PRIMITIVAÇÃO POR PARTES - Apontamentos TSI · PRIMITIVAÇÃO POR PARTES 49 1) Sabendo-se primitivar apenas um dos factores, é por ele que se começa. ³ 1 2 xln x dx f ln x fx

PRIMITIVAÇÃO POR PARTES

Apresentam-se as principais sugestões para efectuar a primitivação por partes com sucesso e uma proposta de resolução dos exercícios apresentados


48


Quando se pretende primitivar um produto de duas funções e não se está perante uma

primitiva imediata, usa-se, de um modo geral, o método de primitivação por partes, que é um

método baseado na expressão da derivada do produto de duas funções:

1 2 1 2 1 2( ) ( )f x f x f x f x f x f x

Onde 1f é uma função derivável e 2f é uma função primitivável.

A fórmula acima apresentada, resulta da seguinte identidade:

Seja 2( )F x f x e 1( )G x f x

Derivando o produto de 1( )F x f x , obtemos :

1 1 1( ) ( ) ( )F x f x F x f x F x f x

1 1 1( ) ( ). ( ).F x f x F x f x F x f x

Mas da definição de primitiva de uma função podemos escrever que 2( )F x f x , e então a

igualdade anterior ficará:

2 1 1 1( ). ( ).f x f x F x f x F x f x

Primitivando esta igualdade obtemos:

2 1 1 1( ). ( ).f x f x F x f x F x f x

2 1 1 1( ). ( ) ( ). ( )f x f x F x f x F x f x

1 2 1 2 1 2( ) ( )f x f x f x f x f x f x

que é a fórmula apresentada inicialmente

O sucesso da aplicação deste método está na escolha da função pela qual se começa a

primitivar, assim sendo, apresentam-se abaixo algumas sugestões, todas baseadas no princípio

de que se deve escolher para primitivar a função que mais se complica quando se deriva:


49

1) Sabendo-se primitivar apenas um dos factores, é por ele que se começa.

1

2

x ln x dx

f ln x

f x

2) Se a função a primitivar é o produto de um polinómio por uma função

transcendente:

2.1) Se a função transcendente é tal que a sua derivação conduz a outra

função transcendente que lhe é semelhante ( por exemplo as funções circulares

e exponencial), deve-se começar a primitivar por ela.

1

2

x 1 sen x dx

f x 1

f sen x

2.2) Quando a derivação da função transcendente conduz a uma função não

transcendente ( por exemplo a função logarítmica e as funções circulares

inversas), começa-se a primitivar pelo polinómio.

1

2

x ln x dx

f ln x

f x

3) Quando existe apenas uma função cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a

função pelo factor 1 e começa-se a primitivar por este.

1

2

ln x dx

1ln x dx

f ln x

f 1

4) Quando se aplica a regra da primitivação por partes várias vezes seguidas, pode

obter-se no segundo membro uma primitiva igual à que se pretende calcular. Neste


50

caso, isola-se essa primitiva num dos membros e a igualdade passa a tratar-se

como uma equação, onde a incógnita é a primitiva em causa.

1

2

sen ln x dx

f sen ln x

f 1


51

EXERCÍCIO 1

Calcule as seguintes primitivas

a) dxxx ln

b) dxxsenx 1

c) dxxe x

d) dxx x 5

e) dxxx 5ln32 2

f) dxx ln

g) dxxsen ln

EXERCÍCIO 2

Calcule as seguintes primitivas

a) dxex x 323

b) dxxx ln32

c) dxx

arctg

1

d) dxxx2sec

e)

2,lnln

xdxx

x

f) dxxarcsen

g) dxxx ln3

h) dxxsenxsen 1ln

i)

dx

x

x

2

3

1

j) dxxarcsenxsen cos

k)

dx

e

xx

2

l) dxxsenx 2lncos2

m) dxxxxsen cos


52

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

EXERCÍCIO 1

a) dxxx ln

Vamos começar a primitivar por x, pois não conhecemos dxx ln . Temos então

xfxf 21 ,ln . Aplicando a fómula da primitivação por partes, temos:

dxxx ln =

dxdxxxdxxx

ffff 2121

lnln

=

dx

x

x

xx

2

1

2ln

22

=

xdx

xx

2

1

2ln

2

= 22

1

2ln

22 xxx

CC,

= 4

ln2

22 xx

x

CC,

=

2

1ln

2

2

xx

CC,

b) dxxsenx 1

Vamos começar a primitivar por xsen , pois a sua derivada é ainda uma função

transcendente . Temos então xsenfxf 21 ,1 . Aplicando a fómula da

primitivação por partes, temos:

