sata. Uzorci obima 10 su uzeti svakihdeset minuta, i podaci prikazani na kontrolnim kartama.

masa.dataaft <- read.csv('kidyposle.csv')masa.data1aft <- masa.dataaft[,-(1)]masa.data.kolaft <- melt(masa.dataaft, id='UZORAKAFT')masa.data.kol1aft <- masa.data.kolaftmasa.data.kol1aft$variable <- NULLnames(masa.data.kol1aft)[names(masa.data.kol1aft)=="value"] <- "MASAAFT"masa.data.kol2aft <- masa.data.kol1aftmasa.data.kol2aft$UZORAK1AFT <- as.factor(masa.data.kol1aft$UZORAKAFT)attach(masa.data.kol2aft)masa2aft <- qcc.groups(MASAAFT, UZORAKAFT)masaaft <- qcc.groups(MASAAFT, UZORAKAFT)masa.taft <- t(masaaft)masa.tablaaft <- masa.data1aftmasa.tablaaft$min <- apply(masa.data1aft,1,min)masa.tablaaft$max <- apply(masa.data1aft,1,max)masa.tablaaft$R <- masa.tablaaft$max-masa.tablaaft$minR.bar <- mean(masa.tablaaft$R)

Centralna linija je određena na osnovu jednačine 3.1, a gornja i donja kontrolna granica za x̄-kartu prema jednačinama 2.9, a za R-kartu prema jednačinama 2.10.

cent.line <- opt.masad2 <- as.numeric(ss.cc.getd2(ncol(masa.data1)))d3 <- as.numeric(ss.cc.getd3(ncol(masa.data1)))lower.con.lx <- cent.line - ((R.bar * 3)/(d2*(sqrt(ncol(masa.data1)))))upper.con.lx <- cent.line + ((R.bar * 3)/(d2*(sqrt(ncol(masa.data1)))))lower.con.lR <- R.bar - 3 * R.bar * d3/d2upper.con.lR <- R.bar + 3 * R.bar * d3/d2objS0 <- qcc(masa, type="S", plot = FALSE)

Kontrolne karte se u programskom jeziku mogu dobiti korišćenjem funkcije qcc() iz paketa qcc[10]. Kontrolna karta x̄- karta je prikazana na slici 3.5

objX <- qcc(masaaft, type = 'xbar',center = cent.line,limits = c(lower.con.lx, upper.con.lx),label.limits = c("","",""), data.name="Kidy sa mlekom")

xbar Chartfor Kidy sa mlekom

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

29.5

30.0

30.5

31.0

CL

Number of groups = 30Center = 30.05274StdDev = 0.3714533

LCL = 29.70029UCL = 30.40518

Number beyond limits = 10Number violating runs = 1

Slika 3.5: X karta

22

Kontrolna karta R-karta je prikazana na slici 3.6

objR <- qcc(masaaft, type = 'R',center = R.bar,limits = c(lower.con.lR, upper.con.lR),label.limits = c("","",""), data.name="Kidy sa mlekom")

R Chartfor Kidy sa mlekom

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0.5

1.0

1.5

2.0

CL

Number of groups = 30Center = 1.143333StdDev = 0.3714533

LCL = 0.2549892UCL = 2.031677

Number beyond limits = 0Number violating runs = 0

Slika 3.6: R karta

Kontrolna karta S-karta je prikazana na slici 3.7

objS <- qcc(masaaft, type = 'S',label.limits = c("","",""), data.name="Kidy sa mlekom")

S Chartfor Kidy sa mlekom

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

CL

Number of groups = 30Center = 0.3578006StdDev = 0.3678581

LCL = 0.10151UCL = 0.6140911

Number beyond limits = 1Number violating runs = 0

Slika 3.7: S karta

Kontrolne karte x̄-karta, R-karta i S-karta služe za utvrđivanje prisustva posebnih poremećajau procesu. Vrednosti izvan kontrolnih granica ili pojava obrazaca (više uzastopnih tačaka iznadili ispod centralne linije) koje pokazuju trend rasta ili opadanja ukazuju na to da je proces vankontrole, odnosno da postoje značajni uzroci koje treba identifikovati i otkloniti, tj. potrebne sukorigujuće akcije.

