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Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple

para carreteras en Cuba

Thesis · January 2018

DOI: 10.13140/RG.2.2.11644.64640

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Tecnología de los pavimentos flexibles. Desarrollo de materiales y de métodos para su dimensionamiento, evaluación y conservación. View project

Félix Michael Hernández López

Universidad Tecnológica de la Habana, José Antonio Echeverría

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Procedimiento para el diseño por fatiga de

pavimentos de hormigón simple para

carreteras en Cuba

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas (UCLV) Facultad de Construcciones

Departamento de Ingeniería Civil

Universidad Tecnológica de La Habana José Antonio Echeverría (CUJAE)

Facultad de Ingeniería Civil Departamento de Viales.

La Habana, Cuba

-2016-

Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Técnicas

Félix Michael Hernández López

Procedimiento para el diseño por fatiga de

pavimentos de hormigón simple para

carreteras en Cuba

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas (UCLV) Facultad de Construcciones

Departamento de Ingeniería Civil

Universidad Tecnológica de La Habana José Antonio Echeverría (CUJAE)

Facultad de Ingeniería Civil Departamento de Viales.

Autor: MSc. Ing. Félix Michael Hernández López

Tutores:

Dr. Ing. Eduardo Tejeda Piusseaut

Dr. Ing. Carlos Alexander Recarey Morfa

La Habana, Cuba

-2016-

Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Técnicas

Dedico esta tesis a mi querida y bella hija de la

cual pretendo ser su paradigma.

Agradecimientos

Quisiera brindar mis más profundos agradecimientos a un grupo de personas que me han apoyado

durante este largo y difícil camino de la investigación:

A mis padres que siempre me han regalado todo su amor, comprensión y muchísimo tiempo,

mostrándome los verdaderos senderos que rigen una conducta ejemplar.

A mis abuelos que hicieron de mí el hombre que soy y a los que pretendo hacer sentir orgullosos toda

la vida.

A mi hermana, la cual está siguiendo este camino convirtiéndose en el orgullo de todos.

A mi amada novia Maray por siempre estar a mi lado, por brindarme su amor, teniendo paciencia y

comprensión durante esas eternas tardes y noches.

A mi tutores y amigos Dr. Eduardo Tejeda Piusseaut y Dr. Carlos Alexander Recarey Morfa, los cuales

me han alumbrado el angosto pero bello camino de la ciencia, sin ellos a mi lado esta investigación

no pudiera haberse realizado.

A mis vecinos y hermanos Coqui y Ale por sus buenos consejos y apoyo incondicional.

A mis suegros que son tan serviciales y atentos, pudiendo contar con ellos en todo momento.

A mis compañeros del Departamento de Viales en especial a los del Grupo de Pavimentos y

Explanaciones Viales (GiPavExp) de la CUJAE.

A mis compañeros de vuelo Jenny, Serguei, José, Milena, Amauris, David, Pavel, Casanella, Michael

y tantos otros que compartieron las aulas y las fiestas junto a mí en el Doctorado Curricular.

A todas aquellas personas que laboran en el Centro de Métodos Numéricos (Planetario) que me

apoyaron en todas las tareas que se me presentaban.

A mis diplomantes que con su labor contribuyeron a la realización de muchos de los trabajos presentes

en la investigación.

Finalmente, agradecer a La Universidad Tecnológica de La Habana (CUJAE) por haberme formado

como ingeniero y a mi otra casa de estudios que es la Universidad Central de “Marta Abreu” de Las

Villas (UCLV) por formarme como científico.

Síntesis

SÍNTESIS

El trabajo tiene como objetivo principal elaborar un procedimiento que permita diseñar pavimentos de

hormigón simple siguiendo el criterio de fatiga y considerando las condiciones de materiales y

solicitaciones de Cuba. Se identifican los factores fundamentales para la modelación y diseño de estos

pavimentos, haciendo énfasis en los modelos de comportamiento a fatiga, cuya ley empírica determina

el número de repeticiones admisibles en la losa como función de la relación entre la tensión en el borde

debido a las cargas y el módulo de rotura del hormigón. La simulación numérica combinada con

experimentación se emplea como herramienta para evaluar el comportamiento. Definidos los modelos

numéricos, se realiza un análisis de influencia para seleccionar el factor predominante y analizar las

posibles condiciones de diseño en Cuba. Como resultado novedoso, se proponen gráficos y tablas que

facilitan el trabajo de los diseñadores, con un modelo probabilístico que permite determinar el número

de repeticiones admisibles, donde se introduce la confiabilidad como un factor en el diseño. Finalmente,

se propone el procedimiento para el diseño y revisión siguiendo el criterio de fatiga, y se aplica a un

proyecto ya ejecutado, como caso de estudio, para comparar sus resultados con la solución dada en el

proyecto, que fue diseñado con el método de la Portland Cement Association (PCA), demostrándose

que con el método propuesto se pueden obtener menores espesores de losa, lo que implica reducción

en los costos de construcción.

ÍNDICE

ÍNDICE DE CONTENIDO

Introducción ............................................................................................................................................1

1 Capítulo I: Estado del conocimiento sobre diseño y modelación computacional de

pavimentos de hormigón simple ......................................................................................................... 10

1.1 Introducción ......................................................................................................................... 10

1.2 Factores de diseño .............................................................................................................. 10

1.2.1 Características geométricas ........................................................................................................... 10

1.2.2 Tránsito .......................................................................................................................................... 12

1.2.3 Materiales del sistema ................................................................................................................... 17

1.2.4 Factores medioambientales .......................................................................................................... 22

1.3 Período de Análisis. ............................................................................................................ 23

1.4 Principales mecanismos de fallas en pavimento de hormigón simple ........................... 23

1.4.1 Pérdida del cimiento por erosión .................................................................................................. 23

1.4.2 Agrietamiento transversal (fatiga) ................................................................................................. 25

1.5 Métodos de diseño .............................................................................................................. 25

1.6 Probabilidad en el diseño ................................................................................................... 28

1.7 Concepción general de la modelación .............................................................................. 28

1.8 Modelos de respuestas para pavimentos rígidos ............................................................. 30

1.8.1 Soluciones analíticas ...................................................................................................................... 30

1.8.2 Soluciones numéricas .................................................................................................................... 36

1.9 Modelos de comportamiento .............................................................................................. 39

1.9.1 Estudio del fenómeno de fatiga en el hormigón ........................................................................... 39

1.10 Conclusiones parciales ...................................................................................................... 44

2 Consideraciones generales sobre la modelación numérica de los factores para determinar

la relación de tensiones (RT) ............................................................................................................... 47

2.1 Introducción ......................................................................................................................... 47

2.2 Modelación en 3D del sistema de pavimento para el cálculo de tensiones en el

borde 48

2.2.1 Modelación de la geometría .......................................................................................................... 48

2.2.2 Modelo del material ...................................................................................................................... 49

ÍNDICE

2.2.3 Modelo representativo de la carga ............................................................................................... 49

2.2.4 Relación de interacciones entre elementos .................................................................................. 50

2.2.5 Modelo de condiciones de contorno ............................................................................................. 51

2.2.6 Calibración y validación del sistema de pavimentos ..................................................................... 51

2.2.7 Simplificaciones en el dominio ...................................................................................................... 55

2.2.8 Validación y estudio comparativo del ensayo numérico definitivo con los modelos de

Westergaard y el EverFE .............................................................................................................................. 57

2.3 Modelo axial-simétrico para determinar el módulo del conjunto en el cimiento ........... 58

2.3.1 Modelo geométrico del ensayo de placa ....................................................................................... 58

2.3.2 Modelo representativo de la carga ............................................................................................... 59

2.3.3 Modelación de los materiales componentes ................................................................................ 59

2.3.4 Mallado y calibración matemática del modelo. ............................................................................ 60

2.4 Modelación numérica del ensayo de módulo de rotura (MR) del hormigón ................... 62

2.4.1 Modelo geométrico ....................................................................................................................... 63

2.4.2 Modelo de cargas y condiciones de contorno ............................................................................... 63

2.4.3 Modelo de interacciones ............................................................................................................... 64

2.4.4 Modelos constitutivos de los materiales componentes del sistema ............................................. 64

2.4.5 Calibración matemática ................................................................................................................. 66

2.4.6 Calibración física y validación de los resultados ............................................................................ 67

2.5 Conclusiones parciales ...................................................................................................... 69

3 Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las

condiciones de Cuba ............................................................................................................................ 71

3.1 Introducción ......................................................................................................................... 71

3.2 Tensiones de trabajo para el cálculo de fatiga en las condiciones de Cuba ................. 71

3.2.1 Geometría de la losa. ..................................................................................................................... 71

3.2.2 Materiales del sistema ................................................................................................................... 72

3.2.3 Calidad del cimiento ...................................................................................................................... 74

3.2.4 Colocación de una subbase granular no aglomerada .................................................................... 75

3.2.5 Análisis del tráfico. ......................................................................................................................... 77

3.2.6 Tensiones equivalentes ................................................................................................................. 80

3.3 Relación entre el módulo de rotura y resistencia a compresión empleando simulación

estocástica ........................................................................................................................................ 81

3.3.1 Estudios de influencia .................................................................................................................... 82

3.3.2 Relación entre módulos de roturas y resistencia a compresión .................................................... 84

ÍNDICE

3.4 Modelo probabilístico para la determinación del número de repeticiones permisibles

por fatiga en un pavimento de hormigón simple ........................................................................... 88

3.5 Conclusiones parciales del capítulo .................................................................................. 94

4 Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las

condiciones de Cuba ............................................................................................................................ 95

4.1 Introducción ......................................................................................................................... 95

4.2 Análisis del tráfico ............................................................................................................... 96

4.2.1 Determinación del número de vehículos pesados por el carril de diseño en el período de diseño

(NTVP) 96

4.2.2 Determinación del espectro de cargas .......................................................................................... 98

4.3 Materiales del sistema ...................................................................................................... 100

4.3.1 Resistencia del cimiento .............................................................................................................. 100

4.4 Determinación del comportamiento a fatiga de la losa de pavimento .......................... 101

4.5 Aplicación del procedimiento a un caso de estudio: autopista Este-Oeste ................. 103

4.5.1 Análisis del tráfico ........................................................................................................................ 104

4.5.2 Resistencia de los materiales ....................................................................................................... 106

4.5.3 Determinación del número de ejes admisibles por fatiga de la estructura (N) y la fatiga

consumida en cada escalón por la PCA y por el método propuesto ......................................................... 106

4.6 Conclusiones parciales .................................................................................................... 108

Conclusiones ...................................................................................................................................... 109

Recomendaciones .............................................................................................................................. 111

Referencias bibliográficas ................................................................................................................. 112

ÍNDICE

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Factor de equivalencia del esfuerzo en el borde en función del porcentaje de camiones que

circulan en el borde del carril (PCA, 1984). ............................................................................................ 13

Figura 1.2 Posiciones definidas como críticas por la literatura internacional. ........................................ 13

Figura 1.3 Configuraciones de ejes establecidas para las condiciones de Cuba por la (NC-334, 2004).

................................................................................................................................................................ 14

Figura 1.4. Dimensiones tomadas en cuenta en los ejes de cálculo. ..................................................... 14

Figura 1.5 Relación entre presión de contacto y presión de la rueda. ................................................... 16

Figura 1.6 Dimensiones del área de contacto, a) para una huella elíptica, b) para una huella cuadrada.

................................................................................................................................................................ 16

Figura 1.7 Representación del área equivalente para el cálculo de tensiones en pavimentos rígidos. .. 17

Figura 1.8 Esquema representativo de la hidromecánica del bombeo. .................................................. 24

Figura 1.9. Esquema general sobre la concepción de la modelación .................................................... 29

Figura 1.10 Esquema de análisis y posiciones de la carga estudiadas por Westergaard en su modelo

clásico de respuesta. .............................................................................................................................. 31

Figura 1.11 Esquema de análisis representativo del modelo de Hogg .................................................. 34

Figura 1.12 Esquema de análisis representativo del modelo de Burmister. ........................................... 34

Figura 2.1 Representación de las variantes posibles de un sistema de pavimentos. a) sin paseo de

hormigón, b) con paseo de hormigón. .................................................................................................... 48

Figura 2.2 Características geométricas del modelo numérico. ............................................................... 49

Figura 2.3 Dimensiones de los ejes de cálculo (m). ............................................................................... 50

Figura 2.4 Esquema de las dos variantes con sus condiciones de contorno y restricciones. ................ 51

Figura 2.5 Esquema representativo del diseño factorial y su variable de control. .................................. 53

Figura 2.6 Modelo empleado para la calibración numérica. ................................................................... 53

Figura 2.7 Influencia de las combinaciones de tamaño tanto en la vertical como la horizontal. ............. 54

Figura 2.8 a) Comportamiento del error en función del tamaño de la malla en la vertical. b)

Comportamiento del tiempo de cómputo con el incremento en la densidad de malla vertical. ............... 54

Figura 2.9 Influencia de la profundidad del cimiento en el desplazamiento. .......................................... 55

Figura 2.10 Modelos a comparar en el análisis de simplificación geométrica. ....................................... 56

Figura 2.11 a) Comportamiento de las tensiones en ambos modelos para distintas longitudes de losas.

b) Error que se puede cometer en una solución con respecto a la otra. ................................................. 56

Figura 2.12 Influencia del espesor sobre las tensiones empleando distintos métodos. ......................... 57

Figura 2.13 Esquema del modelo axial-simétrico. .................................................................................. 59

ÍNDICE

Figura 2.14 Representación del modelo teórico de una placa rígida en el pavimento. .......................... 59

Figura 2.15 a) Comportamiento de la densidad de malla vs variable respuesta. b) Error relativo

respecto a la solución analítica. .............................................................................................................. 60

Figura 2.16 Calibración física del ensayo de placa. a) Diseño factorial, b) Superficie respuesta y c)

Valores aproximado de los módulos de las capas a partir de la respuesta experimental. ...................... 62

Figura 2.17 Comparación de los resultados del modelo numérico sin calibrar y el calibrado con el

experimento. ........................................................................................................................................... 62

Figura 2.18 Representación geométrica de los ensayos realizados por (Cervo, 2004). ........................ 63

Figura 2.19 Condiciones de contorno del modelo. ................................................................................. 64

Figura 2.20 Relaciones de contacto rodillo-viga de hormigón ................................................................ 64

Figura 2.21 Curvas de comportamiento del hormigón. .......................................................................... 65

Figura 2.22 Tipologías de elementos de la biblioteca de ABAQUS/CAE. .............................................. 66

Figura 2.23 Mallado con distintos tipos de elementos finitos. ................................................................ 66

Figura 2.24 Resultado del módulo de rotura para los tres puntos. ......................................................... 68

Figura 3.1 Resultado de las tensiones en función de la rectangularidad. .............................................. 72

Figura 3.2 Influencia de la calidad de hormigón en las tensiones que se generan en la losa, en el

intervalo de resistencia de 20 a 35 MPa ................................................................................................. 73

Figura 3.3. Influencia del Módulo Resiliente en la tensión para varios espesores de losa. .................... 74

Figura 3.4 Nomograma para estimar el módulo resiliente en la superficie. ............................................ 77

Figura 3.5 Influencia de los parámetros sobre el factor de ajuste por carga; a) Influencia del espesor de

losa, b) influencia del módulo resiliente del cimiento. ............................................................................. 78

Figura 3.6 Factor de ajuste por efecto de la carga para eje simple y tándem. ....................................... 79

Figura 3.7 Resultados del estudio posición del vehículo respecto a los bordes realizados en varias vías

de La Habana. ........................................................................................................................................ 80

Figura 3.8 Comportamiento numérico del ensayo NC-245 con el cambio en su resistencia a

compresión. ............................................................................................................................................ 82

Figura 3.9 Recomendaciones para el dimensionamiento de las probetas.(NC-245, 2003). ................... 83

Figura 3.10 Comportamiento numérico del ensayo NC-245 con el cambio en las dimensiones del

espécimen. ............................................................................................................................................. 84

Figura 3.11 Resultados del estudio determinista. .................................................................................. 85

Figura 3.12 Gráficos de Resistencias a compresión generadas vs módulos de roturas obtenidos a partir

de simulación numérica. ......................................................................................................................... 86

Figura 3.13 Resultado de la regresión realizada a los datos agrupados. a) Ecuación 3.3 y b) Ecuación

potencia de mejor ajuste. ........................................................................................................................ 87

ÍNDICE

Figura 3.14 Gráfica comparativa del resultado obtenido en la investigación con expresiones empleadas

en la bibliografía. ..................................................................................................................................... 87

Figura 3.15 Representación de las leyes de fallas agrupadas para el estudio. ...................................... 89

Figura 3.16 Resultados de las funciones teóricas linealizadas con sus respectivas medidas de ajuste.

................................................................................................................................................................ 90

Figura 3.17 Curvas de supervivencia acumulada para cada relación de esfuerzos ............................... 91

Figura 3.18 Superficie respuesta resultante de combinar relación de esfuerzo, número de repeticiones

de carga y probabilidad de fallo. ............................................................................................................. 91

Figura 3.19 Estimación de los coeficientes y resultado de la regresión empleando el modelo

seleccionado. .......................................................................................................................................... 92

Figura 3.20 Comparación del modelo propuesto con otras leyes obtenidas de la revisión bibliográfica 93

Figura 3.21 a). Representación del modelo propuesto para distintos niveles de probabilidad de fallo.

b). Correspondencia del modelo de la PCA 1984 con determinado nivel de probabilidad. ..................... 93

Figura 4.1 Flujograma propuesto para el cálculo de espesores en losas por fatiga. .............................. 95

ÍNDICE

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1.1 Dimensiones de los ejes de cálculo utilizados por diferentes autores e instituciones. ............ 14

Tabla 1.2 Correlaciones entre la resistencia compresión y el módulo de elasticidad del hormigón, según

AAHSTO 1993. ....................................................................................................................................... 21

Tabla 1.3 Resistencia a tracción indirecta o módulo de rotura del hormigón según varios enfoques. .... 22

Tabla 2.1 Dimensiones del área de contacto equivalente. ..................................................................... 50

Tabla 2.2 Propiedades elásticas de los suelos estimadas para los suelos de los experimentos

numéricos. .............................................................................................................................................. 60

Tabla 2.3 Propiedades del hormigón en la etapa elástica. ..................................................................... 65

Tabla 2.4 Propiedades del hormigón en la etapa plástica. ..................................................................... 65

Tabla 2.5 Resultados de la simulación virtual con diferentes tipos de elementos y densidades de malla.

................................................................................................................................................................ 67

Tabla 2.6 Resultado de las simulaciones realizadas a partir de la resistencia compresión .................... 68

Tabla 2.7 Validación de los resultados contrastados con los dos experimentos .................................... 69

Tabla 3.1 Estudio de la rectangularidad. ................................................................................................ 72

Tabla 3.2 Resultados de la influencia del parámetro resistencia a compresión (f´c). ............................. 73

Tabla 3.3 Resultados de la influencia del parámetro módulo elasticidad del conjunto. .......................... 74

Tabla 3.4 Intervalos de confianza del 95.0% para las estimaciones de los coeficientes. ....................... 76

Tabla 3.5 Intervalos de carga legal máxima por tipo de ejes de algunos países. ................................... 79

Tabla 3.6 Resumen del diseño multifactorial .......................................................................................... 81

Tabla 3.7 Tabla de tensiones equivales en las condiciones de Cuba. ................................................... 81

Tabla 3.8 Influencia de la resistencia a compresión del hormigón en la capacidad de carga de la viga.82

Tabla 3.9 Influencia del tamaño del espécimen en la capacidad de carga de la viga y su deflexión. ..... 83

Tabla 3.10 Resultados de las simulaciones para 20 MPa. ..................................................................... 86

Tabla 3.11Tabla de datos de los empleados para el estudio. ................................................................. 90

Tabla 4.1 Composición típica del tránsito para diferentes tipos de vías. ................................................ 97

Tabla 4.2 Porcentajes de carga por eje de los vehículos y pesos promedios por silueta (NC-334, 2004).

................................................................................................................................................................ 99

Tabla 4.3 Niveles de confiabilidad y porcentaje aceptable de losas fisuradas. .................................... 103

Tabla 4.4 Evaluación económica de los resultados de ambos procedimientos considerando solo el

costo de los materiales de la losa. ........................................................................................................ 108

Introducción

INTRODUCCIÓN

1

Introducción

La historia de las modernas técnicas de construcción de caminos y puentes tiene sus inicios alrededor

de 1850, con Tressaguet en Francia y John Metcalfe en el Reino Unido, quienes desarrollaron un método

de construcción basado en la colocación de piedras largas, limitadas por piedras de tamaño

progresivamente más pequeñas. Estos tipos de caminos, junto con otros realizados con piedras, grava

y arena, fueron diseñados para los bajos volúmenes y velocidades de los primeros vehículos, hasta que

el crecimiento de la industria automotriz, fue demandando mejores carreteras y caminos urbanos. El reto,

entonces, era buscar un material que resistiera pesadas cargas de manera eficiente y duradera, la

solución se tradujo en lo que ahora se llama construcción de caminos pavimentados, empleado por

primera vez por John Loundon MacAdam, a principios del siglo XIX. El estudio de los pavimentos ha

evolucionado favorablemente, existiendo en la actualidad todo el nivel de conocimiento y tecnología para

abarcar los aspectos relacionados con su diseño, construcción y rehabilitación.

El pavimento es una estructura integral formada por un conjunto de capas superpuestas, relativamente

horizontales, que se diseñan y construyen con materiales apropiados y debidamente compactados. Estas

estructuras estratificadas se apoyan sobre la subrasante de la vía y han de resistir satisfactoriamente los

esfuerzos que las cargas repetidas del tráfico durante el período para el cual fue proyectada. De forma

general los pavimentos se clasifican según (Huang, 2004) en cuatro tipos : flexibles, semirrígidos, rígidos

y articulados.

Los pavimentos rígidos, objeto de la presente investigación, están constituidos por losas de hormigón

hidráulico relativamente delgadas, apoyadas directamente sobre la subrasante o sobre una capa de

material seleccionado conocida como subbase. Debido a la alta rigidez que ofrece el hormigón permite

que la distribución de las presiones en el cimiento se produzca en una zona más amplia, provocando que

gran parte de las tensiones que se originan en la superficie sean disipadas a través de su espesor y que

a la subrasante solo llegue una pequeña fracción. Su losa requiere de elevada resistencia a la flexo-

tracción, así como una adecuada resistencia a la fatiga como resultado de la acción repetida de las

cargas inducidas por el tráfico. Su capacidad estructural y funcional radica en la resistencia de las losas,

por lo que las características de las capas inferiores tienen poca influencia en el diseño del espesor.

Los pavimentos rígidos según la American Concrete Pavement Association (ACPA) se pueden clasificar

en tres grupos teniendo en cuenta el espaciamiento entre juntas y la disposición del refuerzo en las losas:

Pavimento de hormigón reforzado:

Es característico de este tipo de pavimento tener largas losas y refuerzo ligero (refuerzo por temperatura).

Estas losas tienen tamaños con valores que oscilan entre 7.5 m y 9.0 m de longitud. En las juntas

INTRODUCCIÓN

2

transversales a la dirección del tráfico se colocan con fines constructivos barras lisas llamadas

“pasadores”, su función principal radica en trasmitir las cargas entre losas contiguas y no es considerado

como refuerzo en la estructura. El contenido de acero de estas losas oscila entre el 0.1~0.25 % del área

de la sección transversal en la dirección longitudinal. El refuerzo principal se ubica de manera que no

influya en el comportamiento a flexión de la misma, es decir, sobre el eje central de la losa. Se condiciona

su existencia para prevenir, controlar y mantener cerradas las grietas por cambios de temperatura y

humedad.

Pavimento de hormigón con refuerzo continuo:

Con este pavimento se suprimen las juntas transversales si se aumenta la cuantía de la armadura

longitudinal. Como elementos significativos resaltan: su alto contenido de acero en la armadura continua

longitudinal (0.4~0.8% del volumen en la dirección longitudinal), la presencia de poco acero transversal

colocado solo por cuestiones constructivas y la ausencia de juntas transversales, excepto juntas de

construcción. El refuerzo longitudinal tiene la función de controlar correctamente los espaciamientos entre

las fisuras que se producen en intervalos de 0.6~2.0 m, manteniéndolas cerradas. El elevado costo actual

del acero resta competitividad a esta técnica, convirtiéndola en la menos empleada internacionalmente.

Pavimento de hormigón simple:

Esta tipología, objeto de la presente investigación, consiste básicamente en una losa de hormigón

hidráulico sin refuerzo, con longitudes en el rango entre los 3,6 m y 7,0 m. En la sección transversal de

dos losas contiguas se encuentran los mecanismos de transferencia de carga, que resultan ser

elementos fundamentales del pavimento de hormigón simple, tienen la función de transmitir entre losas

los esfuerzos producidos por el tráfico, para evitar el fenómeno conocido como “bombeo”, que

desencadena escalonamientos y fracturas en los bordes de la losa. Para prevenir esto, existen dos tipos

de mecanismos de transferencia, el de “trabazón de agregados” y el “pasador”, ambos transfieren las

cargas de una losa a la otra y se conforman durante el proceso de construcción, pero se ejecutan de

manera distinta. En la junta longitudinal se colocan barras corrugadas adheridas a ambos lados

conocidas como “barras de amarre”, empleadas para mantener conectadas dos losas adyacentes,

brindándole integralidad al sistema de pavimento y un aporte considerable a su rigidez.

Los pavimentos de hormigón simple es la estructura más utilizada internacionalmente y presenta un

conjunto de ventajas que la convierte en una solución económicamente superior al resto de las tipologías

de pavimentos rígidos, además es capaz de competir en determinadas condiciones con otras estructuras

de pavimentos muy difundidas en el mundo como es el caso de la flexible (pavimento asfáltico). Entre

las principales ventajas que ofrece esta solución se pueden mencionar:

INTRODUCCIÓN

3

Presentan elevados costos de construcción, sin embargo, los costos de mantenimientos son ínfimos,

constituyendo una estructura que amortiza sus costos en poco tiempo.

La deflexión longitudinal y la textura en los pavimentos, constituyen un elemento importante en el

consumo de combustible de los vehículos. Los pavimentos rígidos son estructuras que ofrecen

grandes prestaciones en este sentido, debido a su rigidez y terminación superficial. Este factor incide

en la reducción del combustible y las emisiones de gases CO2.

Las superficies de hormigón tienen mayor capacidad de reflejar la luz, elemento que constituye a una

reducción del efecto “Isla de Calor” mejorando el confort en la vía, además de contribuir al ahorro de

energía por conceptos de iluminación.

En Cuba las carreteras y calles construidas con hormigón hidráulico representan el 12 % del total de las

vías pavimentadas, según una actualización en el año 2014 realizada por el Centro Nacional de Vialidad,

sin embargo, de ese por ciento la mayor parte lo constituyen vías de interés nacional y urbanas.

Durante la década de los años 50 del pasado siglo esta solución fue ampliamente utilizada, ya en el

período posterior a 1959, la necesidad de otras construcciones motivó que casi no se construyeran vías

con pavimentos rígidos, por un período de aproximadamente 20 años. Posteriormente, con el surgimiento

de la crisis energética y a su vez el incremento de la producción nacional de cemento, así como

situaciones surgidas en la política de conservación de carreteras y calles hicieron que los pavimentos de

hormigón hidráulico fuese una variante a analizar. Por eso, a finales de la década de los 80 del pasado

siglo, se diseñaron y construyeron varios pavimentos de hormigón hidráulico. Algunas de las principales

obras se reseñan a continuación.

Prolongación de la Avenida Carlos Manuel de Céspedes.

Ampliación de la Avenida de Rancho Boyeros.

Ampliación de la Vía Blanca.

Autopista Este – Oeste (Habana-Pinar del Río).

En los años 50 hasta los 90 se conoce a través de la experiencia, que la carencia de un documento

normativo para el diseño, condujo a la adopción del método de la Porland Cement Association (PCA) en

sus dos ediciones de 1934 y 1983. Este método tiene una base empírico-mecanicista y se basa en

suponer un espesor a partir de condiciones específicas de tráfico y materiales, para luego comprobar si

cumple simultáneamente con dos criterios, fatiga y erosión. El primero, se encarga de limitar las tensiones

para que la acción repetida de esta no cause el fallo por fatiga antes que concluya el período de diseño,

el segundo, controla las deflexiones en la zona de las juntas para que no se acelere el fenómeno de

pérdida del material en el cimiento por erosión. Los resultados aplicando esas normas fueron buenos,

INTRODUCCIÓN

4

pues hoy en día aún permanecen en servicio mucha de esas vías superando los 30 años de explotación,

sin embargo, se puede cuestionar la racionalidad de los diseños realizados con anterioridad, pues se

conoce que no se ajustan a las condiciones de tráfico, materiales y clima de Cuba.

Este cuestionamiento, unido a otros problemas originados por el empleo inconsistente de normas para

el diseño de pavimentos que no tienen en cuenta la acción repetida de las cargas (Ejemplo: empleo de

normas para pisos industriales) demuestran la actualidad del tema y la necesidad de su investigación

con el propósito de adaptar un procedimiento a las condiciones de Cuba.

Partiendo de los antecedentes que existen en Cuba con el empleo del método de la PCA, se decide

adaptar como punto de partida en la investigación, la manera en que este procedimiento resuelve el

diseño de espesores de hormigón, analizando el comportamiento a fatiga de la losa, con un enfoque

mecanicista, actualizando algunos criterios del método y adaptando las variables involucradas a las

condiciones de Cuba.

Problema de la investigación

¿Qué modificaciones deben hacerse al método de la Portland Cement Association (PCA) para que el

diseño por fatiga se ajuste a las condiciones de Cuba?

Objeto de la investigación

Modelación y diseño de pavimentos de hormigón simple.

Campo de la investigación

Evaluación de la fatiga consumida en pavimentos de hormigón simple para carreteras en Cuba.

Alcance

La investigación comprende el estudio de las variables que intervienen en la elaboración de un

procedimiento para evaluar el comportamiento a fatiga en pavimentos de hormigón simple ante la carga

de tráfico.

Hipótesis

La evaluación apropiada de los parámetros que intervienen en los diseños relativo a las cargas,

características del hormigón y calidad del cimiento, permiten obtener diseños racionales para los

pavimentos de hormigón simple, como resultado de la determinación de su respuesta estructural

mediante el empleo de técnicas numéricas.

INTRODUCCIÓN

5

Objetivo de la investigación

Elaborar un procedimiento para el diseño de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de

materiales y tráfico de Cuba, teniendo en cuenta el comportamiento a fatiga de la losa de hormigón, a

partir del empleo combinado de técnicas de experimentación, modelación numérica y estadística.

Objetivos específicos de la investigación

1. Emplear sistémicamente la “experimentación, modelación numérica y estadística” para establecer y

validar las técnicas de investigación, usadas para el estudio de pavimentos de hormigón simple en

las condiciones de Cuba.

2. Analizar la influencia de los factores de diseño en la respuesta estructural de las losas de hormigón,

mediante el empleo de un modelo numérico previamente calibrado y validado, para simular las

condiciones de trabajo de los pavimentos en Cuba.

3. Establecer un procedimiento para determinar el consumo de fatiga por la losa de hormigón, a través

de la relación entre repeticiones esperadas y admisibles teniendo en cuenta la probabilidad de fallo.

Para dar cumplimiento al objetivo general y a los objetivos específicos propuestos, se desarrollaron las

siguientes tareas científicas:

a) Búsqueda y revisión bibliográfica de aspectos relacionados con el diseño y modelación de

pavimentos de hormigón simple con el fin de analizar el estado del conocimiento de la temática en

los siguientes aspectos.

• Factores de diseño.

• Mecanismos de fallos de la estructura.

• Métodos de diseño.

• Modelos de respuesta y comportamiento.

• El fenómeno de la fatiga.

b) Selección, a partir del análisis crítico de la bibliografía, de un procedimiento a seguir como base para

la futura elaboración de la propuesta en la investigación.

c) Definir los modelos numéricos que intervienen en el estudio del comportamiento a fatiga de la

estructura.

d) Establecer y validar las técnicas de investigación: experimentación y modelación numérica

empleadas sistémicamente para el estudio de pavimentos de hormigón simple en las condiciones

de Cuba.

INTRODUCCIÓN

6

e) Caracterización y estudio de influencia de los parámetros de entrada del modelo en las condiciones

de Cuba.

f) Determinar una ley de falla que describa el comportamiento a fatiga del hormigón a partir de las

propuestas por los diversos autores incluyendo el enfoque de probabilidad en el diseño.

g) Confección de un procedimiento para el diseño de espesores en pavimentos de hormigón simple

siguiendo el criterio de fatiga.

Métodos de investigación

El método histórico lógico, fundamentalmente para la realización del estudio sobre la evolución de

los métodos de Modelación y Diseño de pavimentos de Hormigón.

El método de análisis-síntesis e inductivo deductivo, para la valoración de la experiencia

internacional en la modelación y diseño de pavimentos de hormigón.

La técnica de análisis documental, para el diagnóstico de la situación actual acerca de los

pavimentos de hormigón diseñados en Cuba.

El método de modelación en la simulación virtual de las losas y el terreno en correspondencia con

estudios experimentales a nivel internacional.

El método de experimentación a partir de la simulación virtual de pavimentos de hormigón, para

cuantificar las variables de respuesta, esencialmente las tensiones de flexo-tracción en la losa y el

desplazamiento, además del método de medición en la cuantificación de estas variables.

Métodos estadísticos, en el establecimiento de los nuevos modelos de pronóstico y de gráficos, que

sirvan como herramientas en el proceso de diseño de estas estructuras.

El método dialéctico materialista en toda la investigación.

Al concluir el presente trabajo se obtienen un conjunto de resultados que fortalecen el conocimiento

acerca del comportamiento de pavimentos de hormigón sujeto a las cargas de tráfico vehicular, los cuales

pueden ser considerados como novedad científica y aportes científicos relevantes. Entre ellos se

destacan:

Novedad científica

Empleo combinado de técnicas de experimentación, modelación numérica y estadística, para estudiar el

comportamiento de pavimentos rígidos en las condiciones de Cuba, como herramienta para la

elaboración de un procedimiento que evalúe el porcentaje de fatiga consumida por la losa de pavimento

de hormigón simple.

INTRODUCCIÓN

7

Aportes científicos

Empleo sistémico de la experimentación, modelación numérica y la estadística en la rama vial, para

el estudio del comportamiento de los pavimentos rígidos, con la finalidad de establecer un

procedimiento para diseñar pavimentos de hormigón simple sujetos a cargas de tráfico vehicular en

las condiciones cubanas.

Elaboración de un procedimiento de diseño en pavimentos de hormigón que se ajusta a las

condiciones de Cuba.

El trabajo se estructura de la siguiente forma:

Síntesis

Introducción

Capítulo I: Estado del conocimiento sobre la modelación y diseño de pavimentos de hormigón simple.

En este capítulo se realiza un análisis del estado del conocimiento en la temática, lo que posibilita

justificar el desarrollo de la investigación. En el mismo se exponen los antecedentes y estado actual

del tema referido al diseño y modelación en pavimentos de hormigón simple, haciéndose un análisis

crítico de la bibliografía y destacándose los fundamentos teóricos principales.

Capítulo II: Consideraciones generales sobre la modelación numérica de los factores para determinar

la relación de tensiones (RT).

Se tratan todos los aspectos relacionados con la modelación y simulación numérica de los factores

rotura del hormigón, para ello se emplea el software multipropósito ABAQUS/CAE.

Se estructura separando el análisis en tres modelos fundamentales.

Modelo 3D para el cálculo de las tensiones en el borde de la losa.

Modelo axial-simétrico para determinar el módulo del conjunto en el cimiento (caso particular en

que se emplea una subbase granular).

Modelo numérico del ensayo de módulo de rotura del hormigón.

Capítulo III: Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las

condiciones de Cuba.

En este capítulo se realiza un estudio de las variables en condiciones específicas de tráfico y

materiales, permitiendo que se puedan evaluar todos los posibles escenarios que aparezcan para un

diseño en Cuba. Primero, se realizan estudios de influencia de algunos de los principales factores, a

partir de aquí, se elaboran tablas que posteriormente serán empleadas en el procedimiento.

Finalmente, partiendo de realizar un estudio de múltiples leyes de fatiga provenientes de la

bibliografía, se propone un modelo probabilístico, para determinar el número de repeticiones que

conducen al fallo de la estructura por fatiga.

INTRODUCCIÓN

8

Capítulo IV: Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las

condiciones de Cuba.

Se presentan los resultados de la investigación, a partir de una metodología que posteriormente es

aplicada a un caso de estudio y comparada con la PCA (metodología que tiene antecedentes de

aplicación en Cuba en los años 90)

Conclusiones.

Recomendaciones.

Bibliografía.

Anexos.

Aprobación del trabajo

Publicaciones relacionadas con la investigación.

1. F. M. H. López and E. T. Piusseaut. (2015). Calibración matemática de un modelo computacional

tridimensional en un pavimento Rígido. Revista de la Asociación Española de carreteras, (No.199),

pp.79-86.

2. R. M. Martínez, E. T. Piusseaut and F. M. H. López. (2016). Estimación del módulo de elasticidad

equivalente a la superficie del conjunto de subbase y subrasante como cimiento para proyectos de

reciclado. Revista Técnica de la Asociasión Española de Carreteras (Aceptado para publicación).

Conferencias y eventos científicos

1. F. M. H. López. (2012). Modelación computacional tridimensional de un pavimento rígido con carga

aplicada en la cercanía del borde. Trabajo presentado en: 1er Congreso de Ingenieria Civil, La

Habana, Cuba.

2. F. M. H. López. (2014). Modelación computacional aplicada al diseño y revisión estructural de

pavimentos de hormigón simple. Trabajo presentado en: X Conferencia Científico Técnica de la

Construcción, La Habana, Cuba.

3. F. M. H. López, E. T. Piusseaut and M. S. Casas. (2014). Análisis tensional mediante modelación

computacional para el análisis del agrietamiento descendente en pavimentos de hormigón simple.

