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PROBLEMAS DE FORMULACION
PROBLEMA 1Una empresa fabrica tres productos : 1, 2 y 3. Cada producto requiere un tiempo de producción en tres departamentos, como lo muestra la siguiente tabla :
Producto Departamento 1 Departamento 2 Departamento 31 3 hrs/unid. 2 hrs/unid. 1 hrs/unid.2 4 hrs/unid. 1 hrs/unid. 3 hrs/unid.3 2 hrs/unid. 2 hrs/unid. 3 hrs/unid.
En cado uno de los tres departamentos, se dispone de 600, 400 y 300 horas de producción semanales. Si cada uno de los productos. 1, 2 y 3; contribuye con una utilidad unitaria de $2, $4 y $2.50 respectivamente. Determine la combinación que maximiza la utilidad.
PROBLEMA 2Un negocio se dedica al expendió de empaques, los que contienen : almendras, pecanas y nueces. La firma ordena diariamente un pedido que consiste en : 150 Kg. de pecanas, 100 Kg. de nueces y 52 Kg. da almendras. La empresa hace tres tipos de empaques: A. B y C. Los cuales se diferencian no por el tamaño si no por los proporción de cada producto. El contenido se muestra en la siguiente tabla.
Empaque Almendras Pecanas NuecesA 30% 60% 10%B 25% 35% 40%C 25% 45% 30%
Si el empaque de 0.50 Kg. de las mezclas A, B y C, los venden respectivamente a $2.00, $1.30 y $0.90. Cuantos empaques de cada tipo debe producir a efectos de maximizar sus ingresos.
PROBLEMA 3Una empresa se dedica a la fabricación de objetos para usos civiles y militares. Fabrica actualmente una línea de armas para civiles con una producción diaria de 20 unidades del modelo A-1 y 120 unidades del modelo A-2. El jefe de producción, desea saber si podría incrementar las utilidades , cambiando la mezcla actual de productos entre los dos modelos. Se tiene la siguiente información.
Horas requeridas Modelo A-1 Modelo A-2 Horas Disponibles DiariasDepartamento 1 2 0 160Departamento 2 0 3 540Departamento 3 2 2 440Departamento 4 1.2 1.5 300Utilidad Unitaria $50 $ 40
a) Determine la mezcla optima de productos, suponiendo que puede venderse todo lo que se produce.
b) En cuanto aumentaría la utilidad, si producimos de acuerdo a la mezcla optima .
1
c) La empresa esta considerando un tercer producto, el modelo A-3, que se utilizará las mismas instalaciones que los otros modelos. Los requerimientos de este nuevo modelo son los siguientes.
Departamento 1 Departamento 2 Departamento 3 Departamento 40.10 hr. 0.50 hr 0.20 hr 1.20 hr
La contribución a la utilidad del nuevo modelo, es de $55 por unidad. Determine la combinación que haga optima la utilidad.
PROBLEMA 4De los muchos productos que hace una fabrica metalmecánica, solo los productos C, D, E y F pasan por los siguientes departamentos : Cepillado, Fresado, Taladrado y Ensamblado. Los requerimientos por unidad de producto en horas y sus correspondientes utilidades son :
OperacionesUtilidad
Cepillado Fresado Taladrado EnsambladoProducto C 0.5 2.0 0.5 3.0 $8Producto D 1.0 1.0 0.5 1.0 $9Producto E 1.0 1.0 1.0 2.0 $7Producto F 0.5 1.0 1.0 3.0 $6
Las capacidades disponibles en el mes son, para los productos C, D, E y F, así como los requerimientos mínimos de ventas, son :
Departamentos Capacidad hrs. Requerimientos Mínimo de Ventas
Cepillado 1800 Producto C 100
Fresado 2880 Producto D 600
Taladrado 3000 Producto E 500
Ensamblado 6000 Producto F 400
a) Determine la cantidad de los productos C, D, E y F que habrá que fabricar este mes para maximizar la contribución.
b) Determine la contribución total máxima de los productos C, D, E y F en este mes. c) Determine el tiempo sobrante en los cuatro departamentos.
PROBLEMA 5Una competencia de relevos de 100 metros incluye a cuatro diferentes nadadores, quienes nadan sucesivamente 25 metros de dorso, pecho, mariposa y libre. El entrenador tiene seis nadadores muy veloces, cuyos tiempos esperados en segundo para los eventos esperados individuales se dan en la tabla.
Dorso Pecho Mariposa Libre
Nadador 1 65 73 63 57Nadador 2 67 70 65 58Nadador 3 68 72 69 55Nadador 4 67 75 70 59Nadador 5 69 69 75 57Nadador 6 75 70 66 59
Como deberá el entrenador asignar, los nadadores a los relevos a fin de minimizar la suma de sus tiempos.
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PROBLEMA 6Un negocio de ensambla 2 tipos de artículos: A y B cada unidad del producto A, requiere 1 hora de servicio de ingeniería y 5 horas de maquinado. De la misma manera cada unidad del producto B requiere 2 horas de ingeniería y 8 horas de maquinado. Semanalmente se dispone de 100 horas de ingeniería y 400 horas de maquinado. Los costos de producción se presentan a continuación:
Producto A Producto BProducción (unidades) Costos unitarios ($) Producción (unidades) Costos unitarios ($)
0 - 50 10 0 - 40 750 - 100 8 40 - 100 3
Los precios unitarios de venta al publico son respectivamente para A $12 y para B $14. La gerencia del negocio esta interesada en determinar el plan semanal de ensamblaje que maximice la utilidad total.
PROBLEMA 7Una compañía esta considerando la fabricación de una nueva línea de producción compuesta de cuatro productos. Cada uno de ellos puede fabricarse con dos métodos diferentes y completamente distintos. El método A consta de tres departamentos (1, 2 y 3) y el método B consta de dos departamentos (4 y 5). El precio de venta de esos productos, los costos variables, así como las cantidades que probablemente puedan venderse, de acuerdo con la opinión de su Departamento de Ventas son las siguientes.
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4
Precio de Venta $100 $150 $125 $140Costo Variable del Método A $80 $135 $120 $135Costo Variable del Método B $180 $150 $100 $119Cantidad que puede venderse 1000 3000 4000 6000
Método A Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4Departamento 1 3 3.6 2 3.5Departamento 2 9 10 8 9Departamento 3 1 1 0.5 0.5
Método B Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4Departamento 4 4 4 2 4Departamento 5 5 8 4 3
Horas DisponiblesDepartamento 1 15000Departamento 2 50000Departamento 3 8000Departamento 4 10000Departamento 5 10000
Con cual de los métodos, debe trabajar la empresa a fin de maximizar la utilidad.PROBLEMA 8Un avión carguero, posee tres bodegas A, B y C. Las capacidades limites son :
Bodega Tonelaje Pies
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A 105 3000B 80 1500C 70 2500
Carga Tonelaje Pies / tonelaje Utilidad1 300 60 $8002 80 50 $80003 70 25 $9000
Se han recibido las siguientes ofertas de carga :
Como se debe distribuir la carga, para maximizar la utilidad.
