PROBABI

LIDAD

Probabilidad.

Definición: Es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que

un hecho o condición se produzcan. La probabilidad de un suceso es un

número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de

verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. Si da cerca de 0 es

improbable que ocurra el evento y si da cerca de 1 es casi seguro que

ocurra.

Teoría De Conjuntos.

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia

básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces,

a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas

relacionados con estos.

La teoría de conjunto, permite en los cálculos de probabilidad, realizar

operaciones entre los eventos como unir, intersectar o complemento.

En los casos de los eventos, “UNIR” implica que los elementos de un

evento “A” y del otro “B” formaran un conjunto, este representa que el evento

“A” ocurra o que el evento “B” ocurra.

La “INTERSECCIÓN” de dos eventos será un conjunto cuyos

elementos están en el evento “A” y en el evento “B”, es decir, ocurre “A” y

ocurre “B”.

El “COMPLEMENTO” de un evento será un conjunto formado por los

elementos que no pertenecen al evento y si pertenecen al espacio muestral.

Entonces, con las operaciones entre conjunto se pueden establecer

algunas propiedades que permiten calcular fácilmente la probabilidad de

ciertos eventos.

Clases de Conjuntos.

Conjunto Finito: Es el conjunto al que se le puede determinar su

cardinalidad o puede llegar a contar su último elemento.

Ejemplo:

M= {*/x es divisor de 24}

M= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,24}

Conjunto Infinito: Es el conjunto que, por tener muchísimos

elementos, no se le puede llegar a contar su último elemento.

Ejemplo:

A= {*/x sea grano de sal}

Conjunto Vacío: Es el conjunto cuya cardinalidad es cero ya que

carece de elementos. El símbolo del conjunto vacío O  { }.

Ejemplo:

C= {*/x sea habitantes del sol}

Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Su

cardinalidad es uno (1).

Ejemplo:

D= {*/x sea vocal de la palabra "pez"}

Las Propiedades De La Probabilidad.

Si hacemos un determinado experimento, que tiene un espacio

muestral Ω, definimos la probabilidad como una función que asocia a cada

suceso A una determinada probabilidad, P(A), que cumple las siguientes

propiedades:

1. La probabilidad de cualquier suceso A es positiva o cero. Es

decir, P(A)≥0. La probabilidad mide, en cierta manera, lo difícil que es

que ocurra un suceso A: como menor sea la probabilidad, más difícil

es que ocurra.

2. La probabilidad del suceso seguro es 1. Es decir, P(Ω)=1. Así pues, la

probabilidad siempre es mayor que 0 y menor que 1: probabilidad cero

quiere decir que no hay ninguna posibilidad de que pase (es un

suceso imposible), y probabilidad 1, que siempre pasa (es un suceso

seguro).

3. La probabilidad de la unión de un conjunto cualquiera de sucesos

incompatibles dos a dos es la suma de las probabilidades de los

sucesos. Esto es, si tenemos, por ejemplo, los sucesos A, B, C, y son

incompatibles dos a dos, entonces P(A∪B∪C)=P(A)+P (B)+P(C).

Principales Propiedades De La Probabilidad:

P(A)+P(A)=1.

Esto es, las probabilidades de los sucesos complementarios suman 1.

Muchas veces utilizaremos esta propiedad para calcular probabilidad del

complementario: P(A)=1−P(A).

Veamos por qué. Sabemos que, por un lado, A y A son incompatibles, y

por el otro, A∪A= Ω, puesto que uno es el contrario del otro. Esto es otra

manera de entender lo que ya sabíamos, que el suceso A∪A es un

suceso seguro, y por tanto, por el axioma 2, P(A∪A)= 1, es decir, siempre

ocurre. Entonces, por el axioma 3, P(A∪A)=P(A)+P(A).

Pero P(A∪A)=P(Ω)=1, por lo que P(A)+P(A)= 1.

Esta propiedad, que nos resulta muy útil, se puede generalizar:

Si tenemos tres o más sucesos, incompatibles dos a dos, y tales que su

unión es todo el espacio muestral, es decir, A, B, C incompatibles dos a

dos tales que A∪B∪C=Ω, entonces P(A)+P(B)+P(C)=1, por los axiomas 2

y 3.

Decimos en este caso que A, B, C forman un sistema completo de

sucesos. Observemos que siempre que expresamos Ωcomo conjunto de

sucesos elementales, en realidad estamos dando un sistema completo de

sucesos.

Como consecuencia, P(∅)=0, es decir, la probabilidad del suceso

imposible es 0, puesto que, como sabemos que el suceso contrario al

suceso imposible es el suceso seguro, entonces podemos sustituir esto

en la igualdad de la propiedad, P(∅)+P(Ω)=1. Por lo tanto, como por el

segundo axioma de la probabilidad P(Ω)=1, tenemos que P(∅)+1=1, por lo

que P(∅)=0.

