Primijenjena matematika

Damir Krstinic

damir.krstinic@fesb.hr

Diskretna statistička obilježja

Neka je zadan niz statističkih podataka x1,x2,...,xn i neka su a1,a2,...,ar međusobno različite vrijednosti tog statističkog niza.

Svaka od vrijednosti a1,a2,...,ar se u nizu pojavljuje s frekvencijom f1,f2,...,fr

Ovako organizirani podaci lako se prikazuju tablično i grafički.

Relativne frekvencije

Za različite vrijednosti a1,a2,...,an s pripadnim frekvencijama f1,f2,...,fn, relativne frekvencije definiramo kao f1/n,f2/n,...,fn/n.

Ukupan broj podataka u nizu jednak je

r

kkfn

1

Aritmetička sredina i varijanca

Aritmetičku sredinu niza definiramo sa

Disprezija ili varijanca statističkog niza je

Standardna devijacija statističkog niza je

k

r

kk fan

xsv

1

1

2

1

22 1svfa

nd k

r

kk

dsd

Primjer 1

Broj glavica kupusa po beraču kupusa dan je nizom statističkih podataka: 3, 5, 3, 0, 3, 0, 5, 4, 6, 3, 4, 6, 3, 5, 3, 4, 1, 0, 3, 4, 5, 6, 3, 0, 3, 0, 4, 1, 2, 0, 3, 4, 5, 3, 3, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 2, 1, 5

Tabličnim prikazom podataka olakšavamo računanje numeričkih karakteristika niza

Tablični prikaz

ak fk akfk ak2fk

0 6 0 0

1 4 4 4

2 5 10 20

3 16 48 144

4 12 48 192

5 8 40 200

6 5 30 180

n=56 180 740

Proračuna parametara stat. niza

Iz tablice računamo:

2143.318056

11

1

k

r

kk fan

xsv

8827.22143.374056

11 22

1

22

svfan

d k

r

kk

6987.1 dsd

Proračun korištenjem Matlaba

Podatke unosimo u Matlab.

Za obradu podataka pišemo funkciju koja računa pripadne frekvencije za međusobno različite vrijednosti statističkog niza

ak, fk

function [a,f]=af(x)x=sort(x); j=1; a(1)=x(1); f(1)=1;for k=2:size(x,2) if x(k)==x(k-1) f(j)=f(j)+1; else j=j+1; a(j)=x(k); f(j)=1; endend

Parametri niza

Nakon proračuna frekvencija, računamo parametre niza

x=[3 5 3 0 3 0 5 4 6 3 4 6 3 5 3 4 1 ... 0 3 4 5 6 3 0 3 0 4 1 2 0 3 4 5 3 ... 3 2 3 4 5 6 4 3 2 4 2 1 3 4 5 6 4 ... 3 4 2 1 5 ];

[a,f]=af(x);n=sum(f)sv=a*f’/nd=(a.^2)*f’/N-sv^2sd=sqrt(d)

Grafički prikaz

Izračunate podatke moguće je grafički prikazati:

plot(a,f)

Kontinuirana statistička obilježja

Neka je zadan niz od n statističkih podataka x1,...,xn kontinuiranog statističkog obilježja.

Podatke svrstavamo u razrede [a0,a1),...,[ar-1,ar] širina c, sa ritmetičkim sredinama razreda s1,...,sn.

Ako frekvencije razreda označimo redom sa f1,..,fn, a pripadne relativne frekvencije sa r1,...rn, podatke možemo pregledno prikazati

Primjer 2

Mjerena je težina glavica kupusa, pri čemu su dobiveni sljedeći podaci: 5.22, 3.03, 2.81, 4.23, 2.67, 1.90, 3.97, 5.65, 5.44, 4.57, 3.89, 3.60, 3.85, 2.52, 2.14, 3.97, 4.98, 2.70, 2.09, 4.22, 2.54, 5.06, 4.33, 2.94, 3.47, 4.24, 3.59, 2.83, 4.58, 3.15