PROBLEMA 9Una agencia de servicios trabaja 24 horas al día, su personal trabaja turnos de 8 horas consecutivas cada día. La siguiente tabla muestra las necesidades diarias de personal
Horas del día Numero mínimo de personal02-06 806-10 1210-14 1014-18 718-22 1022-02 9
Con cuanto de personal como mínimo se debe trabajar para cumplir con los requerimientos diarios.
PROBLEMA 10Una unidad completa de cierto producto se ensambla con tres partes. Las que se producen en cuatro departamentos diferentes. Cada departamento tiene un numero limitado de horas de producción. La tabla siguiente da la tasa de producción para las tres partes. El objetivo es determinar el numero de horas que cada departamento debe asignar a la producción de cada parte para maximizar el número de unidades completas del producto final.
Capacidad / HoraTasa de producción (cantidad por hora)
Departamentos Parte 1 Parte 2 Parte 31 100 10 15 152 150 15 10 53 250 20 5 104 100 10 15 20
PROBLEMA 11Don Pedro es un exitoso industrial que tiene un sobrino llamado Luis. Un sábado Luis fue a visitar a su tío. Al llegar a las oficinas encontró que tenia varios huéspedes quienes esperaban su turno para ser atendidos, Don Pedro llamo a Luis y le dijo : Atiende a Don Dionisio pues es un huésped de
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honor. Si es posible trata de emborracharlo pues le gusta tomar una variedad de tragos. Toma $200, anda al bar de la esquina y regresas en no más de cuatro horas
Luis fue al bar de la esquina y selecciono los tragos que invitaría a tan distinguido huésped. Debemos acotar, que Luis no tomaba trago, consultó los tipos de trago que allí preparaban, precios de cada vaso, las unidades alcohólicas contenidas en cada vaso, así como el tiempo estimado que una persona demora en tomar cada vaso de trago. La información que recibió fue la siguiente :
Tragos Precio/ Vaso ($) Unidad de Alcohol por Vaso Tiempo de vaso (min.)Cerveza 3 20 05Ron 5 25 15Vino 10 30 12Whisky 12 10 20
Mas aun Luis se informo que el huésped nunca tomaba más de 8 vasos de cerveza, mas de 10 de ron, mas de 24 de vino, ni más de 12 vasos de Whisky. Por otro lado no toma menos de 4 vasos de Whisky, ni menos de 4 vasos de vino. Suponiendo que una persona estará más borracha cuando ingiere mas cantidad de alcohol. Como resolvió Luis este problema
PROBLEMA 12El gobierno peruano planea un programa de desarrollo educacional para los próximos siete años mediante el cual profesores serán enviados a la sierra para enseñar en las escuelas primarias de dicha región. Los profesores pueden ser contratados por 1, 2, 3 ó 4 años. Se tienen los siguientes costos asociados al numero de años que dura el contrato.
Años 1 2 3 4Costo 600 1080 1440 1800
El número mínimo de profesores requeridos cada año es el siguiente
Años 1 2 3 4 5 6 7Requerimientos Mínimos
800 1600 2700 3100 3500 3700 3900
Se supone que este programa de reclutamiento de profesores sólo será necesario durante los próximos siete años. El mercado no ofrece más de 1000 profesores cada año. Determine la política de contrataciones para los próximos siete años, que haga mínimo el costo del plan.
PROBLEMA 13Una compañía dispone de $35 millones para distribuirlos el próximo año entre sus sucursales. Debido a compromisos de la estabilidad, el nivel de empleados y por otras razones la compañía ha establecido un nivel mínimo de fondos para cada sucursal. Estos fondos mínimos son $8, $10 y $15 millones respectivamente. Debido a la naturaleza de su operación, la sucursal 2 no puede utilizar mas de $20 millones. Cada sucursal tiene la oportunidad de dirigir distintos proyectos con los fondos que recibe. Para cada proyecto se ha establecido una tasa de ganancia (como un porcentaje de la inversión). Por otra parte, algunos de los proyectos permiten solo una inversión limitada. A continuación se dan los datos para cada proyecto.
Sucursal Proyecto Tasa de Utilidad % Inversión Máxima
1
1 8 102 6 53 7 9
21 5 72 8 10
5
3 9 4
31 10 62 6 123 15 6
PROBLEMA 14Un financiera se encuentra en la formulación de su política de préstamos para el próximo año, para este fin dispone de $12 millones. Siendo una institución se servicios múltiples está obligada a otorgar prestamos a diversos clientes. La tabla que sigue señala los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra la financiera y la probabilidad de que el cliente no cumple con los pagos (incobrables o irrecuperables) según su experiencia
Tipo de préstamo Tasa de interés Probabilidad de recuperaciónPersonal 0.140 0.90Automóvil 0.130 0.93Vivienda 0.120 0.97Agricultura 0.125 0.95Comercial 0.100 0.98
El mercado exige que la financiera asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a préstamos agrícolas y comerciales. Para dar impulso a la construcción de vivienda, debe asignar cuando menos 50% de los préstamos para automóvil y vivienda. La financiera también tiene una política la que especifica que la relación global do los prestamos irrecuperables no pueden superar el 4% del fondo total. Cual debe ser el plan de inversión de esta financiera para maximizar sus intereses.
PROBLEMA 15Un comando de bombardeo estratégico recibe instrucciones de interrumpir la fabricación de mísiles del enemigo. Este tiene cuatro plantas de gran importancia localizadas en distintos lugares y la destrucción de cualquiera de ellas detendrá efectivamente la producción de mísiles. El combustible que utilizan estos aviones esta muy escaso, lo que limita la provisión a 15000 galones para una misión particular. Cualquier ataque enviado a un determinado lugar debe llevase cuando menos el combustible suficiente para el viaje de ida y vuelta. Más una reserva de cien galones. El comando debo efectuar:
Al menos 20 ataques en bombarderos ligeros. Al menos 10 ataques en pesados. No más de 5 ataques a la planta –1, con bombarderos pesados. No mas de 8 ataques a la planta -1, con bombarderos ligeros.
El número de ataques (salidas de bombarderos) que se puede realizar desde la base, así como sus descripciones se presentan en la siguiente tabla.
Tipo de Bomba Descripción Milla por Galón Ataques posibles
1 Pesado 2 48
2 Ligero 3 32
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La información acerca de la localización de cada planta y su vulnerabilidad al ataque de un bombardeo (ligero y un pesado), se da en la siguiente tabla.
PlantasDist. De la Base
(En Millas)
Probabilidad de destrucción por un bombardero tipo 1
Probabilidad de destrucción por un bombardero tipo 2
1 450 0.10 0.082 480 0.20 0.163 540 0.15 0.124 600 0.25 0.20
Cuántos bombarderos de cada tipo deben enviarse y como deben repartirse en los cuatro blancos, para hacer máxima la probabilidad de éxito. Suponga que no inflinge daño alguno a una planta. Por un bombardero que no la destruye.
