Probabilidad Condicional

Cuando se sabe que el evento “A” se ha dado y que este es dependiente de que un evento anterior haya aparecido se llama probabilidad condicional y se denota de la siguiente manera

P (A/B) se lee así probabilidad “A” dado “B”

La determinación de esta probabilidad ofrece mayor información ya que se desprende de un espacio muestral reducido.

Como se comento el espacio muestral original ya no es tomado en consideración.

Considere el evento B de obtener un cuadrado perfecto cuando se lanza u dado, el dado se ha construido de tal manera que los números pares tiene 2 veces mas probabilidades de presentarse que los números impares, determinar la probabilidad de que ocurra el evento B sabiendo que al lanzar de dado se obtuvo un resultado mayor que 3.

S 1,2,2,3,4,4,5,6,6

B= cuadrado perfecto

A= mayor A B

S 4,4,5,6,6

P (B/A)= 2/5 = .04

Se selecciona al azar a una de las personas que se muestran en la tabla siguiente determinar la probabilidad que este sea hombre sabiendo que tiene empleo

Empleado desempleado total

Hombre 460 40 500

Mujer 140 260 400

Total 600 300 900

P (H/E)= 460/600 = 0.76

La ecuación matemática se usa para calcular la probabilidad condicional en la cual se considera todo el espacio muestral se define de la siguiente manera

P (A/B)= P (A B)

P (B)

Con esta expresión matemática será necesario calcular la probabilidad en el numerador y el denominador, haciendo uso del espacio muestral total para lo cual recurriremos al ejemplo desarrollado con anterioridad.

460

P (H/E) =P (H E) 900 P (E) 600 = 460 X 900 460 =

0.76

900 900 X 600 600

La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es de .83 la de que llegue a tiempo es de .82 y la de que despegue y llegue a tiempo es de .78 encuentre la probabilidad

A) Llegue a tiempo dado que despego a tiempoB) Que despegue a tiempo dado que llego a tiempo

A) P (D,T)= 0.83 P (LL,T/D,T)= P (LL T D T) = 0.78 = 0.93

P (LL,T)= 0.82 P (D T) 0.83

P (DT LL,T )=0.78

B) P ( D T / LL T )

P = P (DT LL T) P= 0.78 = 0.95

P ( LLT) 0.82

Una clase de física avanzada se compone de 10 alumnos de primer grado 30 de último año y 10 graduados las calificaciones finales mostraron que 3 de los 10 graduados recibieron una calificación

aprobatoria por el curso si se selecciona un estudiante aleatoriamente y se encuentra que es uno de los que obtuvo calificación aprobatoria. Cual es la probabilidad de que el o ella sea alumno de ultimo año.

Primer año 5 aprobadosUltimo año 15 aprobados

Total aprobados Primer año 10 5 P (AUA /A,A ) Ultimo año 30 15 Graduados 10 3 50 23

Probabilidad de que el alumno de último año sea aprobado P (AUA AA)

P= 15 P (A A) 23 15 50 23 = 15 X 50 = 15 50 50 X 23 23 Una pareja de casados que vive en cierta ciudad cual es la probabilidad de que el esposo vote en cierta elección es de 0.21 y la de que su esposa lo haga es de 0.28 la de que ambos boten es de 0.15 cual es la probabilidad de que

A) Almenos un miembro de la pareja de casados voteB) Vote la esposa dado que el esposo lo haceC) Vote el esposo dado que su esposa no lo hace

A) P (HV)= 0.21 no lo hace 0.79P (MV)= 0.28 no lo hace 0.72 P (HV U MV)=0.15

P (HV U MV)= P (HV) + P (MV) – P (HV MV)0.21+0.28-0.15=0.34

B) P (HV/MNV)= P (HV π MV) = 0.15 = 0.71 P HV 0.21

C) P (HV/MNV) = P (HV π MNV) = 0.06 = 0.083

P (MNV) 0.72D) Cual es la probabilidad de que la mujer vote sabiendo que su

esposo no vote.

