Prisilne oscilacije sustava s jednim stupnjem slobode

(bez prigušenja)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

SADRŽAJ

Prisilne oscilacije sustava s jednim stupnjem slobode (bez prigušenja) ................................................. 3

a) Analitičko rješenje ....................................................................................................................... 3

1. Konstantna pobuda ................................................................................................................. 4

2. Linearno rastuća pobuda ......................................................................................................... 7

3. Harmonijska pobuda ............................................................................................................. 10

b) Duhamelov integral ................................................................................................................... 12

1. Konstantna pobuda ............................................................................................................... 13

2. Linearno rastuća pobuda ....................................................................................................... 14

3. Linearno rastuća + konstantna pobuda ................................................................................. 15

c) Primjer ....................................................................................................................................... 16

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

Prisilne oscilacije sustava s jednim stupnjem slobode (bez prigušenja)

Diferencijalna jednadžba gibanja u općem obliku

- s prigušenjem: m u t c u t k u t p t (1)

- bez prigušenja: m u t k u t p t (2)

a) Analitičko rješenje

Za pobude koje mogu biti opisane glatkom (neprekidno derivabilnom) funkcijom P(t) moguće je

jednostavno naći analitičko rješenje diferencijalne jednadžbe gibanja izražene jednadžbom (2).

Ukupno traženo rješenje može se prikazati kao zbroj komplementarnog rješenja uc(t) i partikularnog

rješenja up(t):

c pu t u t u t (3)

Komplementarno rješenje uc(t) je rješenje homogene jednadžbe (4) kojom su opisane slobodne

oscilacije sustava s jednim stupnjem slobode bez prigušenja i može se pretpostaviti u obliku danom

jednadžbom (5).

0c cm u t k u t (4)

cos sinc n nu t A t B t (5)

Kružna frekvencija gibanja ωn dana je izrazom (6), te povezuje krutost k i masu m sustava. Odnos kružne

frekvencije ωn i perioda osciliranja Tn izražen je jednadžbom (7).

2

n

k

m (6)

2

n

nT (7)

Partikularno rješenje up(t) uvijek ima oblik funkcije pobude P(t) i mora zadovoljiti opći oblik

diferencijalne jednadžbe gibanja (2), stoga vrijedi izraz (8).

p pm u t k u t p t (8)

Konstante A i B mogu se odrediti iz početnih uvjeta, danih izrazima (9) i (10), koji određuju pomak i

brzinu na početku gibanja, odnosno u trenutku t = t0. U dinamici konstrukcija početni uvjeti su često

homogeni, odnosno početni pomak i brzina su tada jednaki nula.

0 0 u t t u (9)

0 0 u t t u (10)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

1. Konstantna pobuda

0P

( )p t

( )t s

t

I II

1t*t

0 1

1

, 0,

0, ,

P t tP t

t t

I. INTERVAL: 10,t t

Diferencijalna jednadžba

- bez prigušenja: 0m u t k u t P (11)

Pretpostavljeno ukupno rješenje:

cos sinn n pu t A t B t u t (12)

Pretpostavljeno partikularno rješenje mora imati oblik funkcije pobude p(t) (konstantne funkcije):

pu t C (13)

0pu t (14)

Partikularno rješenje može se odrediti iz uvjeta da zadovoljava opći oblik diferencijalne jednadžbe (15):

0p pm u k u P (15)

000

Pm k C P C

k (16)

Zatim traženo rješenje (pomak) i odgovarajuća derivacija (brzina) primaju oblik prikazan izrazima (17)

i (18):

0cos sinn n

Pu t A t B t

k (17)

sin cosn n n nu t A t B t (18)

Za početne uvjete u trenutku t0 = 0 konstante A i B mogu se odrediti iz jednadžbe (17) odnosno (18):

0 00 0 00 1 0

P Pu t u u A B A u

k k (19)

00 00 0 1

n n

n

uu t u u A B B (20)

Isto tako, za homogene početne uvjete vrijedi:

0 00 0 0 1 0 P P

u t A B Ak k

(21)

0 0 0 0 1 0 n nu t A B B (22)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

Konačno rješenje u obliku funkcije pomaka u vremenu za I. interval dano je izrazom (23), odnosno

izrazom (24) za homogene početne uvjete.

