PROBABILIDAD CONDICIONAL

Jeanette Badilla

Objetivo de Aprendizaje: Comprender el concepto de

probabilidad condicionada y aplicarlo en la toma de decisiones.

¿ Por qué la probabilidad cambia en los eventos

dependientes?

EJEMPLO: Suponga que tenemos 5 bolitas azules y 5 rojas en una bolsa. Al sacar una bolita, puede ser azul o roja. Ahora quedan 9 en la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bolita sea roja? Si la primer bolita fue roja, entonces en la bolsa quedan 4 bolitas rojas, por ende, la probabilidad de sacar una bolita roja en la segunda oportunidad es de 4/9. Pero si la primera bolita que sacas es azul, entonces todavía hay 5 bolitas rojas en la bolsa y la probabilidad de sacar una bolita roja de la bolsa es de 5/9. La segunda oportunidad es un evento dependiente. Depende de lo que paso en la primera oportunidad.

Ejemplo: A continuación la tabla muestra los resultados (ficticios) de un ensayo clínico de una nueva crema para el acné

Si no importa el tratamiento: ¿Cuál es la probabilidad de que la condición de un participante mejore? A partir de la tabla, se concluye que mejoraron 1400 personas de un total de 2500, es decir, la probabilidad es:

𝑃 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟𝑒 =1400

2500=0,56

Si se sabe de antemano que el participante usó la medicación: ¿Cuál es la probabilidad de que su condición mejore? A partir de la tabla, se desprende que 1500 personas usaron medicación y de estas solo 800 mejoraron su condición, por lo tanto:

𝑃 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟𝑒 =800

1500= 𝟎, 𝟓𝟑

Este es un caso de Probabilidad Condicional: La probabilidad de que la condición de un participante mejore dado que uso medicación. Se definen dos eventos o sucesos: B: el participante mejoró. A: un participante uso medicación. Esto se puede escribir P(B/A), que en este caso se leería o interpretaría como:

“ ¿Cuál es la probabilidad de que un participante mejore, dado que uso medicación?”

𝑃 𝐵/𝐴 =800

1500 La condición restringe los

casos totales

En el ejemplo anterior, la ocurrencia de un suceso condiciona o influye en la ocurrencia de otros suceso y calculamos la probabilidad simple:

“ ¿Cuál es la probabilidad de que un participante mejore, dado que uso medicación?”

𝑃 𝐵/𝐴 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟ó

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Utilizando lenguaje matemático, tenemos que toda probabilidad condicional, es posible calcularla utilizando la expresión:

𝑷 𝑩/𝑨 =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨)

Probabilidad de que una persona use medicación

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 corresponde a la probabilidad de que la persona se

mejoró y uso medicación.

Ejemplos

b. ¿En qué caso obtener rey en la primera extracción condiciona el resultado de obtener rey en la segunda extracción?, ¿y en cuál no lo condiciona? c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos reyes de la baraja española al extraer dos cartas sin reposición?, ¿y al extraerlas con reposición? Calcula.

Condiciona la extracción

𝑷 𝑹𝒆𝒚 ∩ 𝑹𝒆𝒚 =𝟒

𝟒𝟎∙𝟑

𝟑𝟗=

𝟏

𝟏𝟑𝟎

𝑷 𝑹𝒆𝒚 ∩ 𝑹𝒆𝒚 =𝟒

𝟒𝟎∙𝟒

𝟒𝟎=

𝟏

𝟏𝟎𝟎

Considera las extracciones sin reposición y con reposición. ¿En qué caso los sucesos son siempre dependientes y en cuál son siempre independientes?

Ejemplos ( texto escolar pág.21)

a. 𝑷 𝑨/𝑩 =𝑷(𝑨∩𝑩)

𝑷(𝑩)=

𝟗𝟎

𝟒𝟎𝟎𝟏𝟔𝟓

𝟒𝟎𝟎 =𝟗𝟎

𝟏𝟔𝟓=𝟔

𝟏𝟏

A: Sea corredora ( Femenino) B: Es un participante senior

A: Sea categoría adulto B: Es un corredor

b. 𝑷 𝑨/𝑩 =𝑷(𝑨∩𝑩)