Si A⊂B, entonces P(A) ≤P(B).

La notación "si A⊂B" quiere decir "si el suceso A está incluido en el

suceso B", es decir, si todos los resultados posibles que cumplen A

también cumplen B.

Esta propiedad es bastante lógica: si al tirar un dado, queremos

comparar la probabilidad de A="sacar un 2" con B="sacar un número

par", entonces, la probabilidad de A tiene que ser más pequeña o igual

que la de B, puesto que si sacamos un 2, estamos sacando un

número par. En otras palabras, cuando se cumple A, también se

cumple B, por lo que debería ser más difícil cumplir A que cumplir B.

Es decir, P(A)≤P(B).

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).

Este resultado, que es muy importante recordar, es consecuencia de

una propiedad en la Teoría de conjuntos: dados dos conjuntos, A y B,

puedes expresar su unión como A∪B=(A−B)∪(A∩B)∪(B−A), que son

incompatibles dos a dos. Entonces, por el axioma 3, P(A∪B)=P(A−B)

+P(A∩B)+P(B−A).

También en Teoria de conjuntos se ve que A=(A−B)∪(A∩B), que son

dos sucesos incompatibles, y por tanto, por el axioma 3, P(A)=P(A−B)

+P(A∩B), es decir, P(A−B)=P(A)−P(A∩B).

Análogamente,

B=(B−A)∪(B∩A)=(B−A)∪(A∩B), por lo que P(B−A)=P(B)−P(A∩B).

Sustituyendo estas probabilidades en la igualdad, encontramos

P(A∪B)=P(A−B)+P(A∩B)+P(B−A)= =P(A)−P(A∩B)+P(A∩B)+(P(B)−P(

A∩B))= =P(A)+P(B)−P(A∩B).

Experimento Aleatorio.

Es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que

depende dela suerte o el azar.

Cuando conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo,

decimos que es un experimento determinista.

Ejemplo:

Experimento aleatorio: Lanzar un dado y anotar la puntuación

que aparece en la cara superior.

Experimento determinista: Medir la temperatura de ebullición

del agua.

Espacio Muestral.

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un fenómeno o

experimento aleatorio. Lo denotaremos con la letra E.

Suceso.

Suceso de un experimento aleatorio, es cada uno de los subconjuntos

que podemos tomar en un espacio muestral.

Tipos de Sucesos:

Sucesos elementales son los formados por un solo resultado

del espacio muestral.

Sucesos compuestos son los formados por varios sucesos

elementales.

Suceso seguro es el que siempre se verifica al realizar el

experimento aleatorio. Coincide con el espacio muestral.

Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa

por Ø.

La Teoría Del Árbol.

El diagrama de árbol es un método para obtener los resultados

posibles de un experimento cuando éste se produce en unas pocas

etapas.

Cada paso del experimento se representa como una

ramificación del árbol.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá

poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada

de su probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del

cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo

si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas

de cada nudo ha de dar 1.

1. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un

comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

Seleccionar tres niños.

Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

Seleccionar tres niñas.

Ejemplos.

Una universidad está formada por tres facultades:

La 1ª con el 50% de estudiantes.

La 2ª con el 25% de estudiantes.

La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total

en cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

Pero también podría ser lo contrario.

Teoría De Los Pares.

Se seleccionan al azar dos números de entre los números del 1 al 9, si

la suma de los números que aparecen es par, a. Determine la probabilidad

de que ambos números sean pares, b. Determine la probabilidad de que

ambos números sean impares.

Solución:

d = {9C2 = 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve

que se tienen}

(1,2)

(1,3) (2,3)

(1,4) (2,4) (3,4)

d = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)

(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)

(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)

E = evento de que la suma de los números que se seleccionan sea

par.

(1,3)

(2,4)

E = (1,5) (3,5)

(2,6) (4,6)

(1,3) (3,7) (5,7)

(2,8) (4,8) (6,8)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

E = {16 elementos}

A = evento de que ambos números sean pares

(2,4)

A = (2,6) (4,6)

(2,8) (4,8) (6,8)

A = {6 elementos}

(2,4)

AÇE = (2,6) (4,6)

(2,8) (4,8) (6,8)

½AÇE½ = 6 elementos, p (A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 6/16 = 0.375

E = evento de que la suma de los números seleccionados es par.

(1,3)

(2,4)

E = (1,5) (3,5)

(2,6) (4,6)

(1,3) (3,7) (5,7)

(2,8) (4,8) (6,8)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

E = {16 elementos}

Así sucesivamente.

Propiedades De La Unión De Sucesos.

Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

Propiedades De La Unión De La Intersección De Sucesos.

Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción