Probabilidad Trabajo u2

8/18/2019 Probabilidad Trabajo u2

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Instituto tecnológico de Orizaba.

Ingeniera en gestión empresarial.

Probabilidad y estadística

12:00 hrs. – 1:00 hrs.

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$arreda !%nchez &ontserrat

'arcía !antos (ennis

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+odríguez *aimes /eslie !.

ruillo ergara arla.

P)rez &oreno +ogelio *es3s.

4nidad 2

-bril 5201#


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2.1Teoría de conjuntos

Introducción al concepto de Teoría de Conjuntos.

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a uncierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetosdenominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedandescritos así

!. "i # no tiene elementos, entonces # es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

$. "i # es un conjunto, entonces # es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

%. Los &nicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en ! y $.

La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puedereconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorías.'or ejemplo, con la Teoría de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptosy probar todas sus propiedades par ordenado, relación, función, partición, orden,estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los

complejos, etc.

2.1.1Definicion, propiedades, y operaciones básicas con conjuntos

Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos.

"on dos los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos

!. Conjunto Colección de cualquier tipo de objetos considerada como untodo, una multiplicidad vista como unidad( entidad completa biendeterminada.Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos delconjunto o miembros del conjunto.'or colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una

propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección deobjetos es un conjunto. )sta afirmación será demostrada más adelante.

$. *elación de 'ertenencia )l ser elemento de es una relación binaria o de dosargumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.)sta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto esnecesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto.


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+n conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos ydiferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

"i a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∈ .)n caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a∉ A.

)jemplos de conjuntos

o ∅ el conjunto vacío, que carece de elementos.

o - el conjunto de los números naturales.

o el conjunto de los números enteros.

o / el conjunto de los números racionales.

o * el conjunto de los números reales.

o C el conjunto de los números complejos.

"e puede definir un conjunto

o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteri0a.

+n conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se

define por e#tensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. 'or ejemplo

o 1 2!,$,%, ... ,n3

o 4 1 2p∈ 5 p es par3

"e dice que está contenido en 4 6tambi7n que es un subconjunto de 4 oque es una parte de 48, y se denota ⊆ 4, si todo elemento de lo es

tambi7n de 4, es decir, a ∈ ⇒ a ∈ 4.


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9os conjuntos y 4 se dicen iguales, y se denota 1 4, sisimultáneamente ⊆ 4 y 4 ⊆ ( esto equivale a decir que tienen losmismos elementos 6o tambi7n la misma propiedad característica8.

'ara cualquier conjunto se verifica que ∅⊆ y ⊆ (4 ⊆ es un subconjunto propio de si ≠ ∅ y 4 ≠ .

)l conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado sellama partes de , y se denota ℘ 68.)ntonces, la relación 4 ⊆ es equivalente a decir 4 ∈ ℘ 68. )jemplos

"i 1 2a, b3 entonces ℘ 68 1 2∅ ,2a3,2b3,3.

"i a ∈ entonces 2a3 ∈℘ 68.

Cuando en determinado conte#to se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado +,se suele considerar a dic:o + como conjunto universal o de referencia.

;')*CI;-)" )-T*) C;-.

o "i 1 2# ∈ + 5 p6#8 es una proposición verdadera3 entonces = 1

2# ∈ + 5 p6#8 es una proposición falsa3.


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"e llama unión de dos conjuntos y 4 al conjunto formado por objetos queson elementos de o de 4,es decir ∪ 41 2# 5 # ∈ ∨ # ∈ 43.

"e llama intersección de dos conjuntos y 4 al conjunto formado porobjetos que son elementos de y de 4,es decir ∩ 41 2# 5 # ∈ ∧ # ∈ 43.