Na prezentovnom primeru x̄-karte na slici 3.5 uočene tačke van kontrolnih granica ukazujuna promene u srednjem kvalitetu procesa, i da su u procesu potrebne mere korekcije. Primenom

23

korigujućih akcija (smanjenjem ili produžavanjem dužine štanglice) proces je doveden u stanjekontrole, tačke na kontrolnoj karti su unutar kontrolnih granica. Pošto su tačke na R i S karti,prikazane na slikama 3.6 i 3.7 unutar kontrolnih granica ne postoje indicije da je proces van kontrole,odnosno mere varijacije su u zadanim granicama.

Za detektovanje manjih poremećaja u srednjoj vrednosti se koriste CUSUM i EWMA karte,prikazane na slici 3.8 i 3.9.

objCusum <- cusum(masaaft,label.limits = c("","",""), data.name="Kidy sa mlekom")

cusum Chartfor Kidy sa mlekom

Group

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

−15

−5

05

1015

Cum

ulat

ive

Sum

Abo

ve ta

rget

Bel

ow ta

rget

LDB

UDB

Number of groups = 30Center = 30.10867StdDev = 0.3714533

Decision interval (std. err.) = 5Shift detection (std. err.) = 1No. of points beyond boundaries = 25

Slika 3.8: Cusum karta

objEwma <- ewma(masaaft,label.limits = c("","",""), data.name="Kidy sa mlekom")

EWMA Chartfor Kidy sa mlekom

Group

Gro

up S

umm

ary

Sta

tistic

s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

29.5

30.0

30.5

31.0

Number of groups = 30Center = 30.10867StdDev = 0.3714533

Smoothing parameter = 0.2Control limits at 3*sigmaNo. of points beyond limits = 13

Slika 3.9: Ewma karta

Upoređujući x̄-karte prikazane na slici 3.5 sa Cusum kartom na 3.8 i EWMA kartom na slici 3.9jasno se vidi da su Cusum i EWMA karte u mogućnosti da detektuju i manje promene u srednjojvrednosti pošto one uzimaju u obzir varijacije u više uzastopnih uzetih uzoraka. Dok x̄-karteprikazuju da je proces pod kontrolom, prema Cusum i Ewma kartama proces je van kontrole.

24

Upoređujući sposobnosti procesa iz podataka prikupljenih iz prethodnih procesa iz dužegvremenskog perioda prikazane na slici 2.3 i procesa koji se pratio pomoću kontrolnih karti (slika3.10) može se zaključiti da se primenom statističkih metoda proces može voditi na optimalnomnivou.

objX <- qcc(masaaft, type = 'xbar', plot = FALSE, data.name="Kidy sa mlekom")process.capability(objX, spec.limits = c(LSL,USL))

#### Process Capability Analysis#### Call:## process.capability(object = objX, spec.limits = c(LSL, USL))#### Number of obs = 300 Target = 30## Center = 30.11 LSL = 27.3## StdDev = 0.3715 USL = 32.7#### Capability indices:#### Value 2.5% 97.5%## Cp 2.423 2.229 2.617## Cp_l 2.520 2.348 2.693## Cp_u 2.325 2.166 2.485## Cp_k 2.325 2.135 2.516## Cpm 2.325 2.132 2.518#### Exp<LSL 0% Obs<LSL 0%## Exp>USL 0% Obs>USL 0%

Process Capability Analysisfor Kidy sa mlekom

27 28 29 30 31 32 33

LSL USLTarget

Number of obs = 300

Center = 30.10867

StdDev = 0.3714533

Target = 30

LSL = 27.3

USL = 32.7

Cp = 2.42

Cp_l = 2.52

Cp_u = 2.33

Cp_k = 2.33

Cpm = 2.33

Exp<LSL 0%

Exp>USL 0%

Obs<LSL 0%

Obs>USL 0%

Slika 3.10: Sposobnost procesa

Vrednosti indeksa sposobnosti procesa Cp i Cpk sa 1,22 i 0,62 se povećali na 2,42 i 2,35 a da jeprocenat proizvoda izvan granica specifikacija smanjio sa 3,1% na 0%.

