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pero siempre que vayan acompañadas de una iniciati-va propia para salir de una situación cualquiera.

VII. CONCLUSIONES.

Muy brevemente, podemos resumir este trabajo enlos puntos siguientes:

1.9 La iniciativa de los estudiantes en las clases,trabajos, etc., debe ser estimulada, pero también en-cauzada.

2." Los estudiantes deben ser informados y orien-tados en la elección de estudios y profesores antesde entrar en la Universidad. Ya en ella, debe tambiéninformárseles y orientárseles en la elección de espe-Cialidad.

3." Sin dejar de asistir al estudiante o al post-graduado, conviene que éstos aprendan a desenvol-verse por sí mismos, tanto en el campo científico comoen el de la vida, estimulando la autodeterminaciónpersonal.

EUGENIO FRUTOS CORTES.

Problemas actuales de laenseñanza de las matemáti-cas en los estudios medios(*)INTRODUCCIÓN.

Hoy día es inútil recordar la importancia que re-viste en todas partes la enseñanza de las matemá-ticas; todos los países, sin excepción, se ocupan deeste delicado e importantísimo asunto para buscaruna solución racional y eficaz. La civilización mo-derna plantea al hombre problemas difíciles y ya noes posible contentarse con soluciones verbales; la so-ciedad contemporánea necesita técnicos y éstos nopueden hoy prescindir de las matemáticas. El proble-ma es urgente y las grandes naciones que están enla vanguardia del progreso científico y técnico hanrealizado esfuerzos considerables en la esfera de laenseñanza de las matemáticas. A ese respecto, sepuede afirmar que existe unanimidad en todos lospaises, desde los más grandes hasta los más peque-ños, desde los de civilización más adelantada hastalos que se consideran en vías de desarrollo. Se trata,no de suprimir la cultura clásica en la enseñanza se-cundaria, sino de reconocer la importancia que debedarse a todas las disciplinas que constituyen el fun-damento de los progresos particularmente rápidos delas ciencias y de la técnica moderna. La cultura lite-raria —a la que quisiéramos conservar un lugar im-portante en nuestro sistema de educación— no hapermitido resolver los problemas vitales de cuya so-lución depende hoy la evolución ulterior de la huma-nidad. Frente a esos mismos problemas, los diversospaíses han reaccionado de la misma manera y exa-minado muy atentamente la enseñanza científica paratratar de darle más eficacia y amplitud. En efecto,se puede decir que la enseñanza de las matemáticas

Agradecemos (1 la Unesco su autorización parareproducir en lengua castellana el presente trabajodel profesor de Matenutticas de la Universidad deCaen, M. Gastón Mialaret, de gran interés para nues-tros especialistas en la enseñanza de la Matemáticaen los estudios medios y para cuantos educadoresconocen la influencia de las disciplines matemáticasen la formación equilibrada del adolescente.

aún no ha alcanzado el rendimiento máximo y es muyde lamentar que muchos adolescentes se alejen de lasmatemáticas para orientarse hacia las disciplinas li-terarias, no porque tengan para ello una aptitud par-ticular, sino para evitar las consecuencias enojosasde lo que ellos llaman "inaptitud" para las mate-máticas.

Por consiguiente, es fácil comprender por qué entodas partes, en las publicaciones especializadas decada país, se repiten los mismos grandes temas queserán los epígrafes de esta breve introducción :

1. Qué objetivos y programas deben proponersea los adolescentes en la enseñanza secundaria ?

2. Qué procesos sicológicos entraña la iniciacióna las matemáticas y de qué datos dispone actualmen-te la sicopedagogía a ese respecto ?

3. ¡, Qué métodos de enseñanza se pueden utilizaren función de las indicaciones sicológicas y de lasexigencias de los programas y cuáles son las técni-cas y los procedimientos pedagógicos más eficaces?

4. Todas esas cuestiones suponen la existencia deprofesores competentes y se llega así al problemaimportantísimo de encontrar y formar profesores dematemáticas.

5. Por último, habrá que examinar los estudiosrelativos a la evaluación de los resultados y los tra-bajos de pedagogía experimental que arrojan nuevaluz sobre la disciplina escolar que se está exami-nando.

