prof. dr. M Četina mag. M. Krzyk

prof. dr. Matjaž ČETINA *

mag. Mario KRZYK**

- 152- AKTUALNI VODNOGOSPODARSKI PROJEKTI IN OBJEKTI

v

PRIMERJAVA DVODIMENZIJSKIH MATEMATICNIH MODELOV PCFLOW2D IN RUBAR20 NA PRIMERU USEDANJA

v

LEBDECIH PLAVIN V PTUJSKEM JEZERU

POVZETEK

Za račun tokov in usedanja lebdečih plavin v Ptujskem jezeru sta bila primerjalno uporabljena dva dvodimenzijska modela: PCFLOW2D, razvit na FGG v Ljubljani in RUBAR20, ki ga uporablja francoski institut CEMAGREF iz Lyona. V prispevku so najprej na kratko opisane teoretične osnove obeh modelov, ki poleg hidrodinamičnih modulov vsebujeta še transportno-disperzijska modula. Primerjava rezultatov obeh modelov je bila narejena v okviru enega od projektov francosko-slovenske povezovalne dejavnosti PROTEUS v letih 1995-1997. Pokazalo se je, da so gladine in hitrosti toka pri obeh modelih zelo podobne. Manjše lokalne razlike nastopajo zaradi interpolacij pri podajanju kot dna, ki zaradi razlik v numeričnem reševanju niso podane v istih točkah. Pri računu usedanja lebdečih plavin so razlike med modeloma nekoliko večje . To gre pripisati predvsem konceptualnim razlikam pri formulaciji izvornega člena v konvekcijsko difuzijski enačbi , ki opisuje proces izmenjave plavin med tekočino in dnom. Temu členu je potrebno pri umerjanju posvetiti posebno pozornost.Če račune primerjamo z meritvami usedanja, so rezultati modela RUBAR20 nekoliko manj zadovoljivi kot tisti , dobljeni z modelom PCFLOW2D. Slednjega lahko uporabimo kot orodje pri simulaciji kontroliranega usedanja v jezeru, ki ga želimo doseči v okviru prOjekta Sanacija in vitalizacija Ptujskega jezera.

Ključne besede: dvodimenzijski matematični modeli, transport lebdečih plavin , usedanje, erozija, Ptujsko jezero, PCFLOW2D, RUBAR20

UVOD

Transport lebdečih plavin lahko modeliramo z uporabo konvekcijsko-difuzijske enačbe za koncentracijo enega ali večih velikostnih razredov plavin. Takšni modeli se pogosto uporabljajo za račun usedanja v akumulacijah. Pri rečnih pretočnih hidroelektrarnah so te ponavadi dolge in razmeroma plitve, zato se največkrat uporabljajo dvodimenzijski (2D) globinsko povprečni modeli. Majhne hitrosti povzročijo usedanje, pri čemer je poglavitna težava v definiciji izmenjave med dnom in vodo, ki je odvisna od številnih faktorjev: velikosti delcev, turbulence, medsebojnega vpliva delcev itd. Proces je tako kompleksen, da običajno uporabimo samo en velikostni razred plavin in na ta način zmanjšamo število parametrov, ki jih je treba umeriti. Tudi po tej poenostavitvi imamo še vedno več možnosti za modeliranje resničnega pojava, predvsem obstajajo različne relacije za opis izmenjave plavin. Hidrodinamiko (hitrosti in globine) in transport plavin običajno rešujemo z enačbami za globinsko povprečni tok, pri čemer se postavlja vprašanje , ali uporabiti stalni ali nestaini tok. Pri nestalnem toku je možno simulirati spreminjanje dotokov vode in plavin tekom leta, vendar velikokrat zlasti vtočnih koncentracij lebdečih plavin nimamo izmerjenih. Drugo vprašanje je, ali lahko nekaj poplavnih valov, ki jih opišemo s srednjim pretokom in koncentracijo plavin res povzroči npr. 90% usedlin? Ta in podobna ključna vprašanja modeliranja transporta lebdečih plavin v akumulacijah so podrobno obravnavana vliterauri [1] in [5] .