3.4 Kontrola prijema robe

Svrha kontrole mase proizvoda definisana u Pravilniku, jeste da proveri da li je prosek stvarnemase proizvoda u seriji najmanje jednak nazivnoj masi i, istovremeno, da li je broj prethodnoupakovanih proizvoda sa masom proizvoda manjom od dozvoljenih odstupanja prihvatljiv.

Ako se proizvodni proces proverava putem provera metodom slučajnog uzorkovanja, proizvođačmora uspostaviti postupke koji efikasno obezbeđuju da prethodno upakovani proizvodi ispunjavaju

25

zahteve Pravilnika, odnosno da se proizvode u skladu sa priznatim postupcima. Efikasnost metodekontrole prihvatljivosti serije poredi se sa referentnom metodom definisana u Pravilniku [8].

Prema kriterijumu za minimalnu prihvatljivu masu, plan uzorkovanja smatra se uporedivim savrednostima preporučenih u Pravilniku, ako vrednost na apscisi za tačku 0,10 na ordinati operativnekarakteristične krive prvog plana (verovatnoća prihvatanja serije iznosi 0,10) odstupa manje od 15% od apscise odgovarajuće tačke operativne karakteristične krive plana uzorkovanja preporučenog uPravilniku, odnosno

[p10i − p10r] < 15% p10r (3.2)

gde je p10i udeo defektnih proizvoda sa verovatnoćom prihvatanja serije od 10% prema internomplanu uzorkovanja, a p10r udeo defektnih proizvoda sa verovatnoćom prihvatanja serije od 10%prema referentnom planu uzorkovanja.

Referentni plan uzorkovanja u slučaju procesa koji na sat daje više od 10000 kom proizvodaje n=125, d=7 je prikazan na slici 3.11. Operaciona kriva je definisana jednačinom kumulativnebinomne raspodele [19]:

PA =i=d∑i=0

Cinpd(1− p)n−1

par(cex=0.7)n <- 125d <- 7p <- seq(0 , 0.16, by = 0.0001)Pa <- pbinom(q = d, size = n, prob = p)ni <- 74di <- 4pi <- seq(0 , 0.16, by = 0.0001)Pai <- pbinom(q = di, size = ni, prob = p)plot(Pa ~ p, type = "l", lwd = 2, las = 1,xlab = "Udeo defektnih",ylab = "Verovatnoca prihvatanja serije")abline(h=0.1, col ="grey", lty=2)arrows(0.0927, 0.1, 0.0927, 0, code = 2,length = 0.05, col="grey")abline(h=0.95, col ="grey", lty=2)text(0.07, 0.89, labels="A.Q.L. = 3,22%")text(0.14, 0.15, labels="L.T.D.P. = 9,24%")arrows(0.03224, 0.95, 0.03224, 0, code = 2,length = 0.05, col="grey")text(0.033, -0.02, labels="A.Q.L")text(0.0927, -0.02, labels="L.T.D.P")text(0.07, 0.99, bquote(paste("rizik proizvodjaca ", alpha," = 5%")))text(0.14, 0.05, bquote(paste("rizik kupca ", beta," = 10%")))

26

0.00 0.05 0.10 0.15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Udeo defektnih

Ver

ovat

noca

prih

vata

nja

serij

eA.Q.L. = 3,22%

L.T.D.P. = 9,24%

A.Q.L L.T.D.P

rizik proizvodjaca α = 5%

rizik kupca β = 10%

Slika 3.11: Operaciona kriva n=125, d=7

Operaciona kriva u programskom jeziku R može dobiti funkcijom OC2c() iz paketa AcceptanceSampling [20].