Trabajo presentado en: X Simposio de ingenería estructural, geotécnia y materiales de la

construcción, Villa Clara, Cuba.

4. E. T. Piusseaut and F. M. H. López. (2014). Recomendaciones a la Norma Cubana de diseño de

pavimentos flexibles a partir del análisis de la Guía de Diseño AASHTO 2002. Trabajo presentado en:

Simposio Internacional de Estructuras, Geotécnia y Materiales de la Construcción, Villa Clara, Cuba.

INTRODUCCIÓN

9

Monografías y generalizaciones

1. M. L. Dominguez, F. M. H. López and L. E. S. Rodríguez. (2012). Manual de deterioros en pavimentos

rígidos (Manual de Identificación). La Habana, Cuba. ISBN: 978-9-592-61415-4

2. F. M. H. López, E. T. Piusseaut, A. B. Herrera and L. E. S. Rodríguez. (2012). Estado del conocimiento

en la modelación de pavimentos rígidos (Modelos de Respuesta). La Habana, Cuba. ISBN: 978-9-

592-61415-4

Capítulo I

Revisión Bibliográfica Capítulo I

10

1 Capítulo I: Estado del conocimiento sobre diseño y modelación computacional

de pavimentos de hormigón simple

1.1 Introducción

La respuesta estructural de un pavimento de hormigón durante su vida útil depende de manera general

de las cargas, las condiciones de contorno, el espesor de sus capas, las propiedades de los materiales

del sistema y las condiciones medioambientales. El estudio de todas estas invariantes resulta de especial

importancia para el diseño y construcción de estas estructuras, por eso el principal objetivo de este

capítulo está en brindarle al lector cómo se encuentra el estado del conocimiento referido a esta temática,

resaltando de una manera crítica las principales tendencias en el campo del diseño y la modelación de

pavimentos de hormigón simple.

1.2 Factores de diseño

El diseño estructural de un pavimento es básicamente diferente al de otras estructuras, como puentes o

edificios, ya que el mismo descansa sobre el cimiento en toda su dimensión, atravesando variados

emplazamientos que representan diversidad en densidad, resistencia y humedad de los suelos; además

de encontrarse sometido a diversas configuraciones de cargas y condiciones medioambientales; por lo

cual estas variables deben ser caracterizadas de tal manera, que sean representativas de las condiciones

del tramo de vía para lograr un diseño racional.

Los factores de diseño pueden ser divididos en varias categorías según (Huang, 2004): características

geométricas, tránsito, materiales del sistema y medioambiente. Estos factores se describen a

continuación.

1.2.1 Características geométricas

Las losas en pavimento de hormigón simple son elementos de dimensiones finitas limitadas por juntas

longitudinales y transversales respecto a la dirección del tráfico. Las juntas longitudinales en un extremo,

brindan continuidad entre las losas contiguas de los carriles y en el otro con el paseo de hormigón, para

ello se colocan barras de acero corrugado, conocidas como “barras de amarre”. Por otro lado, las juntas

transversales cumplen el propósito de transmitir los esfuerzos de cortante producidos por el vehículo de

una losa a otra, funcionando como mecanismo de transferencia de carga, el cual se evalúa a partir del

término de eficiencia de transferencia de carga (ETC).

(%) 100

u

L

ETC (1.1)

Donde δL desplazamiento de la losa cargada yδU desplazamiento de la losa sin carga.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

11

El ETC caracteriza la operatividad de la junta a partir de cuantificar de una manera aproximada cuanto

esfuerzo se trasmite de una losa a la otra. (Fonseca, 2006; Londoño, 2005; Robert & Packard, 1985;

Rodríguez, 1998; Rodríguez, 1992) hacen referencia a dos mecanismos para transferir la carga, por

“trabazón de agregados” y “pasadores”.

La trabazón de agregados, es un mecanismo que emplea la fricción entre partículas de áridos para

transferir la carga. El coeficiente de fricción es afectado directamente por el uso de áridos ásperos y

angulosos en la mezcla de hormigón. Un incremento del coeficiente incrementa la eficiencia de

transferencia de carga. Sin embargo, la trabazón de agregados es menos efectiva, pues su desempeño

y función dependen del ancho de la junta transversal y el tráfico circulante.

Los pasadores, juegan un importante rol en las juntas transversales, particularmente cuando el pavimento

es de hormigón simple. Las barras son lisas y su diámetro es aproximadamente 1/8 del espesor de la

losa, con una longitud que varía de 35 a 46 cm (Darestani, Thambiratnam, Nata-atmadja, & Baweja,

2006). Este tipo de mecanismo transmite esfuerzos tanto de cortante como de momento flector, pero

para su trabajo debe permitir el libre movimiento horizontal de las losas, por lo cual una mitad del pasador

debe aislarse, a fin de evitar la adherencia con el hormigón que lo rodea.

En la sección típica de un pavimento, la berma o paseo como se conoce en Cuba, es una prolongación

del pavimento, cuya función es permitir a los vehículos el estacionamiento temporal a un costado de la

vía. En el caso particular de los pavimentos de hormigón simple, favorece la respuesta estructural de las

losas y su comportamiento, reduciendo los esfuerzos provocados por las cargas, por tanto, prolonga su

vida útil.

En la práctica profesional se puede concebir tres variantes de paseo en pavimentos de hormigón simple:

Paseo de suelo seleccionado.

Paseo de material bituminoso.

Paseo de hormigón hidráulico.

Cuando se emplea el paseo de hormigón hidráulico a diferencia del resto de las variantes, se unen a las

losas mediante barras de amarre, lo que garantizan un vínculo sólido y la óptima transferencia de

esfuerzos entre losas.

Varias normativas consideran las ventajas del empleo del paseo de hormigón hidráulico, en especial la

PCA, que propone variantes de diseño con o sin ellos, demostrando que cuando se utilizan, los esfuerzos

se reducen apreciablemente y, por consiguiente, los espesores de losas. Existen otros países donde su

Revisión Bibliográfica Capítulo I

12

empleo no es muy frecuente, como es el caso de Cuba, donde no se conciben paseos de hormigón

hidráulico amarrado a las losas.

1.2.2 Tránsito

La caracterización de las solicitaciones producidas por el tránsito sobre la infraestructura de una carretera

se torna bastante compleja, debido no sólo a la variabilidad de los distintos vehículos existentes, sino

también a las interacciones vehículo-pavimento que producen fenómenos con solicitaciones adicionales

a las propias cargas estáticas del tránsito, las que se encuentran definidas claramente en trabajos de

(Arriaga & Garnica, 1998 ). Para dicha caracterización se pueden estudiar independientemente los

siguientes aspectos:

Distribución del tráfico y posiciones de las cargas en el pavimento.

Grupo de ejes y características.

Forma geométrica de cada solicitación sobre el pavimento, área de contacto y reparto de presiones.

Velocidad de los vehículos y frecuencias.

1.2.2.1 Distribución del tráfico y posiciones de las cargas en el pavimento

La carga de los camiones en el borde exterior del pavimento constituye la condición más desfavorable

en términos de tensiones cuando se compara con cualquier otra ubicación de dicha carga, a medida que

el camión se va alejando del borde de losa hacia el interior su efecto sobre este disminuye

apreciablemente, sin embargo, en la práctica solo una porción de todos los camiones circula con sus

llantas exteriores por el borde o sobre sus inmediaciones. La mayoría de los camiones que circulan por

el carril ubican sus ruedas exteriores aproximadamente sobre una franja de 60 cm a partir del borde,

según estudios realizados por (Emery, 1975; Taragin, 1958).

(Robert & Packard, 1985), plantean que la condición más desfavorable se produce cuando el 6% de los

vehículos pesados circula por esa franja de 60 cm, resultados que fueron incluidos en modificaciones

realizadas a la norma (PCA, 1984).

La (PCA, 1984) en su análisis de fatiga desarrolla un estudio donde se determinan las tensiones

producidas en el borde de la losa, por una carga que incrementa su posición desde el borde hacia el

interior, lo que representa las diferentes ubicaciones de los camiones al pasar por una sección de la vía.

Como resultado son obtenidos factores de corrección que reducen los esfuerzos de borde (Figura 1.1).

Este factor cuando se multiplica por los esfuerzos de borde produce igual consumo de fatiga para

cualquier ubicación dada del vehículo.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

13

0.700

0.750

0.800

0.850

0.900

0.950

0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00%

Rel

ació

n d

e te

nsi

on

es e

n e

l bo

rde

par

a la

mis

ma

fati

ga

% de camiones en las inmediaciones del borde

Estudio de ubicación

Autor, carriles en mismo sentido

% de camiones en el borde

Taragin,4 carriles 0.03

Taragin, 2 carriles 0.46

Emery, 1 carril 6

Figura 1.1 Factor de equivalencia del esfuerzo en el borde en función del porcentaje de camiones que circulan en el borde del carril (PCA, 1984).

La (AASHTO, 2004) demostró que la cantidad de grietas longitudinales en el pavimento aumenta a

medida que la distancia entre el borde y la rueda exterior del vehículo disminuye, pero también se ha

demostrado que la frecuencia de las cargas que circulan cercanas al borde es menor debido a la baja

tendencia de los conductores a no acercarse a sus inmediaciones. (Lennie & Bunker, 2005) en su

trabajo demuestran que el valor más crítico no siempre es 6%, pues depende en gran medida de las

características de los carriles y el ancho promedio de los vehículos.

La (PCA, 1984) y (AASHTO, 2004) reconocen dos posiciones críticas en pavimentos de hormigón bajo

la influencia de un grupo de ejes simples y tándem, la primera se encuentra en el centro-borde de la losa,

que provoca los mayores esfuerzos de flexo-tracción y la segunda, en la esquina, cercano a la junta

transversal, donde se originan deflexiones considerables dependiendo del modo de transferencia de

carga entre las losas.

Figura 1.2 Posiciones definidas como críticas por la literatura internacional.

1.2.2.2 Grupos de ejes y características

Los fabricantes emplean diversos tipos de configuraciones para los ejes de sus vehículos pesados,

siendo cada vehículo un caso particular en cuanto a las combinaciones de ejes. Los ejes se separan en

grupos similares de ejes: ejes simples con rueda simple (ESRS), ejes simples con ruedas duales (ESRD),

ejes tándem con ruedas duales (ETRD), y posteriormentese incluyen los ejes trídem (ETR), en trabajos

de (Packard & Tayabji, 1985) y (AASHTO, 2004). Para tener en cuenta esta variedad en la

b) Carga en la esquina a) Carga en el borde

Revisión Bibliográfica Capítulo I

14

determinación del tráfico de diseño existen dos enfoques según trabajos realizados por (Tayabji &

Colley, 1983), (Packard & Tayabji, 1983 ; Robert & Packard, 1985; Smith, Mueller, Dater, & Peshkin,

1990), (Yu, Darter, Smith, Jiang, & Khazanov, 1997), (AASHTO, 2004), (Gillespie et al., 1992). En el

primero, todos los ejes son convertidos a ejes equivalentes mediante un coeficiente conocido como factor

de equivalencia de carga “LEF” Load Equivalent Factor, método utilizado por la AASHTO en todas sus

versiones, por su facilidad para el manejo del tráfico. El segundo enfoque trata el tráfico en escalones de

cargas separados por grupos de ejes, utilizado por la PCA.

Figura 1.3 Configuraciones de ejes establecidas para las condiciones de Cuba por la (NC-334, 2004).

Las distancias entre grupo de ejes han sido investigadas y estandarizadas por varios autores y normas.

(Packard & Tayabji, 1983 ) emplearon distancias en un intervalo de 1.22 a 1.27 m entre ejes trídem y

una de 1.27 m entre ejes tándem. (Gillespie et al., 1992)y (AASHTO, 2004) recomiendan una distancia

de 1.30 m entre ejes, independientemente del grupo que pertenezcan, para obtener la respuesta crítica

del pavimento, sin embargo, (Kim, Won, & McCullough, 2002 ) y (Hiller & Roesler, 2002) consideran

1.32 m para el mismo propósito. La Norma Cubana Pavimentos Flexibles. Método de cálculo (NC-334,

2004) no toma en cuenta esas variaciones.

La separación entre ruedas dentro de un mismo eje y su ancho, se han considerado para los cálculos de

forma diferente. En la tabla 1.1 se muestra un resumen de las dimensiones utilizadas por diferentes

autores y normas, donde a representa la separación entre ruedas y b el ancho del eje (figura 1.4).

Figura 1.4. Dimensiones tomadas en cuenta en los ejes de cálculo.

Tabla 1.1 Dimensiones de los ejes de cálculo utilizados por diferentes autores e instituciones.

Nombre de autores o Instituciones. a(cm) b(cm)

Packard and Tayabji (1985) 30.5 1.83

Kim et. al (2002) 33.0 1.88

Hiller and Roesler (2002) 34.0 1.85

AASHTO (2004) 30.5 2.13

Austroroads (2004) 33.0 1.80

ICAFIR (2006) 37.5 1.80

(ESRS) (ESRD) (ETRS) (ETRD) (ETR)

Revisión Bibliográfica Capítulo I

15

1.2.2.3 Forma geométrica de la carga sobre el pavimento, área de contacto y reparto de

presiones

Como se conoce, el peso de los vehículos se transmite al pavimento según el número de ruedas,

distribuyéndose en un área que depende fundamentalmente de la presión de contacto entre el neumático

y el pavimento. En los métodos mecanicistas se representan las solicitaciones mediante el área y la

presión de contacto.

En investigaciones realizadas por (Lippmann, 1985), (Beer, Fisher, & Jooste, 1997) y (Douglas,

Woodward, & Woodside, 2000) se llega a la conclusión de que la presión de contacto no es uniforme,

particularmente cuando la presión de inflado en la rueda es baja. (Marshek, H. H. Chen, Connell, &

Hudson, 1986)y (Gillespie et al., 1992) ratificaron la no uniformidad de las presiones, pero además,

investigaron su influencia en el pavimento, demostrando que un cambio en esta distribución no genera

efectos sustanciales en la respuesta estructural, por tanto, para simplificar el análisis, se asume una

distribución uniforme de presiones.

El área de contacto depende de la presión de contacto. Como se indica en la Figura 1.5, la presión de

contacto es mayor que la presión de inflado para presiones bajas del neumático, debido a que la pared

de este está en compresión y la suma de las fuerzas verticales de la pared y la presión deben ser iguales

a la fuerza generada por la presión de contacto; mientras que, para presiones altas, la presión de contacto

es más pequeña que la presión de inflado, debido a que la pared del neumático está en tracción. Sin

embargo, en el diseño de pavimentos la presión de contacto generalmente se asume igual a la presión

de inflado, debido a que los ejes de cargas pesadas tienen presiones altas y efectos más destructivos en

el pavimento. Utilizar presión de inflado como presión de contacto, significa estar por el lado de la

seguridad (Huang, 2004).

En los tramos de pruebas de la AASHO se utilizaron presiones entre 75 y 80 psi (0.5 - 0.55 MPa), lo que

llevó a estudios adicionales, donde se usaron presiones más elevadas. Actualmente, en países donde

se realiza estudio sobre esta materia, los promedios de presiones de inflado empleados en carreteras

varían entre 95 y 105 psi (0.65 - 0.70 MPa) e incluso, algunos vehículos usan hasta 120 y 130 psi (0.8 –

0.9 MPa) (Monge & Vergas, 2013). En Cuba, publicaciones desarrolladas por (López, Piusseaut, &

Casas, 2014; Martínez, Piusseaut, & López, 2016) han empleado como valor de presión de contacto

0.7 MPa, que corresponde con el valor utilizado en la norma de diseño (NC-334, 2004). "Pavimentos

Flexibles. Método de cálculo".

La idealización sobre la forma aproximada que deja la huella de los neumáticos en el pavimento ha sido

representada en distintas formas; circular (Westergaard, 1926) o elíptica (Pickett & Ray, 1951).

Revisión Bibliográfica Capítulo I

16

a) b)

Posteriormente, trabajos desarrollados por (Handson & Seeds, 1988.; Shackel, 1993) demostraron que

la forma elíptica presentaba mejor aproximación que la circular. Simultáneamente, los trabajos de

(Gillespie et al., 1992) concluyeron que una variación en la representación de la forma de la huella no

produce cambios significativos en las respuestas del pavimento.

Figura 1.5 Relación entre presión de contacto y presión de la rueda.

El área de contacto para un neumático se puede determinar como:

ic

i

PA

q (1.2)

Donde Ac representa el área de contacto equivalente, Pi el peso de la rueda y qi la presión de inflado del

neumático.

El método de la (PCA, 1966) en su primera versión, consideró la huella de contacto como muestra la

Figura 1.6 (a). Posteriormente, la (PCA, 1984) sustentada en el Método de los Elementos Finitos (MEF),

empleó la forma rectangular, donde se asume una longitud de 0.8712L y un ancho de 0.6L, a partir de

una equivalencia con la anterior, ver Figura 1.6 (b)

2 2(0.3 ) (0.4 )(0.6 ) 0.5227 cA L L L L (1.3)

0.5227 cA

L (1.4)

L: largo equivalente de la huella elíptica.

Figura 1.6 Dimensiones del área de contacto, a) para una huella elíptica, b) para una huella cuadrada.

La carga aplicada sobre un par de ruedas duales es necesario convertirla a un área equivalente, que

puede ser circular o cuadrada. Existe una diferencia significativa entre las formas de representar esta

área entre pavimentos flexibles y rígidos. Por ejemplo, si la carga total es la misma pero el área

Revisión Bibliográfica Capítulo I

17

equivalente es igual a la representada por el par de ruedas duales, como frecuentemente se emplea en

los pavimentos flexibles, los esfuerzos y las deflexiones serán mucho mayores. (Huang, 2004) describe

un método para determinar en pavimentos rígidos, el área equivalente correspondiente a ruedas duales

(Figura 1.7, ecuación 1.5).

Figura 1.7 Representación del área equivalente para el cálculo de tensiones en pavimentos rígidos.

22 0.5227 ( 0.6 )t dA L S L L (1.5)

At: Área total equivalente.

Sd: Separación que existe entre ruedas duales.

1.2.2.4 Velocidad de los vehículos y tiempo de solicitación en un punto

La velocidad y tiempo de aplicación de las cargas vehiculares son factores que pueden afectar la

respuesta dinámica del pavimento. La velocidad máxima permitida de los vehículos varía en cada país,

en función de los estándares establecidos para vehículos comerciales. Según (Darestani et al., 2006) la

velocidad crítica de los vehículos comerciales varía entre el 85% y el 100 % de la velocidad de

desplazamiento transversal de la onda a través del sistema de pavimento. La pulsación varía en función

de la velocidad ya que, a mayor velocidad del vehículo, el tiempo de aplicación de la carga disminuye.

En la publicación técnica de (Anguas, López, & Martínez, 2002) se hace referencia a los científicos

Barksdale (1971) yMcLean (1974) quienes plantean que, cuando se realicen análisis dinámico en el

pavimento como la velocidad del vehículo no es constante, se recomienda (con fines de estandarización),

que la carga sea representada como una onda sinusoidal con tiempo de duración de 0.1 segundos de

aplicación equivalente a 10 Hz.

1.2.3 Materiales del sistema

En pavimentos de hormigón simple se observan dos materiales fundamentales: el hormigón hidráulico

masivo formando parte de la losa y el suelo de cimiento compuesto por una o dos capas. La función que

desempeña cada uno de los elementos estructurales deben estar en completa armonía para cumplir con

Revisión Bibliográfica Capítulo I

18

el objetivo que tiene en la estructura, que es la de resistir los efectos del tránsito, durabilidad, factores

climáticos, deformaciones, agrietamientos, etc., donde la losa es el elemento principal.

En los métodos de diseño empírico-mecanicistas es necesario la caracterización de los materiales

componentes del sistema, debido a que la respuesta del pavimento depende en gran medida de la

calidad que puedan presentar. Esta respuesta es usada junto con los criterios de falla, para predecir

cuándo se desarrollará el deterioro o su probabilidad de recurrencia.

A continuación, se describen algunas de las principales propiedades de los materiales que deben ser

especificadas de manera general en el diseño de pavimentos

1. Cuando el pavimento es considerado como un medio lineal y elástico deben ser especificados el

módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson de las distintas capas de los pavimentos y la

subbase. El coeficiente de Poisson según trabajos de (AS3600, 1994; Austroads, 2004; León, 1997;

Yoder & Witczak, 1976) afirman que tiene un efecto relativamente bajo en la respuesta del

pavimento, a partir de ello su valor se asume de 0.25-0.35.

2. Si el módulo de elasticidad del material varia con el tiempo de aplicación de la carga entonces se

denomina como módulo resiliente, que representa el módulo elástico del material bajo la acción

repetida de las cargas. Este puede ser seleccionado a partir de ensayos dinámicos de carga o

correlaciones establecidas con otros parámetros del suelo, en la mayoría de los casos con el Índice

de Soporte California California Bearing Ratio (CBR).

3. Cuando el material es considerado como no lineal, la ecuación constitutiva tiene que establecer

relación entre el módulo resiliente y los estados de esfuerzos que se originan.

1.2.3.1 Subrasante y subbases

La subrasante es el terreno de cimentación sobre la cual se apoya la estructura de pavimento. La calidad

del suelo es de suma importancia en la respuesta del pavimento y para la determinación del espesor

necesario de la losa de hormigón.

La subbase puede estar compuesta por materiales granulares estabilizados o no, que se utilizan cuando

la subrasante tiene elevado contenido de finos y baja resistencia a los esfuerzos. Esta capa provee un

cimiento uniforme, estable y permanente a la losa de hormigón durante su construcción y vida útil;

asimismo, incrementa el aporte en carga al aumentar la rigidez de la estructura.

En los modelos de respuesta empleados para caracterizar el aporte del suelo de cimentación en el

comportamiento de pavimentos de hormigón simple, pueden utilizarse dos parámetros diferentes:

Revisión Bibliográfica Capítulo I

19

El módulo de reacción de la subrasante (k)

El módulo resiliente (Mr).

a) Módulo de reacción de la subrasante (k)

Es una característica que se considera constante, lo que implica elasticidad del suelo; representa la

rigidez del material en que se apoya la losa. Su valor numérico depende de la textura, compacidad,

humedad y otros factores que afectan la resistencia del suelo. La determinación del valor de k se hace

mediante pruebas de placa directa (NC-11, 1998). Tenido en cuenta que estas pruebas son complejas y

costosas, el valor de k se estima generalmente por correlación con pruebas más sencillas, como el CBR

o el ensayo del estabilómetro de Haveem.

b) Módulo resiliente (Mr)

El módulo resiliente según (Sandogal, 2011) es un estimativo del módulo de elasticidad del suelo, y se

basa en las determinaciones de esfuerzos y deformaciones bajo cargas rápidas, como las que reciben

los materiales a través de las ruedas de los vehículos.

La resiliencia en los suelos se entiende como la capacidad que tienen estos para recuperarse después

de una solicitación de carga, cuando se trabajan bajo deformaciones en una zona elástica supuesta. Se

determina a partir de la relación entre el esfuerzo desviador (σd) y la deformación unitaria recuperada

(εr).

dr

r

M

(1.6)

Los equipos utilizados en los ensayos de módulo de resiliencia, son capaces de aplicar tanto carga

dinámica repetida, para simular el estado de esfuerzos producidos por varios vehículos en movimiento,

como presión de confinamiento de magnitud y duración controlada, este es el caso del equipo triaxial

cíclico el cual puede ser usado tanto para materiales cohesivos como granulares.

Estos equipos para el control de carga e instrumentación, resultan muy costosos, y no se encuentran

disponibles en muchos laboratorios, por eso diferentes autores como (Heukelom & Klomp, 1964) han

creado modelos empíricos que relacionan el módulo resiliente en función de un valor más asequible en

los laboratorios viales, como lo es CBR.

(%) rM CBR (1.7)

Revisión Bibliográfica Capítulo I

20

Donde:

Mr = Módulo elástico o resiliente (MPa)

= Coeficiente de correlación

10 para suelos granulares gruesos

11 para suelos fino granulares

13 para suelos finos plásticos

CBR = Índice Cimiento de California (%).

El uso de esta correlación está ampliamente difundida en la práctica mundial, para la modelación de

pavimentos y en particular forma parte del procedimiento para la estimación del módulo resiliente en el

método para el diseño estructural de pavimentos (AASHTO, 1993).

a) Relación entre el k y E

En las ediciones de la Guía de Diseño para Pavimentos (AASHTO, 1986; AASHTO, 1993), el valor de

que k es calculado a partir de la relación con el módulo de elasticidad del suelo, partiendo de la teoría de

(Boussinesq, 1885 ) para una placa rígida, tomando como criterio la deflexión máxima.

2

2

(1 )

Ek

a

(1.8)

Donde:

E: Módulo de elasticidad del suelo.

ν: Coeficiente del Poisson del suelo

a: Radio de la placa de carga

(Khazanovich, Tayabji, & Darter, 2001) usando técnicas de retroanálisis, aplicando Deflectómetros de

Impacto (FWD) sobre subrasantes, obtuvieron luego de varios ajustes matemáticos la siguiente relación:

30.296 ( )

MPak E MPa

m

(1.9)

Con un coeficiente de correlación R2=0.872 y error estándar de 9.37 MPa/m3. Esta relación está incluida

en el software de la Mechanistic-Empirical Pavement Design Guide (MEPDG, 2007) apoyado en la

(AASHTO, 2004).

Años más tarde (Setiadji & Fwa, 2009) realizan nuevas experimentaciones en tramos de prueba usando

el FWD, y comparaciones de los modelos empleados por la (AASHTO, 1986; AASHTO, 1993) y el de

(Khazanovich et al., 2001), concluyendo que este último se ajusta mejor a los resultados que el primero,

los autores no conforme con el coeficiente de ajuste, mejoraron el modelo, llegando así a un coeficiente

R2 = 0.941 y error estándar de 8.31 MPa/m3, con una nueva ecuación:

Revisión Bibliográfica Capítulo I

21

𝑘 (𝑀𝑃𝑎

𝑚3 ) = 0.259 ∙ 𝐸(𝑀𝑃𝑎) − 6.512 (1.10)

1.2.3.2 Losa de hormigón

La losa de hormigón es la capa superior del pavimento rígido, que resiste las acciones directas de las

cargas de tránsito y es el elemento fundamental de la estructura, por tanto, el desempeño y los deterioros

fundamentales que se producen en este tipo de pavimento están relacionados con las propiedades del

hormigón hidráulico. Por eso, es preciso una buena caracterización del material para lograr un buen

comportamiento de los pavimentos ante la acción de las cargas y el clima.

Las propiedades que generalmente se utilizan para caracterizar al hormigón son el módulo de elasticidad,

la resistencia a compresión, flexión y a fatiga.

a) Módulo de elasticidad

Característica que refleja la estabilidad del hormigón bajo carga estática. La selección de los materiales

componentes y las propiedades de la mezcla de hormigón pueden afectar el valor del módulo de

elasticidad. La norma internacional más empleada para este propósito es la (ASTM-C469, 2002), en el

caso de Cuba la (NC-ISO-6784, 2007). En caso de no contarse con resultados experimentales

usualmente se correlaciona con la resistencia a compresión (f´c). La (ACI363, 1992) propone varias

ecuaciones de correlación para el diseño de estructuras; las empleadas en pavimentos rígidos son las

establecidas por la (AASHTO, 1993) . Ver tabla 1.2.

Tabla 1.2 Correlaciones entre la resistencia compresión y el módulo de elasticidad del hormigón, según AAHSTO 1993.

Origen del árido Módulo de Elasticidad del

Hormigón (Ec)

Árido grueso ígneo 5500√f´c − 17500√f´c

Árido grueso metamórfico 4700√f´c − 15000√f´c

Árido grueso sedimentario 3600√f´c − 11500√f´c

No hay información 3900√f´c − 12500√f´c

En Cuba, está establecido en la norma: Requisitos generales para el diseño y construcción de estructuras

de hormigón (NC-207, 2003) que para hormigones normales el módulo de elasticidad varía entre

4700 4800 ´f c .

b) Resistencia a la compresión

Es un parámetro que manifiesta la tenacidad del hormigón; la resistencia a compresión es fácil de

determinar y puede ser utilizada para estimar por correlación otras características del material, como el

módulo de elasticidad y la resistencia a la flexión (módulo de rotura).

Revisión Bibliográfica Capítulo I

22

c) Resistencia a la flexión (MR)

La resistencia del hormigón a la flexión o módulo de rotura es considerada en procedimientos de diseño,

como la característica que controla el agrietamiento del pavimento bajo las cargas repetitivas de

vehículos pesados, se obtiene a partir de un ensayo realizado en una viga prismática cargada a un tercio

o un medio de la luz (NC-245, 2003).

Este ensayo tiene como inconvenientes principales, que es extremadamente sensible a la preparación,

manipulación y procedimiento de curado de las probetas. Las vigas son muy pesadas y pueden dañarse

durante su manipulación y transporte al laboratorio. Deben curarse según la norma y ensayadas mientras

se encuentren húmedas, si se permite que sequen, dará como resultado módulos de rotura más bajos.

El cumplimiento de estos requerimientos se torna algo complejo, por lo que frecuentemente se obtienen

valores generalmente bajos y no confiables, por esta razón es usual emplear correlaciones con otras

propiedades más fácil de obtener en el laboratorio. En el diseño de pavimentos se utiliza comúnmente el

criterio de que el módulo de rotura se encuentra entre un 10% a 15 % de la resistencia a compresión del

hormigón. (Santana & Caneiro, 2010) muestran algunas de las correlaciones empleadas por los distintos

códigos.

Tabla 1.3 Resistencia a tracción indirecta o módulo de rotura del hormigón según varios enfoques.

ACI 318:05 (EE. UU) Hormigón de peso normal.

EHE:2008 (España) para f´c ≤ 50 MPa

RILEM CPC 7 (Europa) NC 207:2003 (Cuba)

0.7 'R cM f 3 20.3 'R cM f

3 20.37 'R cM f 0.62 'R cM f

1.2.4 Factores medioambientales

1.2.4.1 Efecto de la temperatura

La variación de la temperatura genera tensiones en el pavimento y son causantes de ciertos deterioros.

Los elementos de hormigón pueden expandirse o contraerse debido a una variación uniforme de

temperatura o pueden alabearse a causa de gradientes térmicos en su espesor, lo cual, da como

resultado que aparezcan esfuerzos en el elemento.

Las tensiones de combado o alabeo de las losas, son originadas por el gradiente de temperatura a través

del espesor de losa, que varían con las condiciones del clima y la hora del día. Durante el día, cuando la

temperatura en la parte superior de la losa es más alta que en la inferior, la superficie superior tiende a

expandirse con respecto al eje neutro, mientras que la inferior tiende a contraerse. Sin embargo, el peso

de la losa restringe tanto la expansión como la contracción; entonces, se originan esfuerzos de

Revisión Bibliográfica Capítulo I

23

compresión en la parte superior y de tracción en la inferior. En la noche, cuando la temperatura en la

parte superior de la losa es más baja que en la inferior, se originan esfuerzos de tensión en la parte

superior y de compresión en la inferior.

1.2.4.2 Efecto de la lluvia

Las lluvias por su acción sobre los suelos de subrasante y capas no aglomerada de subbase, provocan

incremento en la humedad, por tanto, se reduce la resistencia y pueden producir cambios volumétricos

de los suelos, de ahí que sea necesario buscar soluciones de drenaje para que las aguas se evacuen lo

más rápido posible evitando daños en la estructura.

1.3 Período de Análisis.

Los períodos de análisis de los pavimentos no se pueden predecir con exactitud, dado que es complejo

estimar el tránsito con suficiente aproximación para un tiempo demasiado largo. Si se asocia el término

período de diseño al término vida del pavimento, se podría considerar que la vida de un pavimento de

hormigón finaliza cuando ha perdido su capacidad funcional o estructural.

Para el diseño de un pavimento rígido comúnmente se toma un período de 30 años, aunque en

determinados casos puede resultar económicamente justificado el empleo de períodos menores o

mayores (Fonseca, 2006). La selección del período de análisis afecta el espesor de diseño, ya que

determina cuántos años, por tanto, a cuántos camiones debe servir el pavimento; su selección para un

proyecto específico está basado en criterios ingenieriles y en un análisis económico.

1.4 Principales mecanismos de fallas en pavimento de hormigón simple

Durante el período de explotación de un pavimento de hormigón simple, se originan deterioros producidos

por diferentes mecanismos de falla, que dependen de diferentes factores tales como, la temperatura, la

humedad y las solicitaciones del tránsito. En este epígrafe se describirán los mecanismos de fallas más

frecuentes, relacionados principalmente con las tensiones y deflexiones que se generan en la losa.

1.4.1 Pérdida del cimiento por erosión

Autores como (Nguyen, 1979) prueban que el agua dentro de las oquedades formadas en la interfase

suelo-estructura se comportan de la siguiente manera.

Cuando en una junta la profundidad de la cavidad bajo la sección de la losa es pequeña, el agua se

comporta como un fluido viscoso, lo que ocurre por el alabeo de la losa debido a los gradientes

térmicos. A pequeñas oquedades bajo la losa, las presiones son muy grandes, por tanto, la

velocidad del agua que impulsan las partículas en suspensión provocadas por el paso del vehículo

Revisión Bibliográfica Capítulo I

24

resulta proporcional al peso del eje y al cuadrado de la profundidad, e inversamente proporcional a

la viscosidad dinámica del agua, al ancho de la cavidad y al cuadrado de la longitud de la cavidad.

Cuando la profundidad de la cavidad formada en la losa de salida excede en 1 mm, el agua se

comporta como un fluido ideal. Este caso corresponde a una erosión significativa, las presiones

generadas por el paso del vehículo son bajas. La velocidad de expulsión de agua obedece ahora a

una función directa de los desplazamientos de la losa en sus extremos, así como la longitud de la

cavidad, y varía de manera inversa a la diferencia entre la profundidad de la cavidad y el

desplazamiento vertical de la losa. Ver Figura 1.8

Figura 1.8 Esquema representativo de la hidromecánica del bombeo.

Entre los dos casos extremos el flujo se considera transitorio y la velocidad de expulsión del agua puede

alcanzar valores extremos.

Si se conoce la geometría de un pavimento, entonces este fenómeno puede cuantificarse basándose en

la eficiencia de transferencia de carga en sus juntas (Ecuación 1.4); los desplazamientos verticales

sufridos por la carga del tránsito y las características geométrica de las cavidades.

El movimiento del agua a través de las juntas, unido a suelos finos utilizados como cimiento de las losas,

produce el fenómeno conocido como “bombeo”, que es un problema difícil de caracterizar de manera

analítica, requiriendo un volumen experimental extremadamente elevado; como lo demuestran los

resultados derivados de los tramos de pruebas de la ASHTO Road Test, empleados para el análisis de

erosión, en normativas como la (AASHTO, 1993; PCA, 1984) y recientemente en la (AASHTO, 2004).

El efecto de este mecanismo de falla se puede reducir mediante la aplicación de medidas de diseño o

constructivas, tales como:

Revisión Bibliográfica Capítulo I

25

Aumento de la eficiencia de transferencia de carga entre losas a partir de la correcta colocación de

los pasadores como mecanismos de transferencia.

Mantener el material sellante impermeable en las zonas de la orilla y en las juntas, a fin de evitar el

ingreso y movimiento de materiales finos con el agua, desde los paseos o zonas adyacentes a la

losa.

Colocar bases granulares cuando el suelo de subrasante contenga alto contenido de finos, para

evitar el movimiento o migración de finos hacia el lecho inferior de la losa (surgencia).

1.4.2 Agrietamiento transversal (fatiga)

La mayoría de los deterioros en las losas por agrietamiento transversal, están asociados al fenómeno de

fatiga en el hormigón, causados fundamentalmente por los esfuerzos repetitivos aplicados en el borde y

mitad de la losa. La fatiga, es el criterio de falla predominante en el diseño del espesor, evaluado

mediante el número de repeticiones de cargas que admite la losa antes del fallo. Este tema se trata más

adelante cuando se describen los modelos de comportamiento a fatiga.

1.5 Métodos de diseño

El diseño de un pavimento de hormigón no solo se limita al dimensionamiento de la estructura, sino que

también tiene en cuenta la selección de los materiales componentes y las estrategias de conservación

que deben ser establecidas, por ello se han desarrollado diversos métodos para dar respuesta a estos

problemas. Los métodos pueden ser clasificados en tres enfoques fundamentales: mecanicistas,

empíricos y empíricos-mecanicistas.

Los métodos de diseño con enfoque mecanicista emplean principios físico-mecánicos de la ingeniería.

Este enfoque comienza con la determinación de las tensiones que experimenta la estructura en puntos

críticos, como resultado de la carga de tráfico, la temperatura, el efecto de la humedad y su interacción

con los materiales del cimiento. Estas tensiones son estimadas usando modelos de respuesta en losas,

tales como: las ecuaciones de Westergaard y el modelo de las capas elásticas. En los análisis se emplean

teorías de comportamiento del material y la mecánica clásica para predecir la respuesta del pavimento

(ej. tensiones, deformaciones y/o deflexiones) ante efectos externos (ej. carga de tráfico y efectos

ambientales). La primera ecuación con este enfoque empleada para el diseño fue propuesta por

Westergaard en 1927.

c pd

S (1.11)

Revisión Bibliográfica Capítulo I

26

Donde:

d: espesor. c: coeficiente de tensiones. p: peso del eje. S: tensión de tracción permisible.

La limitación fundamental de este enfoque radica en que no tiene en cuenta las características de los

materiales y los efectos ambientales. Para considerar estos elementos se necesita de resultados

experimentales, cuestión que posteriormente introducen los métodos de enfoque empírico.

Los métodos con enfoque empírico están basados en experiencias previas o mediciones del

comportamiento de la estructura realizadas en el campo, sin tener en cuenta cualesquiera de las

consideraciones relacionadas con la teoría de las estructuras. Existen muchos métodos de diseño de

espesores de pavimentos que tienen este enfoque, de ellos el más usado y antiguo es el método de la

American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO, 1986). Este método se

basa en los resultados obtenidos en pistas a escala real construidas en 1958, conocidos como AASHO

Rodad Test. El objetivo de estas pruebas era predecir el número de aplicaciones de cargas (ejes) como

una función del espesor de la losa, el tipo y peso del eje (simple o tándem) y su nivel de servicio final en

las condiciones climáticas específicas del lugar.

