Primjena LMS algoritma u antenskim sistemima - dos.ac.me fileSeminarski rad Paunović-Bakić-Žarić-Drobnjak - 2 - Uvod Antenski sistemi su dobro poznati sistemi bez kojih je nemoguće

UNIVERZITET CRNE GORE ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET PODGORICA

Odsijek: Računari

Primjena LMS algoritma u antenskim sistemima -seminarski rad-

Predmet: Adaptivni sistemi i neuralne mreže Predavač: prof. dr. Ljubiša Stanković

Autori: Paunović Aleksandar 33/02

Žarić Dušan 36/02 Drobnjak Marinko 34/02

Bakić Rade 7/02

Seminarski rad Paunović-Bakić-Žarić-Drobnjak

- 2 -

Uvod

Antenski sistemi su dobro poznati sistemi bez kojih je nemoguće zamisliti svijet savremenih telekomunikacija. Njihova namjena je vrlo raznovrsna i široko su rasprostranjene počevši od najobičnije TV antene pa sve do najsloženijih telekomunikacionih uređaja. U zavisnosti od konkretne primjene antenu mogu sačinjavati dipoli (unaprijed određeni za prijem elektromagnetnih signala), hidrafoni (postavljeni u okeanu za prijem akustičkih signala), seizmetri ili geofoni (uronjeni u zemlju za prisluškivanje seizmičkih signala), ili drugi oblici predajnika.

Adaptivni antenski nizovi predstavljaju višekanalne adaptivne uređaje za

obradu signala. Adaptivna antena ili adaptivni sistem formiranja zraka sastoji se iz mnoštva prostorno razbacanih elemenata spojenih u jednokanalne ili višekanalne naprave za obradu signala. Dodavanje prostorne dimenzije u obradi signala stvaraju se nove mogućnosti, koje dovode do široke oblasti rijetkih primjena i algoritama.

Adaptivne prijemne antene (rešetke) moguće je koristiti za umanjenje ili

eleminisanje usmjerenih smetnji pomoću adaptivnog prigušenja ili adaptivnog formiranja nule što dovodi do poboljšanja odnosa signal-šum. Na osnovu jednog oblika adaptivnih algoritama adaptivne prijemne rešetke mogu se ’’samo-podešavati’’ tj. automatski se prestrojiti na stranu signala, pri nepoznatom smjeru njegovog dolaska i odvojiti taj signa od usmjerenih smetnji, dok su smjerovi njihovih ulazaka različiti od smjera ulaska signala. Drugi adaptivni algoritmi dozvoljavaju određivanje smjera ulaska na osnovu smetnji. Pomoću jednog oblika algoritma moguće je izdvojiti slabe signale na osnovu jačih, kada oni ulaze pod različitim uglovima. Moguće je uraditi i to da adaptivna prijemna rešetka bude osjetljiva prema rijetko prenosivim signalima i neosjetljiva prema često prenosivim ili stacionarnim signalima i obratno. Broj mogućnosti je vrlo veliki. Za nas je najinteresantniji slučaj primjene LMS algoritma u otklanjanju smetnji kod antenskih sistema.

Slika 1. Ilustracija problema interferencije LMS je adaptivni algoritam na bazi metoda Steepest Descent, koji koristi

procjene gradijent vektora na osnovu dostupnih podataka. LMS algoritam sadrži iterativnu proceduru koja pravi sukcesivne korekcije vektora težinskih koeficijenata u pravcu obrnutom od gradijent vektora što na kraju vodi ka najmanjoj srednjoj kvadratnoj greški. U poređenju sa ostalim algoritmima LMS algoritam je relativno prost, ne zahtijeva računanja korelacionih funkcija niti zahtijeva inverzne matrice.


- 3 -

Cilj je da se podesi i simulira adaptivni prostorni problem filtriranja, koristeći

niz antena, pri čemu je procjena željenog signala zasnovana na primljenom signalu koji sadrži dodatne interferirajuće signale i pozadinski šum. Naime, raznovrsni signali dolaze iz više pravaca sa različitim amplitudama, fazama i vremenskim kašnjenjima. Kašnjenja mogu izazvati interferenciju u prijemniku, uzrokujući slab prijem signala. Filtriranje se obavlja u iterativnom podešavanju, koristeći LMS algoritam.

