PROBLEMAS de ecuaciones de primer grado CON UNA INCÓGNITA · 2019. 12. 6. · La mitad de un número más el triple de ese número da 14. ¿Cuál es ese número? { 4 } 16.-Si al

C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas

98

f) 043

52

xx { x=4 }

g) xx

443

24

9

4

{ x= 13/12 }

h) xx

154

124 { x=9 }

i) 4

241

2

36

5

12 xxx

{ x= – 2 }

PROBLEMAS de ecuaciones de primer grado CON UNA INCÓGNITA:

Las ecuaciones nos sirven para resolver problemas de la vida cotidiana.

Ante un enunciado en donde se hagan preguntas sobre alguna cuestión que se desconoce, se puede

plantear una ecuación para obtener el dato desconocido.

Ejemplo: Un número entero más el anterior y más el siguiente es igual a 51. ¿De qué número se trata? Ante un enunciado de este tipo, se debe proceder de acuerdo a los siguientes pasos:

1º) Identificar la incógnita: el número: x el número anterior: x – 1 2º) Traducir al lenguaje algebraico los datos del enunciado:

el número siguiente: x +1

3º) Expresar en una ecuación las condiciones contenidas en el problema: Un número + el anterior + el siguiente es igual a 51

x + x – 1 + x + 1 = 51

4º) Resolver la ecuación: x + x – 1 + x + 1 = 51

x + x + x = 51 +1 1 ; 3x = 51 ; x=3

51 ; x=17

5º) Comprobar el resultado 17+16+18 = 51


99

13.- La suma de tres números naturales consecutivos es 84. Halla dichos números. {27, 28, 29 }

14.- La suma de dos números pares consecutivos es 62. ¿De qué números se trata? { 30 y 32 }

15.- La mitad de un número más el triple de ese número da 14. ¿Cuál es ese número? { 4 }

16.- Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número? { 54}

17.- Si al doble de un número se le resta su cuarta parte se obtiene 21 ¿Cuál es ese número? {12}

18.- La suma de un número, su mitad, su doble y su triple es 65. ¿Qué número es? {10}

19.- El triple de un número más su mitad es 35 ¿De qué número se trata? {10}

20.- La suma del doble de un número y su cuarta parte es 18 ¿De qué número se trata? { 8 }

21.- Hallar los tres números pares consecutivos que sumados dan 42 {12,14,16 }


100

22.- ¿Cuál es el número que, aumentado en 24 equivale a 5 veces su valor? { 6 }

23.- En un salón de actos hay 48 alumnos. Si el número de chicas es el triple que el de varones, ¿cuál es el número de cada uno?

{ chicas=36; varones=12}

24.- María tiene la tercera parte del número de naranjas que tiene Isabel y entre ellas dos tienen 24

naranjas. ¿Cuántas naranjas tiene cada una de ellas? { Maria=6 y Isabel=18 naranjas}

25.- Se quieren repartir 99 plátanos entre tres monos de modo que el primero reciba 14 plátanos más que el segundo y el tercero 16 menos que el primero.¿Cuántos recibirá cada uno? {43, 29 y 27}

26.- Se quieren repartir 7200 € entre tres personas de modo que al segundo le toque el doble que al primero y al tercero el triple que al segundo. ¿Qué cantidad recibe cada uno? {800, 1600 y 4800 €}

27.- Un hombre ha recorrido 150 km del camino de Santiago. En coche recorrió una distancia triple que

en bicicleta, y a pie 20 km menos que en bicicleta. ¿Cuántos kilómetros recorrió de cada modo?

{ 34 km en bici ; 102 km en coche ; 14 km a pié}

28.- La suma de las edades de tres personas es 85 años. Calcular la edad de cada una, sabiendo que la

segunda tiene doble edad que la primera y que la tercera tiene 15 años menos que la segunda

{ 20 , 40 , 25 años }


101

29.- Un matrimonio tiene tres hijos. Cada uno de ellos le lleva al siguiente 2 años y la suma de sus

edades es 27 años. ¿Cuántos años tiene cada uno? { 7 , 9 y 11 años }

30.- En una familia de tres miembros ingresan entre los tres 3250 euros al mes. La madre gana 500 €

menos que el padre y el hijo gana la mitad del sueldo del padre. ¿Cuál es el salario de cada uno?

