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확 률
Probability
확률실험
(확률)실험(random experiment)
process of obtaining an observation
조사(uncontrollable)
실험(controllable)
결과(outcome)
result of an experiment
사건(event)
확률실험을 통하여 얻은 결과(outcome)의 집합
단순 사건(simple event)
실험을 통하여 얻을 수 있는 가장 기본적인 결과
더 이상 분해가 안됨
복합사건(compound event)
단순사건으로 분해 가능한 사건
표본공간(sample space)
발생할 수 있는 모든 결과의 집합
결과들은 상호배반(mutually exclusive)이어야 함
사건 : 표본공간의 부분집합
S
A
E1
E3
E2
En
실험과 사건(예)
표본공간
실험 : 동전 2회 던지기
S = {HH, HT, TH, TT}
{HT, TH} 사건 : Head 1회
{HT, HH} 사건 : 첫번째가 Head
{HH, HT, TH} 사건 : 적어도 1개의 Head
{HH} 사건 : 둘 다 Head
확률이란 ?
사건이 발생할 가능성(likelihood)에 대한 수치적 측도(measure)
P(Event)
P(A)
0 P(A) 1
Σ P(event)=1
1
0
Certain
Impossible
0.5
Prior knowledge of process
Before experiment
P(Event) = X / T
X = 사건에 포함된 단순사건의 수
T = 표본공간내의 단순사건의 수
Each of T outcomes is equally likely(동등발생정의)
선험적 방법
경험적 방법
Actual data collected
After experiment
P(Event) = X / T
X = 사건의 발생 회수
T = 총실험 회수
상대도수(relative frequency) 정의
주관적 방법
Individual knowledge of situation
Before experiment
Unique process
Not repeatable
Different probabilities from different people
확률 계산
각 단순사건의 발생 가능성이 동등하다면,
P(A) = X / T
X = 사건 A에 속하는 단순사건의 수
T = 표본공간내의 단순사건의 수
combinatorial analysis 경우의 수
경우의 수
덧셈의 법칙
n(A or B)=n(A)+n(B)-n(A and B)
주사위 던질 때 홀수 혹은 2이하인 경우의 수
곱셈의 법칙(mn rule)
주사위 두개 던지는 실험에서 모든 경우의 수?
자동차의 설계에서 엔진(1500cc, 1800cc), 변속기(자동,수동), 색(흑,백,녹)이면 총 차종의 수?
경우의 수
service call을 받은 5명의 고객 중에서 오전에 서비스가 가능한 3명의 서비스 순서
45명의 학생 중에서 3명 뽑아 첫번째 학생은 UBC, 두번째 학생은 UC-Davis, 세번째 학생은 UC-Fresno 교환학생으로 선정하는 경우, 모든 경우의 수?
18명의 야구 선수 중에서 출장선수를 선정하는 경우의 수?
18명의 야구 선수 중에서 타순을 정하는 경우의 수?
조합(combination)
n개의 대상 중에서 r개를 뽑는 경우의 수
n개의 대상을 n1, n2, …, nk 씩 k 그룹으로 나누는 경우의 수
!!!
!
21 knnn
n
)!(!
!
rnr
n
r
n
경우의 수
8팀이
round robin 토너먼트로 경기를 할 경우 총 게임 수
knock-down 방식으로 경기를 할 경우의 총 게임 수
4자리 숫자의 비밀번호
같은 수를 사용할 수 있는 경우
같은 수를 사용할 수 없는 경우
서로 다른 네 숫자만 택해도 되는 경우
여사건
complement
P(Ac) = 1 - P(A)
A
S
P(X>=1)
=1-P(X=0)
=1-(4/6)(3/5)(2/4)
=1-1/5=4/5
X=무작위로 뽑힌 3개중 불량품 수
Ex:
6개의 제품중 2개가 불량품:
3개를 무작위로 뽑을 때 이중 적어도
하나의 불량품이 포함될 확률?