"i y 4 son subconjuntos de un cierto conjunto universal +, entonces esfácil ver que −€4 1 ∩ 4=.)n este caso, las llamadas operaciones booleanas 6unión e intersección8verifican las siguientes propiedades:

'*;'I)99)" +-I;- I-T)*")CCI;-1.- Idempotencia ∪ 1 ∩ 1

2.- Conmutativa ∪ 4 1 4 ∪ ∩ 4 1 4 ∩

3.- Asociativa ∪ 6 4 ∪ C 8 1 6 ∪ 4 8 ∪ C ∩ 6 4 ∩ C 8 1 6 ∩ 4 8 ∩ C

4.- Absorción ∪ 6 ∩ 4 8 1 ∩ 6 ∪ 4 8 1 5.- Distributiva ∪ 6 4 ∩ C 8 1 6 ∪ 4 8 ∩ 6 ∪ C 8 ∩ 6 4 ∪ C 8 1 6 ∩ 4 8 ∪ 6 ∩ C 8

6.- Complementariedad ∪ = 1 + ∩ = 1 ∅

)stas propiedades :acen que partes de + con las operaciones unión e interseccióntenga una estructura de álgebra de 4oole. demás de 7stas, se verifican tambi7nlas siguientes propiedades

o ∪ ∅ 1 , ∩ ∅ 1 ∅ 6elemento nulo8.

o ∪ + 1 +, ∩ + 1 6elemento universal 8.

o 6 ∪ 48= 1 = ∩ 4>, 6 ∩ 48= 1 = ∪ 4= 6leyes de Morgan8.

9ados dos conjuntos y 4, se define el producto cartesiano de ambos como elconjunto de pares ordenados

× 41 26a, b8 a ∈ ∧ b ∈ 43

9os pares 6a, b8 y 6c, d8 de × 4 son iguales si a 1 c y b 1 d( análogamente, dadoscuatro conjuntos , 4, C, 9 se verifica

× 4 1 C × 9 ⇔ 6 1 C ∧ 4 1 98


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"e llama grafo relativo a × 4 a todo subconjunto ? ⊆ × 4.9ado un grafo ? relativo a × 4, se llama proyección de ? sobre al conjunto

'roy?1 2a ∈ 6a, b8 ∈ ?, ∃ b ∈ 43

nálogamente se define la proyección 'roy4? de ? sobre 4.

'or &ltimo, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos."i para cada elemento i de un conjunto 6de índices) I se tiene un conjunto i,entonces se define el conjunto 2i i ∈ I3 y se denomina familia deconjuntos indicada por I. Tambi7n se suele denotar por 2i3 i ∈ I .9e forma análoga se define una familia de elementos 6ai8 i ∈ I.

9ada una familia de conjuntos 2i3 i ∈ I se definen

o ∪ i ∈I i 1 2 a a ∈ i , ∃ i ∈ I 3

o ∩ i ∈ I i 1 2 a a ∈ i , ∀ i ∈ I 3

o ∏ i ∈ I i 1 2 6ai8 ai ∈ i , ∀ i ∈ I 3

Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias deconjuntos, y en particular las lees de Morgan:

6 ∪ i ∈ I i8= 1 ∩ i ∈ I =i , 6∩i ∈ I i8= 1 ∪i ∈ I =i

2.1.2 Técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones).

Las t7cnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difícilesde cuantificar.

"e les denomina t7cnicas de conteo a las combinaciones, permutaciones ydiagrama de árbol, las que a continuación se e#plicarán y :ay que destacar que7stas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurreun evento determinado.

*)?L @+-9A)-TL 9)L C;-T);


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"i en e#perimento está integrado por dos ensayas, donde uno de ellos 6una solasección o elección8 tiene m resultados posibles y en otro ensayo tiene n resultados

posibles, entonces cuando los ensayos se reali0an juntos, se tiene

m # n

*)?L ?)-)*L 9)L C;-T);.

"i un e#perimento está compuesto por B ensayos reali0ados en un orden definido,donde el primero tiene n, resultados posibles, etc. entonces el n&mero deresultados posibles para el e#perimento es

-! # n$ # n% ## ni.

