Probabilidade e Estat´ıstica - UTFPR

AULA 15 - TESTE DE HIPOTESE

Probabilidade e Estatıstica

Prof. Josuel Kruppa Rogenski

2o/2017

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INTRODUCAO AO TESTE DE HIPOTESE

Um teste de hipotese e um processo que usa estatısticas paratestar uma afirmacao sobre o valor de um parametropopulacional.

Se um dado fabricante de veıculos afirma que seu novo carrotem uma media de consumo de 20 km por litro. Como atestar sea afirmacao e ou nao plausıvel?

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No processo, assume-se que a afirmacao em questao estacorreta.

Analisa-se criticamente a probabilidade associada a afirmacao.

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Uma afirmacao sobre um parametro populacional edenominada de hipotese estatıstica.No processo de se testar uma afirmacao sobre um parametro,deve-se especificar um par de hipoteses.

Quando uma dessas hipoteses e falsa, a outra deve serverdadeira.O par e compreendido por uma hipotese nula H0 e hipotesealternativa Ha.

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Uma hipotese nula e uma hipotese estatıstica que contem umaafirmacao de igualdade.

A hipotese alternativa e o complemento da hipotese nula. Euma afirmacao que e aceita como verdadeira se H0 for falsa econtem uma declaracao de desigualdade estrita.

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Para construir as hipoteses nula e alternativa, escreva aafirmacao feita sobre o parametro populacional por meio deuma sentenca matematica.

Exemplos de afirmacoes em relacao a k e o parametropopulacional µ:{

H0 : µ ≤ kHa : µ > k{H0 : µ ≥ kHa : µ < k{H0 : µ = kHa : µ 6= k

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Exemplo 1: Estabeleca hipoteses nula e alternativa e identifiquequal representa a afirmacao em questao.1. Uma escola divulga que a proporcao de seus estudantes queestao envolvidos em pelo menos uma atividade extracurriculare de 61%.

2. Uma concessionaria de automoveis anuncia que o tempomedio para troca de oleo e menor que 15 minutos.

3. Uma companhia anuncia que a vida util media de seusfornos e superior a 18 anos.

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SEMPRE assume-se que a condicao de igualdade na hipotesenula e verdadeira. Baseado nesse fato, voce toma uma dessasdecisoes:1. Rejeita a hipotese nula. 2. Nao rejeita a hipotese nula.Como as decisoes estao baseadas em dados amostrais, vocedeve aceitar que sua decisao pode estar incorreta.

Erros podem acontecer...Voce pode rejeitar a hipotese nula quando ela e, de fato,verdadeira. Voce pode nao rejeitar a hipotese nula, quando elae na realidade, falsa.

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Erro do tipo I: se a hipotese nula e rejeitada quando narealidade e verdadeira.

Erro do tipo II: se a hipotese nula nao e rejeitada quando narealidade e falsa.

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Compara-se ao sistema judiciario:Uma acusacao cuidadosamente formulada e redigida.O acusado e tido como inocente (H0) ate que se prove ocontrario. O onus da prova fica com a acusacao. Se a evidencianao for forte o suficiente, nao ha condenacao.Um veredito nao culpado nao prova que o acusado sejarealmente inocente. O sistema assume que ha mais danos ao secondenar um inocente (erro do tipo I) do que nao condenar umculpado (erro do tipo II).

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IDENTIFICANDO ERROS TIPO I E TIPO II

O limite aceito pelo departamento de agricultura de um paıspara contaminacao por salmonela e de 20%. Um inspetor dequalidade informa que o frango produzido por uma empresaexcede os limites estabelecidos. Voce realiza um teste dehipotese para determinar se a afirmacao do inspetor dequalidade e verdadeira. Quando ocorrera um erro do tipo I edo tipo II? Qual erro e mais grave?

