PRIMJENA DERIVACIJA 3A

Primjena derivacija

Primjena derivacija

20. Pravac i derivacija

41. Intervali monotonosti i ekstremi

162. Konkavnost, konveksnost

213. Optimizacija

284. Asimptote

375. Tijek funkcije

456. Taylorov polinom

507. Prirast i diferencijal

0. Pravac i derivacijaGraf funkcije oblika , gdje su je pravac. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca i njegova vrijednost znaajno utjee na izgled pravca.

- ako je , pravac raste kao npr. na slici

- pod izrazom pravac raste podarzumijeva se da za vrijedi

- ako je koeficijent smjera pozitivan tada vrijedi da to je koeficijent smjera vei, to pravac raste bre odnosno raste sve strmije

- ako je , pravac pada kao npr. na slici

- pod izrazom pravac pada podarzumijeva se da za vrijedi

- ako je koeficijent smjera negativan tada vrijedi da to je koeficijent smjera manji, to pravac pada bre odnosno pada sve strmije

- ako je pravac je jednak konstanti paralelan je sa osi xNeka je zadana funkcija iji je dio grafa prikazan na slici:

Tada vrijedi da je vrijednost derivacije funkcije u npr. toki jednak nagibu (koeficijentu smjera) tangente povuene na graf funkcije u toki , odnosno koeficijentu smjera pravca skiciranog na slici:

1. Intervali monotonosti i ekstremiNeka je zadana funkcija na domeni . Ako za neki otvoreni (ne ukljuuje svoje granice) interval vrijedi: za sve takve da vrijedi kae se da funkcija raste (rastua je) na intervalu .

za sve takve da vrijedi kae se da funkcija strogo raste (strogo je rastua) na intervalu .

za sve takve da vrijedi kae se da funkcija pada (padajua je) na intervalu .

za sve takve da vrijedi kae se da funkcija strogo pada (strogo je padajua) na intervalu .

Interval na kojem je funkcija rastua ili padajua naziva se interval rasta ili pada funkcije, ili zajedniki interval monotonosti funkcije.

Promotrimo sada neku funkciju iji je dio grafa prikazan na slici:

Vidimo da je ona na intervalu rastua. Za tangente povuene na graf funkcije na intervalu to znai da e imati pozitivan koeficijent smjera jer e sve rasti, to je prikazano na slici:

Kako je prva derivacija funkcije u nekoj toki jednaka nagibu tangente na graf te krivulje u toj istoj toki vrijediti e da za svaki je .

Dolazimo do bitnog rezultata:

Neka je derivabilna funkcija na intervalu (to znai da ima derivaciju u svakoj toki tog intervala nema prekida niti preloma). Tada vrijedi:

- ako je za sve vrijedi da je funkcija rastua na intervalu

- ako je za sve vrijedi da je funkcija padajua na intervalu

Ekstremi

Recimo da promatramo derivabilnu funkciju ija je domena otvoreni interval .

- ako za neku toku vrijedi da je za sve , toka je globalni maksimum funkcije

- ako za neku toku vrijedi da je za sve , toka je globalni minimum funkcije

- ako za neku toku vrijedi da je za sve iz neke okoline toke , toka je lokalni maksimum funkcije

- ako za neku toku vrijedi da je za sve iz neke okoline toke , toka je lokalni minimum funkcije

Ako je npr. na sljedeoj slici skiciran graf funkcije ija je domena itav skup R, vidimo da je lokalni maksimum, odnosno lokalni minimum funkcije. Takoer, funkcija nema globalnih ekstrema.

Vidi se da e za sve ekstreme funkcije vrijediti da je vrijednost prve derivacije u njima jednaka nuli (jer e nagib tangente poloene na graf krivulje u tim tokama biti jednak nuli).Definiramo stacionarne toke na nain : ako je za neki tada se toka naziva stacionarna toka funkcije.Bitno je ustanoviti da svaka stacionarna toka nee nuno biti i ekstrem funkcije. Npr. pogledamo li graf funkcije koji je prikazan na slici:

Vidi se da e stacionarna toka funkcije biti toka , meutim ta ista toka oito nije ekstrem funkcije.

Postupak nalaenja ekstrema funkcije

odrediti stacionarna toke funkcije

ako je predznak prve derivacije lijevo od stacionarne toke negativan (odnosno ako funkcija lijevo od stacionarne toke pada) a desno pozitivan (odnosno funkcija desno od stacionarne toke raste) slijedi da je stacionarna toka minimum

ako je predznak prve derivacije lijevo od stacionarne toke pozitivan (funkcija raste) a desno negativan (funkcija pada) slijedi da je stacionarna toka maksimum

ako je predzank prve derivacije lijevo i desno od stacionarne toke jednak slijedi da stacionarna toka nije ekstrem

Gornji se postupak najee provodi izradom tablice koja izgleda:

x- stac. toka

+- je maksimum

-+ je minimum

++ nije ekstrem

-- nije ekstrem

Postoji jo jedan nain odreivanja karaktera stacionarnih toaka (odreivanja jesu li stac. toke minimumi ili maksimumi funkcije). Naime, pretpostavimo li da je toka maksimum funkcije kao npr. toka na iduoj slici, to znai da je . Meutim, to jo znai da je vrijednost prve derivacije lijevo do toke pozitivna ali da njezin iznos pribliavanjem toki pada, odnosno dolazi do 0 u samoj toki . Vrijednost prve derivacije desno od toke je negativan ali sam iznos prve derivacije pada udaljavanjem od toke . Dakle, bitno je da je prva derivacija u nekoj okolini oko toke padajua, to znai da je vrijednost druge derivacije u toki negativna. Slino bi se dolo do rezultata da ako je minimum funkcije, vrijednost druge derivacije u je pozitivan.

Dakle vrijedix- stac. toka

+ je minimum

- je maksimum

0 nije ekstrem

Zadatak 1. Odrediti ekstreme i intervale monotonosti funkcije .Rjeenje.

Utvrdimo najprije da je domena gornje funkcije .

