PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES · Web viewde probabilidad Elaboró: Héctor Hernández Primitivo Reyes Aguilar Enero 2009 Mail: [email protected] Tel. 58 83 41 67 / Cel. 044

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD P. Reyes / enero 2009

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONESDE PROBABILIDAD

Elaboró: Héctor Hernández Primitivo Reyes AguilarEnero 2009

Mail: [email protected]. 58 83 41 67 / Cel. 044 55 52 17 49 12

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CONTENIDO

1. Introducción

2. Técnicas de conteo

3. Teorema de Bayes

4. Distribuciones de probabilidad

5. Distribuciones de probabilidad discretas

6. Distribuciones de probabilidad continuas

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PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD1. INTRODUCCIÓN

La probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cuaqlquier situación

donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles. En algunos casos se utiliza de manera

informal como por ejemplo: hay un 50% de probabilidad de que llueva.

DEFINICIONES

Probabilidad: es la posibilidad numérica de ocurra un evento. Se mide con valores

comprendidos entre 0 y 1, entre mayor sea la probabilidad, más se acercará a uno.

Experimento: es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien

definido como el lanzamiento de un dado. Es el proceso que produce un evento.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

Para un dado es SS = (1,2,3,4,5,6)

Evento: es cualquier colección de resultados contenidos en el espacio muestral. Es

simple si sólo tiene un resultado y compuesto si tiene varios resultados.

Definición Clásica de Probabilidad. Modelo de frecuencia relativa La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relación de el número de

respuestas en favor de E, y el numero total de resultados posibles en un experimento.

Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es:

Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es:

Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, o 6 al lanzar un dado es:

La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 0 y 1. La suma de las

probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S = 1

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Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los “n” elementos

relacionados = # Total de resultados posibles.

Probabilidad CompuestaEs la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre sí.

En la composición existen dos posibilidades: Unión o Intersección .

Unión de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unión de A y B contiene todos los

elementos de el evento A o B o ambos.

Intersección de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la intersección de A y B está

compuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.

Relaciones entre eventos

Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios,

condicionales y mutuamente excluyentes.

1. Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en un

espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El complemento de A es:

Ejemplo 4: En el evento A (día nublado), P(A) = .3, la probabilidad de tener un día despejado

será 1-P(A) = .7

2. Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el

evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:

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7.AP

P(A)=.3


, si

Ejemplo 5: Si el evento A (lluvia) y B(nublado) = 0.2 y el evento B (nublado) = 0.3, cual es

la probabilidad de que llueva en un día nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes

=

Ejemplo 6. Las razones de queja en productos se muestran a continuación:

RAZÓN DE LA

QUEJA

Falla eléctrica Falla mecánica Falla apariencia Total

En garantía 18% 13% 32% 63%

Fuera de

garantía

12% 22% 3% 37%

Total 30% 35% 35% 100%

Si A es el evento de que la queja es por apariencia y que B representa que la queja ocurrió en el

periodo de garantía. Se puede calcular P(Z | B) = P(A y B) / P(B)

P(A | B) = 0.32 / 0.63 = 0.51

Si C es el evento fuera de garantía y D falla mecánica:

P(C|D) = P(C y D) / P(D) = 0.22 / 0.35 = 0.628

Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B).

La probabilidad de la ocurrencia de uno no está afectada por la ocurrencia del otro. De otra

manera los eventos son dependientes.

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P(A/B)=.67

AB


Un ejemplo de evento independiente es: ¿Cuál es la probabilidad de que llueva en lunes?

El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 5.

3. Eventos mutuamente excluyentes.

Cuando un evento A no contiene elementos en común con un evento B, se dice que estos son

mutuamente excluyentes.

Ejemplo 7. Al lanzar un dado: a) cual es la probabilidad de que salga 2 o 3? B) Calcule

?

a)

b) = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe, es

imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.

Ley aditiva: Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:

Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:

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A B

Eventos mutuamente excluyentes.


Ley multiplicativa:

Si los eventos A y B son dependientes:

Si los eventos A y B son independientes:

Ejemplo 8: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que

98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el

primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con

reemplazo), a) calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, b) si la

muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen

estado.

A: El primer artículo está en buen estado.

B: El segundo artículo está en buen estado.

a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:

=

b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de

seleccionar el segundo entonces:

=

Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se

tiene que haber cumplido antes el evento A.