En una encuesta realizada por la Oficina Interna-cional de Educación, los fines asignados a la ense-ñanza de las matemáticas fueron los siguientes: a) Fi-nes educativos; b) Fines de cultura general; c) Finesde utilidad práctica; d) Preparación para los estu-dios superiores.

Fines educativos.----La enseñanza de las matemá-ticas exige del alumno un esfuerzo de atención y deobservación, así como precisión y perseverancia yconstituye por ello un factor educativo de primerísi-ma importancia, ya que le induce a contraer hábi-tos de trabajo, a adquirir cierta disciplina mental ycierta objetividad. Pero el fin concreto de esa ense-ñanza es desarrollar en los adolescentes funcionescomo la capacidad de abstracción, la concisión delenguaje, el razonamiento lógico, el espíritu de aná-lisis y de investigación, el sentido crítico y el espíri-tu científico. Por lo tanto, al enseriar las matemáti-cas se trata de favorecer la aparición y el desarrollo

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de las funciones morales e intelectuales que contri-buyen a la formación de la personalidad.

Fines de Cultura general.—Como disciplina de cul-tura general, la enseñanza de las matemáticas debecontribuir, en primer lugar, al logro de los objeti-vos generales de la enseñanza secundaria. En conse-cuencia, es innegable que las matemáticas figuranen los planes de estudios secundarios entre las dis-ciplinas principales porque contribuyen al enrique-cimiento cultural del alumno. En efecto, desde esepunto de vista, las matemáticas permiten colabora-ciones y ayudan a los alumnos a comprender lasotras disciplinas, para las que las matemáticas cons-tituyen un instrumento indispensable (v. gr.: física,mecánica). Las matemáticas inducen al alumno aver y a interpretar los fenómenos utilizando un len-guaje cuantitativo y a comprender la importancia yla función de las ciencias exactas en la vida cotidia-na, así como en la esfera propiamente científica. Ade-más, al ejercitar al alumno en el razonamiento abs-tracto, el estudio de las matemáticas desarrolla unafacultad que es propia del hombre culto: la de ex-presar ideas generales por medio de símbolos.

Fines de utilidad práctica.—La vida cotidiana exi-ge diversos conocimientos de orden matemático pararesolver problemas corrientes. En la enseñanza se-cundaria es precisamente cuando deben aprenderseesas nociones indispensables, que pueden asimismoservir de base para un gran número de actividadesprofesionales. La facilidad en el cálculo, la posibili-dad de interpretar un gráfico o datos estadísticos,de comprender el alcance de algunos problemas eco-nómicos no son un atributo exclusivo de los especia-listas. En ciertos casos, incluso se puede añadir quela formación matemática se convierte en uno de loselementos de la formación cívica.

Preparación para los estudios superiores.—Uno delos objetivos de la enseñanza de las matemáticas enel nivel secundario es el de proporcionar las basesindispensables para estudios universitarios provecho-sos a los alumnos que desean cursar estudios supe-riores de carácter científico o técnico. Así, es indu-dable que la enseñanza de las matemáticas es impor-tante para los futuros hombres de ciencia, pero tam-bién lo es para los futuros especialistas de filosofía(lógica matemática, por ejemplo) o de ciencias socia-les (estadísticas, teoría de la información, etc. _).

PROBLEMÁTICA DE LA ELECCIÓN DE PROGRAMAS.

Por lo que antecede podemos ver ya qué problemasplantea la elección de los programas. Se pueden dis-tinguir tres aspectos de esta cuestión, cada uno delos cuales da lugar a discusiones a veces apasionadas.

Los programas deben establecer un contacto entrelas matemáticas y la vida práctica, conservando almismo tiempo su valor formativo en el plano inte-lectual. Las dos concepciones, formalista y pragmá-tica, se oponen a veces en ese punto. Hay quienesdesean ver en las matemáticas la escuela del rigory del razonamiento abstracto; otros, sin rechazar losaspectos deductivos, conceden mayor importancia alas aplicaciones practicas, a las esferas de utiliza-ción y a la adquisición de las reglas que permiten ob-

tener mejores resultados. Con frecuencia se presen-tan en esta forma los conflictos entre la enseñanzallamada "general" y la enseñanza llamada "técnica"en los paises en que ésta se halla organizada y halogrado su autonomía. Según los países, la filosofíaimplícita del sistema de educación, o el nivel de des-arrollo, los programas oscilan entre esos dos polos:las matemáticas estudiadas sin o con el propósito deuna utilización práctica.