')*A+TCI;-)"

)n matemáticas, dado un conjunto finito, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dic:o conjunto.'or ejemplo, en el conjunto 2!, $,%3, cada ordenación posible de sus elementos,sin repetirlos, es una permutación. )#iste un total de D permutaciones para estoselementos E!,$,%E, E!,%,$E, E$,!,%E, E$,%,!E, E%,!,$E y E%,$,!E.

)l n&mero de permutaciones de n objetos es el n&mero de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en t7rminos de orden.La t7cnica de la permutación es aplicada para encontrar el n&mero posible dearreglos donde :ay solo u grupo de objetos.

)jemplo"uponga que :ay oc:o tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles

para e#:ibirlas en la tienda de computadoras. F9e cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las G máquinas en los tres espacios disponiblesH

n ' r 1 n 1 G 1 G 1 %%D 6n J r8 6G J %8 K)n el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no :ay dosespacios disponibles con el mismo tipo de computadora. "i en los arreglos se

permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguienten 'r 1 nr'ara ilustrar el punto, queremos saber Fcuántas series de $ letras se pueden formar con las letras , 4, C, si se permite la repeticiónH Las permutaciones son lassiguientes

, 4, C, 4, C, 44, 4C, C4, CC+sando la fórmula

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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n 'r 1 nr 1 %'$ 1 %$ 1

!. FCuántos n&meros de K cifras diferentes se puede formar con losdígitos !, $, %, M, KH

m 1 K n 1 K

"í entran todos los elementos. 9e K dígitos entran sólo %.

"í importa el orden. "on n&meros distintos el !$%, $%!, %$!.

-o se repi ten los elementos. )l enunciado nos pide que las cifrassean diferentes.

pK 1 K1 K.M.%.$.!1!$N

$. F9e cuántas formas dis t intas pueden sentarse oc:o personas enuna fila de butacasH

"í entran todos los elementos. Tienen que sentarse las G personas.

"í importa el orden.

-o se repiten los elementos. +na persona no se puede repet ir.

pG1G1MN%$N

% . F9e cuántas formas d is t in tas pueden sen tar se oc:o per sonasalrededor de una mesa redondaH

pcG16GO!81P1KNMN

M. Con las cifras $, $, $, %, %, %, %, M, M( Fcuántos n&meros de nuevecifras se pueden formarH

m 1 a 1 % b 1 M c 1 $ a Q b Q c 1

"í entran todos los elementos.


"í se repiten los elementos.

p* %, M ,$1 R%M$1!$DN

K . C on l as l et ra s d e l a p al ab ra l ib ro , F cu án ta s o rd en ac io ne sdistintas se pueden :acer que empiecen por v ocalH

La palab ra empie0a por i u o seguida de l as M l et ra s r es t an te s

tomadas de M en M.


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"í entran todos los elementos.


-o se repiten los elementos.

SOOOO '$. 'M 1 $. M. %. $. ! NOOOOC;A4I-CI;-

+na combinación es un modo de seleccionar objetos de un conjunto, en donde 6alcontrario de una permutación8 el orden en el cual se disponen los elementos no esimportante. Informalmente, una combinación es un ordenamiento de n elementostomados de B en B, con o sin repetición, llamada sucintamente combinaciones den en BU.)n una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente.

"i el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados sedenomina combinación. 'or ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajoformado por $ personas seleccionadas de un grupo de tres 6, 4 y C8. "i en elequipo :ay dos funciones diferentes, entonces sí importa el orden, los resultadosserán permutaciones. 'or el contrario si en el equipo no :ay funciones definidas,entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultadosen ambos casos son los siguientes'ermutaciones 4, C, 4, C, 4C, C4Combinaciones 4, C, 4C

!. )n una c lase de %K a lumnos se quiere e legir un comit7 formado por t res alumnos. FCuántos comit7s diferentes se pueden formarH

-o entran todos los elementos.

-o importa el orden


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-o importa el orden.

-o se repiten los elementos.

C$ !N 1 !N.R$ 1MK

M. )n una bodega :ay en un c inco t ipos diferentes de bote l las . F9ecuántas formas se pueden elegir cuatro botellasH

-o entran todos los elementos. "ólo elije M. .

