Principio Scap 13 - Espaço de Estados

8/15/2019 Principio Scap 13 - Espaço de Estados

1/42

Modelagem de Sistemas de Controle por Espaço de

Estados

A modelagem por espaço de estados possui diversas vantagens.

• Introduz a teoria conhecida como“Controle Moderno”;

• Adequada para sistemas de múltiplas entradas e múltiplas sáıdas (MIMO);

• Possibilita o projeto de controladores usando técnicas avançadas.

1 of 42

B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil


2/42


Estados

Algumas definições:

• Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto devariáveis (chamadas variáveis de estado) tal que o conhecimento destasvariáveis para t = t

0 ,juntamente com a entrada para t ≥ t

0, determina

completamente o comportamento do sistema para qualquer instantet ≥ t 0.

• Variáveis de estado: As variáveis de estado de um sistema dinâmico sãoo menor conjunto de variáveis que determinam o estado do sistemadinâmico. Se pelo menos n variáveis x 1(t ), x 2(t ), . . . , x n(t ) são necessáriaspara descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico(tal que uma vez dada a entrada para t ≥ t 0 e o estado inicial em t = t 0, oestado futuro do sistema está completamente determinado), então as taisn variáveis x 1(t ), x 2(t ), . . . , x n(t ) são um conjunto de variáveis de estado.

2 of 42



3/42


Estados

• Se n variáveis de estado são necessárias para descrever completamente ocomportamento de um sistema, então estas n variáveis de estado podemser consideradas como as n componentes de um vetor x (t ). Tal vetor échamado de vetor de estados.

• O espaço n dimensional cujo eixos de coordenadas são x 1, x 2, . . . , x n, échamado espaço de estados. Qualquer estado pode ser representado porum ponto no espaço de estados.

3 of 42



4/42


Estados

Trabalhamos nesse curso com o sistema linear na forma

ẋ (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) (1)

y (t ) = Cx (t ) + Du (t ), (2)

onde A é chamada de matriz de estado, B matriz de entrada, C matriz desáıda e D matriz de transição direta. Uma representação do diagrama deblocos deste sistema de equações lineares pode ser representado em diagramade blocos, como mostrado na Figura 1.

4 of 42



5/42

Figura: Diagrama de blocos de um sistema linear de tempo cont́ınuo representadono espaço de estados.

5 of 42



6/42

Exemplo

Representar circuito RLC na forma

ẋ (t ) = Ax (t ) + Bu (t )

y (t ) = Cx (t ) + Du (t )

6 of 42



7/42

Relembrando a lei da tensões de Kirchhoff:

Ldi (t )

dt + Ri (t ) + e o (t ) = e i (t ) e

Cde o (t )

dt = i (t )

Denomine x 1(t ) = i (t ) [corrente no Indutor], x 2(t ) = e o (t ) [tensão noCapacitor], u (t ) = e i (t ) [entrada de tensão] para escrever as duas equações:

Lẋ 1(t ) + Rx 1(t ) + x 2(t ) = u (t ) C ẋ 2(t ) = x 1(t )

7 of 42



8/42

Podemos reescrever as duas equações anteriores de modo equivalente a:ẋ 1(t )ẋ 2(t )

=

−R L

−1L

0 1C

x 1(t )x 2(t )

+

1L

0

u (t ) (3)

Se consideramos e o (t ) a sáıda, então

y (t ) = [0 1]

x 1(t )x 2(t )

.

8 of 42



9/42

Circuitos RLC

Para um circuito elétrico RLC, pode-se empregar o seguinte procedimentopara obtenção da representação em espaço de estados:

1. Escolha cada tensão independente de capacitores e toda correnteindependente de indutor como variáveis de estado;

2. Encontre um conjunto de correntes de malha e expresse as variáveis de

estado e suas respectivas derivadas primeiras em termos das correntes demalha;

3. Escreva as equações de malha e elimine todas as variáveis, exceto as deestado e suas primeiras derivadas, das equações encontradas nos passosanteriores.

9 of 42



10/42

Circuitos RLC

ExemploObtenha uma representação em espaço de estados para o circuito da Figuraabaixo.