Posteriormente, en 1993 la guía (AASHTO, 1993) incluiría nuevos elementos, tales como el empleo de

factores para distintas condiciones de drenaje, la incorporación del término “Módulo de reacción efectivo”

(k-value design) cuando la losa es apoyaba sobre una subbase y el análisis de transferencia de carga en

los modelos con carga en la esquina.

El enfoque empírico tiene ciertas limitaciones, relacionadas directamente con las condiciones en que

fueron hechos los tramos de prueba, los cuales se construyeron con un solo tipo de suelo, se realizaron

en condiciones climáticas específicas, y sometidos a magnitudes y configuraciones de tráfico constantes.

A pesar de estas limitaciones, los procedimientos de diseño empíricos son a menudo muy útiles para

proporcionar indicaciones de las tendencias en el comportamiento relativo de la estructura y en la

evaluación de los efectos de las diferentes características de diseño sobre el pavimento (NHI, 1998).

Cuando se combina el cálculo analítico o mecanicista, con la experimentación, se conocen estos métodos

como empíricos-mecanicistas. Los diseños empírico mecanicistas (M-E) combinan elementos de

modelación mecánica con los resultados del estudio del comportamiento de la estructura y materiales en

determinadas condiciones. La componente empírica de este enfoque usa la repuesta obtenida a través

de modelos que permiten predecir cómo se comportará el sistema a lo largo de su vida útil (Timm,

Birgisson, & Newcomb, 1998 )

Revisión Bibliográfica Capítulo I

27

En 1966 aparecen en pavimentos rígidos los primeros indicios empírico-mecanicistas, desarrollados por

la Portland Cement Association, publicando su primera guía de diseño con estos criterios: “Thickness

Design Procedure for Concrete Highway And Street Pavements” (PCA, 1966). Este método utilizaba las

cartas de influencia de (Pickett & Ray, 1951) para el cálculo de las tensiones en el borde de la losa y

luego se aplicaba un modelo de fatiga para hallar el número de repeticiones permisibles (Ver Anexo 1.1).

En su primera versión solo tenían en cuenta el daño por fatiga en el hormigón, pero con el paso del

tiempo se evidenció que no era el único fenómeno que crea problemas de rotura en los pavimentos

rígidos; comenzaron a estudiar entonces otro mecanismo de falla conocido como pérdida de cimiento

por erosión, que trae consigo los deterioros de escalonamiento y fractura de las esquinas.

(PCA, 1984) incorpora un modelo de deterioro por erosión que, en función del mecanismo de

transferencia en la losa y la presencia o no de paseos de hormigón, permite estimar el número de ejes

que circulan antes que falle por la pérdida del material del cimiento. Además, al igual que la versión de

(AASHTO, 1993), incluye como modificar el módulo de reacción del cimento cuando se usa una subbase

aglomerada o no.

Lo más reciente en el campo del diseño, es la Guía de Diseño Empírico Mecanicista (AASHTO, 2004)

creada por la organización National Cooperative Highway Research Program (NCHRP). Este método

satisface los requerimientos para un diseño de pavimento completamente racional, señalados por (Yoder

& Witczak, 1975). Primero, considera una teoría para predecir el fallo o los parámetros de deterioro,

luego, evalúa las propiedades de los materiales teniendo en cuenta el criterio inicial y por último,

determina una relación entre las magnitudes de los parámetros y el nivel de desempeño deseado

(Khanum, 2005)

En América, la mayoría de los países han adoptado de una forma u otra cualquiera de estos métodos,

como ejemplo se puede citar: el Método del Instituto Mexicano del Cemento (CEMEX, 2010), el Manual

brasilero de pavimentos rígidos (DINT-IPR-714, 2005) y el Método del Instituto del Cemento Portland

Argentino (IPCA) que son procedimientos derivados del método de la PCA en su edición de 1983.

En Europa existe la tendencia de no aplicar directamente esos métodos, sin embargo, existen otros,

fundamentados en los mismos principios con salidas prácticas en forma de catálogos, tales como las

establecidas en Alemania, Bélgica y Francia o procedimientos como es el caso del (Austroroad, 2005;

ICAFIR, 2006).

De manera general, todos los métodos de diseño, independientemente de cómo se presenten, intentan

predecir el comportamiento real del pavimento, utilizando determinados modelos que pueden ser más o

Revisión Bibliográfica Capítulo I

28

menos precisos, por tanto, la selección de uno u otro método se convierte en una variable más en el

diseño.

1.6 Probabilidad en el diseño

La incertidumbre y la variabilidad significativa acompañan a los parámetros asociados con el diseño y

construcción de pavimentos, lo que se manifiesta claramente cuando se analizan factores de diseño,

tales como la carga, distribución y frecuencia del tráfico, los materiales y los factores climáticos, por

consiguiente, se crea un método práctico para considerar las incertidumbres y variaciones en el diseño,

tratando de proporcionar un nivel aceptable de riesgo para que el pavimento cumpla con sus expectativas

de desempeño.

Desde los años 70 los conceptos de probabilidad de fallo y análisis de riesgos se han aplicado tanto en

el enfoque empírico como en el empírico-mecanicista, para el diseño estructural de pavimentos flexibles

y rígidos. (AASHTO, 1986; AASHTO, 1993; Lytton & Zollinger, 1993), han desarrollado herramientas

informáticas para facilitar el proceso de análisis. La guía (AASHTO, 1993) utiliza parámetros de fiabilidad

para considerar el efecto combinado tráfico y la predicción del comportamiento del pavimento en el

tiempo. A diferencia de las versiones anteriores (AASHTO 1986 y 1993), la nueva Guía Empírico-

Mecanicista AASHTO 2002, establece la confiabilidad a partir del comportamiento y el costo de la

estructura de pavimento, sobre la base de los deterioros y la regularidad superficial, definiendo una

fiabilidad de diseño para cada tipo de deterioro y del índice internacional de rugosidad (IRI), (AASHTO,

2004)

1.7 Concepción general de la modelación

La modelación constituye una herramienta fundamental para resolver problemas en la práctica ingenieril,

es por eso, que el empleo y desarrollo de modelos para sistemas en general es una de las tareas

científicas más importantes a desarrollar. Los modelos y los métodos de modelación se convierten por

tanto en importantes herramientas de trabajo (Recarey, 1999).

Se define la modelación como el método de manejo práctico o teórico de un sistema por medio del cual

se estudiará este, pero no como tal, sino por medio de un sistema auxiliar natural o artificial, el que, desde

el punto de vista de los intereses planteados, concuerda con el sistema real que se estudie. Es decir, es

el método que opera de forma práctica o teórica como un “objeto”, no de forma directa, sino utilizando

cierto sistema auxiliar (natural o artificial) el cual se encuentra en una determinada correspondencia

objetiva con el “objeto” modelado y está en condiciones de sustituir al “objeto” que se estudia en

determinadas etapas de la investigación, permitiendo obtener información susceptible de

comprobaciones experimentales (Bonilla, 2008; Ibañez, 2001; Recarey, 1999).

Revisión Bibliográfica Capítulo I

29

Dar solución a un problema real a través de la modelación es un proceso que transita por varias etapas

con diferentes particularidades, las cuales se muestran en el siguiente gráfico elaborado por (Recarey &

Bonilla, 2007).

Figura 1.9. Esquema general sobre la concepción de la modelación

Con el desarrollo acelerado de la informática, a finales del siglo XX, se crearon importantes herramientas

computacionales que se basan en métodos numéricos, mayoritariamente con análisis de problemas

tenso-deformacionales de sólidos, los que pueden clasificarse en dos grupos principales: los de propósito

general o multifísico, capaces de modelar diversos fenómenos de la ingeniera (ABAQUS, ANSYS,

COSMOS, NASTRAN, CATIA) empleados mayormente en el campo de la investigación y los de propósito

específico, empleados en ramas específicas del conocimiento (Ejemplo: PLAXIS, SIGMAW, programas

basado en el MEF, para análisis de tensión-deformación en suelo y roca ).

En Cuba se han desarrollado importantes investigaciones en las que se aplica la modelación para

estudiar diversos fenómenos que tienen lugar en el comportamiento tenso-deformacional de las

estructuras, sobre todo en el campo de las cimentaciones y las estructuras compuestas. De estos

trabajos se destacan:

(Ibañez, 2001) obtiene una metodología para el diseño geotécnico de cimentaciones profundas,

validada por la modelación matemática de fenómenos típicos en estos elementos.

(Cobelo, 2004) vinculado a la aplicación del MEF y su implementación computacional en el caso de

cimientos laminares cónicos para estructuras tipo torre, donde se evalúa el trabajo conjunto de la

lámina y el suelo de cimiento.

(Broche, 2005) sobre la base del MEF, realiza un análisis estructural de cimentaciones superficiales

aisladas, aplicando un novedoso modelo de daño para estudiar el comportamiento del hormigón en

régimen no lineal.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

30

(Bonilla, 2008) tomando como base el empleo del MEF, perfecciona las ecuaciones de cálculo de

conectores tipo perno para mejorar el pronóstico de su capacidad resistente última en secciones

compuestas de viga de acero y losa maciza de hormigón, así como de vigas y losas en presencia de

lámina con la nervadura orientada perpendicular al eje de la viga sometidas a flexión bajo carga

estática.

En la modelación de los pavimentos viales, ya sean flexibles o rígidos, para caracterizar el problema son

necesarios dos tipos de modelos: los de respuesta y los de comportamiento.

1.8 Modelos de respuestas para pavimentos rígidos

Un modelo de respuesta es un modelo teórico del que se pueden extraer los valores de tensiones,

deformaciones y desplazamientos de una estructura. Los modelos de respuesta según (Kraemer & Val,

1996)se pueden clasificar en tres tipos: probabilistas (basados en la teoría de fiabilidad de sistemas), de

regresión (a partir del análisis de medidas realizadas en ensayos a escala real) y mecanicistas (basados

en la modelación mecánica de la estructura, las cargas y en el establecimiento subsiguiente de los

correspondientes algoritmos de cálculo).

En los pavimentos rígidos se han utilizado diferentes modelos de respuesta, los clásicos, como los

modelos de Westergaard, basados en soluciones analíticas, los modelos multicapas elásticas y más

recientemente con el avance de las computadoras han surgido los modelos numéricos tales como: el

Método de las diferencias finitas (MED) y el Método de los Elementos Finitos (MEF).

1.8.1 Soluciones analíticas

Las primeras soluciones analíticas en pavimentos rígidos fueron propuestas por Harold Malcolm

Westergaard en los años 20.(Westergaard, 1926) obtuvo soluciones analíticas para las tensiones y las

deflexiones debido a las variaciones de temperaturas y a las cargas del tráfico. El modelo de Westergaard

difiere de otros modelos de respuesta por las hipótesis adoptadas, ya que básicamente no coinciden con

las otras en cuanto a la naturaleza de los materiales (elástica o visco-elástica), la tipología de las cargas,

las condiciones de contacto entre capas (adherencia total, parcial o nula) y las condiciones de contorno.

Las hipótesis planteadas en el trabajo original de Westergaard (Westergaard, 1926) fueron las

siguientes:

1. La losa de hormigón se considera como un sólido homogéneo, elástico e isótropo en equilibrio,

partiendo de la teoría clásica de láminas delgadas de Love-Kirchhoff.

2. La reacción de la subrasante es solo vertical y proporcional a la deflexión de la losa, considerando el

medio como infinitos soportes elásticos (medio de Winkler). La resistencia de la subrasante se mide

Revisión Bibliográfica Capítulo I

31

con el módulo k, al que Westergaard definió como módulo de reacción de la subrasante, que es una

medida de la rigidez del medio, dado por la presión aplicada sobre un área por unidad de deflexión

(pci), (MPa/m).

3. Se consideran tres posiciones críticas de la carga: en el interior, en la esquina, y en el borde,

asumiendo distribución uniforme sobre un área circular (interior y esquina) o semicircular (borde), de

radio "a" llamada presión de contacto equivalente. Ver Figura 1.10

4. Definió un término que cuantifica la rigidez de la losa en comparación con la rigidez del cimiento,

denominado relación de rigidez relativa (l), que se expresa como:

3

4212(1 )

E hl

k

(1.12)

Donde

E: Módulo de elasticidad del hormigón

h: Espesor de la losa.

μ: Coeficiente de Poisson del hormigón.

k: Módulo de reacción de la capa de apoyo.

Figura 1.10 Esquema de análisis y posiciones de la carga estudiadas por Westergaard en su modelo

clásico de respuesta.

Antes de 1941, el método de cálculo de tensiones de Westergaard fue considerado el método más

avanzado para predecir las tensiones críticas y las deflexiones en losas de hormigón. Sus estudios

principalmente se centraron en la carga ubicada en el interior de la losa, sin embargo, debido a las

suposiciones muy idealizadas, las soluciones analíticas de Westergaard tienen muchas limitaciones para

modelar el comportamiento real de los pavimentos, entre ellas se encuentran:

Revisión Bibliográfica Capítulo I

32

El cimiento considera un comportamiento lineal y elástico. Pocos materiales empleados en

explanaciones presentan este comportamiento, de hecho, la mayoría es no lineal, con tensión

dependiente que cambian con el tiempo y el ambiente.

Westergaard supuso que la losa estaba en contacto completo con la capa inferior en todos los puntos,

por tanto, las condiciones de contorno son infringidas si se desarrolla un vacío debido al fenómeno

de bombeo o si la losa y el cimiento se separan debido al combado.

Westergaard supuso que las losas eran infinitas (para el caso de carga en el interior) o semi-infinita

(para el caso de cargas en el borde y esquina); es decir, las losas se extienden lo suficientemente

lejos de los límites del área cargada (interrupciones como grietas o juntas) y por tanto, no tienen

ningún efecto sobre la solución. En la práctica esto no ocurre, porque las losas son relativamente

reducidas y presentan muchas discontinuidades (grietas y juntas).

El espesor de la losa debe ser uniforme. Esta suposición hace imposible analizar losas con bordes

de diferente espesor u otras losas con espesores no uniformes.

Para casos donde la proporción espacio-profundidad es menor que 100, las hipótesis de Kirchhoff

introducen errores en la predicción de los esfuerzos en el borde. (Hammons & Metcalf, 1999).

Todas las capas del pavimento debajo de la losa son representadas por un solo parámetro, el módulo

de reacción de subrasante. Un pavimento típico puede tener algunas capas de materiales, que

incluyen bases y/o subbases, que pueden estar adheridas o no, donde la superior tiene mayor calidad

y rigidez. En una típica aplicación de la teoría de Westergaard, las capas se modelan incrementando

el módulo de reacción de la subrasante simulando una respuesta equivalente. Sin embargo, esto

evidentemente provoca cierta inexactitud en el análisis, causado por una limitación en el modelo. La

imposibilidad de pronosticar las respuestas en ubicaciones arbitrarias de la carga, podría ser un

obstáculo serio para el análisis en condiciones de cargas especiales.

La incapacidad de manejar múltiples configuraciones de cargas es también una seria restricción de

la aplicación.

Desde el trabajo original de Westergaard, algunos investigadores, incluyendo al propio Westergaard, han

realizado perfeccionamientos a la teoría, tratando de resolver algunas de las limitaciones del modelo

teórico.

(H. M. Westergaard, 1948) publicó las relaciones válidas para el cálculo de las tensiones causadas en

el borde por grandes cargas en amplias zonas de contacto. Las nuevas ecuaciones permitieron que la

carga se caracterizara como una elipse, en lugar un área circular. (Ioannides, Thompson, & Barenberg,

1985) recomendaron estas ecuaciones por ser más exactas que las de 1926.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

33

(Pickett & Ray, 1951) desarrollaron cartas de influencia que permiten que las ecuaciones de

Westergaard sean aplicadas a múltiples configuraciones de cargas. Estas soluciones gráficas fueron

considerablemente simplificadas en la determinación de las desviaciones teóricas y los momentos

causados por la carga sobre la losa. Para el estudio se consideraron dos casos: explanación como un

líquido denso de Winkler y como un sólido elástico. Las cartas de influencia de Pickett y Ray han sido

usadas por la Portland Cement Association (PCA) para el diseño de pavimentos rígidos. Las cartas para

cargas en el interior fueron usadas en el diseño de pavimentos para aeropuertos (PCA, 1955) mientras

que las cartas para cargas en el borde se emplearon en pavimentos para carreteras (PCA, 1966).

Debido a su sencillez, la FAA, U.S. Army, y U.S Air Force adoptaron las cartas de influencia para el

cálculo del esfuerzo máximo de tensión para cargas en el borde (Hutchinson, 1966). Con el empleo de

las cartas pueden ser analizados múltiples configuraciones de ejes sólo dibujándolos a la escala

apropiada y contando los bloques cubiertos por la huella del neumático. Sin embargo, debe tenerse en

cuenta que el neumático debe orientarse de manera que el número máximo de bloques sea cubierto para

calcular la tensión máxima o la deflexión.

(Salsilli, 1993) aplicó el procedimiento iterativo de Newton-Raphson para convertir diferentes

configuraciones de carga en un área equivalente cargada que produzca la misma tensión, usando estas

cargas transformadas en las ecuaciones de Westergaard considerando tres configuraciones de cargas

de neumático: doble, tándem y trídem.

1.8.1.1 Soluciones computarizadas

Algunas soluciones computarizadas de la teoría de Westergaard han sido desarrolladas notablemente,

se destacan los programas H-51, H51-ES, y PDILB (comúnmente referidos al PCA AIRPORT). El

programa H-51, originalmente desarrollado por la General Dynamics Corporation y modificado por WES,

calcula los esfuerzos en el borde, bajo múltiples configuraciones de carga sobre una losa apoyada en un

líquido denso como subrasante. La solución es esencialmente una versión informatizada de las cartas

de influencia de Pickett y Ray. El programa permite al usuario colocar la carga en diferentes orientaciones

y posiciones, para calcular la condición de tensión máxima. H-51 fue modificado por (Ioannides,

Barenberg, & Thompson, 1984) incorporando una subrasante sólida elástica en el programa H51-ES.

El programa PCA AIRPORT está basado en la teoría de Westergaard para cargas en el interior de una

losa infinita soportada por una subrasante discreta. Este programa también admite múltiples

configuraciones de ejes y permite al usuario cambiar la orientación del neumático para maximizar la

respuesta.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

34

Cada uno de estos programas está basado en las hipótesis de Westergaard y están sujetos a las

limitaciones del modelo. Las cartas de influencia, las soluciones computarizadas admiten los cálculos de

las tensiones causadas por múltiples configuraciones de ejes y brinda ciertas ventajas desde el punto de

vista práctico para estudiar de manera aproximada el fenómeno.

1.8.1.2 Modelo de capas elásticas

Los modelos de capas elásticas en pavimentos rígidos surgieron como alternativa de solución a las

ecuaciones de la elasticidad y los problemas de flexión en losas. Dicha teoría fue inicialmente formulada

para una carga concentrada bajo una capa infinita (medio de Boussinesq) y después fue generalizada

para una carga uniformemente distribuida actuando sobre un área circular en dos o más capas.

Básicamente, existen dentro de la teoría de capas elásticas dos modelos fundamentales, el de Hogg y el

modelo multicapas de Burmister.

El modelo de (Hogg, 1938) esquematiza el pavimento (losa) apoyado sobre un macizo infinito del tipo

Boussinesq. La losa es modelada empleando las hipótesis simplificadas de Navier para láminas

delgadas, que consideran la línea o fibra neutra coincidente con el plano medio de la losa, y a las

secciones planas, antes y después de las deformaciones. Ver Figura 1.11.

Figura 1.11 Esquema de análisis representativo del modelo de Hogg

El modelo multicapa de (Burmister, 1945) se representa a partir de dos o más capas sobre un macizo

infinito del tipo Boussinesq. El modelo representa cada capa con tres parámetros fundamentales:

espesor, módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson, lo que le concede a cada material diferentes

propiedades elásticas. Ver Figura 1.12.

Figura 1.12 Esquema de análisis representativo del modelo de Burmister.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

35

Estos modelos, permiten considerar importantes variaciones (espesor, relación del módulo entre capas,

y radio de carga). Además, se convierte en un método bastante práctico y efectivo según (Lizcano,

2005).

Ambos modelos, en general plantean un conjunto de hipótesis básicas derivadas de la teoría de las capas

elásticas.

Todos los materiales se consideran homogéneos, isótropos, y linealmente elásticos, por tanto, cada

capa del pavimento puede ser representada por tres parámetros: espesor, módulo de la elasticidad,

y coeficiente de Poisson.

Cada capa se considera infinita horizontalmente, y la capa inferior se extiende infinitamente en la

dirección vertical.

La carga se considera estática y uniformemente distribuida sobre una o más áreas circulares. La

mayoría de los programas suponen que la carga es completamente vertical, aunque algunos pueden

concebir componentes horizontales.

Las capas están en contacto constantemente. Debe ser asumido el número de restricciones entre

las capas adyacentes y la determinación de considerarlas completamente adheridas o con fricción

entre ellas. Algunos programas son capaces de admitir cualquier grado de restricción.

La teoría de las capas elásticas, como herramienta para modelar el comportamiento estructural de

pavimentos rígidos, resulta interesante por la posibilidad de estudiar la variación que experimentan los

distintos materiales de la estructura, desde el punto de vista práctico surge un problema, ya que los

parámetros elásticos (E, µ) resultan difíciles de obtener, en comparación con el módulo de reacción de

Westergaard (k). Otras limitaciones se enuncian a continuación:

El modelo supone que cada capa es infinita en la dirección horizontal; por tanto, las juntas y grietas

en los pavimentos rígidos son ignoradas. Incluso las capas de base y subbase en un pavimento no

son infinitas en esta dirección. Las capas estabilizadas también pueden desarrollar grietas que no

son modeladas.

El modelo considera a cada material como linealmente elástico. Esta suposición podría significar

contradicciones al calcular las tensiones en las capas del pavimento, por ejemplo, no es posible

para una capa granular no adherida soportar grandes esfuerzos de tracción.

La principal limitación de estos modelos radica en el hecho de que tanto el de Burmister como el de Hogg

están representados en un estado deformacional plano, por tanto, no permite evaluar el efecto de las

tensiones en la esquina y en el borde de la losa.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

36

1.8.2 Soluciones numéricas

1.8.2.1 Modelo de los Elementos Finitos (MEF)

Los métodos analíticos son una evaluación de las fórmulas matemáticas desarrolladas mediante un

proceso de análisis. Los métodos numéricos son técnicas basadas en procedimientos numéricos de

aproximación de funciones y define su campo de uso donde las soluciones analíticas son inaccesibles

por la complejidad matemática que requieren, lo que se facilita en la actualidad con la ayuda del cálculo

computacional (Francisco López Almansa, Bashar Alfarah, & Sergio Oller, 2014; López & Piusseaut,

2015; Pánek & Vébr, 2007; Patil, Sawant, & Deb, 2012).

Dentro de estos métodos numéricos se puede citar el Método de las Diferencias Finitas (MDF) (Beltrán,

1999; Simanca, 1999), el Método de los Elementos Finitos (MEF) (Oller, 2001; Oñate, 2005; O.C.

Zienkiewicz & R.L. Taylor, 2004), para el empleo de ambos métodos es imprescindible conocer los

parámetros que definen el medio que se desea modelar, como puede ser su geometría y la relación

tensión-deformación. Otros métodos son los de libre mallado (Liu, 2003.); tales como el Método de los

Elementos Discretos (MED).

Los métodos numéricos se emplean para caracterizar los estados tenso-deformacionales en cuerpos

sólidos, donde el procedimiento numérico más generalizado es el Método de los Elementos Finitos

(MEF). Entre las principales ventajas que hacen extensivo el método se señala que incorpora

herramientas de cálculos mejor elaboradas, además, permite modelar geometrías y materiales de

diversas complejidades y permite reproducir múltiples condiciones de carga y contorno, por eso es un

procedimiento adecuado para la modelación de pavimentos rígidos.

En el análisis y diseño de pavimentos las suposiciones realizadas ofrecen algunas limitaciones en su

aplicación. Para superarlas, desde comienzos de 1970, el MEF se ha convertido en una herramienta de

amplio uso para el análisis de pavimentos rígidos, existiendo algunas diferencias entre los estudios

desarrollados por los autores en cuanto a la forma de modelar la losa, en la interfase con el suelo y en

los mecanismos de transferencia de carga (pasadores).

En sus inicios, se empleó para la modelación de la losa la teoría básica de láminas delgadas, con la

creación de varios software como ILLISLAB (Tabatabaie & Barenberg, 1978; Tabatabaie &

Barenberg, 1980), WESLAYER (Chou, 1980 ; Huang & Wang, 1973), FEACONS(Tia, Armaghani, Wu,

Lei, & Toye, 1987), que modelaban la losa como un elemento Shell lineal elástico en 2D. Se modelaba

una losa de hormigón aislada, sin evaluar el efecto que pudieran generar otras losas. El medio soportante

(subrasante o base) era recreado como un medio lineal elástico, empleando dos formas para

representarlo, como un medio discreto de Winkler o los semiespacios infinitos (continuos elásticos).

Revisión Bibliográfica Capítulo I

37

Con la evolución en las formulaciones matemáticas del MEF comienzan a incluirse nuevos estudios en

las losas, como son los referidos a la interacción con las losas contiguas a partir de mecanismos de

transferencia, el efecto de la temperatura, la no linealidad de los materiales, el efecto dinámico de las

cargas y la modelación de la estructura en 3D. Un ejemplo claro de ello se evidencia en trabajos de

(Huang & Deng, 1983), (Huang, 1985) los cuales desarrollaron el modelo KENSLABS para incluir la

capacidad de modelar múltiples losas y varios mecanismos de transferencia de forma similar al ILLI-

SLAB, caracterizando la subrasante como un medio semielástico. También fueron estudiados la pérdida

del contacto con la subrasante y los efectos del refinamiento de las mallas.

(Channakeshava, Barzegar, & Voyiadjis, 1993) desarrollaron un modelo de elementos finitos estático

y no lineal en 3D para estudiar la reacción tridimensional del hormigón hidráulico masivo con pasadores.

La losa fue modelada con elementos cuádricos e isoparamétricos de 20 nodos. La subrasante fue

modelada como un macizo de Winkler con tres resortes lineales y discontinuos en cada nodo sobre la

base de la losa. En el estudio se consideraron tanto las cargas de tráfico como las térmicas producidas

por las variaciones cíclicas diurnas de temperaturas.

(Chatti, Lysmer, & Monismith, 1994) prolongaron el ILLI-SLAB 2D existente a un programa de

elementos finitos dinámico y lineal, llamado DYNA-SLAB, para estudiar los efectos de las cargas

dinámicas aplicadas por camiones en la respuesta de pavimentos rígidos. La losa de hormigón fue

modelada con elementos de placa y la subrasante fue tratada como un macizo de Winkler visco-elástico,

en capas sobre un cimiento rígido o un semiespacio infinito. Un método analítico fue desarrollado por los

autores para determinar la dependencia existente entre la frecuencia y los coeficientes de

amortiguamiento y rigidez usados en el modelo de Winkler. El modelo se verificó comparando los

resultados de la solución analítica para una carga puntual sobre una viga de longitud finita soportada por

un macizo visco-elástico de Winkler con la solución aproximada para una carga puntual sobre una placa

infinita en un macizo de Winkler. Se llevó a cabo un estudio paramétrico usando el modelo, con el fin de

investigar si un análisis dinámico es necesario para la predicción de la respuesta de un pavimento rígido.

Los parámetros incluyen: velocidad de vehículo, textura del pavimento, espesor de las capas, y eficiencia

de transferencia de cargas. Se llegó a la conclusión de que era importante usar la rugosidad esperada

del pavimento para determinar las máximas magnitudes y las ubicaciones históricas de la configuración

de ejes, pero los efectos dinámicos en la respuesta de la losa no eran significativos. También se

comprobó que la existencia de una capa rígida poco profunda o una capa de piedra, podían incrementar

los efectos dinámicos lo suficiente como para exigir que ellos sean considerados en el análisis.

(Kuo, Hall, & Darter, 1995) desarrollaron un modelo de elementos finitos elástico 3D usando ABAQUS

para investigar algunos de los factores que afectan el cimiento de un pavimento rígido, incluyendo el

Revisión Bibliográfica Capítulo I

38

espesor de la base y su rigidez, la adherencia en la interfase, el calentamiento de la losa y efecto de

combado debido al gradiente de temperatura, la transferencia de carga en las juntas y los anchos de

carril. Determinar el óptimo refinamiento de la malla y el tipo de elemento finito más conveniente, fueron

tareas que requirieron esfuerzos significativos, debido a la capacidad de cómputo existente en su

momento.

En este estudio fueron considerados tanto elementos de placa “Shell” 2D (4 nodos y 8 nodos) como

ladrillos “brick element” 3D (8 nodos y 20 nodos). La base tratada con cemento fue modelada usando

otra capa de elementos 3D, mientras que la subrasante fue tratada como un macizo de Winkler. Para

representar la interfase entre capas se empleó un elemento de membrana “plate” unido a otro elemento

con interfase especial. El modelo fue verificado comparando las predicciones del modelo con la solución

analítica de Westergaard y con las predicciones del modelo de elementos finitos ILLI-SLAB 2D. Cuando

se aplicaron elementos “Shell”, se obtuvo soluciones satisfactorias, como ejemplo se tiene el caso de

una losa fina con el área de carga suficientemente grande. Las respuestas predichas del modelo fueron

también comparadas con los resultados de prueba de campo a gran escala de la AASHO Road Test, con

las pruebas de la PCA sobre bases tratadas con cemento, y con las pruebas de carreteras de Arlington.

En general, se hallaron correspondencias entre los pronósticos de modelo y los datos de las pruebas de

campo.

(Masad, Taha, & Muhuntban, 1996) desarrollaron un modelo de elementos finitos 3D usando el

ABAQUS para examinar la respuesta de los pavimentos rígidos ante cargas térmicas. Tanto la losa como

la subrasante fueron modeladas con “brick elements” de 8 nodos. La losa y el cimiento se asumieron

linealmente elásticos, considerando en el análisis la pérdida de contacto entre ellos, las juntas

longitudinales, y la fricción. Se revisaron los gradientes de temperatura tanto lineales como no lineales.

Los resultados fueron comparados con modelos de elementos finitos 2D existentes como el ILLI-SLAB y

el JSLAB. Las tensiones máximas debidas al calentamiento, pronosticadas del modelo 3D, y las

existentes del 2D hallaron correspondencias satisfactorias.

(Brill, Hayboe, & Lee, 1997) desarrollaron un modelo de elementos finitos estático 3D para pavimentos

rígidos empleando el programa de elementos finitos de dominio público NIKE3D. A diferencia de la

mayoría de los modelos de elementos finitos 3D, la losa fue modelada con elementos “Shell” de 4 nodos

mientras que la subrasante lo fue con elementos lineales hexaédricos de 8 nodos. Fueron considerados

los dos tipos de transferencia posibles entre las losas, trabazón de agregados y transferencia de cortante

a través de pasadores, ambos modelados con elementos hexaédricos lineales y elásticos. Las tensiones

calculadas fueron comparadas con las soluciones analíticas, comprobándose en la mayoría de los casos,

que las diferencias entre las dos soluciones eran significativas.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

39

Otro modelo de elementos finitos estático 3D fue desarrollado por (Davids, 1998), el EverFE, para

modelar la reacción de los sistemas de pavimento de hormigón masivo ante las cargas del tráfico y los

efectos ambientales. La losa, la base, y la subrasante fueron modelados usando elementos cuadráticos

y hexaédricos de 20 nodos. Todas las capas del pavimento fueron tratadas como materiales linealmente

elásticos. La subrasante se modeló como el macizo de Winkler usando un elemento de interfase

cuadrático de 8 nodos. Los mecanismos de transferencia (pasador o trabazón de agregados) fueron

modelados con elementos y relaciones constitutivas especializadas. Se consideraron dentro del espesor

de losa gradientes térmicos lineales, bilineales, y trilineales. El modelo fue verificado comparando las

tensiones y desplazamientos previstos, con los valores medidos en pruebas a escala de laboratorio en

un sistema de pavimento rígido.

1.9 Modelos de comportamiento

1.9.1 Estudio del fenómeno de fatiga en el hormigón

El daño por fatiga en los metales está relacionado con defectos cristalográficos y dislocaciones,

resultando en bandas deslizadoras seguidas por microgrietas. Bajo una carga repetida la microgrieta que

está en la posición del área más afectada se desarrollará al final una macrogrieta y se propagará,

resultando la falla.

El hormigón es menos homogéneo que el metal, y en vez de los defectos microscópicos contiene

imperfecciones relativamente grandes en forma de espacios vacíos, grietas reducidas y bolsas cubiertas

de agua. La iniciación de estas microgrietas, debido a la fatiga por carga, es un defecto inherente del

material. (Tepfers, 1982) basado en el estudio de fatiga en hormigones bajo carga cíclica uniaxial en

compresión, dividió el comportamiento de la fatiga en tres etapas. La primera, o etapa lineal, consiste en

la pre-existencia de fallas que vuelven a su condición original después de retirada la carga. En la siguiente

etapa, conocida como etapa no lineal endurecida, las microgrietas se empiezan a desarrollar en la

interfase del mortero-agregado. En la etapa final las microgrietas se propagan, formando macrogrietas y

las funciones de respuesta del material se debilitan bajo la carga, trayendo como consecuencia la pérdida

de capacidad portante de la pieza.

La carga de fatiga es a menudo clasificada en bajos y altos ciclos, aunque varias publicaciones ofrecen

diferentes caracterizaciones para el número de ciclos por cada clase. En ingeniería de pavimentos las

clases de fatiga relevantes son altos ciclos de fatiga, los cuales a menudo describen un rango de 104 a

107 ciclos de carga y un súper alto ciclo de fatiga con más de 107 ciclos de carga para el fallo. (Hsu,

1981) señala que hay una diferencia en el mecanismo de daño para hormigones sujetos a bajos y altos

Revisión Bibliográfica Capítulo I

40

ciclos de cargas. En los ciclos bajos de fatiga, la grieta se forma en el mortero, mientras que, en los ciclos

altos de fatiga, es el vínculo entre el agregado y el mortero el que se deteriora lentamente.

Partiendo de la idea planteada por (Silva & Cameiro, 2014; Zhang & Wu, 1997) de que la resistencia a

fatiga del hormigón está definida como la fracción de las tensiones que se originan y su resistencia

estática, se puede decir que los factores que generen cambio en esos términos, también afectan el

comportamiento a fatiga. Entre estos factores se encuentran:

Número de aplicaciones de carga

Resistencia y módulo de rotura

Espesor de la losa de hormigón

Espaciamiento entre juntas transversales

Apoyo en el borde de las losas

Apoyo de la sub-rasante

Aditivos

Tiempo de curado y edad del hormigón

Gran parte de estos factores tratan de ser tenidos en cuenta de manera íntegra en cualquier método de

diseño, por eso existen diversos modelos para caracterizar el fenómeno de fatiga (Balbo, 1999). Se

identifican aquellos que son desarrollados a partir de múltiples ensayos realizados en el laboratorio, con

la muestra moldeada o extraída del campo, y los que tienen como base los resultados en pistas

experimentales o tramos de pruebas monitoreados a lo largo de su vida útil.

Los modelos de fatiga son representados normalmente a partir del número de ciclos de carga que permite

la estructura antes de su fallo. El número de pasadas, como también se conoce, depende de la relación

entre la tensión actuante en el pavimento y la resistencia estática a tracción por flexión del hormigón. La

obtención de estos modelos tiene su base netamente experimental y pueden agruparse a partir de la

bibliografía en dos grupos.

Modelos realizados en el laboratorio con vigas prismáticas.

Modelos realizados en pistas y tramos de pruebas.

a) Modelos realizados en el laboratorio con vigas prismáticas

Estos modelos se obtienen mediante el ensayo (ASTM-C78, 2002), donde primero se obtienen los

módulos de rotura de algunas muestras en cada población y luego se ensaya con carga cíclica el resto

de las vigas, colocando como carga de referencia una proporción del módulo obtenido. Finalmente, se

realiza una regresión utilizando un modelo de la forma:

1 2log fN f f FRT (1.13)

Revisión Bibliográfica Capítulo I

41

Dónde:

f1 y f2 = son los coeficientes de regresión, en función de los resultados del ensayo.

Nf = Número de aplicaciones permisibles para que ocurra la falla

FRT= Factor de Relación entre Tensiones.

A continuación, se describen los trabajos realizados por diferentes autores, cuyas ecuaciones de

regresión se muestran en el Anexo 1.1.

El modelo más antiguo a fatiga para el hormigón fue el desarrollado por (Bradbury, 1938) realizado con

ensayos dinámicos en 1934, para el Departamento de Carreteras de Illinois, EUA.

(Raithby & Galloway, 1974) estudiaron la influencia de las condiciones de humedad en el número de

ciclos hasta la fatiga a flexión del hormigón hidráulico masivo, realizado en dos condiciones de ensayo,

con el hormigón saturado y con el hormigón seco al aire por una semana. Las pruebas concluidas en 6

meses, demostraron que la relación máxima entre tensiones estaba entre 55 % y 95 % de la resistencia

a la tracción de flexión estática. Los ensayos fueron realizados a una frecuencia de 20 Hz y los modelos

para la fatiga se obtuvieron para cada método de curado del hormigón.

(Darter, 1977) desarrolló un modelo experimental en flexión para pavimento de hormigón simple por

medio del análisis de 140 vigas, procedentes de tres estudios anteriores realizados en laboratorio. Los

datos obtenidos establecieron dos expresiones para probabilidades de rotura distintas (40 y 50 %). Para

el dimensionamiento de pavimentos de hormigón (Darter, 1977) recomienda utilizar un modelo para una

probabilidad de falla del 24%.

