Problemi di Trigonometria - Siti Xoom di... · 2012. 3. 22. · Esercizi introduttivi di trigonometria Prof. Franco Fusier Rev. 03/2012 - Pag. 2 ... 3) sono noti due angoli e un lato

Problemi di Trigonometria

Alcuni esercizi di base …

Appunti e complementi per gli studenti

Franco Fusier - 2012

Esercizi introduttivi di trigonometria

Prof. Franco Fusier Rev. 03/2012 - Pag. 2

Problemi di Trigonometria Sommario

Consolidamento dei prerequisiti .................................................................................................. 4

Richiami di algebra e di goniometria...................................................................................... 4

Richiami di geometria euclidea ................................................................................................ 5 Angoli al centro, angoli alla circonferenza e teoremi correlati ................................. 5 Corde, secanti e tangenti in una circonferenza .............................................................. 6 Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili ad una circonferenza ................................... 7

Teorema di Talete ........................................................................................................................... 8

Teoremi di Euclide e di Pitagora ............................................................................................... 9 Primo teorema di Euclide ....................................................................................................... 9 Secondo teorema di Euclide ................................................................................................. 9 Teorema di Pitagora ............................................................................................................... 10 Inverso del Teorema di Pitagora ........................................................................................ 10

Risoluzione dei triangoli rettangoli ....................................................................................... 10

Triangoli qualunque .................................................................................................................... 11

Teorema delle proiezioni ........................................................................................................... 11

Teorema della corda.................................................................................................................... 11

Teorema dei seni (o di Eulero) ................................................................................................. 12

Teorema del coseno (o di Carnot) .......................................................................................... 12

Regole pratiche (importanti) ................................................................................................... 12 Sono noti due lati e l’angolo compreso .......................................................................... 13 Sono noti tre lati ...................................................................................................................... 13 Sono noti due angoli e un lato ........................................................................................... 13 Sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi ............................................. 13

Aree di triangoli e quadrilateri ................................................................................................ 14 Problemi sui Triangoli rettangoli ................................................................................................. 16

Problema n. 1 () .......................................................................................................................... 16

Problema n. 2 () .......................................................................................................................... 16

Problema n. 3 () .......................................................................................................................... 16

Problema n. 4 () .......................................................................................................................... 16

Problema n. 5 () .......................................................................................................................... 17

Problema n. 6 () .......................................................................................................................... 17

Problema n. 7 () ...................................................................................................................... 17

Problema n. 8 () .......................................................................................................................... 17

Problema n. 9 () .......................................................................................................................... 18

Problema n. 10 () ...................................................................................................................... 18

Problema n. 11 () ...................................................................................................................... 18



Problemi sui Triangoli qualunque ............................................................................................... 19 Problema n. 12 () .......................................................................................................................... 19

Problema n. 13 () ...................................................................................................................... 19

Problema n. 14 () ...................................................................................................................... 19

Problema n. 15 () ...................................................................................................................... 19

Problema n. 16 () ...................................................................................................................... 20

Problema n. 17 () ...................................................................................................................... 20

Problema n. 18 () ...................................................................................................................... 20

Problema n. 19 () ...................................................................................................................... 21

Problema n. 20 () ...................................................................................................................... 21

Problema n. 21 () ...................................................................................................................... 21

Problema n. 22 () ...................................................................................................................... 22

Problema n. 23 () ...................................................................................................................... 22

Problema n. 24 () ................................................................................................................. 22

Problema n. 25 () ................................................................................................................. 23

Problema n. 26 () ...................................................................................................................... 23



CONSOLIDAMENTO DEI PREREQUISITI

Richiami di algebra e di goniometria

Radicale doppio: 22

22 BAABAABA

, questa relazione è

utile quando BA 2 è un quadrato perfetto.

Proprietà angoli complementari:

2sin cos , 2cos sin ; 21

tan cottan

.

Proprietà angoli supplementari: sin sin ; nella risoluzione dei

triangoli, questa relazione si utilizza spesso nella forma sin sinx x .

Individuazione dell’angolo a partire dai valori delle funzioni goniometriche:

1) se 20 allora l’angolo è completamente individuato conoscendo il valore

di sin , cos o tan seno (quindi, ad esempio, conoscendo il valore del seno, del coseno o della tangente di uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo possiamo individuare univocamente l’angolo stesso);

2) se 0 allora l’angolo è completamente individuato conoscendo il valore di cos seno (quindi conoscendo il valore del coseno di uno degli angoli di un triangolo possiamo individuare univocamente l’angolo stesso);

3) se 0 e 0 sin 1 allora esistono due valori di (supplementari) che presentano l’assegnato valore del seno (quindi conoscendo il valore del seno di uno degli angoli di un triangolo non possiamo individuare univocamente l’angolo stesso);

4) se 20 allora l’angolo è completamente individuato

conoscendo il valore di tan .

1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni); 4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni). 1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni); 4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni). 1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni); 4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni). 1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni); 4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni). 1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni); 4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni).



Richiami di geometria euclidea

Angoli al centro, angoli alla circonferenza e teoremi correlati

Teorema

Ogni angolo alla circonferenza è metà del corrispondente angolo al centro.

1) gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza.

4) in un triangolo rettangolo la mediana CO relativa all’ipotenusa è congruente a metà dell’ipotenusa ed è uguale al raggio del cerchio circoscritto; inoltre il circocentro del triangolo è il punto medio

dell’ipotenusa.

B

AO

B

A

O

B

A

O




Corde, secanti e tangenti in una circonferenza

Teorema (delle due corde)

Il punto P comune a due corde di una circonferenza divide le corde in modo che le due parti di una corda siano i medi e le due parti dell’altra gli estremi di una proporzione. In formule:

PA : PC = PD : PB Teorema (delle due secanti)

Una circonferenza divide due secanti condotte da uno stesso punto P, esterno alla circonferenza, in modo che un’intera secante e la sua parte esterna siano i medi, l’altra secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione.

In formule: PA : PC = PD : PB Teorema della secante e della tangente Condotte da un punto P esterno ad una circonferenza una tangente ed una secante, il segmento di tangente è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna.

In formule: PC : PT = PT : PD

BA

C

D

PO

B

A

C

P

O

T

C

D

PO




Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili ad una circonferenza

Teorema

Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.

.

Gli unici parallelogrammi inscrivibili sono i rettangoli e i quadrati.

Per quel che riguarda la circoscrivibilità di un quadrilatero vale invece il seguente

Teorema

un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

Gli unici parallelogrammi circoscrittibili sono i rombi e i quadrati.

A

C

BA

CD

BA

CD

A

C

A C

BA




Teorema di Tolomeo

in un quadrilatero inscritto in una circonferenza, il prodotto delle misure delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti.

È anche vero il viceversa (teorema inverso), ossia: se in quadrilatero la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali, allora il quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza.

Teorema di Talete Definizione: si dice fascio di rette parallele l’insieme di tutte le rette del piano che sono parallele ad una data retta a.

Enunciato

Un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali.

Corollario 1. In un triangolo una retta parallela ad un lato determina sugli altri due lati o sui loro prolungamenti segmenti proporzionali.

Teorema 1 (inverso del corollario 1) Una retta che determina su due lati di un triangolo o sui loro prolungamenti segmenti proporzionali è parallela al terzo lato.

Teorema 2

In ogni triangolo la parallela ad un lato passante per il punto medio di un altro lato divide il terzo lato a metà.

Teorema 3 (inverso del teorema 2)

In ogni triangolo la congiungente i punti medi di due lati è parallela al terzo lato e congruente alla sua metà.

A

C1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni); 4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni). 1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni); 4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni). 1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni); 4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni). 1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni); 4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni). 1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot); 3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni); 4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni).