Da bi odredili ekstreme funkcije, najprije moramo odrediti stacionarne toke i njihov karakter. Stacionarne toke su definirane kao nul-toke prve derivacije funkcije pa raunamo:

Sada radimo tablicu:

x -2 2

Dakle, u prvi redak tablice potrebno je unjesti sve stacionarne toke, rubove domene i toke prekida domene (kojih u ovom sluaju nema). Sada trebamo odrediti predznak prve derivacije na svakom od tri intervala koje smo dobili kad smo domenu funkcije rastavili stacionarnim tokama. Odaberimo bilo koju toku iz prvog intervala , npr. toku -3, i provjerimo predznak prve derivacije u toj toki:

Sada unosimo + u tablicu na odgovarajuu poziciju:

x -2 2

+

Provjeravamo to jes predznakom prve derivacije na intervalu . Odaberimo npr. toku 0 i ubacimo je u prvu derivaciju:

Unosimo u tablicu:

x -2 2

+-

Odaberimo jo npr. pa imamo:

x -2 2

+-+

Sada zakljuujemo da funkcija na intervalu raste (budui da je predznak prve derivacije na istom intervalu pozitivan), to unosimo u tablicu:

x -2 2

+-+

Slijedi da je toka maksimum funkcije a vrijednost tog maksimuma je , odnosno da je toka minimum funkcije a vrijednost minimuma je . Intervali rasta funkcije su i , a interval pada je .

Zadatak 2. Odrediti ekstreme i intervale monotonosti funkcije .

Rjeenje.

Domena funkcije je . Raunamo stacionarne toke:

Unoenjem predznkaa prve derivacije na odgovarajuim intervalima dobivamo tablicu:

x 2

+-

zz koje slijedi da je toka maksimum funkcije a vrijednost tog maksimuma je . Interval rasta je , odnosno interval pada je .


Rjeenje.

Domena funkcije je .

^

x0

Da bi provjerili predznak prve derivacije na intervalu , odaberimo npr. i ubacimo ga u :

Odnosno da bi provjerili predznak na intervalu odaberimo npr. pa dobivamo:

Dakle:

x0

-+

Dakle, toka je minimum funkcije a vrijednost tog minimuma je . Intervale rasta i pada lako oitamo iz tablice.


Rjeenje.


x -2 2

-+-

Min Max


Rjeenje.

Za domenu moramo postaviti uvjet da je nazivnik razliit od nule.

Budui da za svaki relani broj vrijedi , iz domene ne moramo nita izbaciti pa vrijedi .

Razlomak je jednak nuli ako je brojnik jednak nuli, pa zapravo trebamo rijeiti jednadbu:

Jo trebamo provjeriti je li moda vrijednost nazivnika za dobiveno rjeenje jednaka nuli, jer bi tada otpalo za rjeenje. Budui da to sada nije sluaj, je stacionarna toka.

x

++

Iz tablice zakljuujemo da nije ekstrem funkcije i da funkcija raste na itavoj svojoj domeni.


Rjeenje.

Domena funkcije je \.

- nije rjeenje jer je nazivnik jednak nuli

x 0

-+-

Toka je maksimum funkcije.


Rjeenje.

Domena je .

x 0

+-+-

Max Min Max


Rjeenje.

Uvjet za domenu funkcije je:

i

Da bi vrijedilo , brojnik i nazivnik razlomka moraju biti istog predznaka:

ili

Dakle, domena funkcije je

Gornje jednadba nema rjeenja iz ega slijedi da funkcija nema ekstrema. Odredimo intervale monotonosti:x -4 3

++

Nije definirana.

Funkcija raste na itavoj svojoj domeni.Zadatak 9. Odrediti ekstreme i intervale monotonosti funkcije .

Rjeenje.


za niti jedan realni x ne postie vrijednost 0

x 0

+-+-

Max Min Max


Rjeenje.


- odbacujemo jer je nazivnik jednak nulix 0 1

-+-

Min


Rjeenje.

Domena je .

x -3 0

-++

Min


Rjeenje.

Domena je .

x 0 6 12

-+-+

Dakle, toka 0 je minimum, 6 je maksimum i 12 je minimum.


Rjeenje.

Domena je .

x

+-

Max


Rjeenje.

Domena je .

x -1

-+

Min

2. Konkavnost, konveksnostPredznak prve derivacije funkcije daje informaciju o tome da li funkcija pada ili raste. Predznak druge derivacije funkcije isto govori neto o njenom izgledu.

Neka je zadana funkcija na domeni i neka je njena prva derivacija derivabilna na istom intervalu.

Ako za svaki vrijedi , to znai da prva derivacija funkcije raste na intervalu , to znai da nagib tangente na graf krivulje raste i da funkcija izgleda ovako:

U ovom sluaju kae se da je funkcija konveksna.

U suprotnom sluaju, ako za svaki vrijedi , to znai da prva derivacija funkcije pada na intervalu , to znai da nagib tangente na graf krivulje pada i da funkcija izgleda ovako:

Kae se da je funkcija konkavna.

Ako za neki vrijedi , tada je x potencijalna toka infleksije (toka u kojoj konkavnost prelazi u konveksnost ili suprotno), to se provjerava izradom tablice slino kao kod ispitivanja jesu li stacionarne toke ekstremi.

Zadatak 1. Odrediti intervale konveksnosti, konkavnosti i toke infleksije funkcije .Rjeenje.


x -3 -1

+-+

Zakljuujemo da su i i toke infleksije, budui da se iz tablice vidi da u svakoj od njih funkcija prelazi iz konkavnosti u konveksnost ili obratno. Intervali konkavnosti i konveksnosti se vide u tablici.

Zadatak 2. Odrediti intervale konveksnosti, konkavnosti i toke infleksije funkcije .

Rjeenje.


x 2

-+

T.Infl.


Rjeenje.


x -1

++

Funkcija nema toaka infleksije i konveksna je na itavoj svojoj domeni.Zadatak 4. Odrediti intervale konveksnosti, konkavnosti i toke infleksije funkcije .

Rjeenje.


Gornja jednadba nema rjeenja dakle funkcija nema toaka infleksije ali svejedno moemo napraviti tablicu sa tokom prekida domene:x -3

-+

Toka -3 nije toka infleksije jer nije u domeni funkcije, ali ona rastavlja domenu na dva intervala jedan konkavnosti a jedan konveksnosti.


Rjeenje.


x 0

+--+

T.Infl. T.Infl.Zadatak 6. Odrediti intervale konveksnosti, konkavnosti i toke infleksije funkcije .

Rjeenje.


Dobili smo beskonalno mnogo potencijalnih stacionarnih toaka. Budui da je funkcija periodina i temeljni period joj je , dovoljno je provjeriti to su toke infleksije na tom intervalu.

x

+-+-

Dakle, stacionarne toke funkcije su sve toke oblika . Intervali konveksnosti su intervali oblika , a konkavnosti .


