Problemas Resueltos de Matematicas Basicas Ccesa1

8/9/2019 Problemas Resueltos de Matematicas Basicas Ccesa1

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UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

Ccesa

Problemas de Matemática Básica

Prof Demetrio Ccesa Rayme

1. Hallar la Ecuación de la Recta que pasa por el punto. (1,5) y tiene de pendiente 2

SOLUCION

Si (1,1) es el punto por donde pasa la recta, entonces la ecuación de la recta será:

− 1 = ( − 1)

Luego, según los datos del problema se

tiene:

− 5 = 2( − 1) → − 5 = 2 − 2

− 2 − 3 = 0

2.

Hallar la Ecuación de la Recta que pasa por el punto (−6,−3) y tiene un ángulo deinclinación de 45º

SOLUCION

Se sabe que: = 45º = 1

Empleando la formula: − 1 = ( − 1)

— 6 = 1[ − (−3)] − 6 = + 3 ∴ − − 3 = 0

3.

Una recta pasa por los dos puntos (−3,−1) y (2,−6). Hallar su ecuación en la formasimétrica

SOLUCION

La ecuación de la recta en forma general es:

De donde: + + 4 = 0 La intersección con el eje es: = −4 La intersección con el eje es: = −4

Empleando la formula:

− 2 − 3 = 0

( 1

, 5

)


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4. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento (−3,2), (1,6)

SOLUCION

El punto medio (0,0) del segmento es:

∴ (−1,4)

La pendiente de la recta es:

Como: 1.2 = −1 ; resulta 2 = −1

Finalmente: − 4 = −1[ − (−1)] ∴ + − 3 = 0

5. Una recta pasa por el punto (7,8) y es paralela a la recta que pasa por (−2,2) y (3,−4). Hallar su ecuación.

SOLUCION

La ecuación que pasa y es:

De donde 6 + 5 + 2 = 0; siendo

Por tanto la ecuación pedida será:

∴ 6 + 5 − 82 = 0

Los vértices de un triángulo son (−2,1), (4,7) (6, −3). Hallar las ecuaciones delas rectas que pasan por el vértice y trisecan el lado opuesto

( 1 , 6 )

( − 3 , 2 ) ( − 1 , 4 )


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6.

Ccesa

SOLUCION

Calculo de las coordenadas:

1(1, 1) 2(2,2)

Del enunciado:

Por proporciones:

; entonces 1(1; 1) es:

Como: 12 = 2 → 2(2; 2) será:

Luego:

Las ecuaciones pedidas según la formula son:

13 − − 45 = 0

2 ( 1 . 1 )

2

1

1 ( 1 . 1 )


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7.

Ccesa

Los vértices del triángulo son (−2,1), (4,7) (6, −3). Hallar los vértices deltriángulo formado por las rectas que pasan por los vértices , y son paralelas alos lados opuestos.

SOLUCION

Las soluciones comunes de las rectas , nos dan los vértices buscados.

Emplearemos la fórmula:

Las rectas de pendientes

que pasan por los puntos (−2,1), (4,7) (6,−3) respectivamente son:

: − 1 = −5[ − (−2)] → :5 + + 9 = 0 … … … … … … … … … … (1)

: − (−3) = 1( − 6) → : − − 9 = 0 … … … … … … … … … … (3)

Resolviendo las ecuaciones (1), (2) y (3) dos a dos encontraremos los vértices.

De (1) y (2) : D(-4,11) ; de (2) y (3) : E(12,3)

De (1) y (3) : F(0, -9)

F

C

A

B

D

E

X

Y

0


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8.

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Hallar el valor de para que la recta + ( − 1)− 18 = 0 sea paralela a la recta4 + 3 + 7 = 0

SOLUCION

Según la formula (7) debe cumplirse:

; resolviendo = 4

9. Una de las caras de un tetraedro regular tiene sus vértices en una circunferencia de

ecuaciónDetermine el volumen del tetraedro

RESOLUCION:A

F

B

D

Sean ABDF el tetraedro regular cuyo volumen V se pide calcular:

Dato:

Completando cuadrados:

Las coordenadas del centro C y su radio es:

= (√2; √3) ; = 1 En el grafico el triangulo BDF es equilátero (cara del tetraedro regular)

= √3; luego:

4 =

− 1

3

( √ ; √ )

√

r=1

120 º

1 1


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10.

Determine el área de la región limitada por el eje de las abscisas, la circunferencia de la

ecuación 2 − 2 + 2 = 0 y una recta de pendiente que pasa por el origen decoordenadas.

RESOLUCION:

Para resolver dicho problema, es necesario identificar las coordenadas del centro de la

circunferencia y la medida de su radio.