Otklanjanje problema interferencije antenskih sistema pomoću LMS algoritma

odvija se u dvije faze: 1. proces filtriranja uključuje izračunavanje izlaza korektora produkovanog

setom lakih impulsnih ulaza, i generisanje greške procjene poređenjem ovog izlaza sa odaslatim signalom.

2. adaptivni proces uključuje automatsko podešavanje težinskih koeficijenata filtera u skladu sa izračunatom greškom procjene.

Ove dvije faze se kombinuju i čine povratnu spregu.

Slika 2. Adaptivni korektor

Podrazumijeva se podešavanje korektora radi omogućavanja adaptacije sa nepoznatim komunikacionim kanalom. Potrebno je poznate probne sekvence fiksne dužine poslati kako bi korektor prijemnika mogao da se korektno adaptira za maksimizaciju signala. Automatskim praćenjem probnih sekvenci korisnički podaci se šalju.

LMS algoritam i adaptivni antenski nizovi

Posmatrajmo antenski niz koji prima različite signale iz više pravaca u prostoru. Problem prostornog filtriranja je da poboljša model antenskog niza tako da maksimalna moguća tačnost bude u pravcu željenog signala dok interferentne komponente treba da budu poništene.

Označimo sa s(t) željeni komunikacioni signal koji na niz dolazi pod uglom θ0

i neka je sa ui(t) označeno Nu interferirajućih signala koji dolaze na niz pod upadnim

1/H F + + ++

-

+Adaptivni korektor

Nepoznati kanal

Signal greške

Interferirajući signal

Prenošeni signal


- 4 -

uglom θi, respektivno. Ovdje smo pretpostavili da adaptivni procesor nema prethodna (a-priori) znanja o usmjerenosti pridošlih (DOA) signala i interferirajućih signala.

Izlaz iz antenskog niza je dat kao:

01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )uN

i ii

x t s t a u t a n tθ θ=

= + +∑

gdje je:

x(t) je primljeni signal (izlaz antenskog niza); n(t) je šum; s(t) je željeni signal; a(θ0) je usmjeravajući vektor za željeni signal; a(θi) je usmjeravajući vektor za i-ti signal.

Uopšteni problem prostornog filtriranja je procjena signala s(t) iz primljenog

signala x(t) tako da neka mjera greške između procijenjenog sˆ(t) i originalnog signala s(t) bude minimalna, zasnovana na određenim ograničenjima kao što su konstantni koeficijenti (moduli), tačna pozicija nula itd. Prema tome, neophodno je dobiti željeni signal iz primljenog signala sa pridodatim interferirajućim signalom i šumom.

Srednja kvadratna greška (MSE) je mjera koja se obično koristi za optimizaciju. U ovom slučaju, problem filtriranja može biti postavljen (podešen) kao klasični Vinerov problem filtriranja za koji se rješenje može dobiti iterativnim postupkom pomoću LMS algoritama.

Cilj nam je da razvijemo opšti sistem za simulaciju LMS algoritma i da

prikažemo njegove performanse za različite konfiguracije antenskog niza, broj interferirajućih signala (Nu), statističke osobine signala i interferirajućih signala i statistički odnos između signala i interferenata (tj. usaglašen ili neusaglašen, itd.).

Slika 3. Uniformni Linearni Niz (ULA)

Adaptivni niz koji je korišćen u ovom projektu je Uniformni Linearni Niz (ULA) sa N elemenata. Svaki od elemenata u ULA je skaliran pomoću njemu

2 N-1 d d

1 0

θ

normala


- 5 -

odgovarajućeg težinskog koeficijenta i sumiran sa oblikom izlaznog signala. Težinski koeficijenti se kontrolišu (inturn controlled) pomoću adaptivnog algoritma koji radi na primljenom signalu i željenom signalu, odnosno težinski koeficijenti se izračunavaju LMS algoritmom baziranim na kriterijumu minimalne srednje kvadratne greške (MSE). Dakle, model antenskog niza treba da bude optimizovan na maksimalnu moguću tačnost u pravcu željenog signala, dok se poništava u pravcu interferirajućih komponenti. Konfiguracije antenskog niza i adaptivnog procesora su prikazane slici 4.

