Problemes Pedro Delicado - UPC Universitat Politècnica de

lfANíll\fllf:J 30 lf:JIN:J:;llllOd 1\f11SCl3/\1Níl

eo!¡s~pe¡s3 ! sanb!¡~wa¡ew ap ¡e¡¡noe.:1

~-eA!leJado

91~e6!1saAu1 ! e~!lSJpe1s3,p lUawe:µedaa

ope~!lªO OJPªd zaw9~ adn1epen~

11aqoN uowe~

111111111111111111i1ilíl~iHfl]il11111111111111111 e~a1011q1g

'v'..\Níll\11\10 30'v'OINO~lllOd1\111Stl31\1Níl

V~l!SICV !S3 -"'

1 l V ll118V80~d

S311\13180~d

3d lVIN

n m z o -):> -t e ;a ):>

e m 3: ):> -t m s: :t>~ -t -D e m CA

.. '--'

'--'

'--'

'--'

'-'

'-'

'--'

'-'

'-'

'--'

'--'

'-'

'-'

'-'

'-'

'-'

'-'

'--'

'-'

'-'

'-'

'--'

'-'

'---

'-'

'-'

'---

'-

'-'

'-'

'-'

'-

'-'

'--'

'-'

'---

'-'

'-'

'-'

'-

'<--'

'-'

'---

,~.

"

.--,

-. .-._

----. ........

.......

---. -. -.. -..

~

'""

I

ji, (rt,) ó_?. 16 v ~

Problemes de Probabilitat i Estadística Llicenciatura de Matematiques

Ramon N onell Guadalupe Gómez Pedro Delicado

ler Quadrimestre 03-04

,:~· ~¿, 1,: u¡~¿~~- ~ ~::

~_:;tt~C)"' ~'.'>:;

¿, : 3 -•-. ·r· ·- ,I ' ••• / :_,. ~J,

Títol : Probabilitat i Estadística - Problemes Autor : Guadalupe Gómez - Ramon Nonell - Pedro Delicado

Diposit Legal: B-41921-2001 lmpres per : Ahlens, S. L.

Sor Euldlia d' Anzizu, sin 08034 Barcelona

/""

~

Aquesta coJ.lecció de problemes correspon a les assignatures de Probabilitat i Estadística de la Llicenciatura de Matematiques i d'Estadística Matematica 1 de la Diplomatura d'Estadística, de la Universitat Politecnica de Catalunya.

Atés que aquestes dues assignatures, situades en el tercer quadrimestre de la corresponent carrera, tenen un programa molt semblant, s'ha cregut oportú fer una única llista de problemes. Tot i així els objectius d'ambdues materies no són identics i aquest fet, tal com s'indica més avall, s'ha contemplat en l'esmentada coJ.lecció.

La coJ.lecció esta subdividida en els quatre temes en que es subdivideix cada assignatura i seguint el mateix ordre de les exposicions teoriques. El tema O s'ha afegit coma recordatori.

Els problemes precedits de • s'han pensat fonamentalment per als alumnes de la Llicenciatura de Matematiques. Els problemes precedits de 4't són adients per a la Diplomatura d'Estadística. Tots els problemes numerats sense cap símbol especial són apropiats per a ambdues carreres.

El nombre de problemes de cada tema és molt superior al que es podra desenvolupar a classe. És pero altament recomanable que l'alumne intenti fer el maxim d'ells i que consulti amb el/la professor/a de problemes sobre la solució trobada. S'han incorporat solucions d'alguns problemes representatius de cada tema.

Aquesta col·lecció de problemes és fruit de la feina realitzada pels professors Guadalupe Gómez i Ramon Nonell des de l'inici de les esmentades carreres i del professor Pedro Delicado des de la seva incorporació. Diverses coJ.leccions i fotocopies han precedit la que ara presentem. També s'han incorporat la major part dels problemes d'examen dels darrers anys. Un nombre important de becaris i professors associats han coJ.laborat en els darrers anys en la docencia de les classes de problemes i en major o menor mesura en la elaboració de l'esmentada coJ.lecció. A tots ells el nostre sincer agraiment. Volem agrair pero especialment l'esforc; realitzat perla Maria Albareda, pel Ramon Cleries, per l'Anna Espinal i pel Raúl Hernández, responsables de la major part de solucions.

TEMA O

PRELIMINARS

0.1 Combinatoria

0.1.1 Demostreu que:

l. (Z) = (~~k) V n, k E N n ?. k

2. (Z) + (k~l) = (Z!i) V n, k EN n > k

n 3. L (7) = 2n Vn E N

i=O

n 4. ,í:(-l)i(7) =0 VnEN

•=O

0.1.2 Ordena els següents nombres combinatoris:

(100) (10º) (10º) (10º) (10º) 7 ' 70 ' 20 ' 50 ' 93

• 0.1.3 Donats k, m, n EN, k ~ m ~ n, justifiqueu la següent igualtat:

( n) = t (~) (n -k.) m i=O J m-3

i dedulu-ne que:

~ (7) 2 = (~n).

1

"

2 TEMA O. PRELIMINARS

0.1.4 Tres classes d'estudiants tenen 20, 18 i 25 alumnes, respectivament. Es forma un equip amb un estudiant de cada classe, de quantes maneres podem formar l'equip? I si el formem amb tres estudiants de cada classe?

SOLUCIÓ:

Com que l'estudiant que escollim de cada classe és independent de quins escollim a les altres classes, tenim 20*18*25=9000 formes diferents d 'escollir-los. En el segon cas tindrem (23°) (13

8) (2;) = 2139552000 composicions difer

ents possibles de l'equip.

0.1.5 Repartim a l'atzar 12 boles entre 20 urnes de manera que a cada urna hi hagi coma maxim una bola. Calculeu quantes distribucions diferents hi ha en cadascun dels següents casos:

l. Les 12 boles són identiques.

2. Hi ha 7 boles blanques i 5 de negres.

• 0.1.6 En un conjunt den· p elements, de quantes maneres es pot fer una partició en n subconjunts de p elements?

0.1.7 En una reunió hi ha 6 dones i 4 homes. Si sabem que entre els assistents hi ha quatre parelles, quantes possibilitats tenim a l'hora de conjecturar quines són les quatre parelles? I si sabem que només hi ha tres parelles?

• 0.1.8 Sigui n, k EN i definim S(k, n) = 1 k + 2k + ... + nk. Proveu que

k (k + 1) tt i S(i, n) = (n + l)k+1 - (n + 1)

Calculeu S(k, n) per a k = 1, 2, 3.

• 0.1.9 Demostreu que donats dos nombres n, k EN, n 2: k es compleix la següent igualtat:

k(~) =n(~=~)

0.2 Successions de conjunts

• 0.2.1 Sigui {An,n EN} una successió de conjunts. Demostreu:

l. (liminf An)c = limsupAnc

2. (lim sup AnY = lim in/ An e

3. l!im in/ A,. = lim in/ lA,.

4. lum sup A,. = lim sup lA,.

.....

..... -.. ..... -.. -.. ..... ------------------""" """ """ -""" -""" """ -""" -""" """ -""" -----.. ----..... ""' -. ..... ,....,

.....,

""' ~

~

TEMA O. PRELIMINARS

• 0.2.2 Si X és una funció de O a ni Pes una propietat que els elements den poden verificar, es fara servir la notació següent:

{X verifica la propietat P} := {w E O: X(w) verifica la propietat P}.

Sigui { Xn}neN una successió de funcions de O a 'R., i e E 'R. Demostreu:

l. lim sup{ Xn ::; e} e {lim in/ Xn ::; e}

2. liminf{Xn 2: e} e {limsupXn 2: e}

• 0.2.3 Calculeu el límit superior, el límit inferior, i si existeix el límit de la successió {An,n EN}:

l. An = {x EN: x divideix n}

2. An={xEN:x> ~}

3. An = {(x,y) E 'R2: n2 x2 + n4y2 2: 1}

4. An = {(x,y) E 'R.,2 : X+ y> (-l)n}

3

/-.

""' ......

.--,,

TEMA 1

' CALCUL DE PROBABILITATS

1.1 Breu repas als elements de la teoria de conjunts

• 1.1.1 Sigui O un conjunt qualsevol i C ~ P(O). Denotem per a(C) la a-algebra generada per C. Proveu que:

l. C ~ a(C);

2. a(a(C)) = a(C);

3. si C1 ~ C2 aleshores a(Ci) ~ a(C2).

• 1.1.2 Sigui C = {Ai, ... ,An,· . . } e P(O) una família numerable de subconjunts de O amb AinAi = 0 per tot i -:/:- j. Proveu:

l. a(C) = cr(C.), on C.= CU {Ao} i Ao = (LJ~ 1 Ai)c;

2. a(C) ={A~ O tals que A= LJiEI Ai, amb I finito numerable i Ai E C*}

3. A1 , ... , An, ... són esdeveniments elementals en la a-algebra a( C).

SOLUCIÓ:

1. Hem de veure les dues inclusions:

• a(C) ~ cr(C.) ja que C ~ C.(apliquem el problema 1.1.1, ap. 3}.

• a(C.) ~ a(C) Per veure aixo és suficient veure que Ao E cr(C) (ja que aleshores C. ~ a(C) i per tant, a(C.) ~ cr(a(C)) = a(C))¡ pero aixo és cert perque a(C) és tancada per unions numerables i pas al complementari pel /et de ser a-dlgebra.

2. Sigui

A= {A~ O /A= LJiEI A;, (I finito numerable¡ A; E C.)}.

Hem de veure que A= a(C).

5

6

..._

TEMA 1. CALCUL DE PROBABILITATS

Veurem primer que A ~ C: sigui B una a-algebra tal que C ~ B, aleshores A~ B donat que B és a-algebra¡ per tant

A~ nBu-alg.:Cc;1313 = a(C).

Veiem ara l'altre contingut: 41(C) ~ A. Com que C ~ A, es té que a(C) ~ a(A). Aleshores, si provem que A és una a-algebra {d'on es segueix que A = a(A)) haurem provat el resultat desitjat. Per veure que A és a-algebra hem de comprovar tres punts:

00

- O E A: O = LJ Ai i tots els Ai pertanyen a C •. i=O

- A E A=> Ac E A: Sigui A E A aleshores, A= U Ai amb I iEl

00

finit o numerable. Com que O = LJ Ai, i els Ai són disjunts i=O

dos a dos, aleshores Ac = U Ai, i J = N - I és finit o i~I

numerable. Per tant Ac E A.

- A és tancat per reunions numerables: Una unió numerable d'unions numerables és a la vegada una unió numerable, per tant, la unió numerable d'elements de A tomara a ser un element de A

3. Recordem que si A és una a-algebra, A E A és elemental si i només si,

{ X=0

V X E A, X ~ A => X = A

Sigui ara A E A, i suposem que per algun i E N A ~ Ai. A E

A => A = U A; ~ Ai. Aleshores, jEJ

U { Ai A = A n Ai = (A; n Ai) = 0

jEJ

si i E J altrament

• 1.1.3 Sigui C ~ P(O) qualsevol. Proveu que per a cada A E a(C), existeix una família numerable de conjunta Co ~ C tal que A E a(C0 ).

(Indicació: Si A és la unió de totes les a-algebres generades per col-leccions numerables de conjunts de C, proveu que A és una a-algebra i que C ~A ~ a(C).)

• 1.1.4 Si O = n es treballa amb l'anomenada a-algebra de Borel, que denotem per B(n) i que es defineix com la a-algebra generada pels intervals del tipus (a, b], amb a;::; b, a, b E n.

l. Proveu que B(n) coincideix ambla a-algebra generada per:

(a) tots els intervals oberts (a, b);

(b) tots els intervals tancats [a, b];

( c) tots els intervals semioberts [a, b);

~

~,

' .... .... ~

"'"' -. -. .......

...... ~

-.,

......

......

...... -.. -.. -.. -.,

"

......,

TEMA l. CALCUL DE PROBABILITATS

{d) tots els intervals [a, oo);

(e) tots els intervals (a, oo);

(f) tots els intervals (-oo, b];

(g) tots els intervals (-oo, b);

{h) tots els oberts de n ambla topología U§Ual;

(i) tots els compactes de n. 2. Proveu que tot subconjunt d'un sol element és un borelia i, per tant, ho és també tot subconjunt

numerable de n .

• 1.1.5 Sigui n un conjunt qualsevol, A una a-algebra de subconjunts d'S1 i X un subconjunt no buit den. Proveu que Ax ={A n X; A E A} és una a-algebra de subconjunts de X. Definiu, en particular, la a-algebra de Borel d'un interval den.

• 1.1.6 Proveu que un espai probabilitzable (n, A) és elemental si i només si existeixen esdeveniments A1 , ... , An, ... elementals tals que u:,1 Ai = n.

• 1.1.7 Considerem els esdeveniments {1 }, {1, 3, 5}, {2, 4, 6} corresponents a l'espai de probabilitat associat al llern;ament d'un dau. Determineu la menor algebra de esdeveniments que els conté i calculeu-ne la mesura de probabilitat.

1.2 Axiomatica del calcul de probabilitats i estudi de les propietats de la probabilitat

1.2.1 En cadascun deis experiments següents, determineu l'espai mostral (o conjunt de resultats):

l. Triem una família de tres fills i anotem els sexes dels fills ordenats per edats.

2. En un procés de fabricació, triem quatre peces i anotem si cada pe<;a és defectuosa o no.

3. Obrim un llibre per qualsevol pagina i comptem el nombre d'errors d'impremta.

4. D'una baralla de 52 cartes n'extraiem dues amb reempla<;ament.

5. La mateixa situació que a 4 pero sense reempla<;ament.

1.2.2 Si els esdeveniments A i B són disjunts, sota quines condicions Ac i Be són disjunts?

1.2.3 Considerem dos esdeveniments A i B tals que P(A) = 0.4 i P(B) = 0.7. Determineu els possibles valors que pot prendre P(A n B).

1.2.4 En una capsa tenim 12 cargols, dels quals 5 són defectuosos. En triem 3 a l'atzar, sense reempla<;ament. Calculeu la probabilitat de treure'n exactament un de defectuós .

7

8 TEMA 1. CALCUL DE PROBABILITATS

1.2.5 Una urna conté 100 boles, de les quals r són vermelles. Suposem que les boles són seleccionarles a l'atzar d'una en una i sense reemplac;ament. Calculeu:

l. la probabilitat que la primera bola sigui vermella;

2. la probabilitat que !'última bola sigui vermella;

3. la probabilitat que la bola 50 sigui vermella.

SOL U CIÓ:

r 1. 100

2. El nombre de maneres d'ordenar r boles vermelles entre 100 boles és

(1~º). A ndlogament, el nombre de maneres d 'ordenar r -1 boles vermelles entre 99 boles és

C~1). Per tant,

P (bola 100 sigui vermella) = 1~0 3. Un raonament andleg al de l'apartat anterior condueíx a 1 ~0

1.2.6 Es selecciona un punt (x,y) del quadrat unitat S (ésa dir, aquell que conté tots els punts (x,y) tals que O ~ x ~ 1 i O ~ y ~ 1). Suposeu que la probabilitat que un punt pertanyi a un subconjunt especific de S és igual a l'area d'aquest subconjunt (degut a que el quadrat unitat S té area 1). Trobeu la probabilitat de cada un dels subconjunts següents:

l. El subconjunt Si de punts tals que

(x - 1/2)2 +(y - 1/2)2 ~ 1/4.

2. El subconjunt S2 de punts tals que

1/2 < X+ y < 3/2.

3. El subconjunt 83 de punts tals que y 5 1 - x2 •

4. El subconjunt S4 de punts tals que x =y.

SOLUCIÓ:

'""' """' ...... ...... .... ...... ...... ...... ......

--

'"""'

,....,

,......

'""'

-,

,,,---,

~


1. El subconjunt 81 esta format per aquells punts de S exteriors al cercle de centre (1/2, 1/2) i radi 0.5. Com l'area de la circumferencia és igual a 7rr2 = ¡,

71" Prob(S1) = 1 - ¡ -

2. El subconjunt S2 esta format per aquells punts de S emmarcats per les rectes x + y = ~ i x + y = ! . Aquestes dues rectes defineixen dos triangles T1 i T2 amb vertex {(0,0},(0.5,0},(0,0.5}} i {(1,0.5},(0.5,1),(1,1}}, respectivament. Per tant,

Prob(S2) = 1 - (area(T1) + area(T2))

Com que area(Ti) = area(T2 ) = (!/ = ~

1 1 3 Prob(S2) = 1- - - - = - =0.75

8 8 4

3. El subconjunt 83 esta format per aquells punts de S que es traben per sota de la parabola y = 1 - x2 .

Per tant,

1

Prob(S3) = area(S3) = ! (1 - x2)dx = ~ o

4. El subconjunt 84 esta format pels punts de S tals que x = y i per tant la probabilitat és igual a O.

1.2. 7 El cor d'una escola conté 10 estudiants de 1 er d'ESO, 20 de 2°n d'ESO, 30 de 3er d'ESO i 40 de 4rt d'ESO. Seleccionem 15 estudiants per a cantar en el concert de cap d'any. Calculeu la probabilitat que almenys hi sigui seleccionat un estudiant de cada classe.