Dato: 2 − 2 + 2 = 0

Se suma 1 a ambos miembros:2 − 2 + 2 = 0 + 1

( − 1)2 + ( − 0)2 = 1

Las coordenadas del centro de la circunferencia es (1; 0) y su radio mide 1

Del grafico:

√ 3 3

Y

O

A

B C( 0 ; 1)

º 60

1 X


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11. Si un diámetro de la circunferencia ( − ℎ) + ( − )2 = 2 tiene como extremos a los

puntos (2; 2) y (6; 5), entonces es igual a:

Piden:

12.

Halle la medida del área de la región comprendida entre la curva de la ecuación: 2 +2 + 4 − 6 + 4 = 0 y la circunferencia que pasa por el punto (2; 6) que esconcéntrica con la curva anterior.

RESOLUCION:

Piden el área de la región sombreada

Como: = 2 + 2 + 4 − 6 + 4 = 0

→ : ( + 2)2 + ( − 3)2 = 32

RESOLUCION:

Del grafico:

( ℎ ; ) = ( 6 + 2

2 ; 5 + 2

2 ) → ( ℎ ; ) = ( 4 ;

7

2 )

= √ ( 6 − 4 ) 2 + ( 5 − 7

2 )

2

→ 2 = 25

4

B(6;5)

A(2;2)

( − ℎ ) 2 + ( − ) 2 = 2

O(h;k)r

r

P(2;6)

X

Y

O( - 3) 2 ;

3

= ( + 2 ) 2 + ( − 3 ) 2 = 9


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Por corona circular: = (2 − 32)

(; ) = = √(2 + 2)2 + (6 − 3)2 = 5 Reemplazando:

= (52 − 32)

= 16 2

13. Hallar la suma de las coordenadas del punto de intersección de la recta que pasa por los

vértices de las parábolas 2 = − = 2 − 3 con la recta que pasa por los puntosde intersección de estas parábolas.

RESOLUCION:

Datos:

1: 2 = − (1:á) 2: = 2 − 3 (2: á)

Nos piden: + / = (; )

Graficando:

2 : y = 2 + 3 1 ∩ 2 =

Resolviendo el sistema:

1 : 13 = 2 + 6

− √

P

T

Q

X

Y


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Luego:

14. Dada la ecuación de la parábola 2 − 4 − 8 + 44 = 0, entonces la suma de las

coordenadas del foco de la parábola es:RESOLUCION:

Dada la parábola:

: 2 − 4 − 8 + 44 = 0

Se pide la suma de las coordenadas del foco. Completando cuadrados se obtiene:

( − 2)2 = 8( − 5) → = (5; 2) = 2

Realizando el grafico:

Coordenadas del foco (7; 2)

Por lo tanto la suma de coordenadas del foco es 9.

15. Una parábola tiene su foco en el punto (−1; 2) y su directriz es la recta ℒ: −8 = 0, determine su ecuación.

RESOLUCION:

=

( ; )

Y

X

directriz

F

2

5 2

dire c triz

( − ; )

=

3

3

2

F

V

X

Y


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Del gráfico:

= 3, = (−1; 5) = ( − 0)2 = 4( − 0) ( + 1)2 = −4(3)( − 5) : 2 + 2 + 12 −49 = 0

16. Determine la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (−4; 3) y

(−1; 3)

RESOLUCION:

= 3; = (−4; 3) : ( − 0)2 = 4( − 0) ( − 3)2 = 4(3)( + 4) : 2 − 6 − 12 −39 = 0

17. La directriz de una parábola es la recta − 1 = 0 y su foco es el punto (4; 3). Determinela ecuación de la parábola.

= 1 = (4; 2) : ( − 0)2 = 4( − 0) ( − 4)2 = 4(1)( − 2) : 2 − 8 − 4 + 24 = 0

18. Hallar el área del triangulo que tiene como vértices los puntos de intersección de la

parábola 2 + 4 + − 20 = 0 con los ejes coordenados.

RESOLUCION:

Denotamos con P a la parábola dada.

Hallemos los puntos de intersección de P con los ejes coordenados.

RESOLUCION:

1

1

1 directriz

=

( ; )

( ; )

X

Y

- 1 - 4

( − , ) ( − , )

Y

X

3


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∴ (0,4) ; (0, −5)

El área del triangulo de vértices (5,0) ; (0,4) y (0, −5) es:

19.

Hallar la distancia entre el centro de la circunferencia: 2 + 2 + 4 − 8 + 16 = 0 y

el foco de la parábola: 2 − 8 + 4 + 36 = 0

RESOLUCION:

2 + 2 + 4 − 8 + 16 = 0 → ( + 2)2 + ( − 4)2 = 4 → (−2,4)

20. Hallar el valor de sabiéndose que el vértice de la parábola está en larecta 3 − + 5 = 0

RESOLUCION:

2 = 16( + ) → (0, −)

Como está en la recta: 3(0) − (−) + 5 = 0 → = −5

21. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el foco de la parábola 2 − 8 = 0 y queforma con los ejes coordenados un triangulo de 162 de área.