Slika 4. Adaptivni Procesor

U slučaju ULA, usmjeravajući vektori niza su dati kao:

[ ])sin()1()sin(2)sin( ,...,,,1)( θθθθ kdNjkdjjkd eeea −=

gdje je k talasni broj (k = 2 π /λ) a d rastojanje između susjednih antena. Izlaz iz adaptivnog procesora y(t) je dat kao:

( ) ( )Ty t w x t=

gdje, W predstavlja vektor težinskih koeficijenata za N elementa. Za referentni signal d(t), generisan na prijemniku, uzima se da ima slične statističke osobine (prvog i drugog reda) kao prenošeni signal s(t), odnosno da je u korelaciji sa s(t). U literaturi se mogu naći različite metode za generisanje referentnog signala d(t).

Pretpostavke:

Za svrhe simulacija, za referentni signal d(t) pretpostavljamo da je isti kao s(t).

+

wn

w1

w2

Adaptivni Procesor

( )td

)(ty )(2 tx

)(txn

)(1 tx


- 6 -

Svi signali su predstavljeni preko svojih odbiraka (odabranih vrijednosti). Prema tome, u buduće ćemo sve signale označavati kao digitalne (tj. sa s(n) umjesto sa s(t)).

Formulacija LMS algoritma

Kriterijum za određivanje težinskih koeficijenata je zasnovan na smanjenju srednje kvadratne greške između prethodnog snopa izlaza antenskog niza i referentnog signala:

W(n+1) = W(n) + µ x(n) e(n)

E [e2(n)] = E [(d(n) – W

Tx(n))

2]

Pojednostavljeno,

E [e2(n)] = E [d

2(n)] – 2W

Tr + (W

T)

2R

gdje je,

• R = E [x(n) xT (n)] auto-korelaciona matrica primljenog signala (odnosi se na matricu kovarijansi);

• r = E [d(n) x(n)] kros-korelacioni vektor između željenog signala i primljenog signala.

Traženjem minimalne srednje kvadratne greške (MSE) gradijent vektora se

bolje podešava nego prethodnim jednačinama:

( )2[ ( ) ] 2 2W 0E e n r RW∂

= − + =∂

Wopt = R-1r Dobijeno rješenje je poznatije kao Viner-Hopf rješenje.

LMS je algoritam stohastičke optimizacije gradijenta koji konvergira ka Vienerovom rješenju. LMS je zasnovan na tradicionalnoj tehnici optimizacije koja se naziva Steepest Descent ali se neznatno razlikuje u smislu da rađe koristi stohastički nego deterministički gradijent, kao u Steepest Descent metodu. LMS algoritam koristi prednosti sljedećih činjenica:

• Grafik srednje kvadratne greške (MSE) prelazi u sferni oblik sa jedinstvenim

minimumom u odnosu na koeficijente koji imaju kvadratni oblik (slika 5); • Gradijent funkcije uvijek pokazuje „nasuprot” tj. prema maksimumu funkcije.


- 7 -

Slika 5. Primjer MSE za N = 2

U metodu Steepest Descent vektor težinskih koeficijenata se „razvija” u pravcu negativnog gradijenta:

{ }( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−+=+ )(2

)()1( 2 neEW

nWnW μ

Gradijent vektor se računa kao :

( )2[ ( ) ] 2 2WE e n r RW∂

= − +∂

Najveća mana ovog metoda je računanje sa pronalaženjem vrijednosti matrica

R i r u realnom vremenu. LMS algoritam, sa druge strane, pojednostavljuje ovaj problem upotrebom trenutnih vrijednosti kovarijanse matrica r i R umjesto njihovih stvarnih vrijednosti.