refplan <- OC2c(n,d, pd=seq(0.09225,0.0934,0.0001))summary(refplan, full=TRUE)

## Acceptance Sampling Plan (binomial)#### Sample 1## Sample size(s) 125## Acc. Number(s) 7## Rej. Number(s) 8#### Detailed acceptance probabilities:#### Prop. defective P(accept)## 0.09225 0.10078038## 0.09235 0.10013588## 0.09245 0.09949478## 0.09255 0.09885709## 0.09265 0.09822279## 0.09275 0.09759187## 0.09285 0.09696431## 0.09295 0.09634010## 0.09305 0.09571924## 0.09315 0.09510171## 0.09325 0.09448750## 0.09335 0.09387659

Iz operacione krive se vidi da će se sa verovatnoćom od 10% prihvatiti serija sa procentomdefektnih proizvoda od 9,24%, odnosno da je p10r = 0,0924, a iz jednačine 3.2 dobija se da:

p10i < 1, 15 p10r

27

p10r <- 0.0924p10i <- 1.15 * p10rp10i

## [1] 0.10626

odnosno, p10i treba da je manja od 10.63%. Odnosno potrebno je naći plan uzorkovanja gde ćese sa verovatnoćom od 10% (rizik kupca) biti prihvaćena serija sa procentom defektnih proizvoda od10.63%, uz istovremenim rizikom proizvođača od 5%, da će se sa verovatnoćom od 95% prihvatitiserija sa procentom defektnih proizvoda od 2,5%.

Plan uzorkovanja prema zadatim uslovima se u programskom jeziku R može dobiti funkcijomfind.plan() iz paketa Acceptance Sampling.

PRP <- c(0.025,0.95)CRP <- c(p10i,0.1)planuzor <- find.plan(PRP, CRP)planuzor

## $n## [1] 74#### $c## [1] 4#### $r## [1] 5

plankontrole<-OC2c(planuzor$n,planuzor$c)assess(plankontrole, PRP, CRP)

## Acceptance Sampling Plan (binomial)#### Sample 1## Sample size(s) 74## Acc. Number(s) 4## Rej. Number(s) 5#### Plan CAN meet desired risk point(s):#### Quality RP P(accept) Plan P(accept)## PRP 0.02500 0.95 0.96194982## CRP 0.10626 0.10 0.09487687

Da bi se ispoštovala oba rizika potrebno je uzeti 74 uzoraka sa maksimalno dozvoljenih 4defektnih uzorka. Sa funkcijom assess() moguće je proveriti da li dati plan zadovoljava zadaterizike.

par(cex=0.7)n <- 125d <- 7p <- seq(0 , 0.16, by = 0.0001)Pa <- pbinom(q = d, size = n, prob = p)ni <- 74di <- 4pi <- seq(0 , 0.16, by = 0.0001)Pai <- pbinom(q = di, size = ni, prob = p)plot(Pa ~ p, type = "l", lwd = 2, las = 1, col = "grey",xlab = "Udeo defektnih",ylab = "Verovatnoca prihvatanja serije")lines(Pai~pi, col="red")abline(h=0.1, col ="grey", lty=2)arrows(0.0927, 0.1, 0.0927, 0, code = 2,length = 0.05, col="grey")

28

arrows(0.106, 0.1, 0.106, 0, code = 2,length = 0.05, col="grey")abline(h=0.95, col ="grey", lty=2)text(0.134, 0.60, labels="Referentni plan: n=125, d=7")text(0.1288, 0.55, labels="Interni plan: n=74, d=4")arrows(0.09,0.6,0.10,0.6, col="grey", code = 0)arrows(0.09,0.55,0.10,0.55, col="red", code = 0)arrows(0.03224, 0.95, 0.03224, 0, code = 2,length = 0.05, col="grey")arrows(0.0253, 0.95, 0.0253, 0, code = 2,length = 0.05, col="grey")text(0.039, -0.02, labels="3,22%")text(0.0927, -0.02, labels="9,24%")text(0.019, -0.02, labels="2,56%")text(0.11, -0.02, labels="10,06%")text(0.15, 0.95, bquote(paste(alpha," = 5%")))text(0.15, 0.1, bquote(paste(beta," = 10%")))