Desde otro punto de vista, se plantea un segundoproblema en la medida en que la enseñanza secun-daria debe preparar a los adolescentes para los es-tudios superiores: el de saber si hay que iniciar alos alumnos en las matemáticas euclidianas (muy clá-sicas) o, si por el contrario, se les debe iniciar enlas escuelas modernas, en los problemas de la axio-matización, en disciplinas recientes, como la estadís-tica, por ejemplo. En algunos programas se introdu-cen nociones modernas casi desde el principio de lainiciación, mientras que, en otros países, esas inno-vaciones sólo aparecen en el nivel universitario. Seestá produciendo en estos momentos una transfor-mación muy importante, cuyas líneas principales co-mienzan a definirse, pero aún es imposible decir quésoluciones se adoptarán en el futuro a pesar de queya existen algunos indicios concretos.

En efecto, es preciso tener en cuenta otros facto-res relacionados con el propio alumno, antes de le-gislar sobre los programas y métodos. Es evidenteque las necesidades de la sociedad imponen ciertascondiciones a que han de atenerse los programas;pero no es menos cierto que esos programas sólo de-berán aplicarse si las posibilidades sicológicas de losalumnos lo permiten. Ha llegado el momento de exa-minar algunos de los trabajos realizados en esa es-fera.

PROBLEMAS SICOLÓGIC08,DE LA INICIACIÓN EN LAS

MATEMÁTICAS.

Una evocación, incluso muy breve, de los proble-mas sicológicos que se plantean respecto a la inicia-ción a las matemáticas es una empresa difícil; noscontentaremos con algunas breves indicaciones.

Las matemáticas constituyen una de las esferasen que se manifiesta más claramente la oposición dedos mentalidades, de dos maneras de pensar. Vivi-mos con niños que han aprendido, hacia los diez uonce arios, los esquemas esenciales de nuestras con-ductas sociales y cuya adaptación a nuestro mundoactual está muy adelantada. Acostumbrados a ver-los razonar como nosotros, nos sorprende el compro-bar en las clases de matemáticas un súbito des-acuerdo.

Lo que nos parece evidente, a veces fácil, siemprelógico, no lo es para los alumnos. Debido a una ver-dadera "amnesia infantil", el profesor olvida todaslas dificultades que pudo tener si las tuvo en otrostiempos y quiere imponer de golpe sus esquemas depensamiento lógico al alumno, que no ve ni su inte-rés ni su necesidad, y así surge el conflicto.

Añádase a ello que en las otras materias (francés,historia, ciencias de observación) la diferencia entrelas enseñanzas primaria y secundaria es sólo una

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cuestión de... grado. Pero las lenguas en el 6., grado.

y sobre todo las matemáticas en el 5.1, (1. e y 2. , años

de la enseñanza secundaria en Francia), son disci-plinas casi enteramente nuevas; se trata, pues. de unadiferencia que se podría llamar "cualitativa': de ahíla intensidad de las oposiciones y la necesidad de queel adulto tenga en cuenta los fenómenos de incom-

prensión.Importancia de los problemas afectivos.—Es sor-

prendente la importancia de los factores afectivos enla iniciación a las matemáticas, que representan porexcelencia la esfera de la lógica pura. El olvido deesa verdad explica quizá muchos fracasos.

A nuestro juicio, es necesario ante todo aplicar enlas matemáticas (más en las matemáticas que en lasotras materias) una pedagogía del éxito. Con dema-siada frecuencia los alumnos atrasados en matemá-tica son los que han sufrido múltiples fracasos. Unsímbolo matemático o un problema dan lugar en talescasos a un traumatismo y bien puede decirse que setrata de una inhibición intelectual ligada a una si-

tuación que produce un verdadero condicionamiento.Muchos de esos alumnos llegan a tener un "comple-

jo antimatemático" que dominará su conducta duran-

te todos sus estudios secundarios.