0 00 cos sin 1 cos

n n n

n

u Pu t u t t t

k (23)

0 1 cos n

Pu t t

k (24)

Odgovarajuće derivacije, odnosno funkcije brzine u vremenu, dane su izrazima (25) i (26).

00 0sin cos sinn

n n n n

Pu t u t u t t

k

(25)

0 sinnn

Pu t t

k

(26)

II. INTERVAL: 1, t t , * 0, t

Na početku II. intervala, prestankom djelovanja pobude, sustav počinje slobodno oscilirati, uz

nehomogene početne uvjete koji odgovaraju pomaku i brzini na kraju I. intervala. Zbog jednostavnosti,

gibanje se može promatrati u pomaknutom koordinatnom sustavu t* = t – t1. Slobodne oscilacije

sustava s jednim stupnjem slobode bez prigušenja opisane su jednadžbom (27).

0m u t k u t (27)

Stoga je pretpostavljeno rješenje (pomak) određeno izrazom (28), odnosno (29), a njegova derivacija

(brzina) izrazom (30).

* * *

0 0cos sinn nu t A t B t (28)

0 1 0 1cos sinn nu t A t t B t t (29)

0 1 0 1sin cosn n n nu t A t t B t t (30)

Za početne uvjete u trenutku t = t0 = t1, odnosno t* = 0, uz homogene početne uvjete u trenutku t0 =

0, prema izrazima (24) i (26) vrijedi:

* 01 10 1 cos n

Pu t t u t t

k (31)

* 01 10 sinn

n

Pu t t u t t

k

(32)

Iz izraza (29) i (30) za t = t0 = t1, odnosno t* = 0, uz početne uvjete (31) i (32) mogu se odrediti konstante

A0 i B0:

0 01 0 0 0 11 cos 1 0 1 cosn n

P Pt A B A t

k k (33)

0 01 0 0 0 1sin 0 1 sinn

n n n n

P Pt A B B t

k k

(34)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

Konačno rješenje u obliku funkcije pomaka u vremenu za II. interval dano je izrazom (35), odnosno

izrazom (38), primjenom osnovnih trigonometrijskih jednakosti (36a,b) nakon pojednostavljenja (37).

0 01 1 1 11 cos cos sin sinn n n n

P Pu t t t t t t t

k k (35)

1sin sin cos cos

2

1cos cos cos cos

2

x y x y x y

x y x y x y

(36a,b)

01

0 01 1 1 1

01

01 1 1

cos

cos cos sin sin

cos

1cos cos

2

n

n n n n

n

n n n n

Pu t t t

k

P Pt t t t t t

k k

Pt t

k

Pt t t t

k1 n nt t

01 1 1

1cos cos

2

n n n n

Pt t t t

k1 n nt t

01

01

cos

1cos 2

2

n

n

Pt t

k

Pt t

k 1cos cos 2 n nt t t

0 01

cos

cos cos

n

n n

t

P Pt t t

k k

(37)

01cos cosn n

Pu t t t t

k (38)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

2. Linearno rastuća pobuda

0P

( )p t

( )t s

t

I II

1t*t

0

1

1

1

, 0,

0, ,

Pt t t

tp t

t t

I. INTERVAL: 10,t t

Diferencijalna jednadžba

- bez prigušenja: 0

1

Pm u t k u t t

t (39)

Pretpostavljeno ukupno rješenje:

cos sinn n pu t A t B t u t (40)

Pretpostavljeno partikularno rješenje mora imati oblik funkcije pobude p(t) (linearne funkcije):

pu t C t (41)

0pu t (42)

Partikularno rješenje može se odrediti iz uvjeta da zadovoljava opći oblik diferencijalne jednadžbe (43):

0

1

p p

Pm u t k u t t

t (43)

0 0

1 1

0P P

m k C t t Ct k t

(46)

Zatim traženo rješenje (pomak) i odgovarajuća derivacija (brzina) primaju oblik prikazan izrazima (47)

i (48):

0

1

cos sinn n

Pu t A t B t t

k t

(47)

0

1

sin cos

n n n n

Pu t A t B t

k t (48)

