27-9-2016

Simetría de funciones y Principio de exclusión de Pauli

Ulises Organista Mateos Luis Daniel Pedro Hernández Diana Alí Pérez Espinoza Lady Olivia Pérez Valera

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Acerca de Pauli.

Wolfgang Pauli nació el 25 de abril de 1900 hijo de Wolfgang Joseph Pauli y Bertha

Camile Shütz. Su nombre completo era Wolfgang Ernst Frederich Pauli, su segundo

nombre fue elegido en honor a Ernst Mach, quien asumió el rol “padrino”, lo cual

resulta un tanto irónico, ya que Ernst Mach tenía una actitud anticlerical. Su tercer

nombre fue por su abuelo Frederich Shütz, a quien Wolfgang solía acompañar de

paseo por tiendas de antigüedades.

A los diez años cuando comenzó el bachillerato en el Döblinger Gymnasium sus

inquietudes fueron dirigidas, en gran medida por su padre, hacia el campo de las

ciencias naturales. Algo interesante acerca de Paulli es que no fue un pupilo modelo

y sus ocho grados académicos en Doblinger lo demuestran, él era excelente en

matemáticas, física y filosofía, pero en latín y griego sólo consiguió una nota de

satisfactorio. En 1918 se trasladó a la Universidad de Munich donde obtuvo su Ph.D.

física teórica y en 1921, se graduó con honores con A. Sommerfeld.

Una vez graduado, Pauli se convirtió en asistente de Max Born en la Universidad de

Göttingen. Después de ser un asistente de Max Born, Wolfgang Pauli pasó un breve

tiempo en la Universidad de Hamburgo ayudar a Wilhelm Lenz antes de irse a

trabajar con Niels Bohr en la Universidad de Copenhague. En 1924, Pauli desarrolló

el principio de exclusión y por el cual recibió el Premio Nobel en 1945. Otras de las

aportaciones de Pauli es que intuyó la existencia de una partícula neutral, el

neutrino, cuya emisión coincidía con la del electrón.

Aunque Pauli disfrutó trabajando con Bohr y donde era muy respetado, se fue a

enseñar física en la Universidad de Hamburgo en 1924. En 1928, se trasladó de

nuevo a la Escuela Politécnica Federal de Zúrich Hochshule y permaneció allí hasta

su muerte en 1958.

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Principio de indistinguibilidad

En la descripción cuántica de las partículas subatómicas se tiene un principio de

mucha importancia para la química. El principio de indistinguibilidad de las partículas

idénticas.

En la mecánica clásica, si se tiene un conjunto de partículas idénticas, la

identidad de dichas partículas no tiene consecuencias especiales que modifiquen

las propiedades del conjunto. Esto es que si se enumeran las partículas de un

sistema en un instante y se hace un seguimiento de su trayectoria; entonces en un

instante cualquiera será posible identificar las partículas. La identidad de las bolas

no tiene efecto especial sobre sus movimientos.

En mecánica cuántica la situación cambia completamente. Esto debido a que

las partículas siguen el principio de incertidumbre, del cual se obtiene la

imposibilidad de conocer la trayectoria exacta recorrida por una de las partículas del

sistema. En el caso de tener un conjunto de partículas con propiedades diferentes,

se puede emplear cada una de las propiedades para identificar a las partículas. Al

ser un conjunto de partículas idénticas, es imposible poder distinguir una de otra.

Por tanto, la función de onda asociada a un sistema de partículas idénticas que no

interactúan no distinguirá entre las partículas.

Se deducen las condiciones que hay que imponer la función de onda debidas

al principio de indistinguibilidad de partículas en mecánica cuántica. Para un

conjunto de N partículas indistinguibles, la función de onda está dada por las

variables espaciales y la variable de espín de todas las partículas. Para la partícula

1, las variables son: 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1, 𝑚𝑠1. Usando el símbolo q1 para denotar las cuatro

variables, tenemos: 𝜓 = 𝜓(𝑞1, 𝑞2 … , 𝑞𝑛).