Tudi izbira numerične metode z uporabo gostejše pravokotne mreže ali redkejše krivočrtne nepravokotne mreže, ki jo prilagodimo robovom računskega področja , pomembno vpliva na rezultate. V tem prispevku smo se zato omejili na primerjavo dveh 2D modelov, ki smo ju testirali na primeru stalnega toka in usedanja lebdečih plavin v Ptujskem jezeru:

• prof. dr. Matjaž ČETI NA, univ. dipl. ing. gradb., FGG - Hidrotehnična smer, Hajdrihova 28, 1000 Ljubljana

•• mag. Mario KRZYK, univ. dipl. ing. gradb., FGG - Hidrotehnična smer, Hajdrihova 28, 1000 Ljubljana

MISIČEV VODARSKI DAN '98

•

"

..

doc. dr. M Celina - 153 - HIDROLOGIJA V PROJEKTIH mag. M. Krzyk GOSPODARJENJA Z VODAMI

- PCFLOW2D (hidrodinamika) in TCONC (transport lebdečih plavin), ki sta bila razvita na Katedri za mehaniko tekočin FGG Univerze v Ljubljani in modelirata stalni tok na pravokotni mreži ([2], [5]) ter

- RUBAR20, ki ga je razvil CEMAGREF iz Lyona in simulira nestaini tok na nepravokotni krivočrtni mreži [7].

OSNOVNE ENAČBE

Enačbe za globinsko povprečni tok in konvekcijsko-difuzijska enačba za plavine so uporabljene v Kartezijevem koordinatnem sistemu v naslednji obliki:

(; (h) + (; (hu) + (; (hv) = O at dX dy

(1 )

(2)

d(hC) + d(huC) + d(hvC) = ~(h dCJ+~(h dC '- S at dX dy dX rx dX dy ry dy) d

(4)

kjer je h globina vode, U in v sta hitrosti v x in y smeri, Zb je kota dna, n je koeficient hrapavosti po Manningu, 9 je zemeljski težnostni pospešek, Vef je kinematični koeficient efektivne viskoznosti, C je

koncentracija plavin, r x in r y sta koeficienta turbulentne difuzije, ki sta ponavadi povezana z v ef

preko Schmidtovega števila.

Pri hidrodinamiki so razlike med mode loma naslednje: 1) PCFLOW2D ne upošteva členov s časovnim i odvodi, ker gre za model stalnega toka. 2) PCFLOW2D rešuje dve dodatni enačbi za transport turbulentne kinetične energije na enoto

mase k in stopnjo njene disipacije c, preko katerih se dobi Vef V vsaki točki računskega

področja , medtem ko RUBAR20 uporablja konstanten koeficient V ef .

3) Izvorni člen Sd je v TCONC definiran z izrazom ([5], [11], [3], [10]):

Sd = exp --- ~Co-C· +C·-Co ( aWsl \/ )

hV ) (5)

kjer je Co gorvodna koncentracija, Ws je hitrost usedanja, C· je ravnovesna concentracija, V hitrost v smeri v kateri je I razdalja med koncentracijama C in Co in a brezdimenzijski koeficient, ki ga je treba umeriti z meritvami.

4) V programu RUBAR20 se izvorni člen Sd izračuna bodisi s pomočjo izraza (6) :

(6)

ki je ekvivalenten en. (5) za stalni tok, ko gre prostorski korak proti nič, bodisi s pomočjo enačbe (7):

(7)

MiŠiČEV VODARSKI DAN '98

prof. dr. M Celina mag. M. Krzyk

- 154- AKTUALNI VODNOGOSPODARSKI PROJEKTI IN OBJEKTI

kjer je'Z strižna napetost pri dnu, 'z CR je kritična strižna napetost in M koeficient, ki ga je

treba umeriti. Pri procesu erozije (ki pa v primeru Ptujskega jezera ni bila obravnavana, ker je prisotna v minimalnem obsegu) sta vrednosti Min 'ZCR često vzeti kot konstanti , pri procesu

odlaganja pa sta odvisni od hitrosti usedanja in hidrodinamičnih karakteristik. En. (7) je ekvivalentna en.(6), kjer je ravnovesna koncentracija enaka konstanti, pomnoženi s hitrostjo usedanja in hitrostjo vode.

Nadaljnja možnost v programu RUBAR20, ki pa v primeru Ptujskega jezera ni bila uporabljena, so spremembe kot dna med računom . To opcijo je smiselno upoštevati samo v primeru, če so spremembe kot dna vsled erozije ali usedanja tolikšne, da lahko bistveno vplivajo na hidrodinamične karakteristike.