P (MV/HNV)= P(MV π HNV) = 0.13 = 0.16

P (HNV) 0.79 En una bolsa se colocan 4 pelotas blancas y 3 negras y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras se saca una pelota de la primera bolsa y sin verla se mete en la segunda bolsa cual es la probabilidad de que la pelota que se saque de la segunda bolsa sea negra.Nota: realice un diagrama de árbol para visualizar la ocurrencia de los eventos identifique las probabilidades de los eventos ocurridos con la nomenclatura de probabilidad condicional 3 B P (B2/B1) = 4/9 +1B P(B) 4/7 5N P (N2/B1)= 5/9 4B P(B2/B1)=P(B2πB1) 3N 3B P (B2/N1)= 3/9 P (B1) P (N) 3/7 5N +1N P (N2/N1)=6/9

Para poder calcular la probabilidad de que al sacar una pelota en la segunda bolsa sea negra será necesario despejar de la ecuación de probabilidad condicional la intersección de los eventos donde esta involucrada la pelota negra y sumar algebraicamente las contribuciones.Nota: la intersección de los eventos implica la ocurrencia de manera simultánea de los eventos en cuestión

P (N2/N1)= P (N2 п N1) P (N2 π N1) = P(N2/N1) X P (N1) P (N1) 6/9 X 3/7= 18/63

P(N2/B1)= P (N2π B1) P (B1) P (N2 п B2) = P(N2/B1) X P (B1) 5/9 X 4/7 = 20/63El supervisor de 20 trabajadores pide la opinión de 2 de ellos seleccionados al hazar sobre la nuevas disposiciones de seguridad en la

construcción si 12 están a favor de las nuevas disposiciones y los demás en contra cual es la probabilidad

A) Que ambos trabajadores estén en contraB) Solo el segundo este en contraC) Solo uno este a favor

Nota: utilice diagrama de árbol

P(F1/F2)11/19 P(a favor)12 12 a favor 20 P(C2/F1) 8/19 P (F2/C1)12/19 8 en contra P (en contra)8 20 P (C2/C1)7/19

A) P (C2/C1) = P (C2 π C1) P (C1)

P (C2 п C1)= P (C2/C1) X P (C1) 7/19 X 8/20 = 14/95 = .14

B) P (C2/F1) = P (C2 п F1) P (F1) P (C2 π F1) = P (C2/F1) X P (F1) 8/19 X 12/20 = .25

.25+.14= 0.39 C) P (F2/C1)= P (F2 п C1) 8/20 + 12/19 = 0.25+0.25= 0.50

P (C1) Eventos independientes

Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de ocurrencia de uno no depende de lo que haya sucedido con anterioridad de tal manera que la P (A/B)= probabilidad dado A y B P (A/B) = P (A)

Se lanzan 2 veces una moneda indicar en un diagrama de árbol la secuencia de probabilidades correspondientes determinar las probabilidades de los posibles resultados ½ A P (A,A)= ½ * ½ =0.25

½ A ½ S P (A,S)= ½ * ½ =0.25 ½ A P (S,A)= ½ * ½ =0.25 ½ B ½ S P (S,S)= ½ *1/2 =0.25Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad discretas

Una variable aleatoria es aquella que toma un valor numérico para cada uno de los elementos del espacio muestral de un experimento probabilístico.Se le llama aleatorio por que le valor que toma es el resultado de un evento fortuito o sujeto al azar por ejemplo lanzar monedas al aire , lanzar dados y observar la sumatoria de los puntos obtenidos observar el numero de llamadas telefónicas en un lapso de tiempo entre otros.Las variables aleatorias esta íntimamente ligadas a la descripción de los fenómenos por ejemplo estas pueden utilizarse en la descripción de una distribución de probabilidad discreta. Esta distribución cuantifica perfectamente los eventos ocurridos de un experimento probabilístico por ejemplo retomando el ejercicio anterior donde se lanzan dos monedas defina la variable aleatoria como el numero de águilas que se pueden obtener y asigne las probabilidades correspondientes para mencionada definición de la variable aleatoria