PROBLEMA 16Una empresa dedicada a la fabricación de pinturas para fuselaje de aviones posee 3 maquinas con diferentes capacidades. Poner en operación un día cada maquina, tiene costos fijos y un costo de precio por galón. Las capacidades de cada maquina, son como sigue:
Maquina Costos FijosCosto del proceso
por Galón.Capacidad Máxima diaria en Galones.
1 $100 $5 2000
2 $200 $4 3000
3 $300 $3 4000
La empresa espera una demanda diaria de 3500 galones. El problema consiste en determinar cual de las tres maquinas utilizar y cuantos galones debe producir cada maquina de tal manera que la demanda quede satisfecha y el costo total sea el mas pequeño posible.
PROBLEMA 17Una empresa fabrica los productos A y B. En el proceso están involucrados 4 departamentos de producción. Un producto puede fabricarse, utilizando hasta 3 formas alternativas. Tal como se describe en la tabla siguiente. Las utilidades por cada producto; varían según la forma alternativa utilizada. El mercado consume como máximo 100 unidades de A y no menos de 200 de B. ¿Qué cantidad de cada producto debe producirse para hacer máxima la utilidad?. A continuación tiene la siguiente información.
Horas / Unidad en el departamentoUtilidad Unitaria ($)
ProductoForma
AlternativasI II III IV
A12
22
33
4-
-4
5.54.0
B123
232
-1-
-3-
--1
3.87.06.0
7
Horas disponibles 160 300 400 250
PROBLEMA 18Una compañía fabrica 5 productos en dos plantas. La planta 1 elabora los productos P1, P2, y P3. La planta 2 elabora los productos P4 y P5. La cantidad de materia prima y el espacio necesario de almacenamiento se dan en la siguiente tablas.
Producto P1 P2 P3 P4 P5 Disponibles
Materia Prima 2 4 4 3 3 6000 Kg.
Espacio libre 1 2 2 2 5 4000 pies3
Utilidad ($) 20 25 10 30 16
Los productos Pl, P2, y P4 son vendidos a empresas industriales y entre los tres productos se deben producir como mínimo 400 unidades. Los productos P3 y P5 son comprados por empresas comercializadoras y entre los 2 productos se deben producir como mínimo 250 unidades. Cada uno de los 5 productos necesita un tiempo de procesamiento de una hora. Las plantas 1 y 2 no disponen de mas de 1400 y 1000 horas respectivamente. Utilice la programación lineal para obtener el plan optimo de producción.,
PROBLEMA 19Un alumno en vísperas de sus exámenes finales, dispone de 40 horas para estudiar tres asignaturas A, B, y C. Por cada hora de estudio espera lograr : un punto en A, dos en B, y tres en C. Si ya tiene asegurados 50, 58 y 45 puntos en A, B, y C respectivamente. Debe lograr cuando menos 10, 2, y 15 puntos mas respectivamente para lograr aprobar en cada una de las asignaturas. Si no puede obtener mas de 100 puntos en cada una. ¿Cuantas horas debe dedicar al estudio de cada asignatura, para maximizar sus puntos en sus exámenes?
PROBLEMA 20Una pastelería hornea tres tipos de pastelillos. Los ingredientes son: mantequilla, nata, y crema. Las cantidades que dispone de dichos ingredientes son: 232 gr. 300 gr. y 720 gr. respectivamente. Las necesidades requeridas, para la elaboración de dichos pastelillos, se dan a continuación:
Tipo de Pastelillo Mantequilla (gr.) Nata (gr.) Crema (gr.)
ABC
564
856
98
12
Las utilidades provenientes de cada pastelillo son respectivamente. $ 0.10 para A, $ 0.05 para B y $0.015 para C. ¿Cuantos pastelillos de cada tipo debe producir diario para hacer máxima su utilidad?.
PROBLEMA 21Cierta persona requiere por razones de salud una cantidad diaria de 6000 unidades de carbohidratos, 4000 unidades de proteínas y 3500 unidades de grasas por día. Los carbohidratos, proteínas y grasas se encuentran principalmente en dos alimentos diferentes A y B. La cantidad de cada uno de estos nutrientes presente en estos dos alimentos por cada 100 gr., los precios respectivos por cada 100gr. de cada alimento y los requerimientos diarios se dan en la siguiente tabla:
8
A B Requerimiento DiarioCarbohidratos 500 200 6000Proteína 300 200 4000Grasa 600 100 1500Costo (S/. 100 gr.) 1.50 0.60
PROBLEMA 22Una empresa patrocina periódicamente seminarios y programas sobre servicios públicos. En estos momentos se están realizando planes promociónales para el programa de este año, las alternativas de publicidad incluyen televisión, radio y periódicos. A continuación se muestran las estimaciones de audiencia, los costos y las limitación sobre el uso máximo de los medios:
Televisión Radio Periódico
Audiencia por anuncio 100,000 18,000 40,000
Costo por anuncio 2000 300 600
Utilización máximo del medio 10 20 10
.
Para asegurar una utilización adecuada de los medios publicitarios, los anuncios por radio no deben rebasar el 50% del numero total de anuncios que se autoricen. Además se requiere que la televisión constituya cuando menos el 10% del numero total de anuncios autorizados.
a) Si el presupuesto de publicidad esta limitado a US $ 25,000. ¿Cuántos mensajes comerciales deben colocarse en cada medio con el objeto de maximizar el contacto total de la audiencia?.
b) ¿Cuál es la asignación del presupuesto entre los tres medios y cual la audiencia total que alcanza?.
c) ¿Cuál es el contacto que se estima con la audiencia y que se obtendría asignando US $ 1,1000 adicionales al presupuesto de publicidad?.
PROBLEMA 23Un contratista esta considerando una propuesta para la pavimentación de un camino, las especificaciones exigen un espesor mínimo de 12” y un máximo de 27”. El camino debe ser pavimentado en concreto, asfalto o gravilla, o cualquier combinación de estas tres elementos. Sin embargo las especificaciones requieren una consistencia final igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 7” de espesor. El contratista ha determinado que 3” de asfalto son tan resistentes como 1” de concreto y que 2” de gravilla lo son tanto como 1” de asfalto. Cada pulgada de espesor por yarda cuadrada de concreto le cuesta US $60, de asfalto US $20 y de gravilla US $10. El espesor de la capa de asfalto debe ser igual a la tercera parte del espesor total.
PROBLEMA 24Una cierta organización agropecuaria opera 3 terrenos de productividad comparable. La producción de cada una esta limitada por el terreno utilizable y la cantidad de agua para el riego. Los datos para la estación que viene son los siguientes:
Terreno Área utilizable (Hectáreas) Agua disponible (m3)1 400 15,000
9
2 600 20,0003 300 9,000
La organización esta considerando tres cultivos que difieren principalmente en el consumo de agua, la utilización por hectárea y la cantidad de terreno asignada a cada cultivo que esta limitada por la disponibilidad de equipo apropiado.
CultivoMáxima cantidad de
terreno asignadaConsumo de Agua
(m3/ c)Utilidad por Hectárea ($)
A 700 hect. 50 20,000
B 800 hect. 40 15,000
C 300 hect. 30 5,000
Para mantener la carga de trabajo uniforme entre los terrenos, la política de la organización establece que el porcentaje de terreno usado en cada una debe ser el mismo. Sin embargo, puede usarse cualquier combinación de cultivos en los terrenos. La organización desea saber cuantas hectáreas dedicar a cada cultivo en cada terreno para maximizar la utilidad esperada.