Rjeenje.


x 0

-+

T. Infl.

3. OptimizacijaZadatak 1. Od svih pravokutnika opsega 20 cm, odrediti onaj ija je povrina maksimalna.Rjeenje.

Potrebno je odrediti pravokutnik, odnosno duljine stranica pravokutnika, oznaimo ih a i b, tako da njegova povrina bude maksimalna. Dakle, potrebno je odrediti maksimum funkcije:

Meutim, jo je zadan uvjet da je opseg pravokutnika jednak 20 cm odnosno da vrijedi:

Izrazimo sada npr. varijablu a preko varijable b :

Sada funkcija koju moramo maksimizirati postaje:

Odredimo stacionarne toke i njihov karakter:

Jo je pitanje je li dobivena stacionarna toka ekstrem, odnosno maksimum. Provjerimo zato predznak druge derivacije funkcije u toki - ako je taj predznak negativan, toka e biti maksimum:

Dakle, je maksimum pa slijedi da je traeni pravokutnik onaj kojemu su duljine stranica:

cm

cm.

Zadatak 2. Od svih pravokutnika s dijagonalom 10 cm, odrediti onaj s najveom povrinom.Rjeenje.

Ponovno elimo odrediti maksimum funkcije:

.

Sada jo treba vrijediti uvjet:

Izrazimo npr. b iz gornje jednakosti:

(ne moramo uvoditi apsolutnu vrijednost jer je b duljina pa mora biti pozitivna)

Sa dobivenom vezom se vraamo u funkciju i dobivamo:

Provjerimo jo je li dobivena stacionarna toka maksimum. Sada je malo komplicirano ii odreivati drugu derivaciju funkcije pa provjerimo predznak prve derivacije lijevo i desno od dobivene stacionarne toke:

x 0

+-

Max

Dakle, traeni pravokutnik je onaj kojem su duljine stranica:

Zadatak 3. Prikazati broj 26 u obliku zbroja triju pozitivnih brojeva kojima je zbroj kvadrata minimalan. Drugi pribrojnik neka bude tri puta manji od prvog.

Rjeenje.

Traimo tri pozitivna broja oznaimo ih s a, b i c za koja vrijedi:

I to takve da im je zbroj kvadrata minimalan traimo minimum funkcije:

Ubacimo li u gornju funkciju vezu , funkcija postaje funkcija dviju varijabli:

Ubacimo jo vezu , odnosno pa dobivamo:

Da bi odredili je li dobivena stacionarna toka minimum, provjerimo predznak druge derivacije u njoj:

Dakle, je traeni minimum funkcije. Zakljuujemo da su traena tri broja:

Zadatak 4. Klizalite zadanog opsega 20 m ima oblik pravokutnika koji sa dvije suprotne strane zavrava polukrugovima. Odrediti dimenzije klizalita tako da povrina pravokutnog dijela bude maksimalna.Rjeenje.

Potrebno je odrediti vrijednosti a i b tako da povrina pravokutnog dijela bude maksimalna trebamo odrediti maksimum funkcije:

Uvjet je da je opseg klizalita 20 m. Duljina jednog polukruga jednaka je

budui da se radi o polukrugu radijusa .Dakle, opseg klizalita je jednak:

Izrazimo sada npr. a:

Uvrstimo li posljednju vezu u funkciju dobivamo:

Odredimo stacionarne toke:

Da bi utvrdili je li dobivena stacionarna toka maksimum provjerimo je li predznak druge derivacije funkcije u toj toci negativan:

Dakle, je maksimum pa su traene dimenzije klizalita:

.

Povrina pravokutnog dijela klizalita u tom sluaju je .

Zadatak 5. Odrediti uspravan stoac s opsegom osnog presjeka 4 cm koji ima najvei volumen.Rjeenje.

Potrebno je odrediti stoac odnosno njegove dimenzije r (radijus baze) i h (visinu stoca) i to takav da mu je opseg osnog presjeka 4 cm, odnosno da vrijedi:

.

Traimo takav stoac s najveim volumenom elimo odrediti maksimum funkcije:

.

Gornja formula za volumen je funkcija dviju varijabli radijusa baze i visine stoca. Dakle, pomou informacije trebali bi jednu od tih varijabli prikazati preko druge:

Prema Pitagorinom pouku slijedi: , odnosno:

Pa ubacimo gornju jednakost u i dobivamo:

Nali smo vezu izmeu varijabli r i h pa ju ubacujemo u funkciju za volumen i dobivamo:

Odredimo stacionarne toke funkcije :

Izjednaavamo prvu derivaciju s nulom:

U kontekstu ovog zadatka, stacionarna toka ne moe biti traeno rjeenje, pa bi samo trebali provjeriti je li maksimum funkcije. Ovdje je moda jednostavnije uvrtavati neke konkretne vrijednosti u prvu derivaciju nego raunati drugu pa imamo:

x 0

+-

Dakle, je maksimum i dimenzije traenog stoca su:

,

a volumen mu je:

.

Zadatak 6. Na koordinatnoj ravnini zadana je toka . Odrediti jednadbu pravca koji prolazi tom tokom i s pravokutnim poluosima tvori trokut najmanje povrine.Rjeenje.

Potrebno je odrediti jednadbu pravca , odnosno koeficijent smjera pravca k i odsjeak na y osi l.Znamo da pravac prolazi tokom , pa koordinate te toke sigurno zadovoljavaju njegovu jednadbu:

Dakle, jednadba pravca kojeg traimo je:

Jo trebamo odrediti k tako da povrina trokuta kojeg gornji pravac zatvara s poluosima bude minimalna.

Povrina trokuta biti e jednaka umnoku ordinate (druge koordinate) toke (plava duina) i apscise (prve koordinate) toke (crvena duina) prikazanih na gornjoj slici, podijeljene sa dva, pri emu toke i lee na jednadbi pravca o kojem priamo pa i zadovoljavaju njegovu jednadbu .

Ordinatu toke moemo lako odrediti jer je oito njezina apscisa jednaka 0 pa imamo:

.

Apscisu toke isto moemo lako odrediti jer je oito njezina ordinata jednaka 0 pa imamo:

I sada je povrina trokuta jednaka:

Odredimo stacionarne toke funkcije:

Provjerimo jo karakter dobivenih stacionarnih toaka:

x

-+-

Dakle, stacionarna toka je minimum, pa je traena jednadba pravca:

.Zadatak 7. Zadani pozitivni broj a rastaviti na dva pribrojnika tako da njihov produkt bude najvei.Rjeenje.

Traimo dva broja, recimo x i y takva da:

i takva da je njihov produkt najvei traimo dakle maksimum funkcije:

Prikaimo sada jednu od varijabli x i y preko druge uz pomo veze . Npr.:

Sada funkcija produkta postaje:

Odredimo stacionarne toke gornje funkcije:

Jo treba provjeriti karakter dobivene stacionarna toke. Odredimo zato predznak druge derivacije u njoj:

Zakljuujemo da je stacionarna toka maksimum, pa su traena dva broja:

.