-o importa el orden. 9a igual que elija $ botellas de anís y $ deron, que $ de ron y $ de anís.

" í se repi ten los e lementos . 'uede e legi r más de una bote l la de lmismo tipo.

C*M K1 6KQMO!8RM6KO!81GRMM1PN

K. FCuántas apuestas de Loter ía 'r imit iva de una columna :an derellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de MH


-o importa el orden. -o se repiten los elementos.

CD M1MR 6MOD8D1!%G%G!D

2.2 Teoría elemental de la probabilidad

La teoría elemental de la probabilidad nos permite comprender de manera precisala incertidumbre. Con este conocimiento nos podemos ayudar a :acer

predicciones. Tomar mejores decisiones, valorar los riesgos incluso :asta ganar

dinero. )n conclusión decimos que la probabilidad se utili0a para determinar cuan probable es un determinado evento.

2.2.1 Conceptos de probabilidad, espacio muestral, eentos.

'robabilidad)l concepto de probabilidad proviene del t7rmino latino probabil!tas. " e entiende

por probabilidad como aquella posibilidad que :ay entre diversas posibilidades deque un determinado :ec:o suceda. )s decir que es aquello que puede suceder o

pasar.


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)spacio muestral!"e le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de une#perimento aleatorio. )l espacio muestral se denota como ".

#jemplo: $os resultados posibles del lanzamiento de un dado.

" 1 2!, $, %, M, K, D3

)jemplo Los resultados posibles del lan0amiento de una moneda. " 1 2"ello, Vguila3Los espacios mu7strales se clasifican en

• )spacio muestral discreto, son espacios mu7strales cuyos elementosresultan de :acer conteos, siendo por lo general subconjuntos de los n&merosenteros.

• )spacio muestral continuo, son espacios mu7strales cuyos elementosresultan de :acer mediciones, siendo por lo general intervalos en el conjunto de losn&meros reales.

Evento

+n evento es un subconjunto del espacio muestral de un e#perimentoaleatorio. Los eventos normalmente se denotan con las letras may&sculas , 4, C(

y tienen la característica de ser subconjuntos de " 66, 4, C8 W "8. Los eventos pueden ser• )vento seguro, es aquel que tiene todos los posibles resultados. " 1 X Y"

1 Y. 'or ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menorque P.

• )vento imposible, es aquel que no tiene un posible resultado. 'or ejemploal tirar un dado obtener una puntuación igual a P.

• )ventos compatibles, dos eventos, y 4, son compatibles cuando tienenalg&n eventos elemental com&n. )jemplo si es sacar puntuación par al tirar un

dado y 4 es obtener m&ltiplo de %, y 4 son compatibles porque el D es un eventoelemental com&n.

• )vento incompatibles, dos eventos, y 4, son incompatibles cuando notienen ning&n elemento en com&n. )jemplo si es sacar puntuación par al tirar undado y 4 es obtener m&ltiplo de K, y 4 son incompatibles.

• )ventos independientes, dos eventos, y 4, son independientes cuando la probabilidad de que suceda no se ve afectada porque :aya sucedido o no 4.)jemplo al la0ar dos dados los resultados son independientes.

• )ventos dependientes, dos eventos, y 4, son dependientes cuando la

probabilidad de que suceda se ve afectada porque :aya sucedido o no 4.)jemplo e#traer dos cartas de una baraja, sin reposición, son eventos dependientes.


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• )vento contrario, el evento contrario a es otro evento que se reali0acuando no se reali0a . )jemplo son eventos contrarios sacar par e impar al lan0arun dado.

"e clasifican en• )vento simple, siendo aquel que tiene un solo punto muestral.

• )vento compuesto, siendo aquel que tiene dos o más puntos mu7strales.

2.2.2 "#iomas y teoremas

Los a#iomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse

para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine

consistentemente sus probabilidades. @ueron formulados por Zolmogórov en

!%%.