SOLUCIÓ:

La probabilitat que al menys hi sigui seleccionat un estudiant de cada classe és igual a:

1 1 ([C15 0 15 015 c15¡ ¡015 0 15 0 15 0 15 0 15 0 15¡ ¡c15 0 15 0 15]) - Cl5 90 + 80 + 70 + 60 - 70 + 60 + 50 + 50 + 40 + 30 + 40 + 30 + 20

100

1.2.8 Una capsa conté mil bombetes. La probabilitat que hi hagi almenys una bombeta defectuosa és 0.1 i la probabilitat que n'hi hagi almenys dues de defectuoses és 0.05. Calculeu les probabilitats dels esdeveniments següents:

1. La capsa no conté cap bombeta defectuosa;

2. La capsa conté exactament una bombeta defectuosa;

9

10 TEMA l. CALCUL DE PROBABILITATS

3. La capsa conté coma molt una bombeta defectuosa.

1.2.9 Tres atletes de l'equip A i tres de l'equip B participen en una carrera. Si els sis atletes tenen la mateixa preparació física i no es produeixen empats, quina és la probabilitat que els tres atletes de l'equip A acabin primer, segon i tercer i els tres atletes de l'equip B acabin quart, cinque i sise?

SOLUCIÓ:

1 20

1.2.10 Disposem d'un armari amb n parells de sabates i agafem r sabates a l'atzar(r ::; n).

l. Calculeu la probabilitat de no haver format cap parell.

2. Calculeu la probabilitat d'haver format almenys dos parells.

1.2.11 Si k persones s'asseuen aleatoriament en N cadires disposades en cercle (N > k), quina és la probabilitat que ocupin k cadires consecutives?

Com que tots els resultats possibles són equiprobables, calcularem aquesta probabilitat com el quocient dels casos favorables entre els possibles. El nombre de resultats possibles Card(íl) és (~)k! (escollim en quines k de les N cadires hi ha algú assegut i distribuim les k persones de totes les formes possibles entre els seients escollits.) Els resultats favorables els podem comptar escollint la cadira de més a la dreta que ocuparem i l'ordenació de les k persones en les k cadires immediatament a /'esquerra d'aquesta.(N k! possibilitats). Així, obtenim una probabilitat de p = fil· 1.2.12 Suposem que 35 persones es divideixen a l'atzar en dos equips de 10 i 25 persones respectivament.

Quina és la probabilitat que dues persones concretes A i B siguin al mateix equip?

1.2.13 Una baralla de 52 cartes té 4 asos. Si donem 13 cartes a l'atzar a cadascun dels 4 jugadors, quina és la probabilitat que un mateix jugador tingui els 4 a.sos?

1.2.14 En una ciutat d'n+ 1 habitants una persona fabrica un bitllet fals i el dóna a una segona persona, la qual el dóna a una tercera i així successivament. A cada etapa, l'individu al qual se li dóna el bitllet

-..

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

fals s'escull a l'atzar. Suposant que el bitllet s'hagi donat r vegades calculeu: ,...., ,......,

l. la probabilitat que no retorni mai al falsificador; .....

2. la probabilitat que no retorni mai a la mateixa persona. ...... -..

......

~.

,....,_


1. Si numerem els habitants d'l a n+ 1, un resultat de l'experiencia és r

del tipus (~) on la i-essima component és el nombre de la persona a qui se li ha passat el bitllet fals a la i- es sima iteració. La única restricció que han de complir aquestes n-ples és que no hi pot haver mai el mateíx nombre en dues posicions consecutives (ningú es passa el bitllet a si mateix). Així, Card(O) = nr. Els casos favorables són aquells on no apareix el falsificador en cap posició, per tant, n'hi haura n · (n - 1t-1 . Així dones, la probabilitat que se 'ns demana sera:

n(n-1t-1 (n-l)r-l p= = --nr n

2. En aquest cas, el nombre de casos favorables sera:

n(n - l)(n - 2) · ... · (n - r + 1)

d 'on obtenim una probabilitat

n! P - )1 r - (n - r .n

1.2.15 Una capsa conté boles numerarles de l'l a l'n. Agafem dues boles a l'atzar. Calculeu la probabilitat que els números de les boles siguin consecutius en els dos casos següents:

l. Agafem les dues boles simultaniament;

2. Agafem les dues boles amb reposició.

1.2.16 Cinc amics van a sopar a un restaurant i deixen el barret al penjador de l'entrada. Al marxar agafa cadascun un barreta l'atzar. Quina és la probabilitat que cap d'ells rebi el seu barret?

Definim els esdeveniments A¡ : "El senyor i agafa el seu barret", i = 1, ... , 5 aleshores, podem expressar l'esdeveniment "ningú agafa el seu barret" com:

(~A;)' de manera que la probabílitat que se 'ns demana és:

p= 1-P (u Ai) t=l

Per calcular-la utilitzarem la seg"uent relació:

n n

P(LJA;) = L:P(Ai)- 2:P(A;nA;)+ ... +(-1)n-1p(A1 n ... nAn) i=l i=l i<j

11


En aquest cas, és facil comprovar que

L P(Ai1 n ... n Ai.) = (n) (I._1 ... _1 ) _ i1 < ... <ik k n n - 1 n - k -

(n) (n - k)! = _!_ k r;i! k!'

( U5

) 1 1 1 1 - 76 . - 1- .1Ji.... - l! de manera que P . Ai = 1-2f+3f-:;¡¡+5f - 120 ip- 120 - ao •=l

1.2.17 Disposem de 5 cartes vermelles i 5 negres que són distribuirles aleatoriament entre 5 sobres vermells i 5 negres. Calculeu la probabilitat que exactament x sobres continguin una carta del mateix color.

SOL U CIÓ:

Sigui X el nombre de sobres que contenen una carta del mateix color. Notem que X = O, 2, 4, 6, 8, 10

P(X = x) = ((~)) (5-h)) (15º)

1.2.18 Una caixa conté 20 boles vermelles, 30 blanques i 50 blaves. Suposeu que seleccionem a l'atzar 10 boles amb reempla~ament. Determineu la probabilitat que al menys un color no es trobi entre les 10 boles seleccionarles.

SOLUCIÓ:

La probabilitat que al menys un color no es trobi entre les 10 boles seleccionades és igual a:

[(0.8)10 + (0.7)1º + (0.5)1º] - [(0.5)10 + (0.2)1º + (0.3)10]

1.3 Probabilitat condicionada. Independencia de dos o més esdeveniments. Probabilitats a priori, a posteriori i teorema de Bayes

1.3.1 Els esdeveniments A1, ... , Ak formen una partició de n. Per cada i = 1, ... , k, sigui P(Ai) la probabilitat a priori de Ai. Sigui B un altre esdeveniment tal que P(B) > O i denotem per P(AdB) la probabilitat a posteriori de A; donat que l'esdeveniment B ha ocorregut. Demostreu que si P(Ai!B) < P(A1), aleshores P(A;IB) > P(Ai) peral menys un valor de i (i = 2, ... , k).

'"" ------------

------..... ..... .....

--..... """ .....

'""' ,....._

---'°"'\

,.....,

'°"'\

-----

,...._ J

-~

~.

,-_

-----~

~

~

'"'"'

/'-

.--.


Observem que

n ¿ P(AilB) = E~=1 P(Ai n B) _ P(B) i=l P(B) - P(B) = 1;

d'altra banda, sabem que

n

LP(Ai) =l. í=l

n n Així, E P(AilB) = E P(A;) i, utilitzant el Jet que P(AilB) < P(Ai)

i=l i=l obtenim la desigualtat

n n

L P(AdB) > L P(A;) i=2 i=2

d'on es dedueix que almenys hi ha d'haver un sumand a la dreta major que el seu analeg a ['esquerra que és el que volíem veure.

1.3.2 Els percentatges de votants classificats com a centristes en tres districtes electorals diferents són:

En el primer districte el 213, en el segon el 953 i en el tercer el 753.

Si s'escull a l'atzar un districte i d'aquest s'escull un votant, quina és la probabilitat que sigui centrista?

1.3.3 Problema de Chicago En una sala de hall hi ha n matrimonis i cada home escull a l'atzar una dona per ballar. Calculeu la probabilitat que:

l. cada marit balli ambla seva dona;

2. cap marit balli ambla seva dona;

3. Després del hall, cada persona s'asseu a l'atzar en una de les 2n cadires que hi ha a la sala. Si les cadires estan posarles per parelles, calculeu la probabilitat que cada marit s'hagi assegut amb la seva dona.

SOLUCIÓ:

13

14 TEMA l. GALGUL DE PROBABILITATS

1. Definim els esdeveniments

2.

a1 = la parella 1 halla plegada

ª2 = la parella 2 halla plegada

= -an = la parella n halla plegada

És logic suposar que els diferents esdeveniments són depenents els uns dels altres.

Proh(Cada marit halli amh la seva dona)= P(a1 n a2 n a3 n ... n an) =

P(ai)P(a2lai)P(a3la1 n a2) ... P(anla1 n a2 n a3 n ... n ªn-1) = 1 1 1 1 1 ~(n-l)(n-2) .... (n-(n-1)) = n!

Proh(Cap marit halli amh la seva dona) = P(a~ na~ n a3 n ... na~) =

1 - P(a1 U a2 U ... U an) =

1-[tP(ai)-LP(a;nai)+ L P(ainainak)- ... + i9 i<j i<j<k

(-l)n+i P(a1 n a2 n ... n an)]

Avaluem cada sumatori per separat:

LP(a; n ai) i<j

L P(ainainak) i<j<k

L P(a; n ªin ak n ah) i<j<k<h

(n) 1 1 n! 1

= 2 (~)(n-1)=2!(n-2)!n(n-1)=2!

(n)l 1 1 1

= 3 (~)(n-l)(n-2)=3!

(n) 1 1 1 1 1

= 4 (~)(n-l)(n-2)(n-3)=4!

Per tant, Proh(Cap marit halli amh la seva dona)

[ ( 1 ) ( 1 1 ( 1 1 } n+l 1 =1-1- - + -)-(-)+ -)-(- +· .. +(-1) (-)] 2! 3! 4! 5! 6! n!

3. Esta clar que el nombre de combinacions possibles és (2n)! i que els casos favorables són 2n(n!), per tant:

p = (2n)(n!) (2n)!

-.,

,,,.._ -----....., ......,

,......_

'"""" ....... ,.....,

.......

......,

~.

.......

.......

.......

..-,

~

.....,_

........ ..

~-

r

""" ,.....

........

"

"'"" ......_

,.......

,,--.

'""


1.3.4 Una capsa contén boles blanques i m denegres. Escollim una bola a l'atzar, n'observem el color i la retornem a la capsa afegint-hi k boles del mateix color que l'observada. Repetim el procés tres cops més. Calculeu la probabilitat que les tres primeres boles escollides siguin blanques i la quarta negra.

1.3.5 Cada cop que una persona compra un tub amb pasta de dents, tria una de les marques A o B. Suposem que cada cop que en compra (excepte el primer), escull la mateixa marca que havia comprat la vegada anterior amb probabilitat 1/3 i que canvia de marca amb probabilitat 2/3. Si el primer cop tria entre les dues marques amb probabilitat 1/2, quina és la probabilitat que hagi escollit la marca A a les dues primeres compres i la marca B a les dues següents?

1.3.6 Suposem que A és un esdeveniment tal que P(A) = O i B és un altre esdeveniment qualsevol. Demostreu que A i B són independents.

1.3. 7 Suposem que la probabilitat de guanyar a un cert joc és 1/50. Si juguem 50 vegades a aquest joc, independentment, quina és la probabilitat de guanyar al menys una vegada?

1.3.8 Un número binari esta compost deis dígits O i 1 ( per exemple 1011, 11000.) Aquests números tenen un rol important en l'ús deis equips electronics. Suposeu que un número binari esta format per n dígits. Suposeu que la probabilitat que aparegui un dígit incorrecte és pi que els errors en dígits diferents són independents l'un de l'altre. Quina és la probabilitat de formar un número incorrecte?

1.3.9 Si A i B són independents i si P(B) < 1, quin és el valor de P(Ac¡Bc)?

1.3.10 La probabilitat que un nen d'una certa família tingui els ulls blaus és 1/4, i aquesta característica s'hereta independentment pels diferents fills de la mateixa família. Suposem que tenim una família amb cinc fills.

l. Si sabem que al menys un d'ells té els ulls blaus, quina és la probabilitat que al menys tres deis fills tinguin ulls blaus.

2. Si sabem que el fill més petit té els ulls blaus, quina és la probabilitat que al menys tres deis fills tinguin ulls blaus.

SOLUCIÓ:

15

16 TEMA 1. GALGUL DE PROBABTLITATS

1. Definim els esdeveniments Ai : 'Almenys i fllls tenen els ulls blaus' (i = 1, ... , 5) i B¡ : 'Exactament j ñlls tenen els ulls blaus' (j =O, ... , 5). Així, ens estan demanant la probabilitat

= P(A íA) = P(A3 nA1) P1 3 1 P(Ai)

Ara, P(A1) = 1 - P(B0 ) = 1 - (!) 5

i P(A1nA3) = P(A3) = P(B3)+P(B4)+P(Bs) = m (t)3 (i) 2 + m (t) 4

(i)1 + m (t) 5

(i)º. Calculant aquests valors i substituint obtenim p1 = 0.436

2. Definim els esdeveniments O : "El primer flll té els ulls blaus ", i D : "Entre els últims 4 fllls almenys 2 tenen els ulls blaus". Observeu que O i D són independents i que C n A3 = O n D. Aleshores,

P2 = P(A3IC) = P(C n A3) - P(C n D) P(C) - P(C) =

P(C)P(D) = P(D) = t (~) (!)i (~)4-i P(G) i=2 i 4 4

d'on P2 = 0.26172

1.3.11 Un sistema d'alarma esta connectat a una joieria on la probabilitat que es produeixi perill és 0.1. Si es produeix perill, la probabilitat que l'alarma funcioni és 0.95, i la probabilitat que funcioni sense que hi hagi perill és 0.03. Calculeu:

l. probabilitat que havent funcionat !'alarma no hi hagi perill;

2. probabilitat que es produeixi perill i !'alarma no funcioni;

3. probabilitat que no havent funcionat !'alarma hi hagi perill.

SO LUCIÓ:

1. 0.2213

2. 0.005

3. 0.0056947

1.3.12 En aplicar un test pera detectar un tipus de cancera una persona que el té, la probabilitat de donar positiu és 0.95 i la de donar negatiu 0.05. Si s'aplica a una persona que no el té, dóna positiu amb probabilitat 0.05 i negatiu amb probabilitat 0.95. Suposem que a la població, una persona de cada 100000 té aquest cancer. En seleccionem una a l'atzar i, en aplicar-li aquest test, dóna positiu. Calculeu la probabilitat que tingui aquest tipus de cancer.

~,

-....

' ......

,...,

.....

"" ..... .......

.....

.....

.....,

.....,

"""""

' ....., ,.....,

....., ,......

.....,

--..,

,,

"" _.,

-.

~

'""


1.3.13 En una certa ciutat, el 30% de la gent és Conservadora, el 50% és Liberal i el 20% és Independent. En la darrera elecció van votar el 65% dels Conservadors, el 82% dels Liberals i el 50% dels Independents.

l. Quin percentatge de la població va abstenir-se?

2. Seleccionem una persona de la ciutat a l'atzar i ens diu que no va votar, quina és la probabilitat que sigui Liberal?

SOLUCIÓ:

1. 29.5%

2. 0.3050

1.3.14 Disposem d'una moneda trucada (amb probabilitat de cara= 2/3) i de dues monedes perfectes. Escollim una d'aquestes monedes a l'atzar, la llencem a l'aire sis vegades i observem 4 cares i 2 creus. Quina és la probabilitat d'haver escollit la moneda trucada?.

1.3.15 Un procediment anomenat ftuoroscopia cardíaca és utilitzat pera determinar si hi ha calcificació de les arteries coronaries i d'aquí pera diagnosticar si el malalt pateix la malaltia M. Mitjan<;ant aquest procediment es pot determinar si O, 1, 2, o 3 arteries estan calcificades. Denotem per To+, Ti+, T2+, T3+ aquests esdeveniments. Denotem per M + o M - l'esdeveniment que indica si el pacient esta o no malalt, respectivament. Basant-se en estudis medies els investigadors Diamond i Forrester van presentar la següent taula:

Prob(Ti + IM +) Prob(T; + IM-)

o 0.42 0.96 1 0.24 0.02 2 0.20 0.02 3 0.15 0.00

l. Suposeu que un home entre 30 i 39 anys no ha tingut cap angina de pit. D'estudis medies es coneix que la probabilitat de patir, en aquest cas, la malaltia M és del 5%.

(a) Calculeu la probabilitat que aquest home pateixi la malaltia M sabent que no tenia cap arteria calcificada.

(b) Calculeu la probabilitat que aquest home pateixi la malaltia M si el procediment indica que hi ha una arteria calcificada.

(c) En quin dels dos casos és més probable que aquest home pateixi la malaltia M.

2. Suposeu ara que un home entre 50 i 59 anys té un historial medie amb episodis d'angina de pit.

D'estudis medies es coneix que la probabilitat de patir la malaltia M és del 92%.

(a) Calculeu la probabilitat que aquest home pateixi la malaltia M sabent que no tenia cap arteria calcificada.

17

18 TEMA l. CALCUL DE PROBABLLITATS

(b) Calculeu la probabilitat que aquest home pateixi la malaltia M si el procediment indica que hi ha una arteria calcificada.

(c) En quin dels dos casos és més probable que aquest home pateixi la malaltia M. Compareu aquesta situació amb la trobada a l'apartat l.