El criterio de fatiga del hormigón a la flexión propuesto por la (PCA, 1984) es similar al propuesto

anteriormente por su versión (PCA, 1966), con la diferencia de una modificación realizada al número de

repeticiones de carga, de 5 x105 para 107, efectuada para eliminar la discontinuidad en la curva,

considerada de irreal para muchos autores. Esa alteración en el comportamiento a fatiga del hormigón

condicionó un límite de fatiga. El número permitido de las repeticiones para cada nivel de carga fue

determinado sobre la base de la relación de tensiones (RT), ilimitado si es inferior a 0.45, entre 0,45 y

0,55 se emplea una ecuación exponencial, finalmente si es superior a 0.55 se considera logarítmica.

El modelo experimental empleado en Japón para describir la fatiga en la flexión en pavimentos de

hormigón utilizando agregados con dimensiones máximas de 20mm y 40mm, fue desarrollado por

(Iwama & Fukuda, 1986) ensayando 150 muestras. Los resultados mostraron que el diámetro máximo

del agregado no influye en el comportamiento a fatiga del material, obteniéndose una expresión para una

probabilidad de falla de un 50%.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

42

En Bélgica los investigadores (Stet & Frenay, 1998) presentaron un modelo para el dimensionamiento

de pavimento de hormigón simple, donde no indican si la ley de falla fue creada a partir de ensayos de

laboratorio o en pista experimental, pero aportan un elemento fundamental en las investigaciones. En las

tensiones de tracción consideran el efecto de combado en la losa por gradiente de temperatura.

(Cervo & Balbo, 2005) presentaron un modelo con distintos niveles de relación de tensiones,

frecuencias, contenido de cemento y humedad, obteniendo dos modelos, uno para hormigones

estándares y otro para hormigones de altas prestaciones. El propio (Balbo, 1999) en estudios anteriores

consideró que estos modelos obtenidos en laboratorio son conservadores, por los siguientes motivos:

En los pavimentos ocurren variaciones en la trayectoria de los vehículos, que pueden reducir las

solicitaciones en el punto más cargado; en el laboratorio ese punto es fijo.

La frecuencia en el laboratorio, es elevada, no permitiendo la relajación del material, fenómeno que

normalmente ocurre en las pistas.

En el laboratorio las fuerzas y presiones aplicadas son constantes, algo que no ocurre en la pista

donde las acciones son desiguales.

Se puede decir que los resultados de ensayos realizados en vigas fabricadas en laboratorio, no reflejan

completamente las condiciones reales de la estructura, lo que no quiere decir que no puedan utilizarse

en normativas de diseño. El caso más evidente es el método desarrollado por la (PCA, 1984), de muy

amplio uso, que obtuvo las leyes de fallo a partir múltiples ensayos realizados en vigas.

b) Modelos realizados en pistas y tramos de pruebas

El principal inconveniente que presentan estos modelos radica en que las mediciones en los tramos

presentan condiciones ambientales, de materiales y de tráficos muy específicas. Se les conoce como

función de transferencia y presentan una forma similar a la mostrada en la ecuación 1.14.

1

1

b

d

R

N aM

(1.14)

Donde N representa el número de repeticiones que conducen al fallo por fatiga, a1 y b1 las constantes

de calibración, σd la tensión lineal elástica determinada en el borde exterior de la losa y MR el módulo

de rotura del hormigón.

(Tayabji & Jiang, 1998) utilizaron en sus estudios un modelo de fatiga propuesto por la National

Cooperative Highway Program (NCHRP) que correlaciona la resistencia a tracción en flexión, el número

de ciclos de cargas y las tensiones estimadas para un nivel del 50 % de losas fisuradas.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

43

(Darter, 1996) contrastando modelos de laboratorio con desempeño observado en el campo, presentó

un modelo resultante de 30 años de observaciones en pavimentos de hormigón para aeropuertos, bajo

el auspicio de United States Army Corps of Engineers (USACE).

Los datos obtenidos por la AASHO fueron analizados detalladamente por (Majidzadeh, 1988),

considerando la teoría de placas para un medio multicapa lineal elástico, representando las distintas

capas que puede tener el pavimento. En este modelo el nivel de servicio final empleado fue de 2.0 para

un número de repeticiones de un eje simple con ruedas duales de 80 kN. El modelo de fatiga obtenido

fue nombrado como RISC.

El propio (Majidzadeh, 1988), presentó otro modelo denominado ARE, también desarrollado a partir de

un estudio del comportamiento en las pistas experimentales de las AASHO. En el modelo de fatiga

elaborado, el número de aplicaciones de carga se expresó como un eje equivalente de 80 kN,

considerando como factores de equivalencia los correspondientes a un nivel de servicio final de 2.5. En

los experimentos se empleó para el cálculo de las tensiones la teoría de losa apoyada sobre un medio

elástico.

(Majidzadeh, 1988), presenta un modelo desarrollado por (Vesic & Saxena, 1969) con la misma filosofía

de los anteriores solo que las tensiones en este caso se determinaron asumiendo el apoyo como un

medio discreto de infinitos apoyos elásticos.

c) Modelos que incorporaron la probabilidad de fallo

La aparición de los modelos de daño por fatiga teniendo en cuenta la fiabilidad surgen después de que

comienza a emplearse este concepto en los métodos de diseño, ofreciendo como principal ventaja cierto

nivel de flexibilidad condicionada por el caso de estudio. El primer modelo con esa concepción fue

elaborado por (McCall, 1958), que incorpora la probabilidad de falla, empleando un modelo obtenido de

una función de supervivencia con resultados experimentales (ecuación 1.15). Este enfoque ha sido

empleado en diversos estudios, tales como (Parker Jr, Barker, Gunkel, & Odom, 1979) y (Salsilli

Murua, 1991)

log( )log f

SR SN

(1.15)

Donde S representa la probabilidad de supervivencia al fallo. , y son coeficientes de regresión del

modelo.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

44

(Titus-Glover, Mallela, Darter, Voigt, & Waalkes, 2005) validan el empleo del modelo desarrollado por

McCall y desarrollan una expresión similar calculando sus coeficientes a partir de varios resultados

experimentales, posteriormente es incluida en el software (StreetPave12, 2014).

Aplicando cualquier ley de fallo, el daño por fatiga en la losa se estima utilizando la relación propuesta

por Miner en 1945. Este método supone que el pavimento de hormigón presenta un período de vida por

fatiga finito y puede resistir un número máximo de aplicaciones de carga (N) para un nivel de carga dado,

antes de que se presente la fractura. Cada carga de tránsito individual aplicada un número de

repeticiones (n) decrece la vida del pavimento en una cantidad dada por la relación n/N, definiéndose el

daño como:

100n

DFN

(1.16)

Dónde:

DF = Daño, proporción de la vida consumida cuando se utilizan entradas medias (50% de losas

agrietadas cuando el daño es de 100).

n = Número esperado de ejes.

N = Número permisible de ejes para agrietamiento de las losas por fatiga.

Este valor representa el porcentaje de vida consumida dado las repeticiones de las cargas de tránsito

hasta un determinado tiempo. Teóricamente, cuando σ(n/N) = 100, la fractura del hormigón podría

ocurrir; sin embargo, debido a la variabilidad de las cargas de tránsito cercanas al borde de la losa y en

la resistencia del hormigón, la fatiga de la losa puede ocurrir para porcentajes menores o superiores al

100, por eso generalmente se recomienda utilizar en los diseños el rango entre 90 y 120%.

1.10 Conclusiones parciales

Después del análisis de las fuentes bibliográficas consultadas se pueden establecer varias conclusiones,

que pueden agruparse de la forma siguiente:

a) Referidas a los factores de diseño

Los diferentes autores plantean que las tensiones críticas se originan cuando un vehículo pasa el

borde exterior de su rueda por el centro-borde de la losa, sin embargo, desde el punto de vista práctico

la probabilidad de que los vehículos pasen por dicha posición es muy baja, generalmente pasan a

cierta distancia, que puede variar en función del ancho de carril, de las dimensiones de los vehículos

y del volumen del tráfico. Es un tema a resolver ya que en la medida en que se separa el vehículo del

borde disminuyen las tensiones.

Revisión Bibliográfica Capítulo I

45

El concepto de área equivalente, es un término empleado por la mayoría de los autores, y permite

simplificar el fenómeno de interacción neumático pavimento, representado de diversas formas. Según

algunos autores, cuando se emplea el método de los elementos finitos es aconsejable utilizar un área

equivalente de forma rectangular o cuadrada, para lograr un mejor ajuste de los elementos en la zona

de carga.

En Cuba los pavimentos se construyen sin paseo de hormigón, generalmente son confeccionados

con material seleccionado o de hormigón asfáltico. El empleo de paseos de hormigón debe incluirse

como alternativa en el diseño y en la práctica constructiva, porque contribuye con la reducción de las

tensiones en la estructura y por consiguiente en los espesores.

La carga en el diseño se considera estática; constituye el caso más desfavorable para la estructura.

Se ha demostrado por diversos autores, que las tensiones originadas por las cargas son inversamente

proporcionales a la velocidad de los vehículos.

b) Referidas a los métodos de diseño

Los métodos existentes para el diseño de pavimento de hormigón simple, se fundamentan en la

evaluación de los mecanismos principales de fallos en la losa: el agrietamiento transversal provocado

por la acción repetida del tráfico (fatiga) y el escalonamiento con posterior fractura de las esquinas y

otras zonas de la losa producto de la pérdida de material en el cimiento (erosión).

Los principales problemas que se presentan en la aplicación de los métodos de diseño, radican en

que son concebidos para condiciones específicas de materiales, cargas y clima, por lo cual su

aplicación en otras situaciones implica realizar ciertas adaptaciones. Los métodos con enfoque

empírico-mecanicista ofrecen mayores posibilidades para adaptar un método a condiciones

específicas. El procedimiento de diseño más conveniente para la elaboración de una normativa en

Cuba es el de la Portland Cement Association (PCA).

Con la introducción del concepto de fiabilidad en el diseño de estructuras de pavimentos rígidos se

tienen en cuenta las diferentes características de las vías, por tanto, pueden obtenerse diseños más

racionales, ya que permite considerar las características de los materiales dependiente de la

importancia de la obra.

c) Referidas a los modelos de fatiga

Se puede confirmar que los modelos de fatiga para pavimentos de hormigón encontrados en la

bibliografía, tienen diferencias debido a la variabilidad de los estudios desarrollados por los autores,

Revisión Bibliográfica Capítulo I

46

pero de manera general todos formulan las repeticiones de cargas dependientes de la relación de

esfuerzos, entre las variables tensión de trabajo aplicada y la resistencia a flexión (módulo de rotura)

del hormigón.

Se demuestra que el hormigón no falla por fatiga cuando la relación de esfuerzos es menor de 0.45,

aunque no se ha encontrado un límite real arriba de 10 a 20 millones de repeticiones. La mayoría de

las leyes fueron concebidas para el 50% de probabilidad de falla. Sin embargo, esta probabilidad

pudiera variar en función de la importancia del proyecto. En el modelo obtenido por (McCall, 1958) el

valor probable resulta de una combinación entre la probabilidad de fallo y la confiabilidad del diseño.

d) Referidas a los modelos de respuesta

Los modelos clásicos de respuesta presentan insuficiencias que no permiten analizar la variación en

la posición de las cargas y no pueden explicar el fenómeno de transferencia de cargas entre las losas

en las juntas.

El modelo de Westergaard considera solo una losa y las capas de suelos de cimiento del pavimento

no son representadas explícitamente en el modelo de Winkler.

El modelo de las capas elásticas considera las capas en la dirección vertical, mientras que en la

horizontal asume una longitud infinita, sin discontinuidades, como bordes y juntas, lo que no permite

considerar lo que ocurre en las esquinas y bordes de la losa.

El empleo de modelos MEF 2D no es muy efectivo cuando se estudia el efecto de la posición de la

carga en la losa, por eso es conveniente utilizar un modelo en tres dimensiones para el análisis de

las tensiones y deformaciones en las losas de hormigón.

Cuando se emplea el MEF como herramienta numérica se cometen errores de aproximación que son

dependientes del tipo de elemento y de la densidad de malla empleada. Con muchos de los programas

existentes no se obtiene suficiente precisión, ya que datan de una época en que no existían

ordenadores potentes; en la actualidad se puede mejorar significativamente el acercamiento al

fenómeno real y aprovechar mejor el aporte que pueden brindar los materiales.

Capítulo II

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

47

2 Consideraciones generales sobre la modelación numérica de los factores para

determinar la relación de tensiones (RT)

2.1 Introducción

En la revisión bibliográfica se demostró que, en los enfoques para determinar el consumo de fatiga en

pavimentos de hormigón, es de suma importancia conocer el número de ejes que permite la estructura

durante el período de diseño, la cual, es calculada a partir de un modelo de regresión, obtenido de

ensayos realizados en el laboratorio o a escala real mediante tramos de prueba. Ese modelo varía en

función de las características específicas de los materiales componentes del hormigón. Depende

directamente de la tensión en la zona más traccionada de la losa y del módulo de rotura, esta fracción

se conoce como relación de tensiones (RT).

En este capítulo, se plantean las consideraciones generales para modelar numéricamente cada uno de

los elementos componentes de dicha relación, teniendo en cuenta las particularidades de las invariantes

en el proceso de modelación. Para lograr una correcta organización, se hizo uso de la figura 1.9, para

estructurar el proceso de modelación computacional. Esta representación gráfica permitió seguir una

secuencia lógica, aplicada a cada caso de estudio, Ver Anexos (2.1,2.5 y 2.8).

Primero, se confeccionó un modelo en 3D de un sistema de pavimento conformado con tres losas

apoyadas sobre un continuo elástico en las dos variantes constructivas que se dan en la práctica, con el

fin de determinar las tensiones que genera el eje de un vehículo en el borde de la estructura. Para tener

en cuenta otra posibilidad práctica, se realizó un modelo numérico axial-simétrico, que permite determinar

en cuanto se modifica el aporte del suelo de cimentación, en el caso particular que se coloque sobre la

subrasante una subbase granular. Finalmente, se reprodujo numéricamente en 3D el ensayo de la (NC-

245, 2003) para determinar el módulo de rotura del hormigón, teniendo en cuenta la variabilidad de los

hormigones de producción nacional.

La herramienta numérica empleada en la investigación es el programa computacional (ABAQUS/CAE,

2014) de la compañía Simulia Dassault Systemes Inc. El software constituye una potente interfase gráfica

de cálculo y análisis con propósitos generales sobre la base del Método de los Elementos Finitos (MEF).

Como antecedentes de su aplicación en el campo de los pavimentos rígidos se puede ejemplificar su uso

en los trabajos de (Alam, Haselbach, & Cofer, 2013; Davids, Turkiyyah, Mahoney, Wang, & Bush,

2003; Fang, Haddock, Bobet, & Sotelino, 2004; Khan, Qadeer, & A.B.Harwalkar, 2014; Kmiecik &

Kamiński, 2011; López & Piusseaut, 2015; Pánek & Vébr, 2007)

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

48

a). b).

2.2 Modelación en 3D del sistema de pavimento para el cálculo de tensiones en el borde

2.2.1 Modelación de la geometría

Cada una de las partes componentes han sido modeladas en tres dimensiones aprovechando las

facilidades que brinda ABAQUS/CAE, buscando siempre respetar al máximo las características

esenciales de la geometría de los pavimentos rígidos. En el caso particular de la investigación se siguen

las recomendaciones que da la Asociación Americana de Pavimentos de hormigón (ACPA1).

Se consideró dos variantes del modelo geométrico. En la primera, losa sin paseo de hormigón (caso más

frecuente en pavimentos construidos en Cuba); la segunda agrega la presencia de un paseo de hormigón

hidráulico amarrado con barras de acero. Ambas variantes representan la mitad de la vía, es decir, solo

un carril, ya que son simétricas figura 2.1.

Figura 2.1 Representación de las variantes posibles de un sistema de pavimentos. a) sin paseo de hormigón, b) con paseo de hormigón.

Los dos modelos están compuestos por losas de hormigón conectadas con pasadores de acero,

apoyadas en un suelo de cimiento representado como un semiespacio infinito. Cada uno de estos

cuerpos (volúmenes) o partes que componen la estructura, han sido construidos individualmente en el

“módulo partes” y posteriormente ensamblados en el “módulo de ensamblaje” de ABAQUS/CAE.

Seguidamente se describe sucintamente la concepción de cada parte en el caso más general (losa con

paseo de hormigón).

a) Pasador: Elemento de acero constituido por un cilindro con una longitud de 450 mm y un diámetro

de 32 mm, espaciados a 300 mm cada uno constituyendo un total de 11 pasadores en cada junta

transversal al tráfico.

b) Barras de amarre: Elemento de acero constituido por un cilindro con una longitud de 900 mm y un

diámetro de 13 mm, espaciados a 700 mm, conformando un total de 6 barras por losa, que conecta

cada losa con su paseo en la dirección paralela al tráfico.

1 American Concrete Pavement Association http://www.acpa.org/

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

49

c) Losa y paseo de hormigón: Estructuras en forma de paralepípedo con cavidades en las zonas en

que son colocados los pasadores. Para lograr esta cavidad se le debe restar a la losa el volumen del

pasador. Las losas tienen 4.50 x 3.50 metros de largo y ancho respectivamente y el espesor puede

variar en cada caso. Los paseos mantendrán el largo y espesor correspondiente a la losa y su ancho

será de 1.50 m.

d) Suelo de soporte (cimiento): Estructura hexaédrica representando un semiespacio infinito de suelo,

cuyas dimensiones volumétricas son de 13.50 x 5.00 x 3.00 m.

Figura 2.2 Características geométricas del modelo numérico.

2.2.2 Modelo del material

El modelo constitutivo que se empleó para el sistema losa-suelo de cimiento, fue seleccionado teniendo

en cuenta la naturaleza del fenómeno. La velocidad de aplicación de las cargas y su magnitud sumado

a la elevada rigidez de la losa, provocan que las tensiones que se originan estén por debajo de los límites

elásticos de los materiales, descartando así el fenómeno de plastificación, por ese análisis autores como

(Alam et al., 2013; Cho, McCullough, & Weissmann, 1996; Davids et al., 2003; Hossain, Muqtadir,

& Hoque, 1997; Sukumaran, Willis, & Chamala, 2004), consideraron en sus investigaciones modelar

el sistema de pavimento como medio lineal, elástico e isótropo, caracterizado por la proporcionalidad

entre esfuerzos y deformaciones unitarias, donde las constantes de proporcionalidad son el Módulo de

Young y la relación de Poisson (E, ν). Los valores de estas propiedades se tomaron siguiendo criterios

y recomendaciones dada por la bibliografía y se muestran detalladamente en el Capítulo 3.

2.2.3 Modelo representativo de la carga

Se analizaron dos tipos de ejes. El primero, es un eje simple con ruedas duales, cuyo peso se igualó al

eje cálculo establecido por la norma cubana de pavimento flexibles (NC-334, 2004) (eje simple con

ruedas duales de 100 kN). El segundo, corresponde a un eje tándem y su peso fue determinado a partir

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

50

ESR ETRHuella equivalente

de dividir el eje de cálculo entre un factor que tiene en cuenta el tipo de eje y la configuración de los

neumáticos, este factor se obtuvo de la (NC-334, 2004), resultando un eje tándem con ruedas duales de

180 kN. La naturaleza de la carga se consideró estática, ya que esta constituye para el cálculo de

tensiones el caso más desfavorable, según muestran análisis realizados por (Anguas et al., 2002).

2.2.3.1 Consideraciones para la configuración y ubicación de la carga

Para la configuración de la carga se siguieron las consideraciones tomadas por los autores, referido al

concepto de área equivalente para un kit de ruedas duales (Capitulo 1). La presión de contacto se fijó

teniendo en cuenta el valor recomendado por la Norma Cubana de Pavimentos flexibles (NC-334, 2004)

q=0.7 MPa. Pudiera ser un resultado conservador, pero nos coloca del lado de la seguridad. La

conformación de la huella fue cuadrada para llegar a un mejor ajuste cuando se realice el mallado de

elementos finitos. A continuación, se muestran las dimensiones de las áreas de contacto para los dos

casos de estudio.

Figura 2.3 Dimensiones de los ejes de cálculo (m).

Tabla 2.1 Dimensiones del área de contacto equivalente.

2.2.4 Relación de interacciones entre elementos

En el análisis de elementos finitos utilizando ABAQUS/CAE, se definieron superficies de contacto entre

elementos que poseen determinadas características y son establecidas según la relación física que exista

entre sus componentes. Estas son claves para la adecuada convergencia de la solución del modelo. En

el Anexo 2.2 se explican cada una de estas interacciones relacionándolas con lo que sucede en la

realidad.

Tipo de eje Dimensiones del área de

contacto equivalente “b” (mm)

Eje simple con ruedas duales (ESRD) 332

Eje tándem con ruedas duales (ETRD) 321

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

51

2.2.5 Modelo de condiciones de contorno

En ambos modelos las losas de hormigón están apoyadas sobre un suelo como medio soportante. Dicho

suelo es representado como un semiespacio infinito, modelado a través de un dominio con geometría

rectangular. Las condiciones de borde para idealizar este medio surgen a partir de criterios desarrollados

por (Alam et al., 2013; Fang et al., 2004; Hossain et al., 1997; Pánek & Vébr, 2007), donde se restringe

los desplazamientos en las direcciones horizontales U1 y U2 (correspondiente a los ejes “X” y “Y”,

respectivamente) en la periferia del dominio, los desplazamientos verticales en dicho contorno no se

restringieron permitiendo que las tensiones y desplazamiento en ese sentido se propaguen hasta el final

del continuo sin generar distorsiones en el modelo numérico. En el fondo se colocaron restricciones en

las tres direcciones representando un lecho de rocas. En el extremo correspondiente al límite entre un

carril y otro se colocaron tanto en la losa como en el suelo condiciones de simetría en el eje X (XSIMM

U1=U2=U3=0) definiendo solo la sección de estudio. Ver figura 2.4.

Figura 2.4 Esquema de las dos variantes con sus condiciones de contorno y restricciones.

2.2.6 Calibración y validación del sistema de pavimentos

Cuando se emplean métodos numéricos en la solución de diversos problemas de ingeniería, los

resultados obtenidos son aproximados. Por este motivo los modelos numéricos tienen que someterse a

un proceso de calibración, del cual se puede decir que consta de dos pasos fundamentales la calibración

matemática y la calibración física. La calibración matemática garantiza una aproximación adecuada y

estabilidad de la solución obtenida. Por su parte, la calibración física, garantiza que el modelo

implementado tenga correspondencia con el fenómeno físico que se estudia. Por esta razón el proceso

de calibración física necesita disponer de ensayos previos a escala real o reducida del fenómeno

estudiado. En el caso particular de esta investigación se carece de tales resultados, por tanto, solo se

limitó a calibrar matemáticamente el modelo y a su estudio de sensibilidad.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

52

2.2.6.1 Calibración matemática

a) Selección del tipo de elementos finitos

(ABAQUS/CAE, 2014) Cuenta en su biblioteca de elementos sólidos (3D) con tres tipologías diferentes:

los prismáticos de seis lados, prismáticos de cinco lados (cuñas) y tetraedros (pirámide de base

triangular), los cuales pueden pertenecer a las familias lagrangeanas o serendípeta indistintamente.

Para el estudio se pudiera variar las tres tipologías de elementos, sin embargo, para la elección se tuvo

en cuenta lo planteado en las investigaciones precedentes donde se empleó el método de los elementos

finitos (MEF) ya referidas en el capítulo 1 y la configuración geométrica del modelo. A partir de esto se

colocó el elemento prismático de seis lados y ocho nodos perteneciente a la familia serendípeta conocido

en la biblioteca de (ABAQUS/CAE, 2014) como el C3D8 en la losa de hormigón, pasadores, barras de

amarre y cimiento.

b) Estudio y selección de la densidad de malla

No basta con conocer el tipo de elemento, sino que también es necesario determinar su tamaño

adecuado a fin de obtener una buena convergencia con un óptimo costo computacional, aspecto que es

muy subjetivo, pues depende en gran medida de la disponibilidad tecnológica que se cuente en materia

de hardware. A medida que disminuye el tamaño de los elementos finitos al discretizarse un volumen, se

minimiza el error, pues aumenta la cantidad de nodos, disminuyendo la distancia entre estos, aspecto

que provoca el incremento del costo computacional, donde muchas veces los procesos de cálculo son

extremadamente prolongados. Mallas muy densas implicarían una mejor interpolación numérica, pero

una mayor cantidad de elementos en la matriz rigidez aumentando así el número de ecuaciones lineales

a solucionar.

Para la selección de la densidad de malla se mantuvo el elemento finito (C3D8) y se realizó un diseño

factorial, combinando las separaciones entre nodos en la horizontal (b) y la vertical (h), de forma tal que

se respetaran las recomendaciones referidas a la relación de aspecto del elemento (Oñate, 2005; O.C.

Zienkiewicz & R.L. Taylor, 2004) . El estudio solo se llevó a cabo en la losa central (incluyendo el paseo

de hormigón), en el resto de las losas y el cimiento se mantuvo una malla constante, (100x100x100 mm

en losas y paseos, 200x200x200 mm en el cimiento). La separación entre nodos se varió desde 100

mm hasta 20 mm. La variable de control medida en cada combinación fue la tensión en la fibra más

traccionada debajo de la huella ubicada en el borde de la losa. Ver figura 2.5.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

53

Figura 2.5 Esquema representativo del diseño factorial y su variable de control.

Como valor de contraste o patrón se tomó la tensión obtenida en la misma posición donde se midió en

el modelo propuesto, pero empleando un software de propósito específico también basado en el MEF

elaborado por la Universidad de Maine (EverFE, 2004), ya validado y empleado en sus versiones

anteriores por (Davids & Mahoney, 1999; Davids, Turkiyyah, & Mahoney, 1998; Davids, Turkiyyah,

& Mahoney, 2004). El software se basa en una losa de hormigón apoyada sobre un medio discreto de

Winkler, caracterizado por el módulo de reacción “k”.

Figura 2.6 Modelo empleado para la calibración numérica.

El modelo estudiado presenta las mismas características en la losa que el de la Universidad de Maine,

pero difieren en cómo caracterizar el cimiento; para lograr una equivalencia entre ambos resultados y

poder contrastar las soluciones del estudio con el valor patrón, se convirtió el módulo de reacción de la

subrasante (k) del modelo de Maine en módulo resiliente (Mr). Para ellos se usó una correlación

implementada en el software (StreetPave12, 2014). Ecuación 2.1.

2( ) 0.001 0.3727 23.317RM k k k (2.1)

En el estudio se corrieron un total de 25 combinaciones con las condiciones fijadas en la figura 2.6 y se

compararon los resultados de cada una de ellas contra los del EverFE v2.24 (modelo con malla densa).

C3D8

Losa de hormigón:

h=200 mm

Eh=26000 MPa

ν=0.17

Suelo del cimiento:

k=40 MPa/m

Equivale a:

Mr=132 MPa

ν=0.35

Eje simple con ruedas duales de 100 kN

A 20 mm

B 40 mm

C 60 mm

D 80 mm

E 100 mm

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

54

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0 20 40 60 80 100

Ten

sió

n e

n e

l bo

rde

(MP

a)

Tamaño de malla vertical en mm (h)

Mh=20mm

Mh=40mm

Mh=60mm

Mh=80mm

Mh=100mm

Tamaño de malla horizontal (b)

22:32:10

3:11:31

1:01:490:45:55

0:31:55

0:14:24

2:24:00

0:00:00

0 20 40 60 80 100

Tie

mp

o d

e co

mp

uto

(h

h:m

m:s

s)

Tamaño de malla vertical en mm (h)

CPU: Intel Core i5Mem. RAM: 6.0 GB

b) a)

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

0 20 40 60 80 100 120

Err

or

rela

tivo

(%

)

Tamaño de malla vertical en mm (h)

El método empleado para comparar las soluciones fue el de las normas de error absoluto y relativo en

un punto. Los resultados del estudio pueden verse en una tabla en el Anexo 2.3. Con la tabla se

construyeron varios gráficos que se muestran a continuación.

Figura 2.7 Influencia de las combinaciones de tamaño tanto en la vertical como la horizontal.

La figura muestra que las líneas correspondientes a cada densidad de malla horizontal prácticamente no

se separan lo que indica la poca influencia sobre la variable respuesta, no ocurre así con la malla vertical

que a medida que esta se hace más densa las tensiones aumentan con excepción de las densidades 60

y 80 que se generaron en la vertical casi la misma cantidad de elementos por tanto no genera mucho

cambio. Para la selección de la combinación definitiva del anexo se extrajeron las mallas que menor

error tenían y con estas se construyeron los siguientes gráficos.

Figura 2.8 a) Comportamiento del error en función del tamaño de la malla en la vertical. b) Comportamiento del tiempo de cómputo con el incremento en la densidad de malla vertical.

Como muestra la figura 2.8 (a) a medida que se refina la malla en la horizontal para la máxima densidad

en la vertical se reduce el error hasta un punto donde este prácticamente no comienza a variar y se

encuentra por debajo al 3% respecto al valor patrón. Inicialmente esto corrobora de cierta manera, la

eficiencia de esta densidad de malla y lo planteado por (O.C Zienkiewicz & R.L Taylor, 2004) sobre que

a medida que la densidad de malla aumenta la convergencia hacia la solución es cada vez mejor hasta

un cierto límite donde un aumento en la malla ya no genera cambios en la solución pero sigue creciendo

el tiempo de cálculo, esto se puede observar en la figura 2.8 (b) donde se aprecia como el tiempo de

cómputo crece exponencialmente.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

55

0

50

100

150

200

250

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Tie

mp

o d

e C

PU

(m

in)

Profundidad del cimiento x1000 (mm)

Des

pla

zam

ien

to (

mm

)

Después de valorar lo antes tratado se puede concluir que la densidad óptima para la disponibilidad de

hardware con que se cuenta es la de resolución 40x40x20 mm en la losa y 200x200x200 mm en el

cimiento, con tiempo de cálculo de aproximadamente de 3 horas y 11 min.

2.2.7 Simplificaciones en el dominio

Usualmente, la modelación de sólidos elásticos en ABAQUS no genera mucho tiempo de cálculo, sin

embargo, en el modelo propuesto, el tamaño y número de partes sumado las múltiples interacciones

(pasadores y barras de amarre) provocan que se retarde la convergencia de la solución. En la

investigación se pretende modelar un gran número de casos, lo que implica demoras en el estudio, es

por ello, que se decidió realizar simplificaciones en el dominio, con el fin de reducir dicho tiempo.

2.2.7.1 Análisis de profundidad del semiespacio infinito

En este estudio se pretende encontrar la profundidad de suelo que acerque al dominio a la condición de

semiespacio infinito, invirtiendo en el análisis el menor tiempo de cómputo. Es de suma importancia

analizar tal condición, pues cuando el domino es muy pequeño las ligaduras colocadas en el contorno

introducen fuerzas de reacción que incrementan la respuesta del medio por efecto de confinamiento. En

el estudio se tomaron varias profundidades del cimiento y se fue verificando el desplazamiento en un

nodo de control próximos al contorno, teniendo en cuenta que el modelo se encontrara en la condición

más desfavorable (mínimo espesor de losa y calidad del cimiento, sin paseo de hormigón). Los resultados

del estudio se pueden ver en detalles en el Anexo 2.4 y se muestran en la siguiente gráfica.

Figura 2.9 Influencia de la profundidad del cimiento en el desplazamiento.

Como se evidencia en la figura, a medida que el suelo tiene mayor profundidad se asemeja más a la

condición de espacio infinito, ya que el desplazamiento antes del contorno tiende a cero, sin embargo,

cuando se aumenta el tamaño del dominio, aumenta también, el número de elementos finitos, por tanto,

crece el costo de cómputo. Para llegar a un balance se buscó una profundidad de cimiento razonable,

donde el costo no fuera elevado y el desplazamiento fuera próximo a cero, la profundidad obtenida fue

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

56

0.700

1.200

1.700

2.200

2.700

2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00Ten

sió

n d

e fl

exo

-tra

cció

n (

MP

a)

longitudes de losas (m)

Modelo 1

Modelo 2

12.62%

7.49%

4.95%

2.56%

0.60% 0.40%0.12% 0.33% 0.17%

0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

Err

or

rela

tivo

%

Longitud de losa (m)

a) b)

.

Modelo 2 Modelo 1

de 1.50 m con una duración de cálculo computacional de 33 minutos para el caso de losa sin paseo de

hormigón; si se le coloca este, el tiempo crece aproximadamente en 2.5 veces este valor (1 hora y 23

minutos).

2.2.7.2 Simplificación geométrica del sistema de pavimentos

Para realizar la simplificación geométrica se partió de planteamientos realizados por (Packard, 1968;

Pickett & Ray, 1951), donde afirman que cuando la carga está ubicada en el centro borde de la losa, la

presencia de juntas transversales tienen muy poca influencia en los resultados debido a la lejanía relativa

de la carga. De esta manera, las tensiones en el centro borde de la losa son independientes del tipo de

mecanismo de transferencia de cargas. Este planteamiento condujo a simplificaciones geométricas del

modelo prescindiendo de las dos losas extremas.

Se demostró lo planteado por autores, a partir de construir un modelo de una losa y compararla con el

modelo integro inicialmente empleado en la investiación, bajo las mismas condiciones de carga y

materiales, figura 2.10.

Figura 2.10 Modelos a comparar en el análisis de simplificación geométrica.

Se emplearon distintios tamaños de losas con un mismo ancho de carril (3.50 m) en ambos modelos. En

cada caso se midieron las tensiones debajo del centro de la huella ubicada en el centro borde de la losa,

a partir de aquí, se compararon ambos resultados con dos gráficos que reflejan las diferencias y el error

que se comete cuando se usa un modelo u otro, a partir de variar los tamaños de losas.

Figura 2.11 a) Comportamiento de las tensiones en ambos modelos para distintas longitudes de losas. b) Error que se puede cometer en una solución con respecto a la otra.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

57

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

100 150 200 250 300 350 400

Ten

sió

n e

n e

l bo

rde

(MP

a)

Espesor de losa (mm)

(Westergaard, 1947)

(EverFE v2.24, 2004)

(ABAQUS,2014)

La gráfica de la figura 2.11 (a) muestra la variación de las tensiones para ambos modelos. Se puede

apreciar que para longitudes de losas menores a 3.5 m (losa cuadrada), el gráfico que representa el

modelo 1 da tensiones más pequeñas en comparación al modelo 2, este fenómeno ocurre debido a la

influencia del mecanismo de transferencia de carga, el cual contribuye a minimizar los esfuerzos que se

originan en la losa central distribuyendo parte de ellos hacia las contiguas. Para longitudes mayores a

3.5 m las gráficas que representan el comportamiento de ambos modelos no tienen prácticamente

diferencias, lo cual se ve más claro cuando se analizan los errores en la figura 2.11 (b), donde se puede

cuantificar que a partir de 3.5 m el error que se puede cometer usando un modelo u otro no supera el

5%, esto corrobora lo planteado por los autores citados al inicio de este epígrafe y nos permite simplificar

el modelo de aquí en lo adelante a una sola losa.

2.2.8 Validación y estudio comparativo del ensayo numérico definitivo con los modelos de

Westergaard y el EverFE

Para validar las condiciones preestablecidas en el proceso de calibración matemática, se comparó el

modelo numérico en ABAQUS/CAE, con el modelo de respuesta clásico de (Harald Malcolm

Westergaard, 1948) y el resultado de un software de elementos finitos EverFE v2.24 empleado

anteriormente en el proceso de calibración numérica. Para lograr correspondencia numérica entre los

tres modelos fue necesario en el caso del modelo de ABAQUS realizar nuevamente una equivalencia

entre módulo de reacción y el módulo resiliente (ecuación 1.8) en el suelo de cimiento de la losa. Para

validar se varió el espesor de losa aproximadamente sobre los límites a emplear en la investigación

tomando en todos los casos la tensión en flexo-tracción que se origina en el centro borde de la losa,

mostrándose los resultados en el siguiente gráfico.

Figura 2.12 Influencia del espesor sobre las tensiones empleando distintos métodos.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

58

El gráfico muestra que el modelo numérico de (ABAQUS/CAE, 2014) sigue tendencias en los resultados

parecidas a las del resto. Las diferencias con el modelo de (Harald Malcolm Westergaard, 1948) están

dadas porque para analizar el fenómeno el investigador toma en cuenta hipótesis y simplificaciones que

conducen al modelo a un resultado conservador, no ocurre así, con el modelo del EverFE, donde las

diferencias son menores debido en parte, a que ambos programas comparten la misma herramienta de

cálculo numérico (MEF) sin embargo, no el mismo fenómeno físico, pues como se mencionó

anteriormente se realizó una equivalencia en el suelo de cimiento, a partir de una relación matemática

entre los dos parámetros, lo que introduce un error adicional. Independientemente de las diferencias

entre el modelo estudiado y el del EverFE no supera el 10% de error.

2.3 Modelo axial-simétrico para determinar el módulo del conjunto en el cimiento

Este epígrafe tiene como objetivo plantear las consideraciones generales para la simulación

computacional de un ensayo con placa de carga, que permitirá estudiar la influencia del comportamiento

mecánico de los materiales componentes de la subrasante y subbase en el módulo resiliente sobre la

superficie del pavimento. Para su validación, se emplearán resultados obtenidos de un tramo

experimental. Las consideraciones para la modelación siguen el esquema organizativo citado en el

epígrafe anterior visible en el Anexo 2.5.

2.3.1 Modelo geométrico del ensayo de placa

El modelo numérico intentará simular un ensayo con placa de carga en el campo (problema con infinitos

grados de libertad), para ellos debe considerar un medio de dimensiones finitas descrito por modelo axial-

simétrico con eje de simetría en el centro de la placa. El modelo se construyó de acuerdo a la teoría de

capas elásticas de (Burmister, 1945) siguiendo los criterios del “modelo bicapa con placa rígida de

carga”. Como el modelo fue validado con resultados experimentales realizados en Brasil, se siguieron

las recomendaciones de la norma de ensayo estático con placa de carga (DNIT/055, 2004) empleados

para este propósito.

