PRIMER PARCIAL DE MATEMATICA I 7AM

Una de las posibles soluciones de este parcial es la siguiente:

1).Dados los siguientes conjuntos de parejas ordenadas:f = −2, 0, −1, 1, 0, 4, 1, 9, 2, 16, 3, 5g = −5,−4, −3, 0, 1,−4, 2,−1, 4, 2, 5, 2, 7, 3a).Explique por qué f y g son funcionesRespuesta f y g son funciones por que si una función está dada por parejas

ordenadas, se debe cumplir que la primera componente de cada pareja ordenadadeben ser diferentes (No se repite la primera componente de las parejas ordenadas).

Otra respuesta posible es: f y g son funciones si y solo si cada elemento del primerconjunto le corresponde un único elemento en el segundo conjunto

b)Halle f ∘ g, y el dominio de f ∘ gRespuesta sabemos que f ∘ gx = fgx como tenemos funciones con

dominios finitos calculamos la función compuesta punto a puntof ∘ g−5 = fg−5 = f−4 no existe

f ∘ g−3 = fg−3 = f0 = 4f ∘ g1 = fg1 = f−4 = no existe

f ∘ g2 = fg2 = f−1 = 1f ∘ g4 = fg4 = f2 = 16f ∘ g5 = fg5 = f2 = 16f ∘ g7 = fg7 = f3 = 5

f ∘ g = −3, 4, 2, 1, 4, 16, 5, 16, 7, 5Df∘g = −3, 2, 4, 5, 7

c).Dando las explicaciones correspondientes, determine si las funciones dadas oalguna de ellas es uno a uno y sobre su dominio y en el caso de que sea hallar suinversa

f = −2, 0, −1, 1, 0, 4, 1, 9, 2, 16, 3, 5

Respuesta f es uno a uno porque a cada elemento del dominio le corresponde unaimagen diferente, f es sobre porque la imagen de f lo forman las segundascomponentes de la parejas luego f tiene inversa

su inversa es f−1 = 0,−2, 1,−1, 4, 0, 9, 1, 16, 2, 5, 3Los elementos de la imagen de f se convierten en el dominio de f−1 y los elementos

del dominio de f se convierten en la imagen de f−1

g no es uno a uno porque −5 ≠ 1 y f−5 = f1 y deben ser diferentes

2.) Dibuje la grafica de la función dada y determine el dominio y su rango

fx =

|2x + 10| si −6 ≤ x < −3x2 + 1 si 0 ≤ x < 4

2 − x − 6 si 6 ≤ x < 15

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-1

1

2

3

4

x

y

3.)Dada la función y = 2 sin3x − 3π2

Respuestaa.)Amplitud 2 periodo 2π

3 desplazamiento de fase π2

b.)Halle todos los ceros reales de la función dada y = 2sen3x − 3π2

Respuesta solo tenemos que hacer y = 00 = 2sen3x − 3π

2

2sen3x − 3π2 = 0

sen3x − 3π2 = 0

arcsensen3x − 3π2 = arcsen0

a que valores se debe aplicar el seno para que nos de cero,claramente son 0,π y2π

3x − 3π2 = 0 y 3x − 3π

2 = π y 3x − 3π2 = 2π

3x = + 3π2 3x = π + 3π

2 3x = 2π + 3π2

1 x = + 3π6 = π

2 2 x = + 5π6 3 x = 7π

6

SolucionesS1 = x ∈ R/x = π

2 + 2πk, k ∈ Z

S2 = x ∈ R/x = + 5π6 + 2πk, k ∈ Z

S3 = x ∈ R/x = 7π6 + 2πk, k ∈ Z

Solución total . Estos son los ceros reales S1 ∪ S2 ∪ S3

c).Halle todos los cortes de la gráfica de la función dada y = 2sen3x − 3π2 con la