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P(B) =.98P(A) =.98

A B


EJERCICIOS:

1. Tres componentes forman un sistema. Como los componentes del subsistema 2-3 están

conectados en paralelo, trabaja si por lo menos uno de ellos funciona. Para que trabaje el

sistema debe trabajar el componente 1 y el subsistema 2-3.

a) ¿Qué resultados contiene un evento A donde funcionan exactamente dos de los tres

componentes?

b) ¿Qué resultados están contenidos en el evento B en el que por lo menos funcionan dos los

componentes?

c) ¿Qué resultados están contenidos en el evento C donde funciona el sistema?

d) Listar los resultados de C’, A o C, A y C, B o C y B y C.

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P(B/A)=.97B

A

P(A) =.98

1

3

2


2. En una planta los trabajadores trabajan 3 turnos. En los últimos años ocurrieron 200

accidentes. Algunos se relacionan con condiciones inseguras y otros a condiciones de trabajo,

como se muestra a continuación:

Turno Condiciones inseguras

Condiciones de trabajo

Total

Diurno 10% 35% 45%

Vespertino 8% 20% 28%

Nocturno 5% 22% 27%

Total 23% 77% 100%

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Si se elige al azar uno de los 200 informes de accidentes de un archivo y se determina el turno y

tipo de accidente:

a) ¿Cuáles son los eventos simples?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente seleccionado se atribuya a condiciones

inseguras?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ocurrido en el turno diurno?

3. La ruta que usa un automovilista tiene dos semáforos. La probabilidad de que pare en el

primero es de 0.4, la probabilidad de que pare en el segundo es de 0.5 y la probabilidad de que

pare por lo menos en uno es de 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga

a) En ambos semáforos?

b) En el primero pero no en el segundo?

c) Exactamente en un semáforo?

4. Una empresa construye tres plantas eléctricas en tres lugares diferentes. Se Ai el evento en el

que se termina la planta i en la fecha del contrato. Utilizar las notaciones de unión, intersección y

complemento para describir cada uno de los siguientes eventos, en términos de A1, A2 y A3,

mostrar en diagramas de Venn.

a) Por lo menos una planta se termina en la fecha del contrato.

b) Todas las plantas se terminan en la fecha del contrato

c) Sólo se termina la planta del sitio 1 en la fecha del contrato

d) Exactamente se termina una planta en la fecha del contrato

e) Se termina ya sea la planta del lugar 1 o las otras dos en la fecha del contrato.

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2. TÉCNICAS DE CONTEO

Supóngase que una persona tiene dos modos de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez

llegada a B, tiene tres maneras de llegar a otra ciudad C. ¿De cuántos modos podrá realizar el

viaje de A a C pasando por B?

Evidentemente, si empezó a pie podrá tomar avión, carro o trasatlántico; y si empezó en

bicicleta, también podrá tomar avión, carro o trasatlántico.

Utilizando literales (las iniciales) el viajero tuvo las siguientes oportunidades: pa, pc, pt; ba, bc, bt.

Que son 6; cada primera oportunidad contó con tres posibilidades.

Se tiene: 2 oportunidades X 3 posibilidades = 6 posibilidades.

PRINCIPIO DE CONTEO: Si un evento puede hacerse de a1 maneras diferentes, y cuando se ha

hecho, puede hacerse un segundo evento (independiente del primero) de a2 modos diferentes y

luego un tercer evento de a3 maneras también diferentes, y así sucesivamente, entonces el

número de maneras diferentes en que los eventos se pueden realizar , en el orden indicado es

de:

Ejemplo 9: ¿De cuantos modos podrá vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4

pantalones y dos pares de calzado?

Solución: Primer evento (camisas) a1 = 3

Segundo evento ( pantalones) a2 = 4

Tercer evento (zapatos) a3 = 2

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CIUDAD A CIUDAD B CIUDAD C

a pie en avión

en carro

en trasatlánticoen bicicleta


modos diferentes.

PERMUTACIONES: Una permutación es un arreglo ordenado de una parte de los elementos, o

de todos los elementos de un conjunto.

Ejemplo 10: Dado el conjunto de las letras , escribir todas las permutaciones empleando

las tres letras cada vez.

Solución: opi, oip, ipo, iop, pio, poi : son seis permutaciones posibles.

