This article was downloaded by: [California Poly Pomona University]On: 10 October 2014, At: 23:43Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH,UK

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PROBLÈMES DE CORRÉLATIONSMULTIPLES AVEC CONTRAINTESEN HYDROLOGIEMilu ROSENBERG aa Laboratoires de Mécanique des Fluides SectionHydrologie , Université de GrenoblePublished online: 30 Dec 2009.

To cite this article: Milu ROSENBERG (1970) PROBLÈMES DE CORRÉLATIONS MULTIPLESAVEC CONTRAINTES EN HYDROLOGIE, International Association of Scientific Hydrology.Bulletin, 15:3, 47-54, DOI: 10.1080/02626667009493972

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Bulktiti of the tnrertzcitioncil Associution of Scienrific H.vdrolo~y, X V, 3 Yl1970

PROBLEMES DE CORRELATION§ MULTIPLES AVEC CONTRAINTES EN HYDROLOGIE

Milu ROSENBERG Labovatoires de Me‘canique des Fluides

Section Hydrologic - Uniuersith de Crenoble

R6SUMk

La methode des moindres carres pour 1’6tude de correlations multiples hydropluviometriques, fait apparaitre dans certains cas des debits negatifs, incompatibles avec la realite. Nous proposons ici une nouvelle methode generale qui nous permet, en introduisant des contraintes, de lever cette contra- diction. L’expose comprend trois parties : position du probleme, demonstration de la convergence de la mtthode, application numerique a un cours d’eau d’tine region semi-aride.

I . POSITION DU PROBLEME - EXPOS^ DE LA M ~ T H O D E

En hydrologie, dans des problemes de correlation hydropluviomktrique, si Yest une variable aleatoire (I’C~oulement) dependant lineairement de 172 variables aleatoires X I , X2, ... X,, [la prkipitation, I’indice annual de concentration des pluies mensuelles, le nombre de sequences (episodes) pluvieuses, etc.. .] selon la relation :

I/ = U O + U , X I + ... + u,,x,,, ( 1 )

on doit en general chercher les coefficients no, n l , ..., nlN dits de regression. Pour cela on emploie la methode des moindres carres, c’est-a-dire une methode qui consiste, a partir de 17 observations portant sur les variables aleatoires Y, X I , XZ, ... X m et qui donnent les valeurs observees ( y l , ..., yi , ..., yn) , la matrice observee (xij) , a trouver les coefficients no, ai, ... am qui minimisent la quantite :

n / rn \ 2

Or, il se trouve qu’en hydrologie i l faut tenir compte d’un certain nombre de contraintes physiques et en I’occurrence pour le probleme qui nous preoccupe (probleme de correlation hydropluviomktrique) des contraintes suivantes :

ao+a, xi + ... + a r n X m 3 0 (3) Ces contraintes correspondent au fait que les debits naturels des rivieres ne peuvent pas &tre negat ifs. La methode des moindres carres n’est donc plus valable, car i l faut en fait resoudre le probleme (hydrologique) suivant PL :

P; : Trouver les coefficients no, n l , .... n,& que I’on appellera coefficients de regression modifies, et qui verifient :

Y = a,+u, x, + ... + a,,X, (1‘)

a , + u , X , + ... +u,,x, 3 0 (2‘)

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Verifient

on

n

ri:>c'Al'lrll·'A effectiven1entdont nous dem,ontre la convergence,

pern1et calculer effectivement, la solution dul'occurrence, apres avoir 1 i

une

~r',"''''',''C'fvnC' une nlethode ite­une methode qui

d'un vecteursuivante .

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Soit A une nlatriee n) positive (i .e.. x tAx 0), b unveeteur de /Rn, un C un convexe fernIe d'interieur non vide de rR 11 et soit aIors Iafonetion eonvexe, definie sur par'

'"'«a".... "'~'\"a alors

C tel que.

c Cl

\Ix E (~.

est bien evidemment un eas partieulier de P3 ; en effet dans ee eas /Rn devient la variabledevient Ie veeteur A de eomposantes 0, .. " la fonetion definie par (] I!) et hien du

type enfin Ie eonvexe ferme, est iei par C

i == 1, ... ,

la nature physique du nri"hlArYlA

tel que

Cest d'inte,rieur non vide, e'est-a-dire existe un

Avant de definir une methode numerique

o 11

permet de ealeuler un

de

E

une fonctionneIIe support au

On peut alors faire remarques suivantes :

Renlarque 1tel que si :

Considerons Ie problenle P2 et soit tt C, e 'est-a-dire est un

on a'

min Ii ], ...

<0

+

Soit, alors J* un indice appartenant a [l, .. n] tel que:

Si de defini par:

est derivable et admet comnle derivee (ou encoreet egal ~l :

alors Ie vecteur de eonlposantes

dRenzarquecom,m,e

fonctionnelle support de au point

+b

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Ren1llrque Si Sk est Ie convexe fenne defini par

f etant defini par (] alorspuisque convexe on a alors

est une fonctionnelle support derelation'

au point En effet~

E

et par COllSequent pour tout

Ces remarques etant faites, on supposera par la suite que 1'ensemble C est defini par p fonctionsnumeriques gi, definies sur [Rn convexes, derivables et de gradients V'gi(X), de la fa<;on suivante :

C~ = E o(C'est bien Ie cas de C, c' est-a-dire de I'ensenlble des contraintes de notre problenle.) Pourconstruire alors Ie point solution de P3 on propose alors I'algorithme suivant que 1'on appel-lera ",~,,,,,,.'V"''''-L~''''''''

Ll/r:rn~'lthl/}"10 2 . On construit a partir d'un point Xo arbitraire dans [Rn une suite de vecteurs0,1 ... , n. Ains! supposons calcules on obtient alors de la

On caicule la "'.. '," ..... 1-'1"£"

Si 0 on calcuJe 1'indice j* tel que.