10 of 42



11/42

Passo 1: Há um capacitor e um indutor no circuito. Assim a corrente x 1 noindutor e a tensão x 2 no capacitor serão escolhidas como variáveis de estado.Passo 2: A relação entre as correntes de malha e as variáveis de estado são

dadas por:

x 1 = i 2 (4)

1

2 ẋ 2 = i 2 − i 3 (5)

Passo 3: As equações de malha são:

4i 1 − 2i 2 = v (6)

2 (i 2 − i 1) + ẋ 1 + x 2 = 0 (7)

−x 2 + 3i 3 = 0 (8)

Eliminando i 1, i 2 e i 3 das equações anteriores, segue que:

ẋ 1 = 2 (−i 2 + i 1) − x 2 = −x 1 + 1

2v − x 2, (9)

11 of 42


li l il


12/42

E

ẋ 2 = 2x 1 − 2

3x 2. (10)

Portanto, ẋ 1ẋ 2

x=

−1 −1

2 −2/3

A

x 1x 2

x+

1/2

0

Bv . (11)

Considere que a sáıda seja a tensão no resistor de 2Ω da malha mais à direita,ou seja,

y = 2i 3 = 2

3x 2, (12)

ou seja,

y =

0 2/3

C

x 1x 2

x

+ 0 D

v . (13)

Vale lembrar que a forma de representação em espaço de estados não é única.12 of 42


B A A li P R S l A N V UTFPR B il


13/42

Representação em Espaço de Estados de Sistemas de

EDO Lineares com derivadas na entrada

Considere um sistema dinâmico descrito pela equação diferencial

(n)y +a1

(n−1)y + · · · an−1ẏ + any = b 0

(n)u +b 1

(n−1)u + · · · + b n−1u̇ + b nu , (14)

ou, equivalentemente, pela função de transferência

T (s ) = Y (s )

U (s ) =

b 0s n + b 1s

n−1 + · · · + b n−1s + b ns n + a1s n−1 + · · · + an−1s + an

(15)

13 of 42


B A Angelico P R Scalassara A N Vargas UTFPR Brasil


14/42

Uma das posśıveis representações em espaço de estados que pode ser obtida,neste caso, consiste em definir as n variáveis de estado da seguinte forma:

x 1 = y − β 0u x 2 = ẋ 1 − β 1u x 3 = ẋ 2 − β 2u

...x n = ẋ n−1 − β n−1u

onde,β 0 = b 0

β 1 = b 1 − a1b 0β 2 = b 2 − a1β 1 − a2b 0

...

β n = b n − a1β n−1 − · · · − an−1β 1 − anb 0

14 of 42




15/42

Com tal escolha, pode-se mostrar que:

ẋ 1 = x 2 + β 1u ẋ 2 = x 3 + β 2u

...ẋ n−1 = x n + β n−1u ẋ n = −anx 1 − an−1x 2 − · · · − a1x n + β nu

Em termos de vetor e matriz, tem-se:

ẋ 1ẋ 2...

ẋ n−1ẋ n

x

=

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1−an −an−1 −an−2 · · · −a1

A

·

x 1x 2...

x n−1x n

x

+

β 1β 2...

β n−1β n

B

u

(16)

15 of 42




16/42

y = 1 0 . . . 0

x 1x 2.

..x n

+ β 0u (17)

Em seguida serão vistas algumas outras formas de representação da Equação(14) no espaço de estados.

16 of 42




17/42

Sistemas lineares

No espaço de estados, é possivel determinar G (s ) = Y (s )U (s ) . Note que

ẋ (t ) = Ax(t) + Bu(t) (18)

y (t ) = Cx (t ) + Du (t ) (19)

Aplicando a transformada de Laplace na equação anterior e considerandocondições iniciais nulas, tem-se que

sX (s ) = AX (s ) + BU (s ) (20)

Y (s ) = CX (s ) + DU (s ) (21)

17 of 42




18/42

Da primeira equação, tem-se que

(s I − A)X (s ) = BU (s ) ⇒ X (s ) = (s I − A)−1BU (s ) (22)

Substituindo X (s ) na segunda equação, tem-se que

Y (s ) =

C(s I − A)−1B + D

U (s ) (23)

Portanto,Y (s )

U (s ) = C(s I − A)−1

B + D = G (s ) (24)

Como o termo (s I − A)−1 aparece na expressão de G (s ), verifica-se que

G (s ) = Q (s )

det(s I − A), (25)

onde Q (s ) é um polinômio em s e det(·) é o determinante de uma matriz.Note que os polos de G (s ) são os autovalores de matriz A.