V . A (X) P (X) (Numero de águilas) 0 0.25 1 0.50 2 0.25

1 al sumarlos da la unidadLa definición de variable aleatoria y su respectiva asignación de probabilidad se le conoce como distribución de probabilidad.Cual es la distribución de probabilidad cuando se lanza un dado Defina la variable aleatoria como el número de posibilidades que pueden suceder al lanzar un dado. V A (X) P (X) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6

Considera un dado que ha sido modificado de manera que una cara con un punto dos caras con dos puntos y tres caras con tres puntos determine la distribución de probabilidad VA (X) P (X) C P 1 1/6 1 1 2 1/3 2 2 3 1/2 3 3Como se ha observado toda distribución de probabilidad reúne dos características fundamentales

1- Que la probabilidad asignada a la variable aleatoria oscile entre 0 y 1

2- Que la sumatoria de las probabilidades de las variables aleatorias sea 1

Dada la siguiente expresión y los correspondientes valores para la variable aleatoria determine si esta puede considerarse una función de probabilidad (distribución de probabilidad)

VA P (X)= X1 1/10 102 2/103 3/104 4/10

De acuerdo a los cálculos obtenidos se cumple íntegramente con las dos condiciones que valida que sea una distribución de probabilidadVerifique si esta puede ser considerada una distribución aleatoria de la variable de 1 a 4 y la función es P (X) 5-X 10

VA (X)1 5-1/10 = 0.42 5-2/10 = 0.33 5-3/10 = 0.24 5-4/10 = 0.1

1Una distribución de probabilidad describe el comportamiento de un fenómeno por lo cual es interesante calcular dos estadísticas fundamentales que permiten conocer el comportamiento de la distribución de probabilidad estas estadísticas son la media y la desviación estándar Para calcular la media se utiliza la siguiente expresión 1=N

Ẋ = ∑ ( X ) P ( X ) A=1

P ( X ) X X P (X) 10

1/10 1/10 2/10 4/10 2/5 3/10 9/10 4/10 16/10 8/5 ∑ (X P (X))= 3 Ẋ=3Para el cálculo de la desviación estándar se hace uso de la siguiente expresión

S² = ∑ (Xن - Ẋ)² P ( X )

VA ( X ) P ( X )=X/10 XP (X) (X1 - Ẋ)² (X1-X)² XP (X) 1 1/10 1/10 (1-3)=4 4(1/10)=4/10=2/5 2 2/10 4/10 =2/5 (2-3)=1 1(1/5)=1/5 3 3/10 9/10 (3-3)=0 3(3/10)=0 4 4/10 16/10= 2/5 (4-3)=1 1(2/5)=2/5 1 S=√1 S=1

Encuentre la distribución de probabilidad para el numero de discos de jazz cuando 4 discos se seleccionan al azar de una colección que consiste de 5 discos de jazz 2 de música clásica y 3 de polca determine la media y la desviación estándar de la función de distribución encontrada.VA (X) P (X) XP(X)

0 P= 5C4 5C0 = 0.02 (0) (0.02)= 0

10C4

1 P= 5C3 5C1 = 0.238 0.238

10C4

2 P= 5C2 5C2 = 0.476 0.952

10C4

3 P= 5C1 5C3 = 0.238 0.714

10C4

4 P= 5C0 5C4 = 0.023 0.092

10C4 ∑= 1.969

(X1 - Ẋ)² S²= (X1 - Ẋ)² P(X) (0-1.969)²=3.876 (3.876)(0.002)= 7.752X10 Q² 0.938 0.215 9.61X10Q 4.574X10 Q 1.062 0.256 4.124 0.094 S²=0.569 S=√0.569=0.754De acuerdo al comportamiento de distribución elabora un histograma de la función de distribución binomial

Prob 1.0 Y

0.5

0.25

0 1 2 3 4 X

Distribución binomial

Muchos experimentos tienen resultados que son clasificados en dos categorías éxito o fracaso por ejemplo el lanzamiento de monedas así como la determinación de que una lámpara encienda o no son experimentos probabilísticos binomiales este tipo de experimentos debe reunir las siguientes propiedades.

