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MatematicasLogaritmosEjercicios
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3. 1
UNIDAD 3
LOGARITMOS
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad comprenderás la importancia histórica de los
logaritmos y resolverás ejercicios y problemas en los que apliques los
logaritmos y sus leyes.
Objetivo 2. Reconocerás la definición de logaritmo.
Ejercicios resueltos:
a.) Escribe la forma logarítmica de las expresiones dadas en forma exponencial.
1.) 62 64
La base es 2 y el exponente es 6, por lo que 2log 64 6
2.) 31 1
5 125
La base es 15 y el exponente es 3, de modo que 1
5
1log 3125
3.) 4 1216
La base es 2 y el exponente es – 4, así que 21log 4
16
3. 2
b.) Escribe la forma exponencial de las expresiones dadas en forma logarítmica.
4.) 6log 36 2
La base es 6 y el logaritmo es 2, por lo que 26 36
5.) 3log 243 5
La base es 3 y el logaritmo es 5, así que 53 243
6.) 13
1log 481
La base es 13 y el logaritmo es 4, de modo que
41 13 81
c.) Escribe en forma exponencial y determina el valor de la incógnita.
7.) 5log 25y
En forma exponencial: 5 25y
Como 25 25 , entonces 2y
8.) 2 log 16a
En forma exponencial: 2 16a
Como 24 16 , queda 4a
9.) 12
3 log x
En forma exponencial: 31
2x
Entonces, 18
x
Objetivo 3. Recordarás la diferencia entre los logaritmos naturales y
los logaritmos base diez.
3. 3
Ejercicios resueltos:
Con ayuda de unas tablas o una calculadora, encuentra los logaritmos comunes y los
logaritmos naturales de los números que se proponen:
1.) 3
log3 0.477121...
ln 3 1.098612...
2.) 300
log300 2.477121...
ln 300 5.703782...
13.) 30
1log 1.477121...30
1ln 3.401197...30
4.) 30,000
log30,000 4.477121...
ln 30,000 10.308953...
Objetivo 4. Recordarás las propiedades generales de los logaritmos.
Ejercicios resueltos:
Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0 si ése es su valor, y una P si es positivo
(diferente de 1) o una N si es negativo.
1.) ln 0
X
3. 4
52.) log 73
P
233.) log 4
X
124.) log 12
1
95.) log 1
X
16.) log 18
X
37.) log 0.11
N
Objetivo 5. Recordarás las leyes de las operaciones con logaritmos.
Ejercicios resueltos:
a.) Demuestra la ley del producto para los logaritmos.
log
log
pa
qa
x p x a
y q y a
p q p qxy a a a
log log logxy p q x y
b.) Aplica las leyes de los logaritmos para desarrollar las siguientes expresiones:
31.) log2
xx
3 3log log 2x x
3. 5
292.) log 4x
92 log 4x
53.) log 12
1
25log 12
51 log 122
44.) log 2 3 7
4log 2 3 7
4 log 2 log 3 log 7
2
325.) log
2xy
12 3
2log2xy
23
2log2xy
22 log3 2
xy
2 22 log log 23
x y
2 2 22 log log 2 log3
x y
2 2 22 log log 2 log3
x y
c.) Aplica las leyes de los logaritmos para reducir las expresiones:
6.) 2log 2 logx y
2 2log logx y
3. 6
2 2log x y
7.) ln ln lna b c
ln ln lna b c
ln lna bc
ln abc
3 32 38.) log log5 5
a b
325 5
3 3log loga b
325 5
3log a b
1
2 3 53log a b
5 2 33log a b
7 79.) log log 3x y
7log3
x y
10.) log 2 log logx y z
2log log logx y z
2log xzy
d.) Sabiendo que log 2 = 0.301030...; log 3 = 0.477121...; log 5 = 0.698970... y log 7 =
0.845098...; calcula, utilizando sólo estos valores, los siguientes logaritmos:
11.) log 4
2log 4 log 2 2log 2
3. 7
2 0.301030... 0.602060...
12.) log 42
log 42 log 2 3 7 log 2 log3 log 7
0.301030... 0.477121... 0.845098... 1.623249...
13.) log 2.5
5log 2.5 log2
log 5 log 2 0.698970... 0.301030... 0.397940...
314.) log7
3 1 3log log7 2 7
1 log3 log 72
1 0.477121... 0.845098...2
1 0.367977...2
0.183989...
3. 8
Objetivo 6. Recordarás el procedimiento para cambiar logaritmos de una
base a otra.
Ejercicios resueltos:
Obtén los valores de los logaritmos que se solicitan, a partir de los que se dan.
21.) log 5 si log 5 0.698970... y log 2 0.301030...
2log5log 5log 2
0.698970...0.301030...
2.321929...
2.) ln 72 si log 72 1.857333... y log 0.434294...e
log 72ln 72log e
1.857333...0.434294...
4.276666...
5 3 3
3
3.) log 14 si log 7 1.771244..., log 2 0.630930...y log 5 1.464974...
