¨ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL¨

FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA

ASIGNATURA DE ¨METROLOGÍA¨

NOMBRE: Morejón Ruales Kevin Alexander.

PROFESOR Ing. Carlos Jaramillo.

FECHA: 28/4/2016

DEFINICION DE INCERTIDUMBRE

El Vocabulario Internacional de Metrología (VIM) define la incertidumbre de

medida como un parámetro, asociado al resultado de una medición, que

caracteriza la dispersión de los valores que razonablemente podrían ser

atribuidos al mensurando.

Esto significa que las mediciones deben expresarse en la forma y ± U, donde y

es el resultado más probable (normalmente el valor medio de una serie de

mediciones) y U es la incertidumbre de medida asociada al mismo. Cuanto

menor sea U, más calidad tendrá el resultado de medida.

La incertidumbre de la medición no implica duda acerca de la validez de un

mensurando; por el contrario, el conocimiento de la incertidumbre implica el

incremento de la confianza en la validez del resultado de una medición.

La incertidumbre, por otro lado, toma la forma de un rango, y, si es estimada para

un procedimiento de medición, puede aplicarse a todas las determinaciones

descritas en dicho procedimiento. En general, el valor de la incertidumbre no

puede utilizarse para corregir el resultado de una medición

La incertidumbre de medida comprende, en general, varias componentes. Algunas pueden ser evaluadas a partir de la distribución estadística de los resultados de series de mediciones, y pueden caracterizarse por sus desviaciones típicas experimentales. Es imprescindible que el método de evaluación y expresión de la incertidumbre sea uniforme en todo el mundo, de manera que las mediciones realizadas en diferentes países puedan ser comparadas fácilmente. El método ideal para evaluar y expresar la incertidumbre del resultado de una medición debe ser:

1.-Universal El método debe ser aplicable a toda clase de mediciones y a todo tipo de datos de entrada empleados en mediciones. 2.- Consistente internamente La magnitud utilizada para expresar la incertidumbre debe poder obtenerse directamente a partir de las componentes que contribuyen a ella, así como ser independiente de como estén agrupadas dichas componentes y de la descomposición de sus componentes en subcomponentes.

3.-Transferible Debe ser posible utilizar directamente la Incertidumbre obtenida para un resultado, como componente en la evaluación de la incertidumbre de otra medición en la que intervenga ese primer resultado.

Fuentes de incertidumbre

En la práctica la incertidumbre del resultado puede originarse de muchas fuentes

posibles,

Entre ellas podemos mencionar:

a) Definición incompleta del mensurando.

b) Realización imperfecta de la definición del mensurando.

c) Muestreo.

d) Conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales

sobre las mediciones, o mediciones imperfectas de dichas condiciones

ambientales.

e) Errores de apreciación del operador en la lectura de instrumentos analógicos.

f) Resolución finita del instrumento o umbral de discriminación finito.

g) Valores inexactos de patrones de medición y materiales de referencia.

h) Valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes

externas y usadas en los algoritmos de reducción de datos.

i) Aproximaciones y suposiciones incorporadas en los métodos y procedimientos

de medición.

j) Variaciones en observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones

aparentemente iguales.

El resultado de una medición está completo únicamente cuando está

acompañado por una declaración cuantitativa de la incertidumbre, que expresa

la calidad del mismo y permite valorar la confiabilidad en este resultado.

TIPOS DE INCERTIDUMBRE

Incertidumbre estándar

Es la incertidumbre del resultado de una medición expresado como una desviación estándar. La evaluación tipo A es el método de evaluación de la incertidumbre por medio del análisis estadístico de una serie de observaciones. La evaluación tipo B es el método de evaluación de la incertidumbre por medios distintos al análisis estadístico de una serie de observaciones.

Incertidumbre absoluta

En general se representa con una letra delta mayúscula (Δ) inmediatamente

antes del símbolo que represente a la variable de interés. No es más que el valor

absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor medido. Sin embargo como

el valor real es por definición desconocido, se utilizan las reglas para

asociar una incertidumbre a cada medición. La incertidumbre absoluta

tiene las mismas unidades que la variable a la que está asociada y no depende

de la magnitud de esta sino solamente de la resolución del instrumento

utilizado. Así por ejemplo si utilizamos un flexómetro (instrumento continuo,

de resolución=1mm) para medir tanto la longitud de un lápiz como la altura de

una puerta, las incertidumbres absolutas de ambas mediciones serán idénticas.

