UFPE - Universidade Federal de Pernambuco

Departamento de Estatística

Disciplina: ET-406 Estatística Econômica

Professor: Waldemar A. de Santa Cruz Oliveira Júnior

PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES(continuação)

Distribuição Gama

Uma VA X tem distribuição gama com parâmetros α ≥ 0 e β > 0 se suadensidade é dada por

f(x|α, β) ={

1Γ(α)βαx

α−1e−x/β, X > 0,

0, caso contrário.

Em que Γ(α) =∫∞0

e−xxα−1dx, α > 0 é denominada função gama.A função gama é uma espécie de generalização da função fatorial, no

sentido que Γ(α) = (α− 1)Γ(α− 1), com α > 1. Assim, se α for um númerointeiro temos exatamente a função fatorial, Γ(α) = (α − 1)!. Outro fatorelevante desta função é que pode-se provar que Γ(1/2) =

√π.

A notação utilizada quando X tem distribuição gama com parâmetros αe β é

X ∼ Gama(α, β).

Se α ≤ 1, o grá�co da densidade gama tem o formato do grá�co esquerdoda �gura abaixo. Caso contrário tem o formato do grá�co da direita.

1

Densidade da Gamma

x

dens

idad

e

x

dens

idad

e

Seu valor esperado é E[X] = αβ, enquanto sua variância é Var[X] = αβ2.

Distribuição t de Student

Sejam Z ∼ N(0, 1) e X ∼ χ2(n), com Z e X independentes, então, a VA,

T =Z√X/n

,

tem densidade dada por

f(t|n) = Γ((n+ 1)/2)

Γ(n/2)√nπ

(1 + t2/n)−(n+1)/2,

com t ∈ R.Neste caso dizemos que T tem um distribuição t de Student com n graus

de liberdade. E usamos a seguinte notação,

T ∼ t(n).

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O grá�co abaixo representa a densidade de uma VA t de Student. Estegrá�co é muito semelhante com o grá�co da densidade normal padrão, porém,este tem �caldas mais pesadas.�

t−Student n=10

f(x)

x

O valor esperado dessa variável é E[Y ] = 0 e a sua variância é Var[T ] =n

n−2.A densidade t de Student também está tabelada em diversos livros de

estatística. Por exemplo, no livro do Bussab temos que para diversos grausde liberdades e diversos α's estão associados valores de T. A �gura abaixomostra parte desta tabela

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Da �gura acima concluímos que se T é uma VA com densidade t deStudent com 10 graus de liberdade, temos que P (−0, 879 ≤ T ≤ 0, 879) =0, 6. Para entender melhor esta probabilidade veja a �gura abaixo e obsreveque n = 10, α = 0, 4 e tα = 0, 879

Área Hachurada = P(X<−tα)+P(X>tα)=α

f(x)

xtα− tα

1−αα/2 α/2

Assim, usando a simetria desta distribuição determine:a) P (0 ≤ T ≤ 0, 879) b) P (T ≤ 0, 879) c) P (T ≥ −0, 879)

Esta densidade é muito utilizada na construção de intervalos de con�ançae testes de hipóteses para a média de uma população normal com variânciadesconhecida.

Distribuição F de Snedecor

Considere U e V duas VA's independentes e distribuídas segundo umaqui-quadrado com n1 e n2 graus de liberdade, respectivamente. Então, a VA

W =U/n1

V/n2

,

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tem densidade dada por

f(w|n1, n2) =Γ((n1 + n2)/2)

Γ(n1/2)Γ(n2/2)

(n1

n2

)n1/2 w(n1−2)/2)

(1 + n1w/n2)(n1+n2)/2,

com w > 0.Dizemos que a VA W tem distribuição F de Snedecor (ou apenas F) com

n1 e n2 graus de liberdade. E usamos a notação

W ∼ F (n1, n2).

Um exemplo do grá�co de uma densidade F pode ser visto na �guraabaixo

F de Snedecor com (10,2) graus de liberdade

f(x)

x

Pode-se mostrar que E[W ] = n2

n2−2e Var[W ] =

2n22(n1+n2−2)

n1(n2−2)2(n2−4).

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As tabelas da F se baseiam na probabilidade da VA ser maior que umdeterminado valor, como mostra a �gura abaixo

Área Hachurada = P(X>fα)=α

f(x)

xfα

1−α

α

A densidade da F é determinada por dois parâmetros n1 e n2, então, paracada α teremos uma tabela associando diversos graus de liberdade a um valorfα. Por exemplo, na �gura abaixo temos a tabela para α = 5%

O círculo em preto está marcando o valor 19,40. Isto quer dizer queP (F(10,2) > 19, 40) = 0, 05.

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Uma propiedade interessante da densidade F é

F (n1, n2) =1

F (n2, n1).

Assim, suponha que queremos encontrar f, tal que, P (F(10,2) ≤ f) = 0, 05.Então, usaremos a tabela da F e esta última propriedade.

P(F(10,2) ≤ f

)= P

(1

F(10,2)

>1

f

)= P

(F(2,10) > 4, 10

)= 0, 05 Veja o círculo em vermelho na tabela

Portanto, 1f= 4, 10 logo f = 0, 2439. Ou seja,

P

(F(10,2) ≤

1

4, 10

)= P

(F(10,2) ≤ 0, 2439

)= 0, 05.

Exemplo: Calcule as probabilidadesa) P (0, 2439 ≤ F(10,2) ≤ 19, 40) b) P (F(10,2) ≥ 0, 2439)c) P (F(10,2) ≤ 19, 40)

Uma aplicação desta VA está na comparação da variância de duas popu-lações normais. Ou seja, dadas duas populações normais podemos construirum teste de hipóteses para testar se essas populações têm a mesma variância.

Referência Bibliográ�ca:Bussab, W. O. & Morettin, P. A. (2002), Estatística Básica, 5a Edição,

Editora: Saraiva.Meyer, P. (1969), Probabilidade: Aplicações à Estatística. Ao Livro Téc-

nico.Morettin, L. G. (2009), Estatística Básica: Probabilidade e Inferência,

Volume Único, Pearson Education.

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