PROBABILIDADES

El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación:

¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería?¿ Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico ?¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no.¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial ?,

Vamos a introducirnos un poco en este par de esquemas

POBLACIONMUESTRA

DEDUCTIVO

INDUCTIVO

POBLACIONMUESTRA

OCURRENCIA

EVENTO SITUACION, SUCESO

DESTINO (VOLUNTAD DIVINA)

AZAR

MANIPUTACIONCIRCUNSTANCIAS

INCERTIDUMBRE

búsqueda

DEFINICION DE CONCEPTOS BÁSICOS

Para iniciar nuestro estudio e este nuevo campo es necesario conocer

algunas definiciones básicas.

Experimento: Es cualquier proceso o actividad que genere resultados (eventos) bien definidos.

Resultado: Es lo que resulta de un experimento.

Experimento Aleatorio: Es un proceso de observación, donde el resultado exacto no se conoce, prevaleciendo por tanto cierto margen de duda.

repetir indefinidamente

no se puede predecir R

pertenece a un conjunto conocido

Aleatorio No aleatorio

Sea el experimento: “Resultado a la aceptación de un proyecto arquitectónico ”.

El espacio muestral es: Ω =Aprobado, Desaprobado

El espacio muestral es:Ω = primero, segundo , tercero.

Sea el experimento: “resultado de los 3 primeros puestos un concurso de proyectos arquitectonicos ”.

Evento A= primero .Evento B = segundo.Evento C = tercero.

Suceso o Evento ():

Espacio Muestral. (Ω):

Probabilidad (p)

Valor numérico entre 0 y 1 que describe la posibilidad (certeza) de que se dará determinado resultado, o lo que es lo mismo que sucederá determinado evento.

La probabilidad de escoger un material con que se va a construir un edificio(ladrillo, adobe, sillar, quincha) :

PROBABILIDAD(P)

1 MATERIAL

4 MATERIALES

Resultado a la aceptación de un proyecto arquitectónico ”

ACEPTADO

NO ACEPTADO

Probabilidad (p)

4 PERSONAS SE PRESENTAN CONSECUTIVAMENTE PARA QUE LE REVISEN SU PROYECTO ARQUITECTONICO .

A = APROBAR B = NO APRUEBA

A

B

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

B

A

AAAA

AAAB

AABA

AABB

(4)

(3)

(2)(1)

(1)

(1)(0)

0.54=0.625

Número de personas

A

B

A

BA

B

A

BA

B

A

BA

B

A

B

ABAAABAB

ABBAABBB

BAAA

BAAB

BABABABB

BBAB

BBAA

BBBA

BBBB

(2)

(3)

(3)

(2)(2)

(1)(3)(2)

(2)

ENFOQUES DE LA

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD OBJETIVA

PROBABILIDAD CLÁSICA

PROBABILIDAD EMPÍRICA

PROBABILIDAD SUBJETIVA

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:

EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS:

PROBABILIDAD EMPÍRICA

La constructora ha realizado 86 proyectos de los 100 presentados antes sus clientes en este año .¿ cual es la probabilidad de que realice el igual numero de proyectos el siguiente año ?

P(G)86

1000.86

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS

MATERIALES

TIPOS DE MATERIALES PARA CONSTRUCCION DE UNA EDIFICACION SEA RUSTICA O MATERIAL NOBLE

Ω = 1.ADOBE, 2.LADRILLO, 3.QUINCHA, 4. CONCRETO. 5.TAPIAL , 6. ACERO

Evento A Evento B Evento A Evento B

M. NOBLE

M. RUSTICA

ALGUNAS REGLAS DE PROBABILIDAD

REGLA DEL COMPLEMENTO: (Es lo que le falta al evento para ser igual al Ω) Se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del número 1 la probabilidad de que el evento no ocurra. Se denota como: ~A, Ac , etcSean A, B y C eventos mutuamente excluyentes

EJEMPLO 3• La probabilidad de encontrar

viviendas en reque de diferentes niveles

5-12

LLEGADA Frecuencia

1 piso 100

2 piso 75

3 piso 800

4 piso 25

Total 1000

Sea el evento que un vuelo: A :1 piso B: 2 piso C: 3 piso D: 4 piso

P(A) = 100 /1000 = 0.1. P(B) = 75 /1000 = 0.075. P(C) = 800 /1000 = 0.8. P(D) = 25 /1000 = 0.025.

• P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [0.8 + 0.025] = 0.175

C = 0.8

D=0.025

5-17

A=0.1 B=0.075

(C o D)C = (A o B)= 0.175

REGLA DE ADICION Sean A, B y C eventos mutuamente excluyentes:

P(AoB) = P(AB) = P(A) + P(B)P(AoBoC) = P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)

Si A, B y C no son eventos mutuamente excluyentes:P(AoB) = P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB).

P(AoBoC) = P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) –P(BC) + P(ABC).

PROBABILIDAD CONJUNTA: Es la probabilidad que expresa la posibilidad de que dos o más eventos ocurran en forma simultánea.

Sean A y B dos eventos P(A y B) = P(AB).

La probabilidad de encontrar casas de uno y dos pisos esP(A o B) = P(A U B) = P(A) + P(B) = 0.1+0.075 = 0.175

De 500 habitantes , 300 aseveraron tener viviendas de 1 patio , 280 dijeron tener viviendas con corral . y al preguntarles quienes tenían ambos 180 respodieron que tenian patio y corral

Si un habitante es seleccionado aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga casa con patio , tenga con corral., y ambos tanto 1 como 2?

patio corralambos

300 280180

P(p) = 300 /500 = 0.6P(c) = 280 /500 = 0.56P(p y c) = 180 /500 = 0.36P(p o c) = P(p) + P(c) - P(p y c)

= 0.6 + 0.56 - 0.36 = 0.8

REGLA DE MULTIPLICACION Sean A, B y C eventos independientes. La ocurrencia de uno de ellos no influirá en la probabilidad del otro.P(A y B) = P(AB) = P(A) x P(B)P(AyByC) = P(ABC) = P(A) x P(B) x P(C)

REGLA GENERAL DE MULTIPLICACIONSe utiliza para determinar la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos. En general, la regla indica que para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se evalúa al multiplicar la Probabilidad de que el evento A ocurra, por la Probabilidad Condicional de que suceda el evento B.Es decir:P(A y B) = P(AB) = P(A) x P(B/A)

donde P(B/A): se lee como la Prob. deque ocurra el evento B,dado que el evento A yaocurrió.

TEOREMA 1. Si es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra debe ser cero.

p()=0

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

TEOREMA 3. Si un evento A B, entonces la p(A) p(B).

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) – p(AB).

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;

Donde: p(AE) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrióp(AE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempop(E) = probabilidad de que ocurra E.

)E(p

)EA(p)E|A(p