PROBLEMA 25Una empresa de inversiones, que maneja carteras de acciones para diversos clientes. Un cliente nuevo acaba de solicitarle que le maneje una cartera de US $ 80,000. El cliente desea, como estrategia inicial de inversión, restringir la cartera a una combinación de las tres siguientes acciones:
Acción Precio por Acción ($)Rendimiento Anual
estimado por AcciónInversión Máxima
Posible ($)
Blue Chip 50 $ 6 50,000
Best 30 $ 4 45,000
Regular 35 $ 5 30,000
Suponiendo que el cliente desea maximizar el rendimiento anual total, formule un modelo de programación lineal para el problema de inversión.
PROBLEMA 26Una fabrica produce bobinas de papel que es utilizado en periódicos y revistas. El papel es producido en rollos de 180 pulgadas de ancho estándar. Sin embargo, los clientes piden rollos de longitud estándar pero de ancho variable. Los anchos pedidos son los siguientes:
Ancho Numero de Rollos
80 200
45 120
27 130
10
Los rollos mas angostos tienen que ser cortados de los rollos de 180 pulgadas. Suponga que estos anchos son ordenados frecuentemente y por lo tanto no importa cortar en exceso y guardarla para satisfacer ordenes futuras. ¿Cómo se podría cumplir con los pedidos de forma optima?
PROBLEMA 27Un carpintero fabrica dos productos sillas y mesas. Su producción esta limitada por las disponibilidades de madera en el mercado (36 semanales) y por las horas de mano contratada (48 semanales). Cada silla requiere de 4 listones de madera y 3 horas de mano de obra. Cada mesa requiere de 4 listones de madera y 6 horas de mano de obra. Si el carpintero obtiene $ 27 y $18 de utilidad por cada silla y mesa respectivamente.
a) Determine el plan de producción optimo.b) ¿Cómo variaría el esquema de producción si la utilidad neta por silla se redujera a $ 18?.c) El carpintero se olvido que tenia que pagar $ 120 semanal por el alquiler del local donde opera
¿Como afecta esto a la solución optima del problema?.d) Es necesario ahora usar una maquina cepilladora que se puede usar como máximo 70 horas por
semana. Además una silla requiere de 10 horas de cepillado y una mesa requiere de 5 horas.e) Suponga que ya no hay mas restricciones para comprar mas listones de madera ¿Cuánto les
recomendarías usted que compre? ¿Por qué? y ¿Cuánto como máximo se podría pagar en exceso por la compra de los listones adicionales de madera?.
f) Suponga que la utilidad de la silla es variable, mientras que la utilidad de las mesas es constante e igual a $ 18. Sea “c” la utilidad neta por cada silla. Hallar las soluciones optimas en función al valor que se puede tomar “c” . Hallar también Z = f(c).
PROBLEMA 28Existen tres procesos para ensamblar un articulo:
Insumos Costo por unidad producida ($)A B
Proceso - 1 5 3 9
Proceso - 2 6 2 8
Proceso - 3 1 4 15
Disponibilidad 360 300
Hay una demanda de 100 artículos. ¿Cuántas unidades deben ensamblarse con cada proceso, para hacer mínimo el costo total?.
PROBLEMA 29Un pirata, en sus pillerías por América, recogió el siguiente botín: 62,000 libras de plata, 44,000 de oro y 21,000 en piedras preciosas. La capacidad del barco pirata era la siguiente:
Libras Pies Cúbicos
Popa 19,800 1,100
Centro 30,000 1,340
Proa 15,200 480
Los artículos de plata requieren 0.6 pies3 / libra y su valor es de 24 chelines / onza. Los artículos de Oro requieren 0.52 pies3 / libra y su valor es de 32 chelines / onza. Los artículos de piedras preciosas requieren 0.24 pies3/libra y su valor es de 19 chelines / onza. ¿Qué cantidad hubiera convenido cargar en el barco para obtener un máximo beneficio?.
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PROBLEMA 30Un individuo cuyo negocio es mezclar Whisky, importa 3 grados A, B, y C. Los combina de acuerdo con recetas que especifican los porcentajes máximos y mínimos de los grados A, B, y C en la mezcla. Estos porcentajes se dan en la siguiente tabla:
Nombre de la mezcla Especificaciones Precio / Botella ($)
Blue DotNo menos de 60% de ANo mas de 20% de C
6.80
High - fliNo mas de 60% de C
No menos de 15% de A5.70
Old - Franz No menos de 50% 4.50
Whisky básico Disponibilidaddiaria / botella
Costo / Botella ($)
A 2000 7
B 2500 5
C 1200 4
Proyecte una política de producción que maximice las ganancias.
PROBLEMA 31Un industrial tiene 240 pies de madera, 370 Kg. de plástico y 300 Kg. de acero; para fabricar dos productos A y B. El producto A requiere: 1 pie de madera, 3 Kg. de plástico, y 2 Kg. de acero. El producto B requiere 3 pies de madera, 4 Kg. de plástico, y 1 Kg. de acero. Si el producto A se vende a $ 400 y el producto B a $ 600 cada unidad. ¿Cuánto se debe producir de cada uno; para obtener mayores ingresos?.
PROBLEMA 32Una empresa metalúrgica produce una aleación de 4 metales A, B, C, y D. La aleación debe contener al menos:
- Al menos 23% del metal A.- No mas del 15% del metal B- No mas del 14% del metal C- Entre 50% y 75% del metal D.-
La empresa dispone de seis tipos de concentrados minerales, de los cuales los metales se obtienen por refinación. Las impurezas de los concentrados son eliminados antes del procesamiento. Las características de los concentrados son indicados en la siguiente tabla:
ConcentradoPorcentaje ( % )
Costo / Tonelada ( $ )
A B C D
1 25 10 10 55 23
12
2 40 0 0 60 20
3 20 10 0 70 18
4 0 15 5 80 10
5 20 20 0 60 27
6 8 5 20 67 12
Determinar las cantidades de los concentrados requeridos para producir, a costo mínimo, una tonelada de aleación.
PROBLEMA 33Una empresa industrial desea decidir la forma mas eficiente de atender los pedidos pendientes de cuatro productos ( A, B, C, y D ). Existen dos procesos que permiten producir los artículos 1 y 2. El proceso 1 permite elaborar cuatro, tres, dos y una tonelada por hora de A, B, C, y D respectivamente en forma simultanea. El costo del proceso es de US $ 2,000 por hora (incluye materiales, energía, desgaste, mano de obra, etc.). El proceso 2 permite elaborar uno, dos, tres, y cuatro toneladas por hora respectivamente de A, B, C, y D en forma simultanea. El costo del proceso es de US $ 3,000 por hora. Los pedidos pendientes de A, B, C, y D son de 50, 60, 70 y 80 toneladas respectivamente. Es posible fabricar mayor cantidad de cada producto para guardarlo en inventario, aunque esto significara mayores costos 10, 50, 30, y 20 dólares por tonelada almacenada de A, B, C, y D respectivamente (se almacenara el exceso).