A) Cada ensayo tiene dos resultados posibles éxito o fracaso B) Hay N ensayos independientes C) El éxito mas es el fracaso debe sumar 1D) La variable binomial aleatoria es la cuenta del numero de ensayos

exitosas que ocurre y su valor oscila entre 0 y NE) Para utilizar la distribución binomial se debe determinar la

probabilidad del numero de éxitos se requieren tres valores.1) Numero especifico de éxitos2) Numero de observaciones

3) Probabilidad de éxito.La expresión matemática para obtener la probabilidad en un experimento binomial es la siguiente. P(X/nP)= n! P* q n-x X! (n-X)! Éxitos que se solicitan probabilidad de éxitoNo de repeticionesLa probabilidad es un prospecto de ventas elegido al azar es el punto B si un vendedor visita a 6 prospectos determinar la probabilidad de que realice exactamente 4 ventas

a) N=6 P [ 4/6,0.2] 6C4 [0.20] [ 0.80] X=4

P= 0.20 q= .80 15 [ 0.0016] [ .64] = 0.015b)

P [2/6,-2] = 6C2 [.20 ] [ 0.80]

15 [ .04 ] [.0407] = 0.245

Cuando se calcula la probabilidad de una distribución binomial de manera puntual se requiere que aparezca determinado suceso se recurre directamente a la formula pero si el enunciado implica calcular mas de algún elemento ( cuando el enunciado dice almenos será necesario hacer el calculo de probabilidades del recorrido de la variable aleatoria hasta que cumpla con la condición que se esta manifestando por ejemplo del problema anteriormente citado calcule la probabilidad que el vendedor almenos realice dos ventas.

P [0/6, .20]= 6C0 [0.20] [0.80] = .262

P [1/6, .20]= 6C1 [0.20] [0.80] = .392

P [2/6, .20]= 6C2 [0.20] [0.80] = .245

∑ .899 De acuerdo en un estudio realizado 1 de cada 15 individuos que entran en una tienda comercial intentan robar algo suponiendo que este

comportamiento se ajusta a una distribución binomial cual es la probabilidad de que 1 de 3 clientes que se selecciona aleatoriamente dentro de la tienda intenta robar algo

N=3 P (x/np)=nCx ° P ° q

X=1 P(1/3,0.066)=3C1 [0.066] [0.934]

P=1/15=0.066 = 3(0.066) (0.872)= 0.172Q=1-0.066=0.934 El .5% de las piezas producidas son defectuosas la maquina se llevara a reparación si al tomar una muestra aleatoria de 10 piezas se encuentran 2 o mas defectuosas obtenga la probabilidad de que la maquina sea sometida a reparación bajo este esquema de muestreo.N=10

X=2 P(2/10,.005)=10C2 (0.005) (.995)

P=5%-100=.005 45 (0.000025) (.960)= .00108 Q=.995

Distribución normal

La distribución continua más importante en el campo de la estadisticaes la distribución normal.Se dice que una distribución es continua cuando se toman muchos valores dentro de un intervalo por lo que su comportamiento puede ser escrito en términos de una función matemáticaEn 1973 Abraham demaibre desarrollo la ecuación matemática en la curva normal proporcionando la base fundamental de la estadística descriptiva.

A esta distribución normalmente se le llama distribución gaussiana debido a que Karl frederich gaus realizo un estudio de mediciones contribuyendo al desarrollo de la distribución normal.La ecuación matemática para la distribución depende de dos parámetros fundamentales que son imprescindibles en los estudios de estadística cuando se quiere caracterizar alguna población.Estos parámetros son la media y la desviación estándar. La distribución normal se define por la siguiente ecuación matemática.