0.00 0.05 0.10 0.15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Udeo defektnih

Ver

ovat

noca

prih

vata

nja

serij

e

Referentni plan: n=125, d=7Interni plan: n=74, d=4

3,22% 9,24%2,56% 10,06%

α = 5%

β = 10%

Slika 3.12: Uporedni prikaz O-C kriva

Prema kriterijumu za srednju vrednost izračunatu metodom standardne devijacije, plan uzorko-vanja smatra se uporedivim sa preporučenim planom iz Pravilnika, ako, kada se porede operativnekarakteristične krive dva plana uzorkovanja, apscisa od 0,10 ordinate odgovarajuće tačke krive prvogplana uzorkovanja odstupa manje od 0,05 od apscise odgovarajuće tačke krive plana uzorkovanja,gde je vrednost na apcisa osi: λ = Qn−µ

s gde µ označava stvarnu srednju vrednost serije, odnosno:

[λ10i − λ10r] < 0.05λ10r (3.3)

Operaciona karakteristična kriva data je jednačinom:

PA = F[t1−α2 − (λ

√n)

](3.4)

gde su:F funkcija Studentove raspodelePA verovatnoća prihvatanja serijet1−α2 koeficijent pouzdanosti Studentove raspodele sa (n-1) stepeni slobode

29

λ = Qn−µs odstupanje srednje vrednosti izražena u procentima procenjene standardne devijacije

Referentni plan uzorkovanja, odnosno broj proizvoda u uzorku je 50 u slučaju procesa gde jejednočasovna proizvodnja veća od 500 komada, a referentna operaciona kriva dobijena jednačinom3.4 uz rizik kupca od 10% je prikazana na slici 3.13.

par(cex=0.7)rizik <- 10alfa <- rizik/100nivopouzdanossti <- 1-alfaconflevel <- 1-(alfa/2)n <-50t<-qt(conflevel, df=n-1)lambda <- seq(0,1,0.001)lambdasto <- lambda *100prekom <-0pro <- t-lambda*sqrt(n)probab <- pt(pro, df=n-1)probabsto <- probab *100plot(lambdasto, probab, type = "l", lwd = 2, las = 1, col = "grey",xlab = "Odstupanje srednje vrednost u % standardne devijacije",ylab = "Verovatnoca prihvatanja serije")abline(h=0.1, col ="grey", lty=2)text(80, 0.60, labels="Referentni plan: n = 50")text(77, 0.55, labels="Interni plan: n = 46")arrows(50,0.6,60,0.6, col="grey", code = 0)arrows(50,0.55,60,0.55, col="red", code = 0)n.int <-46t.int<-qt(conflevel, df=n.int-1)lambdaint <- seq(0,1,0.001)lambdasto.int <- lambdaint *100pro.int <- t.int-lambdaint*sqrt(n.int)probab.int <- pt(pro.int, df=n.int-1)probabsto.int <- probab.int *100lines(probab.int~lambdasto.int, col='red')

0 20 40 60 80 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Odstupanje srednje vrednost u % standardne devijacije

Ver

ovat

noca

prih

vata

nja

serij

e

Referentni plan: n = 50Interni plan: n = 46

Slika 3.13: Referentna i interna O-C kriva (n = 50 i 46)

30

Referentna operaciona kriva pokazuje da će se sa 10% verovatnoće prihvatiti serija čije jeodstupanje srednje vrednosti od nomilne vrednosti manja za 42,1% procenjene standardne devijacije,odnosno λ10r = 42,1%.

options(scipen=999)kol2 <- round(probabsto,1)kol3 <- round(lambdasto,2)koldata <- data.frame( kol2, kol3)lambda.ref <- c(koldata[which(koldata$kol2==10),1],koldata[which(koldata$kol2==10),2] )lambda.ref