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IDENTIFICANDO ERROS TIPO I E TIPO II

Nıvel de significancia: e a probabilidade maxima permitida decometer um erro do tipo I. Simbolizada pela letra α. Aprobabilidade de um erro tipo II e simbolizada por β.Probabilidade de se rejeitar a afirmacao quando a mesma everdadeira.

O nıvel de significancia α define regioes de aceitacao e rejeicao.

Tres nıveis de significancia usuais sao α = 0, 10, α = 0, 05 eα = 0, 01.

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TESTES ESTATISTICOS E VALORES P

Apos a construcao das hipoteses e da especificacao do nıvel designificancia, o proximo passo e obter uma amostra aleatoria dapopulacao e calcular as estatısticas amostrais de interesse.

A estatıstica amostral de interesse e denominada estatıstica deteste. Sob a hipotese de que a hipotese nula e verdadeira, ovalor especificado da estatıstica de teste e transformada emuma estatıstica de teste padronizada tal como z, t ou χ2.

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Supondo que a hipotese nula seja satisfeita, entao um valor pde um teste de hipotese e a probabilidade da estatısticaamostral assumir um valor tao extremo ou maior que aqueledeterminado em funcao dos dados da amostra.

Busca-se p que e a probabilidade do valor calculado estar”longe” o suficiente da media da distribuicao.

Quando o valor de p for menor ou igual que o nıvel designificancia, rejeita-se H0.

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O valor p de um teste de hipotese depende da natureza doteste. Ha tres tipos de teste de hipotese: teste unilateral aesquerda, unilateral a direita e bilateral.

O tipo de teste depende da localizacao da regiao dadistribuicao amostral que favorece a rejeicao de H0.

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Se a hipotese alternativa Ha contem o sımbolo ”menor que”,entao o teste e um teste unilateral a esquerda.

Se a hipotese alternativa Ha contem o sımbolo ”maior que”,entao o teste e um teste unilateral a direita.

Se a hipotese alternativa contem o sımbolo ”diferente de”,entao o teste e bilateral.

Quanto menor o valor de p do teste, mais evidencia ha prarejeitar-se a hipotese nula. Um valor de p proximo a zeroimplica um evento incomum.

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IDENTIFICANDO A NATUREZA DE UM TESTE DE

HIPOTESE

Expresse H0 e Ha. Determine se o teste de hipotese e unilaterala esquerda, unilateral a direita ou bilateral. Esboce umadistribuicao normal e sombreie a area para o valor de p.

1. Uma escola divulga que a proporcao de seus estudantesenvolvidos em pelo menos uma atividade extracurricular e de61%.

2. Uma concessionaria de automoveis anuncia que o tempomedio para uma troca de oleo e menor que 15 minutos.

3. Uma companhia anuncia que a vida util media de seusfornos e superior a 18 anos.

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IDENTIFICANDO A NATUREZA DE UM TESTE DE

HIPOTESE

Para concluir o teste de hipotese, voce toma uma decisao e ainterpreta. Para qualquer teste de hipotese, ha dois resultadospossıveis: (1) rejeitar a hipotese nula; (2) nao rejeitar a hipotesenula.

Para usar um valor p para tomar uma decisao em um teste dehipotese, compare o valor de p com α.

Se p ≤ α, entao rejeite H0;

Se p > α, nao rejeite H0.

Nao rejeitar a hipotese nula nao significa que voce a tenhaaceitado como verdadeira. Apenas que nao ha evidenciassuficientes para rejeitar a hipotese nula.

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PASSOS PARA O TESTE DE HIPOTESE

1. Expresse a afirmacao verbal matematicamente. Identifiqueas hipoteses nula e alternativa.

2. Especifique o nıvel de significancia α.3. Estabeleca a distribuicao amostral padronizada e esboce

seu grafico.4. Calcule a estatıstica de teste e sua correspondente

estatıstica de teste padronizada. Acrescente isso no seuesboco.

5. Encontre o valor p.6. Use a regra de decisao: O valor de p e menor ou igual ao

nıvel de significancia? Se sim, rejeite H0.