Teoremi di Euclide e di Pitagora

Primo teorema di Euclide

Equiestensione tra figure:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa stessa.

Relazioni tra segmenti:

In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

Secondo teorema di Euclide

Equiestensione tra figure:

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

Relazioni tra segmenti:

In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei

due cateti sull’ipotenusa.

I due enunciati sono equivalenti, da uno si può ricavare l’altro.

C

A

BH

DE

F

G

C

A

BH

F

G

D E




Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Inverso del Teorema di Pitagora

Se in un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati dei due lati rimanenti, allora l’angolo contenuto dai due lati rimanenti è retto.

Cioè se in un triangolo di lati a, b e c vale la relazione 2 2 2a b c , allora il triangolo è rettangolo e c è la misura dell’ipotenusa.

Risoluzione dei triangoli rettangoli

Valgono ì seguenti teoremi:

1° Teorema

In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto oppure per il coseno dell’angolo adiacente.

sinb a , sinc a

cosb a , cosc a

2° Teorema

In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto di quella dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto, oppure per la cotangente dell’angolo (acuto) adiacente.

In simboli:

tanb c , tanc b

cotc b , cotb c

Poiché gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, dalle relazioni degli archi associati risulta:

sin cos

sin cos

tan cot

C

A

BH

DE

F

G

L

M

N

C

A

Ba

b c




tan cot

Triangoli qualunque

Teorema delle proiezioni

Teorema

In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo

cos cosa b c

cos cosb a c

cos cosc a b

Teorema della corda

Teorema

In una circonferenza, la misura di una corda è uguale al prodotto di quella del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda stessa.

Il quadrilatero ACBD, essendo inscritto nella circonferenza, deve avere gli angoli opposti supplementari, quindi l’angolo alla circonferenza AEB è il supplementare di ADB. Si ha quindi:

sen sen( ) sen , per cui l’enunciato del teorema non presenta alcuna

ambiguità.

C

A

Ba

b c

H

A

B




Teorema dei seni (o di Eulero)

Teorema

In un triangolo, il rapporto tra la misura di un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante ed uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.

In simboli:

2sen sen sen

a b cR

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC .

Teorema del coseno (o di Carnot)

Teorema

In un triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati diminuita del doppio prodotto delle misure di questi per il coseno dell’angolo tra essi compreso.

Le relazioni analitiche sono le seguenti: 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab

Regole pratiche (importanti)

Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi di cui almeno un lato. Dunque si possono presentare quattro casi:

1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot);

2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot);

3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni);

4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni).

A

B

C

O

a

c

b

C

A

Ba

b c

H




Sono noti due lati e l’angolo compreso

Noti: b, c,

Applicando il teorema di Carnot, si ha: 2 2 2 cosa b c bc

2 2 2cos

2a b c

ab

2 2 2cos

2a c b

ac

Notiamo che, nell’intervallo 0;2 , la

conoscenza del coseno permette di determinare univocamente l’angolo (questo invece non vale

per il seno).

Sono noti tre lati

Noti: a, b, c

Applicando il teorema di Carnot, si ha: 2 2 2

cos2

b c abc

2 2 2cos

2a c b

ac

2 2 2cos

2a b c

ab

Come già detto, nell’intervallo 0;2 , la conoscenza del coseno permette di

determinare univocamente l’angolo.

Sono noti due angoli e un lato

Noti: , , c

Applicando il teorema dei seni e ricordando che

sin sin sin

si ha:

sin sin

sin sinsin sin sin sina a c cc c

a

sin sin

sin sinsin sin sin sinb b c cc c

b

Sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi

Noti: , a, c

In questo caso occorre, prima di tutto, valutare il numero di soluzioni possibili:

se sina BC c il problema non ammette soluzione;

se sina BC c il triangolo è rettangolo e il problema ha un’unica

A

B

C

a

c

b

A

B

C

a

c

b




soluzione;

se sina BC c si possono formare due triangoli e il problema ha due soluzioni (una caratterizzata da acuto e una da ottuso);

se a BC c si può formare un solo triangolo e il problema ha una soluzione (una caratterizzata da acuto).