Ejemplo 11: ¿Y tomando dos letras solamente cada vez?

Solución: op, oi, io, ip, pi, po: son seis permutaciones.

En la mayoría de los casos resulta muy complicado hacer las permutaciones

manualmente por lo cual utilizamos la siguiente fórmula:

donde:

n = número total de elementos del conjunto

P = Permutaciones

r = número de elementos que se toman a la vez.

! = factorial.

Nota: 0! = 1

Ejemplo 12: ¿Se toman 3 números de lotería de un total de 50, de cuantas formas se pueden

tomar los números?

COMBINACIONES: Es el número de subconjuntos de r elementos que se puede formar de un

conjunto de n elementos, sin importar el orden de los elementos. Para determinar el número de

combinaciones posibles utilizamos:

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Ejemplo 13: Un entrenador de basket ball tiene 9 jugadores igualmente hábiles, ¿cuántas

quintetas podrá formar?

Ejemplo 14: Se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de extraer (a)

4 ases, (b) 4 ases y un rey (c) 3 dieces y dos jotas,

a) P(4 ases) = =

b) P (4 ases y 1 rey) =

c) P (3 dieces y 2 jotas) =

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3. TEOREMA DE BAYES

Mediante el teorema de Bayes podemos calcular la probabilidad de que ocurra un determinado

evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo mediante la información que tenemos

de otros eventos.

Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe

mediante el “teorema de probabilidad total” el cual es:

Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:

Ejemplo 8: En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden más de 1.80m

de altura. Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar

y se observa que mide más de 1.80m ¿Cual es la probabilidad de que sea mujer?

Z > 1.80 m

A = Hombre

B = Mujer

P (A) = .60

P (B) = .40

P (Z/A) = .20

P (Z/B) = .01

Para encontrar la probabilidad de que sea mujer dado que mide más de 1.80,

Utilizando el teorema de Bayes:

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HOMBRE MUJER

< 1.80

> 1.80

.80

.20

.99

.01

= Z

HOMBRE MUJER

< 1.80

> 1.80

.80

.20

.99

.01

= Z


P(B/Z) = (.4 x .01)/ (.6 x .20 +.4 x .01) = .032.

Podemos visualizar P(B/Z) en el siguiente diagrama:

Por lo tanto la probabilidad de que sea mujer dado

que mide más de 1.80 es .032 = 3.2 %

EJERCICIOS:

1. Una planta emplea 20 trabajadores en el turno diurno, 15 en el segundo y 10 en la noche. Se

seleccionan 6 para hacerles entrevistas exhaustivas. Suponer que cada uno tiene la misma

probabilidad de ser seleccionado de una urna de nombres.

a) ¿Cuántas selecciones dan como resultado seis trabajadores del turno diurno?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 6 trabajadores sean seleccionados del mismo turno?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos turnos diferentes estén representados en la

selección?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los turnos no esté representado en la

muestra de trabajadores?

2. Una caldera tiene 5 válvulas de alivio idénticas. La probabilidad de que que en algún momento

se abra una de ellas es de 0.95. Si su operación es independiente, calcular la probabilidad de

que por lo menos se abra una de ellas. Y la probabilidad de que por lo menos no se abra una de

ellas.

3. Dos bombas conectadas en paralelo fallan en determinado día, sin que haya dependencia

mutua. La probabilidad de que solo falle la bomba más vieja es de 0.10 y de que falle la bomba

más nueva es de 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen ambas bombas al mismo tiempo?

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Z > .80

Hombre Mujer

P(B/Z) = .032P(A/Z)Z > .80

Hombre Mujer

P(B/Z) = .032P(A/Z)


4. Un sistema de componentes conectados como se muestra en la figura. Los componentes 1 y

2 en paralelo hacen que el subsistema funcione con uno uno solo, el sistema funciona solo si

tambiñen trabajan los componentes 3 y 4. Si los componentes son independientes y la

probabilidad de que cada componente funcione es de 0.9, calcular la probabilidad de que

funcione el sistema.

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1

1

43


4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variable aleatoria: Para un determinado espacio muestral SS una variable aleatoria (VA) es

cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en SS.

Variable aleatoria de Bernoulli: Es cualquier variable aleatoria con valores 0 y 1.

Variable aleatoria discreta: Es una variable aleatoria cuyos posibles valores son enteros.

