Gerardo Alvarez AlvarezPaulina Carmona MonroyDavid Carrillo JuárezJulio César Ramírez Arroniz

Principio de Exclusión dePauli

Y simetría en la función de onda Curso de Fundamentos deEstructura de la Materia

31 de marzo de 2016

Introducción

Marco histórico

La historia de Wolfgang Pauli (1900-1958) es destacable debido ala innata genialidad que manifestó desde pequeño. Para 1921 yahabía escrito un tratado acerca de la relatividad publicado en laEncyclopädie der mathematischen Wissenschaften que fué inclusoelogiado por Einstein y llamó la atención de Niels Bohr.

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Marco histórico

No se dedicó a eso exclusivamente. En 1919, comenzó a estudiar lamolécula de hidrógeno iónica.Demostró que mediante métodos numéricos, se corroboraba que,experimentalmente, H+

2 es metaestable.Tiempo después, en 1922 comenzaría a trabajar en un problemahallado por Bohr.

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Marco Histórico

Resulta ser que en el átomo de hidrógeno, el electrón púedemoverse en múltiples ’órbitas’ periódicas en la prescencia de uncampo externo y este hecho se explicaba perfectamente bien conlas ecuaciones desarrolladas en aquél entonces pero cuando habíamás electrones, estas ecuaciones fallaban.

Introducción

Marco Histórico

Debemos recordar que en ese momento, no existían todas las reglasfundamentales en la mecánica cuántica. Se conocían solamente tresgrados de libertad asociados al electrón (n,l, m).

Introducción

Marco Histórico

Para hacer peores las cosas, tanto Bohr como Pauli defendían quelos números cuánticos debían de ser siempre enteros. Alfred Landé,por su parte, al explicar el efecto Zeeman, proponía númerosfraccionarios.

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Marco Histórico

Por otra parte, Edmund Stoner publicó en 1924 que ’para un valordado del número cuántico principal (n), el número de niveles deenergía de un electrón en los espectros de metal alcalino en uncampo magnético externo, donde se separan todos los niveles deenergía degenerados, es igual al número de electrones en la capacerrada de los gases nobles para el mismo valor de n.’

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Marco Histórico

Stoner, interpretó que los tres primeros números cuánticosdescriben el movimiento del electrón alrededor del núcleo, mientrasque inherentemente, los electrones presentaban un grado delibertad adicional

Introducción

Marco Histórico

Después de muchos meses de acaloradas discusiones, Paulireconsideró la existencia de números cuánticos fraccionarios ypostuló la existencia de un cuarto número cuántico carente desentido físico.Éste puede tomar varios valores, pero en el caso de los electrones,toma valores ’semienteros’.

Principio de Exclusión

Principio de Exclusión

El principio de exclusión aplicada a una función de onda univaluadaes equivalente a exigir que la función sea antisimétrica.Una función de estado antisimétrica con dos partículas serepresenta como la suma de estados en la una partícula seencuantra en el estado x y la otra en el estado y .Por tanto, la función de onda quedaría expresada como:

|ψ〉 =∑x ,y

A(x , y) |x , y〉 (1)

Principio de Exclusión

Simetría

¿Qué es la simetría en la función de onda?Sabemos por el principio de Incertidumbre de Heisenberg que:

σρ̄σχ̄ ≥~2

(2)

Por lo que no podemos conocer con toda precisión la trayectoria deuna partícula. Suponiendo que podemos ’etiquetar’ a los electronespor sus coordenadas y su espín, tenemos un conjunto de variables:

{x1, y1, z1,ms1, x2, y2, z2,ms2, · · · } = {q1, q2, · · · }

Principio de Exclusión

Simetría

Y con a ese conjunto de variables, sabemos que existe una funcióntal que:

ψ = ψ(q1, q,2 , · · · ) (3)

Podemos también definir un operador de permutación P̂12 queintercambie las coordenadas entre la partícula 1 y la 2 de forma que:

P̂12ψ(q1, q,2 , · · · ) = ψ(q2, q,1 , · · · )

Principio de Exclusión

Simetría

Por construcción si aplicaramos nuevamente este operador:

P̂12P̂12ψ(q1, q,2 , · · · ) = P̂12ψ(q2, q,1 , · · · ) = ψ(q1, q,2 , · · · )

nos queda la función original. Ahora bien, esto implica queP̂12 · P̂12 = 1̂ = P̂2

12.Vale recordar que una eigenfunción cumple con:

Aϕ = λϕ

donde A es un operador lineal (eigenfunción) y λ es un escalar.