RESOLUCION

2 = 8 → 4 = 8 → = 2. Foco de la parábola: (0,2). La forma simétrica de la rectabuscada es:

Pero

Para

Para

→ 8 = 16 ±


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22. Hallar el área del triangulo cuyos vértices son los extremos y del lado recto y elvértice de la parábola 2 − 6 − 20 = 0

RESOLUCIÓN

Completando cuadrados:

2 − 6 + 32 = 20 + 9

4 = 20 → = 5

Longitud del lado recto: |4| = 20 distancia del foco al vértice: || = 5

LA ELIPSE:

Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la

excentricidad y la longitud de cada uno de los lados rectos de la elipse correspondiente. Trazar

el lugar geométrico. (De las preguntas 15-16-17)

23.

92 + 42 = 36

RESOLUCION

X

F

O

Y

M

X

N

B B

Y


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Dividiendo cada término entre 36 tenemos: Elipse de la forma (2)

Entonces: = 3 = 2 ; 2 = 2 − 2 = 5 → = √3 a)

Vertices:

(0, ±) → 1(0,3) , 2(0,−3) b) Focos:

(0, ±)→ 1(0,√5) , 2(0, −√5) c) Eje mayor: 2 = 6 . :

2 = 4

d) Excentricidad:

2

e) Longitud de cada lado

recto:

24.

42 + 92 = 36

Dividiendo cada termino entre 36, se tiene:

. Elipse de la forma (1)

Luego: = 3 ; = 2 ; 2 = 2 − 2 = 5 → = √5

a) Vertices: (±, 0) → 1(3,0) ; 2(−3,0)

b) Focos:

c)

Eje mayor: 2 = 6. Eje menor: 2 = 4

d) Excentricidad:

2

e)

Longitud de cada lado recto:

=

→ =

√ 5

3 ; (


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25. 162 + 252 = 400

RESOLUCION

Dividiendo cada término entre 400 se tiene:

Elipse de la forma (1)

Luego: = 5 , = 4 ; 2 = 2 − 2 = 9 → = 3 a)

Vertices: (±, 0) → 1(5,0); 2(−5,0) b) Focos: (±, 0) → 1(3,0) ; 2(−3,0)

c) Eje mayor: 2 = 10. Eje menor: 2 = 8

d) Excentricidad:

2 e) Longitud de cada lado recto:

26. Los vértices de una elipse son los puntos (0, ±6) y sus focos son los puntos (0, ±4).

Hallar su ecuación.

RESOLUCION:

Como los vértices y focos están sobre el eje , la ecuación de la elipse es de la forma:

Si = 6 = 4, de la relación 2 = 2 + 2, se tiene: 16 = 36 − 2 → 2 = 20

Luego, en (1), la ecuación de la elipse es:

27. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (±2,0), y su excentricidad es

igual a 2/3 .

L

R

X

Y


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RESOLUCION

Estando los focos sobre el eje , la ecuación de la elipse es de la forma:

Si , donde = 3

De la relación 2 = 2 − 2, se tiene: 4 = 9 − 2 → 2 = 5

Por tanto la ecuación de la elipse es:

28.

Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno desus vértices es el punto (0,−7) y pasa por

RESOLUCIÓN

Estando uno de los vértices de la elipse sobre el eje , su ecuación es de la forma:

Si 2(0, −7) → = 7 , y siDe donde obtenemos: = 3

2 2

Por tanto se tiene

2 = 2 − 2 = 49 − 9 = 40 → = 2√10. Luego: = 2√10/7

LA PARABOLA:

Hallar las coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje, de la longitud

del lado recto. (De las preguntas 21 – 22)

29. 42 − 48 − 20 = 71

RESOLUCION

Completando el cuadrado para la variable , se tiene:


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a) Coordenadas del Vértice : (ℎ, ) → (−2,5/2)

b) Coordenadas del Foco: (ℎ + , ) → (1,5/2)

c) Ecuación de la directriz: = ℎ − → : + 5 = 0 5

d)

Ecuación del eje:

e) Longitud del lado recto: = |4| → = 12

30. 92 + 24 + 72 + 16 = 0

SOLUCION

Completando el cuadrado para la variable , se tiene:

a)

Coordenadas del Vértice : (ℎ, ) → (−4/3,0)

b)

Coordenadas del Foco:

c)

Ecuación de la directriz: = − → : = 2

d) Ecuación del eje:

e) Longitud del lado recto: = |4| → = 8 31.

Los vértices de una elipse son los puntos 1(7,1) 2(1,1) y su excentricidad es 1/3.Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes

mayor y menor y de cada lado recto.