Agreguemos a ello que el período de la adolescen-cia no es particularmente favorable a las disciplinaspuramente lógicas. Para muchos jóvenes, las mate-máticas no responden de ningún modo a sus nece-sidades sentimentales y además corresponden a unaintrusión del adulto, que puede controlar la actividad

síquica del interesado.

Por otra parte, el lenguaje matemático crea unasituación de inseguridad, independientemente de losotros aspectos antes señalados. Los fenómenos esen-ciales se centran en torno a una inhibición compara-ble a la turbación de algunos actores. En efecto, ha-cia los diez o doce años, el niño ha logrado ciertodominio de la lengua y es capaz de expresar lo quepiensa y lo que siente, aunque lo haga a menudo demanera torpe e ingenua. La iniciación a las matemá-ticas supone con frecuencia la necesidad de utilizarfórmulas nuevas —al menos extrañas o incompren-sibles (lados respectivamente iguales, iguales entresí...)— y el joven alumno se encuentra en presenciade un instrumento verbal que no domina perfecta-mente, que no maneja con suficiente seguridad y tie-ne clara conciencia de ello. Si el profesor exige. comosucede muchas veces, una forma casi perfecta desdeel comienzo de los primeros ejercicios de matemáti-cas, el alumno se ve abrumado por una tarea a la queno puede hacer frente: reflexionar sobre un proble-ma y comprenderlo en su conjunto, encontrar al mis-mo tiempo las formas verbales adecuadas por la tra-ducción explícita de lo que sólo comprende de unamanera bastante confusa. En lugar de facilitar alalumno el paso de una visión global de los elementosdel razonamiento a una articulación cada vez máslógica y rigurosa, mediante una disciplina intelectualfavorable al desarrollo sicológico, el profesor anegainmediatamente el primer vislumbre de comprensiónen una maraña de palabras que no corresponden exac-tamente al estado de ánimo del niño en ese momen-to; de ahí resulta una disonancia, pues las fórmulas

utilizadas sólo traducen de manera muy imperfectalo que comprende el niño. Ese malestar, debido a unerror pedagógico, produce una inhibición y el alumnono se atreve ya a responder al profesor y se encierraen un mutismo desconcertante: las matemáticas sehan convertido para él en una lengua extranjera (1).

Comprender y saben—Esas formas particulares del

lenguaje matemático son en parte causa de otra difi-cultad que la falta de perspicacia de los profesoresaumenta aún más: se trata de la distinción entre sa-ber y comprender. Como acabamos de señalarlo, condemasiada frecuencia no se logra la comprensiónreal del problema cuando se ha embotado la inteli-

gencia del alumno con un embrollo de palabras queconstituirán el elementos esencial de la lección parael alumno y éste, muchas veces, sólo aprenderá las pa-labras. Esas palabras, esas fórmulas mágicas, se ol-vidarán rápidamente si el profesor no hace repasossistemáticos. Y así resulta que los alumnos que pare-cían haber comprendido lo que se les había explica-do, que incluso habían repetido con bastante exacti-tud una demostración o la solución de un problema,algunos días después son incapaces de rehacer el mis-mo trabajo, de volver a dar respuestas concretas.

El profesor se indignará ante esos alumnos queno pueden volver a encontrar los procesos lógicos del

razonamiento. En ese momento surge un conflicto

entre el maestro y los alumnos y se comprende porqué tantos adultos acusan a los profesores de mate-máticas de no haberles comprendido, de haber sidomuy severos con ellos y de ser responsables (pocoimporta que esa afirmación sea exacta o no de susfracasos en matemáticas. Existe una discordanciaflagrante entre el pensamiento del profesor de ma-temáticas, que ha asimilado perfectamente las no-ciones que enseña y que por ello es capaz de volvera encontrarlas si las ha olvidado, y el pensamientodel alumno, que aún no ha integrado esas mismasnociones a una red suficientemente rica para pres-cindir de las fórmulas verbales aprendidas más o

menos de memoria.Basta con que la simpatía no presida las relacio-

nes afectivas entre el profesor y los alumnos paraque aquél clasifique a sus alumnos en la categoríade los que nada entienden de ciencias lógicas y éstosaceptan su suerte con mayor o resignación: no tie-nen el "espíritu de geometría", pero se consuelanconvenciéndose de que tienen el "espíritu de finura"y los jóvenes que están en plena crisis de adolescen-cia pueden sentir así aún mayor desprecio por las