Per i triangoli non rettangoli, una volta accertata l’esistenza di soluzioni e stabilito il loro numero, si procede così:

1) si determina sin

sinc

a

e si risale all’angolo (quando sono presenti due soluzioni dobbiamo trattare entrambi i casi);

2) si ricava il terzo lato scrivendo sin

sina

b

Aree di triangoli e quadrilateri

Teorema (area di un triangolo qualsiasi)

L’area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.

In simboli:

sin sin sin2 2 2

a b a c b cS

Teorema(formula di Erone)

L’area di un triangolo di semiperimetro p è data da:

( )( )( )S p p a p b p c

Teorema

L’area di un parallelogrammo è uguale al prodotto dei lati per il seno dell’angolo compreso.

C

A

Ba

b c

H

BA

CD

H

A B

C' a

c

C''

C

C'''




Teorema

L’area di un quadrilatero è data da:

1 2 sin2

d dS

dove 1 2, d d sono le diagonali del

quadrilatero e è uno degli angoli da esse formato.

BA

CD

O




PROBLEMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Problema n. 1 ()

Determinare gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sapendo che la somma delle

tangenti dei due angoli è 4 3

3. Risposta:

3;

6

Nota: indicare con x l’ampiezza di uno dei due angoli acuti, si ottiene un’equazione di secondo grado nella tangente (o nella cotangente). Ricordare

che x

xxtan

1cottan 2 .

Problema n. 2 ()

Determinare il perimetro e l’area di un trapezio rettangolo ABCD sapendo che

3ˆ

CBA , che la diagonale minore AC è perpendicolare al lato obliquo BC e che

aBC .

Risposta: 2

8

37 ;

2

392 aAap

Nota: è sufficiente applicare le relazioni sui triangoli rettangoli. Non sono coinvolte equazioni goniometriche.

Problema n. 3 ()

Determinare il perimetro e l’area di un trapezio rettangolo ABCD sapendo che:

la base maggiore AB misura aAB 2 ,

322ˆcos CBA

l’altezza misura 3aAD .

Risposta: 2

9

26 ;28

3

22 aAap

Nota: è sufficiente applicare le relazioni sui triangoli rettangoli e la prima relazione fondamentale. Non sono coinvolte equazioni goniometriche.

Problema n. 4 ()

Determinare, sulla semicirconferenza di centro O e diametro rAB 2 , un punto C in modo che sia verificata la seguente relazione:

333

AB

COAC

Risposta: 6

ˆ CAB

Nota: si può porre xCAB ˆ e poi applicare le relazioni sui triangoli rettangoli; si ottiene un’equazione di primo grado nel coseno.




Problema n. 5 ()

In un triangolo isoscele ABC circoscritto ad un cerchio di raggio r, il rapporto tra

l’altezza relativa alla base CH e la base AB è 2

3. Determinare il perimetro e l’area

del triangolo.

Nota: porre uguale a 2x l’angolo al vertice del triangolo (isoscele) e poi ricavare x; sono necessarie le relazioni sui triangoli rettangoli.

Risposta: 3cot x ; 6

x ; rCH 3 , rAB 32 , 233 ;362 rArp

Problema n. 6 ()

In un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza di raggio r, la somma del doppio dell’altezza con il triplo del lato è r4 . Determinare l’ampiezza dell’angolo al vertice.

Nota: porre uguale a 2x l’angolo al vertice del triangolo e poi ricavare x; sono necessarie le relazioni sui triangoli rettangoli e si ottiene un’equazione di secondo grado nel coseno.

Risposta: 3

22 x

Problema n. 7 ()

In un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza di raggio r, la somma del

doppio della base con l’altezza è r2

343. Determinare l’ampiezza dell’angolo al

vertice.