4. Asimptote

Vertikalne asimptote (na rubovima domene ili u tokama prekida domene)

je vertikalna asimptota s desne strane

je vertikalna asimptota s lijeve strane

Horizontalne asimptote

je horizontalna asimptota u desnoj strani

je horizontalna asimptota u lijevoj strani

Kose asimptote

je kosa asimptota u desnoj strani

je kosa asimptota u lijevoj strani

Zadatak 1. Odrediti asimptote funkcije .Rjeenje.

Domena funkcije je . Dakle, funkcija nema vertikalnih asimptota. Provjerimo ima li horizontalnih:

Dakle, pravac je horizontalna asimptota u desnoj strani.

Zakljuujemo da funkcija nema horizontalnih asimptota u lijevoj strani pa moramo provjeriti ima li kosih u lijevoj strani:

Budui da za rezultat posljednjeg limesa nismo dobili neki realni broj, zakljuujemo da funkcija nema niti kosih asimptota u lijevoj strani.

Zadatak 2. Odrediti asimptote funkcije .

Rjeenje.

Domena funkcije je \ - postoji prekid u domeni pa moramo provjeriti postoje li u prekidu vertikalne asimptote.

Dakle, pravac je vertikalna asimptota s desne strane.

Pravac je vertikalna asimptota s lijeve strane.

Ispitajmo horizontalne asimptote:

Pravac je horizontalna asimptota u desnoj srani.

Pravac je horizontalna asimptota u lijevoj srani.

Kose asimptote ne morame ni ispitivati budui da postoje horizontalne s obje strane.


Rjeenje.

Domena funkcije je \, pa provjeravamo najprije vertikalne asimptote:

neodreeni izraz

.Pravac je vertikalna asimptota s desne strane.

.

Pravac nije vertikalna asimptota s lijeve strane.

Funkcija nema horizontalnih asimptota niti u desnoj niti u lijevoj strani. Dakle, moramo ispitivati kose asimptote u obje strane:

Zakljuujemo da je pravac kosa asimptota u desnoj strani. Ispitajmo jo kose asimptotu u lijevoj strani:

Pravac je i kosa asimptota u lijevoj strani.


Rjeenje.


Pravac je vertikalna asimptota s desne strane.


Pravac je horizontalna asimptota i u desnoj i u lijevoj strani, prema tome ne moramo ispitivati postoje li kose asimptote.


Rjeenje.


Ispitajmo postoji li vertikalna asimptota u toki prekida domene:

Dakle, pravac je vertikalna asimptota i s desne i s lijeve strane.


Pravac je horizontalna asimptota i u desnoj i u lijevoj strani.


Rjeenje.

Da bi odredili domenu, moramo provjeriti to su nul-toke nazivnika funkcije:

Domena funkcije je \. Ispitajmo imamo li u tokama prekida domene vertikalnih asimptota:

Pravac je vertikalna asimptota i s desne i s lijeve strane.

Pravac je horizontalna asimptota i s desne i s lijeve strane.


Pravac je horizontalna asimptota i u desnoj i u lijevoj strani. Kose asimptote, prema tome, nije ni potrebno ispitivati.Zadatak 7. Odrediti asimptote funkcije .

Rjeenje.

Domena funkcije je , prema tome nema vertikalnih asimptota. Provjerimo horizontalne:

Funkcija nema horizontalnih asimptoti pa ispitujemo kose:

Pravac je kosa asimptota u desnoj strani. Ispitajmo kose asimptote u lijevoj strani:

Pravac je kosa asimptota u lijevoj strani.


Rjeenje.

Postavljamo uvjet za domenu:

Budui da domena nema otvorene rubove, ne moramo ni ispitivati vertikalne asimptote jer e vrijediti da je limes funkcije kada se x pribliava rubu domene npr. 1, jednak funkcijskoj vrijednosti u 1 odnosno Ispitajmo postoje li horizontalne asimptote:

Funkcija nema horizontalnih asimptota pa ispitujemo kose:

Budui da raunamo limes kada , moemo zapisati pa imamo:

Pravac je kosa asimptota u desnoj strani.

Ispitajmo jo kosu asimptotu u lijevoj strani:

Budui da raunamo limes kada , moemo zapisati pa imamo:



Rjeenje.

Domena funkcije je , prema tome nema vertikalnih asimptota. Provjerimo horizontalne:

Pravac je horizontalna asimptota u desnoj strani.

Pravac je horizontalna asimptota u lijevoj strani.

Zadatak 10.(tei) Odrediti asimptote funkcije .

Rjeenje.

Uvjet za domenu funkcije je:

Domena funkcije je . Domena ima otvorenih rubova pa moramo ispitati postoje li vertikalne asimptote u njima:

Pravac je vertikalna asimptota s desne strane, a pravac je vertikalna asimptota s lijeve strane.


Funkcija nema horizontalnih asimptota. Ispitajmo kose:

Pravac je kosa asimptota u desnoj strani.Ispitajmo jo kosu asimptotu u lijevoj strani:


5. Tijek funkcije

Postupak:

1. odreivanje domene funkcije

2. ispitivanje parnosti, neparnosti, periodsinosti

3. odreivanje nul-toaka funkcije

4. odreivanje intervala monotonosti i ekstrema

5. odreivanje intervala konveksnosti, konkavnosti i toaka infleksije

6. odreivanje asimptota

7. skiciranje grafa funkcije

Zadatak 1. Odrediti tijek funkcije .Rjeenje.

1. domena funkcije je .2. funkcija je parna (graf je osno simetrian s obziorm na os y)

3.

4.

x -1 0 1

-+-+

Min Max Min

5.

x

+-+

T. Infl. T.Infl.

6.Vertikalnih asimptota nema.

Ispitajmo horizontalne:

Nema horizontalnih asimptota. Ispitajmo kose:

Nema niti kosih asimptota.

7. (toke infleksije su crvene, ekstremi zeleni)

Zadatak 2. Odrediti tijek funkcije .

Rjeenje.

1. Domena funkcije je \.2. funkcija je neparna (graf je centralno simetrian s obzirom na ishodite).

3.

4.

x -1 0 1

-+++ +-

Min Max

5.

EMBED Equation.3

x -1 0 1

+-+-

T. Infl.

6.

Pravac je vertikalna asimptota s obje strane.

Pravac je vertikalna asimptota s obje strane.

Nema horizontalnih asimptota. Ispitujemo kose:

Pravac je kosa asimptota u desnoj strani.


7.

Zadatak 3. Odrediti tijek funkcije .

Rjeenje.

1. Domena funkcije je .

2.

Funkcija nije parna niti neparna.

3.