V programu PCFLOW2D se enačbe rešujejo na pravokotni mreži s pomočjo metode končnih volumnov, ki se je uporabljala že v osnovni verziji programa TEACH za račun eliptičnih recirkulacijskih tokov [4] . Hidrodinamične karakteristike (hitrosti in globine) ter transport plavin (koncentracije) se računajo z dvema ločenima programoma PCFLOW2D in TCONC. RUBAR20 pa uporablja eksplicitno Godunovo shemo končnih volumnov drugega reda točnosti [7] . Numerična mreža je lahko sestavljena iz trikotnikov ali četverokotnikov , edina omejitev je, da imata dve sosednji celici skupen rob. Vse enačbe se rešujejo hkrati.

PRIMER PTUJSKEGA JEZERA

Primer Ptujskega jezera smo za primerjavo obeh modelov izbrali zato, ker imamo z njim nekaj izkušenj in je bil s programom PCFLOW2D že obravnavan v nekaj prejšnjih prispevkih , med drugim tudi na Mišičevih dnevih [6], [9] . Ptujsko jezero je akumulacija na reki Dravi, ki je nastala s pregraditvijo stare struge z jezom v Markovcih. Akumulacija z volumnom 22 milijonov m3 je približno 5.5 km dolga in 1 km široka. Povprečna globina je 5 m, maksimalna pa okrog 12 m. Instaliran pretok, ki odteka v dovodni kanal za HE SD II (HE Formin) je 450 m3/s. Tekom dosedanjega obratovanja je usedanje lebdečeh plavin v jezeru povzročilo dvig dna za povprečno okoli 0.5 m. V okviru naloge Sanacija in vitalizacija Ptujskega jezera in razvojno raziskovalne naloge Modeli transporta polutantov v površinskih in talnih vodah (1996 -1998) , katere sofinancer je tudi Mestna občina Ptuj , se je pristopilo k modeliranju dogajanja v jezeru, da bi se doseglo kontrolirano usedanje na določenih mestih. Umerjanje modela je bilo izvršeno na osnovi meritev dna iz let 1981 in 1991 ter pri pretoku Q = 964 m3/s, pri katerem so bile leta 1993 opravljene meritve hitrosti in gladin ter vtočnih koncentracij lebdečih plavin [8] . Za simulacijo dogajanja v jezeru so bili nato izbrani naslednji reprezentativni hidrološki in hidravličn i podatki: pretok Q = 1239 m3/s s petletno povratno dobo, vtočna koncentracija lebdečih plavin 0.525 gll , premera zrn dso = 0.042 mm ter d90= 0.069 mm in gostota sedimenta PS = 2200 kg/m3

•

I Z<211

•

• Slika 1: Topografija dna Ptujskega jezera - kote dna Z so v m nadmorske višine

MiŠiČEV VODARSKI DAN '98

•

..

doc. dr. M Celina mag. M. Krzyk

Primerjava hidrodinamičnih rezultatov

Narejeni so bili trije računi :

- 155 - HIDROLOGIJA V PROJEKTIH GOSPODARJENJA Z VODAMI

R1) S programom PCFLOW2D in pravo kotno mrežo s korakom 25 m po širini jezera v x-smeri in 50 m vzdolž jezera v y-smeri. Topografija dna je bila interpolirana iz izmerjenih prečnih profilov leta 1981 , katerih tlorisni položaj je razviden iz slike 3a.

R2) S programom RUBAR20 in enako mrežo 25 x 50 m. Ker pa so kote dna kot vhodni podatek podane v ogliščih in ne v središču končnih volumnov (kot pri PCFLOW2D), je bilo potrebno originalno topografijo dna, ki smo jo uporabili pri programu PCFLOW2D, še enkrat interpolirati.

R3) S programom RUBAR20 in nepravokotno mrežo, prilagojeno bregovom akumulacije. Topografija dna je bila neposredno interpolirana iz originalnih prečnih profilov, izmerjenih leta 1981.

Pri vseh računih je bila u8:0števana dolvodna kota gladine Z = 220 m in enoten koeficient hrapavosti po Manningu n = 0.026 sm' 13 po celem jezeru.

Hitrosti v y-smeri so pri računu R2 za približno 0.1 mis višje kot pri računu R1 (pri povprečni vrednosti okrog 0.3 mis). Zaradi tega so tudi izgube energije večje in izračunana razlika gladine med gorvodnim in dolvodnim koncem jezera 40 cm namesto 30 cm kot v računu R1 . Glavni razlog za razliko je verjetno oženje prečnih profilov zaradi že omenjene dvojne interpolacije topografije dna. Pri primerjavi računov R1 in R3 pa smo dobili kljub različni mreži bistveno manjše razlike: kote gladine so bile v gorvodnem koncu jezera praktično enake z maksimalnimi odstopanji do 5 cm. Nekaj razlik pa je ostalo pri hitrostih: v splošnem daje pri večjih hitrostih račun R3 nekaj višje hitrosti kot R1 , pri nižjih hitrostih pa višje.