ciencias exactas.No eliminar etapas.—Por otra parte, el profesor

descuida con harta frecuencia algunas etapas del ra-zonamiento, las primeras, en general, porque le pa-recen tan fáciles y evidentes que no siente la necesi-dad de insistir en ellas. Los buenos alumnos comple-tan fácilmente y restablecen el conjunto del razona-miento; los alumnos flojos, por el contrario, se pier-

den y no encuentran ya el camino lógico.Así, en geometría, por ejemplo, se supone que los

principios lógicos en que se basa el razonamiento es-

(1) G. Mialaret: Quelques aspects affectifs de l'en-seignement des mathématiques. Comunicación presenta-da en las Jornadas de Sicologia de la Infancia, Paria,

1954.

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tän ya desarrollados en el alumno, cuando habría quedesarrollar esos principios indispensables para laconstrucción matemática, por medio de ejemplos con-

cretos.No es paradójico afirmar que las matemáticas, dis-

ciplinas lógicas por excelencia. son las que más exi-gen que el profesor tenga en cuenta las dificultadessicológicas y los problemas afectivos del alumno.

Quizá sea éste uno de los aspectos de la formaciónde los futuros profesores, como veremos más ade-

lante.

PEDAGOGIA DE LAS MATEMÁTICAS.

Es posible, por consiguiente, enjuiciar con conoci-miento de causa los métodos, técnicas y procedi-mientos utilizados en la enseñanza de las matemáti-cas. Para no sobrecargar esta breve introducción ytransformarla en un curso de metodología, nos li-mitarcmcs a señalar los grandes problemas que seplantean actualmente. Por otra parte, para ello bas-ta con recordar las excelentes recomendaciones for-muladas por la XIX Conferencia Internacional deInstrucción Pública, que son un muy buen resumende la pedagogía de las matemáticas.

Hay que hacer todo lo posible por estimular y fa-

vorecer en et alumno el aprendizaje activo de lasmatemáticas, mediante una participación personal lomás amplia posible en su elaboración.

Es necesario:

a) Despertar y mantener el interés del alumnotanto por las matemáticas mismas como por sus apli-

caciones.b) Seguir atentamente la evolución del pensa-

miento matemático del joven.e) Adaptar la enseñanza a la capacidad individual

y a la evolución mental del alumno y diferenciarlasucesivamente según su destino.

Es preciso:

a) Ir, en lo posible, de lo concreto a lo abstracto,sobre todo en los primeros cursos y, siempre que seconsidere conveniente, recurrir a la experimentaciónreal, figurada o imaginada, para sugerir la defini-

ción o la demostración.b) Tener en cuenta que el conocimiento matemá-

tico nace y se desarrolla por la interiorización de las

Acciones concretas y la organización de los esquemasoperatorios.cl Aprovechar las cuestiones que plantean las si-

tuaciones concretas, no sólo para mostrar la impor-tancia práctica de las matemáticas, sino sobre todopara provocar desarrollos teóricos.

Es importante:

a) Inducir al alumno a formar las nociones y adescubrir por sí mismo las relaciones y las propieda-des matemáticas, más bien que imponerle un pensa-miento de adulto.

b) Lograr la adquisición de las nociones y de losprocesos operatorios antes de introducir el formalismo.

c) Confiar al automatismo únicamente las ope-raciones asimiladas.

Es indispensable:

a) Hacer adquirir en primer lugar la experienciade los entes y relaciones matemáticos e iniciar luegoal alumno al razonamiento deductivo.

13) Extender progresivamente la construcción de-ductiva de las matemáticas.

e) Enseñar a plantear problemas, a buscar da-tos, a explotarlos y a enjuiciar resultados.

d) Dar la preferencia a la investigación heurísti-ca de las cuestiones, y no al enunciado doctrinal delos teoremas.

e) Hacer comprender la estructura de una teoríahipotético-deductiva en que, a base de los postulados,se construyen los teoremas por demostraciones y seintroducen los términos nuevos por definiciones, detal manera que se llegue a una exposición lógica de-ductiva de la materia estudiada.