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Se voce deseja sustentar uma dada afirmacao, expresse-a deforma a ser a hipotese alternativa.

Se voce deseja justificar a rejeicao de uma dada afirmacao,expresse-a de forma a ser a hipotese nula.

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Uma equipe de pesquisa medica esta investigando osbenefıcios de um novo tratamento cirurgico. Uma dasafirmacoes e que o tempo medio de recuperacao para ospacientes apos o novo tratamento e menor que 96 horas.1. Como voce escreveria as hipoteses nula e alternativa quandovoce esta na equipe de pesquisa e quer apoiar a afirmacao? 2.Como voce escreveria as hipoteses nula e alternativa quandovoce esta na equipe oposta e quer rejeitar a afirmacao?

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EXERCICIOS

Declarando hipoteses:Um fabricante de laptops afirma que a vida media da bateriapara um certo modelo de laptop e de mais de 6 horas.

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EXERCICIOS

Identificando erros:Uma loja de moveis afirma que pelo menos 60% de seus novosclientes retornarao para comprar mais moveis.

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EXERCICIOS

Identificando testes:Um especialista em seguranca afirma que pelo menos 14% detodos os proprietarios de residencias tem alarme de seguranca.

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EXERCICIOS

Identificando testes:Um especialista em seguranca afirma que pelo menos 14% detodos os proprietarios de residencias tem alarme de seguranca.

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EXERCICIOS

Interpretando testes:A afirmacao e uma hipotese nula ou alternativa? Como voceinterpretaria a decisao de rejeicao ou nao rejeicao da hipotesenula?Um cientista afirma que o perıodo medio de incubacao paraovos de cisnes e menor que 40 dias.

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TESTE DE HIPOTESE PARA A MEDIA - σ CONHECIDO

Apos a determinacao da estatıstica de teste e suacorrespondente padronizada (z), o valor p e

(a) para um teste unilateral a esquerda, p e a area da caudaesquerda.(b) para um teste unilateral a direita, p e a area da cauda direita.(c) para um teste bilateral, p e a soma das areas da caudasesquerda e direita.

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EXERCICIO 1

Encontre o valor p em um teste de hipotese unilateral aesquerda com uma estatıstica de teste padronizada z = −2, 23.Decida se rejeita H0 quando o nıvel de significancia e α = 0, 01.

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EXERCICIO 2

Obtenha o valor p para um teste de hipotese bilateral com umaestatıstica padronizada z = 2, 14. Decida se rejeita H0 quando onıvel de significancia e α = 0, 05.

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TESTE DE HIPOTESE PARA A MEDIA - σ CONHECIDO

Quando σ e conhecido, pode-se utilizar o teste z para a media.A estatıstica de teste padronizada e

z =x− µσ/√

n

se (a) a amostra e aleatoria; (b) pelo menos um dos seguintes esatisfeito: a populacao e normalmente distribuıda ou n ≥ 30.

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PROCEDIMENTO

1. Verifique se σ e conhecido, se a amostra e aleatoria, e se apopulacao e normalmente distribuıda ou n ≥ 30.

2. Expresse a afirmacao verbal matematicamente. Identifiqueas hipoteses nula e alternativa.

3. Especifique o nıvel de significancia.4. Calcule a estatıstica de teste padronizada z = x−µ

σ/√

n .

5. Encontre a area que corresponde a z.6. Encontre o valor de p.7. Tome uma decisao para rejeitar ou nao rejeitar a hipotese

nula.8. Interpreta a decisao no contexto da afirmacao original.

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EXERCICIO 3

Uma equipe afirma que seu tempo medio no pit stop e menorque 13 segundos. Uma amostra aleatoria de 32 tempos temmedia amostral de 12,9 segundos. Suponha que o desviopadrao populacional e de 0,19 segundos. Ha evidenciasuficiente para concordar com a afirmacao para α = 0, 01?