Ahora, definiendo el operador permutación �̂�12 como el operador que intercambia

las coordenadas de las partículas 1 y 2:

�̂�12𝑓(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 … , 𝑞𝑛) = 𝑓(𝑞2, 𝑞1, 𝑞3 … , 𝑞𝑛)

Un ejemplo de esto sería el efecto de �̂�12 sobre una función de onda que tiene un

electrón en un orbital 1s con espín positivo y un electrón en un orbital 2s con espín

negativo es:

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�̂�12 [1𝑠(1)𝛼(1)2𝑠(2)𝛽(2)] = [1𝑠(2)𝛼(2)2𝑠(1)𝛽(1)]

Una vez definido el operador permutación se quieren conocer los valores propios

del operador. Esto se hace a través de la doble aplicación del operador, de lo cual

se observa que no tiene algún efecto neto:

�̂�12�̂�12𝑓(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 … , 𝑞𝑛) = �̂�12𝑓(𝑞2, 𝑞1, 𝑞3 … , 𝑞𝑛) = 𝑓(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 … , 𝑞𝑛)

De esta forma se sabe que �̂�122 = 1̂. Sabiendo que, si de un operador cuyo cuadrado

es el operador unidad, el operador tiene los valores propios +1 y -1. Si h es una

función propia de �̂�12 con valor propio +1, tenemos:

�̂�12ℎ(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 … , 𝑞𝑛) = +1 ∗ ℎ(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 … , 𝑞𝑛)

ℎ(𝑞2, 𝑞1, 𝑞3 … , 𝑞𝑛) = ℎ(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 … , 𝑞𝑛)

De esto se dice que h es simétrica con respecto al intercambio de las partículas 1 y

2. Para el valor propio -1 tenemos:

�̂�12ℎ(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 … , 𝑞𝑛) = −1 ∗ ℎ(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 … , 𝑞𝑛)

ℎ(𝑞2, 𝑞1, 𝑞3 … , 𝑞𝑛) = −ℎ(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 … , 𝑞𝑛)

En cuyo caso se dice que h es antisimétrica con respecto al intercambio de las

partículas 1 y 2.

Ahora, de manera general el operador �̂�𝑖𝑗 está definido por:

�̂�𝑖𝑗𝑓(𝑞1, 𝑞𝑖, 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛) = 𝑓(𝑞1, 𝑞𝑗 , 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛)

Dado que los valores propios del operador �̂�𝑖𝑗 son los mismos para el operador �̂�12,

+1 y -1. Considerando las funciones de onda de un sistema de N partículas

idénticas, al ser las partículas indistinguibles, el estado del sistema no es afectado

por la forma en que lo denotemos, así pues, las dos funciones de onda:

𝜓(𝑞1, 𝑞𝑖, 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛) 𝑦 𝜓(𝑞1, 𝑞𝑗 , 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛)

Deben corresponder al mismo estado del sistema. Dos funciones de onda que

corresponden al mismo estado por mucho, pueden diferir por una constante. Así

que:

𝜓(𝑞1, 𝑞𝑖 , 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛) = 𝑐 𝜓(𝑞1, 𝑞𝑗, 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛)

�̂�𝑖𝑗𝜓(𝑞1, 𝑞𝑖 , 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛) = 𝑐 𝜓(𝑞1, 𝑞𝑗, 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛)

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De esta manera se llega a la conclusión de que existen sólo dos posibilidades: la

función de onda es simétrica (es decir, no cambia en absoluto ante la permutación

de las partículas, o es antisimétrica (es decir, cambia de signo al efectuar la

permutación). Se hace evidente la condición de que las funciones de onda de

diversos estados de un mismo sistema deben tener la misma simetría; si esto no se

cumple, la función de onda de un estado, que es superposición de estado de

simetría diferentes, no sería simétrica ni antisimétrica.