Nota: porre uguale a 2x l’angolo al vertice del triangolo e poi ricavare x; sono necessarie le relazioni sui triangoli rettangoli e si ottiene un’equazione riducibile a omogenea di secondo grado (può essere necessario ricorrere alla relazione sul radicale doppio).

Risposta:

47

31716cot3cot xx 9275.91

47

31716arccot22

32

xx

Problema n. 8 ()

Determinare l’angolo xBCA ˆ di un triangolo rettangolo ABC, retto in A, sapendo che è

3

732

ACAB

ACAB

Nota: sono necessarie le relazioni sui triangoli rettangoli; si ottiene

un’equazione di primo grado (ad esempio, esprimendo AB in funzione di AC , si ottiene un’equazione nella tangente, molto semplice) .




Risposta: 2arctgx

Problema n. 9 () In un triangolo isoscele la somma della base con uno dei lati uguali è i 5

21 della

proiezione sul lato obliquo dell’altezza relativa alla base. Determinare il coseno dell’angolo alla base x .

Nota: sono necessarie le relazioni sui triangoli rettangoli e gli angoli correlati; si ottiene un’equazione di secondo grado nel coseno.

Risposta: cos 2 3x

Problema n. 10 ()

Dato il triangolo equilatero ABC di lato , condurre per il vertice A, internamente

all’angolo CAB ˆ , una semiretta tale che la somma dei quadrati delle distanze BK e

CH dei vertici B e C da essa sia pari a 221 (porre xBAK ˆ ).

Nota: sono necessarie le relazioni sui triangoli rettangoli e la formula si sottrazione del seno; si ottiene un’equazione riconducibile a omogenea di secondo grado.

Risposta: 01tan32tan3 2 xx ; 6x

Problema n. 11 ()

Dato il triangolo equilatero ABC di lato , condurre per il vertice A, internamente

all’angolo CAB ˆ , una semiretta tale che la somma dei quadrati delle distanze BK e

CH dei vertici B e C da essa sia pari a 24

34 (porre xBAK ˆ ).

Nota: sono necessarie le relazioni sui triangoli rettangoli e la formula si sottrazione del seno; si ottiene un’equazione riconducibile a omogenea di secondo grado.

Risposta: 031tan32tan31 2 xx ; 124 xx




PROBLEMI SUI TRIANGOLI QUALUNQUE

Problema n. 12 ()

In un cerchio di raggio r è data una corda 3rAB . Determinare un’altra corda AC

in modo che risulti 2223rBCAC (porre xCAB ˆ ).

Nota: sono necessari il teorema della corda e l’inverso del teorema di Pitagora (si tratta di una situazione molto particolare); i calcoli, se opportunamente impostati, sono semplicissimi.

Risposta: 6x

Problema n. 13 ()

In un cerchio di raggio r è data una corda rAB . Determinare un’altra corda AC in

modo che risulti 2222rACBC (porre xCAB ˆ ).

Nota: è necessario applicare il teorema della corda (oppure il teorema dei seni), le relazioni tra angoli correlati (supplementari) e le formule di addizione. Si ottiene un’equazione riconducibile a omogenea di secondo grado (nella scelta della soluzione occorre tener conto che x è uno degli angoli interni di un triangolo).

Risposta: 0cos3cossen3sen 22 xxx ; 32x

Problema n. 14 ()

Sia ABC un triangolo in cui è AB ˆ2ˆ e sia BD la bisettrice dell’angolo di vertice B.

Sapendo che 31ˆsen A e 2BD , determinare l’area del triangolo ABD, il seno

dell’angolo di vertice C (non è ammesso l’uso delle formule di triplicazione) e le lunghezze dei lati del triangolo.

Nota: sono necessarie le relazioni caratteristiche dei triangoli rettangoli, il teorema dei seni, le proprietà degli angoli supplementari, le formule di addizione e quelle di duplicazione.