Budui da je za svaki realni broj x, rjeenja gornje jednadbe su samo brojevi za koje vrijedi:

4.

x

+-+

Max Min

5.

x 1

+-+

T.Infl. T.Infl.

6.

Budui da je domena itav R, nema vertikalnih asimptota. Ispitajmo horizontalne:

neodr. izraz

Funkcija nema horizontalnu asimptota u desnoj strani. Pravac je horizontalna asimptota u lijevoj strani.

Ispitajmo jo postoji li kosa asimptota u desnoj strani:

Nema kose asimptote u desnoj strani.

7.

Zadatak 4. Odrediti tijek funkcije .Rjeenje.

1. Domena funkcije je .2.

Funkcija nije parna niti neparna.

3.

4.

x 0 2

+-+

Max Min

5.

x 1

-+

T.Infl.

6.

Budui da je domena itav skup R, funkcija nema vertikalnih asimptota. Ispitajmo horizontalne:

Nema horizontalnih, pa ispitajmo jo kose:

Nema kosih asimptota.

7.

6. Taylorov polinomRecimo da nam je zadana funkcija iji je graf prikazan na slici:

Cilj nam je odrediti polinom n-og stupnja, oznaimo ga s , koji e dobro aproksimirati funkciju u blizini toke . Za poetak, recimo da taj polinom mora zadovoljavati sljedea dva uvjeta:

Jedan (zapravo jedini) polinom 1. stupnja koji zadovoljava gornja dva uvjeta je polinom:

.

Provjerimo da gornji polinom zaista zadovoljava dva uvjeta:

- zadovoljava 1. uvjet


Skicirajmo graf polinoma :

Vidimo da se radi o pravcu koji e u malenoj okolini oko toke relativno dobro aproksimirati funkciju .

Dodajmo sada 3. uvjet, tj. zahtijevajmo da polinom zadovoljava sljedea tri uvjeta:

Jedan (zapravo jedini) polinom 2. stupnja koji zadovoljava gornja tri uvjeta je polinom:

.

Provjerimo da gornji polinom zaista zadovoljava tri uvjeta:




Skicirajmo graf polinoma :

Vidimo da se sada radi o paraboli koja e u neto veoj okolini nego pravac relativno dobro aproksimirati funkciju .Po slinom bi principu sada mogli dodavati uvjete:

...

Za svaki novi uvjet dobivali bi polinom veeg stupnja koji bi sve bolje i bolje (odnosno u sve veoj okolini oko toke ) aproksimirao funkciju . Opi oblik tih polinoma bi izgledao:

.

Definicija. Taylorov polinom n-tog stupnja funkcije u okolini toke je :

.

Zadatak 1. Odrediti Taylorov polinom 4. stupnja za funkciju u okolini toke .

Rjeenje.

Koristimo formulu , pa trebamo najprije odrediti prve etiri derivacije funkcije i njihove vrijednosti u toki :

Pa slijedi:

Zadatak 2. Linearizirati funkciju u okolini toke i priblino izraunati , i .

Rjeenje.

Linearizirati funkciju znai odrediti i zamijeniti je njezinim Taylorov polinom 1. stupnja pa imamo:

Sada treba primjenom dobivenog Taylorovog polinoma , za koji znamo da dobro aproksimira funkciju u okolini toke , priblino izraunati:

.

Moemo jo provjeriti kolika je greka gornjih linearnih aproskimacija:

Vidimo da je aproksimacija bolje za toke blie toki .

Zadatak 3. Linearizirati funkciju u okolini toke i priblino izraunati , i .Rjeenje.

Vidimo da je aproksimacija relativno dobra u prva dva sluaja, kada je vrijednost bila u blizini toke . U 3. sluaju aproksimacija je loa.

Zadatak 4. Odrediti Taylorov polinom 4. stupnja funkcije u okolini toke .

Rjeenje.

Zadatak 5. Odrediti Taylorov polinom 3. stupnja funkcije u okolini toke .Rjeenje.

Zadatak 6. Odrediti Taylorov polinom 4. stupnja funkcije u okolini toke .

Rjeenje.

7. Prirast i diferencijal

Prirast funkcije u toki uz prirast nezavisne varijable oznaavamo i definiramo kao:

.

Prirast funkcije prikazan na konkretnom primjeru:

Diferencijal funkcije u toki uz prirast nezavisne varijable oznaavamo i definiramo kao:

.

Diferencijal na konkretnom primjeru:

Za malene priraste nezavisne varijable vrijedi da je prirast funkcije priblino jednak diferencijalu funkcije, odnosno:

Ili

Prebaci li se sa lijeve na desnu stranu, dobivamo:

to je formula kojom se moe raunati priblina vrijednost neke funkcije.

Zadatak 1. Izraunati prirast i diferencijal funkcije u okolini toke za a) i b) .

Rjeenje.

a) Prirast:

Diferencijal:

b) Prirast:

Diferencijal:

Zadatak 2. Za koliko se promijeni povrina kruga ako se radijus povea sa 2 na 2,1?Rjeenje.

Povrina je funkcija radijusa i glasi:

.

Izraunajmo prirast funkcije u toki 2 za prirast nezavisne varijable 0,1:

Izraunajmo sada isti diferencijal:

Zadatak 3. Priblino izraunati .Rjeenje.

Definirajmo funkciju . Da bi priblino izraunali vrijednost koristimo formulu sa vrha stranice koja glasi:

Potrebno je izraunati diferencijal funkcije u toki za prirast nezavisne varijable . Vrijedi:

I sada imamo:

.

Zadatak 4. Odrediti priblino prirast funkcije kad se x promijeni od do .

Rjeenje.

Trebamo izraunati diferencijal funkcije u toki uz prirast nezavisne varijable . Vrijedi:

.

Zadatak 5. Ako je , izraunati za i .

Rjeenje.

Zadatak 6. Zna se da uz poveanje stranice danog kvadrata za 0,3 cm, diferencijal njegove povrine iznosi 2,4 cm2. Odrediti diferencijal koji odgovara poveanju stranice kvadrata za 0,6 cm. Koliki je toan prirast?Rjeenje.

