Liceo Carducci Volterra - Classi 1A, 1B Scientico - Francesco Daddi - 27 aprile 2009

Soluzioni esercizi (problemi in una incognita)

Esercizio 1. Un padre ha 32 anni, il glio 5. Dopo quanti anni leta` del padre sara` 10 volte maggioredi quella del glio? Si interpreti il risultato ottenuto.Soluzione. Indichiamo con x il numero degli anni che dobbiamo aspettare anche leta` del padre sia10 volte maggiore di quella del glio; tra x anni leta` del padre sara` 32+x, mentre quella del glio sara`5+ x. Lequazione e` 32+ x = 10(5+ x) e quindi troviamo x = 2. Che senso ha un numero negativo?La soluzione va interpretata riferendoci al passato: due anni fa leta` del padre era 10 volte maggioredi quella del glio (infatti 2 anni fa il padre aveva 30 anni mentre il glio ne aveva 3).

Esercizio 2. Trova due numeri sapendo che la loro somma e` 72 e che uno di essi e`5

3dellaltro.

Soluzione. Indicando con x il numero maggiore, il numero minore e` 72x; lequazione e` x = 53(72x)

la cui soluzione risulta essere x = 45. In denitiva il numero maggiore e` 45, mentre il numero minore

e` 27 (ottenuto come 72 45 oppure come 35 45).

Esercizio 3. Trovare un numero che, sommato al suo triplo, da` 32.Soluzione. Indicato con x il numero da determinare, abbiamo: x + 3 x = 32 da cui x = 8.

Esercizio 4. Trovare un numero che, sommato alla sua meta` ed alla sua sesta parte, da` 50.

Soluzione. Indicato con x il numero da determinare, lequazione risulta essere: x +x

2+

x

6= 50.

Dallequazione ricaviamo x = 30.

Esercizio 5. Dividere il numero 576 in due parti tali che5

6della prima parte meno

3

4della seconda

parte sia uguale a 138.Soluzione. Indichiamo con x la prima parte del numero; la seconda parte e` 576 x. Lequazione e`5

6x 3

4(576 x) = 138; si trova x = 360 da cui 576 x = 216. La prima parte e` 360, mentre la

seconda parte e` 216.

Esercizio 6. Determina due numeri naturali consecutivi tali che la dierenza dei loro quadrati e` ugualea 49.Soluzione. Indicando con x il numero minore, il maggiore sara` x + 1; lequazione e` (x + 1)2 x2 = 49da cui: x2 + 2 x + 1 x2 = 49 e quindi x = 24. I due numeri, dunque, sono: 24 e 25.Esercizio 7. Trova tre numeri dispari consecutivi tali che la loro somma sia uguale a 87.Soluzione. Indicando con (2 x+1) il numero dispari centrale, gli altri dispari sono (2 x 1) e (2 x+3);lequazione e` (2 x 1) + (2 x + 1) + (2 x + 3) = 87 da cui 6 x + 3 = 87 e quindi x = 14. I tre numeridispari sono: (2 14 1) = 27, (2 14 + 1) = 29 e (2 14 + 3) = 31.Esercizio 8. Trova cinque numeri pari consecutivi tali che la loro somma sia uguale a 1000.Soluzione. Indicando con 2 x il numero pari centrale, gli altri pari sono: (2 x 4), (2 x 2), (2 x + 2)e (2 x+ 4). Lequazione risulta essere: (2 x 4) + (2 x 2) + 2 x+ (2 x + 2) + (2 x+ 4) = 1000 da cui10 x = 1000 e quindi x = 100. I quattro numeri, pertanto, sono: 196, 198, 200, 202, 204.

Esercizio 9. Trova due numeri dispari consecutivi tali che la dierenza dei loro cubi sia uguale a 218.Soluzione. Indicando con (2 x 1) e (2 x + 1) i due dispari consecutivi, lequazione risulta essere:(2 x + 1)3 (2 x 1)3 = 218 da cui 24 x2 + 2 = 218. Si trovano due soluzioni: x1 = 3 e x2 = 3. Conla prima troviamo i numeri (2 3 1) = 5 e (2 3 + 1) = 7, mentre con la seconda troviamo i numeri(2 (3) 1) = 7 e (2 (3) + 1) = 5.Osservazione. Di solito, se non diversamente specicato nel testo del problema, si suppone che inumeri da determinare siano positivi. Nel nostro caso specico abbiamo trovato, comunque, anche 7e 5: si osservi che risulta: (5)3 (7)3 = 218.