RESOLUCION

Como los vértices tienen la misma ordenada, se sigue (Figura) que el eje focal de la elipse

es paralelo al eje , y su ecuación, por el Teorema 7.2. es de forma:

L

R

O

Y

X

C


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(1)

Si

De la relación, 2 = 2 − 2, obtenemos: 2 = 8

El centro es punto medio de 12, entonces sus coordenadas son (4,1)

2 2

Por tanto, en (1), la ecuación de la elipse es,

Coordenadas de los focos: (ℎ ± , ) → 1(5,1) 2(3,1)

Longitudes de los ejes mayor y menor: 2 = 6 2 = 4√2

2

Longitud de cada lado

recto:

32.

Los focos de una elipse son los puntos 1(−4,2) 2(−4,−6), y la longitud de cadarecto es 6. Hállese la ecuación de la elipse y su excentricidad.

RESOLUCION

Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal de la elipse es paralelo al eje (Figura), y su ecuación es de la forma

L R

O

Y

X

C


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Si (2)

2 = |12| = |−6−) − 2)| = 4 → = 2 , 2 − 2 = 2 → 2 − 2 = 4

2

2

(3)

La longitud de cada lado recto es:

La solución común de (2) y (3) es: = 4 = 2√3 El centro es punto medio del segmento 12 → (−4,−4)

Por tanto, en (1), la ecuación de la elipse es:

Su excentricidad es:

LA HIPERBOLA:

Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado,

la excentricidad y la longitud de cada lado recto. (De las preguntas 25 – 26)

33. 92 − 42 = 36

RESOLUCION

Dividiendo cada término entre 36 obtenemos:


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. Hipérbola de la forma (1)

Entonces: = 2 = 3. Si 2 = 2 + 2 = 13 → = √13

a) Vértices: (±, 0) → 1(2,0) 2(−2,0)

b) Focos:

c)

Longitudes de los ejes transverso y conjugado: 2 = 4 , 2 = 6

d) Excentricidad:

2

e) Longitud de cada lado recto:

34. 42 − 92 = 36

SOLUCION:

Si:

2

= 2

+ 2

= 13 → = √13

a)

Vértices: (±, 0) → 1(3,0) 2(−3,0)

b)

Focos:

c) Longitudes del eje transverso: 2 = 6

d) Longitudes del eje conjugado: 2 = 4

e) Excentricidad:

f)


=

→ =

√ 13

2 ( > 1 )


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35. El centro de una hipérbola está en el origen, y su eje transverso está sobre el eje . Si unfoco es el punto (0,5) y la excentricidad es igual a 3. Hállese la ecuación de la hipérbola

y la longitud de cada

RESOLUCIÓN

La forma de la ecuación es:

Si

De la relación:

2 2

Por tanto, en

La longitud de cada lado recto es:

Reducir la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola y

determinar las coordenadas del centro, vértice y focos, las longitudes de los ejes transverso y

conjugado y del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. (De las preguntas

28 – 29)

36.

2 − 92 − 4 + 36 − 41 = 0

RESOLUCION

Por el método de completar cuadrados se tiene:

De donde: ℎ = 2 , = 2 ; = 3 , = 1 ; 2 = 2 + 2 = 10 → = √10

a) Coordenadas del centro: (ℎ, ) → (2,2)

b) Coordenadas de los vértices: (ℎ ± , ) → 1(5,2) 2(−1,2)

c) Coordenadas de los focos:

d)

Longitudes de los ejes transverso y conjunto: 2 = 6 2 = 2 2

e)


f) Excentricidad:

g) Asíntotas:

37.

42 − 92 + 32 + 36 + 64 = 0

=

=

√ 10

3


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RESOLUCION

Reduciendo la ecuación a la forma ordinaria se tiene

De donde: ℎ = −4 , = 2 ; = 2 , = 3 ; 2 = 2 + 2 = 13 → = √13

a) Coordenadas del centro: (ℎ, ) → (−4,2)

b)

Coordenadas de los vértices: (ℎ, ± ) → 1(−4,4) 2(4,0)

c)

Coordenadas de los focos: (ℎ, ± ) → 1(−4,2 + √13) 2(−4,2 − √13)

d)

Longitudes de los ejes transverso y conjunto: 2 = 4 2 = 6 2

e)


f) Excentricidad:

g) Asíntotas:

38.

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje focal sobre el eje ,distancia focal = 6 y distancia entre las directrices = 4

RESOLUCIÓN2 2

La forma de la ecuación de la hipérbola

es,

(1)

Si

De la relación 2 = 2 + 2, ∶ 9 = 6 + 2 → 2 = 3

Por tanto, en (1), la ecuación de la hipérbola es,

=

=

√ 13

2

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