R(n) = x(n) xT(n)

r(n) = d(n) x(n)

Poslije nekoliko koraka dobićemo jednostavan izraz za težinske koeficijente:

W(n+1) = W(n) + μ x(n) [d(n) – xT(n)W(n) ] =

= W(n) + μ x (n) e(n)


- 8 -

LMS algoritam počinje sa proizvoljnom vrijednošću W(0) za težinski vektor n=0. Sukcesivne korekcije težinskog vektora na kraju dolaze do minimalne vrijednosati srednje kvadratne greške.

LMS algoritam može se sažeti jednačinama:

Izlaz: y(n)= wTx(n)

Greška: e(n) = d(n) – y(n) Težinski koeficijenti: W(n+1) = W(n) + μ x(n) e(n)

Konvergencija i stabilnost LMS algoritma

LMS algoritam startuje sa proizvoljnim inicijalnim vektorom težinskih koeficijenata za koje taj isti algoritam konvergira i ostaje stabilan dok god su vrijednosti µ odabrane prema sljedećem pravilu:

0 < μ < 1/λmax

gdje je λmax maksimum sopstvene vrijednosti korelacione matrice R.

Konvergencija algoritma je obrnuto proporcionalna sopstvenoj vrijednosti opsega korelacione matrice R. Kada su sopstvene vrijednosti matrice R široko raspoređene, konvergencija može biti spora. Sopstvena vrijednost opsega korelacione matrice procjenjuje se računanjem odnosa najveće i najmanje sopstvene vrijednosti matrice. Ako je μ malo onda algoritam veoma sporo konvergira, ali je stabilniji oko optimalne vrijednosti. Veća vrijednost za μ omogućava veću brzinu konvergencije algoritma, ali se gubi na stabilnosti u okolini minimalne vrijednosti. U literaturi se predlaže viša granica za μ na osnovu nekoliko aproksimacija tipa:

μ ≤ 1/(3trag(R))

Diagram zračenja

Pojava snažnih interferirajućih signala na jednom elementu antenskog niza može napraviti ozbiljne smetnje pri prijemu osnovnog signala. Zadatak je otkloniti navedene smetnje izazvane interferirajućim signalima. Najpogodniji način prikaza rješenja navedenog problema je diagramom zračenja koji prati izloženi koncept LMS algoritma.

Pri odsustvu smetnji diagram zračenja antenskog niza ima oblik kruga bez

izobličenja (slika 6). U opštem slučaju se prisustvo smetnji manifestuje prigušenjem bočnih latica dijagrama zračenja na mjestima koja odgovaraju upadnim uglovima smetnji. Ovo je prikazano na slici 7.


- 9 -

Slika 6. Diagram zračenja pri odsustvu smetnji

Slika 7. Diagram zračenja u uslovima smetnje sa upadnim uglom 45º

Ako računamo na veći broj smetnji, onda je neophodno uključiti veći broj

antena, u krajnjem slučaju po jedanu za svaku smetnju. Ako broj smetnji prelazi broj antena, onda adaptivni algoritam dovodi do minimizacije izlazne snage. U protivnom slučaju algoritam najmanjih kvadrata lako formira potreban broj zraka i diagrama zračenja.

Rezultati simulacije LMS algoritma

U cilju simulacije linearnog antenskog niza od N elementa uzima se da su njihova međusobna rastojanja jednaka polovini talasne dužine. Željeni signal s(t), koji stiže pod uglom θ0, je jednostavna kompleksna sinusoida fazno modulisana:

smetnja


- 10 -

sin( )( ) j ts t e ω=

Interferirajući signali ui(t), koji imaju upadni ugao θi, su istog oblika kao i željeni signal.