Si oon va a 3.

et va a

2 : On calcule Ie vecteur par la formule :

1+r..~~"'111.£" dans

k

devient et on retourne aI'ctape ]

3 . On calcule vecteur par Ia formule

condition ques'arrete.

devient ensuite k

50

soit non nul, en

on retourne

est solution du prohlemeP3 et

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On renzarque alors que l'algorithlne I n'est rien d'autre que l'algorithnle 2 applique auproblelneP2. Par consequent Ie theorenle suivant nous montre la convergence de I'algorithme 1.

771eorenze . Soit la suite construite pari 'algorithme 2; il existe alors une suitenant a C, teUe que:

Delnonstration

a) Remarquons d'abord si dans l'etape 3 on a :

apparte-

oalors puisq ue ,fest convexe on a pour tout x C

~ +est solution de Pa

b) Soit un reel tel que

etle sous-ensemble convexe C defini par:

Soit

et par "'-''-'l.l,JV,,-! U'v.ll.\

continu, admet un interieur non vide

~ p =;> E

Montrons alors qu'il existe un indice k tel que:

S'il n 'en etait pas ainsi montrons alors que:

2 ~ '1 2 1 2pI +---

k2 k

On considerera alors les deux cas possibles suivants :

dans ce cas on

~ 0 ESI1

En Yj cela entraine que :

et comme est fonctionnelle support de Tk en a la relation De plus comme Ie point

p

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on

et par COJnSt~qll.enlt~ comnle

II2

k

entraine alors

b) C~ on a alors:

ou SIc est Ie sOlls-ensemble convexe defini par:

et est fonctionnelle support au on alors.

En reprenant Ie n1.eme raisonnenlent que danson obtient encore

Si ron somnle a de ko fois Ia relation on obtient alors ] lnegaillte

o

comme.

p

on obtient nne contradiction.pour tout il existe

III. EXEMPLE D'APPLICATION l,,!,-"I.I¥.l.J.':'l',.lvu'.L

en tendren on obtient

Cette methode ade Grenoble ete

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pas veri­moindres

r>:"yrt='.CCIAn (coefficientspeu des

nh'lTCl,"lIIt:l>C etaient veri-

pour des V\JJJ~J.U..l'J~.... J 1',IV ........ ,l~.

donc de pourcarn~s n ~etait pas valable. On alors trouve de nouveaux COlerrlCH~nl:S

Les coefficients de correlation ~'\"'\lll1"l''''''la

coefficients non nl0difies nlais par contre cetteflees

Citons parmi les nombreux exenlples traites dans notre etude sur Ie reginle des rivieresd'Israel, celui de rOued Nahal SOREQ Ein Kerern.Dans ce cas la relation entre lesdebits et les facteurs qui les conditionnent est paraboIique, c'est-a-dire qu'on a :

+

Y: lame d'eau annuelle ecoulee ""'U1"" ..·1ro... """" en millinletres.

On doit ..--t1('.1" ........"L......

Yo valeurs observees,valeurs vLLlVUUV.... J

Yrnvaleurs vU.JI ..... U ..IV'.. J

Le nonlbre des "hC:P.l-,'-::lttr\"nc

finissent Ie 30 septenlbre).On a alors les valeurs inscrites dans Ie tableau suivant (tableau 1Avec la nlethode des moindres carres on a trouve COnl111e coefficients de ...."" ......... "",('('1'"'\1'"\

octobre

ao

Le coefficienthaute valeur

aux annees

8; 0,31842

0, deceux qui correspon-

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TABLEAU 1

NAHAL SOREQ a EinKerem

Annee

1 1935/36 0,762 437 0,389 8 0,764 1,0752 1936/37 7,684 745 0,464 7 8.017 8,0343 1937/38 7,918 786 0,424 10 7,464 7,3174 1938/39 5,994 723 0,393 8 6,519 6,4995 1939/40 5,624 616 0,483 8 5,320 5,4396 1940/41 3,567 626 0,357 8 4,206 4,2927 1941/42 8,819 812 0,500 8 9,413 9,3078 1942/43 7,952 858 0,320 12 7,182 6,7899 1943/44 3,812 562 0,507 8 4,491 4,677

10 1944/45 7,719 900 0,354 10 9,012 8,67811 1945/46 2,504 590 0,377 11 2,740 2,71912 1946/47 ° 363 0,457 7 0,313 0,77213 1948/49 8,364 900 0,309 12 7,906 7,46314 ]949/50 5,544 630 0,420 7 5,261 5,40415 1950/5] ° 343 0,401 6 0,17216 ]951/52 11,119 828 0,441 7 9,436 9,35317 ]952/53 5,962 606 0,472 9 4,687 4,76518 1953/54 5,788 660 0,358 8 4,896 4,943I 1954/55 0,762 404 0,399 0,92920 1955/56 5.289 741 0,346 10 5,60121 1956/57 6,021 772 0,344 9 6,669 6,53322 J957/58 1,606 466 0,418 8 1,645 1,92823 1958/59 1,718 488 0,467 10 1,959 2,12224 1959/60 ° 289 0,470 3 0,244 0,99425 1960/61 2,966 580 0,395 7 4,002 4,19926 1962/63 ° 334 0,366 5 0,578 0,001

BIBLIOGRAPHIE

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