{ Padre= 1500 €, madre= 1000 € , hijo=750 € }

31.- Una amiga le dice a otra: "La cuarta parte de mi vida la pasé en una casa de campo. La mitad en un

pueblo, y los últimos 10 años, viviendo en esta ciudad. ¿Cuántos años crees que tengo?" {40 años}

32.- Tres hermanos A, B y C se tienen que repartir 35.000 euros. El hermano B recibe el triple de lo que

recibe el hermano A y el hermano C recibe el doble de lo que recibe el hermano B.

¿Cuánto le corresponde a cada uno? { A=3500 € ; B=10500 € y C= 21000 €}

33.- Se reparten bombones entre tres niños. Al 2º le dan el doble que al primero y al tercero el triple que

al segundo. Si el total es de 18 bombones. ¿Cuántos bombones dan a cada niño?

{ al 1º 2 bombones, al 2º 4 bombones y al 3º 12 bombones}


102

34.- Queremos repartir 60 € entre cinco chicos. Si a tres de ellos damos 5 euros menos que a los otros

dos, ¿cuánto dinero recibe cada uno? {los tres 10 € y los otros dos 15 € }

35.- Beatriz se ha gastado 225 € al comprar una cazadora para Juan y otra para Laura.

La de Juan costó 21 € más que la de Laura. ¿Cuánto costó cada una?

{ la de Laura 102 € y la de Juan 123 € }

36.- Durante el recreo, en la cafetería de mi instituto, compro todas las mañanas un bocadillo y un

refresco. El bocadillo cuesta el triple que el refresco, y en total me cobran 1,80 euros.

¿Cuál es el precio del bocadillo y del refresco? {1,35 y 0,45 € }

37.- Marta tiene dos terceras partes del dinero que tiene Tatiana, y entre ambas juntan 25 €.

¿Cuánto tiene cada una? { Tatiana 15 € y Marta 10 €}

38.-Tres niños y cinco adultos van a jugar al tenis. Y entre todos deben pagar 52 €.

Sabiendo que la entrada de un niño cuesta la mitad que la de un adulto, ¿Cuánto cuesta cada

entrada?

{niños:4 € ; adultos: 8 €}

39.- Un hombre legó su fortuna de la siguiente manera: la mitad para su esposa, la tercera parte para su

hijo, la octava parte para su sobrina y 180 € a una institución benéfica ¿Cuánto dinero poseía?

{ 4320 € }


103

40.- En un avión viajan el cuádruple de hombres que de mujeres y la mitad de niños que de mujeres, en total viajan 165 personas .¿Qué número corresponde a cada tipo de persona?

{Hombres 120, mujeres 30 y niños 15}

41.- Salgo de casa con un billete de 50 € y vuelvo con 3 €. Si en la frutería gasté 4 € más que en la

panadería y en la carnicería el triple que en la frutería y además compré un cupón de la ONCE por 2 €.

¿Cuánto gasté en cada sitio? { panadería: 5,80 € carnicería: 29,40 € y frutería: 10,80 € }

42.- Un joven sale con cierta cantidad de dinero y gasta 1/5 en transporte; 1/4 en el cine y 2/5 en un

libro. Si aún le quedan 3 €, ¿cuánto dinero tenía al salir de casa? { 20 € }

43.- Laura sale de casa para comprar. Gasta la mitad de lo que tiene en un libro y la tercera parte

en bolígrafos. Si vuelve con 5 € ¿Cuánto dinero tenía al salir? { 30 € }

44.- Un joven gasta la mitad de su sueldo en alojamiento y comida, un quinto en ocio y le queda 420 €

para gastos de transporte y para ahorrar ¿Cuánto dinero gana? { 1400 € }

45.- María ha gastado 84 € para comprar 3 libros iguales y 2 agendas. Sabiendo que una agenda vale el

doble de un libro, calcula el precio de cada agenda y de cada libro. {12 € libro y 24 € agenda}


104

46.- He comprado 4 libretas y 3 lápices de colores, gastándome en total 15 € .