Primjer 1:

• karakteristike poslatog signala : 2 sin(0.4 )tπ , θ0 = 0º; • broj odbirka : 350; • dimenzije antenskog sistema : N = 4; • karakteristike šuma : Gausov, SNR = 10; • karakteristike smetnji : θi = [-30º, 60º, 90º], SIR = [10, 10, 10], Gausovog tipa; • talasna dužina : λ = 75*10 m− => d = λ / 2; • veličina koraka : μ = 0.04.

Rezultati dobijeni u ovom primjeru prikazani su na slikama 8-10.

Slika 8. Rezultati simulacije za primjer 1

a) ulaz jednog elementa antenskog niza b) grafik težinskih koeficijenata c) MSE

d) izlaz sistema y

c) d)

a) b)


- 11 -

Slika 9. Željeni signal

Optimalni kompleksni težinski koeficijenti koje smo dobili u ovom slučaju i za

koje algoritam konvergira su:

W1 = 0.2002 + 0.0004i W2 = 0.2434 − 0.0590i W3 = 0.2389 + 0.0277i W4 = 0.2091 + 0.0237i

Grafik inteziteta kompleksnih težinskih koeficijenata pokazuje konvergenciju težinskih koefcijenata ka njihovim optimalnim vrijednostima (slika 8 b)).

Na slici 10 prikazani su diagrami zračenja pri različitom broju iteracija. Kada

se obavi:

1 iteracija W = [ 1, 1, 1, 1 ]; 60 iteracija W = [0.2654 + 0.0043i, 0.1874 + 0.0477i,

0.3936 + 0.0232i, 0.1782 − 0.0833i]; 119 iteracija W = [0.1814 − 0.0075i, 0.2592 + 0.0014i,

0.2302 + 0.0603i, 0.2052 − 0.0688i]; 179 iteracija W = [0.1505 − 0.0096i, 0.2463 − 0.0158i,

0.1822 + 0.0818i, 0.1536 − 0.0419i]; 237 iteracija W = [0.1831 − 0.0242i, 0.2974 − 0.0449i

0.1850 + 0.0679i, 0.1953 − 0.0229i]; 296 iteracija daje optimalne koeficijente W.


- 12 -

Slika 10. Diagrami zračenja za primjer 1

Kako µ određuje brzinu konvergencije ali i stabilnost LMS algoritma, treba obratiti pažnju na vrijednost koju uzima µ, tj. µ treba držati u opsegu koji smo ranije definisali (0 < µ < 1/λmax). Efekti manje i veće vrijednosti µ prikazani su na slikama 11-14. Grafik greške sa slike 11 pokazuje efekat faktora konvergencije kada je µ malo, µ = 0.00001 (µ je malo pa je konvergencija spora sa još uvijek velikom greškom). Nema potpune konvergencije algortma ni poslije 1000 odbiraka sa veoma izraženom grškom skoro 10 %.

Slika 11. MSE za µ = 0.00001 i N = 1000

1 itearcija 60 itearcija 119 itearcija

178 itearcija 237 itearcija 296 itearcija


- 13 -

Slika 12. Diagram zračenja za µ = 0.00001 i N = 1000

Grafik greške sa slike 13 pokazuje efekat faktora konvergiranja kada je µ veliko. Velika vrijednost za µ vodi ka brzoj konvergenciji algoritma. Međutim, kada je µ previše veliko algoritam postaje nestabilan i dolazi do pogrešnih rezultata. Za primjer 1 kada je µ = 0.2 greška je nepravilna (ima pikove).

Slika 13. Grafik MSE za µ = 0.2

Slika 14. Diagram zračenja za µ = 0.2

W = [0.9715 + 0.0005i, 0.9722 - 0.0007i, 0.9720 + 0.0008i, 0.9715 - 0.0006i]

W = [0.2255 - 0.0736i, 0.1600 - 0.0684i, 0.3938 - 0.1031i, 0.2845 + 0.0711i


- 14 -

Pri dobro odabranoj vrijednosti μ LMS algoritam omogućava praćenje željenog signala (slika 15). Dakle, u početku adaptivnog procesa imamo značajnu vrijednost greške između y(t) i željenog signala. Ovo se javlja jer je algoritam u inicijalnoj fazi sa proizvoljnim vrijednostima težinskih koeficijenata, koji nijesu nigdje bliski optimalnim težinskim koeficijentima. Međutim, kako adaptivni proces odmiče koeficijenti konvergiraju prema njihovim optimalnim vrijednostima i signal y(t) prati željeni signal bliže sa manjom greškom. Suština je u računanju greške u svakoj iteraciji.