Incertidumbre relativa

Representa que proporción del valor reportado es dudosa. En estas notas

utilizaremos el símbolo ΔR inmediatamente antes del símbolo que represente

a la variable de interés para representar la incertidumbre relativa. Para

ilustrar más claramente este concepto utilizaremos de nuevo los ejemplos del

largo del lápiz y el alto de la puerta.

Como puede apreciarse las incertidumbres relativas son adimensionales (no

tienen unidades) y dependen de la magnitud de la variable medida. Mientras

mayor sea el valor central menor será la incertidumbre relativa (para

incertidumbres absolutas iguales)

Incertidumbre porcentual

También representa que proporción del valor reportado es dudosa, pero en este

caso en tanto porciento. En estas notas utilizaremos el símbolo Δ%

inmediatamente antes del símbolo que represente a la variable de interés para

representar la incertidumbre porcentual. Utilicemos una vez más los ejemplos

del largo del lápiz y el alto de la puerta para ilustrar este concepto.

Al igual que las incertidumbres relativas, las incertidumbres porcentuales

son adimensionales) y dependen de la magnitud de la variable medida.

Mientras menor sea el valor central mayor será el error porcentual cometido (para

incertidumbres absolutas iguales)

Incertidumbre típica combinada

Incertidumbre típica del resultado de una medición, cuando el resultado se

obtiene a partir de los valores de otras magnitudes, igual a la raíz cuadrada

positiva de una suma de términos, siendo éstos las varianzas o covarianzas de

esas otras magnitudes, ponderadas en función de la variación del resultado de

medida con la variación de dichas magnitudes.

Incertidumbre expandida

Magnitud que define un intervalo en torno al resultado de una medición, y en el que se espera encontrar una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser atribuidos razonablemente al mensurando.

RELACIÓN ENTRE INCERTIDUMBRE Y TOLERANCIA DE MEDIDA

Tolerancia de una magnitud es el intervalo de valores en el que debe encontrarse

dicha magnitud para que se acepte como validado.

La tolerancia expresa el margen o campo de valores admisibles de las piezas o

elementos que se miden.

Cada vez que hay que decidir si el valor concreto de una magnitud está dentro

de tolerancia, es preciso medir, y si la medida de comprobación no se asegura

con la calidad necesaria (incertidumbre) aquella decisión puede ser errónea.

Cuando el intervalo de incertidumbre está contenido en el intervalo de tolerancia,

se está en condiciones de afirmar, casi con seguridad, que el valor verdadero del

mensurando es admisible. Cuando los intervalos de incertidumbre y de tolerancia

son disjuntos, hay seguridad casi total en rechazar el mensurando. Cuando los

intervalos de incertidumbre y de tolerancia se solapan en parte, es decir, cuando

poseen una parte común y otra no común, la determinación de aceptación o

rechazo es dudosa.

En la práctica se opta por un criterio de seguridad que consiste en rechazar

cualquier mensurando en situación dudosa, lo que resulta adecuado siempre que

el intervalo de incertidumbre sea varias veces inferior al de tolerancia. Esto

equivale a definir como intervalo de decisión para los valores medidos el

correspondiente a: T - 2U (tolerancia efectiva), limitando el valor del cociente de

ambos intervalos (tolerancia e incertidumbre). En medidas dimensionales, suele

ser frecuente considerar admisible:3 ≤ T / 2U ≤ 10

En la relación anterior, valores mayores que diez exigirían medios de medida

muy costosos, y la reducción del límite inferior por debajo de tres supondría un

rechazo importante de elementos correctos.

El conjunto de las piezas o elementos resultantes de una fabricación queda

dividido en tres subconjuntos: El de los que se encuentran dentro del campo de

tolerancia o elementos buenos y los que comprenden a los que salen del mismo

por defecto y por exceso, que son los elementos malos.

MODELO MATEMÁTICO

Supone aproximaciones originadas por la representación imperfecta o limitada

de las relaciones entre las variables involucradas.

Considerando a la medición como un proceso, se identifican magnitudes de

entrada denotadas por el conjunto {Xi} expresión en la cual el índice i toma

valores entre 1 y el número de magnitudes de entrada N. La relación entre las

magnitudes de entrada y el mensurando Y como la magnitud de salida se

representa como una función Y = f({Xi})= f(X1, X2, ... , XN) representada por una

tabla de valores correspondientes, una gráfica o una ecuación.