한계확률(Marginal Probability)
결합확률표에서 행과 열의 확률의 합
B1 B2 P(Ai)
A1 .11 .29 .40
A2 .06 .54 .60
P(Bj) .17 .83 1.00
P(B1) = .11 + .06=.17
P(A2) = .06 + .54=.60
“뮤추얼펀드수익률이 시장수익률보다 높을 확률”
“펀드매니저가 상위20위 이외 MBA를 졸업하였을 확률”
한계확률의 합은 1
조건부확률(Conditional Probability)
다른 사건이 발생했다는 조건에서 어떤 사건의 발생확률
원래의 표본공간이 수정된다.
Eliminates certain outcomes
P(B)
BAPBAP
) and ()|(
조건부 확률 - 예
상황
경영통계 수강생 - 남 30명, 여 10명
당번 1명 선발
문제
A 양이 뽑힐 확률은 ?
선발 자격을 여학생으로 제한한다면 A 양이 뽑힐 확률은 ?
남학생
(30)
여학생
(10) A
조건부 확률 - 예
A와 B중 하나 선택 후, 공을 하나 꺼냄
P(R|A)
P(R)
P(A|R)
Red 7
Blue 3
A B
Red 5
Blue 5
조건부확률 …
펀드매니저가 상위 20위 MBA프로그램을 졸업하였다는 조건에서 뮤추얼펀드의 수익률이 시장수익률보다 높을 확률은?
B1 B2 P(Ai)
A1 .11 .29 .40
A2 .06 .54 .60
P(Bj) .17 .83 1.00
확률적 독립
Statistical Independence
사건의 발생 여부가 다른 사건의 발생확률에 영향을 주지 않는다.
e.g., toss 1 coin twice
Tests for independence
P(A | B) = P(A) ?
복원추출과 비복원추출
복원추출(sampling with replacement)
비복원추출 (sampling without replacement)
Red 7
Blue 3
1st draw
2nd draw
P(R1) = ?
P(R2) = ?
P(R2|R1) = ?
P(R2)는 전확률정리로 계산
독립사건 …
P(B1 | A1) = .275 ≠ P(B1) = 0.17
B1 B2 P(Ai)
A1 .11 .29 .40
A2 .06 .54 .60
P(Bj) .17 .83 1.00
상호배반 사건
mutually exclusive events
P(A and B) = 0
A, B가 상호배반 A, B 가 서로 독립인가 ?
A B
곱셈법칙
P(A and B) =P(AB) = P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B)
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
독립사건일 경우; P(A and B) = P(A)*P(B)
A B
AB
덧셈 법칙
P(A or B) = P(A)+P(B)-P(A and B)
상호배반사건일 경우 ; P(A or B) = P(A)+P(B)
P(AB C)=P(A)+P(B) +P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
예제-Bayes 정리
3대의 기계(A1,A2,A3)에서 제품 생산 : P(A1) = 0.4, P(A2) = 0.5, P(A3) = 0.1
각 기계의 불량품(D) 생산률은 각각 0.05, 0.03, 0.01; 즉 P(D|A1)=0.05, P(D|A2)=0.03, P(D|A3)=0.01
1. 랜덤하게 뽑은 제품 하나가 불량품일 확률은?
2. 제품 하나를 랜덤하게 뽑았더니 불량품이었다. 그 제품은 어느 기계에서 만들어졌을 가능성이 큰가?
Ai P(Ai) P(D|Ai) P(DAi) P(Ai|D)
A1
A2
A3
0.4
0.5
0.1
.05
.03
.01
.4*.05=.020
.5*.03=.015
.1*.01=.001
.036
.020/.036=.555
.015/.036=.417
.001/.036=.028
P(D) 류문찬 [email protected]
Bayes 정리
)(
)()|( )2(
)|()(),()( )1(
, )(
0)( with )(
1 1
1
XP
XAPXAP
AXPAPAXPXP
jiAAb
iAPASa
kk
n
i
i
n
i
ii
ji
i
n
i
i
P(Ai) = 사전확률(prior probability)
P(Ai|X) = 사후확률(posterior probability)
A1
A3
A2 An
… ... X
S P(A1X) P(A2X)
P(A3X)
P(AnX)
전확률정리