Slika 15. Praćenje željenog signala metodom LMS algoritma Primjer 2:

• karakteristike poslatog signala : const = 2, θ0 = 0º; • broj odbirka : 400; • dimenzije antenskog sistema : N = 5; • karakteristike šuma : Gausov, SNR = 10; • karakteristike smetnji : θi = [-20 º, -60 º, 30 º, 60 º], SIR = [-10, -10, -10, -10], Gausovog tipa; • talasna dužina : λ = 75*10 m− => d = λ / 2; • veličina koraka : μ = 0.04.

Slika 16. Željeni signal


- 15 -

Optimalni težinski koeficijent u ovom slučaju su:

W1 = 0.1376 − 0.0368i W2 = 0.2407 − 0.0744i W3 = 0.1406 − 0.0009i W4 = 0.2060 + 0.0240i W5 = 0.2144 + 0.0859i

Rezultati dobijeni u ovom primjeru prikazani su na graficima 17 i 18.

Slika 17. Rezultati za primjer 2

a) ulaz jednog elementa antenskog niza b) grafik težinskih koeficijenata c) MSE

d) izlaz sistema y

Slika 18. Diagrami zračenja u zavisnosti od broja iteracija za primjer 2

1 iteracija 66 iteracija

196 iteracija

131 iteracija

261 iteracija 326 iteracija

a) b)

c) d)


- 16 -

Matlab realizacija

simulacija.m %----------------------------------------------------------------------------------------------------- % unos osnovnih informacija

br_antena = input('broj antena = '); talasna_duz = input('talasna duzina = '); up_ugao = input('upadni ugao direktnog signala = '); ugao_int = input('ugao interferirajucih komponenti = ')';

% odnos signal sum SIR = input('SIR = ')';

% odnos signal smetnje (interferirajuce komponente) SNR = input('SNR = '); signal = input('signal = '); mi = input('mi = '); rastojanje_antena = talasna_duz/2; br_odbiraka = length(signal);

%----------------------------------------------------------------------------------------------------- % formiranje suma prijemnika % sum je Gausovog tipa

sum = sqrt(10^(-SNR/10))*randn(1,br_odbiraka); %----------------------------------------------------------------------------------------------------- % formiranje interferirajucih komponenti, odnosno smetnji

br_interf = length(SIR); interf_sig = zeros(length(SIR),br_odbiraka); for i = 1:br_interf

% smetnje proizvoljno biramo da su oblika Gausovog suma interf_sig(i,:) = sqrt(10^(-SIR(i)/10)) *randn(1,br_odbiraka);

end %----------------------------------------------------------------------------------------------------- % uzimamo da signal poruke dolazi pod istim uglom % na sve antenske elemente ali sa kasnjenjem

upadni_ugao=[]; for i = 1:br_odbiraka

upadni_ugao = [upadni_ugao,up_ugao]; end

%----------------------------------------------------------------------------------------------------- % uzimamo da smetnje dolazi pod istim % uglom na sve antenske elemente

ugao_interferencije = []; for i = 1:br_odbiraka

ugao_interferencije = [ugao_interferencije,ugao_int]; end

%-----------------------------------------------------------------------------------------------------


- 17 -

% na kraju sve prosljedjujemo adaptivnom sistemu adaptivni_sistem(br_antena,talasna_duz,rastojanje_antena,... signal,sum,interf_sig,upadni_ugao,ugao_interferencije,mi);