## [1] 10.0 42.1

A prema zahtevu Pravilnika prema jednačini 3.3 dobija se:

λ10i < 1.05λ10r

lambda.int <- 1.05 * lambda.ref[2]lambda.int

## [1] 44.205

Što znači da će plan uzorkovanja biti uporediv sa referentnim planom uzorkovanja ako će se saverovatnoćom od 10% prihvatiti serija sa λ10i = 44.21%. Na osnovu jednačine operacione krive 3.4plan uzorkovanja prema zadatim uslovima treba da ima 46 proizvoda u uzorku.

Na osnovu referentnih operacionih krivi da bi planovi uzorkovanja bili uporedivi sa preporučenimplanovima uzorkovanja iz Pravilnika, za proveru minimalne prihvatljive mase plan uzorkovanjatreba da je 74 uzoraka od kojih 4 uzoraka sme da bude ispod granice specifikacije, a za proverusrednje vrednosti je potrebno uzeti 46 uzoraka.

31

4 ZaključciPrimena statističke kontrole kvaliteta je neizbežan segment u savremenom vođenju procesa

proizvodnje. Merenje, analiza i unapređenje proizvodnog procesa su neophodni koraci za postizanjeoptimalnih ciljeva i smanjenje troškova proizvodnje.

Korišćenje statističkih metoda, kao što su grafičko i numeričko prikazivanje srednje vrednostii mere rasipanja, primena kontrolnih karata, pokazatelji sposobnosti procesa, odabir optimalnihplanova uzorkovanja omogućava prevenciju pojave neusaglašenosti i monitoring procesa, neprekidnounapređenje i usavršavanje.

U prezentovanom primeru primene statističke kontrole kvaliteta u procesu proizvodnje čokola-diranih štanglica su jasno uočljive preduzete mere optimizacije procesa. Iz podataka prikupljenihtokom dužeg vremenskog perioda se vidi da proces nije vođen optimalno, sa srednjom vredošću masevećom za 1,32 g od nominalne, da su pokazatelji sposobnosti procesa Cp i Cpk 1,22 i 0,62 respektivnoi da je udeo proizvoda izvan granica specifikacije 3,1%. Nakon primene kontrolnih karata srednjavrednost masa dovedena je blizu optimalnoj na 30,1 g, pokazatelji sposobnosti procesa Cp i Cpk suse povećali na 2,42 i 2,32 respektivno, udeo proizvoda izvan granica specifikacije smanjen je na 0%.

U statističkoj kontroli kvaliteta koriste se različiti komercijalni statistički programski paketi.Programski jezik R je adekvatna zamena za komercijalne programske pakete kao programski paketotvorenog koda. Velika prednost korišćenja R-a je dostupnost paketa koji su projektovani zastatističku kontrolu kvaliteta, kao što su paketi qcc, AcceptanceSamling, SixSigma. Besplatnodostupna uputstva, video materijali i knjige o primeni R-a u mnogome pomažu u usvajanju korišćenjačak i za početnike.

Ovaj seminarski rad je napisan u LYX-u (ver. 2.1.4) na Mac OS X 10.11.4 operativnom sistemu.RStudio (ver. 0.99.491), kao okruženje za programski jezik R (ver. 3.2.3) je korišćen za pisanje Rkodova i proveru generisanih rezultata odakle su prvobitno napisani R kodovi kopirani i importovaniu LYX.

LYX je tekst procesor zasnovan na LATEX-u koji omogućava generisanje pdf fajlova i omogućavapisanje dokumenata u LATEX formatu bez znanja LATEX komandi, te ga čini vrlo prihvatljim započetnike. Za početne korisnike dostupna je elektronska knjiga o osnovama LATEX-a [21].

Aktiviranjem modula Rnw (knitr) u LYX-u i instaliranjem paketa knitr u RStudio-u omogućenaje integracija R kodova u LYX dokument i reprodukcija rezultata generisanih iz R kodova u vidu pdffajla. Na internet adresi [22] postoji tačno uputstvo o koracima za aktiviranje modula Rnw(knitr) inačina importovanja R kodova u LYX.