Ea preciso:

a) Estudiar los errores de los alumnos y ver enellos un medio de conocer su pensamiento matemá-tico.

b) Entrenar en la práctica del control personal yde la autocorrección.cl Dar el sentido de la aproximación. del orden de

magnitud y de la verosimilitud de los resultados.

d) Conceder prioridad a la reflexión y al razona-miento más bien que al "entrenamiento" y a la "me-morización", y limitar el papel de la memoria a lafijación de los resultados fundamentales.

e) Proponer temas de examen que exijan más for-mación matemática que preparación intensiva.

Es importante:

a) Alentar los modos de expresión personal, aunaproximativos, y mejorarlos gradualmente.

b) Inducir al alumno a la precisión y al rigor ha-ciéndole comprender la necesidad de una comunica-ción eficaz con sus semejantes y exigiendo que acla-re su propio pensamiento.

c) Favorecer la investigación y la iniciativa in-

dividuales, lo mismo que el trabajo en equipo.

d) Aumentar el número de alumnos que se inte-resan por las matemáticas y contribuir al desarrollode su formación y de sus conocimientos, mediantela organización de grupos, conferencias, concursos yotras manifestaciones de carácter facultativo y ladifusión de libros y revistas que les sean accesibles.

Es indispensable:

a) Subrayar la unidad intrínseca de las matemá-ticas, no aislar sus ramas y establecer un enlace en-tre los diversos métodos para resolver un problema

determinado.b) Indicar las etapas importantes de la historia

de las nociones y de las teorías matemáticas estu-

diadas.

Es necesario:

a) Mantener la coordinación de las matemáticascon las ciencias que las utilizan.

b) Sacar partido de las exigencias del pensamien-to matemático para aumentar la precisión, la clari-dad y la concisión del lenguaje.

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c) Conservar el contacto de las matemáticas conla vida y lo real.

Material dúldetico.—La evolución de la metodologíade las matemáticas exige una adaptación de los librosde texto. Además de los libros de iniciación a las ma-temáticas que permiten un acceso progresivo a lasnociones abstractas, el alumno deberá poder disponerde obras de repaso en que lo aprendido se vuelva atratar y sistematice en un plano más elevado. Deberáhaber a disposición de los alumnos en las bibliote-cas de las salas de clase obras de referencia, de com-plemento y de vulgarización, revistas, etc. Esa docu-mentación se adaptará a los fines de las diversas sec-ciones ajustándose, en cada una de ellas, a la pro-porción requerida entre el punto de vista práctico.las necesidades técnicas, los desarrollos teóricos y lapreocupación cultural.

Como los auxiliares audiovisuales, los modelos ma-temáticos concretos (tomados de la vida corriente,construidos por los alumnos o por el profesor, o fa-bricados por empresas comerciales) ocupan un lugarcada vez más importante en la enseñanza, convienesacar partido de su utilización para que el alumnollegue activamente a las abstracciones matemáticas.

LA FUNCIÓN DOCENTE.

En matemáticas, quizá más que en otras materias,la función del profesor es primordial. El nombra-miento, la formación y el perfeccionamiento de losprofesores de matemáticas deben ser objeto de unaatención y de una solicitud particulares por partede las autoridades responsables de la educación dela juventud. Los profesores encargados de enseñarlas matemáticas en las escuelas secundarias debentener una formación matemática de un nivel neta-mente superior al de su enseñanza. Esa formacióndebe comprender no sólo matemáticas teóricas, sinotambién en parte matemáticas aplicadas, historia ge-neral del pensamiento matemático, metodología de laciencia matemática y estudio de las matemáticas ele-mentales consideradas desde un punto de vista su-perior.

Complemento indispensable de la formación mate-mática del profesor, debe ser una preparación peda-gógica y sicológica apropiada, inspirada en un cono-cimiento claro y razonado de los objetivos generalesy de los principios de la educación humana. Esa pre-paración debe hacer hincapié en la evolución estruc-tural de la inteligencia en lo que se refiere a la pre-paración del pensamiento matemático. Debe dar ca-bida a las relaciones de lo concreto y de lo abstracto,a fin de incluir en la enseñanza de las matemáticasla metodología de los modelos. El futuro profesordebe estar entrenado en la observación y experimen-tación en materia de pedagogía matemática. Sobretodo, debe conocer a los adolescentes y saber cuálesson sus aspiraciones, para que pueda ser el animadory el guía de la juventud.