9ado un conjunto de sucesos elementales, %, sobre el que se :a definida una [O

álgebra 6l7ase sigmaOálgebra8 [ de subconjuntos de % y una función ' que asigna

valores reales a los miembros de [, a los que denominamos EsucesosE, se dice que

' es una probabilidad sobre 6%,[8 si se cumplen los siguientes tres a#iomas.

\'!]'rimer a#ioma

La probabilidad de un suceso es un n&mero real mayor o igual que N.

\'$]"egundo a#ioma

La probabilidad del total, , es igual a !, es decir,

\'%]Tercer a#ioma

"i son sucesos mutuamente e#cluyentes 6incompatibles dos a

dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos8, entonces

.

"eg&n este a#ioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de

varias alternativas mutuamente e#cluyentes sumando las probabilidades de sus

componentes.

Los siguientes teoremas se deducen directamente de los a#iomas anteriores.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos_disjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos_disjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos_disjuntos


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eorema 1 "i '6^81N

&emostración: "ea un conjunto, entonces y ^ son disyuntos y +^ 1

'or \'%], '681 '6+^81 '68Q'6^8, restando '68 de ambos lados obtenemos

el resultado.eorema 2 "i c es el complemento de un evento , entonces '6c81 ! J '68

&emostración: )l espacio muestral " se puede descomponer en los eventos y

c mutuamente e#clusivos, esto es, "1 + c. 'or \'$] y \'%] se obtiene ! 1 '6"8

1 '6 + c8 1 '68 Q ' 6c8 de lo cual se desprende el resultado.

eorema 3 "i C 4, entonces 4 se puede descomponer en los eventos y 4_

mutuamente e#clusivos. sí ' 648 1 '68 Q '64_8, con lo cual se comprueba el

enunciado puesto que '64_8 ` N.

eorema 4 "i y 4 son dos eventos, entonces '6_48 1 '68 J '6 48

&emostración: se puede descomponer en los eventos mutuamente e#clusivos

_4 y 4 esto es, 1 6_48 + 6 48. 'or consiguiente, por \'%], '68 1 '

6_48 Q ' 6 48 de lo cual se obtiene el resultado.

eorema 5! "i y 4 son dos eventos, entonces

'6 + 48 1 '68Q '648 J '6 48

&emostración: ;bs7rvese que +4 se puede descomponer en los eventos _4 y 4

mutuamente e#clusivos( esto es, +41 6_48 +4. )ntonces por \'%] y el teorema

M,

' 6+481 '6_48Q '648

1'68 J '6 48 Q '648

1 '68 Q '648 J '6 48 , que es el resultado buscado.

plicando el teorema anterior por segunda ve0 obtenemos el 'orolario ( 'ara loseventos , 4 y C.

' 6+4+C81'68Q'648Q'6C8J'648O'6C8 J '64C8 Q '64C8

2.2.$ %e&la de la adicci'n

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad deocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las

probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente e#cluyentes, esdecir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.


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*A o +) *A) - *+) *A) *+) si A + son mutuamente e#cluyente.

*A o +) *A) *+) / *A +) si A + son no e#cluyentes.

"iendo!

*A) probabilidad de ocurrencia del evento . *+) probabilidad de ocurrencia del evento 4.

*A +) probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos y 4.

2.2. %e&las de la multiplicaci'n.

)stablece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente

independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

*A +) *A ∩ +) *A) x *+) si A + son independientes.

*A +) *A ∩ +) *A) x *+0A) si A 4 son dependientes.

2.2.5 Probabilidad condicional

Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de lae#periencia, el :ec:o de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de

los demás. )l proceso de reali0ar la :istoria clínica, e#plorar y reali0ar pruebascomplementarias ilustra este principio.

La probabilidad de que ocurra el suceso si :a ocurrido el suceso 4 sedenomina probabilidad condicionada y se define

)sta definición es consistente, es decir cumple los a#iomas de probabilidad.

Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendoen cuenta este cambio de espacio muestral.


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