N(X:M )= 1 e (X-M)²

√2∏ ⱴ ⱴ Donde la variable aleatoria X va de -∞ a mas ∞ . -∞ <X<∞Cumpliéndose las siguientes propiedades cuando se somete al análisis de la primera y segunda derivada.

1- La moda es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su máximo.

2- La curva es simétrica alrededor de su eje

3- La curva tiene sus puntos de inflexión en X=M+ⱴ

4- La curva normal se acerca en forma asíntota el eje X5- El área total bajo la curva y ambas del ojo horizontal es =1

En este tema se asumirá que se conoce la media y la desviación estándar del fenómeno.Para facilidad de la resolución de problemas de comportamientos normales las áreas bajo la curva ya están tabuladas y la ecuación matemática simplificada de tal manera que basta realizar un proceso muy sencillo que posibilite hacer uso de la tabla.Dada una distribución normal con media =50 y una desviación estándar de 10 encuentre la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor entre 45 y 62. Procedimiento a seguir.

1- Realice la grafica de la distribución normal con los datos que el problema esta apartado.

2- Estandarice los datos con la formula desarrollada de la distribución normal. Nota: cuando se estandariza se asume que los valores de la media van hacer =0 y la desviación estándar 1 en este momento se estará en condiciones de usar las tablas

3- Los valores obtenidos producto de la estandarización se busca en las tablas y dado que estos valores son las áreas bajo la curva se encuentran el valor de la probabilidad.

M=50

ⱴ=10

P=(45<X<62) X1=45 50 X2= 62 Ƶ= X-M

ⱴ

Ecuación para estandarizar

M=0 ⱴ=1

Ƶ1= 45-50 = -0.5 10

Ƶ2= 62-50 = 1.2 10

Graficar con los valores obtenidos de la estandarización

Z1=-0.5 Z2=1.2 M=0

Z1=-0.5 P(45<X<62)=P(Z1)= .3085 8849-.3985=0.5764

Z2= 1.2P(Z2)= 8849

Cierto tipo de batería dura un promedio de 3 años con una desviación estándar de 0.5 suponiendo que la desviación de las batería esta normalmente distribuida encuentre la probabilidad de que una determinada batería dure menos de 2.3 años.M=3

ⱴ=0.5

P= (X<2.3) X1=2.3 3

Ƶ= X - M

ⱴ

Ƶ=2.3 – 3 = -1.4 P (Z<2.3)= 0.0808 0.5 P (Ƶ,<-1.4)= 0.0808

P(X<2.3)=.0808

Una compañía que fabrica focos esta normalmente distribuida con una media de 800 hora de vida y una desviación de 40 encuentre la probabilidad de que un foco se funda entre las 788 hora y 834 hora de su uso.

M=800 hora

ⱴ=40

P=788 y 834 horas

Ƶ= X – M X1=788 800horas 834

ⱴ

Ƶ1= 788 – 800 = -0.3 40Ƶ2= 834 – 800 = 0.85 40 Z1=-0.3 M=0 Z2=0.85

De una caja que contiene 4 monedas de 1000 pesos y 2 de 500 se seleccionan 3 de ellos al azar sin remplazo determine la distribución de probabilidad como un histograma.4 monedas 10002 monedas 500

6C3 4 C 3 2 C0 = 0.2 6C3 4 C 2 2 C1 = 0.6

6C3 6C3

6C3 4 C 1 2 C2 = 0.2 S=√.8 S=.89

6C3

VP (X) P P(X) (X1 - Ẋ)² (X1 - Ẋ)² P (X ) 3-0 .2 .6 ( 3-2 )²=1 (1) (.6)= .6 2-1 .6 1.2 ( 2-2 )²=0 (0) (1.2)= 01-2 .2 .2 ( 1-2 )²=1 (1) (.2)= .2 ∑=2 ∑=.8

De una caja que contiene 4 pelotas negras y 2 verdes se seleccionan 3 de ellas en sucesión con remplazo. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de pelotas verdes.