PROBLEMA 34Una planta de producción fabrica refrigeradoras, estufas, y lavaplatos. Durante el próximo año se esperan las ventas siguientes:
Producto Trimestre - 1 Trimestre - 2 Trimestre - 3 Trimestre - 4
Refrigeradora 2000 1500 3000 1000
Estufa 1500 1500 1000 1500
Lavaplatos 1000 3000 1500 3000
La compañía ha de establecer un plan de producción que cubra las demandas previstas. Durante cada trimestre se dispone de 8,500 horas de producción. Una refrigeradora requiere de 0.5 horas, una estufa 2 horas y un lavaplatos 1.5 horas de producción. Suponga que cualquier producto que permanezca al final de un trimestre (incluido el ultimo), supone un costo de almacenamiento de $150 por unidad. La compañía requiere un plan de fabricación que no exceda la limitación de horas de fabricación disponible cada trimestre, que satisfaga la demanda trimestral, y que tenga un costo mínimo por unidades almacenadas al final de cada trimestre.
PROBLEMA 35Un inversionista tiene una disponibilidad de $ 1,800,000 para invertir entre un conjunto de 6 proyectos. El inversionista tiene un buen crédito en la banca, por lo que los bancos le pueden prestar hasta un máximo de lo que invierta con su dinero. Todos los proyectos deben ejecutarse en el año “Cero” o no ejecutarse.
- El proyecto “C”, solo puede ejecutarse, si se ejecuta el proyecto “A”.- los proyectos “B” y “F”, solo pueden ejecutarse si se ejecuta el proyecto “C”.- Los proyectos “C” y “D” son excluyentes. (No se pueden ejecutar a la vez). - Debe hacerse al menos uno de los proyectos “D” y “E”. - Es necesario hacer el proyecto “B” o “F”, pero no es posible hacer ambos.
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Proyecto Capital Propio Capital Deuda Proyecto (años) Retorno Anual ( $ )
A 100,000 80,000 10 40,000
B 200,000 40,000 5 90,000
C 500,000 200,000 7 280,000
D 600,000 60,000 8 240,000
E 700,000 200,000 9 320,000
F 300,000 60,000 9 150,000
Los proyectos “E” y “F” son complementarios (o se hacen los dos, o ninguno). El inversionista desea maximizar el valor presente neto de lo invertido. Considere que el costo de capital es de 25% anual. El propósito de este caso es ejercitar tanto el juicio como la habilidad técnica. Tendrá que decidir, basándose en los objetivos del inversionista, exactamente que información debe proporcionarle. Después tendrá que formular un modelo (o modelos) de programación lineal, ejecutarlo (o ejecutarlos), y presentar un informe resumido, los resultados relevantes.
PROBLEMA 36Una compañía elabora un producto en dos fabricas: Fabrica 1 y Fabrica 2. En la tabla siguiente, se da el costo unitario de producción y la capacidad de producción para cada periodo.
Costo unitario de producción ( $ ) Capacidad
Fabrica 1 (periodo 1) 33 7
Fabrica 1 (periodo 2) 43 4
Fabrica 2 (periodo 1) 30 9
Fabrica 2 (periodo 2) 41 9
Se envía de inmediato el producto al único cliente de la compañía según los costos unitarios de envió dados en la tabla siguiente. Si se produce y se envía una unidad durante el periodo 1, todavía podrá ser utilizado para satisfacer la demanda del periodo 3, pero se cargara un costo por mantenimiento del inventario de $13 por unidad. Al terminar el periodo 1, se puede tener a los mas seis unidades en el inventario. Las demás en el siguiente: Periodo 1: 9, Periodo 2 : 11. formule PPL que se pueda utilizar para minimizar el costo de satisfacer todas las demandas a tiempo. Dibuje la red y determine el flujo neto en cada nodo, las capacidades de arco y los costos de envió.
Periodo – 1 Periodo – 2Fabrica 1 al cliente $ 51 $60Fabrica 2 all cliente $42 $71
PROBLEMA 37Una compañía, tiene que escoger un conjunto de proyectos de la siguiente lista. Su meta es maximizar el valor presente neto total del conjunto de proyectos seleccionados; pero sin gastar de lo presupuestado, en cualquiera de los próximos 3 años. Los datos de este problema de presupuesto de capital, son dados en la siguiente tabla. También se dan algunas restricciones adicionales sobre los proyectos que pueden ser seleccionados:
Valor presente neto ($) Desembolsos requeridos US $
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ProyectoAño - 1 Año - 2 Año- 3
1 40 10 15 10
2 50 20 10 5
3 30 10 15 10
4 40 20 10 5
5 50 10 15 10
6 60 20 10 5
- La compañía tiene que escoger al menos uno de los proyectos, ya sea 1 o el 6.- Si el proyecto 6 es seleccionado entonces el proyecto 5 también tiene que serlo.- Exactamente un proyecto del conjunto 1, 2, 3, tiene que ser seleccionado.- El proyecto 4 puede ser seleccionado solo si el proyecto 5 es seleccionado. Sin embargo el
proyecto 5, puede ser seleccionado sin que el 4 sea seleccionado.
PROBLEMA 38Una compañía fabrica tres clases de abrigos para caballeros: deportivos (A), formal (B) y ejecutivo (C). La compañía es un negocio propiedad de la familia y operado por esta, pero la mayoría de los empleados de la compañía no son miembros de la familia. Debido a la naturaleza competitiva del negocio y a la gran demanda de mano de obra de la industria, es de gran importancia mantener satisfechos a los empleados. Los administradores consideran que una medida importante para satisfacer las necesidades de sus empleados es ofrecer empleo de tiempo completo, aun cuando esto exija producir en exceso e incurrir en algunas perdidas. Por fortuna los administradores esperan que la demanda de sus productos siga bastante elevada. De hecho, para satisfacer parte de la demanda, podría ser necesario operar en tiempo extra. Las tres líneas de abrigo de la ABC, se fabrican en dos departamentos. La tabla muestra un programa semanal de requerimientos de mano de obra y materiales para el proceso de fabricación.
Requerimientos de producción (por unidad)Recursos:
Mano obra / MaterialADeportivo
BFormal
CEjecutivo
Departamento 1 4 horas 12 horas 10 horas 8000 horas
Departamento 2 6 horas 6 horas 16 horas 4000 horas
Material 8 yardas 6 yardas 12 yardas 8000 yardas
Los precios unitarios de las tres líneas son: $100, $150 y $250, respectivamente. Los administradores han determinado que a un nivel normal de producción los costos variables son de $70, $80 y $100 por abrigo respectivamente. Los costos de tiempo extra son $2 por hora por encima de su salario normal para el departamento 1 y $3 para el departamento 2. Los materiales extras pueden adquirirse a un costo de $2 por yarda por encima del costo normal. Los administradores de la empresa han pronosticado que la demanda del mercado para el abrigo deportivo es de 1000 unidades por semana y la demanda de las otras líneas es de 500 y 200 unidades respectivamente. El nivel de equilibrio de producción es de 100 unidades del producto uno (deportivo) y 50 unidades de cada uno de los otros dos productos. Para ayudar a analizar el problema, los han identificado en orden de prioridad, las siguientes metas:
Meta 1: Utilizar toda la operación de producción disponible, es decir, no debe existir tiempo muerto en ningún departamento.