Podatke organiziramo u r=5 razreda i računamo numeričke karakteristike niza

Parametri niza

Uočavamo da je najmanja vrijednost u nizu 1.90, a najveća 5.65

Kako imamo 5 razreda, njihova širina je

c=(5.65-1.90)/5=0.75

Računanje korištenjem Matlaba

Definiramo funkciju sfc(x,r) koja podatke svrstava u zadani broj razreda

x=[5.22 3.03 2.81 4.23 2.67 1.90 3.97 5.65 ... 5.44 4.57 3.89 3.60 3.85 2.52 2.14 3.97 ... 4.98 2.70 2.09 4.22 2.54 5.06 4.33 2.94 ... 3.47 4.24 3.59 2.83 4.58 3.15];

[s,f,c] = sfc(x,5);n=sum(f)sv=s*f’/nd=(s.^2)*f’/n-sv^2sd=sqrt(d)

Grafički prikaz

Podatke prikazujemo grafičkiplot(s,f) bar(s,f)

Binomna razdioba

Za binomnu razdiobu s parametrimakarakteristično je da su

vrijednosti ak-ova 0,1,...,n. Ako je X slučajna varijabla distribuirana po binomnoj

razdiobi, onda je vjerojatnost da ona poprimi određenu vrijednost k (k=0,1,2,...,n):

1,0, pNn

,1 knk ppk

nkXP

nsvp /

Primjer 3

Rezultati natjecanja u ispijanju piva dani su u tablici. Zbog sigurnosti natjecatelja, maksimalan broj ispijenih piva ograničen je na 10. Rezultate prilagodite binomnoj razdiobi.

Broj piva ak=k Pripadne frekvencije fk

0 2

1 3

2 5

3 15

4 18

5 10

6 11

7 4

8 3

Rešenje:

a=0:8

f=[2 3 5 15 18 10 11 4 3]

N=sum(f)

n=10

sv=a*f’/N

p=sv/n

ft=round(N*binomna(n,p,a))

Poissonova razdioba

Kod Poissonove razdiobe, vrijednosti ak su svi prirodni brojevi i nula.

Ako je X slučajna varijabla distribuirana po Poissonovoj razdiobi s parametrom >0 sv), onda je vjerojatnost da ona poprimi vrijednost k dana sa:

ek

kXPk

!

Primjer 4

Skupina iračkih gerilaca natječe se u gađanju Američkih vojnika. Rezltate natjecanja u broju pogođenih Amerikanaca, dane u tablici, prilagodi Poissonovoj razdiobi.

ak=k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

fk 36 101 150 221 312 236 151 88 32 14 6 3 1 1

Rješenje

a=0:13

f=[36 101 150 221 312 236 151 88 32 14 6 3 1 1]

N=sum(f)

sv=a*f '/N

ft=round(N*poisson(sv,a))

Rezultat:

ft = 23 93 190 259 264 215 146 85 43 20 8 3 1 0

0 2 4 6 8 10 12 140

50

100

150

200

250

300

350

Grafički prikaz rezultata

plot(a,f,a,ft,’--’)

Normalna razdioba

Kod normalne razdiobe podaci mogu poprimiti bilo koju realnu vrijednost.

Ako je X slučajna varijabla distribuirana po normaalnoj razdiobi s parametrima i, onda je njeno očekivanje EX= , a disperzija (varijanca) DX=VarX=

Primjer 5

Mjerenjem pogreške serije dubinomjera, ustanovljeno je da greška varira između –2 i 0.5m. Podatke grupirane u 5 razreda, dane u tablici, prilagodi normalnoj razdiobi.

razredi frekvencije fk

-2, -1.5 5

-1.5, -1 10

-1, -0.5 20

-0.5, 0 8

0, 0.5 3

Rješenje – parametri razdiobe

c=0.5dg=-2:c:0gg=dg+cf=[5 10 20 8 3]s=(dg+gg)/2N=sum(f)sv=s*f’/Nd=(s.^2)*f’/N-sv^2sd=sqrt(d)

Teorijske frekvencije

Aritmetičku sredinu sv interpretiramo kao očekivanje , a sd kao standardnu devijaciju .

Teorijske frekvencije računaju se prema:

2

2

1

2

1

sd

svs

k

k

esd

cNft

Računanje teoretskih frekvencija

Jednorenu matricu (vektor) teoretskih frekvencija u matlabu računamo naredbom:

ft=N*c/sd/sqrt(2*pi)*exp(-((s-sv)/sd).^2 /2)

ft=round(ft)