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EXERCICIO 4

De acordo com um estudo, o custo medio de uma cirurgiabariatrica e de $21.500. Voce acha que essa informacao eincorreta. Voce seleciona aleatoriamente 25 pacientes querealizaram a cirurgia e descobre que o custo medio de suascirurgias e de $20.695. De estudos anteriores, o desvio padraopopulacional e conhecido, $2.250, e a populacao e normalmentedistribuıda. Ha evidencia suficiente para concordar com suaafirmacao para α = 0, 05?

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REGIOES DE REJEICAO E VALORES CRITICOS

Outro metodo para decidir sobre a rejeicao a hipotese nula everificar se a estatıstica de teste padronizada pertence a umintervalo denominado de regiao de rejeicao da distribuicaoamostral.

Uma regiao de rejeicao/regiao crıtica da distribuicao amostral eum intervalo de valores para o qual a hipotese nula nao eprovavel. Se uma estatıstica de teste cai nessa regiao, entao ahipotese nula e rejeitada. Um valor crıtico z0 separa a regiao derejeicao da regiao de nao rejeicao.

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1. Especifique o nıvel de significancia α2. Determine se o teste e unilateral a esquerda, unilateral a

direita ou bilateral.3. Calcule o(s) valor(es) crıtico(s) z0. Quando o teste de

hipotese e:(a) unilateral a esquerda, encontre o escore-zcorrespondente a uma area de α.(b) unilateral a direita, encontre o escore-z correspondentea uma area de 1− α(c) bilateral, encontre um escore-z que corresponde a 1

2α e1− 1

2α.4. Esboce a distribuicao normal padrao. Destaque as regioes

de rejeicao.

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EXERCICIO 5

Calcule o valor crıtico e encontre a regiao de rejeicao para umteste unilateral a esqueda para α = 0, 01.Calcule os valores crıticos e encontre as regioes de rejeicao paraum teste bilateral para α = 0, 05.

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Regra de decisao baseada na regiao de rejeicao:

(a) Se a estatıstica de teste padronizada esta na regiao derejeicao, entao rejeite H0.(b) Se a estatıstica de teste padronizada nao esta na regiao derejeicao, entao nao rejeite H0.

OBS: Nao rejeitar a hipotese nula nao significa que voce aceitoua hipotese como verdadeira. Na verdade, nao ha evidenciasuficiente para rejeita-la.

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INSTRUCOES AO TESTE DE HIPOTESE

1. Verifique se σ e conhecido, se a amostra e aleatoria, e se apopulacao e normalmente distribuıda ou n ≥ 30.

2. Expresse a afirmacao verbal e matematicamente.Identifique as hipoteses nula e alternativa.

3. Especifique o nıvel de significancia α.4. Determine os valores crıticos.5. Determine as regioes de rejeicao.6. Encontre a estatıstica de teste padronizada z = x−µ

σ/√

n .

7. Tome uma decisao para rejeitar ou nao rejeitar a hipotesenula.

8. Interprete a decisao no contexto da afirmacao original.

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EXERCICIO 6

Funcionarios de uma companhia afirmam que o salario mediodos engenheiros e menor que o de um de seus concorrentes,que e de 68.000. Uma amostra de 20 engenheiros mecanicostem um salario medio de 66.900. Assumindo que desviopadrao da populacao e de 5.500 e a mesma e normalmentedistribuıda, teste a afirmacao dos funcionarios para α = 0, 05.

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EXERCICIO 7

Um pesquisador afirma que o custo medio anual para criar umfilho (de dois anos ou menos), e de R$13.960. Em uma amostraaleatoria de famılias no paıs, o custo medio anual para criar umfilho e de R$13.725. A amostra consiste em 500 criancas.Suponha que o desvio padrao populacional e de R$2.345. Paraα = 0, 10, ha evidencia suficiente para rejeitar a afirmacao?

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EXERCICIO 8

O presidente de uma companhia afirma que o dia trabalhomedio de engenheiros e menor que 8, 5 horas. Uma amostraaleatoria de 25 engenheiros da companhia tem um dia detrabalho medio de 8,2 horas. Suponha que o desvio padraopopulacional e de 0,5 hora e a populacao e normalmentedistribuıda. Teste a afirmacao para α = 0, 01.