El dominio se representa como un semiespacio axial-simétrico de dos capas; la superior correspondiente

a una base o subbase de 20 cm de espesor, mientras que la inferior se consideró de espesor infinito. Las

dimensiones del dominio se establecieron teniendo en cuenta el criterio de autores como (Broche, 2005;

Cobelo, 2004; Ibañez, 2001; Pérez, 2008) a fin de evitar que la placa cargada no interfiera en el estado

tenso-deformacional del medio. Es por eso que se asume las siguiente siguientes recomendaciones.

Figura 2.13.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

59

𝑞(𝑟) =𝑞𝑎

2(𝑎2 − 𝑟2)0.5 𝑠𝑖 𝑟 = 0 ∴ 𝑞 =

𝑞

2

𝑠𝑖 𝑟 = 𝑎 ∴ 𝑞 → ∞

a: radio de la placa

q: valor medio de la presión.

r: posición del punto en la función

Figura 2.13 Esquema del modelo axial-simétrico.

2.3.2 Modelo representativo de la carga

La carga en el ensayo se aplicó sobre una placa rígida, lo que nos aleja de la posibilidad de simular el

proceso como una carga distribuida en la superficie, ya que la distribución de presiones en una placa

rígida es no uniforme y tiende al infinito cuando nos acercamos al borde. Esto se demuestra con la

expresión que describe la distribución de presiones para ese caso obtenida por (Ullidtz, 1987) reflejada

también en el libro de (Huang, 2004)

Figura 2.14 Representación del modelo teórico de una placa rígida en el pavimento.

Para lograr este efecto analíticamente en el software, se construyó la placa como un elemento conocido

como rígido discreto, el cual es una parte que será mallada pero su rigidez es infinita. La carga se colocó

en un punto de referencia ubicado en el centro de la placa coincidente con el eje de simetría axial y se

fue aumentando en forma de rampa con incrementos del 10% del total a aplicar hasta llegar al 100% (0.7

MPa), aproximadamente donde se realizan las mediciones del desplazamiento en dicho punto.

2.3.3 Modelación de los materiales componentes

La modelación del material se desarrolló teniendo en cuenta que el módulo en la superficie es un

parámetro elástico, por eso, se toma un modelo constitutivo lineal elástico con módulo de elasticidad

(relacionado con el módulo resiliente para los modelos de respuesta en pavimentos) y el coeficiente de

Poisson (ν), ambos fueron estimados en función de la clasificación de los suelos de subrasante y subbase

a partir de trabajos realizados por (Papagiannakis & Masad, 2008). En la validación del modelo estas

Diámetro de la placa:

𝐷 = 0.8𝑚

Profundidad de suelo:

𝑎 ≥ 3.20m 4.00m

Ancho del suelo:

𝑏 ≥ 3.20m 4.00m

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

60

propiedades se estimaron a partir de la clasificación de los suelos del tramo experimental en la estación

129+10.0 (Anexo 2.6). Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

Tabla 2.2 Propiedades elásticas de los suelos estimadas para los suelos de los experimentos numéricos.

Estación Clasificación del

suelo según AASHTO

Capa Módulo de Elasticidad (MPa) Coeficiente de Poisson (ν)

Intervalo Valor medio Intervalo Valor medio

129+10.0 A-2-4 Base 193-259 226 0.3-0.4 0.35

A-7-6 subrasante 34-93 63 0.3-0.5 0.4

2.3.4 Mallado y calibración matemática del modelo.

La geometría del dominio fue discretizada con elementos isoparamétrico de 4 nodos con formulación

axial simétrica (ABAQUS, 2013), de manera que la mayor densidad de malla se encuentre en las zonas

de interés y siguiendo recomendaciones de (Oñate, 2005; O.C. Zienkiewicz & R.L. Taylor, 2004)

referidas a las características que deben cumplir el proceso de mallado de un sólido para evitar errores

en la convergencia.

2.3.4.1 Calibración matemática

A partir de estudios realizados con anterioridad en estos modelos solo se varió la densidad de malla sin

cambiar el tipo de elemento o esquema de integración. Se probaron 10 densidades en la zona de interés,

partiendo de una malla gruesa (100 mm) hasta una muy densa (10 mm), en cada da caso se extrajo la

variable respuesta (desplazamiento en el nodo de control), dichos valores se contrastaron con la solución

analítica de Burmister, para un sistema bicapa con placa rígida ilustrado en el libro de (Huang, 2004).

En el caso especial de esta calibración para seguir acorde con la solución analítica se cambió el

coeficiente de Poisson de ambas capas a ν=0.5. Los resultados se muestran en la figura 2.15 y Anexo

2.7.

Figura 2.15 a) Comportamiento de la densidad de malla vs variable respuesta. b) Error relativo respecto a la solución analítica.

-2

-1.95

-1.9

-1.85

-1.8

Des

pla

zam

ien

to e

n e

l no

do

de

con

tro

l (m

m)

Modelos

Aumento de densidad

a)

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

Err

or

rela

tivo

(%

)

Modelos

Aumento de densidad

b)

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

61

La figura 2.15 (a) muestra que a medida que aumenta la densidad de malla, el valor de la variable

respuesta y el error respecto a la solución analítica van disminuyendo hasta el punto MEF-3, donde se

torna asintótico, esto significa que a partir de ahí no se obtendrán mejoras en la convergencia numérica

del modelo, sin embargo, continuaría aumentando el costo de cómputo. En el caso de la figura 2.15 (b)

el error de manera general en todas las simulaciones oscila entre 8 y 2 % lo que demuestra que el modelo

desde el punto de vista físico no está lejos de la realidad y al igual que la figura 2.15 (a) en la densidad

MEF-3 los valores dejan de sufrir cambios.

Después de una valoración de los criterios antes tratados, se decidió adoptar la densidad de malla del

modelo MEF-4 (40 mm), ya que este ofrece un error muy pequeño respecto al “valor de malla más densa”

lo que conlleva a una buena aproximación con el mínimo de costo computacional.

2.3.4.2 Calibración física constitutiva y validación del modelo

Cuando se modelan fenómenos de la ingeniería relacionados con la mecánica del sólido usualmente se

emplean propiedades específicas de los materiales útiles para el desarrollo de determinado modelo

constitutivo, estas propiedades generalmente son el producto de múltiples ensayos, donde se extrae el

valor medio como resultado.

El uso de estos valores medios para la modelación computacional al momento de validar la solución

experimental trae ciertos errores, ya que las propiedades constitutivas del experimento en realidad no

coinciden en la mayoría de los casos con los valores medios. Para ello es que se desarrolla lo que se

conoce como calibración física donde se variarán las propiedades constitutivas del modelo numérico

hasta obtener una respuesta similar a la del experimento, siempre siguiendo la aleatoriedad que

persiguen dichas propiedades.

En la investigación se realizó un análisis inverso, donde a partir de la ecuación de una superficie de

respuesta de un experimento factorial realizado con el valor medio de los módulos de ambas capas y los

extremos de sus intervalos de confianza (Tabla 2.2), a fin de obtener la respuesta experimental con las

supuestas propiedades constitutivas de las capas. Se empleará para el estudio el asistente matemático

MATLAB R2014b como herramienta para la construcción e interpolación de la superficie de respuesta y

obtención de los módulos en el proceso inverso.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

62

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Des

pla

zam

ien

to (

mm

)

Presión (kPa)

EXPERIMENTO EST 129+10.0

ABAQUS calibrado

ABAQUS sin calibrar (valor medio)

Figura 2.16 Calibración física del ensayo de placa. a) Diseño factorial, b) Superficie respuesta y c)

Valores aproximado de los módulos de las capas a partir de la respuesta experimental.

En la figura 2.17 se puede validar los resultados comparando el modelo numérico sin calibrar (valores

medios de los módulos de las capas) y el modelo ya calibrado con el ensayo experimental.

Figura 2.17 Comparación de los resultados del modelo numérico sin calibrar y el calibrado con el

experimento.

Como se observa en el gráfico, el modelo calibrado físicamente se comporta casi de igual forma que el

ensayo desarrollado por (Rezende, 1999). Con ello es posible decir que la respuesta del modelo

numérico se acerca bastante a la realidad. Es necesario aclarar que estas condiciones no son definitivas,

pues los suelos para carreteras tienen un comportamiento extremadamente heterogéneo y muy difícil de

caracterizar. Sin embargo, este estudio sirve como referencia para decir que el modelo numérico

representa una aproximación fiable de un ensayo estático con placa de carga.

2.4 Modelación numérica del ensayo de módulo de rotura (MR) del hormigón

El módulo de rotura del hormigón es uno de los parámetros condicionantes en el comportamiento a fatiga

de los pavimentos, este, como se mencionó en el capítulo 1, se obtiene a través de ensayar a flexión una

viga isostática con carga a un medio o a un tercio de la luz (NC-245, 2003). Los resultados del ensayo

con carga a un tercio de la luz son los más usados para el diseño de pavimentos. En el siguiente epígrafe

Diseño factorial 32 Superficie respuesta Módulos reales del experimento

d (

mm

)

d (

mm

)

a) b) c)

E1=218.7 MPa E2=88.16 MPa d=0.8801 mm

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

63

se muestran las consideraciones para simular numéricamente el ensayo junto a su calibración y

validación con resultados experimentales. Al igual que el resto de las modelaciones anteriores tiene un

esquema organizativo visible en el Anexo 2.8

2.4.1 Modelo geométrico

La modelación computacional del ensayo (NC-245, 2003) considera dos elementos: vigas de hormigón

simple y mecanismos para la transmisión de carga. Las dimensiones de los elementos empleados en el

estudio se tomaron en función de unos experimentos realizados en la Universidad de São Pablo (USP)

por (Cervo, 2004), los cuales se emplearon en el proceso de calibración y validación del experimento

numérico. Los detalles del experimento se encuentran en el Anexo 2.9.

Figura 2.18 Representación geométrica de los ensayos realizados por (Cervo, 2004).

2.4.2 Modelo de cargas y condiciones de contorno

La carga en el modelo se situó partiendo de las consideraciones establecidas por la norma (cargas

puntuales a un 1/3 de la luz). Para lograr que la carga sea trasmitida a los cilindros se colocó un punto

de referencia en el medio y sobre el punto se le aplicó una restricción del tipo “equation constraint” la

cual provoca que la carga que se le suministre al punto de referencia sea trasmitida hacia los cilindros

metálicos de igual forma. Se incrementará progresivamente por pasos hasta la rotura del material,

empleando para ello en el módulo “Step” el análisis “Static Riks”. Se estableció la acción de la gravedad

para tener en cuenta el efecto del peso propio del elemento.

Las condiciones de contorno se colocaron tratando de representar físicamente lo que sucede durante el

experimento.

Para simular las condiciones isostáticas de la viga se restringe en uno de los apoyos tres grados de

libertad en desplazamiento en la dirección de X, Y y Z respectivamente y el otro solo en la dirección

de Z a fin de simular un simple apoyo.

Con el fin de evitar posibles torsiones en el modelo por concepto de la interacción rodillo-viga se

realiza un plano longitudinal de partición donde se restringe la dirección perpendicular a dicho plano,

de igual forma se realiza una partición con un plano central realizando el mismo proceso.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

64

En el caso del rodillo se le restringen las dos direcciones ortogonales a la dirección de aplicación de

la carga con el fin de evitar que estos se corran de su posición.

Figura 2.19 Condiciones de contorno del modelo.

2.4.3 Modelo de interacciones

Viga-Transmisor de cargas: Para esta interacción se utilizó un contacto normal del tipo “hard-contact”

de manera que la interfase responda ante los esfuerzos verticales y a su vez simule la condición de

vinculación de la viga solo con sus apoyos, lo que garantiza que esta no esté apoyada continuamente,

representando el fenómeno que ocurre en el modelo físico real.

Figura 2.20 Relaciones de contacto rodillo-viga de hormigón

2.4.4 Modelos constitutivos de los materiales componentes del sistema

a) Modelación del hormigón

En el proceso de modelación de geomateriales, en particular del hormigón, hay que tener en cuenta una

serie de aspectos relacionados con su comportamiento bajo diferentes estados tenso-deformacionales

(Bonilla, 2008). En el caso de la investigación en el ensayo se lleva el hormigón hasta el fallo, por eso

para la simulación del hormigón en la etapa no lineal ha sido utilizado el Modelo de Daño Plástico (Krätzig

& Pölling, 2004; Lee & Fenves, 1998; Lubliner, Oliver, Oller, & Oñate, 1989). Dicho modelo se

encuentra actualmente implementado en el código (ABAQUS/CAE, 2014), considera los fenómenos más

importantes del hormigón basados en los principios teóricos del Modelo de Mohr-Coulomb Modificado.

Siendo además creado para estudiar los efectos de daños irreversibles asociados a los mecanismos de

fallas, que ocurren en el hormigón, fenómeno coincidente con el ensayo tratado.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

65

0.00E+00

5.00E+06

1.00E+07

1.50E+07

2.00E+07

2.50E+07

3.00E+07

3.50E+07

0.000E+00 1.000E-03 2.000E-03 3.000E-03 4.000E-03

Ten

sió

n (

MP

a)

Deformación

Comportamiento en compresión

0.00E+00

5.00E+05

1.00E+06

1.50E+06

2.00E+06

2.50E+06

3.00E+06

3.50E+06

0.000E+00 5.000E-05 1.000E-04 1.500E-04 2.000E-04

Ten

sió

n (

MP

a)

Deplazamiento (m)

Comportamiento en tracción

Para la introducción de la curva de tensión-deformación en tracción, se utiliza el comando *CONCRETE

TENSION STIFFENING, TYPE=DISPLACEMENT y para la compresión *CONCRETE COMPRESSION HARDENING

(Figura 2.21). Dichas curvas se obtuvieron a través de modelos teóricos provenientes del Manual

Europeo (EHE-08, 2008), los cuales establecen sus modelos a partir de la resistencia a compresión

característica del hormigón (Framcisco López Almansa, Bashar Alfarah, & Sergio Oller, 2014; Birtel

& Mark, 2006) y (Kmiecik & Kamiński, 2011). Ver Anexo 2.11 (a) y 2.11 (b).

Tabla 2.3 Propiedades del hormigón en la etapa elástica.

Módulo de elasticidad (MPa) Coeficiente de Poisson

4700 ´cE f c 0.17

Densidad del hormigón γc = 2400 kg/m3

Tabla 2.4 Propiedades del hormigón en la etapa plástica.

Angulo de dilatancia (Ψ°)

Excentricidad fb0/fc0 K Parámetro de

viscosidad

15 0.1 1.16 0.66 0

Entre las propiedades en la etapa plástica se encuentra la excentricidad, la cual es un número positivo

pequeño que define la velocidad a la que el potencial de flujo hiperbólico se aproxima a su asíntota. El

valor predeterminado es 0.1. El parámetro fb0/fc0 es la relación entre el esfuerzo inicial de fluencia en

compresión biaxial y la tensión inicial uniaxial de fluencia a compresión. Para los parámetros K y el

parámetro de viscosidad también se han usado los valores predeterminados 0.66 y 0.0 respectivamente.

Figura 2.21 Curvas de comportamiento del hormigón.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

66

C3D8 C3D6 C3D4

C3D8 C3D6 C3D4

b) Modelación del transmisor de Cargas

El trasmisor de carga fue modelado como un material ficticio con módulo de elasticidad 10 veces mayor

que el del concreto para garantizar que cuando sea aplicada la carga este no se deforme y provoque

tensiones ajenas a las que se desean para el ensayo.

2.4.5 Calibración matemática

ABAQUS cuenta en su biblioteca de elementos sólidos (3D) con tres tipologías diferentes: los prismáticos

de seis lados, prismáticos de cinco lados (cuñas) y tetraedros (pirámide de base triangular), los cuales

pueden pertenecer a las familias lagrangeanas o serendípetas indistintamente.

Figura 2.22 Tipologías de elementos de la biblioteca de ABAQUS/CAE.

Se ha hecho un estudio para la selección del tipo de elemento finito y al mismo tiempo la densidad de

malla más conveniente, capaz de representar con la mayor aproximación el verdadero comportamiento

físico de la estructura, en este caso de la probeta experimental. Para tal propósito se realizó un diseño

multifactorial donde se variaron indistintamente cinco densidades de mallas con los tres tipos de

elementos finitos.

Los modelos para el estudio fueron sujetos a las mismas condiciones de borde, magnitud de la carga,

así como propiedades físicas de los materiales. Independientemente de que la combinación de elemento

y densidad sean diferentes.

En la siguiente tabla se muestra comparativamente el resultado de las variables respuesta, a partir de

las soluciones numéricas y experimentales. Se tomó como referencia la carga de rotura obtenida en el

ensayo experimental (Anexo 2.9) y las obtenidas utilizando las diferentes configuraciones, verificando

los resultados en el punto de control.

Figura 2.23 Mallado con distintos tipos de elementos finitos.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

67

Tabla 2.5 Resultados de la simulación virtual con diferentes tipos de elementos y densidades de malla.

Elemento Densidad de malla (mm)

cantidad de elementos

Carga de rotura (N)

Error absoluto (N)

Error relativo (%)

C3D8

30 168 10458 3169.2 23.26

25 256 11247 2380.1 17.47

20 600 11385 2242.3 16.45

15 1092 11654 1972.6 14.48

10 4000 12555 1072.3 7.87

C3D6

30 368 11138 2489.4 18.27

25 528 11740 1886.7 13.85

20 1272 12019 1608.3 11.80

15 2508 12393 1234.2 9.06

10 8820 12848 779.1 5.72

C3D4

30 1636 11992 1634.6 11.99

25 2531 12318 1308.5 9.60

20 5197 12932 695.3 5.10

15 9717 13269 358.0 2.63

10 29885 14329 701.8 5.15

Carga de rotura del experimento (Cervo, 2004)

13333

Como se observa en la tabla 2.5 cuando incrementa la densidad de malla en todos los casos el error

disminuye, siendo la densidad de 10 mm la que menos error propone. Eso corrobora lo planteado en el

libro de (O.C. Zienkiewicz & R.L. Taylor, 2004) respecto a que cuando se disminuye la separación entre

los nodos la solución numérica tiende a acercarse a la analítica, nombrando este proceso como

convergencia numérica. Por otra parte, se puede observar que el elemento C3D4 como plantean en sus

trabajos (Oñate, 2005; O.C. Zienkiewicz & R.L. Taylor, 2004), es el que más rápido converge a la

solución, pero a cambio de ello genera un número elevado de elemento que conduce a costo

computacional también elevado.

Después de analizar lo antes planteado referido a la convergencia, el tiempo de cómputo y tomando en

cuenta la geometría del cuerpo se seleccionó la combinación de C3D8 con 10 mm de resolución. Es

válido aclarar que evidentemente estamos sacrificando convergencia a cambio de costo computacional,

esto no es conclusivo, pues la selección de una combinación u otra es relativo a la configuración de

software que se posea.

2.4.6 Calibración física y validación de los resultados

En el experimento (V-I) y (V-II) de (Cervo, 2004) Anexo 2.9 no se contó con una caracterización completa

del comportamiento del hormigón, pero se tienen datos de la variabilidad del mismo, empleados también,

en una pista de ensayo de Universidad de São Pablo (Balbo, Rodolfo, Pereira, & Severi, 2004). Los

resultados de la resistencia media a compresión fueron de 33.15 MPa con un coeficiente de variación del

15% lo que estadísticamente representa una desviación de 4.97MPa.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

68

y = 0.0025x2 - 0.1218x + 5.8323R² = 1

4.2

4.4

4.6

4.8

5

25 27 29 31 33 35 37 39

Mód

ulo

de r

otur

a (M

Pa)

Resistencia a compresión (MPa)

f´cm+σ

f´cm

f´cm-σ

Partiendo de estos datos, calibró el modelo constitutivo elasto-plástico a partir de generar curvas de daño

con el valor medio y los extremos del intervalo a partir del procedimiento descrito en el Anexo 2.11 y con

ello determinar la tensión de rotura como variable respuesta.

Con los resultados mostrado en la tabla 2.6 se construyó un gráfico que permite a través de un análisis

inverso estimar la posible resistencia a compresión del experimento y con ello construir las posibles

curvas que describen su comportamiento en la etapa elasto-plástica.

Tabla 2.6 Resultado de las simulaciones realizadas a partir de la resistencia compresión

Característica del hormigón f´cm-σ f´cm f´cm+σ

Resistencia a compresión (MPa) 28.18 33.15 38.18

Módulo de rotura (MPa) 4.42 4.59 4.89

Figura 2.24 Resultado del módulo de rotura para los tres puntos.

Como muestra la figura 2.24 en los tres puntos estudiados luego de un ajuste se obtiene una ecuación

cuadrática con un coeficiente de aproximación del 100%, en la cual se entra con el valor de módulo de

rotura del experimento (V-I) (4.8 MPa) y se obtiene como resultado las raíces de dicha ecuación (ecuación

2.2), de las raíces se selecciona una tomando como criterio, que se encuentre dentro del intervalo de

confianza del experimento.

20.0027( ´ ) 0.1312( ´ ) 5.9896 4.8 RM f c f c MPa solución12.060

36.5322

4MPa

MPa

(2.2)

El experimento (V-I) se estima que haya tenido una resistencia de 36.5 MPa. Para validar el análisis se

generaron sus curvas correspondientes en compresión y tracción y se simuló el ensayo (V-I) con esas

condiciones comparándolo con los resultados obtenidos en el experimento real, además con esas

mismas condiciones se simuló también el ensayo (V-II), el cual tiene como particularidad que cambia el

tamaño de la probeta.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

69

Tabla 2.7 Validación de los resultados contrastados con los dos experimentos

Módulo de rotura (MPa) Con simulación simple Con simulación

calibrada

Experimental simulación

simple simulación calibrada

Error absoluto

(MPa)

Error Relativo

(%)

Error absoluto

(MPa)

Error Relativo

(%)

probetas 100x100x400 mm (V-I)

4.80 4.59 4.81 0.21 4.38 0.01 0.21

probetas 150x150x500 mm (V-II)

4.87 4.27 4.62 0.6 12.50 0.25 5.21

En la tabla 2.7 los valores ya calibrados ofrecen errores aceptables, ya que en el caso más lejano cuando

cambiamos la dimensión de la probeta los errores están en el orden del 5 %. Partiendo de estos

resultados damos por validado el comportamiento del modelo numérico para representar el ensayo de la

(NC-245, 2003) en la investigación.

2.5 Conclusiones parciales

Después de abordar todo lo relacionado con las consideraciones generales sobre el proceso de

modelación computacional de los factores para determinar el número de repeticiones admisibles por

fatiga, se puede arribar a las siguientes conclusiones atendiendo a:

Referidas al modelo en 3D del sistema de pavimentos

Para los tamaños de losas comúnmente empleados en pavimentos de hormigón simple (L ≥3,5 m)

no existen diferencias significativas en las tensiones (punto de control del estudio) entre la

modelación de un sistema con tres losas (con pasadores) y el modelo de una losa aislada. La

aplicación de este último como modelo definitivo agilizó la convergencia reduciendo el tiempo de

cálculo a 25 min (con paseo de hormigón).

A partir de la figura 2.12, se puede concluir que el modelo propuesto ofreció tensiones inferiores a

las soluciones obtenidas por las ecuaciones de Westergaard y el Software de elementos finitos

EverFE. Las principales diferencias en las tensiones se dieron por la presencia de un modelo

continuo del cimiento y mejoras en términos matemáticos en la formulación del método de elementos

finitos, sin embargo, la propuesta sigue la misma tendencia de ambos modelos lo que evidencia una

correcta modelación del fenómeno.

Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II

70

Referidas al modelo axial-simétrico para determinar el módulo del conjunto en el cimiento

A partir de los resultados obtenidos en el tramo experimental y en el modelo numérico se puede

concluir que con un modelo axial simétrico y empleando una correcta calibración matemática y física

fue posible la modelación confiable del ensayo con placa de carga.

Referida modelación numérica del ensayo de módulo de rotura (MR) del hormigón

Cuando se carece de resultados experimentales para la obtención de las curvas de comportamiento

del hormigón, es posible generar tales curvas, a partir de modelos teóricos que dependen de un solo

parámetro (resistencia a compresión), para posteriormente emplearlos como variable de entrada en

el modelo de daño plástico del hormigón.

Después de comparar los resultados obtenidos en el modelo numérico con los resultados

experimentales de (Cervo, 2004), se puede concluir que existe una adecuada correspondencia

entre experimentación y simulación virtual, planteando la validez de la utilización del Método de

Elementos Finitos con fines de estudiar ensayos experimentales como el módulo de rotura.

De manera general en la investigación se realizaron estudios que pretenden reducir los costosos ensayos

experimentales a partir de combinar simulación computacional y experimentación, este enfoque viene

integrado en un proceso, donde luego de simular numéricamente el fenómeno se realiza una calibración

matemática y física, después es validado teniendo en cuenta las mismas condiciones del experimento.

Esto avala el empleo de la modelación en el desarrollo de la investigación.

Capítulo III

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

71

3 Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga

en las condiciones de Cuba

3.1 Introducción

En el capítulo anterior se propusieron modelos numéricos que permiten la determinación de cada una de

las variables dependientes de la ecuación para obtener el número de repeticiones que admite un

pavimento de hormigón antes de su fallo por fatiga. Determinando, a partir de un proceso de calibración

y validación, que estos describen de manera fiable los fenómenos que se trataron.

En este capítulo se realiza un estudio de las variables dependientes en condiciones específicas de tráfico

y materiales, permitiendo, que se puedan evaluar todos los posibles escenarios que aparezcan para un

diseño en Cuba. Primero, se analiza el término superior de la relación de tensiones conocido como

tensión de trabajo ( i ) el cual pudiera depender de varios factores como la geometría, la carga y los

materiales del sistema. Dentro de este este primer tema se incluye un estudio que estima en cuanto se

modifica el aporte del suelo de cimiento por la colocación de una subbase granular como solución al caso

de la losa apoyada sobre una capa adicional. Posteriormente, se realiza el análisis del término inferior

de la relación correspondiente al módulo de rotura (MR), aquí se estudia a partir de datos de la producción

nacional de hormigones en planta, que relación pudiera tener esta propiedad con la resistencia a

compresión, empleando técnicas de simulación estocásticas. Finalmente, se realiza un estudio a partir

de múltiples leyes estudiadas en la bibliografía introduciendo la variable de fiabilidad en un modelo

matemático probabilístico.

3.2 Tensiones de trabajo para el cálculo de fatiga en las condiciones de Cuba

El carácter heterogéneo y aleatorio de los parámetros que intervienen en el comportamiento de las

tensiones, ha conducido a normas internacionales como la (PCA, 1984) a crear un mecanismo que les

permitia determinar el valor de estas tensiones a partir de un modelo concebido en condiciones

específicas de trabajo, donde se varían solo una parte de los parámetros en función del diseño y el resto

son calculados a través de factores de equivalencia. En la investigación se siguió la misma filosofía, pero

primero, fue necesario estudiar que parámetros podían mantenerse fijos y cuales se variarían.

3.2.1 Geometría de la losa.

Para analizar la influencia de la geometría se tuvieron en cuenta dos factores, el espesor y la

rectangularidad de las losas. El espesor como factor más importante en este proceso es evidente su

influencia en el comportamiento, pues todos los métodos de diseño lo emplean como variable de entrada

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

72

Condiciones invariantes del experimento: Resistencia a compresión del hormigón (f´c=30 MPa).

Espesor 200 mm

Módulo resiliente del cimiento E = 50 MPa

Eje simple de 100kN y presión de contacto de 0.7 MPa.

.

3.000

3.050

3.100

3.150

3.200

3.250

3.300

1.00 1.15 1.30 1.45 1.60 1.75 1.90 2.05

Ten

sió

n e

n e

l bo

rde

dir

ecci

ón

x-x

(M

Pa)

Rectangularidad (lL/lC)

Carril de 3.00 m

Carril de 3.25 m

Carril de 3.50 m

Carril de 3.75 m

en el dimensionamiento, sus valores están entre 120 y 200 mm. La rectangularidad por su parte, ya en

el capítulo anterior en el epígrafe 2.2.6.2, se mostraron indicios de su influencia de manera indirecta, ya

que no se trata como factor, sino que para el mismo ancho de carril se variaron las longitudes de las

losas. Ahora, se realizó un estudio factorial con los anchos de carriles y longitudes de losas y se

estableció la rectangularidad como la relación entre la luz larga (lL) y la corta (lC). El ancho de carril se

varió 3.0 m hasta 3.75 m y los largos entre 3.00 m y 6.00 m, siguiendo criterios de la ACPA2.

Figura 3.1 Resultado de las tensiones en función de la rectangularidad.

En la figura 3.1 se observa el comportamiento de las tensiones a medida que la rectangularidad aumenta

en cuatro tipos de ancho de carril. Aparentemente, las tensiones disminuyen a medida que la

rectangularidad crece, pero si se analiza la magnitud de los resultados se puede verificar que la diferencia

máxima existente entre valores no supera el 5% de error, lo que se consideró como un efecto de bajo

impacto. Esto permite tomar para el estudio de tensiones unas dimensiones fijas dentro del intervalo

estudiado.

3.2.2 Materiales del sistema

3.2.2.1 Resistencia a compresión del hormigón

El objetivo de este estudio es analizar la resistencia a compresión a los 28 días como una variable a

tener en cuenta en el cálculo de las tensiones a partir de la determinación de los parámetros elásticos

2 American Concrete Pavement Association http://www.acpa.org/

Rectangularidad (lL/lC)

Largo de la losa (m)

Ancho del carril (m)

3.00 3.25 3.50 3.75

3.75 1.25 1.15 1.07 1.00

4.50 1.50 1.38 1.29 1.20

5.25 1.75 1.62 1.50 1.40

6.00 2.00 1.85 1.71 1.60

Tabla 3.1 Estudio de la rectangularidad.

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

73

0

0.5

1

1.5

2

2.5

15 20 25 30 35 40 45 50

Ten

sió

n e

n e

l bo

rde

(MP

a)

Resistencia a compresión a los 28 días (MPa)

h=150 mm

h=200 mm

h=250 mm

h=300 mm

h=350 mm

del modelo empleando la correlación 4700 'E f c (MPa). Por lo general, los valores de f´c a los 28

días para hormigones utilizados en pavimento rígidos, varían entre 20 MPa y 50 MPa. En Cuba los

resultados de resistencia a compresión para pavimentos en la práctica han arrojado que se encuentran

frecuentemente entre 20 y 40 MPa. Por ello se realiza un diseño donde se varia las resistencias en ese

intervalo en conjunto con el espesor en el mismo intervalo.

Tabla 3.2 Resultados de la influencia del parámetro resistencia a compresión (f´c).

Espesor de losas

(mm)

f´c (MPa)

20 25 30 35 40

150 1.756 1.82 1.858 1.894 1.928

200 1.294 1.322 1.359 1.381 1.404

250 0.963 0.981 1.006 1.021 1.043

300 0.754 0.768 0.786 0.798 0.814

350 0.604 0.615 0.629 0.638 0.6497

Para caracterizar mejor los valores de la tabla se construyó un gráfico de tensiones contra resistencia a

compresión a los 28 días (f´c), para distintos espesores

.

Figura 3.2 Influencia de la calidad de hormigón en las tensiones que se generan en la losa, en el intervalo de resistencia de 20 a 35 MPa

Como se observa gráficamente, la calidad del hormigón dentro del intervalo analizado no ofrece marcada

variación en las tensiones que se generan en la losa ya que las diferencias máximas que se pueden

obtener entre tensiones es inferior al 9%. No obstante, se realizó una regresión múltiple de los parámetros

y se aplicó a cada uno una prueba de significancia, obteniéndose que el parámetro resistencia a

compresión a los 28 días presentaba un p-valor mayor a 0.05, lo que significa que no es estadísticamente

significativo con un nivel de confianza del 95.0%. Por tanto, para la determinación de las tensiones se

tomó como resistencia a los 28 días un valor fijo de f´c = 30 MPa (E=26000 MPa, ν=0.17).

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

74

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 200 400 600 800 1000

Ten

sio

nes

en

el b

ord

e (M

Pa)

Módulo resiliente de cimiento (MPa)

h= 150 mm

h= 200 mm

h= 250 mm

h= 300 mm

h= 350 mm

Condiciones invariantes del experimento:

Resistencia a compresión del

hormigón (f´c=30 MPa).

Losas de 4.5x3.5m

Eje de 100 kN y presión de

contacto de 0.6 MPa.

.

3.2.3 Calidad del cimiento

Para el estudio de influencia del suelo se toma como referencia el CBR, porque es el parámetro más

empleado en el diseño de pavimento por la bibliografía internacional, es de fácil obtención en los

laboratorios y presenta buena correlación con el módulo resiliente (parámetro empleado en los modelos).

Los intervalos de las calidades se seleccionaron analizando lo que propone la norma (NC-334, 2004) en

función del tráfico y teniendo en cuenta que pudiera existir una capa de material seleccionado. Se inicia

con un suelo adecuado para subrasante con valor de 5% de CBR que equivale aproximadamente a un

módulo de 50 MPa y se termina con un material de subbase de un 80 %, aproximadamente 800 MPa.

Los espesores se varían en los intervalos que emplean otras normas internacionales (AASHTO, 2004;

PCA, 1984). Figura 3.3.

Tabla 3.3 Resultados de la influencia del parámetro módulo elasticidad del conjunto.

Espesor de losas

(mm)

Módulo de elasticidad del conjunto (MPa)

50 200 350 500 650 800

150 2.853 2.133 1.858 1.689 1.568 1.474

200 1.981 1.53 1.359 1.253 1.176 1.116

250 1.426 1.123 1.006 0.934 0.881 0.84

300 1.08 0.873 0.786 0.733 0.694 0.664

350 0.836 0.695 0.629 0.587 0.557 0.534

Figura 3.3. Influencia del Módulo Resiliente en la tensión para varios espesores de losa.

De la gráfica es posible concluir que a medida que aumenta el espesor de la losa, disminuyen las

variaciones en las tensiones, evidenciado gráficamente por una reducción en la curvatura, esto se debe

al aporte en rigidez que da la losa ante la acción de la carga. También es posible decir, que a partir de

los 350 MPa el suelo tiende a tener poca influencia en las tensiones, corroborando lo expresado por

autores e instituciones (AS3600, 1994; Austroads, 2004; León, 1997; Yoder & Witczak, 1976), donde

se plantea que el mejoramiento de las capas de soporte no persigue un fin estructural, sino que se

colocan para reducir el efecto de la erosión y el ascenso de materiales finos a la superficie (bombeo), sin

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

75

embargo, cuando se mejora las propiedades del suelo se mejora ligeramente el comportamiento del

sistema por lo que este constituye un factor primordial a analizar en la obtención de las tensiones de

trabajo sobre todo cuando el espesor es pequeño.

3.2.4 Colocación de una subbase granular no aglomerada

Muchas veces nos encontramos con el problema de que el suelo de cimiento tiene elevado por cientos

de fino, lo cual es un factor que cataliza el fallo por erosión. Para reducir este efecto se recomienda la

colocación de una capa de material seleccionado sobre la subrasante, lo cual modifica las propiedades

de suelo como sistema para el diseño. Las propiedades del sistema dependerán ahora de una

combinación entre la calidad de los materiales empleados en la subrasante conjunto con los empleados

en la capa adicional y su espesor.

Para abordar todas las posibles soluciones de cimiento en el pavimento se realiza un estudio

multifactorial general que combina indistintamente calidades de subrasante con espesores y calidades

de subbase, tomando como elemento para la estimación de los módulos y los coeficientes de Poisson lo

planteado por la AASHTO (Papagiannakis & Masad, 2008). La calidad del suelo de subrasante se varió

desde 20 hasta 160 MPa (2 – 16 %). La subbase teniendo en cuenta que es para soportar un pavimento

rígido se emplearon calidades entre 160 y 500 MPa (16-50%). Tales calidades se combinaron con

espesores de subbase de 15, 20, 25 y 30 cm resultando un total de 320 simulaciones numéricas.

Con los resultados de las simulaciones se construyó un modelo que permite estimar el módulo de soporte

efectivo a partir de conocer las calidades de las capas subyacentes por medio de un modelo de regresión

múltiple. La variable dependiente es el módulo de superficie y las independientes son los módulos de la

subrasante (Esr), módulo de la subbase (Esb) y espesor de subbase (hsb), el cual se muestra a

continuación.

sb sb-34.2483 + 1.24472 E 0.121038 E + 0.122114 h sr (3.1)

El nivel de ajuste que ofrece el modelo se determinó a partir del coeficiente de determinación R-cuadrado,

con un valor de 98.23%, previamente se le realizó al modelo una prueba de significancia de cada uno de

los parámetros para ver si es posible prescindir de alguno de los términos de la ecuación, para ello se

empleó el p-valor el cual, en todos los casos dio menor que 0.05 indicando que todos los parámetros

empleado en análisis son estadísticamente significativos para una probabilidad del 95%. Desde el punto

de vista ingenieril se debe tener un margen de error en el proceso de estimación de los parámetros, por

eso también se muestra el intervalo de confianza y los errores permisibles en los coeficientes de la

ecuación. Tabla 3.4.

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

76

Tabla 3.4 Intervalos de confianza del 95.0% para las estimaciones de los coeficientes.

Parámetro Estimación Error Estándar Límite Inferior Límite Superior

CONSTANTE -34.2483 2.13793 -38.4547 -30.0419

Esr 1.24472 0.0096093 1.22581 1.26363

Esb 0.121038 0.00480465 0.111584 0.130491

hsb 0.122114 0.00622754 0.109861 0.134367

En la práctica del dimensionamiento de pavimento de hormigón, métodos como (AASHTO, 1993;

AASHTO, 2004; PCA, 1984) emplea para sus cálculos además de modelos matemáticos, la nomografía.

La nomografía es una herramienta surgida en los años 70, ya olvidada en la actualidad por el avance de

la informática, sin embargo, queda demostrado que en la paráctica todavía constituye una herramienta

de gran utilidad. Esta técnica consiste en representar gráficamente relaciones matemáticas o leyes físicas

a partir de ábacos o cartas de diseño (Doerfler, 2010).