Se cuidará de que todos los alumnos de los prime-ros cursos y los alumnos menos adelantados de lasclases superiores tengan buenos profesores.

Es preciso que el profesor de matemáticas en ejer-cicio pueda mantenerse al corriente tanto de la evo-

lución moderna de las ciencias matemáticas teóricascomo de las principales aplicaciones actuales de lasmatemáticas y de los progresos recientes de la di-dáctica de su disciplina. Es de desear que se tomendisposiciones para facilitar el perfeccionamiento delos profesores (conferencias. cursos de vacaciones,seminarios, grupos de trabajo, cursillos, publicacio-nes, etc.).

Las sugestiones de los inspectores especializados ode los consejeros pedagógicos, el ejemplo de los pro-fesores experimentados, son excelentes medios paraaumentar el rendimiento de la enseñanza.

El profesor de matemáticas debe gozar. en la so-ciedad moderna, de la situación y de la consideracióna que tiene derecho por su formación científica y sumisión de educador.

Dado que, en todos los paises, una enseñanza ade-cuada de las matemáticas es un elementos esencialde la educación, es importante lograr que se nombreun número suficiente de profesores competentes, tan-to más por ser esa una de las condiciones imprescin-dibles para el completo desarrollo científico, técnico.económico y social de todos los pueblos.

INVESTIGACIONES SICO-PEDAGÓGICAS.

Quedan por examinar las investigaciones sicológi-cas y pedagógicas relativas a la enseñanza de lasmatemáticas. Comienzan a perfilarse tres corrientescomplementarias que tienen por objeto aumentar laeficacia de la pedagogía. Muchos trabajos tienen porobjeto poner de relieve las "aptitudes" necesariaspara la asimilación de las matemáticas. Con gran fre-cuencia se utilizan los métodos del análisis factorialpara poner de manifiesto los componentes del espí-ritu matemático o, más sencillamente, del razonamien-to matemático. Esos estudios son particularmentevaliosos y útiles para algunas pruebas de seleccióny de orientación. En efecto, hay "tests" cuya satu-ración con relación a tal o cual factor está perfecta-mente definida y que permiten pronósticos de orien-tación muy útiles.

También se han hecho estudios directos del razo-namiento lógico y el autor más eminente en esa es-fera es J. Piaget, quien, mediante investigaciones detipo clínico, ha podido esbozar un cuadro de las es-tructuras sucesivas que caracterizan el pensamientodel adolescente en el momento de la iniciación a lasmatemáticas. La aparición del pensamiento formalmarca el momento en que el pensamiento del adoles-cente ha alcanzado un nivel de madurez que le per-mite seguir con provecho las lecciones y los ejerci-cios de matemáticas.

Por último, se comienza a explorar un nuevo campo.que se puede llamar sicopedagógico, puesto que losinvestigadores que trabajan en esa esfera concen-tran todos sus esfuerzos en el estudio de los proble-mas sicológicos en relación con los métodos pedagógi-cos utilizados; el laboratorio es la propia sala de cla-se y los estudios sicológicos se refieren a procesospedagógicos reales. No se descuida ninguno de losfactores que permiten describir y explicar el fenóme-no educativo en su conjunto: alumno, sala de clase.medio social, profesor, material didáctico, progra-mas, métodos... Se va así hacia una pedagogía ex-

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perimental que permanece en contacto constante conla práctica pedagógica, y los datos sicológicos resul-tantes sólo tienen valor en relación con las condicio-nes escolares en que se han obtenido. Los trabajosactuales son muy prometedores y seguramente re-dundarán en bien de la enseñanza de las matemáti-cas y de la investigación sicopedagógica.

Por consiguiente. es difícil definir exactamente elestado actual de esa enseñanza en su conjunto; du-rante este período de intensa evolución, todas las con-clusiones son arriesgadas. Sólo se pueden formularhipótesis en función de las grandes corrientes actua-les y de la dinámica del fenómeno pedagógico.