7C3 2 C 0 1C3 = .11 7C3 2 C 1 1 C2 = .34

7C3 7C3

7C3 2 C 2 4 C1 = .11

7C3

U (X) P X P(X) (X1 - Ẋ)² (X1 - Ẋ)² P (X ) 0 .11 0 .31 (0) (.31)= 0 1 .34 .34 .19 (.34) (.19)= .0642 .11 .22 2.07 (2.07) (.22)= .45 ∑=.56 ∑=.519

S=√.519 S=.72Encuentre la distribución de probabilidad para el numero de discos de jazz cuando 4 discos se seleccionan al azar de una colección que consiste en 5 discos de jazz 2 de música clásica y 3 de polka exprese el resultado por medio de la formula.

5 De jazz 2 M.clasica 3 polka

10C4 5 C 0 5C4 = .023 10C4 5 C 1 5 C3

= .23

10C4 10C4

10C4 5 C 2 5 C2 = .476 10 C 4 5 C 3 5 C1

= .238

10C4 10C4

10 C 4 5 C 4 5 C0 = .02

10C4

VP (X) P(X) X P(X) (X1 - Ẋ)² (X1 - Ẋ)² P (X ) 0 .023 0 3.87 .891 1 .23 .238 .938 .2232 .416 .952 9.6X10 9.5X10 3 .238 .714 1.062 .252 4 .02 .8 4.124 .094 ∑=.1.98 ∑=1.460

S=√1.460 S=1.208Un embarque de 7 televisores contiene 2 aparatos defectuosos. Un hotel realiza una compra aleatoria de 3 de ellos si por el numero de unidades defectuosos que se compran encuentre la distribución de probabilidad de X exprese los resultados7 televisores5 buenos2 defectuosos

7C3 2 C 0 5 C3 = .28 7C3 2 C 1 5 C2 = .57

7C3 7C3

7C3 2 C 2 5 C1 = .14

7C3

U (X) P(X) X P(X) (X1 - Ẋ)² (X1 - Ẋ)² P (X ) 0 .28 0 (0-.85)²=.72 (.72) (.28)=.20 1 .57 .57 (1-.85)²=.02 (.02) (.57)= .012 .14 .28 (2-.85)²=1.32 (1.32) (.14)=.18 ∑=.85 ∑=.39

S=√.39 S=.62

Un embarque de 5 automóviles extranjeros incluyen 2 que tienen unas ligeras manchas de pintura si una agencia recibe 3 de estos vehículos aleatoriamente indique los elementos del espacio muestral utilizando las letras B y N para manchado y no manchado respectivamente asigne entonces para cada punto muestral un valor X de la variable aleatoria X representa el numero de automóviles con manchas de pintura compradas por la agencia.3 no manchados2 no manchados

5C3 2 C 0 3 C3 = .1 5C3 2 C 1 5 C2 = .6

5C3 5C3

5C3 2 C 2 5 C1 = .3

5C3

AU (X) P(B) B P(X) (X1 - Ẋ)² (X1 - Ẋ)² P (B ) 0 .1 0 1.44 1.44 1 .6 .6 .04 .024 2 .3 .6 .64 .192 ∑=1.2 ∑=1.656

S=√1.656 S=1.28La probabilidad de que un medico diagnostique correctamente una enfermedad en particular es de 0.7 dado que realice un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que el paciente levante una demanda es de 0.9 ¿cual es la probabilidad de que el medico realice un diagnostico incorrecto y de que el paciente lo demande?p. diagnostico correcto .7

p. demanda .9 P= .3 = .33p diagnostico incorrecto .3 .9

Un agente de bienes raíces tiene 8 llaves maestras para abrir varias casas nuevas. Solo una de ellas abre una casa determinada si 40% de ellos generalmente dejan sin cerrar ¿Cuál es la probabilidad de que el agente de bines raíces pueda entrar a una casa especifica si este selecciona 3 llaves maestras aleatoriamente cuando deja la oficina?8 llaves maestras P (LL)=3/8 =.37 probabilidad de que tomo 3 llaves40% casas abiertas P (CC)= 4.8/8= .6 probabilidad de casa cerrada P (LL-CC) .37/06 = .61 Un pueblo tiene dos carros de bomberos que operan independientemente cual es la probabilidad de que un vehículo especifico este disponible cuando se necesite es de 0.96.

a) Cual es la probabilidad de que ninguno este disponible en caso necesario.

b) Cual la de que alguno este cuando se necesite.