Este resultado se puede generalizar a sistemas constituidos por un número

arbitrario de moléculas ya que, al ser todas las partículas indistinguibles, todas

pueden ser descritas por funciones simétricas o antisimétricas. La indistinguibilidad

obliga que, si un par es descrito por una función de onda simétrica, todas las demás

serán descritas por una función simétrica. De igual forma sucede para las descritas

por funciones antisimétricas.

Principio de Exclusión de Pauli

Existen dos posibles casos para la función de onda de un sistema de partículas

idénticas los casos donde las funciones son simétricas y anti simétricas. La

evidencia experimental muestra que para los electrones (fermiones) sólo ocurre

el caso anti simétrico, en consecuencia, la función de onda de un sistema de

electrones debe ser anti simétrico con respecto al intercambio de dos

electrones, a este postulado se le llamó Principio de exclusión de Pauli (1925).

Un año antes, Stoner había encontrado las ocupaciones 2,6,10 y 14 para las

subcapas s, p, d y f, en un átomo. Con este acontecimiento y el de los trabajos de

Landé en espectroscopia. Pauli indicó que eran necesarios cuatro números

cuánticos para caracterizar a cada uno de los electrones de un átomo establecido.

Más tarde, basándose en el trabajo de Pauli, dos jóvenes alemanes harían una gran

contribución al entendimiento de la estructura atómica. Primero Samuel Goudsmit

(1902-1978) simplifico el argumento de Pauli introduciendo como los cuatro

números cuánticos a:

n, el número cuántico principal, con valores de 1,2,3…

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l, el número cuántico acimutal modificado de Sommerfeld, con valores 0, 1,2,…n-1

m, el número cuántico magnético de Sommerfeld con valores 0, 1, 2…, l, y

ms, nuevo número cuántico con los valores 1/2

Y en segundo lugar George Eugene Uhlenbeck (1900-1988), junto con su

compañero Goidsmit, se dieron cuenta que la existencia de un cuarto número

cuántico indicaba la presencia de un grado de libertad adicional en el movimiento

electrónico.

Hasta entonces el electrón había sido considerado como una carga puntual, sin

estructura. Por ello su descripción completa dependía de sus tres coordenadas

espaciales.

Uhlenbeck y Goidsmit atribuyeron el cuarto número de Pauli a un movimiento extra

del electrón: la rotación alrededor de su propio eje (espín). Al rotar, el giro del

electrón producirá un momento angular 𝑆 y la rotación de su carga daría lugar a un

momento magnético �⃑�𝑠, adicional al producto por el movimiento orbital.

Como ms sólo tenia dos valores, propusieron que cada uno de ellos indicaba el

sentido de la rotación del electrón, como se indica en la siguiente figura

Figura 1. Según Uhlenbeck y Goidsmit, el giro del electrón

producirá un momento angular intrínseco, S, lo que trae

aparejado un momento magnético, s, de sentido contrario.

La magnitud del momento angular del spin sería

𝑆 = |𝑚𝑠ℏ| =1

2ℏ

El momento magnético asociado al espín tendría una magnitud

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𝜇𝑠 =𝜇𝐵

ℏ𝑔𝑆

en donde al sustituir

𝜇𝑠 =1

2𝜇𝐵𝑔

Para el movimiento orbital g=1 deacuerdo con la siguiente expresión 𝜇

𝜇𝐵⁄

𝐿ℏ⁄

= 1. Sin

embargo, Uhlenbeck y Goidsmit obtuvieron que para el espín g= 2, es decir, 𝜇𝑠 ≈

𝜇𝐵

Así, cada electrón tendrá dos momentos angulares: uno clásico, con factor

giromagnético g=1, por su movimiento alrededor del núcleo (momento orbital �⃑⃑� ), y

otro no clásico, con factor de Landé g=2, por la rotación alrededor de su eje

(momento angular del espín 𝑆 ).