32

Literatura

[1] Douglas C. Montgomery. Introduction to Statistical Quality Control. John Wiley & Sons, Inc,7th edition, 2013.

[2] Sarina Abdul Halim Lim, Jiju Antony, and Saja Albliwi. Statistical process control (spc) inthe food industry–a systematic review and future research agenda. Trends in Food Science &Technology, 37(2):137–151, 2014.

[3] Ratomir Paunović and Radovan Omorjan. Osnovi inženjerske statistike. Tehnološki FakultetNovi Sad, 2009.

[4] Chien-Wei Wu, W.L. Pearn, and Samuel Kotz. An overview of theory and practice on processcapability indices for quality assurance. International Journal of Production Economics, 117(2):338 – 359, 2009.

[5] Miodrag Lazić. Sposobnost procesa-merenje i ocena kvaliteta procesa. u: 38. nacionalnakonferencija o kvalitetu festival kvaliteta, 2011. URL http://www.cqm.rs/2011/FQ2011/pdf/38/35.pdf.

[6] M Jeya Chandra. Statistical quality control. CRC Press, 2001.

[7] R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation forStatistical Computing, Vienna, Austria, 2015. URL https://www.R-project.org/.

[8] Pravilnik o prethodno upakovanim proizvodima. “Sl. glasnik RS”, br. 43/2013, 2013.

[9] Ilija Djekic, Nada Smigic, Nikola Tomic, and Andreja Rajkovic. Statistical process control inserbian food packaging. International Journal for Quality Research, 8(3):323–334, 2014.

[10] Luca Scrucca. qcc: an r package for quality control charting and statistical process control. RNews, 4/1:11–17, 2004. URL https://cran.r-project.org/web/packages/qcc/index.html.

[11] Yihui Xie. knitr: A general-purpose package for dynamic report generation in r. r packageversion 1.12.3. 2016.

[12] Hadley Wickham. Reshaping data with the reshape package. Journal of Statistical Software,21(12):1–20, 2007. URL http://www.jstatsoft.org/v21/i12/.

[13] Emilio L Cano, Javier M Moguerza, and Andres Redchuk. Six Sigma with R: Statisticalengineering for process improvement, volume 36. Springer Science & Business Media, 2012.

[14] Emilio L Cano and M.P. Moguerza, Javier Mand Corcoba. Quality Control with R: An ISOStandards Approach. Use R! Springer International Publishing, 2015.

[15] David B. Dahl. xtable: Export Tables to LaTeX or HTML, 2016. URL https://CRAN.R-project.org/package=xtable. R package version 1.8-2.

[16] Andrie De Vries and Joris Meys. R for dummies. John Wiley & Sons, 2015.

[17] Radovan Omorjan. Empirijska raspodela, 2015. URL http://www.tf.uns.ac.rs/moodle/mod/resource/view.php?id=971.

[18] MK Clayton & BS Yandell EV Nordheim. Using r to find confidence intervals, 2003. URLhttps://www.stat.wisc.edu/~yandell/st571/R/append7.pdf.

[19] Duran Alain. The statistical principles of the metrological surveillance of the net content ofprepackages as laid down by the cee 76-211 directive, 2004. URL https://www.oiml.org/en/files/pdf_e/e004-e04.pdf.

33

[20] Andreas Kiermeier. Visualizing and assessing acceptance sampling plans: The R packageAcceptanceSampling. Journal of Statistical Software, 26(6), 2008. URL http://www.jstatsoft.org/v26/i06/.

[21] Samardžić Aleksandar, Nenadić Goran, and Janičić Predrag. Latex za autore, 2003. URLhttp://poincare.matf.bg.ac.rs/~janicic//books/latex2e.pdf.

[22] Yihui Xie. Using knitr with lyx. URL http://yihui.name/knitr/demo/lyx/.

34