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Meta 2: Alcanzar los niveles de producción de punto de equilibrio en cada una de las líneas de producción.
Meta 3: Dado que es posible que exista escasez de mano de obra en el departamento 2, y dado que puede enviarse personal, en tiempo extra a ese departamento, el tiempo extra aquí puede ser mayor que el del departamento 1. Sin embargo el tiempo extra del departamento 2 debe estar limitado a 600 horas. El tiempo extra del departamento 1 no debe ser mayor de 200 horas.
Meta 4: Alcanzar una meta de utilidades semanales de $ 20,000. Meta 5: Satisfacer todas las demandas del mercado. Dentro de esta meta deben utilizarse
ponderaciones distintas para reflejar la contribución unitaria normal a las utilidades.
PROBLEMA 39Un fabricante de televisores tiene cuatro modelos: (1) Un televisor portátil B/N llamado Deportista, (2) Un televisor B/N común llamado Normal, (3) Un Televisor portátil a colores llamado Viajero y (4) Un modelo normal a colores llamado Super. Cada televisor requiere un tiempo de montaje y pruebas. En la siguiente tabla se indican los requisitos de montaje y pruebas para cada modelo, así como la cantidad de tiempo disponible para cada operación.
Modelos
Sport Normal Viajero Super Total
Tiempo de montaje (hs) 2 10 12 15 2000
Tiempo de prueba (hs) 8 2 2 5 500
Utilidad 40 60 60 100 100
Además por causa de una huelga, hay una escasez de cinescopios y el proveedor indica que no podrá proporcionar mas de 180 cinescopios el próximo mes y de estos, como máximo 100 podrán ser de color.
a) ¿Cual es el programa de producción optimo para el fabricante de televisores?. ¿Hay programas alternativos ?, de ser así hállelos.
b) ¿Cuál es el valor marginal de una hora adicional de montaje?. ¿En que intervalo es valido este valor marginal?
c) Supongan que se pueden obtener 80 horas adicionales de tiempo de pruebas a un costo de $ 4 por hora. ¿Debe obtenerse?. ¿Cual seria el incremento de los beneficios?. ¿Cual es el valor de la hora adicional de tiempo de pruebas?. ¿En que intervalo es valido este valor?.
d) Suponga que se considere un cambio de precio que modifica el beneficio marginal del modelo deportista de $ 40, a $45. ¿Cambiaria esto el plan optimo de producción?. Suponga que el precio del modelo deportista cambia de $ 40 a $ 55, en este caso, ¿Variaría el plan de producción?.
e) ¿Cuánto tendría que cambiar el precio del modelo normal para que haya una modificación en el programa de producción?.
f) Suponga que se puede obtener cinescopios adicionales de otro proveedor, pero cuestan $ 2 mas que los del proveedor regular para blanco y negro y $ 5 mas para el de color. ¿Deben comprarse cinescopios?, ¿Cuántos?.
g) La gerencia quiere introducir un nuevo modelo a color, llamado Compañero, solo requerirá 10 horas de montaje y 3 horas de pruebas. El beneficio marginal del modelo seria de $ 70. ¿Debe producirse el nuevo modelo?. De ser así, ¿Cuál seria el valor marginal de la producción de unidad del modelo compañero?. ¿Cuál seria el nuevo programa de producción?.
PROBLEMA 40Tres depósitos surten a 5 almacenes de un mismo producto. La tabla indica el costo de transporte por unidad entre depósitos y almacenes. Sin embargo, por el daño de un puente principal se han impedido las entregas desde el deposito A hasta el almacén 5, desde el deposito B, hasta el almacén 2, y desde el deposito C, hasta el almacén 4. Determine la distribución optima.
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AlmacénDisponibilidad
1 2 3 4 5
Deposito A 2 3 4 4 2 850
Deposito B 4 8 3 6 6 300
Deposito C 6 7 8 3 5 450
Demanda 74 345 180 90 210
PROBLEMA 41Se desea instalar cuatro fábricas. Una de papel, otra de vidrio, otra de fibra artificial, y una de llantas. Se ha tomado la decisión de invertir en una fabrica para Arequipa, Huancayo, Iquitos, y Chiclayo. Se desea conocer el tipo de fabrica que deberá instalarse encada ciudad. La matriz siguiente muestra las utilidades netas en millones de dólares.
AlmacénFabrica Arequipa Huancayo Iquitos Chiclayo
Papel 27 13 15 18Vidrio 35 22 10 22Fibra de vidrio 12 30 40 32Llantas 15 26 14 28
PROBLEMA 42Un fabricante debe cumplir un contrato de cuatro meses; durante los cuales varían los costos de producción. El costo de almacenamiento paras unidades producidas en un mes y no vendidas en ese mes es de $ 1/ unidades / mes.
Mes Contrato de Ventas Capacidad de Prod. Costo Unitario $
1 20 40 14
2 30 50 16
3 50 30 15
4 40 50 17
Minimizar el costo total de producción e inventario.
PROBLEMA 43Una compañía de aviación tiene un proyecto de comprar aviones de vuelos cortos, medianos y largos. Los aviones de vuelos cortos tienen un precio de $ 3,500, cada uno, los aviones de vuelos medianos $5,000, cada uno y los de vuelos largos $ 6,700 cada uno. Se tiene presupuesto máximo de $ 150 millones, para el proyecto. Los aviones serán utilizados al máximo de su capacidad produciendo así una ganancia neta anual:
- Aviones de vuelos cortos $ 230,000- Aviones de vuelos largos $ 400,000- Aviones de vuelos medianos $ 430,000
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El numero de pilotos disponibles es de 30. La capacidad de los hangares es limitada. Si únicamente se comprara aviones de vuelos cortos; podrían atender solo 40 aviones. La capacidad ocupada por los medianos es de 4/3 de la de los vuelos cortos y la de los vuelos largos 5/3 de la de los vuelos cortos. Se desea conocer cuantos aviones de cada tipo se deben comprar para obtener una ganancia máxima. Formule un modelo de programación lineal para hacer máxima la utilidad.
PROBLEMA 44Una corporación tiene tres plantas con exceso en su capacidad de producción. Las tres plantas tienen la capacidad de producir un cierto producto por lo que el jefe ha decidido aprovechar ese exceso de producción de la siguiente manera: El producto puede ser fabricado en tres tamaños: Grande, mediano, y pequeño, con una ganancia neta por unidad de $12, $10 y $9 respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen un exceso de mano de obra y equipo con capacidad de producir 500, 600, y 300 unidades por día del producto respectivamente. El aumento del producto para almacenar impone una limitación en la ruta de producción; las plantas 1, 2 y 3 tienen 9000, 8000 y 3500 pies cuadrados para almacenar el producto. Cada unidad del grande, mediano, y pequeño producidas por día requieren 20, 15 y 12 pies respectivamente. Las estadísticas de ventas indican que 600, 800 y 500 unidades del grande, mediano y pequeño respectivamente pueden ser vendidas por día. Para manejar una carga uniforme entre las plantas, se ha dispuesto que la producción adicional asignada a cada planta debe corresponder a porcentajes iguales del exceso de capacidad. Se debe conocer que tanto de cada uno debe ser producido y por cual planta con el objeto de tener una máxima ganancia. Formule un modelo de programación lineal para este problema.