Sabiendo que una libreta vale 2 € más que un lápiz, halla el precio de cada cosa . { libreta: 3 € ; lápiz: 1€ }

47.- La propietaria de una tienda de ropa encarga a un almacén 12 chaquetas y 48 faldas.

Las chaquetas son 50 € más caras que las faldas. La factura asciende a 2.220 €.

¿Cuál es el precio de cada artículo?

{ falda=27 € ; chaqueta = 77 € }

48.- Un bolígrafo cuesta 25 céntimos más que un lápiz. He pagado 3 € por 3 lápices y 2 bolígrafos.

¿Cuál es el precio de cada uno? { Lápiz 0,50 € ; bolígrafo 0,75 €}

49.- Una lata de atún vale 50 céntimos más que un paquete de pasta. Si gasto 7,10 € para comprar 3

latas

de atún y 4 paquetes de pasta ¿cuál es el precio de una unidad de cada? { lata atún 1,30 €; paquete pasta 0,80 € }

50.- Por 2 paquetes de caramelos y 5 paquetes de galletas he gastado 20 €. Si el paquete de galletas vale

0,50 € más que el de caramelos, ¿cuánto vale cada producto? { caramelos 2,50 € y galletas 3 € }

51.- Se compran 3 cuadernos, 2 gomas de borrar y 6 lápices, gastándose en total 13 €.

Si cada cuaderno cuesta cuatro veces más que una goma, y cada lápiz cuesta 50 céntimos más que

una goma, averigua el precio de cada material. { cuaderno:2 € ; lápiz 1 € ; goma: 0,50 € }


105

52.- Compro 4 pañuelos y 2 camisetas gastándome en total 30 € . Si cada camiseta vale 6 € más que un pañuelo averigua cuánto vale cada uno.

{ pañuelos 3 € y camisetas 9 € }

Cálculo de EDADES

53.- Pedro tiene el doble de edad que Juan. Marta tiene 6 años más que Pedro y Rosa tiene 10 años

menos que Pedro. Si las edades de los 4 suman 101 años ¿qué edad tiene cada uno? { Juan:15 ; Pedro:30 ; Marta 36 y Rosa 20 años}

54.- La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Dentro de 10 años su edad será el doble.

¿Qué edad tiene cada uno? {10 y 30}

55.- La edad de un padre es el triple de la del hijo. Dentro de 15 años la edad será el doble.

¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad? { 15 años y 45 años }

56.- Luis tiene 8 años más que su hermano. Dentro de 2 años tendrá el triple de la edad de su hermano ¿Cuántos años tiene hoy cada uno? {Luis 10 años y su hermano 2 años }

57.- El padre tiene 32 años y el hijo 8 años. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que la edad del padre sea el doble que la del hijo? {Deben transcurrir 16 años}


106

58.- Un padre tiene 47 años y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple que la del hijo? {Deben transcurrir 7 años }

59.- La edad de la madre de Pablo es el cuádruplo de la de su hijo. Dentro de 4 años será el triple. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad { Pablo 8 años y su madre 32}

60.- Hoy la edad de un padre es 6 veces la de su hijo y dentro de 9 años será el triple de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene hoy cada uno? { 6 y 36 años }

61.- Amelia tiene 2 años más que su hermano Jorge. Dentro de 12 años las dos edades sumadas completarán el medio siglo ¿Qué edad tiene cada uno? {Amelia 14 y Jorge, 12 años }

62.- ¿Qué edad tiene Laura sabiendo que dentro de 24 años tendrá el triple de la que tiene ahora? {12 años}

63.- Un señor tiene 42 años y su hijo 10 años ¿Dentro de cuantos años la edad del padre será el triple de la del hijo? { Dentro de 6 años}

64.- ¿Qué edad tiene Pedro sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad actual? { 14 años}


107

65.- Mi padre tiene 6 años más que mi madre. ¿Qué edad tiene cada uno, si dentro de 9 años la suma de sus edades será 84 años? {padre 36 y madre 30 años}