Se asiste a una rehabilitación de las matemáticascomo instrumento de formación intelectual, pero tam-bién como instrumento necesario para que el hombre

del siglo xx comprenda el mundo en que vive, y quedebe aprender a dominar. La pedagogía de las ma-temáticas sigue muy de cerca los progresos de lacivilización moderna, pero también se transformaprofundamente bajo la influencia de los grandes des-cubrimientos matemáticos; el contenido mismo de laenseñanza está en plena evolución.

Respecto al alumno y a los problemas sicológicos,

se tienen en cuenta las dificultades propias del pen-samiento del adolescente por una parte y, por otra,los factores no intelectuales: factores afectivos y fac-tores sociales. A ese respecto cabe mencionar tambiénlas investigaciones en materia de reeducación. que,tienen por objeto aumentar el rendimiento global me-miante el empleo, con los niños inteligentes que notienen éxito en matemáticas, de métodos especialyb,en que se trabaja actualmente. 417

En otras palabras, el hombre actual investigadas las esferas y explora todos los filones que le per-mitirán acrecentar el potencial matemático de la hu-manidad. Pero es de desear que ese aumento de lasposibilidades matemáticas y científicas tenga sufi-ciente amplitud para que el hombre no quede a me-dio camino del conocimiento ni se encuentre en lasituación del aprendiz de brujo; es necesario que elaumento del capital humano nos permita a todos do-minar las fuerzas de la naturaleza que somos capa-ces de liberar y ponerlas al servicio del hombre, afin de lograr un mundo mejor al servicio de todos yde cada uno.

GASTON MIALARET,

Profesor de la Uni-versidad de Caen.

Tres problemas de la ense-ñanza universitaria españo-la: El alumnado - Los estu-dios técnicos superiores -

El profesorado (*)

El comienzo de un nuevo curso constituye ocasiónfavorable y casi obligada para recapitular, con mirasa los empeños aún pendiente, la tarea cumplida. Elexamen de nuestros problemas actuales, el reconoci-miento de lo conseguido y de lo que no hemos podi-do realizar nos esclarecen la realidad social en quenos movemos, sus necesidades y obstáculos, elemen-to indispensable para determinar la dirección y me-dir la eficacia de nuestro trabajo.

La Memoria reglamentaria y el exordio del discur-so inaugural que acabamos de escuchar nos han ilus-trado sobre ambos aspectos en el ámbito de la Uni-versidad de Valencia. Yo quisiera añadir ahora en la

Discurso pronunciado por el Ministro de Edu-cación Nacional, en la apertura del curso acculémico1960-61, cn el Paraninfo de la Universidad Literaria

de VNericia.

línea de esta preocupación. junto con una serie dedatos, algunas consideraciones de carácter más ge-neral:Unas, referidas al decoro material de nues-tra institución; otras, a su vida íntima, es decir, alejercicio de su función y a los hombres que en ellase integran corporativamente.

Me gustaría ordenar en lo posible mis comenta-rios alrededor de tres aspectos fundamentales:

La situación creada por el extraordinario au-mento del alumnado;Las consecuencias que se derivan de la eleva-ción del nivel científico de nuestros profesores, yLa necesidad de adecuar los medios instrumen-tales al desarrollo de la Universidad, y de lacoordinación de ésta con las nuevas estructu-ras sociales.

EL INCREMENTO DEL ALUMNADO

Uno de los problemas más acuciantes, no sólo denuestra Universidad, sino de la de todos los países,es el crecimiento de la población estudiantil.

Pero si en muchas de las de fuera puede ser sufi-ciente para explicarlo el crecimiento demográfico,en España juega además otro factor mucho más de-cisivo: la apertura de la enseñanza a esferas socia-les que hace apenas un cuarto de siglo no tenían ac-ceso a la enseñanza media y superior. Se trata deun hecho evidente : En 1935, con una población de24 millones y medio, existían en España 124.000 es-

colares de Bachillerato y 31.000 de Universidad. En

los veinticinco años transcurridos hasta hoy, la po-

blación ha aumentado a 30 millones, es decir, alrede-