Risposta:9

28S ;

27

23ˆsen C ;3

28AB ;

23

224BC ;

23

64AC

Problema n. 15 ()

In un triangolo isoscele ABC, la cui base BC misura 2a, l’angolo al vertice in A ha il coseno uguale a 25

17 . Si prenda internamente alla base BC un punto P ed

internamente al lato AB un punto Q, in modo che risulti BQBP e che sussista la

relazione 22215103 aPQAQ . Determinare xAQ .

Nota

Il problema può essere risolto anche utilizzando ripetutamente le formule di bisezione, le proprietà degli angoli correlati (complementari) e le relazioni




valide per i triangoli rettangoli (non sono necessari né il teorema dei seni né il teorema di Carnot). Si ottiene una semplice equazione razionale.

Risposta: 0)2( 2 ax ; axAQ 2 .

Problema n. 16 ()

In un cerchio di raggio r è data una corda 3rAB . Indicato con C un punto

appartenente al minore dei due archi AB, determinare una corda AC in modo che

risulti 32 rACBCAB (porre xCAB ˆ ). Successivamente, determinare

la lunghezza della mediana AM.

Nota

Per rispondere alla prima domanda, è necessario applicare il teorema della corda (oppure il teorema dei seni), le relazioni tra angoli correlati (supplementari) e le formule di addizione. Si ottiene un’equazione lineare.

Per rispondere al secondo quesito si può applicare il teorema di Carnot.

Risposta: 2cos3sen xx ; 6x ; 2

7rAM

Problema n. 17 ()

Determinare gli angoli di un triangolo ABC sapendo che BCACAB ˆ2ˆ e che

ACBC 32 (porre xBCA ˆ )

Nota

Per rispondere alla domanda è necessario applicare il teorema dei seni, le relazioni tra angoli correlati (supplementari) e le formule di addizione. Si ottiene un’equazione di secondo grado nel coseno (una delle due soluzioni deve essere scartata in base ad adeguate considerazioni).

Risposta: 03cos4cos34 2 xx ; 6x

Problema n. 18 ()

È dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, di cui si conoscono: aAB 10 e

257ˆcos CAB . Determinare il perimetro e l’area del triangolo. Detto poi M il punto

medio di AB, determinare CM , ACM ˆsen e CMB ˆcos .

Nota

Per rispondere alle domande è necessario applicare il teorema di Carnot, il teorema dei seni e la prima relazione fondamentale (notando che CAB ˆ è sicuramente acuto).

Risposta: ap 322 ; 248aS ; 97aCM ; 975

24ˆsen ACM ;

975

11ˆcos CMB .




Problema n. 19 ()

In una circonferenza di raggio r è data la corda AB di lunghezza 3r . Condurre per A

due semirette che formino con AB angoli uguali e tali che, indicate con C e D le loro intersezioni con la circonferenza data (indicare con C quella posta sul più piccolo dei

due archi AB), il perimetro del quadrilatero ACBD sia rp 52 (porre xBAC ˆ ).

Nota

Per rispondere alla domanda è necessario applicare il teorema della corda, le proprietà degli angoli supplementari e le formule di addizione. Si ottiene un’equazione lineare che ammette due soluzioni, di cui una deve essere scartata in quanto incompatibile (il massimo valore ammissibile per x è 3 ).

Risposta: 0 3x , rxx 5cos32sen4 ; 6322

tan xx

;

eaccettabilnon 13

3314

2tan

x

Problema n. 20 ()

È dato un triangolo isoscele ABC, la cui base BC misura 3a e tale che 43ˆcos CBA .

Sia D il punto della base tale che BCBD3

1 . Determinare un punto P internamente

al lato AB in modo che, detta E la sua proiezione sulla retta AC, sia verificata la

relazione 2222

63

32aPEPD (porre xBP ).

Nota

Il problema può essere risolto utilizzando il teorema di Carnot, le proprietà dell’angolo esterno di un triangolo e le formule di duplicazione. Si ottiene un’equazione di secondo grado (una soluzione dovrà poi essere scartata a causa

delle richieste del problema). Notare che l’angolo CAB ˆ è ottuso.

Risposta: 0273 22 aaxx ; 3axBP .