1

Esercizio 10. Trova un numero tale che: se diviso per 3 da` resto 2; se calcoliamo la dierenza tra ilquadrato del numero stesso e il quadrato del precedente otteniamo 111.Soluzione. Non e` conveniente indicare con x il numero da determinare; e` opportuno, invece scrivereil numero da trovare nel modo seguente: (3x + 2). Osservato che il numero precedente e` (3 x + 1),lequazione risulta essere la seguente: (3 x+2)2 (3 x+1)2 = 111 da cui 6 x+3 = 111 e quindi x = 18.Il numero cercato non e` 18, ma bens` (3 18 + 2) = 56.Esercizio 11. La dierenza di due numeri e` 20, il loro quoziente e` 3. Trova i due numeri.Soluzione. Indicando con x il numero piu` piccolo, il numero maggiore e` 3 x; lequazione risulta essere:3 x x = 20 da cui x = 10. I due numero cercati sono, dunque, 10 e 30.Esercizio 12. In un cortile ci sono dei polli e degli agnelli che hanno in tutto 47 teste e 120 zampe.Trovare il numero dei polli e degli agnelli.Soluzione. Indicando con x il numero dei polli, il numero degli agnelli e` 47 x; poiche ogni pollo hadue zampe e ogni agnello ne ha quattro, lequazione e` 2 x+4(47 x) = 120 da cui x = 34. I polli sono34 e gli agnelli 13.

Esercizio 13. In un numero di due cifre la somma di esse e` 7; scrivendo le cifre in ordine inverso, siottiene un numero che e` il doppio del numero dato aumentato di 2. Trovare il numero.Soluzione. Indicando quindi con x la cifra delle decine, la cifra delle unita` e` uguale a (7x); il numeropuo` essere scritto nel modo seguente: 1 (7 x) + 10 (x); il numero che si ottiene scambiando le cifre,invece, risulta essere: 1 (x) + 10 (7 x). Scriviamo ora lequazione:

1 (x) + 10 (7 x) = 2[1 (7 x) + 10 (x)]+ 2da cui x = 2 e quindi 7 x = 5. Il numero, pertanto e` 1 5 + 10 2 = 25.Esercizio 14. Uno studente compra 4 penne, 12 quaderni e 7 libri per un totale di 180 euro. Sapendoche un libro costa quanto 8 penne e che 16 quaderni costano quanto 5 libri, determinare il costo deisingoli oggetti.Soluzione. Indichiamo con x il prezzo di una penna; il costo di un libro e` 8 x, mentre il costo di un

quaderno e`5

16 (8 x) = 5

2x; lequazione, pertanto, e` la seguente: 4 x + 12

(5

2x

)+ 7 (8 x) = 180

da cui x = 2. Il costo di una penna e` 2 euro; il costo di un libro e` 16 euro; il costo di un quaderno e` 5euro.

Esercizio 15. Ad un certo punto del campionato la Fiorentina ha il doppio dei punti della Juventus elInter ha due terzi dei punti della Fiorentina. Sapendo che in totale i punti delle tre squadre sono 78,determinare i punti delle singole squadre.Soluzione. Indichiamo con x il numero dei punti della Juventus; il numero dei punti della Fiorentina e`2 x mentre il numero dei punti dellInter e` uguale a 2

3(2 x) = 4

3x. Lequazione e` 2 x + x + 2

3x = 78 da

cui ricaviamo x = 18. La Fiorentina ha 36 punti, lInter ne ha 24, inne la Juventus chiude a 18.

Esercizio 16. Per organizzare una gita collettiva, vengono attati due pulmini dello stesso modello,per i quali ciascun partecipante deve pagare 12 euro. Sui pulmini restano, in tutto, quattro posti liberi:se fossero stati occupati anche essi, ogni partecipante avrebbe risparmiato 1, 50 euro. Quanti posti visono su ogni pulmino?Soluzione. Indichiamo con x il numero dei posti su ogni pulmino; se fossero stati occupati al 100%entrambi i pulmini, il costo totale della gita sarebbe stato uguale a 2 x (12 1, 50) = 21 x. Poichevi sono, in tutto, quattro posti liberi, il costo totale e` (2 x 4) 12 = 24 x 48. Dal momento che ilcosto della gita resta invariato, per ottenere lequazione dobbiamo uguagliare le due quantita` scritte:21 x = 24 x 48 da cui x = 16.