66.- Un padre tiene 42 años y sus hijos 7 y 5. ¿Cuántos años tienen que pasar para que la edad del padre sea igual que la suma de las edades de los hijos? {30 años}

67.- La diferencia de edad entre un abuelo y su nieto es de 48 años y hace 4 años el abuelo tenía 5 veces la edad del nieto.¿Qué edad tiene cada uno? {nieto 16 años ; abuelo 64}

68.- Clara tiene 28 años y Pepe 23. ¿Hace cuántos años Clara tenía el doble de la edad de Pepe , ¿Y qué edades tenían? {Han pasado 18 años; Clara tenía 10 y Pepe 5 años }

69.- Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

{ el hijo 8 años y el padre 28 años }

70.- Un padre tiene 45 años y su hijo 20. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea el doble de la edad del hijo?

{ han de pasar 5 años}


108

53.- La suma de las edades de Mario y Alberto es de 14 años. Si Alberto tiene 8 años menos que Mario,

hallar ambas edades. { Mario: 11 años y Alberto: 3 años }

SISTEMAS DE ECUACIONES con dos incógnitas Para resolver una ecuación en donde aparezcan dos incógnitas, necesitamos dos ecuaciones, es decir un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Al resolverlo obtendremos dos soluciones, un valor para la incógnita x y otro valor para la incógnita y.

Las siguientes ecuaciones

133

22

yx

yx forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, x e y.

Resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

Podemos elegir entre tres métodos: Sustitución, Igualación y Reducción

MÉTODO de SUSTITUCIÓN Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.

Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones

133

22

yx

yx hallar el valor de las incógnitas x e y

1º Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones; Por ejemplo la y y = 2 – 2x *

2º Sustituimos su expresión en la otra ecuación; x – 3(2–2x) = – 13

3º Resolvemos esta ecuación que solo tiene una incógnita, como ya sabemos:

17

7

; x– 6+ 6x = – 13 ; x+ 6x= – 13+6 ; x+ 6x= – 7 ; 7x= – 7 x=

4º El valor obtenido de esta incógnita se sustituye en la ecuación despejada en el 1er paso para hallar el valor de la otra incógnita.

En el ejemplo sustituimos este valor de x=–1 en la ecuación obtenida en el 1er paso (con*) para obtener el resultado de la y

y = 2 – 2x ; y = 2 – 2(–1) ; y= 2+2=4 ; y = 2+2 ;

Ya tenemos los resultados o valores de las dos incógnitas x = –1 ; y = 4

5º Comprobar si dichos valores son soluciones correctas del sistema sustituyéndolos en él y comprobando que se cumplen las igualdades 2(–1) + 4 = 2 –2 + 4 = 2 –1 – 3·4 = – 13 –1 – 12 = –13 Las igualdades son ciertas por lo que los valores de las dos incógnitas (x e y) son correctos.

-.-.-.-.-.-.-.-.

x = –1

y=4


109

76.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución: a) 4x – y = 3

3x – y = – 11

b) x+ y = 30

x – y =4 c) 3x + 2y =6

x – 2y =2

d) 3x – 5y = 5

x – 7y = 7

e) 3x + y = 26

4x – 2y = 18 f) 2x + y = 8

4x – 2y = 0

g) x – y = – 9

2x + y = 3 h) 3x + 5y =28

4x + 3y =30


110

i) 4x + 5y = 31

2x + 2y = 14 { a) x=14 , y=53 ; b) x=17 , y= 13 ; c) x=2, y=0 ; d) x=0 , y= –1 ; e) x =7, y=5 ; f) x=2 , y=4 ; g) x= –2 , y=7 ; h ) x= 6 , y=2 ; i) x=4 , y=3 }

MÉTODO de IGUALACIÓN:

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar

sus expresiones:

Ejemplo: Despejar las incógnitas en el sistema de ecuaciones

133

22

yx

yx

1º Despejamos la x en cada una de las dos ecuaciones: yxy

x 3132

2

2º Igualamos estas dos expresiones: yy

3132

2

3º Resolvemos esta ecuación que solo tiene una incógnita, como ya sabemos:

2

626

2

2 yy

2–y = – 26 + 6y –6y–y= –26–2 –7y=–28 y=

7

28

=4 y = 4

4º Sustituimos este valor de y=4 en la primera, o en la segunda ecuación, para obtener el resultado de la x :

x –3·4 = –13 x –12 = –13 x= –13 +12 x = –1 Obtenemos los dos resultados x = –1 ; y = 4

77.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:

a) 4x – y = 3

3x – y = – 11

b) x+ y = 30

x – y =4 c) 3x + 2y =6

x – 2y =2


111

d) 3x – 5y = 5

x – 7y = 7

e) 3x + y = 26

4x – 2y = 18 f) 2x + y = 8

4x – 2y = 0

{ a) x=14 , y=53 ; b) x=17 , y= 13 ; c) x=2, y=0 ; d) x=0 , y= –1 ; e) x =7, y=5 ; f) x=2 , y=4 }

MÉTODO de REDUCCIÓN:

Consiste en multiplicar una ecuación (a veces ambas) por un número, para que cuando se sumen

las dos ecuaciones, el término de las x o el de las y se anule, y se elimine una incógnita.

Ejemplo 1 Resolver el sistema de ecuaciones

133

22

yx

yx

Si queremos reducir la x: 1º Multiplicamos toda la segunda ecuación por (–2): 2x + y = 2 – 2x + 6y = 26 2º Sumamos las dos ecuaciones: 7y =28 3º Resolvemos la ecuación que resulta de la suma de estas ecuaciones, que solo tiene una incógnita,

47

28y

4º Sustituimos este valor de y=4 en la primera ecuación (o en la segunda) para obtener el valor de la x :

x –-3·4 = –13 x – 12 = –13 x= –13 +12 .-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Si queremos reducir la y: 1º Multiplicamos toda la primera ecuación por (3): 6x+3y = 6

2º Sumamos las dos ecuaciones:

77

133

636

x

yx

yx

y=4

x= –1


112

3º Resolvemos la ecuación que resulta de la suma de estas ecuaciones, que como se vé solo tiene una

Incógnita : 17

7

xx

4º sustituimos este valor de x= –1 en la primera o segunda ecuación para obtener el resultado de la y :

–1– 3·y = –13 43

12

3

113

y Obtenemos los dos resultados x = –1 y = 4

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- Ejemplo 2 ¿Qué números verifican el siguiente sistema? 2x + 3y = 24

5x – 4y = 14

2x + 3y = 24 multiplicamos por 4 8x + 12y = 96

5x – 4y = 14 multiplicamos por 3 15x – 12y = 42

Sumamos las ecuaciones 23x = 138 x=23

138=6

Sustituimos este valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones del enunciado, por ejemplo en la primera

2·6 + 3y = 24 ; 12+ 3y = 24 ; 3y = 24 – 12 ; 3y=12 ; y=3

12=4 ;

78.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:

a) 3x – 5y = 5

x – 7y = 7

b) 3x + y = 26

4x – 2y = 18

c) 2x + y = 8

4x – 2y = 0

d) x – y = – 9

2x + y = 3

x=6

y=4


113

e) 3x + 5y =28

4x + 3y =30

f) 4x + 5y = 31

2x + 2y = 14

{ a) x=0 , y= –1 ; b) x =7, y=5 ; c) x=2 , y=4 ; d) x= –2 , y=7 ; e ) x= 6 , y=2 ; f) x=4 , y=3 }

Problemas de ecuaciones con DOS INCÓGNITAS

Ejemplo: La suma de dos números es 92 y su diferencia, 14. ¿Cuáles son esos números? Los dos números son x e y . El sistema de dos ecuaciones es x + y = 92

x – y = 14

Resolvemos por el método que queramos, por ejemplo el de igualación

x= 92 – y ; x= 14 + y 92 – y = 14 + y ; – y – y = 14 – 92 ; –2y = –78 ; y=2

78

= – 39 y=39

x=92–39 =53 x=53

Comprobación x + y = 92 53 +39 = 92

x – y = 14 53 –39 = 14

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

79.- Halla dos números que sumados dan 131 y restados dan 63 {34 y 97}

80 .- Hallar dos números positivos sabiendo que su diferencia es 4 y su suma 26 {11 y 15}


114

81.- La suma de dos números es 100 y el doble del mayor equivale al triple del menor. Hallar los números. { 40 y 60 }

82.- Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

{cerdos=26 ; pavos=32}

83.- En un corral hay conejos y patos. El número de animales es 30 y el da patas 100.