Povrina kvadrata je funkcija duljine stranice:

Znamo da za cm vrijedi:

cm

Izraunajmo sada diferencijal za :

cm2Prirast za jednak je:

cm2.

a

b

PAGE 52

_1425396722.unknown

_1425553697.unknown

_1425626977.unknown

_1425658375.unknown

_1425660518.unknown

_1425661762.unknown

_1425663627.unknown

_1425665285.unknown

_1425666175.unknown

_1425666782.unknown

_1425667177.unknown

_1425667990.unknown

_1425668279.unknown

_1425668287.unknown

_1425668516.unknown

_1425668590.unknown

_1425668367.unknown

_1425668126.unknown

_1425668150.unknown

_1425667633.unknown

_1425667892.unknown

_1425667569.unknown

_1425666922.unknown

_1425666965.unknown

_1425667080.unknown

_1425666946.unknown

_1425666809.unknown

_1425666862.unknown

_1425666793.unknown

_1425666432.unknown

_1425666585.unknown

_1425666727.unknown

_1425666530.unknown

_1425666559.unknown

_1425666463.unknown

_1425666344.unknown

_1425666412.unknown

_1425666302.unknown

_1425665746.unknown

_1425666023.unknown

_1425666040.unknown

_1425666076.unknown

_1425666029.unknown

_1425666016.unknown

_1425665835.unknown

_1425665962.unknown

_1425665609.unknown

_1425665665.unknown

_1425665685.unknown

_1425665650.unknown

_1425665527.unknown

_1425665553.unknown

_1425665298.unknown

_1425664087.unknown

_1425664441.unknown

_1425664635.unknown

_1425665258.unknown

_1425664481.unknown

_1425664263.unknown

_1425664365.unknown

_1425664229.unknown

_1425663849.unknown

_1425663953.unknown

_1425664072.unknown

_1425663864.unknown

_1425663745.unknown

_1425663786.unknown

_1425663698.unknown

_1425662945.unknown

_1425663255.unknown

_1425663350.unknown

_1425663506.unknown

_1425663596.unknown

_1425663355.unknown

_1425663297.unknown

_1425663314.unknown

_1425663284.unknown

_1425663092.unknown

_1425663145.unknown

_1425663219.unknown

_1425663125.unknown

_1425663035.unknown

_1425663060.unknown

_1425662981.unknown

_1425662209.unknown

_1425662311.unknown

_1425662360.unknown

_1425662908.unknown

_1425662327.unknown

_1425662261.unknown

_1425662298.unknown

_1425662230.unknown

_1425661828.unknown

_1425662139.unknown

_1425662185.unknown

_1425662055.unknown

_1425661777.unknown

_1425661785.unknown

_1425661341.unknown

_1425661553.unknown

_1425661636.unknown

_1425661674.unknown

_1425661687.unknown

_1425661727.unknown

_1425661561.unknown

_1425661622.unknown

_1425661412.unknown

_1425661476.unknown

_1425661540.unknown

_1425661547.unknown

_1425661458.unknown

_1425661446.unknown

_1425661371.unknown

_1425661382.unknown

_1425661358.unknown

_1425660876.unknown

_1425661107.unknown

_1425661295.unknown

_1425661328.unknown

_1425661186.unknown

_1425660973.unknown

_1425660989.unknown

_1425660637.unknown

_1425660672.unknown

_1425660691.unknown

_1425660792.unknown

_1425660652.unknown

_1425660544.unknown

_1425660610.unknown

_1425660533.unknown

_1425658708.unknown

_1425659614.unknown

_1425659972.unknown

_1425660304.unknown

_1425660389.unknown

_1425660481.unknown

_1425660505.unknown

_1425660439.unknown

_1425660397.unknown

_1425660340.unknown

_1425660351.unknown

_1425660371.unknown

_1425660323.unknown

_1425659996.unknown

_1425660045.unknown

_1425660084.unknown

_1425660260.unknown

_1425660064.unknown

_1425660033.unknown

_1425659986.unknown

_1425659877.unknown

_1425659922.unknown

_1425659941.unknown

_1425659904.unknown

_1425659680.unknown

_1425659842.unknown

_1425659625.unknown

_1425658948.unknown

_1425659563.unknown

_1425659588.unknown

_1425658857.unknown

_1425658871.unknown

_1425658908.unknown

_1425658788.unknown

_1425658454.unknown

_1425658480.unknown

_1425658606.unknown

_1425658470.unknown

_1425658427.unknown

_1425658438.unknown

_1425658409.unknown

_1425628565.unknown

_1425632974.unknown

_1425636872.unknown

_1425655474.unknown

_1425656444.unknown

_1425656808.unknown

_1425657181.unknown

_1425657484.unknown

_1425658005.unknown

_1425658056.unknown

_1425658119.unknown

_1425658314.unknown

_1425658343.unknown

_1425658110.unknown

_1425658044.unknown

_1425657957.unknown

_1425657986.unknown

_1425657745.unknown

_1425657347.unknown

_1425657403.unknown

_1425657254.unknown

_1425657047.unknown

_1425657153.unknown

_1425657171.unknown

_1425657099.unknown

_1425656838.unknown

_1425656972.unknown

_1425656821.unknown

_1425656607.unknown

_1425656749.unknown

_1425656762.unknown

_1425656630.unknown

_1425656721.unknown

_1425656465.unknown

_1425656497.unknown

_1425656526.unknown

_1425656478.unknown

_1425656457.unknown

_1425655914.unknown

_1425656196.unknown

_1425656381.unknown

_1425656415.unknown

_1425656279.unknown

_1425656029.unknown

_1425656137.unknown

_1425655970.unknown

_1425655666.unknown

_1425655711.unknown

_1425655863.unknown

_1425655886.unknown

_1425655732.unknown

_1425655694.unknown

_1425655523.unknown

_1425655543.unknown

_1425655493.unknown

_1425637458.unknown

_1425654550.unknown

_1425655036.unknown

_1425655052.unknown

_1425654994.unknown

_1425654435.unknown

_1425654447.unknown

_1425654467.unknown

_1425637488.unknown

_1425637358.unknown

_1425637418.unknown

_1425637441.unknown

_1425637400.unknown

_1425636874.unknown

_1425636956.unknown

_1425636873.unknown

_1425633802.unknown

_1425634635.unknown

_1425636756.unknown

_1425636782.unknown

_1425636806.unknown

_1425636845.unknown

_1425636862.unknown

_1425636826.unknown

_1425636786.unknown

_1425636777.unknown

_1425636764.unknown

_1425634686.unknown

_1425636696.unknown

_1425636738.unknown

_1425634805.unknown

_1425634646.unknown

_1425634456.unknown

_1425634507.unknown

_1425634521.unknown

_1425634489.unknown

_1425634465.unknown

_1425634410.unknown

_1425634440.unknown

_1425633807.unknown

_1425633189.unknown

_1425633351.unknown