Mf:HII.O

nolžJf1 o 250 " ,

hilro::;U o o 5 mis

500 m , .... -- -_._--

. --lWll1l1~~

"lIjl!!~m:p: -"'L .•

• Slika 2: S programom PCFLOW2D izračunano hitrostno polje v jezeru pri pretoku Q5=1239 m3/s

Absolutne vrednosti hitrosti v prečni x-smeri so pri računih R3 in R2 za 10 do 20 % (1 do 2 cm/s) višje kot pri računu R1 . Pri računu R2 so glavni razlog za višje hitrosti topografske spremembe dna zaradi potrebne dvojne interpolacije. Pri R3 pa je verjetni razlog za razlike izbira robovom prilagojene nepravilne numerične mreže, ki povzroči bolj izrazito "meandriranje" dna.

Ugotovimo lahko, da je definicija topografije dna zelo pomembna. V primeru spremembe numerične mreže je težko ugotoviti , ali so glavni razlog za razlike dodatne interpolacije kot dna ali že omenjeno "meandriranje". Vsekakor pa so si rezultati računov R1 in R3 dovolj podobni , da jih lahko uporabimo za primerjavo transporta in usedanja lebdečih plavin .

Primerjava useda nja lebdečih plavin

Na izvorni člen v transportni enačbi za transport lebdečih plavin (4) vpliva več parametrov, med katerimi je samo dva težko izmeriti :

Ravnovesno koncentracijo, ki je v glavnem odvisna od velikosti delcev ter hitrosti in globine vode. Za določitev te koncentracije je bila v programu TCONC uporabljena vertikalna porazdelitev

MiŠiČEV VODARSKI DAN '98

prof. dr. M Četina · 156 · AKTUALNI VODNOGOSPODARSKI mag. M. Krzyk PROJEKTI IN OBJEKTI

koncentracije po Rousu, pri čemer je bila koncentracija pri dnu izračunana s pomočjo metode Van Rijna [11 l, ki vsebuje več empiričnih koeficientov.a) .

a)

MERILO

250 ... ,......,:;:-. --------..,,.--..,

~. o':... :w. ..

. ~ "-'; .... .'~ ~~: ~~ .. ". /. . '-1,: . e •

.. ' :~. ~ . o"::"

•... " ; ' .

. "';-.- . . ,' ", '- "

' .. ~ ,. .•. ' • " • > " '" c . ... • ......... : ••••• , ~ '_'M' ,'_

I.egenda : C;:'J 1 m naplavin 2 m naplavin

b)

MERILO

o ~

r '- , lJ ~<) II

J o J

Legenda . ._J 1/ 3 višine naplavin cl 2/ 3 višine naplavin cl maksimalna višina naplavin

c)

Usedanje lebdečih plavin v ~m/h

Slika 3: Primerjava debeline usedlega materiala a) meritve, b) rezultati modelov PCFLOW2D in TCONC, c) rezultati modela RUBAR20.

MiŠiČEV VODARSKI DAN '98

•

..

doc. dr. M Celina mag. M. Krzyk

- 157- HIDROLOGIJA V PROJEKTIH GOSPODARJENJA Z VODAMI

- Brezdimenzijski koeficient a. Pri umerjanje primera Ptujskega jezera smo dobili vrednost a = 0.1. Povečanje koeficienta a povzroči pomik usedanja plavin proti gorvodnemu koncu jezera.

Pri programu RUBAR20 je bila v primeru uporabe enačbe (6 za ravnovesno koncentracijo ) upoštevana enaka enačba kot pri PCFLOW2D. Rezultate smo primerjali s tistimi, dobljenimi z uporabo enačbe (7) .

Če v enačbi (7) uporabimo konstantne vrednosti za M in 'ZCR v običajnih mejah, dobimo precej

drugačne rezultate . Tudi pri uporabi drugih relacij za M in 'ZCR rezultati niso bistveno drugačni .

Pokazalo pa se je, da daje račun z vrednostjo a = 0.2 nekoliko drgačno razporeditev usedlin v jezeru , ki je bližje merjenim vrednostim.