1. (a) Aquest problema és una clara aplicació del Teorema de Bayes:

P(M + ITo+) = ~,.,., ~,!'(~~~1'.'(T~):l_M~-1,~ . ,., ,

= 0.05·0.42 0.05·0.42+0.95·0.96 = 0.02251

(b}

P(M+)P(T1+IM+) P(M + IT1 +) = P(M+)P(T1+IM+)+P(M )P(T1+IM )

- 0.05·0.24 = 0.3871 - 0.05·0.24+0.95·0.02

(c) És més probable en el segon cas.

2. (a)

P(M+)P(To+IM+) P(M + ITo+) = P(M+)P(To+IM+)+P(M )P(To+IM )

- 0.92·0.42 = 0.8342 - 0.92·0.42+0.08·0.96

(b}

_ P(M+)P(T1+IM+) - P(M+)P(T1+IM+)+P(M-)P(T1+IM-) P(M + IT1+)

= 0.92·0.24 0.92·0.24+0.08-0.02 = 0.9928

3. Sempre és més probable que el pacient estigui malalt si hi ha una arteria calcificada, pero la diferencia és més gran quan la probabilitat a priori de patir la malaltia és més petita.

1.3.16 D'acord amb dades publicades per l'INEM en desembre de 1994 el nombre d'aturats llicenciats en ciencies de la informació era de 6236. Dels registres es dedueix que la major part dels aturats tenen entre 25 i 34 anys, concretament, hi ha un 163 menors de 25 anys, un 62.53 entre 25 i 34 i un 21.53 majors de 34 anys. Dins de cada un d'aquests tres grups distingim per sexes i trobem un 24.53 d'homes menors de 25 anys, un 34.53 d'homes entre 25 i 34 anys i un 603 d'homes majors de 34 anys.

1. Calculeu el percentatge de dones llicenciades en ciencies de la informació en atur.

2. Seleccionat un aturat a l'atzar de la població analitzada, si és dona, calculeu la probabilitat que tingui entre 25 i 34 anys.

3. Raoneu si les dades publicades permeten afirmar o rebutjar l'existencia de discriminació en la contractació laboral de llicenciats/des en ciencies de la informació.

......

-.. .... .... .... ..... ..... .... ......

' .......,

-.. ......

""" ......

"""

"""" --.

'""" '

....

....

......

"""" ...... ...... -.... .... ...... .... ""' ...... .... .... .... .... .... ,.._ -1 .... --....

1,.. ---... ....

1 "' .... .... .... "" .... .... .... ....

1 "'

....

....

.... 1 ....

.... i ....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

.... "' • •


SOLUCIÓ:

1. Percentatge de dones en atur = 61.6

2. Prob(tenir entre 25 i 34 anys - dona} = 9.6643

3. Prob(un home aturat} = 0.3840. Aquestes dades mostren una discriminació, per raó de sexe, en la contractació laboral de llicenciats/ des en ciencies de la informació ja que mentre un 61.6% de les dones estan aturades sols un 38.4% dels homes ho esta .

1.3.17 Un productor de cinema, amb un bon historial de nominacions pels "OSCAR", ha seleccionat dos equips de direcció A i B per la següent pel·lícula que produira. Basant-se en els resultats d'edicions anteriors, pensa que pot aconseguir 0,1,2 o 3 "OSCAR" segons les següents probabilitats:

• Si escull l'equip A, la probabilitat de O, 1, 2 i 3 "OSCARS" és 0.23, 0.42, 0.25 i 0.10, respectivament .

• Si escull l'equip B, les probabilitats són 0.20, 0.40, 0.40 i 0.00, respectivament.

• El productor pensa que per problemes de disponibilitat deis equips, la probabilitat d'escollir A és 2/3 de la probabilitat d'escollir B.

l. Calculeu la probabilitat que la pel-lícula rebi exactament un "OSCAR" .

2. Si la pel·lícula rep exactament un "OSCAR", calculeu la probabilitat que l'hagi fet l'equip A.

3. Un aficionat ha sentit que la pel·lícula ha rebut algun "OSCAR", calculeu la probabilitat que l'hagi fet l'equip B .

1.3.18 Sabem que una urna conté 4 boles blanques i 4 denegres. N'extraiem 4 i les posem en una altra urna. Agafem una bola d'aquesta urna i és negra. Trobar la probabilitat d'agafar-ne una de blanca entre les tres restants .

1.3.19 Una marca de cereals regala un pin a cada paquet. Hi ha k pins diferents. Suposem que els pins estan repartits uniformement en els paquets. Calculeu la probabilitat que comprant n paquets (n 2'.: k) tinguem la col·lecció completa .

1.4 Introducció a les cadenes de Markov

6 1.4.1 Suposem que el temps només pot ésser assolellat (S) o núvol (N), i que el temps durant matins successius forma una cadena de Markov estacionaria. Suposem que la matriu de transició té per elements

PSS = 0.7, PSN = 0.3, PNS = 0.6, PNN = 0.4

l. Si el divendres al matí és núvol, quina és la probabilitat que el dissabte torni a ser núvol.?

2. Si el dilluns al matí esta assolellat , quina és la probabilitat que tant el dimarts com el dimecres faci sol?

19

20 TEMA l. CALCUL DE PROBABrLITATS

3. Si el dijous al matí és núvol, quina és la probabilitat que faci sol al menys un dels propers tres dies?

4. Si el dimecres fa sol, quina és la probabilitat que el dissabte faci sol?

5. Si el dimecres fa sol, quina és la probabilitat que el dissabte i el diumenge faci sol?

6. Suposem que la probabilitat que faci sol el dimecres és 0.2 i de que estigui núvol 0.8, quina és la probabilitat que el divendres estigyi núvol?.

SO LUCIÓ:

1. Pi =PNN=0.4

2. Aplicant la propietat de Markov tenim que

P2 = P(X2 = S n Xa = SIX1 = N) = P(X2 = SIX1 = S)P(Xa = SIX2 = N) = (Pss)

2 = 0.49

3. Pa = P(Xs = SU X5 = SU X1 = SIX4 = S) si apliquem el jet que la probabilitat de fer Sol un dia no depen de quin dia és sinó de quin temps ha jet el dia anterior, la propietat de M arkov i algunes propietats bdsiques de les probabilitats, obtenim:

p3 = 1 - (P(X2 = NIX1 = N))3 = 1- (PNN)3 = 0.936

4. p4 = P(X6 = SIXa = S) = P(X4 = SIX1 = S) = p<3) ss· Per

calcular aquesta probabilitat necessitarem la matriu de transició en tres passos:

p3 = (

d'on p4 = 0.667

o. 7 0.6

0.3 )ª = ( 0.4

0.667 ? ~ )

5. Ps = P(X6 = S n X1 = S!Xa = S) = P(X1 = SIX6 = S)P(X6 = SIXa = S) = Pssp<3

) ss = 0.4669

6. Si prenem com a X 1 l'estat de la cadena el dimecres, el vector de probabilitats inicials és v = (0.2, 0.8). Així, Ps = P(Xa = N) = vP2 on P 2 és la matriu de transició en dos passos. Fent aquests cdlculs obtenim p5 = 0.338

4'i 1.4.2 Suposem que una cadena de Markov té quatre estats s1, s2, sa, s4 i les probabilitats de transició estacionaries són

1 Pu = P12 = P41 = p42 = p43 = p44 = -,

4 1

P14 = Pa1 = Paa = 2' P22 = 1,

p13 = P21 = P23 = P24 = P32 = p34 = O.

'

-,

' ~

' .,

' ' -""\

...... ......

......

.....

......

......

' '

' ~,

"""\

"""\

' ' '""'"' .,

"""'

' ' --._

~

"' ,......_


l. Si la cadena esta a l'estat 83 en el moment n, quina és la probabilitat que sigui a l'estat 82 en el moment n + 2.?

2. Si la cadena esta a l'estat 8 1 en el moment n, quina és la probabilitat que sigui a l'estat 83 en el moment n + 3.?

3. Denotem per X1 l'estat inicial en el moment 1 de la cadena i suposem que les probabilitats inicials són:

1 1 P(X1 = 81) = 8' P(X1 = 82) = 4'

3 1 P(X1 = 83) = 8' P(X1 = s4) = ¡·

Determineu la probabilitat que la cadena estigui en els estats 8 1 , s2 , 83, 84 en el moment n per cada un dels següents valors de n: n = 2, 3, 4.

SOLUCIÓ:

1. 0.125

2. 0.125

3. (P(X2=Sj),j=1,2,3,4) = (0.28,0.34,0.25,0.l25)

(P(X3 = Sj),j = 1,2,3,4) = (0.23,0.44,0.16,0.17)

(P(X4 = 8j),j = 1,2,3,4) = (0.18,0.54,0.12,0.16)

.. 1.4.3 Tres nois A, B i C juguen a ping-pong. En cada joc dos d'aquests nois juguen l'un en contra de l'altre i el tercer s'espera. El guanyador del joc n----Elsim juga en el joc (n + 1)----Elsim contra el jugador que s'esperava en el joc n----Elsim i el perdedor del joc n----Elsim s'espera en el joc (n + 1)----Elsim. La probabilitat que A guanyi a B en qualsevol joc és 0.3, la probabilitat que A guanyi a C és 0.6 i la probabilitat que B guanyi a e és 0.8.

l. Representeu aquest procés com una cadena de Markov amb probabilitats de transició estacionaries definint els possibles estats i construint la matriu de transició.

2. Calculeu la probabilitat que els dos nois que competeixen en el primer joc tornin a competir en el quart joc.

3. Demostreu que aquesta probabilitat no depen dels dos nois que juguin en primer !loe.

SOLUCIÓ:

21


1. Definim Xi com el noi que espera du.rant el joc i-essim, de manera que els estats possibles són A, B i C. És clar que aqu.est procés és u.na cadena de Markov ja que la probabilitat que en l'i-essim joc esperi tm jugador concret només depen de qui estava esperant durant el joc anterior. La matriu. de transició sera:

-

( o 0.2 0.8 )

p = 0.4 o 0.6 0.7 0.3 o

2. Necessitarem la matriu de transició en tres passos:

(

0.18 0.164 0.656 ) P3 = 0.328 0.18 0.492 .

0.574 0.246 0.18

La probabilitat que ens estan demanant és:

p = p ((Xi = A n X4 = A) u (X1 = B n X4 = B) U(X1 = en X4 = C))

= P(X1 = A)p~1 + P(X1 = B)P~h + P(X1 = C)pgb = 0.18

3. Del /et que els tres termes de la diagonal de la matriu de transició en tres passos siguin igu.als es dedu.eix trivialment que la probabilitat que els dos nois que competeixen en el primer joc tomín a competir en el qu.art no depen de qu.ins sigu.in els nois que ju.gu.en el primer joc.

4't 1.4.4 La Maria surt amb dos nois, un noi viu a Sarria i l'altre a Gracia. Quan vol sortir amb un d'ells el cap de setmana escull el de Sarria amb probabilitat p. Entre dues sortides descansa i passeja amb les amigues.

l. Descriure la cadena de Markov amb tres estats: S per Sarria, G per Gracia í A per Amigues de les sortídes de la Maria. Especifiqueu la matriu de transició.

2. El primer cap de setmana d'aquest mes de novembre (en el que n'hi ha 4) la Maria ha sortit amb les amigues.

(a) Calculeu la probabilitat que surtí amb el noi de Gracia dues vegades durant aquest mes.

(b) Calculeu la probabilitat que surtí amb el noí de Gracia almenys un cop durant aquest mes.

3. Suposeu que el vector de probabilitats inicial és (1/3, 1/3, 1/3). Calculeu la probabilitat que dos caps de setmana després surtí amb les amigues.

4't 1.4.5 Una companyía d'autobusos preocupada pels recents accidents deguts a les falles dels conductors decideix fer una prova mensual als seus conductors amb l'objectiu de mantenír-los en forma. El resultat de l'esmentada prova pot ser P: Passa, C: Control i A: Atura indicant el següent: Si un conductor

...., ....,

....,

....,

......

"""' ..... ..... ...... ...... ...... ........

...... ,-.._

.......

......

""" """ ........

.......

......

. '""""

.-..,

-----..-..._

~

,....,


treu una A haura d'estar un mes sense fer cap viatge i fent exercicis intensius de perfeccionament; si un conductor treu una C continuara fent viatges tot i que haura d'anar fent simultaniament exercicis i controls; si un conductor treu una P vol dir que esta en perfectes condicions de viatjar i no cal que faci rés. La probabilitat que un conductor que ha tret P tregui un altre cop P el proper mes és 0.7, la probabilitat que un conductor que ha tret e tregui un altre cop e el proper mes és 0.3, la probabilitat que un conductor que ha tret A tregui un altre cop A el proper mes és 0.2, la probabilitat que un conductor que ha tret P tregui una A el proper mes és 0.1, fa probabilitat que un conductor que ha tret C tregui una P el proper mes és 0.6 i la probabilitat que un conductor que ha tret A tregui una P el proper mes és 0.2.

l. Descriure la cadena de Markov amb els estats definits a l'enunciat. Especifiqueu la matriu de transició.

2. El conductor Sr.X ha tret una P a l'examen del gener. Calculeu la probabilitat que tregui P als examens de tot l'any.

3. El conductor Sr.Y ha tret una C a !'examen del gener. Calculeu la probabilitat que al menys treballi un mes al llarg de tot l'any. Calculeu la mateixa probabilitat suposant que ha tret una P a !'examen de gener i també suposant que ha tret una A a !'examen de gener. Compareu el tres resultats i concloeu quina importancia té la nota de !'examen de gener. lndicació: El calcul de les tres probabilitats segueix el mateix raonament.

4. Suposeu que el vector de probabilitats inicial és (2/3, 1/6, 1/6). Calculeu la probabilitat que tregui P al febrer i A a !'abril.

'9 1.4.6 Sigui X1, X2, ... , Xn, ... una cadena de Markov estacionaria amb 3 estats A, B i C. Si la cadena es troba a l'estat A pot anar a qualsevol dels tres estats amb la mateixa probabilitat; si la cadena és a l'estat B pot anar als estats A i B amb la mateixa probabilitat; i si la cadena es trobés a l'estat C en el moment n, en el moment n + 1 torna a ser a l'estat C.

l. Representeu aquest procés com una Cadena de Markov i constru'iu la matriu de transició P.

2. Classifiqueu els estats de la Cadena de Markov. Feu primer una representació grafica. És aquesta cadena irreduible?

3. Si la cadena es troba en el moment n a l'estat A, calculeu la probabilitat que es quedi a A en els següents dos moments.

4. Feu servir les equacions de Chapman-Kolmogorov per a calcular la probabilitat d'arribar a l'estat A en dos passos si la cadena surt de l'estat A.

9't 1.4. 7 Les pistes d'una estació d'esquí alpí es classifiquen, segons un ordre de dificultat creixent, en (V): verdes, (B): blaves, (X):vermelles i (N): negres. El gerent de l'estació, basant-se en un estudi fet la temporada anterior, té la següent informació:

la probabilitat que un esquiador esqui'i el primer dia a una pista verda és 0.2, a una blava és 0.5, a una vermella és 0.3 i a una negre és O;

• si un esquiador comern;a esquiant a una pista verda, la probabilitat que el dia següent romani a pistes verdes és 0.4, la probabilitat que el dia següent vagi a una blava és el doble que la probabilitat que el dia següent vagi a una vermella i la probabilitat que el dia següent vagi a una negre és O;

23


• si un esquiador comern;a esquiant a una pista blava, la probabilitat que el dia següent romani a una blava és 0.5 , la probabilitat que esculli verdes o vermelles és la mateixa i la probabilitat que el dia següent vagi a una negre és 0.1;

• si un esquiador comem;a esquiant a una pista vermella, la probabilitat que el dia següent esquil a una vermella és 0.7 , la probabilitat que esculli una verda és O, la probabilitat que el día següent vagi a una blava és 0.1 i la probabilitat que el dia següent vagi a una negre és 0.2;

• si un esquiador comenc;a esquiant a una pista negre, la probabilitat que el dia següent esqui1 a pistes verdes, blaves o vermelles és O.

l. Expliqueu per que el procés estocastic descrit a l'enunciat és una cadena de Markov. Especifiqueu els estats d'aquesta cadena, classifiqueu-los i escriviu la matriu de transició de probabilitats.

2. Un esquiador va cinc dies de vacances a esquiar per primer cop. El primer dia escull una pista verda, quina és la probabilitat que es passi els cinc dies esquiant a pistes verdes?

3. Calculeu la probabilitat que un esquiador, agafat a l'atzar de l'estació, esqui! el tercer dia a una pista vermella.

SO LUCIÓ:

1. Xi sera el ti pus de pista escollida per l 'esquiador el dia i ( considerant que arriba a les pistes el dia 1). Així, els possibles estats de la cadena seran: V, B, X, N. El procés es pot modelitzar com una cadena de Markov ja que la probabilitat que l'esquiador escullí una pista d 'una determinada categoría només depen del tipus de pista que ha escollit el dia anterior.

La matriu de transició sera:

(°4 2p1 Pi

0°1) P= P2 0.5 P2 o 0.1 0.7 0.2 o o o 1

ara bé, la matriu ha de ser una matriu estocastica, i, per tant s 'ha de complir:

{ 1 = 0.4 + 2p1 +Pi +O 1 = P2 + 0.5 + P2 + 0.1

d'on Pi = 0.2 i P2 = 0.2. Ja només ens falta classificar els estats de la cadena:

""" """ ..... ..... .... .... ...... ...... ...... --

----...... ...... -""' ""'

"

·-"


• Hi ha dues classes d'estats comunicants¡ la classe {V, B, X} que no és tancada, i la classe { N} que si que ho és. Com que hi ha una classe tancada que no conté tots els estats, la cadena no és irreduiole.