18 of 42




19/42

Solução de Equações de Estado Homogêneas

A solução de uma equação diferencial homogênea do tipo

ẋ (t ) = ax (t ), (26)

é dada por

x (t ) = e at

x (0) (27)Analogamente para uma equação de estado homogênea do tipo

ẋ (t ) = Ax (t ), (28)

tem-se a seguinte solução:

x (t ) = e At x (0) (29)

19 of 42

g , , g , ,


20/42



21/42

Aplicando a transformada inversa de Laplace, tem-se:

x(t ) = L−1

(s I − A)−1

x(0) (33)

Portanto, tem-se que:

L−1

(s I − A)−1

= e At (34)

Exemplo

Considere o sistema linearẋ 1(t )ẋ 2(t )

=

0 −11 −2

x 1(t )x 2(t )

com condições iniciais x 0 = [1 1]′. Determine x (t ).

Solução:

Precisamos determinar e At para usar a expressão x (t ) = e At x 0 .

21 of 42



22/42

Note que

(sI − A)−1 = s 1−1 s + 2

−1

= 1

(s + 1)2

s + 2 −11 s

Aplicando técnica de expansão por frações parciais chega-se a:

1

(s + 1)2

s + 2 −1

1 s

⇒ exp(At ) =

(1 + t ) exp(−t ) −t exp(−t )

t exp(−t ) (1 − t ) exp(−t )

Então x 1(t )x 2(t )

=

(1 + t ) exp(−t ) −t exp(−t )

t exp(−t ) (1 − t ) exp(−t )

11

=

exp(−t )exp(−t )

22 of 42



23/42

Solução do Sistema Linear

Considere o sistema linear

ẋ (t ) = Ax (t ) + Bu (t ), t ≥ 0.

Dada a condição inicial x (0) e a entrada u (t ) para todo o instante de tempot ≥ 0, a solução do sistema é:

x (t ) = e At x (0) +

t 0

e A(t −τ )Bu (τ )d τ

Homework:

Considere o sistema linearẋ 1(t )ẋ 2(t )

=

0 −11 −2

x 1(t )x 2(t )

+

10

u (t )

com condições x 0 = [1 1]′ e u (t ) = 1, ∀t ≥ 0. Determine x (t ).

23 of 42



24/42

Realimentação completa de estados

Considere o sistema a controlar representado no espaço de estados por:

ẋ (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) (35)

Supondo a existência de sensores ou medidores de todas as variáveis deestado em x (t ) = [x 1(t ), . . . , x n(t )]

′, podemos então usar elementos

x 1(t ), . . . , x n(t ) para implementar a realimentação de estados.• A sáıda y (t ) = Cx (t ) pode ser reescrita com C igual a matriz identidade.

Isso significa que y (t ) = x (t ).• Se cada uma das variáveis de estado x i (t ) for empregada no controle

através de um ganho k i , haverá n ganhos k i , representados pelo vetorK = [k 1 · · · k n] que podem ser ajustados para produzir os valores desejados

dos polos de malha fechada através da formula

u (t ) = Kx (t ) + r (t ),

no qual r (t ) representa a entrada de referencia (pode ser degrau, rampa,senoide, ou outra entrada qualquer).

24 of 42



25/42

Com a realimentação estados, tem-se que:

ẋ = Ax + B (Kx + r ) = (A + BK) x + Br (36)

25 of 42



26/42

• No problema de rastreamento consideramos r (t ) = 0 qualquer (degrau,rampa, etc).