PROBLEMA 45Supongamos que se dispone de 5 alimentos distintos; los cuales contienen dos tipos de nutrientes: calorías y vitaminas, en la cantidad que se encuentran en la tabla siguiente:
NutrienteAlimento Requerimiento mínimo
1 2 3 4 5Calorías 1 0 1 1 2 700
Vitaminas 0 1 0 1 1 400Precio ($) 2 20 3 11 12
En esta tabla se muestra además los requerimientos mínimos de cada nutriente en una dieta, así como el precio por la unidad de alimentos. Formular el modelo de manera que se satisfagan los requisitos de una dieta normal
PROBLEMA 46Una pequeña refinería mezcla 5 crudos para producir 2 grados de gasolina “A” y “B”. El numero de barriles diarios disponibles, numero y el costo por barril aparecen en la tabla siguiente:
Crudo Numero de Octanos Barriles / Día Costo / Barril1 70 2000 8002 80 4000 9003 85 4000 9504 90 5000 10005 99 3000 2000
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El numero de octanos de gasolina “A”, no puede ser menor de 95 y de la “B” no menos de 85. Asumir que una disposición gubernamental obliga a producir por lo menos 8000 barriles diarios de gasolina tipo “B”. La gasolina tipo “A” se vende a los distribuidores a $3500 por barril y la de tipo “B” a $2800 por barril. Los crudos no utilizados para producir gasolina tipo “A” y “B” siempre y cuando tengan al menos 90 octanos se venden como gasolina de aviación a $2500 por barril y aquellos con 85 octanos como máximo se venden como “Extra” a $1500 por barril. Si deseamos maximizar las utilidades diarias. ¿Cuál debe ser la producción de gasolina “A” y “B”, y como se deben de mezclar los crudos?.
PROBLEMA 47Supongamos que se cuentan con dos alimentos : pan y queso. Cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones.
- Un kg. de pan contiene 2000 calorías y 50 gr. de proteínas- Un kg. de queso contiene 4000 calorías y 200 gramos de proteínas.
Supóngase que una dieta normal requiere cuando menos de 6000 calorías y 200 gramos de proteínas al día. Si el kg. de pan cuesta $6 y el de queso $21. ¿Qué cantidades de pan y de queso deben comprarse para satisfacer los requisitos de la dieta normal gastando la menor cantidad de dinero?
PROBLEMA 48Suponga que una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades sería proporcional a esa fracción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinación.
PROBLEMA 49Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos; llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción:
Tipo de máquina Tiempo disponibleFresadora 500Torno 350Rectificadora 150
El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es
Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3Fresadora 9 3 5Torno 5 4 0
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Rectificadora 3 0 2
El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia.
PROBLEMA 50Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de septiembre a mediados de mayo) y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5.00 la hora durante los meses de invierno y por $6.00 la hora en el verano.
Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1200 y cada gallina costará $9.
Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombre en el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas.
Las estimaciones de las horas-hombre y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son
Soya Maíz AvenaHoras-hombre en invierno 20 35 10Horas-hombre en verano 50 75 40Ingreso neto anual 600 900 450
La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Formule el modelo de programación lineal para este problema.
PROBLEMA 51Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en seguida:
Compartimiento Capacidad de peso Capacidad de espacioDelantero 12 7000Central 18 9000Trasero 10 5000
Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:
Carga Peso(toneladas)
Volumen(pies cúbicos/tons)
Ganancia($ / tonelada)
1 20 500 3202 16 700 400
20
3 25 600 3604 13 400 290
Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo.
PROBLEMA 52Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas. Tarda dos horas en ensamblar una mesa y 30 minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan cuatro trabajadores sobre la base de un solo turno diario de 8 horas. Los clientes suelen comprar cuando menos cuatro sillas con cada mesa, lo que significa que la fábrica debe producir por lo menos cuatro veces más sillas que mesas. El precio de venta es de $135 por mesa y $50 por silla. Determine la combinación de sillas y mesas en la producción diaria que maximizaría el ingreso total diario de la fábrica.
PROBLEMA 53Un pequeño banco asigna un máximo de $20 000 para préstamos personales y para automóvil durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de los préstamos para automóvil debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales. ¿Cómo deben asignarse los fondos?
PROBLEMA 54Una compañía de productos electrónicos produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la de la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierta componente electrónica, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere ocho piezas de la misma componente. La disponibilidad diaria máxima de la componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es $30 y $20, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio.
PROBLEMA 55Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 25 veces más ventas que cada minuto de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión.
PROBLEMA 56Un hospital está tratando de determinar el número de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes que viene. El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 días. Las comidas de pescado cuestan $2 cada una y las de res 2.50 (los costos incluyen vegetales y ensalada). Ambas comidas cumplen con las necesidades de proteínas. Si se juzga el sabor en una escala de 1 a 10, el pescado obtiene un 5 y la res 9. El hospital quiere alcanzar en el mes un total de por lo menos 200 puntos en el sabor. Los requerimientos totales de vitaminas en el mes debe ser,
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por lo menos, 300 unidades. La comida de pescado proporciona 8 unidades y la de res 12 unidades. ¿Cuántas comidas de cad tipo debe planear el hospital?
PROBLEMA 57Una fabrica papelera está tratando de encontrar la mejor manera de cortar platos de papel del rollo estándar. Tiene dos pedidos de platos: uno por 100000 platos de 9 pulgadas, el otro por 178000 platos de 7 pulgadas. Se han propuesto dos métodos de corte. El corte a da 5 platos de 9 pulgadas y 10 de 7, más 4 pulgadas de desperdicio por cada pie de material del rollo. El corte b da 8 platos de 9 pulgadas y 5 de 7, más 6 pulgadas de desperdicio por cada pie de material del rollo. ¿Cuántos cortes de cada tipo deben hacerse para minimizar el desperdicio?
PROBLEMA 58Un dietista está tratando de seleccionar las cantidades apropiadas de dos alimentos para cumplir con las necesidades diarias de dos vitaminas. El alimento A proporciona cinco unidades de la vitamina X y tres unidades de la vitamina Y a un costo de $0.04 por onza. El alimento B proporciona tres unidades de la vitamina X y siete unidades de la vitamina Y a un costo de 0.05 por onza. Los requerimientos diarios son de 15 unidades de la vitamina X y 20 unidades de la vitamina Y. Formúlese el problema de programación lineal y encuéntrese la solución entera que minimiza los costos totales.