En la mayor parte de los casos, un mensurando Y no se mide directamente, sino

que se determina a partir de otras N magnitudes X1,X2, ...,XN, por medio de una

relación funcional f:

Las magnitudes de entrada X1,X2,. . . , XN, de las que depende la magnitud de

salida Y pueden ser consideradas a su vez como mensurados, pudiendo

depender de otras magnitudes, junto con las correcciones factores de corrección

de los efectos sistemáticos, llegándose así a una relación funcional f compleja,

la función f puede determinarse experimentalmente o existir solamente en forma

de algoritmo calculable numéricamente.

El conjunto de magnitudes de entrada X1,X2, . . . ,XN puede clasificarse en:

Cantidades cuyos valores e incertidumbres se determinan directamente

en la medición actual. Se pueden obtener de una sola observación,

mediciones repetidas, o juicios basados en la experiencia;

Cantidades cuyos valores e incertidumbres se introducen en la medición

a través de fuentes externas, como cantidades asociadas a patrones de

medición calibrados, materiales de referencia certificados, o datos de

referencia obtenidos de manuales.

Una estimación del mensurando Y, representada por y, se obtiene a partir de la

ecuación anterior utilizando las estimaciones de entrada x1,x2,. . . , xN para los

valores de N magnitudes X,X2, ...,XN .

Así, la estimación de salida y, que es el resultado de la medición, viene dada por

y=f(x1,2, . . . ,xN)

En algunos casos, la estimación y puede obtenerse a partir de

Es decir, que lo cual no es sino una media aritmética de n determinaciones

independientes Yk de Y, donde Xi,k es la observación k de Xi, y cada

determinación tiene la misma incertidumbre. Esta forma de promediar, y no

Es la media aritmética de las observaciones individuales Xik , esta otra forma de

calcular la media puede ser preferible cuando f sea una función no lineal de las

magnitudes de entrada X1,X2, . . . ,XN , pero las dos aproximaciones son

idénticas si f es una función lineal de las Xi

La desviación estándar estimada, asociada con la estimación de la cantidad y,

llamada la incertidumbre estándar combinada y denotada por uc(y), se calcula de

la desviación estándar estimada que se asocia a cada estimación xi, denominada

incertidumbre estándar y designada con u(xi.) Esta última cantidad se puede

calcular con una distribución de valores posibles de la cantidad Xi, la cual a su

vez se obtiene de una serie de observaciones o de una distribución conocida a

priori. La evaluación tipo A de la incertidumbre se basa en el primer caso (una

distribución de frecuencias), mientras que la evaluación tipo B de la

incertidumbre resulta de una distribución establecida a priori. Ambas reflejan

nuestro conocimiento del proceso de medición

Evaluación tipo A de la incertidumbre estándar

En la mayor parte de los casos, la mejor estimación del valor esperado μq de una

cantidad q, y para la cual se han hecho n mediciones independientes qk es la

media aritmética o promedio q:

Las observaciones individuales qk difieren en valor debido a variaciones

aleatorias. La varianza experimental de las observaciones, que es un estimador

de la varianza σ2

de la distribución de probabilidad de q es:

Esta cantidad, junto con su raíz cuadrada positiva s(qk) (conocida como la

desviación estándar experimental), caracterizan la variabilidad de los valores

observados qk, es decir, su dispersión alrededor de la media q.

Por otro lado, la mejor estimación de la varianza de la media

La varianza experimental de la media, junto con su raíz cuadrada positiva, s(q),

denominada la desviación estándar experimental de la media, cuantifican qué

tan bien que estima el valor esperado de que y se puede utilizar como una

medida de la incertidumbre de q. En otras palabras, la evaluación tipo A de la

incertidumbre estándar de un conjunto de mediciones xk, tal como se definió

previamente, se logra con la ecuación:

Evaluación tipo B de la incertidumbre

Cuando se tiene una estimación xi de una cantidad Xi que no se ha obtenido de

observaciones repetidas, la varianza estimada u2(xi) o la incertidumbre estándar

u(xi) se evalúan por un juicio científico basado en toda la información disponible

acerca de la variabilidad de Xi. Entre ésta se pueden incluir:

datos de mediciones anteriores ;

experiencia o conocimiento general acerca del comportamiento y

propiedades de materiales de referencia, patrones o instrumentos ;

especificaciones del fabricante ;

datos provistos en calibraciones u otros certificados ;

Por conveniencia, cuando u2(xi) y u(xi) se calculan con estos procedimientos se

conocen en ocasiones como la varianza tipo B y la incertidumbre estándar B.