• No problema de regulação consideramos r (t ) = 0 (sempre nulo).

Vamos supor que desejamos trabalhar a regulação. Disto a equaçãocaracteŕıstica do sistema descrito em (36) é dada por

det(s I − [A + BK]) (37)

Suponha que desejamos alocar os pólos da malha fechada em p 1, . . . , p n.

Entãop c (s ) = (s − p 1) · (s − p 2) · · · (s − p n) , (38)

e por isso o vetor K pode ser obtido como

det(s I − [A + BK]) = (s − p 1) · (s − p 2) · · · (s − p n) (39)

Se o sistema dinâmico ẋ (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) é controĺavel, então sempreexiste K = [k 1 k 2 · · · k n], tal que

det(s I − [A + BK]) = p c (s )

para qualquer polinômio p c (s ) de grau n especificado.26 of 42



27/42

Controlabilidade

• Conceito importante: Controlabilidade.

•

Dizemos que um sistema linear ẋ (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) é controĺavel se amatrizC =

B AB A2B · · · An−1B

possui rank(C)=n. Isso significa que todas as linhas de C obrigatoriamentedevem ser linearmente independentes entre si.

Exemplo

Considere o sistema descrito por

ẋ (t ) =

0 1 00 0 1

−1 −5 −6

x (t ) +

10

1

u (t )

É posśıvel alocar os polos de malha fechada do sistema controlado ems = −2 + j 4, s = −2 − j 4 e s = −10? Se sim determine K tal queu (t ) = Kx (t ) realiza essa tarefa.

27 of 42



28/42

Solução:

O Sistema é controlável pois n = 3,

C = 1 0 1

0 1 −7−1 −7 37

e o rank(C)=3 pois todas as linhas de C são linearmente independentes.Portanto a resposta é sim.

Projeto do controle: defina K

= [k

1 k

2 k

3]

A + BK =

k 1 k 2 + 1 k 30 0 1

k 1 − 1 k 2 − 5 k 3 − 6

tem-se que:

det(s I − [A + BK]) = s −1 00 s −1

1 − k 1 5 − k 2 s + 6 − k 3

= k 2 − 6k 1 + 5s − 6k 1s − k 2s + k 3s − k 1s

2 − k 3s 2 + 6s 2 + s 3 + 1

= s 3 + (6 − k 1 − k 3) s 2 + (5 − 6k 1 + k 3 − k 2) s + (1 + k 2 − 6k 1)

28 of 42



29/42

Usando os polos em s = −2 + j 4, s = −2 − j 4 e s = −10 podemos escrever

(s − (−2 + j 4))(s − (−2 − j 4))(s + 10) = s 3 + 14s 2 + 60s + 200

Logo,

s 3 + (6 − k 1 − k 3) s 2 + (5 − 6k 1 + k 3 − k 2) s + (1 + k 2 − 6k 1)

= s 3 + 14s 2 + 60s + 200

Da igualdade acima obtemos (Homework: determine k 1, k 2, k 3)

K = [k 1 k 2 k 3]

29 of 42



30/42

Realimentação de sáıda

Considere o sistema a controlar representado no espaço de estados por:

ẋ (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) (40)

Suponha que exista somente alguns sensores ou medidores dispońıveis. Issoquer dizer que não temos sensores simultaneamente para x 1(t ), . . . , x n(t ).

Equivalentemente, a matriz C é “deitada”, ou seja, rank (C ) é menor que n.Adotamosu (t ) = Fy (t ) = FCx (t )

• Problema: determinar F = [f 1, . . . , f q ] de modo que os polos de malhafechada de A + BFC satisfaçam especificações de projeto

30 of 42



31/42

Realimentação de sáıda

HomeworkConsidere o sistema linear descrito por

ẋ =

4 2 41 0 00 1 0

x +

100

u

y =

1 0 10 1 0

x

(a) Encontre (se posśıvel; se não for posśıvel, justifique) uma realimentaçãode estados u = Kx , K ∈ R1×3, que aloque os autovalores do sistema em

malha fechada A + BK em −1, −2, −3.(b) Encontre (se posśıvel; se não for posśıvel, justifique) uma realimentaçãode sáıda u = Fy , F ∈ R1×2, que aloque os autovalores do sistema em malhafechada A + BFC em −1, −2, −3.