𝑷(𝑩)=

𝟏𝟐𝟓

𝟒𝟎𝟎𝟐𝟐𝟓

𝟒𝟎𝟎 =𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟐𝟓=

𝟓

𝟗

c. hombre

Hombre(V) Mujer(H) Total

Diabetes (D) 230 170 400

Hipertensión (H) 200 100 300

Sin enfermedad 70 230 300

Total 500 500 1000

a. 𝑷 𝑫/𝑴 =𝑷(𝑫∩𝑴)

𝑷(𝑴)=

𝟏𝟕𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎 =𝟏𝟕𝟎

𝟓𝟎𝟎=𝟏𝟕

𝟓𝟎 b. 𝑷 𝑫/𝑽 =

𝑷(𝑫∩𝑽)

𝑷(𝑽)=

𝟐𝟑𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎 =𝟐𝟑𝟎

𝟓𝟎𝟎=𝟐𝟑

𝟓𝟎

c. 𝑷 𝑯/𝑴 =𝑷(𝑯∩𝑴)

𝑷(𝑴)=

𝟏𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎 =𝟏𝟎𝟎

𝟓𝟎𝟎=𝟏

𝟓 d. 𝑷 𝑯/𝑽 =

𝑷(𝑯∩𝑽)

𝑷(𝑽)=

𝟐𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎 =𝟐𝟎𝟎

𝟓𝟎𝟎=𝟐

𝟓

a) A partir de la información del diagrama, determina la probabilidad de que ocurra un accidente.

𝑷 𝒔𝒖𝒇𝒓𝒊𝒓 𝒂𝒄𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝑷( 𝒔𝒖𝒇𝒓𝒊𝒓 𝒂𝒄𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒅í𝒂 𝒍𝒍𝒖𝒗𝒊𝒐𝒔𝒐) + 𝑷(𝒔𝒖𝒇𝒓𝒊𝒓 𝒂𝒄𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒅í𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒐)

𝑷 𝑨 = 𝑷( 𝑨 ∩ 𝑩) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑪) 𝑷 𝑨/𝑩 =𝑷( 𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑩)

𝑷 𝑨/𝑪 =𝑷( 𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑪)

Recuerde que

𝑷 𝑨 = 𝑷(𝑩) ∙ 𝑷( 𝑨/𝑩) + 𝑷(𝑪) ∙ 𝑷(𝑨/𝑪)

PROBABILIDAD TOTAL

a. ¿Cuántos días ha llovido?, ¿cuántos han sido días secos?, ¿cuál es la probabilidad de cada uno? b. ¿Cuál será la probabilidad de que se produzca un accidente? Analiza el siguiente procedimiento.

• Se definen los siguientes sucesos: A = Sufrir un accidente B = Día lluvioso 𝐴 = No sufrir un accidente C = Día seco

𝑷 𝑨 = 𝑷(𝑩) ∙ 𝑷( 𝑨/𝑩) + 𝑷(𝑪) ∙ 𝑷(𝑨/𝑪)

P(A) = 0,7 · 0,07 + 0,3 · 0,004 P(A) = 0,049 + 0,0012 P(A) = 0,0502 Por lo tanto, la probabilidad de que se produzca un accidente es 0,0502, lo que representa un 5,02%. Esto significa que, de cada 100 viajes realizados, en 5 de ellos podría ocurrir un accidente.

Se calcula la probabilidad pedida reemplazando los valores:

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el autobús NO sufra un accidente? Calcula e interpreta su resultado.

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el autobús NO sufra un accidente? Calcula e interpreta su resultado. d. A partir de los resultados anteriores, ¿qué decisión tomarías: te subes o no a este autobús?, ¿por qué?

𝑷 𝒏𝒐 𝒔𝒖𝒇𝒓𝒊𝒓 𝒂𝒄𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝑷( 𝒏𝒐 𝒔𝒖𝒇𝒓𝒊𝒓 𝒂𝒄𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒅í𝒂 𝒍𝒍𝒖𝒗𝒊𝒐𝒔𝒐) + 𝑷(𝒏𝒐 𝒔𝒖𝒇𝒓𝒊𝒓 𝒂𝒄𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒅í𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒐)

𝑷 𝑨 = 𝑷(𝑩) ∙ 𝑷( 𝑨 /𝑩) + 𝑷(𝑪) ∙ 𝑷(𝑨 /𝑪)

𝑷 𝑨 = 𝟎, 𝟕 ∙ 𝟎, 𝟗𝟑 + 𝟎, 𝟑 ∙ 𝟎, 𝟗𝟗𝟔 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟗𝟖𝟖 = 𝟎, 𝟗𝟒𝟗𝟖