2

Esercizio 17. Un rubinetto, se aperto, riempie una fontana in 5 ore; un altro rubinetto riempie lastessa fontana in 7 ore. Se vengono aperti contemporaneamente, quanto tempo ci vorra` per riempireun sesto della vasca?Soluzione. Poiche il primo rubinetto impiega 5 ore a riempire la fontana, in x ore avra` riempito i 1

5x

della fontana; lo stesso ragionamento, ovviamente, puo` essere fatto per il secondo rubinetto: in x oreha riempito i 1

7x della fontana. In x ore avranno riempito, insieme, i

(15x + 1

7x)della fontana, ovvero

i 1235

x della fontana. La fontana e` completamente riempita se risulta 1235

x = 1 e quindi x = 3512

ore; perriempire un sesto della fontana occorrono 1

6 3512

= 3572

ore, ovvero, 0, 4861 ore. Traduciamo il risultatoin minuti, ore, secondi: 0, 4861 ore = 0 ore, 29 minuti e 10 secondi.

Esercizio 18. Un mercante va ad una era e riesce a raddoppiarsi il proprio capitale e vi spende 500euro; ad una seconda era triplica il suo avere e spende 900 euro; ad una terza poi quadruplica il suodenaro e spende 1200 euro. Dopo cio` gli e` rimasto 800 euro. Quanto era allinizio il suo capitale?Soluzione. Indichiamo con x il capitale iniziale del mercante; dopo la prima era il capitale risultaessere uguale a 2 x 500; dopo la seconda era il capitale risulta 3 (2 x 500) 900 = 6 x 2400; dopola terza era il capitale risulta 4(6 x 2400) 1200 = 24 x 10800. Lequazione risulta, quindi, essere:24 x 10800 = 800 da cui x = 1450

3: il capitale iniziale ammontava a 483, 33 euro.

Esercizio 19. Lepitao di Diofanto. Viandante! Qui furono sepolti i resti di Diofanto. E inumeri possono mostrare, oh, miracolo! Quanto lunga fu la sua vita, la cui sesta parte costitu` la suafelice infanzia. Aveva trascorso ormai la dodicesima parte della sua vita, quando di peli si copr` la suaguancia. E la settima parte della sua esistenza trascorse in un matrimonio senza gli. Passo` ancoraun quinquennio e gli fu fonte di gioia la nascita del suo primogenito, che dono` il suo corpo, la sua bellaesistenza alla terra, la quale duro` solo la meta` di quella di suo padre. Il quale, con profondo dolorediscese nella sepoltura, essendo sopravvenuto solo quattro anni al proprio glio. Dimmi quanti annivisse Diofanto.

Soluzione. Indichiamo con x gli anni vissuti da Diofanto; lequazione risulta essere: x =x

6+

x

12+

x

7+

5 +x

2+ 4 ; si trova x = 84. Diofanto visse per 84 anni.

Esercizio 20. Policrate, tiranno di Samos, domanda a Pitagora il numero dei suoi allievi. Pitagorarisponde che: la meta` studia le belle scienze matematiche; leterna Natura e` loggetto dei lavori di unquarto; un settimo si esercita al silenzio e alla meditazione; vi sono inoltre tre donne. Quanti allieviaveva Pitagora?

Soluzione. Indichiamo con x il numero degli allievi di Pitagora; lequazione e`: x =x

2+

x

4+

x

7+ 3 ; si

trova x = 28. Gli allievi di Pitagora erano 28.

Esercizio 21. Antonello e Gianluigi hanno avuto dal padre lincarico di arare due campi, luno di formaquadrata, e laltro rettangolare. Io scelgo il campo quadrato - dice Antonello, - dato che il suo perimetroe` di 4 metri inferiore a quello dellaltro. Come vuoi! - commenta il fratello - Tanto, la supercie e`la stessa, dato che la lunghezza di quello rettangolare e` di 18 metri superiore alla larghezza. Qual e`lestensione di ciascun campo?Soluzione. Indichiamo con x la misura del lato minore del campo rettangolare di Gianluigi; il latomaggiore dello stesso campo e` x + 18; il perimetro risulta essere uguale a 2 x + 2(x + 18) = 4 x + 36.Dal momento che il campo quadrato di Antonello ha perimetro uguale a (4 x + 36) 4 = 4 x + 32,il lato e` 1

4 (4 x + 32) = x + 8. Poiche le due superci sono uguali, possiamo nalmente scrivere

lequazione: x (x + 18) = (x + 8)2 da cui x = 32 metri. Lestensione di ciascun campo e`, quindi, paria (32 + 8)2 = 1600 m2.

Esercizio 22. In un supermercato si vendono le uova in due diverse confezioni, che ne contengonorispettivamente 10 e 12. In un giorno e` stato venduto un numero di contenitori da 12 uova doppio diquelli da 10, per un totale di 544 uova. Quanti contenitori da 10 uova sono stati venduti?Soluzione. Indicato con x il numero di confezioni da 10 uova, abbiamo: 12 (2x) + 10 x = 544 da cuix = 16: sono stati venditi 16 contenitori da 10 uova.