¿Cuántos conejos y patos hay en el corral? {20 conejos y 10 patos}

84.- Halla dos números naturales tales que su suma aumentada en 4 sea igual a dos veces el mayor, y que la diferencia entre los dos números sea igual al menor menos 5

{ 9 y 13}

85.- Calcular dos números sabiendo que el triple del primero menos el doble del segundo da 31 y si al doble del primero le sumamos el segundo y le quitamos 9 da 0. { Los números son 7 y -5 }


115

86.- Una familia tiene periquitos y perros como mascota. Averigua cuántos perros y cuántos periquitos tienen, sabiendo que en total hay 6 animales y el número total de patas es 16. { 4 periquitos y 2 perros}

87.- En un corral hay 25 ovejas y gallinas y contando las patas hay 80 en total.¿Cuántas ovejas y gallinas son? {15 ovejas y 10 gallinas}

88.- En un hotel hay 120 habitaciones dobles e individuales. Si el número total de camas es 195, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo? {75 habitac. dobles y 45 individuales}

89.- En un hotel hay 80 habitaciones dobles e individuales. Si el número total de camas es 130, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo? {50 habitac. dobles y 30 individuales}

91.- En un bar se venden bocadillos de jamón a 3 € y bocadillos de tortilla a 2 €. En una mañana vendieron 52 bocadillos y la recaudación final fue de 134 €. ¿Cuántos se vendieron de cada clase? {30 de jamón y 22 de tortilla }


116

92.- Dos bolsas de bizcochos y una de magdalenas pesan 900 g, y tres bolsas de bizcochos y dos de magdalenas pesan 1 550 g, ¿cuál es el peso de una bolsa de bizcochos y cuál el de una de magdalenas? { bolsa de bizcocho 250 g y bolsada magdalena 400 g }

93.- Dos entradas de cine y un paquete de palomitas cuestan 16 € y cuatro entradas de cine y tres paquetes de palomitas, 36 €. ¿Cuánto vale una entrada de cine y cuánto una bolsa de palomitas? { una entrada de cine a 6 € y una bolsa de palomitas a 4 € }

94. -En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?.

{ 16 aciertos y 4 fallos}

95.- En un cuestionario con 37 preguntas, se asignan 6 puntos por cada respuesta correcta y se quitan 3 puntos por cada una equivocada. Si un alumno obtiene 132 puntos, ¿cuántas contestó bien y cuántas mal? { bien=27, mal=10}

96.- Un alumno realiza un examen de diez preguntas. Por cada pregunta acertada le dan 2 puntos y por cada pregunta que falla le quitan 1 punto. Sabiendo que la calificación final fue de 8 puntos, ¿cuántos aciertos y cuántos fallos tuvo? aciertos y 4 fallos}


117

97.- Tenemos un total de 26 monedas, unas de cinco céntimos y otras de 20 céntimos. En total tenemos

2,65 € Cuántas monedas tenemos de cada clase? {17 monedas de 5 céntimos y 9 de 20 céntimos}

98.- Paloma tiene monedas de 2 € y 1 €. Sabiendo que tiene 20 monedas y que el valor de todas es 33 €. Calcula el número de monedas que tiene de cada tipo. {7 monedas de 1 € y 13 monedas de 2 €}

99.- En una bolsa hay 16 monedas que son de 1 y de 2 euros y en total suman 23 euros. ¿Cuántas monedas hay de cada? { 9 monedas de 1€ y 7 monedas de 2 € }

100.- Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? { 37 dobles y 13 sencillas }

101.- En una casa de campo hay periquitos y gatos, en total 13 cabezas y 38 patas ¿Cuántos animales hay de cada tipo? { 6 gatos y 7 periquitos}

102.- Un ejercicio realizado en clase consta de 16 cuestiones. El profesor suma 5 puntos por cada

respuesta correcta y resta 3 puntos por cada cuestión no contestada o mal contestada. Si un alumno ha

obtenido 32 puntos, ¿cuántas cuestiones ha contestado correctamente? { 10 correctas y 6 mal o no contestadas}


118

103.- En el bar del colegio se venden bocadillos de chorizo a 2 € y de jamón a 3 €. Durante el recreo se han vendido 60 bocadillos por un precio total de 150 €. ¿Cuántos bocadillos se han vendido de cada clase?