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TESTE DE HIPOTESE PARA A MEDIA - σDESCONHECIDO

Ha uma serie de situacoes em que o desvio padraopopulacional nao e conhecido.Nessas situacoes, assumindo que

I a populacao e normalmente distribuıda ouI n ≥ 30

Emprega-se a distribuicao t com n− 1 graus de liberdade.

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INSTRUCOES

1. Calculando valores crıticos em uma distribuicao t.2. Especifique o nıvel de significancia α3. Identifique os graus de liberdade n− 14. Calcule o(s) valor(es) crıtico(s) utilizando a tabela na linha

referente a n-1 graus de liberdade.a. unilateral a esquerda, use a coluna unilateral com umsinal negativo.b. unilateral a direita, use a coluna unilateral com um sinalpositivo.c. bilateral, use a coluna bilateral com um sinal negativo eoutro positivo.

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ENCONTRANDO VALORES CRITICOS PARA TESTES DE

HIPOTESE

Encontre o valor crıtico t0 para um teste unilateral a esquerdapara α = 0, 05 e n = 21.Encontre o valor crıtico t0 para um teste unilateral a esquerdapara α = 0, 01 e n = 14.

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HIPOTESE

Encontre o valor crıtico t0 para um teste unilateral a direita paraα = 0, 01 e n = 17.Encontre o valor crıtico t0 para um teste unilateral a direita paraα = 0, 1 e n = 9.

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HIPOTESE

Encontre os valores crıticos ±t0 para um teste bilateral paraα = 0, 1 e n = 26.Encontre o valor crıtico t0 para um teste bilateral para α = 0, 05e n = 16.

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TESTE t PARA A MEDIA

O teste t para a media com σ desconhecido e dado pelaestatıstica padronizada

t =x− µs/√

n

quando a amostra for aleatoria e a populacao e normalmentedistribuida ou n ≥ 30.

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TESTE t PARA A MEDIA

I Verifique se σ nao e conhecido, se a amostra e aleatoria e sea populacao e normal ou n ≥ 30;

I Expresse as hipoteses nula e alternativa;I Especifique o nıvel de significancia;I Identifique os graus de liberdade;I Determine os valores crıticos;I Determine as regioes de rejeicao;I Calcule a estatıstica de teste padronizada;I Tome a decisao para rejeitar ou nao rejeitar a hipotese nula;I Interprete a decisao.

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EXERCICIOS

Um vendedor de carros usados diz que o preco medio do sedande dois anos e de pelo menos 20500. E preciso atestar aafirmacao. Uma amostra aleatoria contendo 14 carros similarestem preco medio de 19850 e desvio padrao 1084. Ha evidenciasuficiente para rejeitar a afirmacao do vendedor com um nıvelde significancia de α = 0, 05? Suponha que a populacao enormalmente distribuıda.

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EXERCICIOS

Uma industria afirma que o nıvel medio de pH da agua em umrio proximo e de 6,8. Voce seleciona aleatoriamente 39 amostrasde agua e mede o pH de cada uma. A media amostral e odesvio padrao sao de 6,7 e 0,35, respectivamente. Ha evidenciasuficiente para rejeitar a afirmacao da industria considerandonıvel de significancia de α = 0.05?

50


EXERCICIOS

A mesma industria afirma que a condutividade media do rio ede 1890mg/l. A condutividade de uma amostra de agua e umamedida total de solidos dissolvidos na amostra. Voce selecionaaleatoriamente 39 amostras de agua e mede a condutividade decada uma. A media e o desvio padrao amostral sao de 2.350mg/l e 900 mg/l, respectivamente. Ha evidencia suficientepara rejeitar a afirmacao da industria considerando um nıvel designificancia de α = 0, 01?