%-----------------------------------------------------------------------------------------------------

adaptivni_sistem.m function adaptivni_sistem(br_antena,talasna_duz,rastojanje_antena,signal,... sum,interf_sig,upadni_ugao,ugao_interferencije,mi) %----------------------------------------------------------------------------------------------------- %----------------------------------------------------------------------------------------------------- % talasni broj

k = 2*pi/talasna_duz; % preracunavamo uglove u radijanima

upadni_ugao = upadni_ugao*pi/180; ugao_interferencije = ugao_interferencije*pi/180; [br_interf_sig,br_odbiraka] = size(interf_sig);

%----------------------------------------------------------------------------------------------------- % formiranje kompleksnih sinusoida koje su fazno modulisane % za zeljeni signal

oblik_signala = zeros(br_antena,br_odbiraka); for i = 1:br_odbiraka

oblik_signala(:,i) = usmjereni_vektor(br_antena,k,... rastojanje_antena,upadni_ugao(i)).';

end sig = def_signal(signal,br_odbiraka,oblik_signala); sum = def_signal(sum,br_odbiraka,oblik_signala); zeljeni_signal = sig(1,:); signal = sig + sum;

%----------------------------------------------------------------------------------------------------- % formiranje kompleksnih sinusoida koje su fazno modulisane % za smetnje (interferirajuce komponenete)

interf_ukupno = zeros(br_antena,br_odbiraka); for i = 1:br_interf_sig

oblik_signala = zeros(br_antena,br_odbiraka); for j = 1:br_odbiraka

oblik_signala(:,j) = usmjereni_vektor (br_antena,k,... rastojanje_antena,ugao_interferencije(i,j)).';

end interferirajuci_sig = def_signal (interf_sig(i,:),...

br_odbiraka,oblik_signala); interf_ukupno = interf_ukupno + interferirajuci_sig; end

%----------------------------------------------------------------------------------------------------- % signal + smetnja

x = signal + interf_ukupno;


- 18 -

%----------------------------------------------------------------------------------------------------- % sprovodjenje LMS algoritma

[W,greska,y] = LMS(x,zeljeni_signal,br_odbiraka,br_antena,mi); %----------------------------------------------------------------------------------------------------- % graficka prezentacija rezultata

figure(1) plot(1:br_odbiraka,zeljeni_signal),title('Zeljeni signal'); figure(2) plot(1:br_odbiraka,abs(x(1,:))),title('Ulaz jednog elementa antenskog sistema'); figure(3) plot(1:br_odbiraka+1,abs(W)),title('Tezinski koeficijenti'); figure(4) plot(1:br_odbiraka,abs(greska)),title('Greska (MSE)'); figure(5) plot(1:br_odbiraka,real(y)),title('Izlaz sistema'); figure(6) plot(1:br_odbiraka+1,10*log(fft(W))),title('fft(W)');

%----------------------------------------------------------------------------------------------------- % iscrtavanje dijagrama zracenja

dijagram_zracenja(br_odbiraka,W,k,rastojanje_antena,br_antena); %-----------------------------------------------------------------------------------------------------

LMS.m

function [W,greska,y] = LMS(x,zeljeni_sig,br_odbiraka,br_antena,mi) %----------------------------------------------------------------------------------------------------- %----------------------------------------------------------------------------------------------------- % polazimo od W = 1(svi tezinski koeficijenti = 1)

W = ones(br_antena,br_odbiraka); % koeficijenti greska = zeros(1,br_odbiraka);

%----------------------------------------------------------------------------------------------------- % LMS algoritam

for i = 1:br_odbiraka y(i) = x(:,i)'*W(:,i); greska(i) = zeljeni_sig(i)-y(i); W(:,i+1) = W(:,i)+mi*greska(i)*x(:,i);

end %-----------------------------------------------------------------------------------------------------

usmjereni_vektor.m function vector = usmjereni_vektor(br_antena,k,rastojanje_antena,ugao) %----------------------------------------------------------------------------------------------------- %-----------------------------------------------------------------------------------------------------


- 19 -

% dobijanje usmjerenih vektora tj. fazna modulacija signala vector = exp(j*k*rastojanje_antena*(0:br_antena-1)*sin(ugao));