• L 'únic estat absorbent és l 'estat N, mentre que V, B i X són transitoris.

• L 'estat N és recurrent

• Tots els estats són aperiodics.

2. Definim Vi com l'esdeveniment Xi= V. Aleshores,

p = P(Vi n Van Vi n VslVi) = (pvv )4 = 0.0256

3. Ens estan demanant P(Xs = X). Per a calcular-la necessitarem la matriu de transició en dos passos:

(

0.24 0.38 0.30 p2 - 0.18 0.35 0.28

- 0.20 0.12 0.51 o o

0.98) 0.09 0.15

1

per tant, P(Xs =X) =Vi· p(2)3 = 0.353

4'i 1.4.8 A uns estudis universitaris de tres anys de duració un estudiant té una probabilitat p d 'abandonarlos i per tant de no tornar el proper any, una probabilitat q de repetir el curs i una probabilitat r de passar de curso de graduar-se si ja esta a tercer any, (p + q + r = 1). Considerem el procés estocastic Xn que denota l'estat d'un estudiant en n-essim any des que comeni;:a la universitat.

25


l. Especifiqueu els estats d'aquest procés. Expliqueu per que el procés estocii.stic descrit a l'enunciat és una cadena de Markov. Escriviu la matriu de transició de probabilitats.

2. Hi ha estats comunicants? Hi ha algun estat absorbent?

3. Calculeu la probabilitat que un estudiant es gradui en tres anys. Raoneu el perque de cada un dels passos d'aquest calcul.

-4. Quina és la probabilitat de repetir el tercer curs per a un alumne que ha repetit primer?

'9 1.4.9 Les finques agrícoles de Nebraska (USA) es divideixen en quatre categories en funció de llur dimensió: MOLT PETITES, PETITES, GRANS i MOLT GRANS. Les finques augmenten o redueixen la seva dimensió en funció de que es compri o es vengui terreny. Es suposa que aquelles finques, o bé MOLT PETITES, o bé MOLT GRANS, no canvien més la seva dimensió. Les finques PETITES i GRANS augmenten a la categoría següent cada any amb probabilitat 0.5, es queden de la mateixa dimensió amb probabilitat 0.25 i es redueixen a la categoría immediatament inferior amb probabilitat 0.25. Denotem per Xn la dimensió d'una finca l'any n.

l. Especifiqueu els estats d'aquest procés. Expliqueu per que el procés estocastic descrit a l'enunciat és una cadena de Markov. Escriviu la matriu de transició de probabilitats.

2. Classifiqueu la cadena de Markov. Especifiqueu si hi ha estats comunicants, recurrents, transitoris, absorbents.

3. Calculeu el període de la cadena i concluiu si aquesta cadena és ergodica.

4. Donat que la finca del Sr. Smith és catalogada de GRAN l'any 1996, calculeu la probabilitat que l'any 2000 s'hagi convertit en una finca MOLT PETITA. Feu servir les equacions de ChapmanKolmogorov per fer aquest calcul.

5. La finca del Sr. Taylor és catalogada de MOLT GRAN l'any 1996, calculeu la probabilitat que l'any 2000 s'hagi convertit en una finca MOLT PETITA.

......_

~,

""" """'

"""' ""' ""' ""' """' """' """ """

""" """ """' """' .......

.......

""" ,,...._

'""'

---

,..--..

TEMA2

' VARIABLES ALEATORIES

2.1 Concepte de variable aleatoria i distribucions discretes

2.1.1 Sigui X el nombre de cares en llen<;ar una moneda tres vegades. Qui és íl? Quins valors assigna X als punts d'D? Quins són els successos {X~ 2.75}, {0.5 ~X~ 1.72}?

SOLUCIÓ:

D={ {O, O, O}, {O, O,+}, {O,+,+}, { +, +, + }}={w1, w2, w3,w4}

Els valors que as signa X als punts d n són:

X(wi) = 3, X(w2) = 2, X(w3) = 1, X(w4) =O

Els successos {X::; 2.75}, {0.5::; X::; 1.72} són:

{X ::'5 2.75} = {w1,W3,W4}

{0.5 ::'5 X ::'5 1.72} = {w3}

2.1.2 Un dau és llen<;at cinc vegades. Sigui X la suma dels valors obtinguts. Escriviu els successos {X= 4}, {X= 6}, {X= 30}, {X~ 29}.

2.1.3 Un dau és llen<;at dues vegades. Sigui X la suma dels valors obtinguts i Y el valor absolut de la diferencia. Qui és íl? Quins valors assignen X i Y als punts d 'íl?

2.1.4 Considerem una successió de cinc tirades d'una moneda perfecta. Sigui X el nombre de vegades que una cara és seguida immediatament d'una creu. Ésa dir, que si w = C + C + C, aleshores X(w) = 2. Trobeu les probabilitats P(X = k). Indicació: Calculeu primer P(X = 2) i P(X =O).

2.1.5 Sigui 1

P(X = n) =Pn = -, - .• ,, n>l

S'obté així una distribució de probabilitat d' X? Calculeu P(X ~ m) per a tot m.

27

28 TEMA 2. VARIABLES ALEATÓRIES

2.1.6 Determineu la distribució de

Y= X2 -7X +10

on X és el nombre de punts obtinguts en llem;ar un dau perfecte.

2.1. 7 Suposem que una urna conté 7 boles vermelles i 3 de blaves. Si se seleccionen 5 boles aleatoriament, sense reempla¡;ament, determinar la fundó de probabilitat del nombre de boles vermelles que s'obtenen.

2.1.8 La variable aleatoria X té una distribució discreta amb fundó de probabilitat donada per:

{ ...f... si X = 1, 2, · · ·

f (x) = r altrament

Calcular el valor de c.

SOLUCIÓ:

1 e= 6/7r2

2.1.9 La variable X només pot prendre els valors -2, O, 1 i 4 amb probabilitats 0.4, 0.1, 0.3 i 0.2, respectivament. Dibuixar la fundó de distribució d'X.

2.1.10 Es llen<;a 9 vegades una moneda trucada amb probabilitat de cara 0.6. Calcular la probabilitat d'obtenir un nombre parell de cares.

SO LUCIÓ:

Sigui X =nombre de cares.

Si ens adonem que els successos X = j amb j diferent són disjunta, tenim queP(Xparell) = P(X = O)+P(X = 2)+· · ·+P(X = 8). Ara, com que sabem que X,..., Bin(9, 0.6), P(X = k) = mo.6k0.49-k amb k = l · · · 9 i així obtenim P(X parell) = 0.5

• 2.1.11 Si una variable aleatoria X té una distribució discreta amb fundó de probabilitat f(x), es denomina moda de la distribució el valor d'x per al qual f(x) és maxima. Si el mateix valor maxim f (x) s'assoleix per a diversos valors de x, aleshores tots aquests s'anomenen modes de la distribució. Determinar la moda o modes de la distribució de Poisson de parametre >..

SOLUCIÓ:

,.....

.......

'""" ..... ..... ..... .....

'""" .......

.....

.....

"""' '"" '"" .......

.....

..... ,.....,

""""

~

~

~

TEMA 2. VARIABLES ALEATÓRIES

Si X"' Poisson(>-.), Prob(X = k, >-.) =e->.~~, k =O, 1, 2, .... El quocient

P(X = k + 1,>-.) -,\ >,(k+l)

= e (k+l)! -P(X = k,>-.) e->. >.k

- k! )..(k+l)k! )..(k+l)k!>-.-k

(k + 1)!)..k = (k + 1)! = >-.(k!) )..

(k + 1)! = k+l

La moda o valor maxim {m) haura de verificar que:

P(X = m + 1, >-.) l . ___:_ __ _...;__:_ < t

P(X = m,>-.) P(X = m,>-.) > l

P(X = m - 1, >-.) -

És a dir que: m¡l < 1 i ~ ~ 1 i per tant, A< m + 1 i A~ m o equivalentment, ).. - 1 < m ~ ).. Per tant, la moda coincideix amb ).. si ).. és enter i és el primer enter més petit que ).. si ).. no és enter.

• 2.1.12 Determineu la moda o modes d'una distribució binomial amb parametres ni p. Indicació: Estudiar el quocient f(,~H,f).

2.1.13 Una maquina de fabricar ampolles té una probabilitat igual a 0.1 de produir una ampolla defectuosa. Suposem que cada día fabrica deu ampolles. Aquestes ampolles passen un control de qualitat i les defectuoses es retiren. Sigui p1 = 0.2 la probabilitat que una ampolla defectuosa sigui classificada malament i p2 = 0.05 la probabilitat que una ampolla no defectuosa sigui classificada malament. Sigui X el nombre d'ampolles classificades coma defectuoses.

l. Calculeu P({X = 3}) i P({X > 3}).

2. Obteniu una expressió pera P({X = k}).

3. Sigui Y el nombre d'ampolles defectuoses entre les que s'han classificat com a defectuoses. Quina distribució condicionada té Y donat que X = x?

2.1.14 Un vigilant ha d'obrir una porta durant la nit. Té un clauer amb deu claus diferents i escull una clau a l'atzar seguint un dels metodes següents:

A : Prova amb cada una de les claus, sense repetir-ne cap.

B : Prova una clau, la barreja amb les altres i en prova una altra.

Sigui XA (respectivament XB) la variable aleatoria que designa el nombre de claus assajades amb el procediment A (resp. B).

l. Determineu les distribucions de XA i XB.

2. Calculeu la probabilitat d'assajar més de vuit claus en cadascun deis dos casos.

29


3. Cada vespre el vigilant tira una moneda que té probabilitat de cara 2/3. Si surt cara utilitza el metode A per obrir la porta i si surt creu utilitza l'altre metode. Calculeu la probabilitat que hagi sortit creu si sabem que amb vuit intents no ha pogut obrir la porta.

SO LUCIÓ:

APARTATl:

XA i Xn són v.a. discretes. Calcularem les seves funcions de distribució.

Per Xz és més facil calcular primer la Junció de probabilitat. Si k E {1, ... , 10}, P(XA = k) és la probabilitat de que la clau bona sigui la que ocupa el lloc k dins de l'ordenació de les claus. Per tant, P(XA = k) = 9!/10! = 1/10 i la llei que segueix XA és uniforme discreta al conjunt {1, ... , 10}. Així, la seva Junció de distribució és FxA (k) = P(XA ~ k) = k/10. La llei que segueix Xn s'obté a partir de Fx8 (k) 1- (:0)k i per tant P(Xn > k)=( 1

90 )k.

Per tant, la llei que segueix Xn és Geom( 110 ).

APARTAT2:

P(XA > 8) = 0.2 i P(Xn > 8) = 0.4304

APARTAT3:

Definim els successos:

Si: surt cara

S2 :surt creu.

V: amb 8 intents no s 'ha pogut obrir la porta.

= P(Xn ~ k) =

Cerquem P(S2lv). Aleshores, si utilitzem el teorema de Bayes aplicant P(Vls2 )=( 1

90 )

8 = 0.4304 i P(Vls,)=h obtindrem:

( 9 )ª 1 P(Vls2 )P(S2) _ 10 3 = 0.52 1 ) - 8 12 P(S

2 v = P(Vj82 )P(S2) + P(Vls,)P(S1) {¡9

0) i + 53

2.1.15 Un lot de 50 bombetes és examinat agafant a l'atzar 10 bombetes simultaniament i provant-les. Si com a maxim hi ha una bombeta defectuosa s'accepta el lot; en cas contrari, es rebutja. Suposem que en un lot hi ha 12 bombetes defectuoses. Trobeu la probabilitat d'acceptar el lot.

2.1.16 Designem per X el nombre de cotxes que arriben al peatge d'una autopista durant un minut. Suposem que X segueix una llei de Poisson de parametre 5. Calculeu:

l. Probabilitat que passin 5 cotxes entre les 3h 4m i les 3h 5m.

2. Probabilitat que passin més de 2 cotxes entre les 3h 4m i les 3h 5m.

3. Probabilitat que passin mes de 6 cotxes entre les 3h 4m i les 3h 5m. (Suposeu que el nombre de cotxes que passen en dos minuts diferents són independents.)

,~

"""1

--

....... !

.....

""""'

""""'

""""'

""""'

""""' -.. -.. -..

'"""'

'"" -.. -.. -.. -.. '"" ~

~,

,....._

-.

-----. ,....._

,......,


4. S'instaJ.la al peatge un comptador per comptar els cotxes que passen. Aquest té una probabilitat 0.1 de fallar no comptant un cotxe que passa. Trobeu la distribució del nombre de cotxes per minut que dóna el comptador.

SOLUCIÓ:

1. 0.1754

2. 0.8753

3. 0.8698

4. Z "' Poisson(0.9>.)

• 2.1.17 Es diu que una variable aleatoria X a valors en N no té memoria si pera tot n EN, P{X > n} > O, i per a qualssevol n, k E N, P( {X > k + nlx>k}) = P {X > n}. Trobeu to tes les possibles distribucions d'X.

2.1.18 Entre dues-centes famílies amb quatre fills cadascuna, quantes cal esperar que tinguin:

l. Tres nens i una nena,

2. Dos nens i dues nenes,

3. Dues o tres nenes.

Suposeu que les probabilitats de tenir un nen o una nena són iguals.

2.1.19 Una companyia aeria ven 200 bitllets per un vol en un avió que només té 198 places perque sap que, en mitjana, un 13 dels viatgers no es presenten a la sortida dels vols. Determinar la probabilitat que tots els viatgers que es presentin a la sortida d'aquest vol tinguin seient.

SOLUCIÓ:

Resoldrem aquest problema utilitzant la distribució de Poisson.

Sigui Y el nombre de passatgers que falten.

Podem aproximar Y per una Poisson de parametre >. = 0.01(200) = 2

Aleshores la probabilitat que tots els passatgers que arribin tinguin bitllet es P(Y~2) = 0.594

• 2.1.20 Sigui n = N-{O}, A= 'P(f!), i P({n}) = 2-n, n En. Prenem k E N-{O} i sigui X: n--+ Fk, X(n) = residu d'n modul k. Determineu la llei de probabilitat d'X.

• 2.1.21 Un dau és llern;at dues vegades. Sigui X la suma dels valors obtinguts i Y el valor absolut de la diferencia. Sigui n = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

31


l. Doneu la mínima a-algebra de fl que fa que X sigui varaiable aleatoria.

2. Doneu la mínima a-algebra de n que fa que Y sigui varaiable aleatoria.

3. Doneu la mínima a-algebra de O que fa que (X, Y) sigui varaiable aleatoria.

• 2.1.22 Sigui X una variable aleator1a i a E IR, a > O. Demostreu:

P(X > a) =O{::} Ve> 1, P(X > ca) =O.

2.2 Formalització del concepte de variable aleatoria contínua. La fundó de densitat i la fundó de distribudó

2.2.1 Sigui

f(x) = { (1 + ax)/2 si - 1 $ x $ 1 O altrament,

on -1 ::5 a ::5 l. Demostreu que f és una densitat i trobeu la funció de distribució corresponent. Calculeu el valor dels quartils i de la mediana en termes de a.

SO LUCIÓ:

Primer quartil = { -1 + :Lo:2-o:±l o: o: -1 - :iio:La±l o: o:

-1 + v'o:2 o: 1

..:'1 _ v'o:2ª a 1 a a

Tercer quartil = {

{

-1 +~ si Mediana = ..:'1 _ ~ si

a a

si O<a<l si -1 <a< O

si O<a<l si -1 <a< O

O<a<l -1 <a< O

2.2.2 Siguin f i g dues funciona de densitat. Demostreu que a/+ {1 - a)g és una densitat, a on 0$a:51.

2.2.3 Suposeu que la funció de densitat d'una v.a. X és

f(x) = { &

l. Trobeu el valor de t tal que P(X ::5 t) = 1/4.

2. Trobeu el valor de t tal que P(X ~ t) = 1/2.

SO LUCIÓ:

si Ü :5 X ::5 4 al tramen t.

-,

~

-.,.

~

-.. -.. .-..

-..

,....._

-.. -.. -. -. -. -. -. ...... ...... ,....._

,....._

-.. -.. ...... ...... -.. -.. ,....._

,.,..,


1. t = 2

2. t = v'8 = 2.8284

2.2.4 Suposeu que X és una v.a. contínua amb funció de densitat f(x) = ~e-l:z:I per -oo < x < +oo. Determineu el valor xo tal que F(xo) = 0.9, essent F la funció de distribució de X.

SOLUCIÓ:

1 xo = 1.609

2.2.5 Sigui X una variable aleatoria que te per fundó de distribució:

{

o !.tl

F(x) = 5x2

Calculeu:

l. P(X = 2)

2. P(X E (-~, 3))

3. P(X E {(-1, O] U (1, 2)})

4. P(X E {[O,~) U (1, 2]})

5. P(X E {x l lxl +2x2 > 1})

SOLUCIÓ:

1. P(X = 2) = 1/3

2. P(X E [-~ 1 3)) = 17/18

3. P(X E {(-1,0) U (1, 2)}) = 5/9

4. P(X E {[O,~) U (1, 2]}) = 29/36

5. P(X E (xllxl + 2x2 > 1)) = 29/36

si X< -1 si -1 ~X< 0

si0~x<2

Si X~ 2

2.2.6 ¿Hi ha algun valor de a tal que la funció f(x) que val f(x) = 3x2 +a si x E (-1, 1] i val O en altra cas, sigui funció de densitat?