B=2 carros P (2) disponible .96P (1) no disponible .04A= .04 X .04= 0.016 probabilidad que no este disponibleB= .96-0.4=.92 probabilidad de que alguno este disponible

Una vajilla contiene 2 frascos de aspirinas y 3 de tabletas para la tiroides, una segunda valija contiene 3 de aspirinas 2 tabletas para la tiroides y 1 tableta de laxantes si se toma un frasco aleatoriamente de cada valija de equipaje encuentre la probabilidad de que

a) Ambos frascos contengan tabletas para la tiroidesb) Ningún frasco contenga tabletas para la tiroides c) Los dos frascos contengan diferentes tabletas .

A A T T T

A A A T T L

A= 5C1= 2C 0 3C1 = 3/5 = .6 6C1= 3C 0 2C1 = 2/6

= .33

5C1 5C1

11C 2= 5C 0 5C 2 1C 0 = 10/55= .18

11C1

B= 11C2 = 5C 1 5C 0 1C 1 = 5/55= .90

11C1

C= 11C2 = 5C 2 5C 0 1C = 10/55= .18

11C2

Un experimento para estudiar la relación entre hipertensión y el habito de fumar se reúnen los siguientes datos en 180 individuos

No fumadores

f. moderados

Empedernidos

Total

Hipertenso 21 36 30 8748 26 19 93

No hipertenso

69 62 49 180

Si se toman aleatoriamente a uno de estos individuos encuentre la probabilidad de que la persona

a) Experimente hipertensión dado que es un empedernidob) Sea un no fumador, dado que no ha presentado problemas de

hipertensión.

A= 30 180 = 3.44 87 180

P (A/B)= P (A п B)

B= 48 P (B) 180 = .516 93 180La probabilidad de que un automóvil al que se llena el tanque de gasolina necesita también un cambio de aceite es de 0.25, la de que requiera un filtro de aceite es de 0.40 y de que le haga falta tanto cambio de aceite como filtro es de 0.14

a) Si se debe cambiarse el aceite ¿Cuál es la probabilidad de que necesite un filtro nuevo?

b) Si necesita un filtro nuevo ¿Cuál es la probabilidad de que requiera de que se cambie el aceite?

Gasolina-aceite .25

Filtro .40 F/A F п A п G

Aceite y filtro .14 B

A= (.14) (.25) = .087 .40

B= .14 = .35 .40

Probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de televisión es de 0.4 y la de que su mujer lo haga es de 0.5. La probabilidad de que le hombre vea el programa dado que su esposa no lo hace es de 0.7 encuentra la probabilidad de que

a) Una pareja de casados vea el programab) La esposa vea el programa dado que su esposo lo hacec) Almenos una persona del matrimonio vea el programa

Hombre casado 0.4Mujer casada 0.5Hombre dado mujer 0.7A= .7B= (.5) (.7) = .87 .4

C= (.4) (.7) = .56 .5

Una pareja de casados que vive en cierta ciudad de los suburbios, la probabilidad de que su esposo vote en alguna elección es de 0.21 la de que su esposa lo haga es de 0.28 la de que ambos voten de 0.15 cual es la probabilidad

a) Almenos un miembro de la pareja voteb) Vote la esposa dado que su esposo lo hacec) Vote el esposo dado que su esposa no lo haga

VH .21 A/B= A п B = P (A) + (B) – P (A п B)

VM .28 VM-H .15 A= (.21) (.28) – (.15)= .34 B= (.28) (.15) = .2 .21 C= (.21) (.28) = .39 .15