Problemas de mximos mnimos y aplicacin de derivadas en la ingeniera ambiental

Alumna: Karina Mamani AruquipaCdigo: 2014 - 178004PROBLEMAS DE MXIMOS MNIMOS Y APLICACIN DE DERIVADAS A LA INGENIERA AMBIENTALUna funcin tiene un mximo (mnimo) en un punto si el valor de la funcin en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algn entono de P.

Definicion de puntos criticosTrminos bsicos:Punto de Silla: Un punto donde el gradiente de f es 0 y falla el test de la segunda derivada.Mximo o mnimo local: Definido como Mximo o Mnimo relativo .Mximo o Mnimo global: Llamado a veces Mximo o Mnimo absoluto. Se caracteriza porque en l, el valor de la funcin es mayor o igual que cualquier otro valor en el dominio de la funcin, en el caso de Mximo. Definicin similar para Mnimo Global. Problema:Se desea construir un caja para almacenar los residuos solidos de un empresa ambiental. Encontrar las dimensiones de esa caja rectangular sin tapa de volumen igual a 250cc. Que tiene el rea ms pequea.Solucin: Realizamos un dibujo donde sealamos el significado de la variables.

Queremos encontrar el rea mnima.El rea puede ser expresada comoA = 2xz +2yz + xyy ella tiene que cumplir la condicinVolumen=250cc.Esta condicin o restriccin est expresado en trmino de las variables como:xyz = 250 (ecuacin de restriccin)Con esta condicin podemos expresar A como funcin de dos variables, por ejemplo de x y ydespejando z en xyz =250 y sustituyndola en A = 2xz +2yz + xy . Esto es z = 250/xy

Sustituimos z en la funcin a minimizarA(x, y) = 2x 250/ xy + 2y 250/xy +xyA(x, y) = 500/y+ 500/x .As que el problema se ha transformado en conseguir el mnimo absoluto deA(x, y) =500/y+ 500/x+ xy .Pasamos a encontrar los puntos crticos de A(x, y)

Despejamos y en la primera ecuacin y la sustituimos a la segunda

Resolvemos la segunda ecuacin factor izando9Solucin:

10DERIVADAS PARCIALES

EJERCICIO 3donde x es el nmero de celulares bsicos y el nmero de celulares sofisticados a producir.

NOS PIDEN:a) Encuentre los costos marginales cuando se extraen 500 toneladas de oro y 100 de cobre.b) Interprete sus resultados.Procedimiento:a) Primero calculamos las funciones de costo marginalCx (x, y) = 0.2x + 4yCy (x, y) = y + 4xEvaluamos los costos marginales en (500,100)Cx (500,100) =100 +400 = 500Cy (500,100) =100 +2000 = 2100Procedimiento:b) Con un nivel de produccin de 500 toneladas de oro y 100 del cobre, el costo total aumentar 500 UM si la produccin del tipo bsico aumenta en una unidad y la del tipo sofisticado permanece constante. Por otro lado el costo total aumentar 2100 UM si la extraccin del cobre aumenta en una unidad y la del oro permanece constante.Problema 4

Nos piden:Exprese la razn de cambio de los costos con respecto al tiempo.

procedimiento:

Esta derivada puede ser expresado en trminos de rsimplificamosEl cambio en el costo ser 80t- 4100