3

Esercizio 23. Una ditta che produce asciugamani sostiene mensilmente delle spese sse pari a 4000euro. Per ogni asciugamano prodotto, messo in vendita a 12 euro, si spendono 4 euro di materie primee manodopera. Quanti asciugamani deve vendere la ditta mensilmente per pareggiare il bilancio?Soluzione. Indicato con x il numero di asciugamani che devono essere venduti, abbiamo: (12 4)x =4000 da cui x = 500.

Esercizio 24. Un uomo entro` in un orto nel quale vi erano tre giardini per fare provvista di arance.Ma per uscire dovette darne al primo guardiano la meta` piu` due, al secondo la meta` di quelle rimastepiu` due e poi al terzo guardiano la meta` delle rimaste piu` due. In tal modo resto` con una sola arancia.Quante ne aveva colte?Soluzione. Indichiamo con x il numero delle arance colte allinizio; dopo il primo guardiano restanox(x

2+ 2

)= x

22 arance; dopo il secondo guardiano restano x

22 [ 1

2 (x

2 2)+ 2] = x

43 arance;

dopo il terzo guardiano restano x4 3 [1

2 (x

4 3)+ 2] = x

8 7

2arance.

Lequazione, quindi, e` la seguente:x

8 7

2= 1

da cui x = 36 arance colte inizialmente.

Esercizio 25. Un grossista ha acquistato 120 bottiglie tra aceto e olio, pagando rispettivamente laceto0, 75 euro e lolio 3, 75 euro alla bottiglia. Avendo rotto tutte le bottiglie daceto, rivende a 4, 8 euroogni bottiglia di olio in modo da ripagarsi completamente per la spesa sostenuta. Quante bottiglie diaceto ha acquistato?Soluzione. Indicato con x il numero di bottiglie di aceto, il numero di bottiglie di olio e` pari, chiara-mente, a (120 x). Per acquistare tutte le bottiglie il grossista ha speso 0, 75 x+ 3, 75 (120 x) euro;dopo aver rotto tutte le bottiglie di aceto, ricava 4, 8 (120 x) euro dalla vendita di tutte le bottigliedi olio. Uguagliando la spesa inziale con il ricavo successivo, abbiamo:

0, 75 x+ 3, 75 (120 x) = 4, 8 (120 x)da cui x = 70 bottiglie di aceto.

Esercizio 26. Trovare un numero di due cifre sapendo che la cifra delle decine e` inferiore di 3 rispettoalla cifra delle unita` e sapendo che invertendo lordine delle cifre e si sottrae il numero stesso, si ottiene27. Si interpreti il risultato.Soluzione. Indicando con x la cifra delle decine, la cifra delle unita` e` (x+ 3); il numero puo`, pertanto,essere scritto cos`: 1 (x + 3) + 10 x; il numero che si ottiene scambiando lordine delle cifre e`1 x + 10 (x + 3). Calcolando la dierenza tra i due numeri arriviamo allequazione:

1 x + 10 (x + 3) [1 (x + 3) + 10 x] = 27da cui 27 = 27. Abbiamo ottenuto unidentita`. Non ce` un unico numero che risolve il problema, mavi sono piu` soluzioni: 14, 25, 36, 47, 58, 69.

Esercizio 27. Al cinema Matematico hanno deciso di aumentare il biglietto del 10%; il numero deglispettatori e` calato, pero`, del 10%. E stato un aare?Soluzione. Indichiamo con c il costo del biglietto e con n il numero degli spettatori prima dellaumentodel costo del biglietto; lincasso totale e` uguale, ovviamente, a c n. Dopo laumento, il biglietto costa1, 1 c e gli spettatori sono 0, 9 n: lincasso totale e` uguale, quindi, a (1, 1 c) (0, 9 n) = 0, 99 c n ;lincasso e` stato inferiore dell1% rispetto a prima. Non e` stato, quindi, un aare ne per il cinema neper gli spettatori.

Esercizio 28. A mezzogiorno le lancette dei minuti e delle ore sono sovrapposte. Quando saranno dinuovo sovrapposte?Soluzione. Indicato con x il tempo in ore, la lancetta delle ore ha percorso 30 x gradi, mentre quelladei minuti ha percorso 360 x gradi (osserviamo che la lancetta dei minuti e` 12 volte piu` veloce diquella delle ore). Poiche dopo un giro completo la lancetta dei minuti si trova a (360 x 360) gradi,lequazione da risolvere e` la seguente: 30 x = 360 x 360 da cui x = 12

11ore. Traduciamo il risultato in

ore, minuti, secondi: 1211

ore = 1 ora , 5 minuti, 27 secondi (circa).

4