_1425633430.unknown

_1425633461.unknown

_1425633797.unknown

_1425633398.unknown

_1425633303.unknown

_1425633324.unknown

_1425633291.unknown

_1425633165.unknown

_1425633177.unknown

_1425632998.unknown

_1425633128.unknown

_1425633143.unknown

_1425633015.unknown

_1425632987.unknown

_1425630748.unknown

_1425631174.unknown

_1425631363.unknown

_1425632851.unknown

_1425632963.unknown

_1425632939.unknown

_1425631379.unknown

_1425631186.unknown

_1425631278.unknown

_1425631180.unknown

_1425630826.unknown

_1425630913.unknown

_1425631127.unknown

_1425630844.unknown

_1425630780.unknown

_1425628655.unknown

_1425630293.unknown

_1425630737.unknown

_1425630742.unknown

_1425630704.unknown

_1425630731.unknown

_1425630699.unknown

_1425630218.unknown

_1425630268.unknown

_1425629820.unknown

_1425630154.unknown

_1425629780.unknown

_1425629796.unknown

_1425628700.unknown

_1425628578.unknown

_1425628607.unknown

_1425628646.unknown

_1425628571.unknown

_1425628196.unknown

_1425628378.unknown

_1425628470.unknown

_1425628528.unknown

_1425628559.unknown

_1425628479.unknown

_1425628514.unknown

_1425628419.unknown

_1425628455.unknown

_1425628403.unknown

_1425628306.unknown

_1425628358.unknown

_1425628364.unknown

_1425628372.unknown

_1425628311.unknown

_1425628229.unknown

_1425628241.unknown

_1425628214.unknown

_1425627434.unknown

_1425628091.unknown

_1425628154.unknown

_1425628185.unknown

_1425628141.unknown

_1425627883.unknown

_1425628079.unknown

_1425627466.unknown

_1425627059.unknown

_1425627230.unknown

_1425627256.unknown

_1425627106.unknown

_1425627002.unknown

_1425627032.unknown

_1425626985.unknown

_1425626996.unknown

_1425561117.unknown

_1425563049.unknown

_1425626575.unknown

_1425626765.unknown

_1425626892.unknown

_1425626949.unknown

_1425626963.unknown

_1425626931.unknown

_1425626872.unknown

_1425626882.unknown

_1425626793.unknown

_1425626653.unknown

_1425626666.unknown

_1425626702.unknown

_1425626661.unknown

_1425626631.unknown

_1425626645.unknown

_1425626619.unknown

_1425626383.unknown

_1425626496.unknown

_1425626516.unknown

_1425626543.unknown

_1425626506.unknown

_1425626437.unknown

_1425626460.unknown

_1425626424.unknown

_1425626239.unknown

_1425626340.unknown

_1425626371.unknown

_1425626327.unknown

_1425626174.unknown

_1425626226.unknown

_1425563058.unknown

_1425562570.unknown

_1425562780.unknown

_1425562965.unknown

_1425563008.unknown

_1425563029.unknown

_1425562989.unknown

_1425562841.unknown

_1425562905.unknown

_1425562796.unknown

_1425562687.unknown

_1425562731.unknown

_1425562772.unknown

_1425562711.unknown

_1425562719.unknown

_1425562701.unknown

_1425562652.unknown

_1425562667.unknown

_1425562672.unknown

_1425562586.unknown

_1425562602.unknown

_1425562585.unknown

_1425561734.unknown

_1425561980.unknown

_1425562548.unknown

_1425562560.unknown

_1425562525.unknown

_1425562545.unknown

_1425562511.unknown

_1425561866.unknown

_1425561953.unknown

_1425561759.unknown

_1425561345.unknown

_1425561435.unknown

_1425561666.unknown

_1425561434.unknown

_1425561328.unknown

_1425561333.unknown

_1425561316.unknown

_1425561263.unknown

_1425559651.unknown

_1425560219.unknown

_1425560397.unknown

_1425560956.unknown

_1425561018.unknown

_1425561040.unknown

_1425561016.unknown

_1425560486.unknown

_1425560533.unknown

_1425560458.unknown

_1425560270.unknown

_1425560319.unknown

_1425560347.unknown

_1425560278.unknown

_1425560247.unknown

_1425560255.unknown

_1425560264.unknown

_1425560229.unknown

_1425559918.unknown

_1425559975.unknown

_1425560171.unknown

_1425560184.unknown

_1425560159.unknown

_1425559928.unknown

_1425559946.unknown

_1425559753.unknown

_1425559778.unknown

_1425559856.unknown

_1425559864.unknown

_1425559766.unknown

_1425559724.unknown

_1425559739.unknown

_1425559663.unknown

_1425554739.unknown

_1425555138.unknown

_1425559490.unknown

_1425559591.unknown

_1425559603.unknown

_1425559512.unknown

_1425555181.unknown

_1425559324.unknown

_1425555164.unknown

_1425554934.unknown

_1425554978.unknown

_1425555010.unknown

_1425554954.unknown

_1425554908.unknown

_1425554923.unknown

_1425554777.unknown

_1425554028.unknown

_1425554544.unknown

_1425554722.unknown

_1425554633.unknown

_1425554681.unknown

_1425554124.unknown

_1425554482.unknown

_1425554057.unknown

_1425553865.unknown

_1425553964.unknown

_1425553985.unknown

_1425553908.unknown

_1425553735.unknown

_1425553758.unknown

_1425553723.unknown

_1425402562.unknown

_1425549481.unknown

_1425551517.unknown

_1425553058.unknown

_1425553423.unknown

_1425553551.unknown

_1425553622.unknown

_1425553639.unknown

_1425553604.unknown

_1425553482.unknown

_1425553510.unknown

_1425553463.unknown

_1425553186.unknown

_1425553350.unknown

_1425553369.unknown

_1425553318.unknown

_1425553102.unknown

_1425553135.unknown

_1425551632.unknown

_1425552702.unknown

_1425552774.unknown

_1425552857.unknown

_1425553001.unknown

_1425552730.unknown

_1425552634.unknown

_1425552670.unknown

_1425552589.unknown

_1425551577.unknown

_1425551594.unknown

_1425551617.unknown

_1425551584.unknown

_1425551559.unknown

_1425551567.unknown

_1425551532.unknown

_1425550360.unknown

_1425550931.unknown

_1425551360.unknown

_1425551451.unknown

_1425551465.unknown

_1425551423.unknown

_1425551259.unknown

_1425551353.unknown

_1425551254.unknown

_1425550731.unknown

_1425550779.unknown

_1425550834.unknown

_1425550712.unknown

_1425550409.unknown

_1425550439.unknown

_1425549769.unknown

_1425549929.unknown

_1425550063.unknown

_1425550175.unknown

_1425550000.unknown

_1425549837.unknown

_1425549856.unknown

_1425549864.unknown

_1425549783.unknown