Variable aleatoria continua: Es una variable aleatoria cuyos valores posibles son los reales.

Distribución de probabilidad o función de masa de probabilidad: Establece en una tabla,

fórmula o gráfica como se distribuye la probabilidad P(y) asociada a los posibles valores de la

variable aleatoria y.

Debe cumplir con las reglas siguientes:

1. 0 <= P(y) <= 1

2. Suma (P(y)) = 1

Su fórmula es la siguiente:

Valor esperado:

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y P(Y=y)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

yy

yyYPyP )5(.)5(.

3)()( 3

Función de distribución acumulativa para Y=#de caras

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y

0.3

0.5

0.7

0.9

F(x)

0 1 2


Función de distribución acumulativa:

Con propiedades:

Valor esperado de una distribución de probabilidad discreta

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada como E(X), es

La media es el centro de la masa del rango de los valores de X.

Varianza de una distribución de probabilidad discreta

Sea Y una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(X=x). Entonces , la

varianza de Y es:

5. DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

La variable aleatoria toma un numero finito de n valores, cada uno con igual probabilidad.

Con n = 10 se tiene:

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Su media y varianza son las siguientes:

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se aplica cuando la muestra (n) es una proporción relativamente grande en relación con la

población (n > 0.1N). El muestreo se hace sin reemplazo

P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x éxitos en una muestra de n elementos tomados

de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución

hipergeométrica:

Con

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:

Ejemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la

probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos

defectivos son 5 en el lote.

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0 2 4 6 8 1e+001x

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

prob

NnD

112

NnN

ND

NnD


N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5

P(x=5) = 0.0183 = 1.83%

USO DE EXCEL:N = Tamaño de Población, n = Tamaño de muestra, D= éxitos en la población; x = éxitos en la

muestra.

En Fx Estadísticas seleccionar

=distr.hipergeom(x, n, D, N)

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Hypergeometric

Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)

N, D, n y en Input constant introducir x.

EJERCICIO:1. Se compran 10 transformadores y se toma una muestra de 4. Si se encuentra uno o más

defectuosos se rechaza el lote de 10.

a) Si el lote tiene un defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte el lote?

b) Cuál es la probabilidad de aceptar el lote si contiene 3 defectuosos.

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0183.0

!10!10!20

!10!5!15

!0!5!5

)5(

P


DISTRIBUCIÓN BINOMAL

Ensayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o fracaso.

Donde la probabilidad de éxito se denota por p

Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes. Suponga que la variable X de

interés es el numero de éxitos. X toma valores 0,1,2,...,n

La distribución binomial se utiliza para modelar datos discretos y se aplica para poblaciones

grandes (N>50) y muestras pequeñas (n<0.1N). El muestreo binomial es con reemplazamiento.

Es apropiada cuando la proporción defectiva es mayor o igual a 0.1.

La binomial es una aproximación de la hipergeométrica

La distribución normal se paroxima a la binomial cuando np > 5

La variable aleatoria x tiene una distribución binomial como sigue:

Con media y varianza:

Ejemplo: Un equipo requiere a lo más 10% de servicios en garantía. Para comprobarlo se

compran 20 de estos equipos y se someten a pruebas aceleradas de uso para simular el uso

durante el periodo de garantía. Obtener la probabilidad para P(x<=4).

Rechazar la afirmación de que falla menos del 10% si se encuentra que X>=5.

P(X>=5) = 1- P(X<=4) =1 - distr.binom(4,20,0.1,1) = 1 – 0.9568 = 0.0432 lo cual es bajo.

USO DE EXCEL:x = éxitos en la muestra, p = probabilidad de éxito, n = tamaño de muestra.

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nxppxn

xXPxf xnx ,...,1,0)1()()(

)1()(

)(2 pnpXV

npXE

X

X



=distr.binom(x, n, p, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Binomial

Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)

n = number of trials, p = probability of success y en Input constant introducir x.

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EJERCICIOS:1. Un panel solar tiene una vida útil de 5 años con una probabilidad de 0.95. Se toman 20

páneles solares y se registró la vida útil.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 18 tengan su vida útil de 5 años?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 10 tengan esa vida útil?

c) ¿Si solo 10 paneles tienen una vida útil de 5 años, que debería pensarse sobre el valor

verdadero de P?