51


TESTE DE HIPOTESE PARA PROPORCAO

Se np ≥ 5 e nq ≥ 5 para uma distribuicao binomial, entao umadistribuicao amostral para p e aproximadamente normal comuma mediaµp = pσp =

√pq/n

O teste z para uma proporcao p e dado por

z =p− p√

pq/n

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TESTE DE HIPOTESE PARA PROPORCAO

I Verifique se a distribuicao amostral de p pode seraproximada por uma distribuicao normal

I Identifique as hipoteses nula e alternativa.I Especifique o nıvel de significanciaI Determine os valores crıticosI Determine as regioes de rejeicaoI Calcule a estatıstica de teste padronizada e esboce a

distribuicao de amostragemI Tome uma decisao para rejeitar ou nao rejeitar a hipotese

nulaI Interprete a decisao no contexto da afirmacao.

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EXERCICIOS

Um pesquisador afirma que menos de 40% dos proprietarios detelefone celular nos Estados Unidos usam seus aparelhos pararealizar transacoes bancarias. Em uma amostra aleatoria de 100adultos, 31% dizem que usam seus aparelhos para a maioria desuas navegacoes on-line. Considerando o nıvel de significanciaα = 0, 01, ha evidencia suficiente para concordar com aafirmacao do pesquisador?

54


EXERCICIOS

Um pesquisador afirma que mais de 30% dos proprietarios desmartphones nos Estados Unidos usam seus aparelhosenquanto assistem televisao. Em uma amostra aleatoria de 150adultos, 38% dizem que usam seus aparelhos enquantoassistem televisao. Para um nıvel de significancia de α = 0, 05,ha evidencia suficiente para concordar com a afirmacao dopesquisador?

55


TESTE DE HIPOTESE PARA VARIANCIA E DESVIO

PADRAOEm determinadas situacoes, faz-se importante atestar sobre aconfiabilidade/previsibilidade de resultados. Isso se traduz,por exemplo, em se ter um determinado controle na variacaode peso e dimensoes ao se produzir um dado componente.

I Especifique o nıvel de significancia αI Determine os graus de liberdade g.l. = n− 1I Os valores crıticos para a distribuicao qui-quadrado sao

encontrados. Para encontrar o(s) valor(es) crıtico(s) paraum:(a) teste unilateral a direita, use o valor que corresponde ag.l. e α(b) teste unilateral a esquerda, use o valor corresponde ag.l. e 1− α(c) teste bilateral, use os valores que correspondem a g.l. e12α e g.l. e 1− 1

2α 56


EXERCICIOS

Encontre o valor crıtico χ20 para um teste unilateral a direita

quando n = 26 e α = 0, 10Encontre o valor crıtico χ2

0 para um teste unilateral a esquerdaquando n = 11 e α = 0, 01.Encontre o valor crıtico χ2

L e χ2R para um teste bilateral quando

n = 9 e α = 0, 05.

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O TESTE QUI-QUADRADO

E essencial que a populacao seja normalmente distribuıda. Oteste qui-quadrado para uma variancia ou desvio padrao edado por

χ2 =(n− 1)s2

σ2

sendo uma distribuicao qui-quadrado com graus de liberdadeg.l. = n− 1.

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O TESTE QUI-QUADRADO

I Verifique se a amostra e aleatoria e se a populacao enormalmente distribuıda.

I Identifique as hipoteses nula e alternativa.I Especifique o nıvel de significancia.I Identifique os graus de liberdade.I Determine os valores crıticos.I Determine as regioes de rejeicao.I Calcule a estatıstica de teste padronizada e esboce a

distribuicao de amostragem.I Tome uma decisao para rejeitar ou nao rejeitar a hipotese

nulaI Interprete a decisao no contexto da afirmacao original.

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EXERCICIOS

Uma empresa de processamento de laticınios afirma que avariancia da quantidade de gordura no leite integralprocessado por ela e nao mais que 0,25. Ha necessidade de setestar a afirmacao. Uma amostra aleatoria de 41 recipientes deleite tem uma variancia de 0,27. Para um nıvel de significanciaα = 0, 05, ha evidencia suficiente para rejeitar a afirmacao daempresa? Suponha que a populacao e normalmentedistribuıda.