%-----------------------------------------------------------------------------------------------------

def_signala.m function sig = def_signal(signal,broj_odbiraka,oblik_signala) %----------------------------------------------------------------------------------------------------- %----------------------------------------------------------------------------------------------------- % pomocna funkcija za definisanje niza signala koji % korenspondiraju elementima antenskog niza

[n,m] = size(oblik_signala); sig = zeros(n,broj_odbiraka); for i = 1:n,

sig(i,:) = signal*oblik_signala(i); end

%-----------------------------------------------------------------------------------------------------

dijagram_zracenj.m

function dijagram_zracenja(br_odbiraka,W,k,rastojanje_antena,br_antena) %----------------------------------------------------------------------------------------------------- %-----------------------------------------------------------------------------------------------------

x = []; for ugao = 0:pi/100:2*pi-pi/100

x1 = usmjereni_vektor(br_antena,k,rastojanje_antena,ugao); x = [x x1'];

end %----------------------------------------------------------------------------------------------------- % dajemo 6 presjeka LMS algoritma % sa adekvatnim diagramima zracenja

koef = ceil(br_odbiraka/6); %-----------------------------------------------------------------------------------------------------

figure(7) for i = 1:koef:br_odbiraka

w1 = W(:,i) w1=w1./w1(1,1); y = x'*w1; y = y'./max(y); ime = sprintf('Dijagram zracenja (broj iteracija je %d)',i);

% iscrtavanje diagrama zracenja poslije i iteracija polar(2*pi-pi/100:-pi/100:0,abs(y)),grid,title(ime); pause end

%-----------------------------------------------------------------------------------------------------


- 20 -

Zaključak

LMS algoritam je najšire korišćeni algoritam zbog svoje jednostavnosti i prihvatljivih performansi. Kako je riječ o iterativnom algoritmu može se koristiti u okruženju vremenski jako promjenljivih signala. Odlikuje se stabilnošću i čvrstim performansama u uslovima različitih signala. Međutim, nema uvijek brzu konvergenciju kao neki drugi komplikovani algoritmi (RLS). Konvergira malom brzinom kada okružrnje doprinosi da korelaciona matrica R ima veliki sopstveni opseg. Obično prateći uslovi nijesu statični, korisničke i interferirajuće lokacije kao i okruženje signala se mijenjaju tokom vremena, što prouzrokuje nedovoljno vremena za konvergiranje težinskih koeficijenata adaptiranih na iste (stacionarne) uslove. Dakle, nophodno je da µ (veličina koraka) bude promjenjivo u skladu sa promjenom pratećih uslova. Postoji više varijanti LMS algoritama u kojima su izbjegnute mane osnovne forme. Normalizovani LMS (NLMS) uvodi promjenjivu brzinu adaptacije. NLMS poboljšava brzinu konvergencije za nestacionarno okruženje. U verziji Njutn LMS (Newton LMS), jednačine korekcije težinskih koeficijenata uključuju izbjeljivanje u cilju dosezanja pojedinačnog načina konvergencije. Za duge adaptivne procese koristi se Blok LMS (Block LMS) za ubrzavanje LMS-a. Kod Blok LMS-a ulazni signal dijeli se na blokove i težinski koeficijenti koriguju blokove. Jednostavna verzija LMS-a naziva se Predznak LMS (Sign LMS). On koristi znak greške u ažuriranju težinskih koeficijenata. Takođe, ovo nije slijepi algoritam, već zahtijeva a priori informaciju za referentni signal.

Adaptivni antenski sistemi su jedna od ključnih tehnologija za poboljšanje performansi budućih bežičnih komunikacionih sistema jer imaju potencijal za povećanje pokrivenosti, kapaciteta i poboljšanje kvaliteta signala. Dakle, pred njima je sjajna budućnost.

Documents

Primjena LMS algoritma u antenskim sistemima - dos.ac.me fileSeminarski rad Paunović-Bakić-Žarić-Drobnjak - 2 - Uvod Antenski sistemi su dobro poznati sistemi bez kojih je nemoguće