2. 20% de los teléfonos se reparan cuando todavía está vigente la garantía. De estos el 60% se

reparan mientras que el 40% se reemplazan. Si una empresa compra 10 de estos teléfonos,

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente sean reemplazados 2 en periodo de garantía?.

3. Suponga que solo 25% de los automovilistas se detienen por completo en un alto con luz roja

intermitente cuando no está visible otro automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que de 20

automovilistas seleccionados al azar se detengan:

a) A lo sumo 6 se detengan por completo

b) Exactamente 6 se detengan por completo?

c) Al menos 6 se detengan por completo?

d) Cuántos de los siguientes 20 automovilistas se espera que se detengan por completo?

4. De todas las plantas sólo el 5% descargan residuos por sobre la norma. Si se muestrean 20

plantas ¿Cuál es la probabilidad de que estén fuera de la ley:

a) Menos que una planta?

b) Menos de dos plantas

c) Exactamente 3

d) Más de una

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Se basa en los mismos principios de la distribución binomial.

1. El experimento consiste de una secuencia de ensayos independientes.

2. Cada ensayo produce un éxito o un fracaso.

3. La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro, P(éxito en el ensayo i) = p

4. El experimento continua hasta completar r ensayos.

La variable de interés es X = número de fracasos que preceden al r-ésimo éxito. X se llama

variable aleatoria binomial negativa, ya que en contraste con la distribución binomial, el

número de éxitos es fijo y el número de ensayos aleatorio.

Su función de distribución es:

con X = 0, 1, 2, …..

Ejemplo: Se quieren reclutar 5 personas para participar en un nuevo programa. Si p = 0.2 la

probabilidad de que las personas quieran participar. ¿Cuál es la probabilidad de que se les deba

preguntar a 15 personas antes de encontrar a 5 que estén de acuerdo en participar?. Es decir si

S=(de acuerdo en participar),

¿Cuál es la probabilidad de que ocurran X=10 fracasos antes del r=quinto éxito?.

r = 5, p = 0.2 y x = 10, se tiene:

La probabilidad de que a lo sumo ocurran 10 fracasos (F) se les pregunte a lo sumo a 10

personas es:

Su media y varianza son las siguientes:

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USO DE EXCEL:

=NEGBINOMDIST(10,5,0.2) y SUMA (X=0 hasta 10) =NEGBINOMDIST(X,5,0.2)

Otra forma:

Sea y el número de intentos hasta que el r-ésimo éxito es observado.

P = probabilidad de éxito en un solo intento

Q = 1-p

Y = Número de intentos hasta que se obtienen los r éxitos

P(15) = combinat(14, 10) 0.2^5*0.8^10 = 0.0343941

Ejemplo: Un fabricante utiliza fusibles en un sistema eléctrico comprados en lotes grandes. Se

prueban secuecialmente hasta que se observa el primero con falla. Asumiendo que el lote

contiene 10% de fusibles defectivos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer fusible defectuoso sea uno de los primeros 5

probados?

P= 0.1 q= 0.9

P(y) = p*(q^y-1) = (.1)*(0.9^y-1)

Para y = 1 hasta 5:

P(y<=5) = p(1) + p(2) +………+ p(5) = 0.41..

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b) Encontrar la media, varianza y desviación estándar para y el número de fusibles probados

hasta que el primer fusible con falla es observado.

Media = 1/p = 1/0.1 = 10

Varianza = q/p^2 = 0.9/(0.1^2) = 90

Sigma = 9.49

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DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson se utiliza para modelar datos discretos como aproximación a la

Binomial dada la dificultad que existía de encontrar tablas Binomiales adecuadas cuando n es

grande y p pequeña. La distribución de probabilidad de Poisson proporciona buenas

aproximaciones cuando np <= 5.

Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n

> 16) por tanto np > 1.6.

Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.

Con media y varianza:

Ejemplo 1. Suponga que una compañía de seguros asegura las vidas de 5000 hombres de 42

años de edad. Si los estudios actuariales muestran que la probabilidad de que un hombre muera

en cierto año es 0.001, entonces la probabilidad de que la empresa pague exactamente 4

indeminizaciones y= 4 en un cierto año es:

El valor de esta expresión no aparece en tablas y su cálculo era difícil, no así con Excel.