En el caso particular de la investigación con la ecuación 3.1 se construyó un nomograma empleando un

script en Python conocido como (PyNomo, 2009). Ver figura 3.4.

El nomograma muestra todas las posibles variantes en la resistencia de los suelos de subrasante y

subbases granulares. La construcción de este gráfico no solo constituye una ventaja práctica sino, que

supera al método de la PCA, sustituyendo la idealización del cimiento como medio discreto por uno

continuo, que emplea como parámetro fundamental el módulo resiliente (Mr).

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

77

Figura 3.4 Nomograma para estimar el módulo resiliente en la superficie.

3.2.5 Análisis del tráfico.

El tráfico resulta uno de los aspectos de mayor interés en el comportamiento de los pavimentos, su

influencia resulta de una combinación de factores que ya fueron tratados en el primer capítulo. Para el

cálculo de las tensiones se modeló solo dos condiciones específicas correspondiente con los ejes de

cálculo en cada caso (simple de 100 kN y tándem 180 kN), posicionados exactamente en el borde de la

losa. Posteriormente, estas condiciones específicas son corregidas por factores de equivalencia que

tienen en cuenta el efecto del peso del eje y su posición en el pavimento. La presión de inflado es un

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

78

0.900

0.920

0.940

0.960

0.980

100 120 140 160 180 200 220Rel

ació

n d

e te

nsi

on

es

Espesor de losa (mm)

a)

0.800

0.850

0.900

0.950

1.000

50 100 150 200 250 300 350Rel

ació

n d

e te

nsi

on

es

Módulo resiliente del cimiento (MPa)

b)

elemento que se mantendrá constante a partir de los antecedente relacionados con la norma de

pavimentos flexibles (NC-334, 2004) q = 0.7 MPa.

3.2.5.1 Factor de ajuste por efecto del peso del eje (pf )

Este factor se determina a partir de la relación que existe entre la tensión que ocasiona un eje de

determinado peso (σi) y la originada por el eje referencia (σe). Para poder definir esta relación como un

factor fue necesario demostrar que esta solo se ve afectada significativamente por el efecto de la carga,

para ello, se realiza un estudio factorial 33 donde se combinaron espesores y calidades de los materiales

del sistema (resistencia a compresión en la losa y módulo resiliente en el suelo) teniendo como variable

de respuesta la relación de tensiones entre un eje de 82 kN y el eje de referencia de 100 kN. Los

resultados del estudio se muestran a continuación.

Figura 3.5 Influencia de los parámetros sobre el factor de ajuste por carga; a) Influencia del espesor de losa, b) influencia del módulo resiliente del cimiento.

En la figura 3.5, las variaciones que experimentan los factores no son significativas, pues el error máximo

respecto a la media no supera el 1 % y el error entre el valor máximo y el mínimo menor que el 1.2%.

Por tanto, podemos decir que ambos parámetros tienen influencia poco significativa en el

comportamiento de los factores.

Después de analizar que solo la carga influye significativamente en la relación estudiada, se determinó

el factor de equivalencia (pf ) a partir de establecer el efecto en tensiones que genera un eje de

determinado peso respecto al eje de referencia. Para lograr esto, se modela un sistema bajo las mismas

condiciones de geometría y materiales, empleando como cargas de referencia un eje simple con ruedas

duales de 100 kN y un eje tándem de 180 kN, luego, en esas mismas condiciones se modelaron distintos

pesos de ejes extrayéndose la relación de tensiones. Partiendo de que en Cuba no existe norma que

establezca la carga legal máxima, los intervalos de los pesos empleados se asumieron de acuerdo a lo

que establecen algunas normas internacionales. Ver tabla 3.5. Los resultados del estudio se muestran

en la figura 3.6.

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

79

0.600

0.650

0.700

0.750

0.800

0.850

0.900

0.950

1.000

1.050

1.100

1.150

1.200

1.250

1.300

1.350

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

Fac

tor

de

aju

ste

de

las

ten

sio

nes

po

r ef

ecto

de

la c

arg

a (f

p)

Peso del eje x 10 (kN)

Eje simple

Eje tándem

Tabla 3.5 Intervalos de carga legal máxima por tipo de ejes de algunos países.

Referencia normativa Rango de carga (kN)

Eje simple Eje tándem

República de Chile 70—110 140—180

España 100—130 110—200

México 50—120 110—210

Unión Europea 50—100 110—200

Uruguay 60—100 100—80

Figura 3.6 Factor de ajuste por efecto de la carga para eje simple y tándem.

Con el gráfico es posible determinar un factor que amplifique o reduzca las tensiones en función del eje

real que se esté estudiando teniendo en cuenta las dos configuraciones de ejes (ejes simples y ejes

tándem).

3.2.5.2 Ajuste de las tensiones teniendo en cuenta la posición de la carga

Como ya se explicó en el epígrafe 1.2.2.1 del Capítulo 1 solo un pequeño grupo de camiones circulan

por las inmediaciones del borde de la vía. Los ejes se mueven con la parte exterior de sus ruedas sobre

una franja aproximadamente de 60 cm de ancho respecto al borde. En el método de diseño de la PCA

se asume el 6% de camiones circulando dentro de la franja, para lo cual determinan un factor que reduce

las tensiones en el borde teniendo en cuenta la distancia y la probabilidad (fd= 0.896). Para la

determinación del factor de posición no se cuenta en Cuba con estudios experimentales con el nivel de

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

80

detalle que presenta la PCA, es por eso que en la investigación se limitó solo a determinar la probabilidad

de vehículos pesados dentro de la franja; que puede cambiar en función de las dimensiones de los ejes

que circulan en la vía que se estudia. El factor se determinó empleando el gráfico de la Figura 1.1.

Para la determinación de tal probabilidad, se realiza un estudio tomando como referencia tres vías de

dos carriles ubicadas dentro de La Habana. Estas vías tienen aproximadamente el mismo ancho de carril.

El objeto del estudio fue conocer cómo se distribuye la posición de los ejes en vehículos pesados a partir

de variar las distancias respecto al borde. La forma en que se diseñó y realizó el estudio constituye un

método indirecto aproximado, los detalles de su confección pueden ser consultados en el Anexo 3.1 y

los resultados se muestran a continuación.

Figura 3.7 Resultados del estudio posición del vehículo respecto a los bordes realizados en varias vías de La Habana.

Como se observa en el gráfico de probabilidad acumulada, para una distancia de 60 cm, corresponde

aproximadamente un 5.88% de vehículos pesados dentro de la franja, resultado que se acerca al de la

norma (PCA, 1984). Empleando el propio estudio de la PCA (Figura 1.1), se determina un nuevo

coeficiente de reducción (fp=0.890).

3.2.6 Tensiones equivalentes

Como resultado de la modelación del pavimento de hormigón simple, se obtuvieron las tensiones que se

originan en los bordes de la losa, con y sin paseo de hormigón, a partir de aplicar la carga de un eje

simple con ruedas duales de 100kN y en un segundo caso un eje tándem de 90 kN en el borde del

pavimento, estas tensiones fueron reducidas por un factor que se extrajo de la figura 1.1 teniendo en

cuenta que el 5.88 % de los camiones pasan a una distancia menor de 60 cm del borde de la vía. Para

la simulación de las combinaciones posibles se realizó un experimento multifactorial general donde se

combinó espesores de losas desde 12 cm hasta 35 cm, valores de módulo resiliente del cimiento desde

20 a 500 MPa, este último valor, correspondiente a calidades de bases no aglomeradas, estas tablas se

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

81

replicaron para las condiciones de la losa con paseo de hormigón y sin la presencia de este, para ejes

simples y tándem. El diseño del experimento se muestra en la siguiente tabla.

Tabla 3.6 Resumen del diseño multifactorial

Etiqueta Factor Variación Niveles

A Espesor (mm) 130 -- 350 23

B Calidad de soporte (MPa) 40 -- 500 12

C Condición de contorno con berma y sin berma 2

D Tipo de eje ejes simple y eje tándem 2

Diseño multifactorial general AxBxCxD total, de simulaciones 1104

Los resultados se expresaron desde el punto de vista práctico en dos juegos de tablas (con paseo de

hormigón y sin paseo de hormigón). A continuación, se muestra un fragmento de la tabla para un caso

específico de losas sin paseo de hormigón. Los resultados completos pueden ser consultados en el

Anexo 3.2(a) y 3.2 (b).

Tabla 3.7 Tabla de tensiones equivales en las condiciones de Cuba.

Espesor de losa (mm)

TENSIÓN EQUIVALENTE PARA PAVIMENTOS SIN PASEO DE HORMIGÓN (MPa)

MÓDULO RESILIENTE DEL CIMIENTO (MPa)

40 60 80 100 150 200

ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET

150 3.47 2.90 3.17 2.62 2.95 2.43 2.79 2.31 2.47 2.02 2.25 1.83

160 3.24 2.69 2.97 2.44 2.76 2.26 2.61 2.15 2.32 1.89 2.12 1.72

170 3.04 2.50 2.79 2.28 2.60 2.11 2.46 2.00 2.19 1.78 2.00 1.62

180 2.86 2.34 2.63 2.14 2.45 1.98 2.33 1.88 2.08 1.69 1.90 1.53

190 2.70 2.20 2.48 2.01 2.32 1.86 2.20 1.77 1.97 1.60 1.81 1.45

200 2.56 2.07 2.36 1.90 2.20 1.75 2.09 1.67 1.88 1.52 1.72 1.37

3.3 Relación entre el módulo de rotura y resistencia a compresión empleando simulación

estocástica

En este epígrafe se combina la generación sintética de tres poblaciones de resistencia a compresión (20,

25 y 30 MPa) con el módulo de rotura del hormigón, determinado simulando computacionalmente el

ensayo (NC-245, 2003), todo con el fin de establecer una relación entre ambas propiedades mecánicas.

Primero se realiza un estudio de los dos parámetros fundamentales que macroscópicamente intervienen

en los resultados del experimento, la resistencia a compresión y el tamaño del espécimen.

Posteriormente, comienza el estudio para la obtención de la relación matemática entre módulo de rotura

y resistencia a compresión teniendo en cuenta inicialmente las variables de entrada deterministas y luego

estocásticas. Finalmente, se realizan ajustes numéricos y estadísticos a fin de proponer una ecuación

para el uso en la práctica profesional.

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

82

0.00E+00

2.00E+03

4.00E+03

6.00E+03

8.00E+03

1.00E+04

1.20E+04

1.40E+04

1.60E+04

1.83

E-0

4

2.03

E-0

4

2.23

E-0

4

2.43

E-0

4

2.63

E-0

4

2.83

E-0

4

3.03

E-0

4

3.23

E-0

4

Car

ga

(N)

Desplazamiento (m)

f´c = 20 MPa

f´c = 25 MPa

f´c = 30 Mpa

f´c = 35 MPa

f´c = 40 MPa

3.3.1 Estudios de influencia

a) Influencia de la calidad del hormigón

La calidad del hormigón está asociada su resistencia a compresión, la cual clasifica a este material para

sus usos prácticos. En la investigación se pretende emplearlo en el diseño de pavimentos rígidos para

carreteras, estas resistencias según (Anguas et al., 2002; Kraemer & Val, 1996; Mallick & El-Korchi,

2013) oscilan entre 25 y 50 MPa a los 28 días. El análisis se realizará con las resistencias de 20, 25, 30,

35 y 40 MPa. Se define como variable de respuesta la capacidad de carga de la viga definida a partir de

la carga (P) que provoca el momento de rotura el cual por ser hormigón simple es igual al momento de

fisuración.

El estudio parte de generar para cada resistencia las propiedades elasto-plástica (curvas de

comportamiento en compresión y en tracción), usando las ecuaciones y los modelos teóricos que se

muestran en el Anexo 3.3 y luego simular el ensayo (NC-245, 2003) para cada una de las condiciones

manteniendo las dimensiones de la viga (100x100x400 mm), ver tabla 3.8.

Tabla 3.8 Influencia de la resistencia a compresión del hormigón en la capacidad de carga de la viga.

Espécimen Resistencia a

compresión f´c (MPa) Carga de rotura (N) Deflexión (m)

SP1 20 9856 0.000261

SP2 25 11123 0.000260

SP3 30 12229 0.000260

SP4 35 13249 0.000261

SP5 40 14263 0.000262

Figura 3.8 Comportamiento numérico del ensayo NC-245 con el cambio en su resistencia a compresión.

Como se observa en la tabla 3.8 a medida que aumenta la calidad del hormigón aumenta también su

capacidad de carga, esto indica que la resistencia a compresión influye de manera directa en el módulo

de rotura del hormigón. Por otra parte, se puede observar en la figura 3.8 el comportamiento numérico

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

83

del ensayo de flexión pura (NC-245, 2003), donde se evidencia el crecimiento de los valores de carga

límite y representado claramente las tres etapas por las que transita el hormigón (régimen lineal-elástico,

endurecimiento y ablandamiento).

b) Influencia de las dimensiones del espécimen

El efecto del tamaño del elemento conocido con la terminología en inglés como “Size Effect” incide

considerablemente en las propiedades de fractura del elemento, ya que a medida que el tamaño

aumenta, la energía de esta tiende a disminuir. En el campo de los pavimentos ha comenzado a tener

relevancia en los últimos años el estudio de la talla del elemento pues existe gran diferencia entre el

módulo de rotura en una viga y el de una losa de pavimento; esto no constituye objeto de estudio de la

investigación, pero se demostró el fenómeno variando las dimensiones de la viga, siempre siguiendo las

recomendaciones de la norma de ensayo ver figura 3.2.

Figura 3.9 Recomendaciones para el dimensionamiento de las probetas.(NC-245, 2003).

En la siguiente tabla y gráfico se muestra la influencia del tamaño del espécimen. Se variaron los tamaños

de las vigas en 2 niveles variando su luz libre (400 y 500 mm), el resto de las dimensiones se establecen

de acuerdo a lo recomendado (figura 3.9).

Tabla 3.9 Influencia del tamaño del espécimen en la capacidad de carga de la viga y su deflexión.

Ensayo Dimensiones (mm) Carga de rotura (N)

Deflexión (m)

SP-a 100x100x400 12284.07 0.0002580

SP-b 150x150x500 18136.13 0.0002684

SP-c 180x180x600 25677.99 0.0002866

El efecto del tamaño del espécimen está asociado a dos factores fundamentales; las dimensiones de la

sección transversal y su luz libre. Partiendo de los conceptos de fractura mientras más grande sea el

tamaño de un espécimen para la misma sección transversal se liberará más energía de fractura por tanto

su resistencia será más baja (Size effect). En el caso particular de los especímenes de la investigación

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

84

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0.00

0183

0.00

0203

0.00

0223

0.00

0243

0.00

0263

0.00

0283

0.00

0303

0.00

0323

0.00

0343

Car

ga

(N)

Desplazamiento (m)

100x100x400

125x125x500

150x150x600

SP-a

SP-b

SP-c

las variaciones se realizan en ambos factores causando como efecto un aumento en su capacidad de

carga. Nótese que también aumenta considerablemente su deflexión, lo que si se asumiese una sección

trasversal constante el efecto en la capacidad de carga sería el opuesto.

Figura 3.10 Comportamiento numérico del ensayo NC-245 con el cambio en las dimensiones del espécimen.

3.3.2 Relación entre módulos de roturas y resistencia a compresión

Para realizar este estudio se tomó como referencia la expresión más empleada por la bibliografía

mostrada a continuación.

1 'RM a f c (3.2)

Donde

f’c: Resistencia del hormigón a los 28 días.

MR: Módulo de rotura.

a1: Coeficiente experimental

El objetivo principal del estudio es determinar ese coeficiente experimental empleando simulación

numérica del ensayo a flexión, el mismo se llevó a cabo en dos etapas.

Análisis determinista.

Análisis pseudo-estocástico.

a) Análisis determinista

En el análisis determinista se trabajó directamente con los valores de resistencia a compresión

característicos más empleados en la construcción de pavimentos de hormigón, 20, 25, 30, 35 y 40 MPa,

con esas resistencias se generaron las propiedades elásticas y sus respectivas curvas de

comportamiento y luego se extrajo como variable de control la carga última con la que posteriormente se

determinaron los módulos de rotura (ver tabla). Los resultados se representaron en un gráfico de MR Vs

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

85

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

15 20 25 30 35 40 45

Mó

du

lo d

e ro

tura

(M

Pa)

Resitencia a compresión (MPa)

f´c y se le realizó una regresión con varias funciones buscando cual es la de mejor ajuste a partir de su

coeficiente de regresión (R2).

Figura 3.11 Resultados del estudio determinista.

Para la determinación del coeficiente a1 se realizó una regresión no lineal empleando la expresión 3.2

como función de referencia. En el gráfico se observa que los resultados se ajustan adecuadamente a

una función potencial con un coeficiente de regresión R2=0.9918 y un error medio absoluto de 0.03439

que no es más que el promedio de los residuos. Finalmente, la expresión resultante del estudio

determinista es:

0.6824 'RM f c (3.3)

En la práctica las propiedades físico-mecánica de los hormigones presentan cierta aleatoriedad

caracterizada estadísticamente por distribuciones de probabilidad lo cual, no ofrece un resultado

absoluto. Esta aleatoriedad resulta de una combinación entre las características de los materiales que

se emplean para la confección de los hormigones y del proceso de fabricación de estos. A partir de esto

se realiza un análisis estocástico donde se determinará el mismo coeficiente a1 teniendo en cuenta la

posible variación que pueden tener los hormigones producidos en las plantas de Cuba.

b) Análisis estocástico

Este análisis se realizó con datos experimentales de ensayos a compresión realizados en probetas de

20MPa, 25MPa y 30MPa a los 28 días. Se analizaron múltiples lotes agrupando aquellos que tuvieran

aproximadamente el mismo número de series ensayadas (3 muestras). Los datos contemplan un período

de cinco años. A partir de aquí se filtró y caracterizó estadísticamente las poblaciones, partiendo de la

teoría que su resistencia a compresión sigue una distribución normal.

Luego de caracterizar los parámetros de cada una de las resistencias se generaron muestras sintéticas

empleando generadores de números aleatorios, tomando como base la función densidad que sigue cada

población (distribución normal). Los generadores aleatorios por su naturaleza computacional fueron

Cantidad Resist. (MPa)

Carga de rotura (N)

MR (MPa)

1 20 22473.50 3.00

2 25 25352.00 3.38

3 30 27978.00 3.73

4 35 30242.30 4.03

5 40 32938.70 4.39

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

86

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

15 20 25 30 35

Mó

du

lo d

e ro

tura

(M

Pa)

Resistencia a compresión (MPa)

f´c=20 MPa

debidamente comprobados y validados para el experimento. Los datos generados posteriormente fueron

remuestreados empleando la técnica de muestreo aleatorio simple con el fin de reducir el número de

simulaciones. Finalmente, a cada valor de las muestras obtenidas, se les generaron las propiedades

elasto-plásticas empleando el mismo procedimiento descrito en epígrafes anteriores y posteriormente,

se simulo el ensayo (NC-245, 2003) . Los detalles del estudio referido a procesamiento y generación

sintética de los datos pueden ser consultados en el Anexo 3.3 y los resultados finales de las simulaciones

para las tres resistencias en el Anexo 3.4. A continuación, se muestra el caso particular para 20 MPa.

Tabla 3.10 Resultados de las simulaciones para 20 MPa.

Cantidad Resist. (MPa)

Carga de rotura (N)

MR (MPa) Cantidad Resist. (MPa)

Carga de rotura

(N)

MR (MPa)

1 22.76 24057 3.21 21 20.58 22826 3.04

2 23.77 24642 3.29 22 18.51 21574 2.88

3 21.16 23144 3.09 23 23.90 24508 3.27

4 23.75 24635 3.28 24 21.46 23318 3.11

5 22.51 23975 3.20 25 27.44 26373 3.52

6 18.09 21297 2.84 26 20.95 23048 3.07

7 24.57 25103 3.35 27 27.19 26386 3.52

8 27.06 26331 3.51 28 20.44 22711 3.03

9 24.09 24838 3.31 29 24.32 24968 3.33

10 25.02 25354 3.38 30 30.82 28393 3.79

11 27.91 26702 3.56 31 22.26 23817 3.18

12 20.58 22826 3.04 32 22.71 24045 3.21

13 21.08 23117 3.08 33 20.51 22735 3.03

14 21.84 23598 3.15 34 25.97 25910 3.45

15 19.97 22462 2.99 35 26.35 26069 3.48

16 24.88 25279 3.37 36 20.52 22742 3.03

17 20.37 22663 3.02 37 27.20 26393 3.52

18 24.21 24876 3.32 38 19.97 22462 2.99

19 31.66 28695 3.83 39 22.71 24045 3.21

20 27.44 26376 3.52 40 19.08 21918 2.92

Figura 3.12 Gráficos de Resistencias a compresión generadas vs módulos de roturas obtenidos a partir de simulación numérica.

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

87

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

15 20 25 30 35 40 45

Mo

du

lo d

e ru

ptu

ra (

MP

a)

Resistencia a compresión (MPa)

ACI code (ACI-318)

EHE:2008 (España)

The Canadian Code of Practice (CSA)

Austroroad 2004

PCA 1984 (valor medio)

Norma Cubana NC 207:2003

Propuesta

Los resultados de las diferentes resistencias se agruparon en un solo gráfico para realizar la regresión

no lineal empleando la ecuación 3.3 y obtener el coeficiente a1.

Figura 3.13 Resultado de la regresión realizada a los datos agrupados. a) Ecuación 3.3 y b) Ecuación

potencia de mejor ajuste.

En la figura 3.13 se muestra la relación que existe entre los datos agrupados que fueron generados y

los módulos de rotura obtenidos de las simulaciones numéricas. Se trabajó con 165 valores entre 20 y

30 MPa, se observa que empleando la ecuación 3.3 se obtiene un a1=0.6772 con un ajuste del 98.57%

(R2=0.9857).

Para verificar los resultados del estudio se compara gráficamente la ecuación propuestas con un conjunto

de expresiones empleadas en la bibliografía para estimar el módulo de rotura.

Figura 3.14 Gráfica comparativa del resultado obtenido en la investigación con expresiones empleadas en la bibliografía.

Los valores obtenidos empleando el modelo propuesto están contenidos dentro de los resultados del

resto de las expresiones. Se muestra la representación de la expresión para calcular el módulo de rotura

que emplea actualmente la norma cubana de diseño (NC-207, 2003), comparando los valores obtenidos

con el modelo propuesto se observa que ofrece mayores valores de módulo rotura, que los estimados

y = 0.5877x0.5431

R² = 0.9981

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

10 15 20 25 30 35 40 45

Mó

du

lo d

e ro

tura

(M

Pa)

Resistencia a compresión (MPa)

𝑀𝑅 = 0.6772ඥ𝑓´𝑐

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

88

por la norma cubana, lo que representa que la expresión propuesta pudiera estar aprovechando más la

capacidad resistente de los materiales, por tanto, reducen el número de repeticiones admisibles en el

diseño del pavimento.

3.4 Modelo probabilístico para la determinación del número de repeticiones permisibles por

fatiga en un pavimento de hormigón simple

Una de las conclusiones obtenidas del análisis bibliográfico, es que existe gran variabilidad entre los

modelos de fatiga obtenidos por diferentes autores. Esto trae como resultado que la selección arbitraria

de una ley puede llevar a un diseño no adecuado para las condiciones en las que se pretende proyectar.

Partiendo de la carencia de equipamiento experimental para desarrollar una ley de fatiga para Cuba, en

la investigación, se confecciona un modelo probabilístico que en vez de tener una curva representativa

para el fenómeno se tiene una familia de curvas para distintos niveles de probabilidad de fallo. Este

estudio se realiza analizando los resultados que se ofrecen al aplicar un grupo de leyes desarrolladas

tanto en el laboratorio con vigas como en tramos experimentales. La referencia de esta investigación fue

tomada de (Titus-Glover et al., 2005) los cuales crearon un modelo probabilístico presente en al software

(StreetPave12, 2014).

El estudio se organizó de la siguiente forma:

a) Agrupado de los datos para el estudio.

b) Selección del modelo matemático a

emplear.

c) Obtención de los coeficientes del modelo propuesto.

d) Comprobación de los resultados y análisis de

sensibilidad.

a) Agrupado de los datos para el estudio

Para agrupar los datos se tomaron de todas las leyes encontradas en la bibliografía, tratando que la

mayoría tuvieran características de ensayo lo más similares posible (ensayos con vigas a un tercio de la

luz), ver anexo 1.1. A partir de los resultados se construyó un gráfico de relación de tensiones contra el

número de repeticiones hasta el fallo por fatiga.

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

89

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.00E+00 1.00E+02 1.00E+04 1.00E+06 1.00E+08 1.00E+10

Rel

ació

n d

e te

nsi

on

es (

RT

)

Repeticiones de carga al fallo (N)

Bradbury (1938)

PCA (1966)

Darter (1977)

PCA (1984)

Iwama & Fukuda (1986)

Koyanagawa et al. (1994)

Stet e Frénay (1998)

Cervo & Balbo (2004)Hormigones convencionales

Figura 3.15 Representación de las leyes de fallas agrupadas para el estudio.

Como se observa en el gráfico la mayoría de las leyes logaritmizadas muestran un comportamiento lineal

mientras que otras como es el caso de la (PCA, 1984) solo se comporta así hasta ciertas relaciones de

tensiones. Los datos para la obtención del modelo se tomaron de las relaciones de esfuerzos de 0.5, 0.6,

0.7, 0.8 y 0.9 respectivamente.

b) Selección del modelo matemático a emplear

Tomando como referencia las investigaciones desarrolladas por (Parker Jr et al., 1979), (Titus-Glover

et al., 2005) y (Salsilli Murua, 1991), se seleccionó el modelo matemático que introduciendo el concepto

de confiabilidad permite determinar el número de repeticiones a la que se estima que falle el pavimento.

Ver ecuación 1.15 del capítulo 1.

c) Obtención de los coeficientes del modelo matemático propuesto

Para la obtención de los coeficientes del modelo es necesario establecer una relación entre el número

de repeticiones, la relación de esfuerzos y la probabilidad de fallo. Para encontrar dicha relación se realizó

un análisis de supervivencia, el cual representa un conjunto de técnicas que permiten estudiar la variable

tiempo hasta que ocurre un evento y su dependencia de otras posibles variables descriptivas.

Debido a que la variable tiempo es continua podría ser, en principio, estudiada mediante las técnicas de

análisis de varianzas o modelos de regresión. Sin embargo, existen dos dificultades importantes para

este planteamiento. En primer lugar, en la mayor parte de los estudios el tiempo no tiene una distribución

normal, más bien suele tener una distribución asimétrica y aunque podrían intentarse transformaciones

que la normalicen, existe una segunda dificultad que justifica un planteamiento específico para estas

variables, y es que para observarla, se tiene que prolongar el estudio durante un período de tiempo

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

90

suficientemente largo, en el cual suelen ocurrir pérdidas que imposibilitan la observación del evento

conocidos como datos censurados.

Tabla 3.11Tabla de datos de los empleados para el estudio.

RT=0.5 RT=0.6 RT=0.7 RT=0.8 RT=0.9

log N status log N status log N status log N status log N status 5.96 1 4.52 1 3.08 1 1.64 1 0.20 1

5.73 1 4.51 1 3.30 1 2.09 1 0.88 1

7.81 1 6.04 1 4.28 1 2.52 1 0.76 1

5.68 1 4.45 1 3.23 1 2.01 1 0.78 1

7.81 1 6.04 1 4.28 1 2.52 1 0.76 1

8.67 0 7.05 1 5.44 1 3.83 1 2.21 1

8.26 0 6.72 1 5.18 1 3.65 1 2.11 1

10.00 0 8.00 0 6.00 1 4.00 1 2.00 1

7.93 1 6.68 1 5.44 1 4.20 1 2.96 1

En el estudio se evalúa la variable tiempo en función del número de repeticiones ya que ambas tienen

relación directa. Se le dan dos status a cada caso, fallo (1) y no fallo (0) este último considerado como

valor censurado en el estudio, el criterio empleado fue que cuando el número repeticiones supera o

iguala las ocho cifras será censurado (108 repeticiones) puesto a que en la práctica las repeticiones

esperadas de los vehículos en los períodos típicos de diseño no exceden esas cifras (tabla 3.11).

Primero, se realizó una búsqueda para identificar cuál es la distribución que mejor se aproxima a los

datos, mediante el uso de gráficos teóricos de probabilidad (figura 3.16). Este tipo de gráfico muestra la

función de densidad teórica linealizada junto con la nube de puntos que representan las estimaciones.

La medida de la estimación la da el coeficiente de regresión R2. Para la construcción de los gráficos se

empleó el software estadístico (Minitab, 2013).

Figura 3.16 Resultados de las funciones teóricas linealizadas con sus respectivas medidas de ajuste.

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

91

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12

Po

rcie

nto

de

sup

ervi

ven

cia

acu

mu

lad

o

log N

RT=0.50

RT=0.60

RT=0.70

RT=0.80

RT=0.90

Como se puede observar en los resultados del MiniTab, de todas las funciones de densidad probadas

la que mejor ajuste brinda es la Normal, por tanto, fue la que se seleccionó para construir las curvas de

supervivencia acumuladas.

Figura 3.17 Curvas de supervivencia acumulada para cada relación de esfuerzos

Con la obtención de las curvas de número de repeticiones contra por ciento de supervivencia acumulado

para cada relación de esfuerzo se puede construir la superficie respuesta ( , , )RT S logN ,

denominándose S a la probabilidad de fallo. Para la construcción de la superficie se empleó el asistente

matemático MATLAB.

Figura 3.18 Superficie respuesta resultante de combinar relación de esfuerzo, número de repeticiones de carga y probabilidad de fallo.

La regresión de la superficie se realizó empleando el modelo seleccionado (ecuación 1.15) a partir de

esta, se determinan los coeficientes evaluando su ajuste con los datos. Antes de introducir la función

primero, es necesario realizarle una trasformación para que la regresión tenga solución.

21

3

log( )log

aa

SR SN

a

1 2

4

( log( ))log

a aSR S

Na

Siendo 2

4 3

aa a y por tanto 2

1

3 4

aa a

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

92

Figura 3.19 Estimación de los coeficientes y resultado de la regresión empleando el modelo seleccionado.

La figura 3.19 muestra una buena correlación entre las repeticiones observada y las predichas, eso se

puede confirmar numéricamente con el coeficiente de correlación (R2) y el error estándar estimado

(RMSE) que representa la desviación estándar de los residuos. Luego de estimar los coeficientes y

realizar las trasformaciones anunciadas con anterioridad el modelo probabilístico queda de la siguiente

forma:

0.20510.08 log( )

log0.0108

f

RT SN

(3.4)

d) Comprobación de los resultados y análisis de sensibilidad

Para comprobar los resultados se representa el modelo para una probabilidad de fallo del 50 % en un

gráfico junto con las leyes provenientes de la revisión bibliográfica realizadas en el laboratorio con vigas

y en tramos experimentales.

N = 44

R2 = 96.6657

RMSE = 0.5053

Parámetro Estimado

a1 -10.0803

a2 0.205021

a4 0.395411

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

93

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

LO

G N

RELACIÓN DE TENSIONES (RT)

Darter (1977)

PCA (1984)

Iwama & Fukuda (1986)

Darter (1990)

Koyanagawa et al. (1994)

NCHRP- Tayabji & Jiang (1998)

AASHTO (2002)

Cervo & Balbo (2004)

StreePave12 (2014)

Modelo propuesto

0

5

10

15

0.4 0.6 0.8 1

log

N

Relación de tensiones (RT)

S=50%

S=60%

S=70%

S=80%

S=90%

S=95%

PCA (1984)

b).

0

2

4

6

8

10

12

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

log

N

Relación de tensiones (RT)

S=50%

S=60%

S=70%

S=80%

S=90%

S=95%

a).

Figura 3.20 Comparación del modelo propuesto con otras leyes obtenidas de la revisión bibliográfica

En el gráfico se observa que los resultados del modelo propuesto se encuentran en el intervalo de las

leyes de fallas. El modelo presenta cierta similitud al modelo del software (StreetPave12, 2014) el cual

es una de las referencia más actuales en el cálculo de fatiga en pavimentos. El modelo de la PCA

(empleado en Cuba en el diseño de los pavimentos ya construidos) resulta unos de los más

conservadores en la predicción del número de repeticiones.

Figura 3.21 a). Representación del modelo propuesto para distintos niveles de probabilidad de fallo. b). Correspondencia del modelo de la PCA 1984 con determinado nivel de probabilidad.

La figura 3.21(a) muestra la familia de curvas que se generan cuando se varía la probabilidad de fallo.

Como es de esperar a medida que la probabilidad de fallo es mayor el número de repeticiones es más

pequeño lo que es consistente con el fenómeno real. Se verificó esta familia de curvas con la ley que

presenta la PCA; se puede revisar que el modelo propuesto es capaz de predecir el mismo número de

repeticiones para una probabilidad del 80% en un intervalo de relación de tensiones entre 0.55 y 0.8,

figura 3.21(b).

Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III

94

3.5 Conclusiones parciales del capítulo

La baja influencia en las tensiones de factores como la rectangularidad y la resistencia a

compresión permite que se pueda adoptar un modelo donde se varíen menos condiciones

(calidad del suelo y espesor de losa)

Para la determinación de las tensiones de trabajo se obtienen los valores, primeramente, en

condiciones equivalentes al eje de cálculo (100 kN) y posteriormente son afectadas por un

coeficiente que relaciona la tensión que origina el eje de referencia respecto al que se analiza

amplificándolas o reduciéndolas según su peso.

A partir de un nomograma es posible obtener el módulo resiliente en la superficie como resultado

de combinar todas las variantes posibles de subrasante, subbase y espesor de subbase,

permitiendo obtener la variable de entrada del cimiento en el caso particular de la losa apoyada

sobre una subbase no aglomerada.

Sobre la relación entre el módulo de rotura y la resistencia a compresión a los 28 días teniendo

en cuenta la variabilidad que pudiera tener la producción de hormigones

A partir de una data experimental real fue posible filtrar y caracterizar la resistencia a compresión

a los 28 días correspondiente a la producción en cinco años de un grupo de plantas de hormigón

premezclado de Cuba.

Empleando herramientas pseudo-estocástica fue posible realizar una generación sintética de

resistencias a compresión y sus correspondientes propiedades constitutivas.

Empleando como herramienta la simulación numérica del ensayo de módulo de rotura fue posible

obtener una ecuación que relaciona la resistencia a compresión a los 28 días con el módulo de

rotura del hormigón permitiendo que en ausencia de resultados experimentales pueda emplearse

para determinar este parámetro.

Sobre el modelo probabilístico obtenido para determinar el número de repeticiones admisibles

El modelo obtenido en vez de proponer una curva única para caracterizar el fallo por fatiga nos brinda

una familia de curvas que depende de la probabilidad de fallo con la que se desee trabajar en la

estructura. Esto desde el punto de vista económico tiene una gran ventaja para el diseño de vías con

bajos niveles de tráfico, ya que posibilita reducir los espesores de losa.

Capítulo IV

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

95

4 Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en

las condiciones de Cuba

4.1 Introducción

Tomando como base los criterios establecidos relacionados con los factores de diseño y la ecuación para

determinar el comportamiento a fatiga del pavimento de hormigón, se presenta en este capítulo una

propuesta de procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple, mediante un

enfoque armónico y avalado por un estudio minucioso de cada una de las etapas propuestas. Para llegar

al espesor de losa se deben realizar un conjunto de pasos que se ilustran en el flujograma de la figura

4.1, los que se explican detalladamente en el epígrafe.

Figura 4.1 Flujograma propuesto para el cálculo de espesores en losas por fatiga.

En el procedimiento se establecen tres etapas, en la primera se definen las variables de entrada o

factores de diseño, luego sigue la etapa de análisis, por último, la selección del espesor dados

determinados criterios técnico-económicos.

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

96

4.2 Análisis del tráfico

4.2.1 Determinación del número de vehículos pesados por el carril de diseño en el período de

diseño (NTVP)

Las repeticiones esperadas se pueden calcular utilizando el procedimiento recogido en la NC 334/2004

para el diseño de pavimentos flexibles, adaptado a las condiciones de los pavimentos de hormigón.

Las cargas impuestas por los vehículos ligeros no provocan en el pavimento un estado tensional de

magnitud tal que genere el deterioro de la estructura, por tanto, para los propósitos de diseño los

vehículos ligeros pueden ser ignorados y solo se consideran los efectos de los vehículos pesados. Como

vehículo pesado se entiende todo medio de transporte de carga o pasajeros, que por la magnitud de la

carga por rueda aplicada sobre la superficie se tiene en cuenta en el cálculo del pavimento y que tienen

acoplados neumáticos de camión con una masa total cargada de 40kN o mayor. Dentro de esta

clasificación se encuentran los ómnibus y camiones de 4 ruedas o más, cuñas tractoras con

semirremolques y los remolques.

Para determinar las repeticiones esperadas o tráfico de diseño, se procede como sigue:

a) Cálculo de la intensidad promedio diaria de vehículos pesados, por el carril de diseño, durante

el período de servicio de la vía

La Intensidad Diaria de Camiones (ICD0) es el volumen diario de camiones en el año inicial que circularán

como promedio por el carril de diseño, en el sentido más cargado, durante el primer año de puesta en

explotación de la carretera. La Intensidad Diaria de Vehículos pesados en el carril de diseño, durante el

primer año de servicio, puede ser obtenida mediante la siguiente expresión:

0 0100 100

VP CDP PICD TPD k (4.1)

El tránsito inicial (TPD0) es el volumen total de vehículos, en ambos sentidos de circulación, como

promedio durante el primer año de puesta en explotación de la vía objeto del diseño. Se estima a partir

de los estudios para construir la vía o sobre la base del uso potencial de la tierra u otros factores.

La composición y distribución del flujo en la sección transversal está dada por los siguientes parámetros:

k: Distribución por sentido de circulación.

PVP: Proporción de vehículos pesados respecto al total (%).

PCD: Proporción de vehículos pesados en el carril de diseño (%).