Za početne uvjete u trenutku t0 = 0 konstante A i B mogu se odrediti iz jednadžbe (47) odnosno (48):

00 0 0

1

0 1 0 0P

u t u u A B A uk t

(49)

0 0 00 0

1 1

0 0 1

n n

n n

P u Pu t u u A B B

k t k t (50)

Isto tako, za homogene početne uvjete vrijedi:

0

1

0 0 0 1 0 0 0P

u t A B Ak t

(51)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

0 0

1 1

0 0 0 0 1

n n

n

P Pu t A B B

k t k t (52)

Konačno rješenje u obliku funkcije pomaka u vremenu za I. interval dano je izrazom (53), odnosno

izrazom (54) za homogene početne uvjete.

0 00

1

1cos sin sinn n n

n n

u Pu t u t t t t

k t

(53)

0

1

1sin n

n

Pu t t t

k t

(54)

Odgovarajuće derivacije, odnosno funkcije brzine u vremenu, dane su izrazima (55) i (56).

00 0

1

sin cos 1 cosn n n n

Pu t u t u t t

k t

(55)

0

1

1 cos n

Pu t t

k t

(56)

II. INTERVAL: 1, t t , * 0, t

Na početku II. intervala, prestankom djelovanja pobude, sustav počinje slobodno oscilirati, uz

nehomogene početne uvjete koji odgovaraju pomaku i brzini na kraju I. intervala. Zbog jednostavnosti,

gibanje se može promatrati u pomaknutom koordinatnom sustavu t* = t – t1. Slobodne oscilacije

sustava s jednim stupnjem slobode bez prigušenja opisane su jednadžbom (57).

0m u t k u t (57)

Stoga je pretpostavljeno rješenje (pomak) određeno izrazom (58), odnosno (59), a njegova derivacija

(brzina) izrazom (60).

* * *

0 0cos sinn nu t A t B t (58)

0 1 0 1cos sinn nu t A t t B t t (59)

0 1 0 1sin cosn n n nu t A t t B t t (60)

Za početne uvjete u trenutku t = t0 = t1, odnosno t* = 0, uz homogene početne uvjete u trenutku t0 =

0, prema izrazima (54) i (56) vrijedi:

* 01 1 1

1

10 sin n

n

Pu t t u t t t

k t

(61)

* 01 1

1

0 1 cos n

Pu t t u t t

k t

(62)

Iz izraza (59) i (60) za t = t0 = t1, odnosno t* = 0, uz početne uvjete (61) i (62) mogu se odrediti konstante

A0 i B0:

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

0 01 1 0 0 0 1 1

1 1

1 1sin 1 0 sinn n

n n

P Pt t A B A t t

k t k t

(63)

0 01 0 0 0 1

1 1

1 cos 0 1 1 cos

n n n n

n

P Pt A B B t

k t k t (64)

Konačno rješenje u obliku funkcije pomaka u vremenu za II. interval dano je izrazom (65), odnosno

izrazom (68), primjenom osnovnih trigonometrijskih jednakosti (66) nakon pojednostavljenja (67).

01 1 1

1

01 1

1

1sin cos

1 cos sin

n n

n

n n

n

Pu t t t t t

k t

Pt t t

k t

(65)

sin cos cos sin sinx y x y x y (66)

0 01 1 1

1

0 01 1 1

1 1

0 01 1

1

01 1

1

0

cos sin cos

sin cos sin

cos sin

sin

cos

n n n

n

n n n

n n

n n

n

n n n

n

n

P Pu t t t t t t

k k t

P Pt t t t t

k t k t

P Pt t t t

k k t

Pt t t

k t

Pt

k

0 01 1

1 1

sin sinn n

n n

P Pt t t t

k t k t

(67)

0 01 1

1

cos sin sinn n n

n

P Pu t t t t t t

k k t

(68)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

3. Harmonijska pobuda

0 sinp t P t

I. INTERVAL: 10,t t

Diferencijalna jednadžba

- bez prigušenja: 0 sinm u t k u t P t (69)

Pretpostavljeno ukupno rješenje:

cos sinn n pu t A t B t u t (70)