recta y = −2Respuesta reemplazamos y = −2

y = 2sen3x − 3π2

−2 = 2sen3x − 3π2

2sen3x − 3π2 = −2

sen3x − 3π2 = −1

Sen−1sen3x − 3π2 = sen−1−1

3x − 3π2 = 3π

2

3x = 3π2 + 3π

2 = 3π

x = π valor en una vuelta de la circunferencia unitariaEn todos los reales los cortes de la función con la recta y = −2 es el conjunto

x ∈ R/ x = π + 2πk, k ∈ Z

4). Utlice la siguiente identidad sena − senb = 2cos a+b2 sen a−b

2 para hallar todaslas soluciones de la ecuación

sen3x − senx = 0Respuesta En nuestro caso a = 3x y b = xreemplazando tenemos sen3x − senx = 2cos 3x+x

2 sen 3x−x2 = 2cos2xsenx = 0

2cos2xsenx = 0cos2xsenx = 0

cos2x = 0 o senx = 0de cos2x = 0 tenemos 2x = π

2 o 2x = 3π2

x = π4 o x = 3π

4 valores en una vuelta de lacircunferencia unitaria

La solución entodos los reales es:S1 = x ∈ R/x = π

4 + 2πk, k ∈ Z ∪ x ∈ R/x = 3π4 + 2πk, k ∈ Z

De senx = 0 tenemos x = 0 x = π, x = 2π tomaremos x = 0 y aqui quedan lassoluciones de x = 2π

S2 = x ∈ R/x = 2πk, k ∈ Z ∪ x ∈ R/x = π + 2πk, k ∈ ZLa solución total es s1 ∪ s2

SOLUCION DEL PARCIAL DE MATEMATICA I 10AM

Una de tantas formas de solucionar el parcial es la siguiente:1.) Dados los siguientes conjuntos de parejas ordenadasf = −2,−1, −1, 0, 0, 3, 1, 8, 2,−4, 3, 7,g = −2, 0, −1, 4, 1, 5, 2, 7, 1, 6, 3, 5 yh = −3, 5, −1, 0, 1,−4, 3, 0, 5, 12a)Determine cuáles de estos conjuntos de parejas ordenadas es función. Justifique

por qué es, o no es función

Respuesta f y h son funciones,Justificación: Si una función está dada por parejas ordenadas, se debe cumplir que

la primera componente de cada pareja ordenada deben ser diferentes (no se repite laprimera componente de la parejas ordenadas)

g no es función falla la justificación anterior contiene las parejas 1, 5, 1, 6

b)Determine cuáles de las funciones encontradas en el literal a) es uno a uno sobresu dominio

Respuesta f tiene inversa porque es uno a uno sobre su dominio, ya que para dosvalores diferentes del domino, le corresponden imagenes diferentes

h no tiene inversa porque no es uno a uno, a dos elementos diferentes del dominiole corresponde la misma imagen estos

son −1, 0 y 3, 0La inversa de f es f−1 = −1,−2, 0,−1, 3, 0, 8, 1, −4, 2, 7, 3 los elementos del

dominio de f se convierten en la imagen de f−1 y los elementos de la imagen de f seconvierten en el dominio de f−1