{30 de cada clase }.

104.- Juan ha comprado 15 paquetes de leche entera y leche semidesnatada por un total de 15,36 €.

Si el paquete de leche entera cuesta 1,06 euros y el de semidesnatada 1 euros.

¿Cuántos paquetes hay de cada tipo? {6 de leche entera y 9 de desnatada}

105.- En un mercadillo solidario se venden dos tipos de figuras de artesanía. Unas a 1,50 € y otras a 2,50 € Se vendieron 82 figuras y se obtuvieron 154 euros. ¿Cuántas unidades se vendieron de cada tipo?

{ 51 figuras a 1,50 € y 31 a 2,50 €}

106.- En el mes de enero se vendieron 3 coches de modelo A y 5 coches del modelo B por un total de 165.000 € . En febrero 2 coches del modelo A y 4 del B por 122.000 € ¿Qué precio tiene cada modelo? { modelo A: 25.000 ; modelo B: 18.000 € }

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica en la que hay una incógnita elevada al

cuadrado (x2)

Se puede expresar en la forma: : ax2 + bx + c = 0 • Los coeficientes de la ecuación son a , b y c

“a”: coef. del x2

Hay que saber reconocer los coeficientes de una ecuación de segundo grado “b” coef de la x

Para ello hay que ordenar la ecuación e igualarla a 0 “c” coef. independiente


119

Ejemplos:

• 3x2 + 2x – 3= 0 , está ordenada e igualada a 0 los coeficientes son: a=3 , b=2 y c = – 3

• 2x – 4x2 + 5=0 , no está ordenada. Una vez ordenada – 4x2+ 5+2x =0

los coeficientes son: a= – 4 , b=2 y c= 5

• 3x2 – 8 + 2x = x + 3 – 5x2 Hay que igualarla a 0, 3x2 + 5x2 + 2x –x –8 –3= 0

y sumar los términos semejantes 8x2 + x – 11 =0

Los coeficientes son a= 8 , b=1 , c= – 11

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

107.- Indica el valor de los coeficientes a, b, c de las siguientes ecuaciones:

a) 3x2 + 2x – 3 =0 b) x2+ x =0 c) 052

3 2 xx

d) 4x2– 3x + 5 =2 e) 6 – x2 =0 f) 2x – 3 = x2

g) 5x2+2x= x + 4 h) 9x–3x2 + 5 = 2x + 3 –x2 i) 4x2 + 3x + 7 = 7x + 5

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

♦ COMPLETAS: si tiene todos los términos (en x2, en x e independiente)

Ejemplo: 3x2 +7x 4 =0

Las ecuaciones de

segundo grado pueden ser Tipo- I) Les falta el término en x (porque b=0)

ax2 + c = 0 Ejemplo: 3x2 81 =0

♦ INCOMPLETAS

Tipo- II) Les falta el término independiente ( c=0).

ax2 + bx = 0 Ejemplo: 4x2 8x =0

108.- Clasifica las siguientes ecuaciones (ya ordenadas) en completas o incompletas;

Si son incompletas indica el Tipo: I o II

a) 3x2 + 2x – 3 =0 b) 3x2 – 12 =0 c) x2+ 4x =0

d) 4x2– 3x + 5 = 0 e) x2 – 6 =0 f) x2 – 9 = 0

g) x2 + 2x =0 h) 4x2 +9x=0 i) –x2+ 4x =0


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Ecuaciones de segundo grado INCOMPLETAS