En otras ocasiones sólo se sabe que hay una probabilidad igual a uno de que el

valor caiga en el intervalo dado, y es cero fuera de él. Así, se tiene una

distribución rectangular o uniforme, y el valor esperado de Xi es el punto medio

de la distribución, y tiene una varianza asociada

También puede darse el caso de distribuciones asimétricas con respecto al valor

esperado la aproximación más simple será

Evaluación de la incertidumbre estándar combinada

Existen diversos procedimientos para calcular la incertidumbre estándar

combinada, dependiendo de si las cantidades de entrada son independientes o

no, es decir, si existe alguna correlación entre ellas.

1.-Cantidades de entrada no correlacionadas

Cuando no existe correlación entre las cantidades que aparecen en una

medición, se debe utilizar un procedimiento para obtener la incertidumbre

estándar combinada basado en las incertidumbres estándares de las cantidades

originales y alguna relación funcional entre ellas, de la cual se obtiene la nueva

cantidad.

Para calcular esta cantidad, se utiliza la siguiente ecuación:

Cada una de las u(xi) puede ser una incertidumbre estándar evaluada según el

procedimiento tipo A o el tipo B. A esta ecuación se le conoce como la ley de

propagación de la incertidumbre.

Las derivadas parciales que aparecen en la ecuación están evaluadas en Xi =

xi, y frecuentemente se les llama coeficientes de sensibilidad, y describen cómo

cambia la estimación de salida y con cambios en las estimaciones de entrada

x1, x2,...,xN. Así, es posible escribir:

en donde

Se tendrá lo siguiente:

.2.-Cantidades de entrada correlacionadas

En el caso en que las cantidades de entrada sí se encuentren correlacionadas,

el procedimiento para evaluar la incertidumbre estándar combinada es diferente.

Así, la ley de propagación de la incertidumbre estándar se convierte en:

Donde xi y xj son las estimaciones de Xi y Xj, respectivamente, y u(xi, xj) = u(xj,xi)

es la covarianza estimada asociada con las variables ya mencionadas. El grado

en que xi y xj se correlacionan se caracteriza por el coeficiente de correlación

estimado:

Cuando las variables son independientes, el coeficiente de correlación es igual a cero, mientras que para valores cercanos a ± 1, la dependencia entre ambas Variables es lineal, decreciente o con pendiente negativa con el valor -1, y creciente o pendiente positiva si el coeficiente de correlación es +1. En este sentido, como el coeficiente de correlación es más fácilmente comprensible que la covarianza, el último término de la ecuación. Se puede escribir en la forma

La estimación de la covarianza s entre dos variables p y q se calcula con la

Ecuación

Evaluación de la incertidumbre en regresión lineal

Frecuentemente es necesario hacer ajustes de modelos lineales a los resultados

de mediciones, cuando una de las variables medidas depende de otra de ellas.

En estas situaciones, la información que debe obtenerse son los parámetros que

caracterizan a la función que debe relacionar ambas variables. Sin duda, el caso

más simple es una relación lineal, en la que deben determinarse como

parámetros la pendiente y la ordenada al origen de una recta.

El método más simple para el ajuste de una recta a un conjunto de parejas de

datos experimentales se refiere a la regresión lineal, también conocido como el

de mínimos cuadrados lineales. En este método, se hace una minimización de

la suma cuadrática de las distancias verticales entre los datos experimentales y

la recta por ajustar, considerando como variables a la pendiente m y la ordenada

al origen b [3, 4]. Esto da como resultado un sistema de ecuaciones para dichas

variables, a partir del cual se obtiene la solución:

En estas ecuaciones, N es el número de parejas de datos experimentales, con

(xi, yi) las coordenadas del punto i. Estos parámetros, por haberse obtenido a

partir de resultados experimentales, deben tener además una incertidumbre

asociada. Ésta se puede evaluar a partir de las desviaciones entre los puntos

experimentales y las predicciones de la recta caracterizada por los parámetros

de las ecuaciones (21) y (22.) Así, se utilizaría un equivalente de la desviación

estándar, Sy

Una vez calculada esta desviación estándar, se determinan las incertidumbres

en la pendiente, Sm, y en la ordenada al origen, Sb, con las expresiones:

RESUMEN DE LA CONSULTA

DEFINICION DE Y FUENTES DE INCERTIDUMBRE

La incertidumbre de medida se define como un parámetro, asociado al resultado

de una medición, comprende, en general, varias componentes. Algunas pueden

ser evaluadas a partir de la distribución estadística de los resultados de series

de mediciones, y pueden caracterizarse por sus desviaciones típicas

experimentales.