El momento angular total del electrón, que recibe el símbolo 𝐽, sería la suma de los

anteriores:

𝐽 = �⃑⃑� + 𝑆

El Principio de Pauli tiene consecuencias interesantes para un sistema de fermiones

idénticos. El requerimiento de antisimetría significa que

𝛹(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, … . , 𝑞𝑛) = −𝛹(𝑞1. 𝑞2. 𝑞3, … . . , 𝑞𝑛)

Considerar el valor de la función de onda cuando los electrones 1 y 2 tienen las

mismas coordenadas cuando

x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2, ms1 = ms2

Colocando a 𝑞1 = 𝑞2 tenemos que

𝛹(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, … . , 𝑞𝑛) = −𝛹(𝑞1. 𝑞2. 𝑞3, … . . , 𝑞𝑛)

2𝛹 = 0

𝛹(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, … . . , 𝑞𝑛) = 0

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Por lo que el principio de Pauli establece que dos electrones con el mismo espín

tienen una probabilidad igual a cero para encontrarse al mismo tiempo en

mismo espacio tridimensional, en otras palabras, no puede haber dos electrones

equivalentes en un átomo con los mismos valores de números cuánticos.

El átomo de helio

Ahora consideremos al átomo de Helio desde el punto de vista del principio de

exclusión de Pauli y espín electrónico. Recordemos que el átomo de helio en su

estado basal tiene una función de onda 1s(1)1s(2), por lo que al tomar en cuenta el

espín se debe multiplicar ésta función espacial por una función propia de espín. Sí

pensamos en un estado en donde el electrón uno tiene un espín hacia arriba, α(1)

y el electrón dos tiene espín hacia arriba α(2), y ya que cada electrón tiene dos

posibles estados de espín podremos tener cuatro posibles funciones de espín:

α(1) α(2), β(1) β(2), α(1) β(2), α(2) β(1)

Con las primeras dos funciones no hay nada malo, pero con la tercera y la cuarta

se viola el principio de indistinguibilidad de partículas idénticas, por ejemplo, la

tercera función dice que el electrón uno tiene espín hacia arriba y el electrón dos

tiene espín hacia abajo lo que hace distinguibles al electrón uno y dos. Sí se aplica

el operador de permutación �̂�12 a estas funciones encontramos que las dos primeras

son simétricas con respecto al intercambio de dos electrones, pero la tercera y la

cuarta función no son ni simétricas ni antisimétricas.

Por otro lado, haciendo la analogía con respecto a los estados excitados del átomo

de helio, donde se tienen las funciones 1s(1) 2s(2) y 2s(1)1s(2), dichas funciones,

en las cuales se puede distinguir entre los electrones 1 y 2, no son funciones de

orden cero por lo que las funciones correctas de orden cero serían:

2−1

2 ⁄ [1𝑠(1)2𝑠(2) ± 2𝑠(1)1𝑠(2)]

Esto nos sugiere que en lugar de α(1) β(2) y β(1) α(2), tenemos que usar las

siguientes funciones de espín.

2−1

2⁄ [𝛼(1)𝛽(2) ± 𝛽(1)𝛼(2)]

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Estas dos funciones son combinaciones lineales normalizadas de α(1) β(2) y β(1)

α(2) que son funciones propias del operador de permutación �̂�12. las funciones

propias de espín tenemos el siguiente conjunto de funciones:

𝛼(1)𝛼(2)

Funciones Simétricas: 𝛽(1)𝛽(2)

[𝛼(1)𝛽(2) + 𝛽(1)𝛼(2)]/√2

Función antisimétrica: [𝛼(1)𝛽(2) − 𝛽(1)𝛼(2)]/√2

Ahora se debe multiplicar la función simétrica 1s(1)1s(2) por una función

antisimétrica de espín, la función de onda de orden cero en el estado basal para el

átomo de Helio queda de la siguiente forma:

𝜓(0) = 1𝑠(1)1𝑠(2) ∙ 2−1

2⁄ [𝛼(1)𝛽(2) − 𝛽(1)𝛼(2)]

Donde la función 𝜓(0) es una función propia del operador de permutación �̂�12 con

un valor propio de -1, como el principio de Pauli lo requiere.