TIPO-I: ax2 + c = 0 (Les falta el término en x ; b=0 ) Ejemplo: 2x2 – 32 = 0,

1. En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo.

2x2 = 32

2. Pasamos el coeficiente al 2º miembro, dividiendo. 2

322 x ; x2 =16

x1= + 4

3. Se efectúa la raíz cuadrada: . x= 16 = ± 4 , o sea

x2= – 4

Las soluciones de este tipo de ecuación pueden ser:

dos soluciones: una positiva y otra negativa: como en el ejemplo anterior

ninguna solución: como en el ejemplo siguiente:

Ejemplo: 2x2 +8 = 0 ; 2x2 = – 8 ; 2

82 x ; x2 = – 4 x= 4 =

No tiene solución ya que la raíz cuadrada de un número negativo no existe

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

109.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x2 – 25 = 0 b) 3x2 – 48 = 0

c) x2 – 144 = 0 d) 7x2– 343 = 0

e) 2x2 – 72 = 0 f) 2x2 – 200 = 0

g) 2x2 + 24 = 0 h) x2 = 64


121

i) x2= – 49 j) 5x2 = 45

k) 4x2 – 64 = l) 6x2 – 24= 0

{ a) x=±5 ; b) x=± 4 ; c) x=±12; d) x=±7 ;, e) x= ±6 ; f) x= ±10 ; g) No tiene solución ; h) x=± 8 ; i) No solución ; j) x=± 3 ;

k) x=± 4 ; l) x=± 2 }

TIPO-II: ax2 + bx = 0 (Les falta el término independiente; c=0) Ejemplo: 3x2 + 9x = 0,

1.- Extraemos x como factor común: x(3x +9) =0

x=0 x1=0

2.- Se igualan a 0 cada uno de los dos factores x(3x +9) =0

3x +9 = 0 3x= –9 ; = 33

9

x2= –3

El primer factor siempre es nulo, es decir igual a 0 y el segundo factor se iguala a cero y se despeja.

En las ecuaciones de este tipo una de las soluciones es siempre cero.

110.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 2x2 + 7x = 0 b) x2 + 64x = 0

c) 5x2 – 40x = 0 d) 4x2 – 9x = 0

e) 3x2– 21x =0 f) 2x2 = 10

{ a) x1=0 ; x2= –7/2 ; b) x1=0; x2= – 64; c) x1=0; x2=8 ; d) x1=0; x2= 9/4 ; e) x1=0 ; x2=7 ; f) x1=0 x2= 5 }

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-


122

Ecuaciones de segundo grado COMPLETAS:

Como se ha visto, las ecuaciones de segundo grado completas son del tipo: ax2 + bx + c = 0,

Las soluciones se obtienen sustituyendo los valores de a , b , c en la siguiente fórmula:

Puede que haya 2, 1 o ninguna solución.

Ejemplo: x2 –7x +12 = 0 a= 1, b= –7, c=12

112.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

a) x2 + 5x + 6 = 0

b) x2– 5x + 6 = 0

c) x2 + x – 6 = 0

d) 8x2 – 10x + 3 = 0

e) 4x + 1 = – 4x2

{ a) x1= –2 , x2= –3; b) x1=3 , x2=2; c) x1= 2 , x2= –3 ; d) x1=3/4 , x2 = 1/2 ; e) x1=x2= –1/2 }

a

cabbx

2

42

x1 = 4 y x2 = 3

32

17

42

17

2

17

2

17

2

48497

12

1214)7()7( 2

x


123

113.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

a) x2 + x = 12

b) x2 + 10 = 3x

c) x2 – 4x + 4 = 0

d) 9x2 – 6x + 1 = 0

e) 100x2 + 20x + 1 = 0

f) x2 + x + 1 = 0

g) x2 – 7x + 12 = 0

h) x2 – x – 6 = 0

{ a) x1= 3, x2= –4 ; b) No tiene solución ; c) x1=x2=2 ; d) x1=x2= 1/3 ; e) x1=x2= –1/10 ; f) No tiene solución ;

g) x1=4 , x2=3 ; h) x1= –2 , x2= 3 }

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PROBLEMAS de ecuaciones de primer grado CON UNA INCÓGNITA · 2019. 12. 6. · La mitad de un número más el triple de ese número da 14. ¿Cuál es ese número? { 4 } 16.-Si al