Na sliki 3 je prikazana končna primerjava razporeditve usedlega materiala v jezeru , dobljene z meritvami ter programoma TCONC in RUBAR20. Na slikah so podane le relativne debeline usedlin, saj čas trajanja izbranega pretoka ni bil določen . Model TCONC daje premajhno usedanje ob desnem bregu, model RUBAR20 pa preveliko usedanje v gorvodnem delu jezera, predvsem pri nizkih hitrostih in deloma tudi v sredini toka, kjer so hitrosti velike. Primerjava koncentracij lebdečih plavin v toku pa pokaže, da daje TCONC nižje in bolj homogene koncentracije. Razliko je delno možno pripisati različni numerični difuziji obeh modelov zaradi drugačnih numeričnih shem.

ZAKLJUČKI

Primerjava rezultatov obeh 2D modelov je v primeru Ptujskega jezera pokazala zadovoljivo ujemanje pri gladinah in hitrostnem polju, manjše razlike pa se pojavijo le lokalno. Vzrok zanje je verjetno v različnem podajanju kot dna in s tem povezanih dodatnih interpolacijah originalne topografije dna. Problem nastane zaradi prevelikih prostorskih korakov, vendar je gostota numerične mreže takšna, kot se običajno uporablja pri inženirskih izračunih v praksi. Pri razporeditvi usedlega materiala podobnost rezultatov obeh modelov ni tako očitna . Za odstopanja smo identificirali tri možne vzroke: manjše razlike v izračunani hidrodinamiki, različni numerični shemi obeh modelov in razlike v definiciji izvornega člena za usedanje lebdečih plavin. Zadnji vzrok je gotovo najpomembnejŠi, pri čemer je še posebej težavno umerjanje umerjanje parametrov v izvornem členu . Temu je pri uporabi podobnih modelov v praksi potrebno posvetiti še posebno pozornost in skrb.

LITERATURA

1. Bessenasse, M., Paquier, A., Ramez, P. and Massart, S. (1998) . Sediment deposits in areservoir . Possible methods of estimation and choice, Amhy annual seminar. Theme VII "Erosion and sediment transport", Istanbul, Turkey.

2. Četina M. , Krzyk M. (1996). Simulacija toka v kajakaški progi v Solkanu, Računalnik v gradbenem inženirstvu, Ljubljana, 13.-14.6.1996, Zbornik del (urednik J . Duhovnik) , str. 39-46, 1996, ISBN 961-6167 -13-8.

3. Cheng, K.J. (1985). An Integrated Suspended Load Equation for Non-equilibrium Transport of Non-uniform Sediment. Journal of Hydrology, 79: 359-364.

4. Gosman, A.D. and Ideriah, F.J .K. (1976) . TEACH-T: A General Computer Program for Two­dimensional, Turbulent, Recirculating Flows. Dept. of Mechanical Engineering, Imperial College, London.

5. Krzyk, M. (1997). Dvodimenzijski matematični model konvekcijsko-difuzijskega transporta snovi in lebdečih plavin v površinskih vodah, Acta hydrotechnica, Univerza v Ljubljani , FGG- Hidrotehnična

smer, št. 15/15, ISSN 0352-3551. 6. Krzyk M., Četina M. (1995) . Transport in usedanje lebdečih plavin v Ptujskem jezeru - meritve in

simulacija z matematičnim modelom, Mišičev vodarski dan 1995, Maribor, 8.12.1995, Zbornik referatov, str. 92-99, 1995, ISSN 1318-2226, COBISS-ID 36430081.

7. Paquier, A. (1995). Modelisation et simulation de la propagation de I'onde de rupture de barrage. PhD Thesis, Universite Jean Monnet de Saint Etienne.

8. Rajar R., Četina M., Krzyk M. (1994). Sanacija in vitalizacija Ptujskega jezera, FAGG, Ljubljana, 31. str. + 45 prilog, Vodnogospodarski biro, Maribor.

MiŠiČEV VODARSKI DAN '98

prof. dr. M Celina - 158 - AKTUALNI VODNOGOSPODARSKI mag. M. Krzyk PROJEKTI IN OBJEKTI

9. Rajar R., Četina M., Krzyk M. (1993). Modeliranje tokov in sedimentacije v Ptujskem jezeru, Mišičev vodarski dan, Maribor, 3.12.1993, Zbornik del, str. 117-126.

10. Simons, D.B. and SentUrk, F. (1992). Sediment Transport Technology, Water Sediment Dynamics. Water Resources Publications.

11. Van Rijn, L. (1984). Sediment Transport, Part II, Suspended Load Transport. Journal of Hydraulic Engineering, 110(11}: 1613-1641.

MiŠiČEV VODARSKI DAN '98

•