Problema n. 21 ()

Nel triangolo isoscele ABC si ha 32ˆ CAB e 2 ACAB . Preso un punto P

sulla base BC, si determini l’ampiezza x dell’angolo CAP ˆ in modo che la somma delle distanze di P dai vertici A e C sia uguale alla distanza di P dal vertice B.

Nota

Per rispondere alla domanda è necessario applicare il teorema dei seni, le proprietà degli angoli correlati (supplementari) e le formule di addizione. Si ottiene un’equazione lineare.

Risposta: 1cos3sen xx ; 6x .




Problema n. 22 ()

È dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, di cui si conoscono: aAB 10 e

257ˆcos CAB . Determinare il perimetro e l’area del triangolo. Detto poi M il punto

medio di AB, determinare CM e ˆsin MCA .

Nota

Per rispondere alle domande è necessario applicare il teorema di Carnot, il teorema dei seni e la prima relazione fondamentale.

Risposta: ap 322 ; 248aS ; 97aCM ; 24ˆsin

5 97MCA .

Problema n. 23 ()

Determinare gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sapendo che l’altezza relativa

all’ipotenusa misura a e che la mediana relativa ad un cateto misura 2

5a (indicare

con x l’ampiezza di uno dei due angoli acuti).

Nota

Per rispondere alla domanda è necessario applicare il teorema di Carnot e le relazioni caratteristiche dei triangoli rettangoli.

Esprimere, in funzione del valore di x e della misura dell’altezza, le lunghezze del cateto adiacente all’angolo prescelto e dell’ipotenusa; successivamente determinare l’ampiezza dell’angolo sfruttando la mediana (teorema di Carnot). Si ottiene un’equazione biquadratica.

Risposta: 01sen7sen10 24 xx ; 5

1arcsen4 xx

Problema n. 24 ()

Nel triangolo isoscele ABC gli angoli adiacenti alla base BC, lunga 32 , hanno ampiezza pari a 6 . Costruita la semicirconferenza di diametro AC che interseca in

H il lato BC, si consideri il punto P sull’arco AH della semicirconferenza. Determinare

l’ampiezza dell’angolo xPCA ˆ , in modo che sia verificata la relazione

341022

PBAP

Nota

Per rispondere alla domanda è necessario ricordare le proprietà dei triangoli inscritti in una semicirconferenza, applicare il teorema dei seni (non indispensabile), il teorema di Carnot e le formule di addizione. Si ottiene un’equazione di secondo grado riconducibile a omogenea (i calcoli sono piuttosto lunghi).

Risposta: 0cos323cossen32sen323 22 xxxx ;

1232tan xx




Problema n. 25 ()

Nel triangolo isoscele ABC si conoscono le misure del lato BC e della mediana AD:

aBC e aAD 63 . Si sa inoltre che 3

ˆˆ BCACBA . Determinare gli angoli del

triangolo e le misure delle altre due mediane BE e CF (porre xCBA ˆ ).

Nota

Per rispondere alla domanda è necessario applicare il teorema dei seni, il teorema di Carnot e le formule di sottrazione. Si ottiene un’equazione di secondo grado riconducibile a omogenea (i algebrici calcoli sono piuttosto lunghi).

Risposta: 0coscossen32sen3 22 xxxx ; 63

1tan xx ;

6ˆ CBA ; 6ˆ BCA ; 32ˆ CAB ; 621 BFBE

Problema n. 26 ()

Nel triangolo ABC si ha 6ˆ CAB , 135 AB , 25BC . Determinare le

ampiezze degli angoli interni e la lunghezza del lato AC.

Nota

Per rispondere alla domanda, dopo aver verificato che sono possibili due soluzioni distinte ( BCA ˆ ottuso oppure acuto) è necessario applicare ripetutamente il teorema dei seni e le proprietà degli angoli interni di un triangolo.

Risposta: 1) 127 ; 4

6x ; 10AC , 2) 125 ; 12

5 6x ;

135 AC .


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