_1425549701.unknown

_1425549731.unknown

_1425549748.unknown

_1425549718.unknown

_1425549572.unknown

_1425549662.unknown

_1425549493.unknown

_1425407773.unknown

_1425408783.unknown

_1425549189.unknown

_1425549301.unknown

_1425549435.unknown

_1425549461.unknown

_1425549359.unknown

_1425549372.unknown

_1425549329.unknown

_1425549257.unknown

_1425549283.unknown

_1425549211.unknown

_1425408887.unknown

_1425408963.unknown

_1425548124.unknown

_1425408962.unknown

_1425408858.unknown

_1425408874.unknown

_1425408803.unknown

_1425407995.unknown

_1425408666.unknown

_1425408718.unknown

_1425408746.unknown

_1425408694.unknown

_1425408626.unknown

_1425408014.unknown

_1425408586.unknown

_1425407905.unknown

_1425407958.unknown

_1425407970.unknown

_1425407941.unknown

_1425407873.unknown

_1425407893.unknown

_1425407804.unknown

_1425407047.unknown

_1425407351.unknown

_1425407611.unknown

_1425407645.unknown

_1425407735.unknown

_1425407471.unknown

_1425407481.unknown

_1425407599.unknown

_1425407438.unknown

_1425407172.unknown

_1425407200.unknown

_1425407222.unknown

_1425407188.unknown

_1425407098.unknown

_1425407141.unknown

_1425407072.unknown

_1425406800.unknown

_1425406951.unknown

_1425407015.unknown

_1425407023.unknown

_1425406984.unknown

_1425406832.unknown

_1425406846.unknown

_1425406883.unknown

_1425406808.unknown

_1425406726.unknown

_1425406740.unknown

_1425406750.unknown

_1425406731.unknown

_1425406620.unknown

_1425406652.unknown

_1425406586.unknown

_1425398147.unknown

_1425398595.unknown

_1425400582.unknown

_1425402359.unknown

_1425402485.unknown

_1425402507.unknown

_1425402530.unknown

_1425402439.unknown

_1425402451.unknown

_1425402411.unknown

_1425402400.unknown

_1425402322.unknown

_1425400723.unknown

_1425402271.unknown

_1425398649.unknown

_1425400283.unknown

_1425400517.unknown

_1425400228.unknown

_1425400273.unknown

_1425400219.unknown

_1425398785.unknown

_1425398624.unknown

_1425398637.unknown

_1425398613.unknown

_1425398378.unknown

_1425398510.unknown

_1425398539.unknown

_1425398562.unknown

_1425398511.unknown

_1425398508.unknown

_1425398509.unknown

_1425398413.unknown

_1425398505.unknown

_1425398258.unknown

_1425398308.unknown

_1425398323.unknown

_1425398296.unknown

_1425398196.unknown

_1425398212.unknown

_1425398178.unknown

_1425397510.unknown

_1425397961.unknown

_1425398094.unknown

_1425398118.unknown

_1425398141.unknown

_1425398107.unknown

_1425398043.unknown

_1425398060.unknown

_1425397975.unknown

_1425397664.unknown

_1425397776.unknown

_1425397932.unknown

_1425397701.unknown

_1425397624.unknown

_1425397639.unknown

_1425397538.unknown

_1425396886.unknown

_1425397407.unknown

_1425397468.unknown

_1425397497.unknown

_1425397441.unknown

_1425397155.unknown

_1425397369.unknown

_1425397383.unknown

_1425397337.unknown

_1425397137.unknown

_1425396819.unknown

_1425396850.unknown

_1425396875.unknown

_1425396838.unknown

_1425396770.unknown

_1425396796.unknown

_1425396744.unknown

_1425367618.unknown

_1425374191.unknown

_1425375252.unknown

_1425396423.unknown

_1425396614.unknown

_1425396646.unknown

_1425396657.unknown

_1425396626.unknown

_1425396554.unknown

_1425396593.unknown

_1425396439.unknown

_1425396366.unknown

_1425396392.unknown

_1425375308.unknown

_1425375360.unknown

_1425375438.unknown

_1425375445.unknown

_1425375336.unknown

_1425375294.unknown

_1425374871.unknown

_1425375142.unknown

_1425375173.unknown

_1425375190.unknown

_1425375159.unknown

_1425375082.unknown

_1425375128.unknown

_1425374879.unknown

_1425374284.unknown

_1425374347.unknown

_1425374854.unknown

_1425374333.unknown

_1425374221.unknown

_1425374263.unknown

_1425374207.unknown

_1425372944.unknown

_1425373402.unknown

_1425373517.unknown

_1425374131.unknown

_1425374156.unknown

_1425374084.unknown

_1425373532.unknown

_1425373584.unknown

_1425373443.unknown

_1425373498.unknown

_1425373423.unknown

_1425373315.unknown

_1425373357.unknown

_1425373375.unknown

_1425373344.unknown

_1425373111.unknown

_1425373141.unknown

_1425372975.unknown

_1425372984.unknown

_1425372964.unknown

_1425372784.unknown

_1425372851.unknown

_1425372882.unknown

_1425372916.unknown

_1425372867.unknown

_1425372805.unknown

_1425372820.unknown

_1425367879.unknown

_1425372762.unknown

_1425372776.unknown

_1425367933.unknown

_1425367914.unknown

_1425367737.unknown

_1425367854.unknown

_1425367703.unknown

_1425366165.unknown

_1425367404.unknown

_1425367573.unknown

_1425367523.unknown

_1425367542.unknown

_1425367415.unknown

_1425366648.unknown

_1425367168.unknown

_1425367382.unknown

_1425367394.unknown

_1425367238.unknown

_1425366886.unknown

_1425367148.unknown

_1425366860.unknown

_1425366819.unknown

_1425366707.unknown

_1425366619.unknown

_1425366294.unknown

_1425366578.unknown

_1425366618.unknown

_1425366356.unknown

_1425366177.unknown

_1425302437.unknown

_1425366021.unknown

_1425366083.unknown

_1425366112.unknown

_1425366117.unknown

_1425366108.unknown

_1425366074.unknown

_1425365909.unknown

_1425366005.unknown

_1425366016.unknown

_1425365694.unknown

_1425365700.unknown

_1425365712.unknown

_1425302650.unknown

_1425302637.unknown

_1425302489.unknown

_1425302636.unknown

_1425301624.unknown

_1425301928.unknown

_1425302118.unknown

_1425302180.unknown

_1425301933.unknown

_1425301864.unknown

_1425301897.unknown

_1425301762.unknown

_1425301792.unknown

_1425301748.unknown

_1425301653.unknown

_1425301423.unknown

_1425301448.unknown

_1425301226.unknown

_1425301303.unknown

_1425301377.unknown

_1425301227.unknown

_1425295418.unknown

_1425295480.unknown

_1425295402.unknown

Documents

PRIMJENA DERIVACIJA 3A