dxxsenx 1 = dxdxxsenxdxxsenx

11

= dxxxx coscos1

= xsenxx cos1 CC,

= - xsenxx cos1 CC,


53

c) dxxe x

Vamos começar a primitivar por xe , pois a sua derivada é ainda uma função

transcendente . Temos então xefxf 21 , . Aplicando a fómula da primitivação

por partes, temos:

dxxe x = dxdxexdxex xx

= dxexe xx

= xx exe CC,

= 1xex CC,

d) dxx x 5

Vamos começar a primitivar por x5 , pois a sua derivada é ainda uma função

transcendente . Temos então xfxf 5, 21 . Aplicando a fómula da primitivação

por partes, temos:

dxx x 5 = dxdxxdxx xx

55

= dxxxx

5ln

5

5ln

5

=5ln

5

5ln

1

5ln

5 xx

x CC,

=

5ln

1

5ln

5x

x

CC,

e) dxxx 5ln32 2

Vamos começar a primitivar por 32 2 x , pois a derivada de x5ln já não é uma

função transcendente (também não conhecemos dxx 5ln ). Temos então

32,5ln 221 xfxf . Aplicando a fórmula da primitivação por partes, temos:

dxxx 5ln32 2 = dxdxxxdxxx

325ln325ln 22

= dxxxx

xxx

3

3

2

5

53

3

25ln 33


54

= dxxxx

xxx

3

3

2

5

55ln3

3

2 33

= dxxxxx

3

3

25ln3

3

2 23

= xxxxx 39

25ln3

3

2 33

CC,

f) dxx ln

Quando existe apenas uma função cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a

função pelo factor 1 e começa-se a primitivar por este.Teremos então

1,ln 21 fxf

dxx ln = dxx ln.1

= dxdxxdxx

1ln1ln

= dxxx

xx

1ln

= xxx ln CC,

= 1ln xx CC,

g) dxxsen ln



1,ln 21 fxsenf

dxxsen ln = dxxsen ln.1

= dxdxxsendxxsen

1ln1ln

= dxx

xxxxsen

1lncosln

= dxxxxsen lncosln temos aqui novamente uma

primitiva por partes semelhante à anterior.


55

dxxsen ln = dxxxxsen 1.lncosln

dxxsen ln = xxsen ln dxdxxdxx

1lncos1lncos

dxxsen ln = xxsen ln dxx

xsenxxx

1lnlncos

dxxsen ln = xxsen ln xxlncos dxxsen ln

Surge no segundo membro uma primitiva igual à do primeiro membro. Nestes casos, isola-se

essa primitiva num dos membros e a igualdade passa a tratar-se como uma equação, onde a

incógnita é a primitiva em causa.

dxxsen ln2 = xxsen ln xx lncos

dxxsen ln =

2

lncosln xxxxsen CC,

dxxsen ln =

2

lncosln xxsenx CC,

EXERCÍCIO 2

a) dxex x 323

Vamos começar a primitivar por xe3 , pois a sua derivada é ainda uma função transcendente .

Temos então xefxf 321 ,23 . Aplicando a fórmula da primitivação por partes,

temos:

dxex x 323 = dxdxexdxex xx

33 2323

= dxxxx ee

33

33

223

=

93

33

223xx eex CC,

= 3

2

323

3

xxe CC,


56

b) dxxx ln32

Vamos começar a primitivar por 32 x , pois não conhecemos dxx ln

dxxx ln32 = dxdxxxdxxx

32ln32ln

= dxxxx

xxx 31

3ln 22

= dxxxxx 33ln 2

= xx

xxx 32

3ln2

2 CC,

= xx

xxx 32

3ln2

2 CC,

c) dxx

arctg

1



1,1

21

f

xarctgf

dxx

arctg

1= dx

xarctg

11

= dxdxx

arctgdxx

arctg

1

11

1

= xdx

x

xx

xarctg

2

11

1

1

= dx

x

x

xxx

arctg

2

2 1

1

1


57

= xdxx

x

xxarctg

1

1

2

= xdxx

x

xxarctg

1

2

2

11

2

= 1ln2

11 2

x

xxarctg CC,

d) dxxx2sec

Vamos começar a primitivar por x2sec , pois a sua derivada é ainda uma função

transcendente. Temos então xfxf 221 sec, . Aplicando a fórmula da

primitivação por partes, temos:

dxxx2sec = dxdxxxdxxx

22 secsec

= dxxtgxxtg

=

dxx

xsenxxtg

cos

= xxxtg cosln CC,

e)