60


EXERCICIOS

Uma companhia engarrafadora afirma que a variancia daquantidade de bebidas esportivas em uma garrafa de 12 oncase nao mais que 0,4. Uma amostra aleatoria de 31 garrafas temuma variancia de 0,75. Para o nıvel de significancia α = 0, 01,ha evidencia suficiente para rejeitar a afirmacao da companhia?Suponha que a populacao e normalmente distribuıda.

61


EXERCICIOS

Um centro de pesquisa afirma que 30% dos adultos naocompraram certa marca porque acharam as propagandasdesagradaveis. Voce resolve testar a afirmacao e pergunta auma amostra de 250 adultos se eles nao compraram certa marcapelo motivo apresentado. Dos entrevistados, 90 responderamque sim. Para um nıvel de significancia α = 0, 1, ha evidenciapara rejeitar a afirmacao?

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EXERCICIOS

Uma empresa afirma que o desvio padrao do tempo deduracao de uma ligacao recebida para ser transferida para aarea correta e menor que 1,4 minuto. Uma amostra aleatoria de25 ligacoes recebidas tem um desvio padrao de 1,1 minuto.Para um nıvel de significancia de α = 0, 10, ha evidenciasuficiente para concordar com a afirmacao da empresa?Suponha que a populacao e normalmente distribuıda.

63


EXERCICIOS

Um chefe de polıcia afirma que o desvio padrao dos tempos deresposta e menor que 3,7 minutos. Uma amostra aleatoria de 9tempos de resposta tem um desvio padrao de 3,0 minutos. Parao nıvel de significancia de α = 0, 05, ha evidencia suficientepara concordar com a afirmacao do chefe de polıcia? Suponhaque a populacao e normalmente distribuıda.

64


EXERCICIOS

Um pesquisador afirma que 86% dos graduados nos EstadosUnidos dizem que seu grau universitario foi um bominvestimento. Em uma amostra aleatoria de 1.000 graduados,845 dizem que seu grau universitario foi um bom investimento.Para um nıvel de significancia de α = 0, 1, ha evidenciasuficiente para rejeitar a afirmacao do pesquisador?

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EXERCICIOS

Um ambientalista estima que a quantidade media de lixoreclicado por adulto e mais de 1 kg por pessoa, por dia. Vocedescobre que a media de lixo reciclado por pessoa ao dia parauma amostra aleatoria de 13 adultos e de 1,51kg com desviopadrao de 0,28 kg. Considerando α = 0, 10, voce apoia essaafirmacao?

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EXERCICIOS

Um fabricante de lampadas garante que a vida util media decerto tipo de lampada e de pelo menos 750 horas. Uma amostraaleatoria de 25 lampadas apresentou vida util media de 745horas. Suponha que a populacao e normalmente distribuıda eque o desvio padrao populacional e de 60 horas. Para um nıvelse significancia α = 0, 02, ha evidencia para rejeitar aafirmacao?

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EXERCICIOS

Um fabricante de artigos esportivos afirma que a variancia daforca de uma certa linha de pesca e de 15,9. Uma amostraaleatoria de 15 rolos de linha tem uma variancia de 21,8. Para onıvel de significancia α = 0, 05, ha evidencia suficiente pararejeitar a afirmacao do fabricante? Suponha que a populacao enormalmente distribuıda.

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EXERCICIOS

Uma empresa que oferece produtos dieteticos e servicos deperda de peso afirma que a variancia das perdas de peso se seususuarios e de 25,5. Uma amostra aleatoria de 13 usuarios temuma variancia de 10,8. Para o nıvel de siginificancia α = 0, 10,ha evidencia suficiente para rejeitar a afirmacao da empresa?Suponha que a populacao e normalmente distribuıda.

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