2.2.7 La durada (en hores) d'un tub de radio és una variable aleatoria amb densitat

100 f(x) = - 2 l(loo,+oo)(x).

X

33

34 TEMA 2. VARIABLES ALEA 'TÓRIES

l. Quina és la probabilitat que un tub duri menys de 200 hores si sabem que encara funciona després de 150 hores?

2. Quina és la probabilitat que quan instal·lem 3 d'aquests tubs, exactament un hagi hagut de ser substituit abans de 150 hores?

3. Quin és el nombre ma.xim de tubs que es poden instal·lar en un sistema de manera que hi hagi una probabilitat 0.5 que després de 100 hores funcionin tots?

2.2.8 Sigui X una variable aleatoria amb densitat f(x) = ke-lzl. Trobeu el valor de k i calculeu les probabilitats:

P(X E [-2,2]) i P(X E {x l lxl + lx -31:'.S3}).

SOL U CIÓ:

Calculem k, fent servir x=-s:

1 = r00

ke-lzldx = rº kezdx+ r00

ke-zdx = ......... = 2k rº e'ds = 2k, J_oo Loo Jo Í-oo

per tant k=!.

Aleshores coneixent k,

P(X E [-2, 2]) = -e-l:i:ldx = .... = 0.8647 ¡2 1

-2 2

Calculem P(X E {x l lxl + lx - 31:'.S3}):

• Si x > 3 aleshores lxl + lx - 31 = 2x - 3 > 6 - 3 = 3

• Si x E [O, 3] aleshores lxl + lx - 31 = x - x + 3 = 3

• Si x <O aleshores lxl + lx - 31=-2x+3 > 3

Per tant,

P(X E {x l lxl + lx - 31:'.S3}) = P(X E (0,3]) = 0.475

2.2.9 La llargada de les peces fabricades per determinada maquina ve donada per una variable aleatoria X que té per densitat:

/(x) = { ~(x - 1)(3 - x)

Una peca és valida si la seva llargada esta entre 1.7 i 2.4.

l. Calculeu la probabilitat que una peca sigui valida.

si X E (1,3) altrament

2. Si fem caixes de cinc peces i acceptem una caixa quan té com a maxim una pe¡;a defectuosa, calculeu la probabilitat que una caixa no s'accepti.

~

.......

'"" .......

.......

.......

.......

.......

,...,

.......

.......

-.. -..

"' ..... -..

"" ...... -. .......

.......

'"" ,.., -..

"""' .......

.......

'"""

.,

~

~

'""'\


SO LUCIÓ:

1. 2.4

Prob(Peca valida) = j k(-x2 + 4:¡ - 3)dx = K(0.6697)

1.7

Com que K no es coneix, hem d'imposar:

3

1 = j k(-x2 + 4x - 3)dx = K(4/3)

1

d'on K = 3/4 i per tant, Prob{Pe~a valida}= (3/4)](0.6697) = 0.5022

2. Definim X = Núm. de peces defectuoses entre les cinc peces que formen la caixa. S'accepta una caixa quan X ::=; 1 i es rebutja quan X > 1. La probabilitat que una caixa no s 'accepti és per tant, P(X > 1) = 1 - P(X :::; 1) = 1 - (P(X = O) + P(X = 1)) = 1 - 0.1875 = 0.8125.

2.2.10 Calcular el valor de la integral 00 J e-3x2 dx.

o

SOLUCIÓ:

Definim: 2 2 d

3x2 =JL.. aleshores x2 =JL.. i per tant x=JL amb dx=!!Jl 2' 6 v'6 y'6'

00 00

J -3x2 d 1 rn-¡ 1 d ./2ií '3-e x= .tcv2rr -e 2 dy=-P(Y>O)=~ v6 ./2ií y'6 - 6 '

o o

on Y es una v.a. amb llei X"' N(O, 1)

2.3 Funcions d'una variable aleatoria. Aplicació a la simulació

2.3.1 Suposem que X es distribueix uniformement a l'interval (O, 5). Definim una nova v.a. Y tal que Y= O si X:::; 1, Y= 5 si X 2". 3, i Y= X altrament. Trobeu la funció de distribució de Y.

SOLUCIÓ:

35

36

¡ O si y< O 1/5 si O ::; y < 1

Fy(y) = 1/5 + 1/5(y - 1) si 1::; y::; 3 3/5 si 3 ::; y < 5

1 si y2:5


2.3.2 Trobeu la fundó de densitat d'una v.a. V= 1/U essent U una v.a. uniforme en [O, l].

SOLUCIÓ:

1 fv(v) = v-2 perv2:1

2.3.3 Suposeu que el radi d'un cercle és una v.a. amb fundó de densitat

f (x) = { k(3x + 1) si O::; x::; 2 O altrament.

Determineu la fundó de densitat de l'area d'aquest cercle.

SOLUCIÓ:

fA(a) = 16~a-1l2 (3~+1) l¡o,4irJ(a).

2.3.4 Suposeu que la v.a. X té per fundó de densitat f. Definim Y= aX + b (a f:. O). Deterrnineu la fundó de densitat de Y.

SOLUCIÓ:

1 fy(y) =fa¡ fx(~) 2.3.5 Suposeu que la fundó de densitat de X és

f(x) = { ~-x

Determineu la fundó de densitat de Y = ./X.

SOLUCIÓ:

SÍ X> Ü altrament

Sigui Y = VX t.q. X = Y 2 • Si definim x == g(y) ens adonem que g'(y) = 2y.

Aplicant la fórmula del canvi de variable fy(y) = fx(g(y))lg'(y)I, tindrem que:

f(x):::;: { ~-Y22y

i per tant Y ,..., Weibull(1,2}

si y 2: O altrament

"

,-...

""" ,-...

....._

,-...

-.. -... ...... ..... .....

""" ..... ...... ...... ....._

""" ..... -.. ..... -.. -.. -.,

"""'

-~-

~,


2.3.6 Suposeu que X té una distribució uniforme a l'interval [O, l]. ConstruYu una v.a. Y = r(X) que tingui per funció de densitat

{ ª-.y2 si O < y < 2

g(y) = ~ altrament.

SO LUCIÓ:

1 Y= 2x1/3

2.3.7 Sigui X una variable aleatoria amb distribució uniforme a l'interval [-1, 1]. Trobeu la densitat de Y= x 2 i de z = 1x1.

2.3.8 Sigui X una variable aleatoria amb distribudó uniforme a l'interval [O, l]. Trobeu la densitat de y = X 2 i de z = ./X.

2.3.9 Sigui X una variable aleatoria amb densitat

f(x) = ~1(-1,o)(x) + ~e-:r:l(o,+oo)(x).

Trobeu la fundó de distribució i la fundó de densitat de y = X 2 .

2.3.10 Sigui X una v.a. amb fundó de probabilitat f(x) definida com al problema 2.2.3. Definirn la v.a. Y= part entera de X. Trobeu la fundó de probabilitat de Y.

SOLUCIÓ:

{

1/16 si 3/16 si

P(Y =Y) = 5/16 s~ 7 /16 Sl

y=O y=l y=2 y=3

2.3.11 El radi d'un cercle es mesura aproxirnadament de manera que té una distribudó uniforme a l'interval (a, b). Trobar la distribució de:

l. El perímetre de la drcurnferencia;

2. L'area del cercle.

2.3.12 Si X,...,, N(O, a 2), cerqueu la distribució de Y =IX¡.

SOLUCIÓ:

1 Si y 2: O, Fy(y) = if>(y/a) - if>(-y/a). Si y< O, Fy(y) =O.

37

38 TEMA 2. VARIABLES ALEATORIES

2.3.13 Sigui Tuna v.a. exponencial de parametre f3 (/3 = 1/E(T)). Sigui X la v.a. discreta definida com segueix:

X = k si k ~ T < k + 1, per k = O, 1, ....

Tuobeu la fundó de probabilitat de X.

SOLUCIÓ:

1

fx(k) = e-f:lk(l - e-f:I), k =O, 1, 2 .... Per tant, (X+ 1),..., Geom(p = 1- e-f:I).

2.3.14 Suposeu que la v.a. X segueix una f(o:, (3). Sigui e una constant positiva. Cerqueu la distribució de la nova v .a. cX.

SOL U CIÓ:

1 Y rv r(o:, cf3)

2.3.15 Sigui X una v.a. que segueix una distribució de Weibull de parametre d'escala a i de forma b. Demostreu que la v.a. Y= Xb segueix una llei exponencial amb mitjana ab.

SOLUCIÓ:

X rv W(a,b)

fx(x) = { txb-leC-."lb Si X> Ü al tramen t.

Volem demostrar que amb Y = Xb aleshores Y ,..., exp( ;fo). . . ( ) 1 '( ) l !.::! Sigui X= g y = yb t.q. g y = !iY b .

Tindrem la següent /unció de densitat:

Jy(y) = { f(yl)b-le(_!t )b ty1i1

Ara, simplificant aquesta ens quedara:

si y> O altrament.

jy(y) = { te(~) si y> O altrament.

2.3.16 Sigui X una v.a. que segueix una llei exponencial amb mitjana l. Demostreu que si a, b > O, la v.a. Y = (X/b)ª segueix una distribució de Weibull de parametre d'escala b-1 i de forma 1/a.

2.3.17 Trobeu la densitat de l'area d'un cercle si el radi del mateix segueix una llei exponencial amb mitjana m.

,......,

,......,

,......,

""' -.,

""

'""'

,....,

,......

""' ""' ""' ""' ""' ""' ""' ,......

"""

"""' -...

""' -.,

,......

----... -.,

"""'

-----~,

~

TEMA 2. VARIABLES ALEATÓRJES

SO LUCIÓ:

1 f A(a) = -1 -e(-~)(j"f)

2my'ira

2.3.18 Suposeu que X"' Beta(a,/3). Demostreu que 1- X"' Beta(/3,a).

• 2.3.19 Siguin Xi Y dues v.a. independents. Suposem que X es distribueix comuna uniforme en els enters 1, 2, 3, 4, 5 i Y comuna uniforme a l'interval (O, 5). Sigui Z una v.a. definida de la següent manera:

Z= {;

Trobeu la fundó de distribució de Z.

SOLUCIÓ:

o z/10

1/10 + z/10 Fz(z) = { 2/10 + z/10

3/10 + z/10 4/10 + z/10

1

si si si si si si si

amb probabilitat 0.5 amb probabilitat 0.5

z<O O~z<l l~z<2 2~z<3 3~z<4

4~z<5 5~z

2.4 Moments d'una variable aleatoria. La funció generadora de moments i la funció característica

2.4.1 Sigui X una v.a. contínua, amb funció de densitat

l+ax f(x) = -

2-, -1~x~1, -1~a~1

Calculeu E(X) i Var(X).

SOLUCIÓ:

1 E(X) = ta, Var(X) = 39"2

2.4.2 Una llista de n objectes esta ordenada aleatoriament; per a trobar un objecte donat, es busca seqüencialment fins a trobar-lo. Quin és el nombre esperat d'objectes que haurem d'inspeccionar si busquem l'objecte j? (Qüestions d'aquesta naturalesa esdevenen en el disseny d'algoritmes d'ordinador).

2.4.3 Sigui X una v.a. contínua no negativa amb esperarn;a finita. Demostreu que

E(X) = fo 00

(1 - F(x)]dx.

39


2.4.4 Suposem que dues loteries tenen n bitllets cada una i identic premi. En termes del guany esperat, és millor comprar dos bitllets de la mateixa loteria o comprar un de cada lotería?

2.4.5 Hem comem;at una col·lecció de cromos que consta den cromos diferents. Comprem els cromos d'un a un i el venedor ens assegura que la probabilitat d'obtenir un cromo de qualsevol tipus és la mateixa. Quants cromos esperem comprar pera.completar la col·lecció? Calculeu aquest valor per n = 10.

• 2.4.6 Suposem que X "'N(O, a2 ). Demostreu que els moments senars de X són zero i que els moments parells vénen donats per

(2n)!a2n µ2n = 2nn!

2.4.7 Suposeu que X és una v.a. amb fundó generadora de moments

1/J(t) = ¡(3et + e-t) per - oo < t < oo.

Trobeu la mitjana i la varianda de X.

SO LUCIÓ:

E(X) = m1(X) = 1/J'(t)lt=O = ¡(3et - e-t)lt=D = ~-

Aleshores, sabent que m2(X) = E(X2 ) i Var(X) = m2(X) - m1 (X)2, hem de calcular m2(X):

m2(X) = 1/J"(t)1t=O = ¡(3et + e-t)¡t=O =l.

Per tant

(1) 2 3 Var(X)=l- 2 =¡·

De /et X és la v. a. discreta que val 1 amb probabilitat 3 / 4 i val -1 amb probabilitat 1/ 4.

2.4.8 La fundó generadora de moments d'una variable aleatoria X és de la forma:

1/J(t) = (0.4et + 0.6)8

l. Calculeu la fundó generadora de moments de la variable aleatoria Y = 3X + 2.

2. Calculeu E(Y) i Var(Y).

3. Quina llei de probabilitat segueix la v.a X?

,......

,...._

---

,...._

""" -..... ..... ..... ..... -""" ,...._

,...,_

""" """ .......

""" .......

""" ,...,_

....,

""""'


2.4.9 La funció generadora de moments d'una variable aleatoria X és la següent:

10

'lj;(t) = C-\/3) per t < 3.

Siguin X 1 , ... , X1 variables aleatories independents i amb funció generadora de moments 'lj;(t).

l. Quina llei segueix la variable aleatoria X7 = Xi±·.;.·+x17

2. Calculeu E(Xf).

3. Quina transformació de X1 la convertiría en una variable aleatoria que seguís una llei x2?

2.4.10 Donades dues variables aleatories X i Y independents i identicament distribuides amb funció generadora de moments

'lj;(t) = e'2±3t - 00 < t < oo,

definim la variable aleatoria Z = 3X - 4Y + 2.

1. Trobeu la funció generadora de moments de Z.

2. Calculeu l'esperanc;a i la variancia de Z.

• 2.4.11 Estudiar la distribució d'una v.a. X que té tots els seus moments iguals:

E(Xk) = p, Vk E N

Quina condició verifica p?

• 2.4.12 Considerem les funcions

1 cp1 (t) = 2 _ eit'

1 <p2(t) = 1 + t4.

l. Comproveu que cp1 és la funció característica d'una llei discreta i calculeu l'esperanc;a i la variancia d'aquesta llei.

2. És <p2 una funció característica? En cas afirmatiu calculeu l'esperanc;a i la variancia de la llei corresponent.

• 2.4.13 Calcular la funció característica de la distribució de Bernouilli i de la distribució Binomial. Calculeu també les esperances i variancies.

• 2.4.14 Sigui X una v.a. amb distribució de Cauchy(O, 1).

l. ¿És posible calcular E(X) i Var(X)?

2. Demostreu que * també és Cauchy.

• 2.4.15 Siguin X1 i X2 dues v.a. independents i normals de mitjanes µ¡ i µ2 i de variancies O'f i O'~, respectivament.

41

42 TEMA 2. VARIABLES ALEA'l'ÓRIES

l. Calculeu la funció característica de la v.a. X 1•

2. Calculeu la funciÓ característica de la v.a. Y= X 1 - Xz.

2.4.16 Suposeu que X és una v.a. disereta amb funció generadora de moments

1 1/l(t)=6(4+et+e-t) per -oo<t<oo.

l. Calculeu l'esperanc;a i la variancia de X.

2. Calculeu la distribució de probabilitat de X.

3. Doneu la funció generadora de moments de la nova variable aleatoria Y=a+bX.

SOLUCIÓ:

APARTAT 1:

E(X) = m1(X) = 1/J'(t)¡t=O =~(et - e-t)lt=O = 0.

Aleshores, sabent que m2(X) = E(X2 ) i V ar( X) = m2(X) - m1 (X)2, hem de calcular m2(X):

m2(X) = '1/1,,(t)¡t=O =~(et+ e-t)lt=O = ~-

Per tant

APARTAT 2:

1 Var(X) = 3·

La funció generadora de moments determina la distribució si esta definida en un entom de zero, i en cas de que X sigui discreta,

41 1 4 1 1 1

1/l(t) = E(etX) = LPxetx = 6+6et+6e-t = 6et(0)+6et(1)+6et(-1) = L Pxetx, X :z:=-1

onpx=P(X=x). Per tant

4 1 1 P(X =O)= 6,P(X = 1) = 6,P(X = -1) = 5·

,...,

~'

""" """ ''"" .....,

'"" '"" ""

""' ~,

'""

"""'

'"" -._

'"" '"" '"" '"" -._

......

'""

,....,

.....,

....._

--. --. ....._

'"" ....._

....._

,...,

"""""

"""' ,....,

,,....._

-~


APARTAT 9:

1 1 'f/J(t) = E(etY) = E(eªt+btX) = eªt E(ebtX) = eªt'l/J(bt) = eªt-(4+ebt+e-bt) = -(4eªt+e(a+b)t+e<a-b)t). 6 6

Si calculem la Junció de probabilitat d'Y tenim que:

4 1 1 P(Y=a) = 6 ,P(Y=a+b) = 6,P(Y=a-b) = 6"

2.4.17 Donades dues variables aleatories X i Y independents i identicament distribuides amb funció generadora de moments

1/J(t) = e<4t2

+12t) per - 00 < t <OO.

definim la nova variable aleatoria Z = 2X - 3Y + 4.

l. Trobeu la funció generadora de moments de z. 2. Calculeu l'esperan<;a i la varfancia de Z.