Aproximando con la distribución de Poisson, se toma la tasa media de sucesos = np =

(5000)*(0.001)= 5, teniendo:

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,...1,0!

)(

xx

exfx

pn

pn


Ejemplo 2. Una planta tiene 20 máquinas, si la probabilidad de que falla una en cierto día es

0.05. Encuentre la probabilidad de que durante un día determinado fallen dos máquinas.

np = 20 *0.05 = 1.0

Si se calcula con la distribución Binomial se tiene:

La aproximación es mejor conforme se aproxima a np = 5.

La distribución de Poisson además de ser útil como aproximación de las probabilidades

Binomiales, constituye un buen modelo para experimentos donde Y representa el número de

veces que ha ocurrido un evento en una unidad dada de tiempo o de espacio. Por ejemplo:

Número de llamadas recibidas en un conmutador durante un día, conociendo el promedio por

día.

Número de reclamaciones contra una empresa de seguros por semana, conociendo el prom.

Sem.

Número de llegadas a una estación de servicio durante un minuto dado, conociendo el

prom./min.

Número de ventas hechas por un agente de ventas en un día, conociendo el promedio por día.

Sólo se requiere que los eventos sean independientes.

USO DE EXCEL:x = éxitos en la muestra, np = media.


=Poisson(x, np, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)

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USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Poisson Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)

n*p = mean y en Input constant introducir x.

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EJERCICIOS:

1. El 20% de los choferes son mujeres, si se seleccionan 20 al azar para una encuesta:

Usando la distribución binomial y la distribución de Poisson

a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos choferes sean mujeres ?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres?

2. Se tienen 8 recepcionistas, estan ocupadas en promedio el 30% del tiempo, si 3 clientes

llaman ¿la prob. De que estén ocupadas es mayor al 50%?

3. Un proveedor de partes de bicicleta tiene 3% de defectos. Se compran 150 partes y si la

probabilidad de que 3 o más partes sean defectuosas excede al 50%, no se hace la compra.

¿Qué sucede en este caso?.

4. En una universidad las llamadas entran cada 2 minutos

a) ¿Cuál es la cantidad esperada de llamadas en una hora?

b) ¿Cuál es la probabilidad de 3 llamadas en los sig. 5 minutos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de no llamadas en los sig. 5 minutos?

d) ¿cuál es la prob. de recibir 10 llamadas en los sig. 15 minutos?

5. Un proceso de manufactura produce 1.2 defectos por cada 100 unidades producidas,

¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes 500 unidades presenten X=3 defectos?

6. 40 trabajadores tienen nuevas computadoras, 26 con MMX. Si se seleccionan 10 al azar,

¿Cuál es la prob. De que 3 tengan la tecnología MMX?.

7. De un grupo de 20 productos, se toman 10 al azar,

¿Cuál es la probabilidad de contengan las 5 mejores unidades?

8. De 9 empleados diurnos sólo 6 están calificados para hacer su trabajo, si se seleccionan

aleatoriamente 5 de los 9 empleados, Cuál es la probabilidad de que:

a) Los 5 estén calificados

b) 4 esten calificados

c) Por lo menos 3 estén calificados

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6. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

Se diferencian de las distribuciones de probabilidad discretas en que su función de distribcuón

acumulativa (F(yo)) para una variable aleatoria y es igual a la probabilidad F(yo) = P(y<=y0).

Si F(y) es la función de distribución acumulada para una variable aleatoria continua entonces su

función de densidad f(y) para y es:

f(y) = dF(y) / dy

Sus propiedades son que:

1. f(y) >= 0

2. Integral desde menos infinito a más infinito de f(y) d(y) = F( ) = 1

f(y)

F(yo)

yo y

Función de distribución acumulativa

Entre las distribuciones continuas más comunes se encuentran la distribución normal y la

distribución exponencial.

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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Se usa para modelar artículos con una tasa de falla constante y está relacionada con la

distribución de Poisson. Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el

recíproco de x, y = 1/x sigue una distribución de Poisson y viceversa.

La función de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0

Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la media.

La función de densidad de la distribución exponencial

El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todos los modelos de

distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:

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Si el número de ocurrencias tiene Distribución de Poisson, el lapso entre ocurrencias tiene

distribución exponencial. Su función de distribución acumulada es la siguiente:

Cuando X = 0 la distribución de Poisson se convierte en el segundo término de la distribución

exponencial.