El método ideal para evaluar y expresar la incertidumbre del resultado de una medición debe ser: universal y aplicable a toda clase de mediciones, consistente internamente a partir de las componentes que contribuyen a ella y transferible en la evaluación de la incertidumbre de otra medición en la que intervenga ese primer resultado. En la práctica la incertidumbre del resultado puede originarse de muchas fuentes

posibles podemos mencionar:

a).- Errores de apreciación del operador en la lectura de instrumentos analógicos.

b).- Valores inexactos de patrones de medición y materiales de referencia.

C.-Aproximaciones y suposiciones incorporadas en los métodos y

procedimientos de medición.

TIPOS DE INCERTIDUMBRE

Incertidumbre estándar

Es la incertidumbre del resultado de una medición expresado como una desviación estándar.

Incertidumbre absoluta

Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor medido. La

incertidumbre absoluta tiene las mismas unidades que la variable a la que está

asociada y no depende de la magnitud.

Incertidumbre relativa

Las incertidumbres relativas representan en que proporción del valor reportado

es dudoso, son adimensionales y dependen de la magnitud de la variable

medida. Mientras mayor sea el valor central menor será la incertidumbre relativa.

Incertidumbre porcentual

Representa que proporción del valor reportado es dudosa, pero en este caso en

tanto por ciento. Mientras menor sea el valor central mayor será el error

porcentual cometido

Incertidumbre típica combinada

Incertidumbre típica del resultado de una medición, cuando el resultado se

obtiene a partir de los valores de otras magnitudes

Incertidumbre expandida

Magnitud que define un intervalo en torno al resultado de una medición

RELACIÓN ENTRE INCERTIDUMBRE Y TOLERANCIA DE MEDIDA

La tolerancia expresa el margen o campo de valores admisibles de las piezas o

elementos que se miden.

Tolerancia de medida tiene una ligada relación con los valores establecidos en

la incertidumbre del mesurado de medida ya que si una medición se halla en

discordancia entre el rango de tolerancia y el de incertidumbre puede decirse

que el resultado de esa magnitud es erróneo

EL MODELO MATEMÁTICO

Es el procedimiento seguido en para evaluación y expresión de la

incertidumbre de medida,

Algunas fórmulas para encontrar la incertidumbre se denotaran dependiendo del

tipo del que se trate:

1.- Evaluación tipo A de la incertidumbre estándar

La evaluación tipo A es el método de evaluación de la incertidumbre por medio

del análisis estadístico de una serie de observaciones

Evaluación tipo B de la incertidumbre

se evalúan por un juicio científico basado en toda la información disponible

acerca de la variabilidad de Xi.

Evaluación de la incertidumbre estándar combinada

Depende de si las cantidades de entrada son independientes o no, es decir, si

existe alguna correlación entre ellas.

1.-Cantidades de entrada no correlacionadas

Cuando no existe correlación entre las cantidades que aparecen en una

medición. Para calcular esta cantidad, se utiliza la siguiente ecuación:

.2.-Cantidades de entrada correlacionadas

La ley de propagación de la incertidumbre estándar se convierte en:

Evaluación de la incertidumbre en regresión lineal

Se hace una minimización de la suma cuadrática de las distancias verticales

entre los datos experimentales y la recta por ajustar, se obtiene la solución:

CONCLUCIONES

Podría decirse que la incertidumbre es un parámetro asociado al

resultado de una medición, que permite valorar la confiabilidad del

mismo. Siendo así, el conocimiento de la incertidumbre el incremento de

la veracidad en su validez. Cuanto menor sea la incertidumbre más alta

será la calidad de medida.

La tolerancia de medida posee una estrecha relación con la

incertidumbre, ya que si el intervalo de incertidumbre no está contenido

dentro del intervalo de tolerancia, la medida puede ser incorrecta

.

Los diferentes tipos de incertidumbres pueden depender o no de la

magnitud de la variable medida, y son varios los medios y procesos a

seguir al momento del cálculo de su incertidumbre, por ejemplo:

incertidumbre de Tipo A, cuando se determina como la desviación

estándar obtenida a través de métodos experimentales, o de Tipo B, para

métodos no experimentales distintos al análisis estadístico

Al momento de determinar la incertidumbre en un proceso de medición,

esta de ser universal y aplicable a toda clase de mediciones sin descuidar

el hecho de poder obtenerse a partir de las componentes que contribuyen

a la misma

Para poder aseverar en la correcta obtención de una medida esta debe ir

conjunto a una declaración cuantitativa de la incertidumbre, que exprese

la calidad de la misma y permite valorar la confiabilidad en el resultado.

WEBGRAFIA

http://depa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/GUIAPARAESTIMARLAINCERTID

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http://www.metrycal.com/Main/Estimacion_de_la_incertidumbre_de_medida.pdf