3. Doneu la funció generadora de moments de la nova variable aleatoria Y= a-bX.

4. Calculeu l'esperan<;;a de Y quan a = 15 i b = 2.

• 2.4.18 Definim la funció Gamma d'Euler per f3 >O com:

r({3) = fo 00

xf3-le-"'dx

l. Demostreu la propietat r(/3 + 1) = {3r({3).

2. Per tot a > O, f3 > O definim:

{ o si

la f3(x) = 1 af3xf3-1e-°'"' si ' f(/3)

Demostreu que és una densitat.

X ::; Ü

x>O

Si una v.a. contínua té aquesta densitat diem que té distribució gamma de parametres a i {3.

3. Calculeu l'esperan<;a i la variancia de la distribució gamma.

4. Demostreu que una exponencial de parametre a te distribució gamma.

5. Demostreu que si X és una N(O, 1) aleshores X 2 també té distribució gamma.

2.4.19 Siguin X1, ... , Xn variables aleatories independents amb distribució de Poisson de parametres >.1, ... , >-n respectivament. Demostreu que X1 + ... + Xn té llei de Poisson de parametre >.1 + ... + An. lndicació: Feu servir la /unció característica o la Junció generadora de moments.

43

44 TEMA 2. VARIABLES ALEATORIES

2.4.20 Sigui X una v.a. exponencial de parametre .\. Calculeu els seus moments i els seus moments centrals.

2.4.21 Suposeu que el 753 de la gent viu a la ciutat i el 253 viu a les afores. 1200 persones van a un concert i aquestes representen una mostra aleatoria de la gent de la població. Doneu una fita superior de la probabilitat que el nombre d'assisteots de les afores sigui inferior a 270.

2.4.22 Suposeu que tres nois A, B, i C llencen boles de neu contra un blanc. A llern;a 10 boles i encerta amb probabilitat 0.3, B llen~a 15 boles i encerta amb probabilitat 0.2, C llen~a 20 boles i encerta amb probabilitat O. l. Doneu una fita superior de la probabilitat que al menys 12 boles donin al blanc.

2.4.23 Si X és una v.a. amb E(X) = 3 i E(X2 ) = 13, determineu una fita inferior pera la probabilitat Prob(-2 <X< 8).

SO LUCIÓ:

1 21 25

2.4.24 Suposem que un mesurament té mitjana µ i variancia <J'2 = 25 . Sigui X la mitjana de n mesuraments independents. Quants mesuraments haurem de fer si volem que

P (1 x - µ 1< 1) = o.95?

SOL U CIÓ:

1 n = 500

2.4.25 Sigui X una v.a. exponencial amb desviació estandard í7.

l. Calculeu P(I X - E(X) I> k<J') per k = 2, 3, 4.

2. Compareu els resultats de l'apartat 1) amb les fites que dona la desigualtat de Chebyshev.

SOL U CIÓ:

APARTAT 1: Utilitzarem que amb k = 2, 3, 4 llavors r7 - k<J' <O.

P(I X - E(X) ¡:::; kr7) = P(I X - í7 ¡:::; kr7) = P(-kr7 :::; X - í7 :::; kr7) =

P(r7 - kr7:::; X:::; í7 + kr7) = P(O:::; X:::; r7(k + 1)) =

1u(k+l) l •

-e--; dx = 1 - e-(k+l). o (j

,.....,,

'""' ,....._

'""' ....._

...._

,...,_

..-.

.-._

,....._

........

'"" ...... ..... ..... ..... ........

-.. ,....._

""' """' .......

.......

.......

.......

.......

---

,~.

/'-

'""


Per k;;::: 2 tenim que P(I X -E(X) I> k<7) = 1-(1-c(k+1)) = e-(k+l),

llavors

APARTAT 2:

P(I X - E(X) I> 2<7) = 0.0497,

P(I X - E(X) I> 3<7) = 0.0183,

P(I X - E(X) I> 4<7) = ~.0067.

Utilitzant la desigualtat de Chebyshev sabem que donats X v.a., amb E(X) < oo, Var(X) < oo, llavors P(I X - E(X) 1 2:: h) ~ Va~~X). Per tant

llavors

(12 1 P(I X - E(X) I> kC1) ~ k2<72 = k2'

P(I X - E(X) 1> 2<7) = 0.25,

P(I X - E(X) 1> 3<7) = 0.1,

P(I X - E(X) 1> 4<7) = 0.0625,

ens adonem que les fites s 'acompleixen molt folgadament.

2.5 Lleis univariants més comunes

2.5.1 La duració en hores, T, d'un tub electronic segueix una distribució exponencial de mitjana µ hores. A un deis controls de qualitat mostregem un lot, fem funcionar (de forma accelerada) aquests tubs durant 30 minuts i seleccionem com a bons aquells tubs que no s'han espatllat durant la prova.

l. Calculeu la fundó de distribució deis tubs bons.

2. Quina és la duració esperada deis tubs bons?.

2.5.2 Siguin T1, T2, T3, T4, Ts els temps de funcionament independent, en hores, de cinc components electroniques. S'ha demostrat experimentalment que la distribució d'aquests temps es comporta comuna llei de Weibull amb parametre d'escala 100 i parametre de forma 2.

l. Posem una d'aquestes components en funcionament i es vol estudiar el seu comportament probabilístic cada 3 hores. Es demana que calculeu la fundó de distribució i que l'avalueu en els punts 3, 6, 9, 12, 15, 18.

2. Es dissenya un sistema que posa en funcionament simultani les cinc components. Es demana que calculeu la probabilitat que el nombre de components que fallin entre 9 i 12 hores sigui coma maxim 3. És raonable pensar que el sistema funcionara després de 12 hores?

2.5.3 El temps d'espera en una cua d'un supermercat un dissabte al matí segueix una llei exponencial de mitjana 10 minuts.

l. Si una persona arriba a la cua a les 11:10 i ja porta esperant 5 minuts, quina és la probabilitat que encara hagi d'esperar 5 minuts més coma mínim?

45

46 TEMA 2. VARIABLES ALEA'J'ÓRIES

2. El dissabte passat van arribar tres amics al mateix supermercat i van decidir fer la compra, i també la cua, per separat. Si denotem per T el temps d'espera total dels tres amics, determineu la funció generadora de moments de T i especifiqueu per quins valors esta ben definida. Quina llei segueix la variable aleatoria T?

3. U.tilitzeu el resultat de l'apartat 2 per calcular, en hores, el moment centrat d'ordre 3.

2.5.4 Suposem que la durada en minÜts d'una trucada a llarga distancia segueix una llei exponencial de parametre 1/5. Trabar la probabilitat que la durada d'una conversa:

l. superi els cinc minuts;

2. estigui entre cinc i sis minuts;

3. sigui inferior a tres minuts;

4. sigui inferior a sis minuts sabent que es superior a tres minuts.

2.5.5 Suposem que una v.a. te una distribució uniforme a l'interval [-2, 8]. Trobeu la funció de densitat de Xi calculeu la P(O <X< 7).

SO LUCIÓ:

Si X,...., U[-2, 8]:

Aleshores:

f(x) = { lo

7

Si - 2 ::::; X ::::; 8 altrament

P(O::::; X::::; 7) = ! j(x)dx = l~ 7 = 0.7 o

2.5.6 Suposem que la mesura del voltatge d'un circuit electric segueix una distribució normal de mitjana 120 i desviació estandar 2. Es fan tres mesuraments independents d'aquest voltatge. Quina és la probabilitat que els tres mesuraments estiguin entre 116 i 118?

SO LUCIÓ:

1 P(X1 E [116, 118], X2 E [116, 118], Xa E [116, 118]) = 0.0025

2.5.7 Trobeu la mediana, el primer i el tercer quartil d'una distribució exponencial de parametre (3.

SOL U CIÓ:

mediana= In 2/ (3 primer quartil= -ln(3/4)/(3 tercer quartil = -ln(l/4)/(3

~,.

----'"'

--

'"" ...... ...... ..... ...... ...... ...... ...... ,..... ,.....,

,.....,

""" ,..... ,....,

'"" """ """ ""'

"


2.5.8 Si Tés una v.a. exponencial de parametre (J tal que P(T < 1) = 0.05, quin és el valor de {J?.

SOLUCIÓ:

1 (J = 0.0513

2.5.9 Suposeu que un cert sistema conté tres components que funcionen independentment una de l'altra. Suposeu que la vida de la primera component, mesurada en hores, segueix una distribució exponencial amb parametre (J = 0.001; la vida de la segona component segueix una distribució exponencial amb parametre (J = 0.003; i la vida de la tercera component segueix una distribució exponencial amb parametre (J = 0.006. Determineu la probabilitat que el sistema funcioni al cap de 100 hores en les dues situacions següents:

l. Les tres components estan connectades en serie.

2. Les tres components estan connectades en paral-lel.

SOL U CIÓ:

APARTAT 1:

P(X1 2: 100, X2 2: 100, X3 2: 100) = P(X1 2: 100)P(X2 2: 100) (P X3 2: lOO)=e-0.1-0.3-0.6 =e-1.

APARTAT 2:

P(X1 2: 100 o X2 2: 100 o X3 2: 100)= 1-(1-e-0 ·1 }(1-e-0 ·3 }(1-e-0 ·6 ) = 0.988

2.5.10 La vida en anys d'un generador de camps es distribueix comuna Weibull de parametres d'escal (3 = 132 anys i de forma a= 2. Quina proporció de generadors fallarien durant una garantía de 2 anys?

SOLUCIÓ:

1

P(X ~ 2) = 0.02339. Una proporció de generadors igual a 2.333 fallara durant una garantía de 2 anys.

2.5.11 Suposeu que el radi d'un cercle és una v.a. que segueix una llei exponencial de mitjana m = (3/47í)l/3.

l. Calculeu la probabilitat que el radi del cercle sigui inferior a 0.43. Quin és el significat del valor r = 0.43?

2. Doneu la fundó de densitat de l'area del cercle.

3. Quina llei segueix el volum del cercle i amb quins parametres?

2.5.12 Considerem la variable aleatoria X que mesura el temps en minuts que triga a fallar una !lanterna. Es coneix que segueix una llei exponencial de mitjana 1/ a.

l. Trobeu la funció de densitat de la variable aleatoria Z = 3(1 + X 2).

47


2. Calculeu la probabilitat que Z sigui al menys 10 hores2•

3. Caracteritzeu la llei de la variable aleatoria U = Z - 3.

2.5.13 Suposeu que el coeficient d'intel·ligencia (CI) dels alumnes universitaris es distribueix normalment amb mitjana 120 i variancia 150.

l. Si una classe de 50 alumnes es seleccionada a l'atzar, quina és la probabilitat que el coeficient d'intel·ligencia mig sigui superior a 125?

2. Si seleccionem dos grups de 50 estudiants a l'atzar, quina és la probabilitat que el coeficient mig de les dues classes difereixi en més de 5 punts?

~

3. Necessitem 5 estudiants per formar un equip per participar en una olimpíada universitaria. Anem entrevistant estudiants fins a obtenir 5 amb CI més gran que 125. Calculeu la probabilitat d'haver d'entrevistat 11 estudiants.

,.....,

2.5.14 Si X,..., N(µ,, u2), demostreu que P(I X - µ, ¡::; 0.675u) = 0.5.

2.5.15 La longitud dels peus del homes adults d'un determinat país es distribueix segons una variable aleatoria normal amb esperam;a 24.5 cm. i desviació típica 1 cm. Un fabricant de sabates treu al mercat un model del qual presenta quatre mides. El de mida més petita és adequat per peus de longituds compreses entre 23 i 24 cm., i els següents cobreixen els peus de longituds entre 24 i 25 cm, entre 25 i 26 cm, i entre 26 i 27 cm., respectivament.

l. Quina proporció d'homes trobaran el seu número entre els fabricats d'aquest model?

2. Si el fabricant decideix afegir un número més a la seva collecció, que hauria de fer, fabricar-ne un de més petit o un de més gran?

'""' ,.....,

,.....,

"""' .....

2.5.16 En una ferreteria es venen caixes de claus. El nombre de claus de cada caixa segueix una ....., distribució normal de parametres µ, = 200 i u = 10. .....

l. Quin percentatge de caixes contenen entre 180 i 220 claus? .....

2. Si es torna l'import de les caixes que contenen menys de 180 claus i comprem dues caixes, amb ""' quina probabilitat es tornaran l'import de les dues caixes? .....

..... """' 2.5.17 Els litres de benzina distribui:ts cada día per una benzinera és una variable aleatoria normal de

mitjana 15.000 litres i desviació típica 1.000 litres. La benzinera compra el litre de benzina a 0,5 euros y ,....., el ven a 0,8 euros.

l. Quina quantitat diaria s'ha de tenir preparada per tal de poder satisfer la demanda el 953 dels dies?

2. Quin percentatge de dies els beneficis superen els 5.000 euros?

2.5.18 Un estadístic ha de fer un treball que inclou diferents programes amb el programad SAS. Sigui

...._

"""' X la variable aleatoria que indica el nombre de vegades que ha de compilar un programa SAS abans que """' funcioni correctament. L'estadístic observa que la llei geometrica ajusta bé les dades i que en terme mig -. X val 3. """'

......

.....

""" """'

'""" "'

,---_


l. Calculeu la fundó generadora de moments de la variable X.

2. Calculeu l'esperarn;a i la varianda de X fent servir l'apartat l.

3. Si finalment la feina inclou 4 tasques independents i per cada una d'elles ha de compilar un programa SAS, calculeu la fundó generadora de moments de la variable aleatoria Y, nombre de compiladons necessaries per acabar la feina. Caracteritzeu la llei d'Y.

49

,,....,

TEMA3

DISTRIBUCIONS MULTIVARIANTS

3.1 Distribucions Bivariades.

3.1.1 Siguin Xi Y dues v.a. contínues, amb fundó de densitat conjunta

f (X 1 y) = { C!J

2 Si Ü :5 X :5 2 i Ü :5 y :::; 1

O al tramen t.

Determineu:

1. El valor de la constant c;

2. P(X +Y > 2);

3. P(Y < 1/2);

4. P(X :5 1);

5. P(X = 3Y).

3.1.2 Escollim un punt (X, Y) a l'atzar d'una regió Se 'R,2 definida com segueix:

S = {(x, y) : X ~ Ü, y ~ Ü, 4y +X :5 4}.

l. Determineu la fundó de densitat conjunta de X i Y.

2. Suposeu que S0 és un subconjunt de S d'area a, deterrnineu la P((X, Y) E So).

SOLUCIÓ:

51

52 TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTIVARIANTS

APARTAT 1: Donat que O$ y $ 1- !x, la recta y= 1- !x talla l'eix de les x's quan O = y = 1 - !x, per tant x = 4, i així O $ x $ 4. Determinem quan val l'area definida per S de la següent manera:

¡4 ¡1-l:z: ¡4 1 S =

4

dydx = (1 - -4

x)dx = 2, :z:=O y=O - :z:=O

i a partir d'aquí tenim f(X, Y) = ~ls(X, Y), on ls(X, Y) és la funció indicatriu definida com:

{ 1 si X ES

ls(X, Y) = o altrament.

APARTAT 2:

1 11 1 o: P((X, Y) E So)= f(X, Y)= 21s(X, Y)dxdy = 2So = 2'

So So

ja que ls(X, Y) = 1 si (X, Y) E So.

3.1.3 Siguin Xi Y v.a. tals que (X, Y) pertany al rectangle del pla [0,3] x [0,4]. Suposeu que la fundó de distribució conjunta de (X, Y) queda especificada per:

1 F(x,y) = 156xy(x2 +y).

Calculeu:

l. P(l ~ X ~ 2, 1 ~ Y ~ 2);

2. P(2 ~ X ~ 4, 2 ~ Y ~ 4);

3. La funció de distribució de Y;

4. La funció de densitat conjunta de X i Y;

5. P(Y ~X).

SOL U CIÓ:

1. P(l ~X~ 2,

2. P(2 ~X~ 4,

1 ~ y $ 2) = 5/78

2 ~y$ 4) = 25/78

3. F(y) = 1 ~6 (27y + 3y2)

4. f(x,y)= 1 ~6 (3x2 +2y), 0$x$3,0~y$4

5. P(Y $X)= 0.4471

......,

......,

......

......

......

......

......

......

...... ,.....,

,.....,

"'"' ...... ...... ......,

"'"'

'""

TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTIVARIANTS

3.2 Distribucions marginals i condicionals. Independencia de variables aleatories

• 3.2.1 Un punt s'agafa a l'atzar de l'interior d'una el·lipse que té per equació:

x2 y2 a2 -F b2 =l.

l. Trobeu la fundó de densitat conjunta de les coordenades d'aquest punt;

2. Trobeu les funcions de distribució marginals.

3.2.2 Suposem que escollim un punt de l'interior del cercle que té per equació x2 + y 2 = l. Suposem que la probabilitat que el punt pertanyi a una regió qualsevol de dins del cercle és proporcional a l'area d'aquesta regió. Denotem per Z la v.a. que representa la distancia des d'aquest punt fins al centre del cercle. Trobeu i dibuixeu la fundó de densitat de Z.