Probabilidad de que el tiempo entre la ocurrencia de dos eventos cualquiera sea <= tF(x)

t

Aquí se desea saber de que no transcurra más de cierto tiempo entre dos llegadas, sabiendo

que se tiene una tasa de llegadas .

Ejemplo: El tiempo de respuesta de un departamento es de 5 minutos promedio y se distribuye

exponencialmente. La probabilidad de que el tiempo de respuesta a lo sumo de 10 minutos se

determina como sigue:

P(X<=10) = F(10; 1/5) = 1- exp(-0.2*10) = 0.865

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h

)(:FALLADETASA

1:VARIANZA

693.02ln:MEDIANA

1:MEDIA

)(:PDF)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

2

t

m

etfetR

etF

t

t

t

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

f(t)

= 0.003, MEDIA = 333

= 0.002, MEDIA = 500

= 0.001, MEDIA = 1,000

h

)(:FALLADETASA

1:VARIANZA

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1:MEDIA

)(:PDF)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

2

t

m

etfetR

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t

t

t

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

f(t)

= 0.003, MEDIA = 333

= 0.002, MEDIA = 500

= 0.001, MEDIA = 1,000


La probabilidad entre el tiempo de respuesta de 5 y 10 minutos es:

P(5<=X<=10) = F(10;1/5) – F(5; 1/5) = 0.233

USO DE EXCEL:Lamda = 1/ media.


=distr.exp(x, lamda,1) = distr.exp(10,0.2,1) = 0.865

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Exponential Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)

Indicar Threshold = 0 y en Scale indicar la media 5

En Input constant indicar la X del tiempo.

Exponential with mean = 5

x P( X <= x )

10 0.864665

La Distribución Exponencial es usada como el modelo, para la parte de vida útil de la curva de la

bañera, i.e., la tasa de falla es constante. Los sistemas complejos con muchos componentes y

múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que tiendan a la distribución exponencial

Desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para predicción.

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Las fallas ocurren en los sistemas con una distribución denominada Curva de la Bañera:

Fallas diseño Senectud

Fallas infantiles Fallas aleatorias Fallas por desgaste

La zona de tasa de fallas constantes, es modelada con La Distribución exponencial, muy

aplicada a la Confiabilidad, que es la probabilidad de que un equipo o componente sobreviva sin

falla hasta un periodo t bajo condiciones normales de operación:

R(t) = Confiabilidad de un sistema o componente

Donde es la tasa media de falla y su inverso es el tiempo medio entre fallas (MTBF), o sea:

Ejemplo: El MTBF de un foco es de 10 semanas, por tanto = 0.1 fallas/semana y la

probabilidad de que el foco no falle o continúe en operación hasta las 15 semanas es:

y la probabilidad de que falle dentro de las 15 semanas es:

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EJERCICIOS:1. Sea X el tiempo entre dos solicitudes de servicio sucesivas a un departamento, si X tiene una

distribución exponencial con media = 10, calcular:

a) El tiempo esperado entre dos solicitudes sucesivas.

b) La desviación estándar de esas llegadas

c) P(X<=15)

d) P(8<=X<=14)

2. Las falla de los ventiladores de un equipo tiene un tiempo promedio de 25,000 Horas, ¿cuál es

la probabilidad de que

a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20,000 horas?

b) A lo sumo 30,000 horas?

c) Entre 20,000 y 30,000 horas?

3. Un fabricante de equipos electrónicos ofrece un año de garantía. Si el equipo falla en ese

periodo por cualquier razón se reemplaza. El tiempo hasta una falla está modelado por la

distribución exponencial:

f(x) = 0.125 exp(-0.125*x)

a) ¿Qué porcentaje de los equipos fallarán dentro del periodo de garantía?

b) El costo de fabricación del equipo es de $500 y la ganancia es de $250 ¿Cuál es el efecto de

la garantía por reemplazo sobre la ganancia?

4. El tiempo entre fallas de un componente de equipo es importante para proveer de equipos de

respaldo. Un generador eléctrico tiene una vida promedio de 10 días.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle dentro de los siguientes 14 días?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que opere por más de 20 días?

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PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES · Web viewde probabilidad Elaboró: Héctor Hernández Primitivo Reyes Aguilar Enero 2009 Mail: [email protected] Tel. 58 83 41 67 / Cel. 044