En conclusión, los dos electrones que se encuentran en el átomo de helio sólo

pueden coexistir en el mismo orbital 1s si y sólo si tienen espines opuestos,

cumpliéndose así el principio de exclusión de Pauli. Un electrón tendría los números

cuánticos (1, 0, 0, −1

2) y el otro (1, 0, 0, +

1

2), por lo tanto, el átomo de helio tiene la

siguiente configuración electrónica.

Bosones y fermiones

A través de su teorema, Nernst razonó que la ley clásica del calor específico para

un gas ideal debía ser limitada, por lo tanto, predijo que el calor específico de los

gases debía disminuir al acercarse al cero absoluto, mediante un proceso llamado

“degeneración del gas”. Éste fenómeno trato de ser explicado a través de la

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mecánica estadística clásica, no obstante, al ser un fenómeno cuántico, éste

tratamiento no tuvo éxito.

No fue hasta 1924, cuando Einstein recibió el artículo de un físico indio llamado N.S.

Bose, en el cual proponía que el cálculo clásico de Planck sobre la fórmula de la

radiación debía ser sustituido por un tratamiento basado en la estadística y el

principio cuántico. Einstein aplicó las ideas de Bose al problema de un gas material,

obteniendo como resultado la “degeneración del gas perfecto”.

En honor a Einstein y Bose, ésta estadística se conoce como la estadística Bose-

Einstein. La cual establece que la probabilidad de que una partícula se encuentre

en el estado Ei, está dada por la expresión:

pi =1

eαeEikT − 1

Posteriormente, Dirac en su publicación de 1926, expone que las funciones de onda

simétricas de dos partículas idénticas conducen a la estadística de Bose-Einstein,

por lo que propone el nombre de bosones para las partículas que la obedecen. Y

las funciones de onda antisimétricas conducen a una estadística muy diferente, en

la cual las partículas obedecen el principio de exclusión de Pauli y propone el

nombre de fermiones para las partículas que siguen ésta nueva estadística. Ésta

estadística se conoce como la estadística de Fermi-Dirac, ya que Enrico Fermi y

Paul Dirac la desarrollaron de manera independiente; y tiene la siguiente forma:

pi =1

eαeEikT + 1

Por lo tanto, un estado cuántico que describe las propiedades espaciales y de espín

de dos partículas idénticas, debe tener un intercambio de simetría definido; el cual

puede ser simétrico o antisimétrico1. Sin embargo, en la naturaleza, las partículas

no tienen la libertad de decidir, por lo cual existen dos tipos de partículas cuánticas:

los fermiones y los bosones.

1 A.C. Phillips. (2003). Introduction to Quantum Mechanics. UK. WILEY.

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Los bosones son partículas idénticas que tienen espín entero y están descritas por

funciones de onda simétricas. Mientras que los fermiones son partículas idénticas

que tienen espín semientero y están descritas por funciones de onda antisimétricas.

A esto se le conoce como el postulado de espín-estadística.

Los electrones tienen spin semientero, por lo que tiene estados antisimétricos:

𝜑𝐴(𝑝, 𝑞) =1

√2[𝜑𝑛,𝑙,𝑚𝑙,𝑚𝑠

(𝑝)𝜑𝑛′,𝑙′,𝑚𝑙′,𝑚𝑠

′ (𝑞) − 𝜑𝑛,𝑙,𝑚𝑙,𝑚𝑠(𝑞)𝜑𝑛′,𝑙′,𝑚𝑙

′,𝑚𝑠′ (𝑝)]

Estos estados, son muy importantes para el entendimiento del mundo que nos

rodea, ya que determina las propiedades de los átomos y de los sólidos.

Al ocupar estados antisimétricos, los electrones siguen el principio de exclusión de

Pauli, los cual determina la física y química de los átomos, por lo tanto, permite

entender la tabla periódica de los elementos.