2,lnln

xdxx

x

dx

xxdx

x

x

1lnln

lnln

Vamos começar a primitivar por x

1, pois não conhecemos dxx lnln . Temos então

x

ff x1

21 lnln . Aplicando a fómula da primitivação por partes, temos:

dxdxx

xdxx

xdxx

x

1lnln

1lnln

lnln ,

dxxx

xxx

lnln

1

lnlnln

dxx

xx 1

lnlnln

xxx lnlnlnln CC,


58

1lnlnln xx CC,

f) dxxarcsen



1, 21 fxarcsenf

dxxarcsen = dxxarcsen1

= dxdxxarcsendxxarcsen

11

= dxx

x

xxarcsen

21

1

dxxxxxarcsen

2

1212

2

1

21

21 xxxarcsen CC,

g) dxxx ln3

Vamos começar a primitivar por 3x , pois não conhecemos dxx ln . Temos então

321 ln xff x . Aplicando a fómula da primitivação por partes, temos:

dxdxxxdxxxdxxx

333 lnlnln

dxx

x

xx

4

1

4ln

44

54

20

1ln

4xx

x CC,

h) dxxsenxsen 1ln

Vamos começar a primitivar por xsen , pois não conhecemos dxxsen 1ln .

Temos então senxfxsenf 21 ,1ln . Aplicando a fómula da primitivação

por partes, temos:


59

dxxsenxsen 1ln

dxsenxdxxsensenxdxxsen 1ln1ln

=

dxx

xsen

xxxsen cos

1

coscos1ln

=

dx

xsen

xxxsen

1

coscos1ln

2

=

dx

xsen

xsenxxsen

1

1cos1ln

2

=

dx

xsen

xsenxsenxxsen

1

11cos1ln

= dxxsenxxsen 1cos1ln

= xxxxsen coscos1ln CC,

i)

dx

x

x

2

3

1

=

dxxx 2

123 1

=

dxxxx

f

f 2

1

2

122 1

=

dxdxxxxdxxxx 2

1222

122 11

=

dxxx

xx2

122

122

12

2

1

1

2

=

2

3

11

2

32

22 xxx

CC,

= 23

222 13

21 xxx CC,

= 2222 113

21 xxxx CC,

=

222 1

3

21 xxx CC,


60

j) dxxarcsenxsen cos

dxxarcsenxsen cos = dxxarcsenxsen

ff

12

cos =

dxdxxsenxarcsendxxsenxarcsen

coscos

=

dxx

x

xsenxxarcsen

cos

cos1coscos

2

Como xsenx 22cos1 , temos

=

dx

xsen

xxsenxxarcsen

coscoscos . Considerando 0senx ,

temos:

= dxxxxarcsen coscoscos

= CCxsenxarcsenx ,coscos

k)

dx

e

xx

2

dx

e

xx

2

= dxex x22 Vamos começar a primitivar por xe 2

, pois a sua derivada ainda é

uma função transcendente.Temos então:

dxdxexdxexdxex xx

f

x

f

222222

21

= dxxeex xx

222

22

1

2

=

dxexex

f

x

f

x

21

222

22

1

2

=

dxexee

x xxx 2222

2

1

2

=

CCexeex xxx ,

2

1

2

1

2

2222


61

= CCexeex xxx ,4

1

2

1

2

1 2222

=

CCxxe x ,

4

1

2

1

2

1 22

l) dxxsenx 2lncos2 .

Vamos começar a primitivar xcos , pois não conhecemos a primitiva de xsen2ln .

dxxsenx 2lncos2 =

dxdxxxsenxdxxsendxxsenx

ff

coslncosln2lncos2 222

12

=

dxdx

xsen

xsenxsenxxsenxsen

2

2 cos2ln2

= dxxxsenxsen cos2ln2 2

= CCxsenxsenxsen ,2ln2 2

m) dxxxxsen cos

Vamos primitivar a função transcendente, pois a sua derivada conduz a outra função

transcendente.

dxxxxsen cos = dxxxsenx

ff

2

1

cos =

dxxsenxsen

x

2.1

2

22

=

dxxsenxsenxsen

x2

1

2

2

Vamos calcular dxxsen2.

xdxxsenxdxxsen 22 coscos

dxxsen2 = dxxsenxsenx 21cos

dxxsen2= dxxsenxxsenx 2cos

dxxsen22 xxsenx cos

dxxsen2

2

cos xxsenx

Então, voltando à primitiva inicial, temos:


62

dxxxxsen cos

dxxsenxsenxsen

x2

1

2

2

=

=

CC

xxsenxxsenx ,

2

cos

2

1

2

2

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