Pretpostavljeno partikularno rješenje mora imati oblik funkcije pobude p(t) (sinusne funkcije):

2

sin

cos

sin

p

p

p

u t C t

u t C t

u t C t

(71)

Partikularno rješenje može se odrediti iz uvjeta da zadovoljava opći oblik diferencijalne jednadžbe (69):

0

2

sin

sin

p pm u t k u t P t

m C t

sink C t 0 sinP t

2

0m C k C P (72)

0 0 0

2 22

2 2

0

2

2

1

sin

1

n n

p

n

P P PC

kk mk k

Pu t t

k

(73)

Zatim traženo rješenje (pomak) i odgovarajuća derivacija (brzina) primaju oblik prikazan izrazima (74)

i (75):

0

2

2

cos sin sin

1

n n

n

Pu t A t B t t

k

(74)

0

2

2

sin cos cos

1

n n n n

n

Pu t A t B t t

k

(75)

p(t)

t1

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

Za homogene početne uvjete u trenutku t0 = 0 konstante A i B mogu se odrediti iz jednadžbe (74)

odnosno (75):

0

2

2

0 cos 0 sin 0 sin 0 0

1

1,0 0 0

n n

n

Pu t A B

k

A A

(76)

0

2

2

0

2

2

0

2

2

0 sin 0 cos 0 cos 0 0

1

1,0 0

1

1

n n n n

n

n

n

n

n

Pu t A B

k

PB

k

PB

k

(77)

Konačno rješenje u obliku funkcije pomaka u vremenu za I. interval dano je izrazom (78):

0

2

2

0 0

2 2

2 2

cos sin sin

1

sin sin

1 1

n n

n

n

n

n n

Pu t A t B t t

k

P Pt t

k k

(78)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

b) Duhamelov integral

ako je p(t) integrabilna funkcija tražimo analitičko rješenje, ako nije potrebno ju je numerički riješiti

funkcija opterećenja prikazana je nizom kratkih impulsa

p

doprinos impulsa

d

* t t

d m up

d - promjena količine gibanja

d m u p d

p S

du dm m

(79)

* * * *00cos sin cos sin

n n n n

n

dudu t A t B t du t t (80)

za djelovanje impulsa je 0 0du pa imamo *0 sin

n

n

dudu t t (81)

*sin

n

n

p ddu t t

m (82)

uz * t t imamo:

0

1sin

t

n

n

u t p t dm

ili

0

sin

t

nnu t p t d

k (83)

ako uvedemo prigušenje uz pretpostavku 0 0u i 0 0u imamo

0

1sin

n

tt

D

D

u t p e t dm

(84)

Rješenje za slučaj bez prigušenja te uz pretpostavku 0 0u i 0 0u

00

0

1cos sin sin

t

n n n

n n

uu t u t t p t d

m (85)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

1. Konstantna pobuda

0P

( )p t

( )t s

t

I II

1t

0 1

1

, 0,

0, ,

P t tp t

t t

I. INTERVAL: 10, t t 0 konstanta p P

0

0

sin

t

nnu t P t d

k (86)

0

0

sin

t

nn

Pu t t d

k (87)

00

1cos /

tnn

n

Pu t t

k (88)

0 1 cos n

Pu t t

k (89)

statu t u t DF (90)

gdje je 0P

k progib od statičke sile

II. INTERVAL: 1, t t 0 p

1

1

0

0

sin 0 sin

t t

n nn n

t

u t P t d t dk k

(91)

100cos /

t

n

Pu t t

k (92)

01cos cos n n

Pu t t t t

k (93)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

2. Linearno rastuća pobuda

I II

0P

( )p t

t 1t

( )t s

0

1

1

1

, 0,

0, ,

Pt t t

tp t

t t

I. INTERVAL: 10, t t 0

1

P

pt

0

10

sin

t

nn

Pu t t d

k t (94)

0

1 0

sin

t

nn

Pu t t d

k t (95)

parcijalna integracija: uv uv vu , u , 1

cos

n

n

v t (96)

00

1 0

1 1cos / cos 1

t

tnn n

n n

Pu t t t d

k t (97)

00

1

1 1 1cos 0 sin /

tnn n

n n n

Pu t t t t t

k t (98)