3.2.3 Suposeu que la fundó de densitat conjunta de X i Y és la següent:

f(x ) = { 24xy si x 2:: 0,y 2:: O i x+y::; 1 'y O altrament.

Són X i Y independents?

SOLUCIÓ:

('º {º 11-x roo Ji (x) = J _00

f(x, y)dy = }_00

J(x, y)dy + 0

J(x, y)dy + Ít-x J(x, y)dy =

11-x

0 24xydy = 12x(l - x) 2 ,

amb x 2:: O, y 2:: O. De manera semblant es pot veure que

l oo 11-y f2(y) = f(x,y)dx = 24xydx = 12y(l -y)2

, -oo o

amb x 2:: O, y 2:: O. Podem veure que f(x,y) -f. ft(x)h(y), per tant no són independents.

3.2.4 Agafem a l'atzar un punt (X, Y) de la regió

1 { (x, y) E R 2 l 1 ::; x < oo, - ::; y ::; x}

X

amb densitat de probabilitat f(x,y) = ;4y. 1. Calculeu el valor de la constant k i les distribucions marginals de X i de Y.

53

54 TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTNARIANTS

2. Trobeu la distribució de X condicionada per Y i la Y condicionada per X.

3.2.5 Suposeu que la funció de densitat conjunta de Xi Y és la següent:

f(x,y)={ csinx siO~X~7r/2iO~y~3 O altrament.

l. Determineu la funció de densitat condicional de Y donat X;

2. Calculeu la P(Y ~ 2 I X = 0.5).

3.2.6 Representem per X la puntuació en un test d'aptitud de matematiques i per Y la puntuació en un test d'aptitud de música. En la població d'estudiants universitaris deis Estats Units, les puntuacions X i Y es distribueixen segons la següent densitat conjunta:

f(x,y)={ ~(2x+3y) siO~x~liO~y~l O altrament.

l. Quina proporció d'estudiants obtenen una puntuació de matematiques superior a 0.8?

2. Si la puntuació d'un estudiant en música és 0.3, quina és la probabilitat que puntuY més de 0.8 en matematiques?

3. Si la puntuació d'un estudiant en materna.tiques és 0.3, quina és la probabilitat que puntu1 més de 0.8 en música?

SOL U CIÓ:

1. 0.264

2. P(X > 0.8IY = 0.3) = 0.2842

s. P(Y > o.s1x = o.3) = 0.3142

3.2.7 Sigui f(x,y) = c(x2 -y2 )e-:i: per O~ x < oo, i -x ~y< x.

l. Trobeu c.

2. Identifiqueu les lleis de X i de Y en cas de que siguin conegudes.

3. Trobeu la densitat de X 1 Y= y i la de Y 1 X= x.

3.2.8 Suposeu que f (x, y) = xe-:i:(y+l) per O~ x < oo, i O ~ y < oo.

l. Trobeu les dues densitats marginals.

2. Trobeu la densitat de X 1 Y= y i la de Y 1 X= x.

........

-...

""" """ """ """ """ -... ........

........

........

........

-...

""" -...

""" "'"' "'"'

"

~

"""'


SO LUCIÓ:

APARTAT 1:

fx(x) = f, 00

f(x, y)dy = r= xe-x(y+l)dy = e-x' y=O lo

amb x E (O, oo).

Per a la següent marginal integrarem per parts, fent u=x amb du=dx i dv -e-x(y+l) amb V - e-z(11+1)

- - """"-~(y-+~1~) .

loo X loo e-x(y+l) 1

fv(Y) = xe-x(y+l)dx = ---e-x(y+l)+ dx = -- , x=O Y+ 1 x=O (y+ 1) (y+ 1)2

amb y E (O, oo).

APARTAT 2:

f(XIY =y)= f(x,y) = x(y + 1)2e-x(y+l) fv(Y) '

amb (X,Y) E (0,00)2.

f (YIX = x) = f (x, y) = xe-xy f x(X) '

amb (X,Y) E (O,oo) 2 •

3.2.9 Suposem que dues components tenen temps de vida, T1 i T2 , independents i exponencials amb parametres a i /3, respectivament.

l. Calculeu P(T1 > Tz).

2. Calculeu P(T1 > 2T2).

SO LUCIÓ:

1. P(Ti > T2 ) =_!L f3 +a

2. P(T1 > 2T2) = _fL f3+2a

3.2.10 Siguin Xi Y dues v.a.'s contínues. La v.a. X es distribueix segons una llei uniforme a l'interval [O, 10]. S'observa X = x i en aquestes condicions la v.a Y es distribueix uniformement a l'interval [O, x].

l. Doneu la funció de densitat conjunta del vector (X, Y).

2. Calculeu P(X > Y).

55


3. Doneu la funció de densitat de la v.a. X+ Y.

3.2.11 Sigui (X, Y) un vector aleatori amb densitat:

J(x, y) = { k(xy + x;) si (x, y) E [O, 1 x [O, 2) - O altrament.

Calculeu P(Y < 1 IX< ~).

SO LUCIÓ:

1 P(X < llX < ~) = 2/7

3.2.12 Una professora de la FME agafa habitualment l'autobús número 7 entre les 8:00 i les 8:15 del vespre. Segons diu aquest autobús triga molt en passar. Per aquest motiu l'espera 5 minuts coma maxim. Passada aquesta estona sense senyals de l'autobús decideix utilitzar el metro. Per esbrinar si l'esrnentada professora té o no raó hem anat a la parada del 7 i hem esbrinat que entre les 8:00 i les 8:15 del vespre d'un día laborable només arriba a l'atzar un únic autobús. Aquest autobús roman a la parada durant 8 minuts. A partir d'ara treballeu sota la hipotesi que existeix un únic autobús que arriba entre les 8:00 i les 8: 15 a aquesta parada, és a dir, que Prob{ autobús arribi entre les 8 : 00 i les 8 : 15} = l. Demanem:

l. La probabilitat que la professora arribi abans que l'autobús;

2. La probabilitat que quan la professora arribi ja hi sigui l'autobús;

3. Suposant que la professoraja esta asseguda a l'autobús esperant a que aquest inicii el seu recorregut, la probabilitat que la professora hagi arribat abans que l'autobús;

4. La probabilitat que la professora acabi agafant el metro.

Indicacions: Pot ésser útil que definiu una variable aleatoria T pel temps d 'arribada de /'autobús i una altre Y pel temps d'arribada de la professora i que penseu sobre quina és la distribució de cada una d'elles. Pot ésser clarificador que representeu cada un dels esdeveniments, pels quals es demana la probabilitat, en un grdfic de T versus Y.

3.3 Distribucions multivariades

3.3.1 Les v.a. X, Y, Z tenen per densitat conjunta

{ 2 si 0 < X < y < 1 i 0 < Z < 1

f(x,y,z) = o altrament.

Calculeu la P(3X > Y l 1 < 4Z < 2)

SOLUCIÓ:

,...._

'""' ,...._

"" '""'

,...._

....._

""'I

"" "" ""'I

""'I

....._

....._

""

""

"" ....._

....._

--....._

--""' ......_

~

~

~,

""°"

TEMA 3. DISTRJBUCIONS MULTIVARJANTS

P(3X > y 11 < 4Z < 2) = P(3X>Y) Q(1<4Z<2) -P{1<4Z<2} -

J,1 fY ¡! 2dzdxd J,1

fY !.d d J,1 2 y=O Jx=f z=~ y _ y=O Jx=f 4 X y _ y=O 3ydy _ 2 1 1 1 - r1 rl 1 - rl - 3 ·

fx=O fy=x fz2=~ 2dzdydx Jx=O Jy=x ¡dydx Jx=O(l - x)dx

3.3.2 Tirem una moneda tres cops. Designem per X el nombre de cares que han sortit, i per Y el valor absolut de la diferencia entre el nombre de cares i de creus. Trobeu la distribució del vector aleatori (X, Y), les distribucions marginals de Xi de Y, i l'esperarn;a de XY.

3.3.3 Siguin X i Y variables aleatories independents amb distribució exponencial de parmetre A i µ respectivament. Definim

U= min(X, Y), V= l{U=X}·

Trobeu la llei conjunta de (U, V). Trobeu la distribució de U i V. Són U i V independents?

3.3.4 Agafem un nombre X a l'atzar a l'interval [O, 1]. Fixat X, triem un nombre Y a l'atzar en l'interval [X, l]. Determineu:

l. La llei conjunta de (X, Y) i la llei de Y.

2. El valor mig de XY.

3. La llei de X condicionada per Y.

3.3.5 Siguin U1,U2,U3 v.a. independents i uniformes a l'interval [0,1]. Trobeu la fundó de densitat conjunta de U1, U2, Us.

3.4 Funcions de dos o més variables aleatories

3.4.1 Suposem que tres v.a. X1, X2, X3 definides a l'interval [O, 1] tenen per fundó de densitat conjunta

f(x1,x2,xs) = { Bx1x2x3 si O< Xi< 1,(i = 1,2,3), O altrament.

Definim les noves variables Y1 = X1, Y2 = X1X2 i Y3 = X1X2X3 . Trobeu la fundó de densitat conjunta de Y1, Y2, Ys.

SOLUCIÓ:

57


Busquem el domini de les noves v.a. 's:

X1 = Y1 O < X1 < 1 +t O < Y1 < 1,

Y2 X2 = Yi O < X2 < 1 +t O < Y2 < Yi,

Y3 X3 = y

2 O < X:t < 1 +t O< Y3 < Y2,

per tant el nou domini és O < Y3 < Y2 < Y1 < l. Sigui

1 o =li 1 J = 8(X1,X2,X3) = (

8(Y1, Y2, 13) V¡T y'f;

ºw U· 1 tal que IJI = Yi Y2 ·

Fer tant, f(yi,y2,y3) = 8x1x2x3IJI = 8y3/(Y1Y2). Fer tant la junció de densitat conjunta és:

{~

f(y¡, Y2, y3) = 01Y2 si O < y3 < Y2 < Y1 < 1 altrament.

3.4.2 Siguin Xi Y dues v.a. amb funció de densitat conjunta

f(x,y)={ ~(x+y)

Trobeu la funció de densitat de X+ Y.

SOLUCIÓ:

SÍ Ü $ X $ y $ 1 al tramen t.

Definim U = X+ Y í V = X, i per tant, Y = U - V. El suport del vector (U, V) és: T = {(u,v): O::; v::; 1, 2v::; u::; u+ v} ja que Si O ::; x ::; 1 aleshores O ::; v ::; 1 i si x ::; y ::; 1, aleshores v ::; (u - v) =:; l. El jacobia sera

( 8x 8x ) ( 1 O )

J = ~~ t = -1 1 8v 8u

i el seu determinant 1 JI = 1. Fer tant f(V,u)(v,u) = 2u· IJI = 2u pera tot O::; v::; 1,2v::; u::; v +l.

3.4.3 La durada T, en hores, d'un article es distribueix segons una llei exponencial de mitjana 5 hores. Al mesurar Tes pot cometre un error E. Aquest error E es pot suposar que es distribueix uniformement a l'interval [-0.01,0.01]. Si E i T són independents, trobeu la fundó de densitat del temps anotat en hores E+ T.

3.4.4 Siguin X i Y dues v.a. i.i.d. (independents i identicament distribu1des) segons una exponencial de parametre (3. Trobeu la fundó de densitat de X - Y.

"""" """" .......,

......,

......,

.....,

"'""

""' ""' ..... ..... ..... .....

""' ......,

......,

,...,

--,

"'"" """ ""' """ ......,

......,

""" "'"" """" ,---,

~,

~.

"


3.4.5 Siguin X y Y dues v.a. amb funció de densitat conjunta

¡ (x, y) = { 8xy si O :::; x :::; y :::; 1 O altrament

Definim dues noves v.a. U= X/Y i V= Y.

1. Determineu la funció de densitat conjunta de U i V.

2. Són Xi Y independents?

3. Són U i V independents?

SOLUCIÓ:

1. Í(u,v)(u,v) = 8uv3; O:::; u:::; 1 y O:::; v:::; l.

2. X i Y no són independents.

3. U i V són independents.

• 3.4.6 Siguin X i Y dues variables aleatories independents, cadascuna amb distribució uniforme en l'interval (O, 1). Definim U= X+ Y, V = X - Y. Trobeu la densitat de (U, V) i les densitats marginals.

• 3.4.7 Sigui X una v.a. amb distribució uniforme en {0,1,. .. ,n - 1}, i Y una variable aleatoria independent de X amb distribució uniforme en (O, 1). Trobeu la funció de distribució de X+ Y. Trobeu la mitjana i la variancia de X + Y.

3.4.8 Suposem que un día determinat dues persones A i B arriben a un magatzem de forma independent. La persona A es queda 15 minuts al magatzem i la B 10 minuts. Si el temps d'arribada d'aquestes persones segueix una distribució uniforme entre les 9 i les 10 del matí , quina és la probabilitat que A i B coincideixin al magatzem?

SOLUCIÓ:

1 P(A i B coincideixin) = 0.3715.

3.4.9 Siguin X1 i X2 dues v.a. independents que segueixen una distribució Gamma de parametres a i >.. Trobeu E(R2

) a on R2 =X~+ Xi.

3.4.10 Tres variables aleatories X1,X2,X3 són una mostra (v.a. i.i.d.) d'una població uniforme a l'interval [3, 13). Determineu el valor de

E ((X1 - 2X2 + X3 )2].

59


SOLUCIÓ:

1 E[(X1 - 2X2 + X3)2] = 50

3.4.11 Siguin X1, X2 i X3 tres v.a. independents distribui:des segons una llei Gamma de parametres (a1, 1), (a2, 1) i (0:3, 1) respectivament.

l. Doneu la funció de densitat conjunta del vector aleatori (X1,X2,X3).

2. Definim X1 X1 +X2

Y1 = ., X , Y2 =X X X , Ya= X1 + X2 + X3. 1+ 2 1+ 2+ 3

Doneu la funció de densitat conjunta del vector aleatori (Y1, Y2, Y3).

3. Són les v.a. Y1, Y2 i Yj mútuament independents?

4. Quines lleis segueixen les v .a. Yi, Y2 , i Yj?

3.4.12 Es llencen una serie de coets pirotecnics fins que hi ha un llern;;ament amb exit. Si aixo no succeeix en cinc proves, l'experiment s'atura i se inspecciona l'equip. Suposarem que hi ha una probabilitat constant i igual a 0.8 d'obtenir un llenc;ament amb exit i que les proves succesives són independents. El cost del primer llenc;ament és de K milers de pessetes pero el cost dels següents llenc;aments és de K/3 milers de pessetes. Cada vegada que hi ha un exit s'obté una certa informació que es pot expressar com un guany de e milers de pessetes.

l. Si T és el cost net de l'experiment, trobeu la funció de probabilitat de T.

2. Si K = 90 i C = 10, calculeu el cost mig de l'experiment.

3.4.13 Una agencia de compra-venta de cotxes paga una quantitat X (en centenars de milers de pessetes) per un cotxe usat i el ven per una quantitat Y (també en centenars de milers de pessetes). Suposem que la llei conjunta de les variables aleatories (X, Y) té per funció de densitat:

{ 316 x siO::;x::;y::;6

f(x,Y)(x,y) = o altrament.

l. Calculeu la funció de densitat conjunta del vector aleatori (U, V) on U =Y - Xi V= 2Y. Preciseu amb claredat el domini de definició de (U, V).

2. Determineu el guany mig en la compra-venta de cotxes usats d'aquesta agencia.

3. Calculeu la funció de densitat de la variable aleatoria Y condicionada a X i caracteritzeu la llei resultant.

4. Si el preu de compra d'un cotxe és de 300.000 pessetes, quin és el guany mig, en pessetes, al vendre'l?

SOLUCIÓ:

""'

""' ""'

~.

"" ,..., -. ..... ..... -. ..... -. -...

"" ""

"" ---... -.., -.., ....._

'"' "" ""' ""'

~.

~

~

TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTNARIANTS

1. Com que U = Y - X i V = 2Y aleshores Y = f i X = f - U. El suport de la transformació sera: T = {(u, V) : o :::; u :::; 6, 2u :::; V :::; 12}

El jacobia sera el següent:

( ax ax ) ( 1 1 ) 1

J= t t = ~ I =-2 au av 2

Per tant

lv lv 1 lv Í(U,v)(u,v) =

36(2-u)IJI =

36(2-u)

2 =

72(2

-u) pera tot (u,v) E T.

6 12

2. E(U) = J J u 7~ ( v-;_2u )dvdu = 1.5 => Guanyara en terme O 2u

mig 150,000 pessetes.

3. L L 1

fy¡x(Ylx) = 6 36 = (636

) = -6-dy, x <y< 6

J ..!...dy X -x - X - -X 36 72

Per tant, (YIX = x),...., U(x, 6).

4. Com que (YIX = x) ,...., U(x, 6), E[YIX = x] = (6 + x)/2. Aleshores,

6+3 E[Y-XIX = 3] = E[YIX = 3]-E[XIX = 3] = E[YIX = 3]-3 = -

2--3 = 1.5.

Es perderan en terme mig 150,000 pessetes.

3.4.14 Siguin X i Y variables aleatories independents exponencials de parametre ..\. Definim les noves variables Z = X + bY i T = Y2 per b ~ O.

l. Identifiqueu la llei de T.