35
3
log 14log 14log 5
3 3
3
log 7 log 2log 5
1.771244... 0.630930...1.464974...
2.402174...1.464974...
1.639738...
3. 9
Objetivo 7. Resolverás ecuaciones que involucren logaritmos.
Ejercicios resueltos: Obtén el valor de la incógnita:
1.) log 2 4 2x
22 4 10 100x
2 100 4 104x
52x
2.) log 1 log log 9y y y
log 1 log 9y y y
log 1 log 9 0y y y
1log 0
9y yy
0110 1
9y yy
1 9y y y
2 9y y y
2 9 0y
3 o 3y y
pero la solución negativa no puede aceptarse, de modo que 3y
3.) log 1 log 1 log 4x x x
1 1log 1 log 1 log 42 2
x x x
log 1 2 log 1 log 4x x x
2log 1 log 1 log 4x x x
3. 10
21log 1 log
4x
xx
211
4x
xx
21 4 1x x x
2 23 4 2 1x x x x
5x
Objetivo 8. Aplicarás logaritmos en la resolución de problemas de casos reales.
Ejercicios resueltos:
1.) Para determinar la edad de una roca, la ciencia ha desarrollado una técnica basada en la
concentración de cierto material radiactivo en su interior. Cuanto más joven es la roca,
mayor concentración de material radiactivo se encuentra en ella. La ecuación que
relaciona la concentración del material con la edad de la roca es:
3 tC x k
donde C x representa la concentración del material radiactivo encontrada en la roca,
t la edad de la roca (medida en cientos de años) y k la concentración del elemento en el
momento de formarse la roca.
Suponiendo que k = 4500:
a.) ¿Qué edad tendrá una roca que tiene una concentración de 1500 del
material radiactivo?
b.) ¿Qué edad tendría que tener una roca para que ya no tuviera el material
radiactivo?
Solución:
Si se aplican logaritmos a la ecuación dada se obtiene:
ln ln 3 ln 3 lnt tC x k k
ln ln 3 lnC x t k
3. 11
que sería la ecuación escrita en forma logarítmica.
De esta manera, en el inciso a.), al sustituir los valores de C x y de k queda:
ln1500 ln3 ln 4500t
ln 3 ln 4500 ln1500t
4500ln ln 31500
1t
De modo que la edad de la roca es de 100 años (puesto que t = 1 y el tiempo se mide en
cientos de años).
Para el inciso b.), el material radiactivo se acabaría cuando su concentración llegara a
cero, lo que significaría que:
ln 0 ln 3 lnt k
Pero el logaritmo de cero no existe, de modo que la ecuación no tiene solución, por lo
que, teóricamente, siempre quedaría un resto (mínimo) de material radiactivo.
2.) Si se invierte un capital a una tasa fija y los intereses se capitalizan periódicamente, es
decir que se suman al capital y la suma obtenida se reinvierte con la misma tasa por
otro período igual, el capital original se incrementa con la fórmula del interés
compuesto, según la cual, después de n períodos se tiene:
1 nf iC c r
donde fC es el capital acumulado, ic es el capital inicial y r es la tasa de interés.
¿En cuántos años se logrará que un capital de $ 10,000.00 invertido a una tasa del 3.5%
anual se incremente hasta $ 11,475.00?
Solución:
Al convertir la fórmula del interés compuesto a su forma logarítmica se tiene:
log log 1 nf iC c r
3. 12
log log 1 nic r
log log log 1f iC c n r
Entonces, si 11, 475, 10,000 y 0.035f iC c r , al sustituir valores queda:
log11,475 log10,000 log 1 0.035n
y, resolviendo para n:
log 1.035 log11, 475 log10,000n
11, 475log log1.147510,000
log1.1475 4log1.035
n
Por lo que tendrán que transcurrir 4 años para obtener la cantidad deseada.
3.) Si un objeto que está a una temperatura dada se saca a la intemperie, el objeto se
calienta si la temperatura ambiente es mayor y se enfría en el caso contrario. La ley del
enfriamiento de Newton, que explica el cambio de temperatura del cuerpo es: k tT Q Ce
donde T es la temperatura del objeto después de un tiempo, t, medido en minutos, Q es
la temperatura a la intemperie y C y k son constantes que dependen de las
características del objeto y de su temperatura inicial. Si para una taza de café C = 80 y
k = – 0.069315, ¿cuánto tiempo hay que esperar para que el café esté a 60º C si la
temperatura ambiente es de 20º C?
Solución:
Si se convierte la ecuación a la forma logarítmica se obtiene: k tT Q Ce
k tT Q eC
ln ln k tT Q eC
lnk t e
3. 13
ln T Q k tC
en donde se ha escogido utilizar logaritmos naturales para aprovechar que ln 1e .
Entonces, si 60 y 20,T Q al sustituir valores queda:
60 20ln 0.06931580
t
y, resolviendo para t:
40ln ln 0.5 0.06931580
t
ln 0.50.069315
t
0.69315 100.069315
De modo que hay que esperar 10 minutos para que el café esté a 60º C