PROBLEMA 59Un empresa fabrica sofás especiales de dos tipos: contemporáneo y americano clásico. La compañía dispone de 150 horas de mano de obra para el próximo periodo, para hacer estructuras y de 200 horas para tapizar, únicas operaciones. Los materiales no son una restricción y tampoco la demanda. Un sofá contemporáneo lleva cinco horas para la estructura y tres horas de tapicería y contribuye con $400 a la ganancia. Un tipo americano clásico lleva tres horas para la estructura y siete horas para la tapicería y contribuye con $500. Formúlese el problema de programación lineal y encuéntrese la solución entera que maximiza la contribución.
PROBLEMA 60Una agencia de publicidad está tratando de determinar el número de anuncios que debe comprar en cada una de dos revistas. Ha recopilado los siguientes datos:
Revista Hombres Mujeres Costo/anuncio1 40 000 30 000 $3 0002 40 000 11 000 $4 000
La agencia quiere llegar, por lo menos, a 160 000 hombres y a 330 000 mujeres a un costo mínimo. Formúlese el problema de programación lineal y encuéntrese la solución entera óptima.
PROBLEMA 61Debido a una escasez de gasolina, la demanda de boletos de una aerolinea ha aumentado mucho en los últimos meses. La demanda ha crecido tanto que ahora la aerolínea está analizando la posibilidad de adquirir varios aviones nuevos. Existen tres tipos de aviones de entre los cuales se pueden elegir el DC-33, el Boeing 797 y el Lockheed Bi-Star. En la siguiente tabla se muestran el costo, capacidad y tiempo requerido de mantenimiento mensual para cada tipo. La aerolinea desea adquirir los nuevos aviones al mínimo costo posible, sujeto a los requerimientos de capacidad y mantenimiento. Los nuevos aviones deben transportar un total combinado de cuando menos 3,400 pasajeros y deben tener un tiempo combinado total de mantenimiento que no exceda las 250 horas mensuales. Se complica aún más la decisión de qué aviones adquirir porque sólo existen disponibles para su compra cinco aviones Bi-Star.
Avión Costo (en millones) Capacidad Tiempo de mantenimiento
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(horas por mes)DC-33 10 350 25Boeing 797 15 450 15Lockheed Bi-Star 12 400 15
PROBLEMA 62Leonard Myers es el gerente de El Cheapo Grocery Store. En la actualidad está considerando utilizar 50 pies cuadrados de espacio de estantes para varias exhibiciones de tabaco. Las exhibiciones requieren diferentes cantidades de espacio en los estantes y al señor Myers le gustaría que le pagaran diferentes cantidades por cada una de las exhibiciones de las compañías tabacaleras. Leonard quiere maximizar sus ingresos provenientes de las compañías tabacaleras, al mismo tiempo que no desea utilizar más de los 50 pies cuadrados que ha asignado de espacio para las exhibiciones. En la siguiente tabla se muestran los posibles pagos de cada una de las compañías tabacaleras y el espacio de estantes que se requiere.
Producto Compañía tabacalera Pagos ($) Espacio que se requiere
1 Puffo 100 172 Hack & Hack 75 153 L. Porrilland 115 204 Krogo 50 155 Browntooth 135 20
PROBLEMA 63La Mc Davis Consulting Co. se especializa en la preparación de preparación de programas de computadora para el gobierno y la industria. Estos programas se escriben en uno de cuatro lenguajes de programación: FORTRAN, Ensamblador, COBOL y APL. La compañía tiene tres programadores que realizan esta labor y existen cinco trabajos de programación que deben terminarse lo más pronto posible. No todos los programadores trabajan a la misma velocidad en todos los lenguajes y se les paga en forma diferente con base en su experiencia. Cada uno de los trabajos debe elaborarlo un solo programador. Los costos de terminación de cada tarea por programador se muestran a continuación:
Programador Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4 Trabajo 5Joe $100 $150 $200 $100 $50Sue 80 200 100 100 80Susan 200 250 250 150 100
A continuación se muestran el tiempo que necesita cada programador para terminar cada trabajo y el tiempo de que dispone después de realizar sus demás tareas.
Prog. Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4 Trabajo 5 Tiempo disponible
Joe 10 15 20 10 5 35Sue 4 10 5 5 4 20Susan 20 25 25 15 10 40
PROBLEMA 64Un granjero desea determinar cuál es la mejor selección de ganado para su granja con el objeto de maximizar las utilidades provenientes de las ventas de los animales al final del verano. Puede
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comprar ovejas, reses o cabras. Cada oveja necesita un acre de pastura y $15 de alimentación y tratamiento. Una oveja cuesta $25 y puede venderse en $60. Para las reses, estos valores son 4 acres, $30, $40 y $100. Y para las cabras, estos valores son 0.5 de acre, $5, $10 y $20. La granja tiene 300 acres y el granjero dispone de $2,500 para comprar y mantener su ganado. Por último, el granjero ha fijado un límite inferior al número de animales que desea adquirir, si es que compra alguno de cada tipo. Este límite inferior es de 50 para las ovejas, 25 para las reses y 100 para las cabras. Plantee esto como un problema de programación lineal entera.
PROBLEMA 65Una compañía manufactura cajas de herramientas en tres plantas y la manda después por barco a tres centros de distribución (los cuales son propiedad de la compañía). Los costos de producción y distribución variable por unidad transportada entre las plantas y los centros de distribución, así como la capacidad de producción mensual de las plantas, la demanda mensual de cada centro de distribución, y los costos fijos mensuales por operar las plantas y centros de distribución se muestran en la siguiente tabla:
Planta Centro de distribución A
Centro de distribución B
Centro de distribución C
Capacidad Costos fijos
1 $25 30 27 600 17002 27 25 29 600 20003 30 27 26 600 1900
Demanda 500 500 500Costo fijo 500 400 600
La compañía está pasando por momentos económicos difíciles y la administración ha decidido cerrar una planta y un centro de distribución. Desde luego que la demanda del centro de distribución se perderá (no será satisfecho). Cuando un centro de distribución se cierra, nada llegará a él y los costos fijos no se tomarán en cuenta. Cuando se cierra una planta, nada se manufacturará ni saldrá de ella. Formule el modelo de programación entera para decidir qué planta y centro de distribución cerrar.
PROBLEMA 66La Compañía CMC está abriendo un centro de investigaciones en Austin, Texas, y debe comprar 400 escritorios para sus oficinas. Existen tres vendedores en el área que ofrecen grandes volúmenes de escritorios. El vendedor 1 puede proveer cualquier número de escritorios por un costo de $500 cada uno, más un costo fijo por orden de $100. El vendedor 2 puede proveer hasta 350 escritorios. Los primeros 100 costarían $550 cada uno, mientras que cada escritorio adicional (después de los 100) costaría $490. Este proveedor no considera costo fijo. El vendedor 3 maneja un mínimo de 50 escritorios por orden y un máximo de 200. Si se le compra al proveedor 3, pero la orden contiene menos de 100 escritorios, entonces se tendrá un costo fijo de $300. El precio del escritorio con este proveedor es de $495. La compañía ha decidido no comprarles a más de dos vendedores. Formule en modelo de programación entera que encuentre la solución óptima.
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