2) sea fx =x−2 −x

x2−4x−5y sea gx = 4

x−1 hallar f ∘ gx y el dominio de f ∘ g, Df∘g

a)Hallar f ∘ gxRespuesta

f ∘ gx = fgx = f 4x−1 =

4x−1 − 2 − 4

x−1

4x−1

2− 4 4

x−1 − 5=

4−2x+2x−1 − 4

x−1

4x−1

2− 4 4

x−1 − 5=

6−2xx−1 − 4

x−1

4x−1

2− 4 4

x−1 − 5

se puede continuar pero hasta este resultado es un buen trabajo

b).Hallar el dominio de f ∘ gRespuesta Hallamos primero el dominio de g gx = 4

x−1 Dg = R − 1

hallemos el dominio de f fx =x − 2 − x

x2 − 4x − 5=

x − 2 − xx − 5x + 1

el dominio de f

Df = 2,∞ − 5Dominio de f ∘ g Df∘g = x ∈ Dg /gx ∈ Df

gx = 4x−1 Df = 2,∞ − 5

Los valores de g(x) deben estar en el intervalo es decir 4x−1 ≥ 2 y 4

x−1 ≠ 54

x−1 − 2 ≥ 04−2x+2

x−1 ≥ 06−2xx−1 ≥ 0

Resolvamos la inecuación6 − 2x _+__+___+____0_+__+_+++_3_-___-___-__

x − 1 __-___-___-____0_-_1_+__+___+____+__6−2xx−1 __-___-___-____0_-_1_+++_+_3_-__-__-___-__

Solución de la inecuación 6−2xx−1 ≥ 0 es 1, 3 falta resolver 4

x−1 ≠ 5 hagamos4

x−1 = 5 entonces 4 = 5x − 5 de donde x = 95

esto me indica que 95

no pertenece al

dominio de la compuesta

Df∘g = 1, 3 − 9/5

3)Determinar el dominio y los ceros reales de la función

fx = x2 + x − 22x3 − 11x2 + 13x − 4

Respuesta para hallar el dominio de la función debemos factorizar el denominador,aplicando la división sintética

2x3 − 11x2 + 13x − 4 = x − 12x − 1x − 4

fx = x2 + x − 22x3 − 11x2 + 13x − 4

= x2 + x − 2x − 12x − 1x − 4

Df = R − 12 , 1, 4

Los ceros reales de la función, los encontramos haciendo y = 0, factorizando elnumerador y simplicando

0 = x2 + x − 22x3 − 11x2 + 13x − 4

0 =x + 2x − 1

x − 12x − 1x − 4=

0 =x + 2

2x − 1x − 4el único cero real es x = −2

4).Dada la función y = 4cos3x + π2

a) Respuesta Su amplitud es 4, el periodo es T = 2π3 el desplazamiento de fase

es− π

2

3= − π

6Grafiquemosla en un periodo para ello resolvamos 0 ≤ 3x + π

2 ≤ 2π

- π2 ≤ 3x ≤ 2π − π

2 = 3π2

- π2 ≤ 3x ≤ 3π

2

- π6 ≤ x ≤ 3π

6

En este periodo T = 2π3 = 4π

6 graficamos la función y = 4cos3x + π2

Hagamos la gráfica pedida en − 5π6 , 4π

3 o lo que es lo mismo − 5π6 , 8π

6

b)Hallar los ceros reales y = 4cos3x + π2

Hacemos y = 0 y tenemos la ecuación 0 = 4 cos3x + π2 ,

4cos3x + π2 = 0

cos3x + π2 = 0

cos−1cos3x + π2 = cos−10

3x + π2 = π

2 o tambien 3x + π2 = − 3π

2

O tambien podría decir "a que valores aplico el coseno para que el resultado sea 0,la respuesta es π

2 ,− 3π2 en una vuelta de la circunferencia unitaria"

3x + π2 = π

2

3x = 0 entonces x = 0s1 = x ∈ R/x = 2πk, k ∈ Z

de 3x + π2 = − 3π

2

3x = − 4π2

x = − 4π6 = − 2π

3

s2 = x ∈ R/x = − 2π3 + 2πk, k ∈ Z

Solución s1 ∪ s2

c)Hallar todos los cortes de la gráfica de la función y = 4cos3x + π2 con la recta

y = 4Solo tenemos que resolver la ecuación 4 cos3x + π

2 = 4

cos3x + π2 = 1

cos−1cos3x + π2 = cos−11

3x + π2 = 0 o 3x + π

2 = 2π

x = − π6 o x = 3π

6 = π2 valores en una

vuelta dela circunferencia unitariaSolución en los reales S1 ∪ S2 donde s1 = x ∈ R/x = − π

6 + 2πk, k ∈ z ys2 = x ∈ R/x = π

2 + 2πk, k ∈ z