31 of 42



32/42

Conversor DC-DC buck

Conversor DC-DC buckEste conversor é muit́ıssimo utilizado em aplicações de Eletrônica. Suacaracteŕıstica básica é prover na sáıda (ou seja em v o (t )) uma tensão inferioraquela da entrada v g (t ). Determine a representação em Espaço de Estados.

32 of 42



33/42


Solução

O conversor DC-DC opera em dois modos: ON ou OFF. Note na Figura que oDriver envia ao MOSFET um sinal PWM que liga-desliga o MOSFET. Talcomportamento faz o MOSFET atuar como uma chave “fechada”ou “aberta”.

33 of 42



34/42


• CASO 1: MOSFET no modo ON:MOSFET se comporta como chavefechada e o diodo não conduz. Então

o circuito do conversor DC-DC buckpode ser reescrito na forma da figuraacima. [Considere sempre i inj (t ) = 0].Escreva R ON = R L + R t

34 of 42



35/42


35 of 42



36/42


• CASO 2: MOSFET no modo OFF:MOSFET se comporta como chaveaberta e o diodo conduz. Então o

circuito do conversor DC-DC buckpode ser reescrito na forma da figuraacima. [Considere sempre i inj (t ) = 0].Escreva R off = R L + R d

Observação: Neste Caso 2as equações são as mesmasdo Caso 1, exceto que deve-

se fazer aĺı v g (t ) = 0 e tro-car R ON por R off para re-cuperar as expressões exa-tas para o Caso 2.

36 of 42



37/42


Importante

Observe que obtemos dois sistemas distintos, o primeiro válido para ON e osegundo para OFF. Qual deles devemos adotar?

37 of 42



38/42


•

Qual dos sistemas devemos adotar? Resposta: Sistema médio obtido comocombinação linear de ambos.

Fato: Quando a frequência do PWM é superior a 10 KHz, a representaçãomédia apresenta-se muito adequada para capturar o comportamento real doconversor buck.

0 ≤ δ (t ) ≤ 1

δ (t ) representa a porcentagem do tempo ON do Duty-cycle do PWM.

38 of 42



39/42


Representar média do Conversor DC-DC buckO sistema médio do conversor buck é

dx (t )

dt = δ (t )[A1x (t ) + B 1u (t )] + (1 − δ (t ))[A2x (t ) + B 2u (t )]

Lembrando que i inj (t ) = 0 e que A1 = A2 temos

dx (t )

dt = A1x (t ) + B 1V g (t )δ (t )

y (t ) = C 1x (t )

Normalmente supomos a entrada V g (t ) um valor constante, então δ (t ) passaa ser a entrada de controle restrita a assumir valores somente no intervalo[0, 1].

39 of 42



40/42

Exerćıcio do conversor DC-DC buck

ExerćıcioConsidere o conversor buck da figura acima e adote valores abaixo:

R t = R L = R C = 1mΩ L = 20mH C = 100µF R = 10Ω V g (t ) = 25V

1. Determine a equação de espaço de estados do conversor.

2. Determine se o sistema é controlável.

3. Determine o ganho K = [k 1 k 2] de modo que a matriz do sistema emmalha fechada A + BK seja estável.

40 of 42



41/42

Exerćıcio do conversor DC-DC buck

ExerćıcioConsidere o conversor buck da figura acima e adote valores abaixo:

R t = R L = R C = 0 L = 2H C = 1F R = 2Ω V g (t ) = 4V

(a) Determine a solução de x (t ) considerando x (0) = [0 0]′ e δ (t ) = 0.5,

∀t ≥ 0.(b) Determine a corrente e tensão do conversor quando o tempo tende ainfinito.

41 of 42



42/42

Dica de atividades

Dica1. Fazer os Exerćıcios apresentados no livro K. OGATA, “Engenharia de

Controle Moderno”.

42 of 42

Documents

Principio Scap 13 - Espaço de Estados