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

97

El coeficiente k tiene en cuenta la distribución del tráfico total por sentido de circulación, generalmente el

valor puede ser asumido como 0.5 (tráfico balanceado).

El porcentaje de vehículos pesados (PVP) es la proporción de vehículos pesados respecto al total en el

flujo, expresado en %. El porcentaje de vehículos pesados en el carril de diseño (PCD) representa la

proporción de vehículos pesados que circularan por el carril de diseño, respecto al total de vehículos

pesados en el sentido más cargado, expresado en %.

Los parámetros PVP y PCD se obtienen mediante recuentos, en una vía de similares características a las

del diseño. En ausencia de datos más precisos, pueden utilizarse los valores que se muestran en la tabla

4.1 para cada categoría de vía, tomados de la (NC-334, 2004).

Tabla 4.1 Composición típica del tránsito para diferentes tipos de vías.

Nota: En las vías urbanas, en todos los casos, se refiere a vías de cuatro carriles de circulación.

La Intensidad Diaria de Camiones en el final del período de diseño (ICDn) es el volumen diario de

camiones que circularán como promedio en el sentido más cargado, por el carril de diseño, durante el

último año. La ICDn se obtiene mediante la siguiente expresión:

0 (1 ) n

nICD ICD r (4.2)

Donde:

r: Razón anual de crecimiento de tránsito, para los vehículos pesados.

La obtención de la razón anual de crecimiento de tránsito (r), para los vehículos pesados, exige el estudio

de las tendencias de crecimiento en la red. Como aproximación, puede utilizarse el incremento anual del

Producto Social Global. Se recomienda, para los casos de que no se disponga de información más

precisa, una razón de crecimiento entre 0,03 y 0,04.

La Intensidad Diaria Promedio de Camiones en el período de diseño (ICDpromedio) se determina como:

0

2

npromedio

ICD ICDICD

(4.3)

Tipo de vía

Porcentaje de vehículos pesados

En la corriente Vehicular (PVP)

En el carril de Diseño (PCD)

Calles y avenidas colectoras

Con limitación de camiones, sin excluir ómnibus.

30 – 40

55 – 65 Sin limitación a la circulación de camiones

45 – 50

Arterias principales y secundarias

Dentro del casco urbano 40 – 50 Principales (80 – 85) Secundarias (70-80) En accesos a la ciudad. 50 –60

ARTERIAS Y OTRAS CARRETERAS EN ÁREAS SUBURBANAS. 60 – 65 2 carriles 100 4 carriles (70 – 85) 6 o más (50 – 70) CARRETERAS RURALES DE CATEGORÍAS I, II Y AUTOPISTAS. 60 – 70

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

98

b) Cálculo del Número de vehículos pesados, que circularán durante el período de diseño y por

el carril de diseño

El tráfico de diseño hasta el año n, se determina como:

365 promedioNTVP ICD n (4.4)

Donde:

n: número de años del período de diseño.

4.2.2 Determinación del espectro de cargas

Para la determinación del espectro de cargas se puede utilizar el método indirecto que originalmente fue

concebido para pavimentos flexibles, y que permite determinar las cargas del tránsito en una calle o

carretera, de una forma aproximada. El espectro de cargas es la frecuencia de ejes por cada escalón de

cargas que existe en la corriente vehicular, y puede obtenerse mediante una muestra representativa de

los camiones del flujo.

En este método no se utilizan básculas o sistema de pesaje de los vehículos, en su defecto, es necesario

disponer de información sobre el peso máximo de cada silueta de vehículo y los porcentajes de

distribución de la carga por eje de cada una. Las siluetas contempladas y sus características medias,

son el resultado de recuentos del tráfico nacional.

Procedimiento:

1. Durante un tiempo mínimo de cuatro horas, se hace un recuento de todos los vehículos pesados o

camiones, que pasan por la sección transversal de la vía, clasificándolos por tipo de silueta. Se repite

el recuento durante varios días de la semana para obtener un espectro promedio de la vía.

2. Durante el recuento de cada camión en la muestra se registra la condición de carga: vacío, medio o

lleno.

3. Para cada vehículo de la muestra se calcula su peso total, sumando la tara y la carga de la silueta

correspondiente. La carga se determina como un porcentaje de la carga máxima, según la condición

de carga registrada durante el conteo, de modo que se dan tres condiciones:

VACIO: CARGA = TARA

MEDIO: CARGA = TARA + 0,5 Cmáx

LLENO: CARGA = TARA + Cmáx

4. El peso total calculado en cada camión de la muestra, se descompone en cargas por eje,

considerando los porcentajes por eje del peso total y los tipos de ejes que aparecen en el banco de

datos.

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

99

Las cargas y distribuciones por ejes de los vehículos que aparecen en la NC vigente están

desactualizadas, ya que no incluyen los tipos de vehículos y ejes que actualmente circulan por el país.

En la tabla 4.2 se muestran los valores propuestos para las taras, cargas máximas y distribuciones por

ejes, considerando los camiones que actualmente están circulando.

En el banco de datos, los vehículos pesados son divididos en tres tipos:

Vehículos de dos ejes (camiones y ómnibus rígidos).

Vehículos articulados o semirremolques. (camiones y ómnibus articulados)

Vehículos traccionados.

Los vehículos traccionados o remolcados se nombran según el número de silueta del vehículo tractor

más la letra que corresponda al vehículo traccionado, por ejemplo: el vehículo 1b, está formado por la

silueta uno, como vehículo tractor de 155kN más un remolque de dos ejes simples, de peso total de 125

kN.

Tabla 4.2 Porcentajes de carga por eje de los vehículos y pesos promedios por silueta (NC-334, 2004).

VEHÍCULOS DE DOS EJES (CAMIONES Y ÓMNIBUS RÍGIDOS)

No. Siluetas No. de ejes Tara (kN) Carga

máxima (kN)

% carga por eje

1S 2S 3S 1T 2T 1Tr

1

2 ejes simples, 4 ruedas

10 15 35 65

2 2 ejes simples,6 ruedas.

56 99 35 65

3 1 eje simple, 1 eje tándem.

80 140 25 75

4

1 eje simple, 1 eje trÍdem

90 160 20 80

5 2 ejes simples, 6 ruedas

50 100 35 65

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

100

VEHÍCULOS DE TRES EJES (CAMIONES Y ÓMNIBUS ARTICULADOS)

No. Siluetas No. de ejes Tara (kN) Carga

máxima (kN)

% carga por eje

1S 2S 3S 1T 2T 1Tr

6

3 ejes simples, 10 ruedas

83 147 20 40 40

7

2 ejes simples,1 eje tándem.

108 192 17 30 53

8

2 eje simples, 1 eje tándem

108 192 17 30 53

9

1 eje simple, 2 eje tándem

134 236 14 43 43

10

1 eje simple, 1 eje tándem, 1 eje

trÍdem. 148 262 12 38 50

11

2 ejes simples,1 eje trÍdem

123 217 15 26 59

12

3 ejes simples, 10 ruedas

80 120 20 40 40

13

2 ejes simples,1 eje tándem.

90 190 15 30 55

VEHÍCULOS TRACCIONADOS (REMOLQUES)

Vehículo Tractor

Siluetas Nomenclatura Tara (kN)

Carga máxima

(kN)

% carga por eje

1S 2S 3S 1T 2T 1Tr

1,2,3,6,7,8,9

a 36 68 50 50

b 45 85 40 60

c 54 102 50 50

3

d 58 104 35 65

e 61 115.5 42 58

8,9

f 73 136.5 50 50

4.3 Materiales del sistema

4.3.1 Resistencia del cimiento

a) Subrasante

En el procedimiento la capacidad de soporte de la subrasante se cuantifica mediante el módulo resiliente

“Mr”, cuyo valor se puede determinar experimentalmente e incorporarlo directamente al procedimiento

de verificación; o estimarlo por correlación con otros ensayos de rutina, como por ejemplo Índice de

Soporte California (CBR). El empleo de esta correlación es válido ya que no se requiere una

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

101

determinación exacta del “Mr”, puesto que variaciones pequeñas no afectarán significativamente el

espesor del pavimento.

b) Empleo de una subbase.

En general, si se cuenta con un suelo de subrasante uniforme y estable, solo resultará obligatoria la

incorporación de una subbase no erosionable, en el supuesto caso que se encuentre prevista la

circulación de vehículos muy pesados y que el material tenga elevado contenido de finos (pasado por el

tamiz200>15%). En estas situaciones, la subbase cumple la función de prevenir la erosión por bombeo en

la interfase losa–apoyo, además de contribuir estructuralmente. Para tener en cuenta tal contribución se

puede utilizar un nomograma que permite determinar el Módulo Resiliente combinado conocida la calidad

de los materiales de la subrasante, subbase, y el espesor de subbase.

4.4 Determinación del comportamiento a fatiga de la losa de pavimento

El comportamiento a fatiga del pavimento de hormigón se determinará a partir del daño por fatiga

consumida por cada una de las cargas del espectro, empleando la ecuación de Miner, que relaciona el

número de ejes esperados en el período de diseño con el número de ejes que puede admitir el pavimento

antes del fallo por fatiga, bajo determinadas condiciones en el mismo período de tiempo. El valor de fatiga

consumida debe encontrarse en el intervalo de 90 y 120 % (criterio de diseño). Por debajo del 90% se

considera que hay exceso de espesor, por lo cual el diseño se puede mejorar reduciendo espesor; de lo

contrario, por encima de 120% el diseño refleja insuficiencia en el espesor.

Total Simple Tándem TrídemDF DF DF DF (4.5)

Donde:

:TotalDF % de daño total de fatiga consumida

:SimpleDF % de daño por fatiga consumida provocado por los ejes simples

:TándemDF % de daño por fatiga consumida provocado por los ejes tándem

:TrídemDF % de daño por fatiga consumida provocado por los ejes trídem

El daño por fatiga consumida se determina a partir de la ecuación de Miner

100i

i

nDF

N

(4.6)

Donde: :in Número de ejes esperados en el período de diseño.

:iN Número de ejes permisibles antes del fallo por fatiga.

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

102

El número de ejes esperados en cada escalón de carga de la muestra se determina como un porcentaje

del número total de camiones durante el período de diseño, para ello se multiplica ese número total de

camiones por la frecuencia de ese peso, del total de camiones contados en la muestra:

ii

i

NTVP fn

f

(4.7)

Donde:

:if Frecuencia de i-enésimo eje en el escalón

El número de repeticiones admisibles en cada escalón determinado a partir de un modelo dependiente

de la relación entre la tensión de trabajo (i ) y el módulo de rotura (

RM ) para distintos niveles de

confiabilidad (S).

0.20510.08 log( )

log0.0108

f

RT SN

(4.8)

Donde

:RT Relación de tensiones.

:S Probabilidad de fallo de las losas al final del período de diseño.

La relación de tensiones se determina con la siguiente expresión.

i

R

RTM

(4.9)

Donde:

:i Tensión de trabajo

:RM Módulo de rotura del hormigón.

La tensión de trabajo es el esfuerzo que origina el eje que se analiza a determinada distancia del borde.

Se determina a partir de una tensión equivalente multiplicada por un factor de corrección por carga. La

tensión equivalente es la tensión que origina el eje de referencia (10 ton para eje simple y 18 ton para el

tándem). Dicha tensión es determinada a partir de conocer la resistencia del cimiento, el espesor de losa

asumido y si se tiene o no paseo de hormigón.

i eq Pf (4.10)

Donde:

:eq Tensión equivalente (Anexo 3.2)

:Pf Factor de corrección por carga (Figura 3.6)

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

103

Probabilidad de fallo de las losas al final del período de diseño. Este valor es un factor de seguridad,

y representa la probabilidad estadística que un pavimento alcance las condiciones previstas en el diseño

al final de su vida útil.

11

0.5

R LFS

(4.11)

Donde:

R: Confiabilidad en el diseño, en tanto por uno.

LF: Porcentaje aceptable de losas fisuradas al final del período de diseño.

La confiabilidad es una variable asociada a los costos e importancia de la vía. El porcentaje aceptable

de losas fisuradas, representa cuál será su estado al final de su vida útil y es función de la importancia y

características de la vía.

Se proponen a partir de la clasificación de las vías que da (NC-334, 2004)una tabla que contiene los

intervalos de confiabilidad (R) y el porcentaje aceptable de losas fisuradas al final del período de diseño

(LF). Los valores se determinaron colocados a partir de establecer analogía entre la clasificación de la

ACPA y la que establece la norma cubana NC 334/2004.

Tabla 4.3 Niveles de confiabilidad y porcentaje aceptable de losas fisuradas.

TIPO DE VÍA R (%) LF (%)

CALLES Y AVENIDAS COLECTORAS

Con limitación de camiones, sin excluir ómnibus.

50-80 20

Sin limitación a la circulación de camiones

70-90 15

ARTERIAS PRINCIPALES Y SECUNDARIAS

Dentro del casco urbano 70-90 15

En acceso a la ciudad 75-90 15

ARTERIAS Y OTRAS CARRETERAS EN ÁREAS URBANAS 50-80 25

CARRETERAS RURALES DE CATEGORÍA I, II Y AUTOPISTAS. 80-95 20

4.5 Aplicación del procedimiento a un caso de estudio: autopista Este-Oeste

La autopista Este-Oeste ubicada en la Habana, fue construida en el año 1987. En el año 2012 se realizó

un conteo de vehículos, por lo cual en ese momento tenía 25 años en explotación.

Utilizando el conteo de vehículos realizado y estimando el número de camiones que circuló desde su

construcción, se revisa el diseño con el procedimiento propuesto y se compara con el método de la PCA

del 1984, que fuera utilizado en el proyecto de la autopista para calcular el espesor de losa requerido,

cuyo valor de proyecto fue de 21cm.La información sobre el caso de estudio, acerca de los factores

utilizados para el diseño se encuentran detallados en el Anexo 4.1.

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

104

4.5.1 Análisis del tráfico

a) Estimación del tráfico promedio diario en el año inicial y otros parámetros a partir de los

conteos realizados

Se realizó un conteo de vehículos de 12 horas, durante una semana, para estimar el tráfico promedio

diario de vehículos (TPD) en el año de conteo (2012). A partir del TPD del año de conteo se estima el

tráfico que debía existir en el año inicial, suponiendo una razón de crecimiento del 3%.

El estudio de tráfico permitió además obtener el porcentaje de vehículos pesados (26.3%), así como el

porcentaje de vehículos en el carril de diseño (40,2%). Los resultados de los estudios de tráfico se

muestran en la tabla 4.4.

TPD Inicial probable

250 25 25

167247988 /

(1 ) (1 0.03)

TPDTPD veh día

r

r: Razón anual de crecimiento, considerado en Cuba de un 3 %

Tabla 4.4 Resumen de los parámetros obtenidos del conteo.

Porcentaje de vehículos pesados (PVP) = 26,27%

Porcentaje de vehículos pesados en el CD (PCD) = 40,2%

Factor de distribución por sentido = 0,5

Factor de crecimiento del tránsito = 3%

Año inicial de construcción = 1987

Año del estudio = 2012

Período de explotación = 25 años

TPD INICIAL PROBABLE= 3982 veh/día

TPD EN EL AÑO DEL ESTUDIO= 16724 veh/día

b) Determinación del número de vehículos pesados que han circulado diariamente como

promedio durante el período de explotación

Número de vehículos pesados promedio en el año inicial ICD0.

0 0

26.27 40.27988 0.5 422 /

100 100 100 100

VP CDP PICD TPD k camiones día

Número de vehículos pesados promedio en el año de estudio ICDn.

25 25

26.27 40.216724 0.5 884 /

100 100 100 100

VP CDP PICD TPD k camiones día

Número de vehículos pesados promedio para el período de explotación.

0 422 884653 /

2 2

npromedio

ICD ICDICD camiones día

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

105

c) Número total de vehículos pesados, que circularon durante el período de explotación (25 años)

por el carril de diseño

365 365 653 25 5958625promedioNTVP ICD n camiones

d) Número de ejes esperados promedio durante el período de explotación (n)

Para calcular el número de ejes de un día promedio durante el período de explotación se asume que las

proporciones en que cada peso por eje en la muestra, es constante durante todo el período. Entonces

basta con hallar la relación entre el número de camiones en la muestra y los camiones que como

promedio se estiman en el período, multiplicado por la frecuencia.

/

i i

camiones muestra

NTVPn f

N

La tabla 4.5 contiene los resultados del cálculo del número de ejes esperados durante los primeros 25

años de explotación.

Tabla 4.5 Número de ejes esperados en el período de explotación por escalón de carga (Espectro).

Escalón de cargas (kN)

FRECUENCIA DE EJES SIMPLES

EJES ESPERADOS

Escalón de cargas

(kN)

FRECUENCIA DE EJES TÁNDEM

EJES ESPERADOS

0 10 250 714463 60 80 96 1349123

10 20 370 1057406 80 100 6 84320

20 30 349 997391 100 120 41 576188

30 40 353 1008822 120 140 66 927522

40 50 242 691601 140 160 21 295121

50 60 10 28579 160 180 152 2136111

60 70 195 557281 180 200 14 196747

70 80 45 128603 200 220 21 295121

80 90 184 525845 220 240 7 98374

90 100 11 31436 240 260 0 0

100 110 6 17147 260 280 0 0

110 120 44 125746 280 300 0 0

120 130 14 40010 total, de ejes 424

130 140 12 34294

total, de ejes 2085

En la tabla 4.5 no aparecen los ejes trídem, ya que el método propuesto no incluye modelos para estos

tipos de ejes, lo que también ocurre en el método de la PCA. Para considerar los ejes trídem se convierte

(como en el método de la PCA), cada eje trídem en la muestra, en tres ejes simples con un peso igual a

la tercera parte el eje trídem y cada uno con igual frecuencia que la del eje trídem. Las cargas que

resultan y sus frecuencias se incorporan al espectro de ejes simples.

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

106

4.5.2 Resistencia de los materiales

Se conoce a partir del Anexo 4.1que:

Calidad del hormigón empleado en las losas es de 30 MPa.

Subbase granular de material seleccionado calizo de CBR = 20%.

Al carecer de resultados experimentales se estiman los parámetros de resistencia de los materiales

empleando correlaciones con otras propiedades de fácil obtención.

Estimación del módulo de rotura del hormigón a partir de la resistencia a compresión a los 28 días.

0.6775 ´ 0.6775 30 3.71RM f c MPa MPa

Se estima el módulo resiliente de la subrasante por la correlación de (Heukelom & Klomp, 1964)con

el CBR.

10 10 25 250rM CBR MPa

4.5.3 Determinación del número de ejes admisibles por fatiga de la estructura (N) y la fatiga

consumida en cada escalón por la PCA y por el método propuesto

Para determinar el número de ejes admisibles se aplica la ecuación 4.8 que depende de la relación de

tensiones y de la probabilidad de falla. La relación de tensiones se calcula con la ecuación 4.9 y la tensión

equivalente se determina empleando la tabla correspondiente al anexo 3.2 (a) ya que es un pavimento

sin paseo de hormigón y el factor se determina de manera independiente en cada escalón a partir del

gráfico 3.6. El número de repeticiones admisibles por cada escalón de carga se muestran en la tabla

4.6, obtenidos para un espesor de losa de 21cm.

Tabla 4.6 Número de ejes admisibles en cada escalón de carga.

EJES SIMPLES EJES TÁNDEM

factor de corrección por

carga

Tensión de trabajo

RT EJES

ADMISIBLES

factor de corrección por carga

Tensión de trabajo

RT EJES

ADMISIBLES

0.263 0.43 0.12 3.11E+98 0.666 0.87 0.23 1.81E+23

0.428 0.71 0.19 1.07E+36 0.742 0.97 0.26 4.16E+18

0.537 0.89 0.24 3.73E+22 0.808 1.06 0.28 3.89E+15

0.623 1.03 0.28 3.87E+16 0.868 1.14 0.31 2.80E+13

0.696 1.15 0.31 1.51E+13 0.923 1.21 0.32 7.04E+11

0.761 1.26 0.34 9.27E+10 0.974 1.28 0.34 4.03E+10

0.819 1.35 0.36 2.58E+09 1.022 1.34 0.36 4.08E+09

0.873 1.44 0.39 1.80E+08 1.066 1.40 0.38 6.25E+08

0.923 1.52 0.41 2.30E+07 1.109 1.45 0.39 1.31E+08

0.969 1.60 0.43 4.47E+06

1.013 1.67 0.45 1.17E+06

1.055 1.74 0.47 3.83E+05

1.095 1.81 0.49 1.49E+05

1.133 1.87 0.50 6.62E+04

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

107

Las tablas 4.7 y 4.8 contiene los resultados del porcentaje de fatiga consumida para los ejes simples y

tándem respectivamente.

Tabla 4.7 Cálculo del porcentaje de fatiga consumida. Ejes simples.

Tabla 4.8 Cálculo del porcentaje de fatiga consumida. Ejes tándem.

Escalón de cargas (kN)

Media del

intervalo (kN)

Xmed x FSC

FRECUENCIA DE EJES TÁNDEM

EJES ESPERADOS

EJES ADMISIBLES

(PCA)

EJES ADMISIBLES (Propuesta)

% de Fatiga consumida

(PCA)

% de Fatiga

consumida (Propuesta)

60 80 70 77 96 1349123 No falla No falla

80 100 90 99 6 84320 No falla No falla

100 120 110 121 41 576188 No falla No falla

120 140 130 143 66 927522 No falla No falla

140 160 150 165 21 295121 No falla No falla

160 180 170 187 152 2136111 No falla No falla

180 200 190 209 14 196747 No falla No falla

200 220 210 231 21 295121 No falla No falla

220 240 230 253 7 98374 ilimitado 1.E+08 No falla No falla

total, de ejes 424 ∑DFtandem 0.0% 0.00%

Se puede observar en las tablas que el porcentaje de fatiga calculado por la PCA no cumple (133%),

mientras que con el procedimiento propuesto cumple con un 116%. Para que, aplicando el método de la

PCA se cumpla con el porcentaje de fatiga consumida, hay que incrementar el espesor de losa en un

centímetro, lo que implica mayor volumen de hormigón. El impacto económico de emplear una solución

u otra, se muestra a continuación.

Escalón de cargas (kN)

Media del

intervalo (kN)

Xmed * FSC

FRECUENCIA DE EJES SIMPLES

EJES ESPERADOS

EJES ADMISIBLES

(PCA)

EJES ADMISIBLES (Propuesta)

% de Fatiga

consumida (PCA)

% de Fatiga consumida (Propuesta)

0 10 5 5.5 250 714463 No Falla No Falla

10 20 15 16.5 370 1057406 No Falla No Falla

20 30 25 27.5 349 997391 No Falla No Falla

30 40 35 38.5 353 1008822 No Falla No Falla

40 50 45 49.5 242 691601 No Falla No Falla

50 60 55 60.5 10 28579 No Falla No Falla

60 70 65 71.5 195 557281 No Falla No falla

70 80 75 82.5 45 128603 1.80E+08 No Falla 0.07%

80 90 85 93.5 184 525845 2.30E+07 No Falla 2.28%

90 100 95 104.5 11 31436 4.47E+06 No Falla 0.70%

100 110 105 115.5 6 17147 6.00E+06 1.17E+06 0.3% 1.47%

110 120 115 126.5 44 125746 6.00E+05 3.83E+05 21.0% 32.86%

120 130 125 137.5 14 40010 1.50E+05 1.49E+05 26.7% 26.89%

130 140 135 148.5 12 34294 4.00E+04 6.62E+04 85.7% 51.82%

total, de ejes 2085 ∑DFsimples 133.7% 116.09%

Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV

108

Tabla 4.4 Evaluación económica de los resultados de ambos procedimientos considerando solo el costo de los materiales de la losa.

Procedimiento de la PCA Procedimiento propuesto en la investigación

Cada losa Cada losa

Largo (m) 4.5 Largo (m) 4.5

ancho (m) 3.5 ancho (m) 3.5

espesor (m) 0.23 espesor (m) 0.22

Volumen de hormigón (m3) 3.62 Volumen de hormigón (m3) 3.47

Construcción de un solo carril por kilómetro Construcción de un solo carril por kilómetro

Cantidad de losas 222 Cantidad de losas 222

Volumen de hormigón (m3) 805 Volumen de hormigón (m3) 770

Costo de construcción de las losas (CUP) $321,420.40 Costo de construcción de las losas (CUP) $307,445.60

Nota: El costo unitario por m3 de hormigón colocado se obtuvo de la Base de Precios de la Construcción

(PRECONS, 2014) ($399.26 / m3)

Las tablas muestran, que empleando la solución propuesta se reduce en cada kilómetro de carril

construido, aproximadamente 35 m3, lo que representa un ahorro solo por concepto de hormigón de

$13,974.80 CUP. En el caso de estudio, una vía de 6 carriles de circulación, significaría un ahorro de

$83,848.8 CUP, siguiendo el mismo análisis.

4.6 Conclusiones parciales

El procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple presentado es una

herramienta útil en la práctica profesional. Se logra de forma lógica mostrar los resultados del diseño

a partir del empleo de tablas, gráficos y nomogramas alejando al proyectista del complejo análisis

que requeriría el diseño de estas estructuras.

Se verificó que, empleando el procedimiento propuesto en la investigación, se reducen los

espesores de losas respecto al método de la PCA (aplicado con anterioridad en los diseños de

pavimentos realizados en Cuba).

Conclusiones

CONCLUSIONES

109

Conclusiones

Después de terminada esta investigación, arribar a conclusiones es la fase más compleja e importante

de este proceso investigativo, pues el volumen y extensión del trabajo realizado es considerable. Si a

esto se le añade el elevado nivel de complejidad de la temática abordada, hace de esta etapa la más

significativa, ya que en ella se sintetiza de forma general los resultados relevantes obtenidos en dicho

trabajo, los que repercuten de forma directa en la novedad científica del mismo. Partiendo de esta base

se llegan a las siguientes conclusiones, las cuales se enunciarán para cada etapa de investigación y

posteriormente se sintetizarán globalmente las más relevantes.

Desde el punto de vista de modelación numérica se puede llegar concluir una serie de aspectos:

Se establecen las bases conceptuales para la concepción de los modelos numéricos (1- Modelo

tridimensional de sistema pavimento-cimiento, 2 – Modelo axial simétrico para la modelación de

ensayos de placa, 3 - Modelo en 3D para la modelación del módulo de rotura), que permitan realizar

los estudios el comportamiento de pavimento rígidos en las condiciones cubanas con el empleo

combinado de técnicas de experimentación, modelación numérica y la estadística, que evalúe el

porcentaje de fatiga consumida por la losa de pavimento de hormigón, como base para su diseño

en las condiciones de Cuba.

Se establecen, calibran (física y matemáticamente) y validan, las técnicas numéricas de

investigación empleada sistémicamente para el estudio de pavimentos rígidos en las condiciones

de Cuba.

Se delimitan en cada caso (1- Modelo tridimensional de sistema pavimento suelo, 2 – Modelo axial

simétrico para la modelación de ensayos de placa, 3 - Modelo en 3D para la modelación del módulo

de rotura) las densidades de malla, tipo de elemento, tamaño del subdominio para el caso que

corresponda y los parámetros constitutivos que garantizan la fiabilidad matemática y física de la

herramienta de investigación, con los cual se garantiza la calidad de los resultados con esta

herramienta de investigación (ABAQUS/CAE)

Concebidas, establecidas y validadas las herramientas de investigación se llegan a otro grupo de

conclusiones como:

Se establecen los estudios que permiten analizar la influencia de los factores de diseño en la

respuesta estructural de las losas de hormigón, mediante el empleo de modelos numéricos

previamente calibrado y validado, para simular las condiciones de trabajo de los pavimentos en

Cuba.

CONCLUSIONES

110

Los resultados obtenidos a través de las complejas técnicas de modelación numéricas son

transformados en criterios y elementos básicos convencionales compresibles para los ingenieros en

la práctica profesional del área de diseño de pavimentos rígidos.

Estos últimos resultados permiten concluir desde el punto de vista práctico lo siguiente:

Queda establecido y validado un procedimiento para determinar el consumo de fatiga consumida

por la losa de hormigón, a través de la relación entre repeticiones esperadas y admisibles

soportados en criterios de fiabilidad.

Ha sido posible obtener la respuesta del pavimento mediante modelación numérica, y calcular el

porcentaje de fatiga utilizando una ley de fallo que incluye el concepto de confiabilidad, lo que

representa un paso importante en la elaboración de la norma diseño para nuestro país.

Se establecen el enfoque y las técnicas sistémicas para el estudio del comportamiento de pavimento

rígidos en las condiciones cubanas, combinando técnicas de experimentación, modelación numérica

y la estadística.

Se establece de manera sencilla un procedimiento para determinar el por ciento de fatiga consumida

por la losa de hormigón, a través de la relación entre repeticiones esperadas y admisibles

apoyándose en criterios de probabilidad, este comprende:

La determinación de las repeticiones esperadas en el proyecto.

Calcular el Factor de Relación de Esfuerzos, a través de las condiciones de la losa (espesor

de losa, resistencia del hormigón y calidad del cimiento).

Determinar el número de ejes admisibles con el RT (empleando el modelo propuesto).

Obtener el porcentaje de fatiga y modificar el espesor si el valor no se encuentra entre 90-

120%.

Recomendaciones

RECOMENDACIONES

111

Recomendaciones

La culminación de un trabajo científico siempre conduce a una serie de recomendaciones que marcan

pautas para futuros trabajos de investigación, pues se ha llegado a establecer una plataforma de trabajo

que permite resolver en el futuro muchos problemas de ingeniería de pavimentos. A partir de estos

resultados se considera oportuno realizar las siguientes recomendaciones:

Ampliar el estudio para ejes trídem. Analizar la influencia de estas configuraciones de ejes en las

tensiones, utilizando el modelo logrado.

El modelo puede ser utilizado para ampliar los estudios simulando la influencia de otras

solicitaciones, como son los esfuerzos de combado, los esfuerzos producidos por la interacción

suelo-losa (tensión por fricción) y esfuerzos producido en las juntas.

Efectuar estudios la fatiga con enfoques analíticos (Mecánica del Continuo) con el fin implementar

en las herramientas computacionales un modelo constitutivo del hormigón que sea sensible a este

fenómeno.

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Anexos

ANEXOS

Anexo 1.1 Leyes de fallas empleada por los distintos autores

Tabla 1: Sucesión histórica de las distintas leyes de fallas propuestas por autores e instituciones

Modelos Características Ecuación

Bradbury (1938) Para un nivel de tensiones por debajo del 50% de la resistencia del material el número de repeticiones es ilimitado

PCA (1966) Para un nivel de tensiones por debajo del 50% de la resistencia del material el número de repeticiones es ilimitado

Vesic & Saxena (1969) Ecuación basada en las secciones de los tramos de pruebas de la AASHO

Darter (1977) Re-evaluación de los resultados obtenidos por las investigaciones anteriores, pero considerando la humedad del hormigón.

Eisnmann (1979) Prueba de laboratorio aplicando carga con la utilización de ruedas simples.

PCA (1984) Reduce a un 45% de la resistencia del material para que el número de repeticiones sea ilimitado. Da un comportamiento diferente en dos tramos

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 13.164 − 14.409 [𝜎𝑡𝑓

𝑓𝑐𝑡,𝑓]

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 11.78 − 12.11 [𝜎𝑡𝑓

𝑓𝑐𝑡,𝑓]

𝑁 = 225000 [𝑓𝑐𝑡,𝑓

𝜎𝑡𝑓]

4.0

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 16.61 − 17.61 [𝜎𝑡𝑓

𝑓𝑐𝑡,𝑓]

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 11.79 − 12.23 [𝜎𝑡𝑓

𝑓𝑐𝑡,𝑓]

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑅𝑇 > 0.55

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 11.78 − 12.11 [𝜎𝑡𝑓

𝑓𝑐𝑡,𝑓]

𝑃𝑎𝑟𝑎 0.45 ≤ 𝑅𝑇 ≤0.55

𝑁 = [4.2577

(𝜎𝑡𝑓𝑓𝑐𝑡,𝑓

) − 0.4225]

3.268

ANEXOS

Tabla 2: Sucesión histórica de las distintas leyes de fallas propuestas por autores e instituciones (Continuación)

Modelos Características Ecuación

Iwama & Fukuda (1986) Ensayo de laboratorios de flexión en probetas con agregados de distintas granulometrías (Dmáx 20 mm y 40 mm)

Majidzadeh (1988) Risc Basados en ensayos destructivo y no destructivos realizados en la pista experimental de la AASHO

Majidzadeh (1988) ARE Basados en ensayos realizado en la pista experimental de la AASHO

Darter (1990) Las tensiones críticas de las losas en la pista fueron calculadas por medio de las cartas de influencias para el caso de borde libre,

Koyanagawa et al. (1994) Ensayo de laboratorios de flexión en probetas con agregados de granulometría (Dmáx 20 mm y 40 mm) y probabilidad de fallo por fatiga del 10 % para fct.f = 4.0, 5.2 y 6.0 MPa

Stet e Frénay (1998) Considera la posibilidad de ocurrencia del efecto de combado por temperatura en las losas de hormigón

NCHRP- Tayabji & Jiang (1998)

Criterio teniendo en cuenta el 50 % de las secciones de las losas fisuradas

Balbo (1999) Evaluación sistemática de la formación de fisuras en losas delgadas de hormigón, CAD, pistas experimentales

NCHRP- Tayabji & Jiang (1998)

Formulado con base a los datos recolectados por la NCHRP

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 16.73 − 16.13 [𝜎𝑡𝑓

𝑓𝑐𝑡,𝑓]

𝑁 = 23440 [𝑓𝑐𝑡,𝑓

𝜎𝑡𝑓]

3.21

𝑁 = 22209 [𝑓𝑐𝑡,𝑓

𝜎𝑡𝑓]

4.29

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 2.13 [𝑓𝑐𝑡,𝑓

𝜎𝑡𝑓]

1.2

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 15.95 − 15.38 [𝜎𝑡𝑓

𝑓𝑐𝑡,𝑓]

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 20 − 20 [𝜎𝑡𝑓

𝑓𝑐𝑡,𝑓]

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 2.8127 [𝑓𝑐𝑡,𝑓

𝜎𝑡𝑓]

1.2214

𝑁 = 29745 [𝑓𝑐𝑡,𝑓

𝜎𝑡𝑓]

3.338

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 2 [𝑓𝑐𝑡,𝑓

𝜎𝑡𝑓]

1.22

ANEXOS

Tabla 3: Sucesión histórica de las distintas leyes de fallas propuestas por autores e instituciones (Continuación)

Modelos Características Ecuación

Cervo & Balbo (2004)

Ensayos de laboratorio en probetas prismáticas (100x100x400) mm, con frecuencia 10 Hz y tensión constante, para hormigones brasileros convencionales

Ensayos de laboratorio en probetas prismáticas (100x100x400) mm, con frecuencia 10 Hz y tensión constante, para hormigones brasileros de altas prestaciones.

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 25.858 − 25.142 [𝜎𝑡𝑓

𝑓𝑐𝑡,𝑓]

𝑙𝑜𝑔𝑁 = 14.13 − 12.41 [𝜎𝑡𝑓

𝑓𝑐𝑡,𝑓]

ANEXOS

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 1.00E+08 1.00E+09 1.00E+10 1.00E+11

RE

LA

CIÓ

N D

E T

EN

SIO

NE

S (

RT

)

LOG N

Bradbury (1938)

PCA (1966)

Vesic & Saxena (1969)

Darter (1977)

Eisnmann (1979)

PCA (1984)

Iwama & Fukuda (1986)

Majidzadeh (1988) Risc

Majidzadeh (1988) ARE

Darter (1990)

Koyanagawa et al. (1994)

Stet e Frénay (1998)

Tayabji & Jiang (1998)

Balbo (1999)

AASHTO (2002)

Cervo & Balbo (2004) Hormigonesconvencionales

Figura 1: Representación de todas las leyes de fallas encontradas en la bibliografía

ANEXOS

Anexo 2.1 Concepción numérica del modelo de tensiones en el borde de la losa.

MODELO FÍSICO Sistema de Pavimento Rígido

Modelo del material

Losa de hormigón.

Sólido deformable

linear y elástico

Suelo de soporte.

Sólido deformable

linear y elástico

Modelo de cargas:

Huella de contacto

equivalente

Modelo de condiciones

de contorno e

interacciones

Condiciones

de contorno

Interacciones

Suelo-losa

Losa-losa (pasadores)

MODELO MATEMÁTICO Ecuaciones de gobierno

Dominio de definición

Condiciones iniciales y de fronteras

Método de solución: Método de los

Elementos finitos (MEF)

Solver: ABAQUS/CAE v.6.14-3

Análisis de los resultados:

Tensión en la zona de flexo-tracción

provocado por una carga en el borde.

ANEXOS

Anexo 2.2 Relaciones de interacción del sistema de pavimentos.

Figura 1: Tipos de interacciones del modelo.

Contactos

Suelo-estructura: Para esta interacción se utilizó un contacto normal del tipo “hard-contact” de manera

que la interface responda ante los esfuerzos verticales y a su vez simule la condición de no vinculación

de la losa con el suelo, permitiendo que se separe en algunas zonas, lo que representa el fenómeno que

ocurre en el modelo físico real.

Caras de losas: Se modeló partiendo de la idea de que la juntas no tienen separación entre sí, ya que

corresponden a una tipología conocida como hendidura simulada por tanto, cuando se aplique la carga

entre ellas se establece un contacto "normal” del tipo "hard contact”,”surfece-to-surfece", con el

objetivo de minimizar la penetración de la superficie esclava, en la superficie maestra (considerando la

esclava como la que empuja) permitiendo la transferencia de esfuerzos de tensión a través de la interfaz.