Principio de Exclusión

Simetría

Si proponemos wi y ci como las eigenfunciones y los eigenvalores,respectivamente, tenemos P̂12wi = ciwi .Sustituyendo P̂2

12:

P̂212 = 1̂

P̂12wi = ciwi

P̂212wi = ci P̂12wi

wi = c2i wi

1 = c2i ∴ ci = ±1

Principio de Exclusión

Simetría

Entonces, los valores propios de la función son ci .Si wi es función propia del permutador con un valor propio ci = +1entonces al realizar la permutación, la función queda multiplicadapor (+1) y por tanto, no cambia de signo. Esto indica que lafunción es simétrica ante el intercambio.

Principio de Exclusión

Simetría

Si, en caso contrario, ci = −1, la función cambiará de signo ante lapermutaciíon y se dice que es antisimétrica ante el intercambio.Tal es el caso de los fermiones, dado que su condición de espínsemientero impone antisimetría.

Principio de Exclusión

Simetría

Si 1 = {x1, y1, z1, σ1} y 2 = {x2, y2, z2, σ2} son las coordenadas delas partículas 1 y 2 respectivamente, la función de onda puederepresentarse como Ψ(1,2).Al aplicarse una permuta de coordenadas entre ambos electrones,se genera la función ψ(2,1)

Principio de Exclusión

Simetría

La densidad de probabilidad (ρ) es una propiedad que no se debever afectada por la permutación debido a la indistinguibilidad de loselectrones.

ρ(1, 2) = ρ(2, 1)

Principio de Exclusión

Simetría

La densidad de probabilidad es el cuadrado de la función de ondadel sistema

|ψ(1, 2)|2 = |ψ(2, 1)|2

La igualdad puede satisfacerse si es simétrica o antisimétrica

ψ(1, 2) = ψ(2, 1)

ψ(1, 2) = −ψ(2, 1)

Principio de Exclusión

Simetría

Si se considera que los electrones no interactúan entre si, entoncesla función de onda del sistema de 2 partículas puede describirsecomo una multiplicación de las funciones de onda individuales

ψ(1, 2) = ψa1(1)ψa2(2)

Y dado a que las partículas deben ser indistinguibles:

ψ′(1, 2) = ψa1(2)ψa2(1)

Principio de Exclusión

Simetría

El sistema debe ser una superposición lineal de ψ y ψ′, por lo quesólo podrán combinarse en dos formas correctas. La primera es deforma simétrica (que es aplicable a bosones, sobre los cuales noaplica el principio de exclusión)

ψ(1, 2) = [ψa1(1)ψa2(2) + ψa1(2)ψa2(1)]

Mientras que la antisimétrica aplica sólo a fermiones, como elelectrón:

ψanti (1, 2) = [ψa1(1)ψa2(2)− ψa1(2)ψa2(1)]

Conclusiones

Conclusiones

I La restricción de los fermiones para ocupar un mismo estado,permitió explicar, entre otros fenómenos, la estructuraelectrónica de manera más acertada.

I Esto propició a su vez mejores modelos atómicos quefacilitaran el entendimiento de la naturaleza de enlaces, elcómo se forman las moléculas y hasta cómo (y por quemecanismos) puede llevarse a cabo una reacción.

Conclusiones

Conclusiones

I En conclusión, se le debe a Pauli el enunciamiento de esteprincipio y como consecuencia de este se desprende que lafunción de onda para fermiones debe ser antisimétrica. Sinembargo, para que Pauli pudiera enunciar dicho principio debiórecurrir a la investigación de Stoner y la de Landé paradeterminar que, en efecto, los electrones requieren de estecuarto número cuántico.

Referencias

Referencias

I Levine, I. N. Quantum Chemistry, 4th ed. Ed. Prentice Hall1991.

I Heilbron, J. T. The Origins of the Exclusion Principle Hist.Stud. Phys. Sci., Vol. 13 No. 2, 1983; (pp. 261-310).

I Cruz, D.; Chamizo, J.; Garritz, A. Estructura Atómica: unenfoque químico Ed. Fondo Educativo Interamericano 1986.

I Straumann, N., Wolfgang Pauli and modern physics. SpaceScience Reviews, 148(1-4), 2009. (pp.25–36).

I Giulini, D., Electron spin or “classically non-describabletwo-valuedness.” Studies in History and Philosophy of SciencePart B Studies in History and Philosophy of Modern Physics,39(3), 2008. (pp.557–578)