2. Calculeu la funció generadora de moments de Z

3. Trobeu un valor de b tal que Z segueixi una llei Gamma.

4. Calculeu la funció de densitat conjunta del vector aleatori (Z, T).

5. Són independents les variables X+ Y i Y 2 ?

Indicació: Utilitzeu els apartats anteriors.

3.5 Covariancia i Correlació

3.5.1 Siguin Xi Y v.a. independents ambla mateixa variancia. Calculeu Covar(X + Y,X - Y).

61


SOL U CIÓ:

Covar(X +Y, X - Y) = Covar(X, X - Y)+ Covar(Y, X - Y) = Covar(X, X) - Covar(X, Y) + Covar(Y, X) - Covar(Y, Y) =

Covar(X, X) - Covar(Y,y) = Var(X) - Var(Y) = O

3.5.2 Siguin X, Y, Z tres v.a. tals que Var(X) = 1, Var(Y) = 4, Var(Z) Covar{X, Z) = -1, Covar(Y, Z) = 2. Determineu:

l. Var(X +Y+ Z).

2. Var(3X - Y - 2Z + 1).

SOLUCIÓ:

1. Var(X +Y+ Z) = 17.

2. Var(3X - Y - 2Z + 1) = 59.

8, Covar(X, Y) 1,

3.5.3 Sigui T = I:~=t kXk i S = I:~=t Xk, a on les Xk són v.a. independents de mitjana µ i variancia u2.

l. Calculeu E(T) i Var(T).

2. Calculeu la covariancia i la correlació entre Si T.

3.5.4 El temps total que un camió hi és al magatzem esta definit per una variable aleatoria X. Sigui Y la variable temps d'espera en la cua, i Z el temps de descarrega (X =Y+ Z). La distribució conjunta de (X, Y) és:

f(x ) = { 0.25exp{-0.5x} si OS y s x < oo 'y O altrament.

l. Calculeu el temps mig total que el camió roman al magatzem.

2. Calculeu el temps mig de descarrega.

3. Identifiqueu les lleis que segueixen les variables X, Y i Z.

4. Estudieu la independencia entre els següents parells de variables aleatories: X i Y, X i Z i Z i Y,

5. Calculeu el coeficient de correlació entre el temps total i el temps d'espera en la cua.

"""'

""

·'"'

"" -..

"""' "" "" """' "" "" -.. "" ......_

..-..._

-.. -.. -.. .......

-.. -.. "" ,...._

/'

,....,


3.6 Distribució normal bivariada.

• 3.6.1 Comproveu que efectivament les marginals d'una distribució normal bivariada són normals.

• 3.6.2 Siguin (X1, X2) dues v.a. amb distribució conjunta normal bivariada. Definim dues noves v.a com segueix:

i tals que

Yi = a11X1 + a12X2 + bi, Y2 = a21X1 + a22X2 + b2,

A = ( ª11 ª 12 ) amb IAI f- O. a21 a22

Demostreu que la distribució conjunta de (Y1, Y2) és normal bivariada.

3.6.3 Siguin (X1, X2) dues v.a. amb distribució conjunta normal bivariada i tals que Var(X1) = Var(X2). Demostreu que les v.a S = X1 + X2 i D = X1 -X2 són independents.

3.6.4 Siguin (X1, X2) dues. v.a. amb distribució conjunta normal bivariada amb mitjanes µ1 i µ2, variancies ur i u~ i correlació p. Determineu la distribució de X1 - 3X2. .

SOLUCIÓ:

Si definim Y1 = X1 - 3X2 i Y2 = X2, veient el problema 3.6.2 tenim que (Y1, Y2 ) és normal bivariada. Utilitzant l'enunciat del problema 3.6.1 sabem que les marginals Y1 i Y2 d'una Normal bivariada, són Normals.

Calculem l'esperan9a i la varidncia d'Y1 :

E(Y1) = E(X1 - 3X2) = E(X1) - 3E(X2) = µ1 - 3µ2

Var(Yi) = E((Y1)2)-(E(Y1))2 = E((X1 - 3X2))-(E(Xi) - 3E(X2))2 =

E(Xf) - 6E(X1X2) + 9E(Xi) - E(Xf) + 6E(X1)E(X2) - 9E(X2 )2 =

Var(X1) + 9Var(X2) - 6Covar(X1X2) = <Jf + 9u~ - 6pu1u2.

Per tant Xi - 3X2 ,..., N(µ1 - 3µ2, Uf+ 9u~ - 6pu1u2)

• 3.6.5 Una enginyera geologa vol explorar un jaciment tal que la seva projecció sobre la superficie terrestre pot considerar-se el·líptica, amb semieixos a i b, a> b. Situant l'origen de coordenades al centre de l'el·lipse i orientant adequadament els eixos, aquesta té per equació x2 /a2 + y2 /b2 = l. L'estrategia de mostreig exigeix situar punts de mostreig (X, Y) sobre el terreny de manera que la seva distribució sigui normal bivariant amb parametres µx =O, µy =O, u); >O, u} > O i coeficient de correlació poblacional PXY =o.

l. Determine u la llei de la variable aleatoria ~ + ~. <Tx <Ty

2. Determineu una possible solució pels valors de u); i u}, de forma que la probabilitat que un punt de mostreig caigui dins l'el·lipse sigui igual a 0.90.

63


3.6.6 Sigui X ,..., N(O, 1), i Y 1 X ,..., N(2X - 3, 12). Determineu la distribució marginal de Y i la correlació entre X i Y.

3.6. 7 Sigui (X, Y) un vector aleatori que segueix una distribució normal bivariada de parametres µx, µy, u'i, u}, p. Demostreu que la distribució condicional de Y, donat X = x, és la distribució normal de mitjana µ. =µy + p~(x - ltx) i de variancia u~ = u}(l - p2 ).

3.6.8 Sigui (X, Y) un vector aleatori que segueix una distribució normal bivariada de parametres µx = 40, µy = 20, ui- = 9, u} = 4 i p = 0.6. Trobeu l'interval més curt ([a, b]) tal que la probabilitat condicionada de que Y pertanyi a l'interval ([a, b]) donat que X = 22 sigui igual a 0.90.

3. 7 Distribució multinomial

3. 7.1 Una població conté objectes de k tipus diferents (k ;:::: 2) amb proporcions respectives Pi, i = 1, ... , k, tals que E~=I Pi = l. Seleccionem n objectes amb reemplai;ament i anotem els valors (X1, ... , Xk), on xi és el número d'objectes del tipus i que hem observat.

Es diu que el vector aleatori (X1 , ... , Xk) té distribució multinomial de parametres ni (p1 , ... ,pk)· A vegades aixo es representa diem que

(X1 , ... ,Xk),...., M(n;p1, ... ,pk)·

l. Determineu la fundó de probabilitat conjunta del vector aleatori (Xi, ... , Xk)·

2. Calculeu la fundó de probabilitat marginal de la variable X3 . Quina llei segueix X3 ?

3. Calculeu la matriu de variancies i covariancies de (X1 , ..• , Xk)·

----

' -.,

-.,

......._

......._

'

-,

......,

......._

"""\

""' """

4. Calculeu la fundó de probabilitat condicional de la variable X3 condicionada a X2 . Quina llei ""' segueix Xa condicionada a X2 = a? ""'

5. Quina llei segueix X2 + Xa?

3. 7 .2 Tenim un dau no equilibrat. La probabilitat que aparegui la cara i quan es fa rodar es denota per Pi· Suposem que P1 = 0.11, P2 = 0.30, P3 = 0.22, p4 = 0.05, p5 = 0.25, p6 = 0.07. Aquest dau es lleni;a 40 vegades. Denotem per X1 el nombre de cares parelles que apareixen i per X2 el nombre de vegades que surt un 1 o un 3. Calculeu la P(X1 = 20, X2 = 15).

3.7.3 Suposem que F és una funció de distribució contínua sobre R; i siguin 0::1 i a::2 dos nombres tals que F(a::¡) = 0.3 i F(a::2) = 0.8. Seleccionem 25 observacions a l'atzar de la distribució que té F per fundó de distribució. Quina és la probabilitat que sis deis valors observats siguin més petits que a:: 1 , deu estiguin entre a::1 i 0::2, i nou deis valors observats siguin superiors a a::2 .?

""' ......, ¡

......,

""\

'

,....,

'

' ' """\

"""\

' ......,

......._

' ......,

' ' ' "'\

~.

'""""

. ";

TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTNARIANTS

3.8 Estadístics extrems

3.8.1 Dos daus perfectes es llencen per separat varies vegades. Sigui X el nombre de llern;aments necessaris fins a obtenir un 1 en el primer dau, i sigui Y el nombre de llern;aments necessaris per obtenir un 5 o un 6 en el segon dau.

l. Quina és la llei d' X? i la de Y?

2. Calculeu la funció de probabilitat de Z = max(X, Y)

3. Calculeu P(X = Z).

3.8.2 Siguin X1, ... , Xn v.a. independents amb funció de distribució F1, ... , Fn i densitats /x1 , ••• , f Xn

respectivament. Siguin X(n) = max{X1, .. ., Xn} i X(l) = min{Xi, ... , Xn}·

l. Calculeu les funcions de distribució i de densitat de X(n) i de X(i) a partir de les distribucions i densitats de X1, ... , Xn.

2. Repetiu l'apartat l. pel cas particular en que les v.a. són identicament distribui'des.

3.8.3 Suposeu que les v.a. X1, X2, ... , Xk són independents i que Xi segueix una distribució exponencial de parametre /Ji (i = 1, 2, ... , k). Definim la v.a. Y= min{X1, X2, ... , Xk}· Cerqueu la distribució de la v.a. Y.

3.8.4 Cinc estudiants fan un examen de forma independent i es suposa que el temps, en minuts, que triguen en acabar-lo segueix una distribució exponencial de mitjana 80 minuts. Aquest examen ha comem;at a les 9 del matí.

l. Quina és la probabilitat que al menys un deis estudiants l'acabi abans de les 10 menys 20?.

2. Si el primer estudiant en acabar ho fa a les 9 i 25, quina és la probabilitat que al menys un deis al tres estudiants acabi abans de les 10 del matí ? .

3. Determineu la probabilitat que cap estudiant acabi !'examen a una distancia de 10 minuts d'un altre.

3.8.5 Siguin X1, .. ., Xn v.a.'s independents i distribui'des segons una llei de Weibull(o:, /3). Trobeu la funció de densitat del X(i) = min{X1, ... , Xn}

3.8.6 Si U1, ... , Un són v.a. uniformes a l'interval [O, 1) i independents, trobeu:

l. E(U(l)) i E(U(n))

2. E(U(n) - U(l))

3. E(U(k) - U(k-1)) a on U(j) indica el j-essim estadístic d'ordre .

65


SOLUCIÓ:

APARTAT 1: Sigui f(u) = 1¡0 ,11(u) amb

í per tant

F(u) = 1"' f(u)du = { ~ -00 1

SÍ X$ Ü

si Ü $X$ 1 altrament,

1-F(u)={i-x si X$ Ü

si Ü $X$ 1 altrament,

aleshores si es defineix fu(l)(u) = nf(u)(l - F(u))n-1, tenim que /u(l)(u) = n(l - x)n-1l¡o,11(u), amb

100 ¡1 1 E(U(1)) = uf (u)du = nu(l - u)n-1du = nf3(2, n) = --

1,

-oo o n +

on f3(p q) - r1 tP-1(1- t)q-1dt - !1cl!1'll ' -Jo -~·

De manera similar, si definim

fu(n)(u) = nf(u)(F(u))n-l = nun-1l¡o,1j(u)

es pot comprovar que

APARTAT 2:

APARTAT3: Sigui

l oo n E(U(n)) = -oo ufu(n)(u)du = n + 1.

n-1 E(U(n) - Uc1¡) = n + 1

n! k-1 n-k n! k-1 n-k fu(k¡(u) = n 1 \tt~ i.\ 1/(u)F(u) (1-F(u)) = n ntr~ t.\ 11¡0,1]U (1-u) ,

aleshores

n. k-1 n-k 11 ' k E(U(k)) =

0 (k _ l)!(n _ k)! l¡o,1¡u (1 - u) du = ... = n + 1 ,

i per tant 1

E(U(k) - U(k-1¡) = n + 1 ·

3.8.7 Els investigadors Lieblein i Zelen varen comprovar, després de nombrosos assajos de laboratori, que el nombre de revolucions (en milions) fins a la fallada de coixinets de boles seguía una llei de Weibull.

'

'

'

...._,

' ...._,

'""" '""" ,....,

,....,

'""" '"""'

'·

'

'·

~.

,....._

TEMA 3. DISTRJBUCIONS MULTIVARJANTS

A un laboratori d'automoció volen decidir-se entre dos tipus de coixinets, que anomenarem tipus A i tipus B, i per aquest motiu els analitzen independentment i estimen que els parametres d'escala són respectivament fJA = 802 i fJn = 100, i els parametres de forma són respectivament ªA = 2 i o:n = l. Els tecnics del laboratori pensen que fóra interessant assajar amb dos coixinets simultaniament, pero, abans de dissenyar un nou prototipus, demanen a l'estadístic del laboratori que els ajudi a estudiar el comportament probabilístic del temps de fallada mínim, U1, i maxim, U2 , entre els dos tipus A i B.

l. Calculeu la fundó de distribució de U1 i U2.

2. Quina és la probabilitat que el temps de fallada mínim sigui inferior a 80 milions de revolucions? Quina és la probabilitat que el temps de fallada maxim sigui inferior a 80 milions de revolucions?

3. No satisfets amb els resultats del disseny compartit tipus A-tipus B, decideixen provar amb dos coixinets del mateix ti pus. Caracteritzeu les lleis de U1 i U2 , indicant a quina família pertaynen si aquesta és coneguda, si posen dos coixinets de tipus A.

3.9 La esperanc;a condicionada coma varaible aleatoria

3.9.1 Siguin U1 i U2 dues v.a. uniformes i independents a l'interval (O, 1]. Denotem per X= min{U1, U2} i per Y= max{U1,U2}.

l. Comprobeu que la funció de densitat conjunta entre X i Y ve donada per

{ 2 SÍ Ü < X :::; Y :::; 1

f(x,y) = o - altrament.

2. Trobeu la covariancia i la correlació entre X i Y. Creieu que el signe de la correlació té sentit intu'itivament?

3. Trobeu E(X 1 Y) i E(Y 1 X). Tenen sentit intui'tiu aquests resultats?

4. Calculeu l'error quadratic mig del millor predictor de Y en termes de X.

3.9.2 Demostreu que E(Var(Y 1 X)] :::; Var(Y).

Sabem que

Var(Y) = E(Var(Y 1 X))+ Var(E(Y 1 X)),

i donat que una varidncia sempre és positiva o nul-la

Var(Y) 2'.: E(Var(YjX)).

3.9.3 El vector aleatori (T, U) es distribueix uniformement al triangle rectangle amb vertexs als punts (O, O), (1, O) i (O, 2).

l. Determineu la fundó de densitat conjunta de (T, U).

2. Calculeu E(TIU =u) i E(UjT = t).

67

68

3. Calculeu Var(TIU =u).

4. Calculeu Var(E(TIU).

5. Calculeu Prob(0.3 S U S llT = 0.3).

SOL U CIÓ:

1. f(T,u)(t,u) = 1, pera totO Su S 2,

2. E(TIU = u) = 24", E(UIT = t) = 1 - t

(Tlu ) (2u-4)2

3. Var = u = 192

4. Var[E(TIU)] = A 5. P(0.3 S u S lllT = 0.3) = 0.5


. o u i <t<l--- - 2

3.9.4 Sigui T una v.a. exponencial, i condicionat a T sigui U una v.a. uniforme en [O, T]. Calculeu l'esperarn;a i la variancia (sense condicionar) de U. Nota: No és necessari calcular la llei marginal de la variable aleatoria U.

3.9.5 Siguin Xi Y dues v.a. que tenen coma funció de densitat conjunta

f (x ) = { x +y si O S x S 1 i O ~y ~ 1 'y O altrament.

l. Calculeu E(Y 1 X) i Var(Y 1 X).

2. Si observem que X= 0.5, quin valor predit de Y tindra error quadratic mig més petit? Quin sera el valor d'aquest error?

3.9.6 Siguin X i Y dues v.a. amb funció de densitat conjunta

f(x,y)=e- 11 , O~x:::;y.

Calculeu E(X 1 Y) i E(Y 1 X).

3.9. 7 Sigui X la variable aleatoria que mesura l'hora que una persona s'aixeca del llit al matí (mesurada en fraccions d'hora després de les 7am) i Y la variable aleatoria que mesura el temps que triga en arribar a la feina (mesurat també en fraccions d'hora) després d'aixecar-se. Suposem que la llei de X té per funció de densitat:

f (x) = 26 {

81(1-x} 2

o si Ü <X< Í

altrament.

i la llei de YIX té per funció de densitat:

h¡x(Ylx) = { ¿1~~)2 Si Ü < X < Í Í Ü < y < 1 - X

altrament.

---'""' ---,....,

,..__

'""' """ """ ""' ...... ......

'"' """ ""' ,...._

.,....,

"""

""" ""' """ """ """ """ ,...._

"""

TEMA 3. DISTRIBUCIONS MULTNARIANTS 69

l. Trobeu la funció de densitat de la variable aleatoria Y.

2. Caracteritzeu la llei condicionada de XIY.

3. Calculeu l' E(Var(XIY)).

"""'

Documents

Problemes Pedro Delicado - UPC Universitat Politècnica de