Por otra parte, cuando la parte del espín del estado cuántico de dos electrones es

simétrica, entonces la parte espacial de la función de onda es antisimétrica:

𝜑𝐴(𝑝, 𝑞) = 𝜓𝐴(𝒓𝑝, 𝒓𝑞)𝜒𝑆𝑆,𝑀𝑠

(𝑝, 𝑞)

Por lo que los electrones tienen la tendencia a “repelerse”, lo cual da las

propiedades rígidas de la materia.

Finalmente, cuando la parte del espín del estado cuántico de dos electrones es

antisimétrica, entonces la parte espacial de la función de onda es simétrica:

𝜑𝐴(𝑝, 𝑞) = 𝜓𝑆(𝒓𝑝, 𝒓𝑞)𝜒𝐴𝑆,𝑀𝑠

(𝑝, 𝑞)

Cuando esto sucede los electrones tienen la tendencia a agruparse, por lo que en

átomos adyacentes puede formarse un enlace y por lo tanto una molécula.

Por otro lado, los bosones dan lugar a fenómenos como la coherencia en la luz de

los láseres, ya que los fotones tienen una alta probabilidad de tener la misma

energía y momento.

Otro fenómeno interesante, es la superfluidez del helio líquido a temperaturas por

debajo de los 2.2 K. En el helio líquido, los átomos se encuentran interactuando

débilmente y se comportan como bosones ya que está constituido de núcleos de

4He con espín igual a cero y de electrones que forman un estado de espín

combinado de cero. A bajas temperaturas una fracción considerable de átomos de

helio “condensa” en el mismo estado de energía. Éstos forman un condensado de

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Bose-Einstein en el cual los átomos tienen funciones de onda coherentes las unas

con las otras, y se mueven sin fricción.

Más del principio de exclusión de Pauli: estrellas blancas y de neutrones

Los fenómenos mecano-cuánticos debido a la simetría y antisimetría de las

funciones de onda, tienen una repercusión importante en la vida de las estrellas.

Cuando una estrella está a punto de morir, su destino está determinado por la masa

que posea. El físico Subrahmanyan Chandrasekhar calculó que las estrellas con

masas no mayores a 1.5 veces la masa del Sol se convertirán en enanas blancas.

En la fase final de la estrella, ésta comienza a colapsar sobre sí misma debido a

que ésta no puede seguir manteniendo el equilibrio entre la gravedad y la presión

generada por las reacciones nucleares. No obstante, llega un punto en el que el

colapso se detiene debido a que el principio de exclusión de Pauli impide que la

materia se comprima arbitrariamente, por lo que cuando se alcanzan densidades

muy altas; se forman un gas de electrones, en el cual los electrones adquieren

diferentes velocidades para ocupar el mismo espacio. Éste gas tiene propiedades

particulares y genera la presión suficiente para alcanzar un nuevo estado de

equilibrio; una enana blanca.

Por otro lado, cuando la masa de una estrella es mayor a 1.5 veces la masa del Sol;

los electrones no pueden mantener el colapso y se fusionan con los protones para

formar neutrones, estos también siguen el principio de exclusión de Pauli y detienen

el colapso al formar un gas de neutrones degenerados, llegando a una nueva

configuración de equilibrio conocida como estrella de neutrones.

Como se ha visto, las propiedades de las funciones de onda (simetría y

antisimetría), gobiernan las propiedades y fenómenos de la materia.

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Referencias

● L.D Landau E. M. Lifshitz. (2002). Mecánica cuántica no relativista. España:

Reverté.

● Ira N. Levine. (1974). Química cuántica. España. AC.

● A.C. Phillips. (2003). Introduction to Quantum Mechanics. UK. WILEY.

● K. Mendelssohn. (1965). La búsqueda del cero absoluto. Madrid. McGraw

Hill.

● Sergio Baselga Moreno. (2008). Dirac. La belleza matemática. España.

Nivola.

● Shahen Hacyan. (2003). Los hoyos negros y la curvatura del espacio-tiempo.

La Ciencia para todos. México. Fondo de cultura económica.

● Charles P. Enz. (2004). No time to be brief. A scientific biography of Wolfgang

Pauli. Great Britain.