0

1

10 sin

n

n

Pu t t t

k t (99)

0

1

1sin

n

n

Pu t t t

k t (100)

II. INTERVAL: 1, t t 0 p

1

1

0

10

sin 0 sin

t t

n nn n

t

Pu t t d t d

k t k (101)

1 100 02

1

1 1cos / sin /

t tnn n

n n

Pu t t t

k t (102)

01 1 12 2

1

1 1 1cos 0 sin sin

nn n n

n n n

Pu t t t t t t t

k t (103)

0 01 1

1

cos sin sin

n n n

n

P Pu t t t t t t

k k t (104)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

3. Linearno rastuća + konstantna pobuda

I II III

0P

( )p t

t 1t 2t

( )t s

01

1

0 1 2

2

, 0,

, ,

0, ,

Pt t t

tp t

P t t t

t t

I. INTERVAL: 10, t t 0

1

P

pt

0

1

1sin

n

n

Pu t t t

k t (105)

II. INTERVAL: 1 2, t t t 0 p P

1

1

00

10

sin sin

t t

n nn n

t

Pu t t d P t d

k t k (106)

1

0 0 01 1

1 1

0

cos sin sin

cos /

n n n

n n

t

n t

P P Pu t t t t t t

k k t k tP

tk

(107)

0 0 01 1

1 1

01

cos sin sin

cos cos

n n n

n n

n n

P P Pu t t t t t t

k k t k tP

t t t tk

(108)

0 0 01 1

1 1

0 01

cos sin sin

cos

n n n

n n

n

P P Pu t t t t t t

k k t k tP P

t tk k

(109)

0 0 01

1 1

sin sin

n n

n n

P P Pu t t t t

k k t k t (110)

III. INTERVAL: 2 , t t 0 p

1 2

1 2

00

10

sin sin 0 sin

t t t

n n nn n n

t t

Pu t t d P t d t d

k t k k

0 0 01 1

1 1

0 02 1

cos sin sin

cos cos

n n n

n n

n n

P P Pu t t t t t t

k k t k tP P

t t t tk k

(111)

0 0 01 2

1 1

sin sin cos

n n n

n n

P P Pu t t t t t t

k t k t k (112)

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

c) Primjer

0m kruta ploča

m

stupovi - 20 cm

34 12 / 523,6 kN/m k EI h

4 4/ 64 7854 cm I d

230000000 kN/mE

22356,2 kNmEIh

2 2

6 m, 8 m, 30 cm

8,0 0,3 2,5 48 t

p

p

h t

m t

P t T

0

523,6 kN/m

10 kN

k

P

n

3,302 r/s

2T 1,9 s

n

n

k

m

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

I II0 0,01909 m st

P

k

st

stDF

( )u t 2DF

I II0 0,01909 m st

P

k

st

( )u t 1DF

I II

1t

0 0,01909 m st

P

k

st

( )u t 1DF

III

I II

0 0,01909 m st

P

k

st

( )u t 1,62DF

III

stDF

0P

( )p t

( )t s

t

I II

1t

I II

0P

( )p t

t 1t

( )t s

( )t s

( )t s

( )t s

( )t s

I II III

0P

( )p t

t 1t 2t

( )t s

1 24 s, 6 s t t

2t

1t 2t

1t

1t

1 21 s, 6 s t t

Dinamika konstrukcija i potresno inženjerstvo – 2016./2017.

0 sinp t P t

5 10 15 20 25t

0.03

0.02

0.01

0.00

0.01

0.02

0.03x t

I II

0 0,01909 m st

P

k

st

( )u t1,15DF

stDF

( )t s

1 10 st

0( ) sin P t P t T 15 s2

T

5 10 15 20 25t

0.3

0.2

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3x t

I

II

0 0,01909 m st

P

k

st

( )u t

DF

stDF

( )t s

1 10 st

0( ) sin P t P t T 1,89 s2

T

5 10 15 20 25t

0.004

0.002

0.000

0.002

0.004x t

I II

0 0,01909 m st

P

k

( )u t0,1DF

stDF

( )t s

1 10 st

0( ) sin P t P t T 0,2 s2

T

t1

p(t)