El algoritmo de cálculo de dichos contactos fue el de “small sliding” ya que es superior al “finite

sliding” (implementados ambos en el código de ABAQUS) en cuanto a costo computacional,

especialmente cuando se analizan modelos numéricos tridimensionales (Zienkiewicz & Taylor, 2004)

Pasadores-losa: El pasador es un elemento cuya función principal en el sistema es transferir esfuerzos

de cortante de una losa a la otra y tiene como característica fundamental la de presentar una parte de él

adherida al hormigón y la otra no, para permitir que se deslice sin generar tenciones por fricción cuando

Caras de losas Suelo-estructura Pasadores-losa Barras de amarre-losa

ANEXOS

haya cambios de temperatura en la losa o cuando la carga circule encima de esta. Este fenómeno se

modeló dividiendo el sólido del pasador en dos partes. La primera correspondiente a la no adherida al

hormigón, se simuló con una relación de contactos del tipo normal y tangencial, el normal se modeló de

la misma forma que las superficies anteriores, mientras que la tangencial se configuró como

“frictionless” (depreciando el efecto de fricción). La parte adherida se fue modelada con una restricción

conocida como “embedded region” que consiste en un algoritmo empleando para modelar barras de

refuerzo dentro del hormigón según (Simulia, 2012) .

Figura 2: Esquema seguido para la simulación del pasador

En general cuando se establecen contactos entre componentes, deben hacerlo de una forma

razonablemente fácil, evitando grandes over-closures, y cambios bruscos en la presión de contacto.

Este acercamiento, se traduce generalmente en una suma de pasos para el análisis, pero minimiza

dificultades de convergencia, por consiguiente, mostrará una solución mucho más acertada.

Se producen over-closure cuando los nodos de una superficie penetran el plano de la otra. Los

problemas de over-closure constituyen uno de los principales problemas de convergencia. Estos son

especialmente frecuentes cuando están en contacto dos superficies cilíndricas malladas con diferentes

densidades, provocando que los nodos en la zona con coincidan. Para resolver este problema se activa

el “Adjus-only-to-remove-over-closure”, los nodos esclavos serán ajustados (sin introducir ningún tipo

de tensión dentro de la superficie esclava de la parte.) con el propósito de no generar over-closure. Esto

reducirá grandemente el número de iteraciones y los potenciales problemas de convergencia temprana

en el análisis.

Superficie maestra

Superficie esclava Host element

Embedded element

ANEXOS

Anexo 2.3

Calibración matemática del modelo en 3D para el cálculo de las tensiones en el borde.

Condiciones del ensayo para calibrar.

Losa de hormigón:

h=200 mm

Eh=26000 MPa

ν=0.17

Suelo de soporte:

k=40 MPa/m

Equivale a:

Es=132 MPa

ν=0.35

Eje simple con ruedas duales de 100 kN

Para medir la influencia de la densidad de la malla en los resultados de los modelos utilizados, se realizó

un diseño combinatorio donde se variaron las separaciones de los nodos en el plano x-y con las

separaciones en el sentido de z. Siempre respetando las relaciones de aspectos de los elementos para

la adecuada convergencia del modelo numérico.

El objetivo esencial de este análisis consiste en determinar cuál será el tamaño de la malla a utilizar que

minimice los costos computacionales y que muestre mejor confiabilidad en los cálculos. En el siguiente

esquema se puede observar cómo se realizó el estudio de influencia de las mallas y las variables de

control que se empleó.

Figura 1: Esquema representativo del diseño combinatorio y su variable de control.

Como se observa en el gráfico la variable de control son las tensiones de tracción en el centro de la

huella posicionada en el centro-borde de la losa. En el estudio se corrieron un total de 25 combinaciones

con las condiciones fijadas al inicio del anexo y se compararon los resultados de cada una de ellas contra

los del EverFE v2.24 (modelo con malla densa) en las mismas condiciones. El método empleado para

comparar las soluciones fue las normas de error absoluto y relativo las cuales se muestra a continuación:

A 20 mm

B 40 mm

C 60 mm

D 80 mm

E 100 mm

ANEXOS

Los resultados del estudio se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 1: Estudio factorial de las densidades de malla vertical y horizontal

Resolución Horizontal

(mm)

Resolución Vertical

(mm)

tensión en el punto de

control (MPa)

Error absoluto

(MPa)

Error relativo

(%)

Tiempo de Computo

(hh:mm: ss)

20 100 1.38 0.80 36.6% 0:11:46

20 80 1.63 0.56 25.5% 0:12:53

20 60 1.63 0.56 25.5% 0:20:43

20 40 1.85 0.33 15.3% 0:42:34

20 20 2.13 0.06 2.6% 22:32:10

40 100 1.37 0.81 37.1% 0:07:50

40 80 1.62 0.57 26.0% 0:09:31

40 60 1.62 0.57 26.0% 0:11:12

40 40 1.85 0.33 15.3% 0:20:43

40 20 2.13 0.06 2.7% 3:11:31

60 100 1.37 0.82 37.5% 0:07:17

60 80 1.60 0.58 26.6% 0:07:17

60 60 1.60 0.58 26.6% 0:11:12

60 40 1.82 0.36 16.6% 0:14:00

60 20 2.09 0.09 4.3% 0:46:29

80 100 1.34 0.85 38.8% 0:06:10

80 80 1.56 0.62 28.4% 0:07:17

80 60 1.56 0.62 28.4% 0:10:05

80 40 1.78 0.41 18.7% 0:14:34

80 20 2.05 0.14 6.2% 0:45:55

100 100 1.34 0.85 38.8% 0:06:43

100 80 1.56 0.62 28.4% 0:06:10

100 60 1.56 0.62 28.4% 0:08:24

100 40 1.78 0.41 18.7% 0:10:38

100 20 2.03 0.16 7.1% 0:31:55

Normas de error empleadas en un punto:

Error Absoluto (EA) 𝐄𝐀 = |𝐐𝐞(𝐢) − 𝐐𝐧(𝐢)|

Error Relativo (ER) 𝐄𝐑 =|𝐐𝐞(𝐢) − 𝐐𝐧(𝐢)|

𝐐𝐞(𝐢)

𝐐𝐞(𝐢): Variable respuesta correspondiente al patrón de comparación

𝐐𝐧(𝐢): Variable respuesta correspondiente a la combinación analizada.

ANEXOS

Anexo 2.4

Estudio de dominio y simplificaciones geométricas.

Para realizar el estudio de dominio se toma el caso que pueda generar los desplazamientos más

desfavorables; mínimo espesor de losa, mínima calidad de soporte y la tipología geométrica donde no

tiene paseo de hormigón. La profundidad que tiene el dominio inicial es de tres metros, para el análisis

se variara reduciéndolo en intervalos de 25 cm. La variable de control es el desplazamiento en un nodo

antes del apoyo que se encuentre más próximo centro de la huella ubicada en el borde. Ver figura.

Figura 1: Parámetro a cambiar en el estudio y su variable de control

En el estudio también se fue controlando el tiempo que demora cada simulación reflejándose todos los

resultados en la siguiente tabla.

Tabla 1: Resultado del estudio de profundidad del soporte

Profundidad de soporte

(mm)

Desplazamiento (mm)

Cantidad de elementos

Tiempo de CPU (min)

Tiempo de CPU

(hh:mm:ss)

250 0.184 139482 14 0:14:04

500 0.131 152982 17 0:16:47

750 0.098 173232 21 0:21:26

1000 0.072 186732 23 0:23:04

1250 0.055 206982 29 0:29:13

1500 0.047 220482 45 0:33:13

1750 0.04 240732 66 0:38:47

2000 0.035 254232 89 0:59:04

2250 0.03 274482 134 2:14:26

2500 0.027 287982 160 2:39:56

2750 0.025 308232 185 3:04:56

3000 0.023 321732 205 3:25:09

ANEXOS

Anexo 2.5 Concepción numérica del modelo axial simétrico

MODELO FÍSICO

Ensayo de placa de carga

Modelo del material

Modelo de carga:

Carga concentrada

sobre una placa

infinitamente

rígida

Interacciones

Subbase-subrasante

Placa rígida-suelo

Modelo de condiciones

de contorno e

interacciones

Condiciones de

contorno.

Ligaduras

lineales Condiciones de

simetría axial MODELO MATEMÁTICO Ecuaciones de gobierno

Dominio de definición

Condiciones iniciales y de

fronteras

Método de solución: Método de los

Elementos finitos (MEF)

Solver: ABAQUS/CAE v.6.14-3

Análisis de los resultados:

Determinar el módulo en la superficie

del conjunto.

Suelo de subrasante.

Sólido deformable

linear y elástico

Subbase granular

sólido deformable

linear elástico

ANEXOS

Anexo 2.6 Resultados de una prueba con placa de carga en un tramo experimental de vía.

El ensayo fue extraído de la disertación de (Rezende, 1999) desarrollado en un tramo experimental de

la carretera DF-205 Oeste, localizada en el distrito federal (Brasilia). Se tomaron varias secciones y se

probaron combinaciones de materiales alternativos que pudieran emplearse en la construcción de

pavimentos. Posteriormente se realizaron ensayos para evaluar sus características. Entre los ensayos

realizados, se hizo el de placa de carga en algunas estaciones específica, de las cuales se tomó para la

calibración y validación del modelo numérico el de la Estación, 129+10, la caracterización de la sección

se muestra en el esquema siguiente.

Figura 1: Sección tomada para la calibración y validación del ensayo de placa de carga.

Para el ensayo de placa se empleó una placa circular de 25 cm de diámetro y 2.54 cm de espesor apoya

sobre la superficie debidamente nivelada y compactada. Sobre la placa se colocó un gato hidráulico con

una célula de carga para medir la presión, sobre la placa se colocaron 4 diales (defómetros)

diametralmente opuestos, acoplados por medio de bases magnéticas a una viga metálica de 3 m de

largo, apoyada fuera del área de interferencia del ensayo. Como sistema de reacción se tomó el eje

trasero de un camión cargado con peso aproximado de 30 ton.

Figura 2: Montaje del ensayo de placa.

Capa No.1: Grava mezclada con suelo fino al 25 %, clasificado como A-2-4.

Capa No.2: Suelo natural clasificado

(arcilla roja) como A-7-6.

Estación 129+10.0

ANEXOS

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

De

spla

zam

ien

to (

mm

)

Presión (kPa)

Estación 129+10.0

Figura 3: Resultados del ensayo realizado en la estación 129+10.0 (Rezende, 1999)

ANEXOS

Anexo 2.7 Calibración matemática del modelo axial-simétrico.

Calibración matemática

Para medir la influencia de la densidad de la malla en los resultados de los modelos, se realizó un análisis

de este parámetro. Para ello se definieron 10 modelos, los cuales se diferencian únicamente en el tamaño

de la malla utilizada que varía desde 100 mm hasta 10 mm.

Variable de control

La variable de control se midió en los diferentes modelos en un punto común con el fin de establecer una

comparación entre sus valores; en este caso se medirá el valor del desplazamiento en el centro de la

placa cuando la carga en la placa haya alcanzado los 70kPa.

La variable de control se contrasta con el valor experimental (desplazamiento medido en las mismas

condiciones) a partir de las normas de error relativo y error absoluto establecidas para un punto.

𝐄𝐀 = |𝐐𝐞(𝐢) − 𝐐𝐧(𝐢)| 𝐄𝐑 =|𝐐𝐞(𝐢) − 𝐐𝐧(𝐢)|

𝐐𝐞(𝐢)

Donde

𝐐𝐞(𝐢) : Variable de respuesta en el nodo de control

𝐐𝐧(𝐢) ∶ Variable respuesta en el ensayo

Figura 1: Posición de la variable de respuesta y normas de error empleadas para la calibración

Tabla 1: Resultados de las corridas para la calibración matemática.

Etiqueta Tamaño del

elemento (mm) Desplazamiento en el nodo de control (mm)

Solución analítica. (mm)

-1.801

Error absoluto (mm) Error relativo (%)

MEF-1 10 -1.84374 0.04274 2.37%

MEF-2 20 -1.84499 0.04399 2.44%

MEF-3 30 -1.84744 0.04644 2.58%

MEF-4 40 -1.85345 0.05245 2.91%

MEF-5 50 -1.85879 0.05779 3.21%

MEF-6 60 -1.87893 0.07793 4.33%

MEF-7 70 -1.87547 0.07447 4.13%

MEF-8 80 -1.93768 0.13668 7.59%

MEF-9 90 -1.95253 0.15153 8.41%

MEF-10 100 -1.94887 0.14787 8.21%

ANEXOS

Anexo 2.8

Concepción numérica del modelo para el ensayo de módulo de rotura.

Modelo de carga:

Actuador en un

punto de

referencia que

distribuye la carga

a los cilindros

Modelo de

condiciones de

contorno e

interacciones

Condiciones de

contorno para simular

viga simplemente

apoyada

Interacciones

Cilindros – viga de hormigón

MODELO MATEMÁTICO Ecuaciones de gobierno

Dominio de definición

Condiciones iniciales y de fronteras

Método de solución: Método de los

Elementos finitos (MEF)

Solver: ABAQUS/CAE v.6.14-3

Análisis de los resultados:

Carga de rotura del ensayo

MODELO FÍSICO Rotura de una viga cargada a un

1/3 de la luz

Modelo del material

Viga de hormigón. Sólido

deformable con Modelo de

Daño Plástico del Hormigón

(en inglés CDPM)

Mecanismos de

trasmisión de carga.

Rígido discreto

ANEXOS

Anexo 2.9

Ensayo de módulo de rotura empleados para la calibración y validación de los resultados.

Los ensayos tomados para la calibración y validación fueron extraídos de una tesis doctoral realizada en

la Universidad Politécnica de São Paulo (USP). En la investigación se construyeron varias muestras y se

evaluaron diversos parámetros (curado, relación agua-cemento, tipos de áridos etc.), para el estudio se

tomó de la población aquellas características del hormigón empleadas también en la construcción de una

pista experimental dentro de la misma universidad, los cuales se muestran a continuación.

Tabla 1: Características del hormigón empleado en la Pista Experimental de la USP y en la Tesis de

Tatiana Cervo.

Materiales o propiedades Valores obtenidos

Cemento (kg/m3) 328

Arena (kg/m3) 691

Gravilla tipo 1 (kg/m3) 483

Gravilla tipo 2 (kg/m3) 724

Relación a/c 0.553

Plasticidad (L/m3) 1.148

Aire incorporado (%) 2.6

Asentamiento en el cono (mm) 65

Resistencia media a compresión a los 28 días (MPa) (CV=15%) 33

Para el ensayo de módulo de rotura se emplearon dos tipos de moldes 100x100x400 y 150x150x500

respectivamente, construyendo 3 muestra de cada tipo. La confección de las probetas se realizó con la

misma amasada y se compactaron con energías similares tratando de que los resultados den lo más

homogéneo posibles. El curado se realizó mediante la inmersión de los cuerpos en un estanque hasta la

edad de rotura (28 días).

Figura 1: Imágenes del proceso de confección de los especímenes

ANEXOS

El ensayo se realizó teniendo en cuenta las recomendaciones de la ASTM-C78, en cuanto al mecanismo

de fallo de las vigas. La probeta rompe dentro del tercio medio de la viga entonces se aplica la ecuación

(1) y caso contrario se aplica la ecuación (2). Ver figuras.

2ct

PLf

bd (1)

2

3ct

Paf

bd (2)

Donde:

fct: Módulo de rotura (MPa)

P: Máxima carga aplicada indicada por la maquina en el momento de la rotura (N).

L: Luz libre en (mm).

b: Peralto de la viga (mm).

d: Ancho de la viga (mm).

a: Distancia promedio desde la línea de fractura y el apoyo más cercano por la zona de tracción (mm).

Figura 2: Imágenes del ensayo con rotura dentro del tercio medio de la luz libre.

Tabla 2: Resultados del ensayo en los dos cuerpos de prueba.

Nota: todas las probetas rompieron dentro del tercio medio de la luz libre.

Relación a/c

Proveta 100x100x400 mm (V-I)

Series de Probetas

fct,f28

(MPa) Carga (N)

Media (MPa)

σ (MPa) CV (%)

0.553

1 4.50 12740

4.80 0.22 4.58 2 5.00 14150

3 4.90 13990

Probeta 150x150x500 mm

1 5.10 38900

4.87 0.26 5.34 2 5.00 37720

3 4.50 34570

ANEXOS

Anexo 2.10

Modelación constitutiva del hormigón.

Modelación del hormigón

El comportamiento del hormigón es altamente complicado e influenciado por distintos fenómenos, los

que se reflejan en la micro y macro estructura, esto conlleva a la concepción de un grupo de hipótesis

simplificativas que desembocan en drásticas idealizaciones sobre su comportamiento, con el fin de poder

modelarlos matemáticamente (Chen 1975; Oller 1988, 1996).

Existe un grupo considerable de investigadores que han trabajado en los últimos años el estudio

experimental del comportamiento del hormigón los cuales se mencionan en la investigación de (Bonilla,

2008)

Del análisis de estos trabajos se deriva que el comportamiento de este material está muy influenciado

por la formación y desarrollo de micro-fisuras en el mortero y en la interface entre mortero y agregado

pétreo, las cuales se inician desde la etapa de curado y crecen en función del estado tensional al que se

somete el elemento estructural durante su vida útil. Por tal razón, cualquier modelo constitutivo que trate

de simular el comportamiento del hormigón debe caracterizarse por los siguientes aspectos.

Comportamiento altamente no-lineal e inelástico debido al fenómeno de microfisuración y

deslizamiento entre partículas granulares.

La ley constitutiva tenso – deformacional, esta, caracterizada por un período elástico inicial, seguido

de un comportamiento inelástico con endurecimiento y gradual pérdida de la rigidez, que conduce a

una etapa posterior dominada ablandamiento. Esta microfisuración es la responsable del fenómeno

de expansión de volumen inelástico por efecto de la distorsión plástica, este fenómeno se le conoce

con el nombre de “Dilatancia”. Una forma de considerar este acontecimiento es, mediante el “ángulo

de dilatancia (ψ)”, introducido por primera vez por B. Hansen en 1958 y que representa la relación

que hay entre el incremento de volumen plástico y la distorsión plástica. Para el caso del hormigón

se recomienda un valor de ψmax = 15o. (Oller 1996, 1988). Ver figura 1.5.

Figura 2: Representación esquemática del ángulo de dilatancia (Oller, 2001)

ANEXOS

f

f´oc

f ´c

fot

f t

c oc

ot t

Como resultado que la resistencia a tracción es sensiblemente más baja, en la interface mortero –

agregado pétreo se produce una pérdida de esfuerzo en el material compuesto (hormigón), lo que se

refleja en una resistencia a tracción sensiblemente menor que a compresión. La relación entre las

resistencias iniciales uniaxiales a compresión (foc) y a tracción (fot) oscila entre 10% ≤ foc/ fot ≤ 20 %.

La resistencia última del hormigón bajo compresión biaxial, es mayor que la obtenida para comprensión

uniaxial, con incrementos de un 22.0% para relaciones de tensión (σз/σ1) = 0.5. Para estados biaxiales

de compresión -tracción, la resistencia a compresión decrece casi linealmente con el aumento de la

tracción aplicada. Bajo tracción biaxial la resistencia del hormigón crece un poco respecto a la

correspondientes uniaxial.

Las curvas de tensión-deformación uniaxial, poseen la misma forma a compresión que a tracción. La

deformación para el pico de tensiones es del orden -2.5‰ para la compresión uniaxial y entre 0.07‰ y

0.15‰. para tracción uniaxial. Ver figura 2.

El módulo de deformación en tracción uniaxial es ligeramente mayor que en compresión uniaxial, al

tiempo que el coeficiente de Poisson (γ) en tracción es algo más bajo que en compresión, el valor de

este coeficiente oscila entre 0.15 ≤ γ ≤ 0.22, siendo un valor razonable 0.19 o 0.20.

El inicio e incremento de la fisuración, genera una discontinuidad en la respuesta tensión – deformación

del hormigón, tanto en compresión como en tracción uniaxial, cuando se alcanza tensiones del orden del

75% (f´oc) de la resistencia máxima a compresión (f´c) en el primer caso, y del 60% (fot) de la resistencia

máxima a tracción (ft) en el segundo.

Los valores de ángulo de fricción interna entre partículas () para el caso del hormigón están

comprendidos en un rango 30o ≤ ≤ 35o. (Oller 1996; 1988).

Figura 3: Ensayo uniaxial de tracción y compresión

ANEXOS

Mecanismo de fallo del hormigón

Otro aspecto valioso que se aborda en la literatura consultada lo constituye la descripción de los

mecanismos de iniciación y avance progresivo del daño por fractura. Relacionado con esto, todos los

autores coinciden en que las micro-fisuras existen en la masa de hormigón, aún antes de iniciarse

cualquier proceso de carga, las cuales se ubican en la zona de transición entre el agregado pétreo y el

mortero de cemento, aunque en ocasiones alcanza a penetrar la matriz. De las observaciones realizadas

a hormigones sometidos a cargas, se identifican cuatro mecanismos de fallos, los que se mencionan a

continuación en orden de aparición (Ver figura 1.7).

Microfisuras en la interfase entre agregado grueso y la pasta de cemento, por el desprendimiento

del árido.

Incursiones en la pasta de cemento, de las microfisuras originadas en la interfase con el agregado

grueso.

Fisuras originadas en el mortero o pasta de cemento, con una orientación dominante, normal a la

deformación principal de tracción. También aparecen en esta etapa nuevas fisuras que

interconectan los espacios vacíos que existen en la pasta de cemento.

Conexión entre las distintas fisuras, lo que conduce al fallo total del sólido. Este mecanismo se

caracteriza porque el árido provoca un efecto de cuña o trabazón entre las caras de las fisuras,

contrarrestando la pérdida de resistencia que se ha producido en la dirección normal a ella.

Figura 4: Mecanismo de daño en el hormigón.

Esta descripción cronológica de los mecanismos de fallos muestra que la fisuración a nivel microscópico

en el punto de la masa del material compuesto, es un fenómeno adireccional que, a su vez, se propaga

ANEXOS

en determinadas direcciones dentro del mismo llegando a concentrase en determinadas zonas del sólido,

las que se denominan zonas de daño. Esto genera, a niveles macroscópicos, una dirección predominante

de las fisuras cuya orientación queda marcada por el lugar geométrico que describen los puntos dañados

y no por cada punto dañado por sí solo. Ver figura 1.10.

Internacionalmente se reportan varios trabajos (Bazant & Planas, 1998; NHI, 1998; PCA, 1966;

Recarey, 1999) relacionados con la obtención y/o aplicación de modelos constitutivos para el caso de

los hormigones. Es importante resaltar las investigaciones desarrolladas por (C & H, 1984; Lubliner,

oliver, Oller, & Oñate, 1989; Oller, 2001), donde se formula un modelo constitutivo que permite simular

el comportamiento de un material cohesivo-friccional, con especial énfasis en el hormigón basado en la

teoría del daño, al cual se le denominó Modelo de Daño Plástico dicho modelo ha adquirido gran

aceptación por su comportamiento frente a resultado experimentales y es el modelo empleado en el

software ABAQUS/CAE para la situación de este material.

Modelo de daño plástico

El modelo de daño plástico (Concrete Damaged Plasticity) es el modelo empleado por el programa

(ABAQUS, 2013) el mismo, no es más que una modificación a la hipótesis de Druker-Prager propuesta

por (C & H, 1984; Lubliner, oliver, Oller, & Oñate, 1989; Oller, 2001). El mismo está destinado al

análisis de estructuras de hormigón que pueden estar bajo cargas monótonas, cíclicas o dinámicas. Es

apropiado para el análisis de otros materiales frágiles como roca, morteros y cerámicas. Cuando es

sometido a bajas presiones de confinamiento el hormigón se comporta de manera muy frágil, donde los

principales mecanismos de fallo son la fractura o agrietamiento en tracción y el aplastamiento en

compresión. El comportamiento frágil del hormigón tiende a desaparecer cuando las presiones de

confinamiento son suficientemente grandes para prevenir la propagación de las grietas.

La teoría constitutiva expresada aquí está dirigida a tomar los efectos de daño irreversibles asociados a

los mecanismos de fallo que a parecen en el hormigón u otro material frágil sometido a bajas presiones

de confinamiento (menores que cuatro o cinco veces la resistencia última a compresión). Ver figura 1.8.

El modelo asume que la resistencia a la tracción uniaxial y la respuesta a la compresión del hormigón se

caracteriza por la plasticidad dañada, empleando para ello las curvas de tensión – deformación y/o

Tensión – desplazamiento.

a) Curva de Tensión – deformación para compresión uniaxial

La curva de tensión – deformación para el hormigón es la representación de lo que sucede en un ensayo

uniaxial a compresión llevado a cabo en el laboratorio con probetas cilíndricas de 15x30 cm.

ANEXOS

Figura 5: Curva de comportamiento en compresión uniaxial

Los parámetros fundamentales de este modelo son, la tensión inelástica a ciertos intervalos durante el

ensayo ( c ) y la deformación inelástica (in

c ), la cual, es determinada a partir de establecer una

diferencia entre la deformación en determinado punto (por encima del umbral de elasticidad) (𝜀𝑐) y la

deformación elástica correspondiente a ese punto (sin tener en cuenta la rigidez degradada)

0

in elc c c (3)

0

0

el cc

E

(4)

Otro parámetro importante a definir en este modelo es la variable de daño 𝑑𝑐. La variable de daño va

desde 0, representando el material intacto hasta 1 cuando el material alcanzo la máxima degradación de

su rigidez. Este parámetro también puede ser definido a partir de la relación entre la tensión en cada

punto de la parte declinada de la curva con la resistencia a compresión del hormigón.

A partir de tener ambos parámetros del CDP se puede calcular la deformación plástica tal como se

muestra en la siguiente ecuación:

0(1 )

pl inc

c c

c

d

d E

(5)

Donde 𝐸0 es el módulo de elasticidad del material sin dañarse. Conociendo la deformación plástica y

habiendo determinado el flujo y el área de la superficie de falla es posible calcular la tensión para

compresión uniaxial y su valor en tensiones efectivas.

0(1 ) ( )pl

cc c cd E (6)

ANEXOS

0 ( )(1 )

plc

c cc

c

Ed

(7)

Representación de curvas tensión – deformación en compresión cuando se carece de datos

experimentales.

El proceso de obtención de la curva tensión – deformación del hormigón con todas sus ramas requiere

de equipamiento con servo control de carga y métodos de adquisición de datos que muchas veces no

tenemos en los laboratorios y son bastante costosos, es por eso que como alternativa los autores han

propuestos modelos para aproximar este comportamiento, los cuales pueden ser vistos en el siguiente

resumen extraído del libro de (Santana & Caneiro, 2010)

Figura 6: Algunas leyes constitutivas para modelar el hormigón en compresión

b) Curva de Tensión – deformación para tracción uniaxial

La obtención de la curva de comportamiento en tracción es a partir del ensayo de tracción directa de

hormigón, ensayo extremadamente complejo de ejecutar y que requiere de equipamiento especializado,

ANEXOS

es por eso que los investigadores recomiendan obtener la resistencia a tracción y su comportamiento a

partir del ensayo de tracción indirecta o ensayo brasilero como se conoce también.

Figura 6: Curva de comportamiento en tracción uniaxial

El modelo de daño plástico al igual que para el comportamiento en compresión en tracción emplea la

tensión inelástica en tracción (𝜎𝑡) y la deformación de agrietamiento (𝜀�̃�𝑐𝑘) la cual es determinada

análogamente igual que en el ensayo a compresión. Lo mismo sucede con el resto de los pasos en

compresión obteniendo se las siguientes ecuaciones:

0(1 ) ( )ck

tt t td E (8)

0 ( )(1 )

ckt

c tt

t

Ed

(9)

Representación de curvas tensión – deformación en compresión cuando se carece de datos

experimentales.

En este caso las representaciones de las curvas (Tension-stiffning) como se conocen también, van desde

modelos lineales, bilineales, trilineales hasta exponenciales a continuación les presentaremos algunos

de ellos empleados por autores en la bibliografía.

Ecuación presentada por Wang & Hsu de tipo exponencial

0.4

ckt mc

t

f

si t ck (10)

En el caso del ABAQUS con el fin de atenuar los inconvenientes en materia de convergencia numérica

provocados por la inobjetividad de la solución, el Manual de Usuarios recomienda para el caso del

comportamiento del hormigón en tracción utilizar las curvas de tensión vs desplazamiento, invocando así

ANEXOS

la energía de fractura del material, definida como el área bajo de la misma. Para ello (Hordijk,1992)

estableció una ecuación:

Parte de:

22

3

3

0 1 11 (1 )c

wC

w C

t t

c c

w wC e C e

w w

(11)

Dónde:

𝑤: Desplazamiento enésimo en la rama de ablandamiento de la curva en tracción

𝑤𝑐: Desplazamiento máximo de rotura, se determina en función de la energía final de fractura

C1 y C2 son constantes de calibración del modelo y su valor fue de 3 y 6.93 respectivamente

ANEXOS

Anexo 2.11 (a)

Código en MathCad 14 empleado en la investigación para generar curvas de comportamiento en compresión del hormigón según (BS EN 1992-1-1)

El programa se realizó en función de los parámetros y nomenclaturas empleados en el EUROCODE (BS

EN 1992-1-1:2004)

VARIABLES DE ENTRADA:

Resistencia característica del hormigón fijada por proyecto.

: 30ck

f MPa

: 0.0014 2 exp 0.024 exp 0.140 0.0020976cl ck ckf f

: 0.004 0.001 1 exp 0.0215 0.00352466cu ckf

10: 4700 2.57 10ck ckE f Pa

: 1.05 1.89ck clc

ck

EK

f

: 0.4cky ckf f : 0.000466

cky

cy

ck

f

E

ALGORITMO PARA GENERAR LA CURVA DE COMPORTAMIENTO EN COMPRESIÓN

Cantidad de puntos de la lista a generar.

: 15N

: 0..i N

: 0.0002039cu cy

dN

:i cy i d

: ii

cl

Modelo que describe la curva de comportamiento.

2( ):

1 ( 2)

c i ii ck

c i

Kf

K

ANEXOS

Instrucción para acoplar dos listas.

: ( , )i iList augment

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CURVA DE COMPORTAMIENTO EN COMPRESIÓN

ANEXOS

Anexo 2.11 (b)

Código en MathCad 14 empleado en la investigación para generar curvas de comportamiento en tracción del hormigón

VARIABLES DE ENTRADA:

Resistencia característica del hormigón fijada por proyecto.

: 30ck

f MPa

0 : 10ckf MPa 0 : 10cmf MPa 0 2: 0.036F

mmG N

mm (Parámetros asumidos a partir del EUROCODIGO)

: 4.5LS MPa Desviación estándar para hormigones con control normal de fabricación según la

(NC-192)

Determinación de la resistencia media a compresión.

: 34.5cm ck Lf f S MPa

0.7

0 2

0

: 85.66cmF F

cm

f mG G N

f m

0

: 5.14 0.15Fc

t

Gw mm

Estimación de la resistencia a tracción directa según el EUROCODIGO.

0.6739

0 0: 0.2987 1.41ctk m ckf f MPa

2

3

0 0

0

: 2.933ckt ctk m

ck

ff MPa

f

(Tracción directa)

ANEXOS

ALGORITMO PARA GENERAR LA CURVA DE COMPORTAMIENTO EN TRACCIÓN

Cantidad de puntos de la lista a generar.

: 8

: 0..

:

: 0

c

i

N

i N

wd

N

w i d

ECUACIÓN PARA ESTIMAR LA CURVA DE COMPORTAMIENTO EN TRACCIÓN

Hordijk, DA (1992). Tensile and tensile fatigue behavior of concrete; experiments, modeling and analyses,

Heron 37(1):3-79.

Factores de calibración según el autor: 1 : 3C 2 : 6.93C

22

3

3

0 1 11 (1 )

i

c

wC

w Ci ii t

c c

w wC e C e

w w

Instrucción para acoplar dos listas.

: ( , )i iList augment w

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CURVA DE COMPORTAMIENTO EN TRACCIÓN

ANEXOS

Biliografía del Anexo ABAQUS. (2013). Section 3.2.8 "Axisymetric Elements". In D. Systemes (Ed.), ABAQUS Theory Manual

Version 6.13 (pp. 3.2.8–1 - 3.2.8-5). Bazant, Z., & Planas, J. (1998). fracture a size effect in conrete and other quasibrittle materils. [Press

release] Bonilla, J. D. R. (2008). Estudio del comportamiento de conectores tipo perno de estructuras compuestas

de hormigón y acero mediante modelación numérica. (Doctor en Ciencias Técnicas), Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Santa Clara, Cuba.

NHI. (1998). Pavement Subsurface Drainage Design. Paper presented at the National Highway Institute, Federal Highway Administration, Washington, D.C.

Oller, S. (2001). Fractura Mecánica. Enfoque global. Barcelona, España: CIMNE. PCA. (1966). Thickness Design for Concrete Highway and Street Pavements Thickness Concrete

Pavement Desing. Skokie, IL, EUA: Portland Cement Association. Recarey. ( 1999). Modelación del terreno y las estructuras en el dominio del tiempo. ( Tesis de

Doctorado), UCLV, Sta Clara, Cuba. Rezende, L. R. d. (1999). Técnicas alternativas para a construção de bases de pavimentos rodoviários.

(Dissertação de maestrado em geotecnia), Universidade de Brasilia, Brasila/DF. (G.DM-055A/99)

Santana, J. J. H., & Caneiro, J. A. H. (2010). Hormigón Estructural. Diseño por estados límites. (Vol. 1). La Habana, Cuba: Editorial científico tecnica. .

Simulia, D. S. (2012). 34.4.1 Embedded Element. In D. S. Corp. (Ed.), Abaqus Analysis User's Manual. RI, USA.

Zienkiewicz, O. C., & Taylor, R. L. (2004). El Método de los Elementos Finitos. (Vol. Vol. I). Barcelona, España: CIMNE, Cuarta Edición, 339 p.

ANEXOS

Anexo 3.1

Descripción del estudio experimental de distancia al borde del pavimento.

El anexo pretende mostrar un procedimiento indirecto empleado en la investigación para estimar, qué

por ciento de vehículos pesados se encuentra dentro de la franja de 60 cm en las condiciones de Cuba.

Para ello se diseñó un experimento donde se seleccionaron tres vías de la capital con características

similares de ancho de carril. Las vías fueron:

Calzada de Bejucal Tramo hacia Calabazar.

Acceso a la CUJAE desde Avenida Rancho Boyeros.

Calzada de Perla Tramo de Los Pinos.

Se seleccionan estas vías por ser de dos carriles de circulación, caso para cual, el número de ejes en el

borde o en sus cercanías es más desfavorable. El experimento se realizó marcando con pintura en el

pavimento, líneas con equidistancia de 20 cm desde el borde hacia el interior del carril Figura 1. Luego

se aforaron los vehículos que circularon en cada intervalo, registrándose los resultados en un modelo.

Debido a que se pretende evaluar el comportamiento de los conductores en función de los anchos

promedio de vehículos, los conteos se realizaron en días y horas aleatorias, los resultados fueron

acumulado en el mismo registro.

Figura 1 Procedimiento de marcado del pavimento

ANEXOS

0 26

40

55

39

26

20

10

0

10

20

30

40

50

60

I II III IV V VI VII VIII IX

Fre

cuen

cia

de p

asad

as

Distancia desde el borde (m)

02

5

26

42

47

27

15

6

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

I II III IV V VI VII VIII IX

Fre

cuen

cia

de p

asad

as

Distancia desde el borde (m)

1 3 3

43

69

47

34

22

11

0

10

20

30

40

50

60

70

80

I II III IV V VI VII VIII IX

Fre

cuen

cia

de p

asad

as

Distancia desde el borde (m)

Acceso a la CUJAE desde Boyeros

Posición Distancia del Vehículo al Borde (m)

Frecuencia

I 0.00 - 0.20 0

II 0.20 - 0.40 2

III 0.40 - 0.60 6

IV 0.60 - 0.80 40

V 0.80 - 1.00 55

VI 1.00 - 1.20 39

VII 1.20 - 1.40 26

VIII 1.40 - 1.60 20

IX 1.60 - 1.80 10

Tamaño de la muestra 198

Calzada de Bejucal hacia Calabazar

Posición Distancia del Vehículo al Borde (m)

Frecuencia

I 0.00 - 0.20 0

II 0.20 - 0.40 2

III 0.40 - 0.60 5

IV 0.60 - 0.80 26

V 0.80 - 1.00 42

VI 1.00 - 1.20 47

VII 1.20 - 1.40 27

VIII 1.40 - 1.60 15

IX 1.60 - 1.80 6

Tamaño de la muestra 170

Calle 6ta "Perla" tramo Los Pinos

Posición Distancia del Vehículo al Borde (m)

Frecuencia

I 0.00 - 0.20 1

II 0.20 - 0.40 3

III 0.40 - 0.60 3

IV 0.60 - 0.80 43

V 0.80 - 1.00 69

VI 1.00 - 1.20 47

VII 1.20 - 1.40 34

VIII 1.40 - 1.60 22

IX 1.60 - 1.80 11

Tamaño de la muestra 233

I. Resultados del estudio

Los resultados del estudio se organizaron en tablas e histogramas para cada caso, los cuales se

muestran a continuación.

Figura 2 Resultados de los aforos para cada caso.

ANEXOS

Datos Agrupados

Posición Distancia del

Vehículo al Borde (m)

Frecuencia

I 0.00 - 0.20 1

II 0.20 - 0.40 7

III 0.40 - 0.60 14

IV 0.60 - 0.80 109

V 0.80 - 1.00 166

VI 1.00 - 1.20 133

VII 1.20 - 1.40 87

VIII 1.40 - 1.60 57

IX 1.60 - 1.80 27

Tamaño de la muestra 601

Resumen estadístico de los datos agrupados

Recuento 601

Promedio 1.03894

Desviación Estándar 0.302488

Coeficiente de Variación 29.12%

Mínimo 0.186732

Máximo 1.78846

Rango 1.60173

Sesgo Estandarizado 2.00063

Curtosis Estandarizada -1.69312

II. Análisis de los resultados.

En el análisis se pretende determinar para un ancho de franja de 60 cm que por ciento de vehículos

pesados pudiera considerarse circulando por o las inmediaciones del borde. Para ello se emplea un

software como herramienta estadística (STATGRAPHICS Centurion XVI). Lo que se pretende es

agrupar los datos de las tres vías y asociarlo a una distribución de probabilidades determinada, para

luego para la distancia de 60 cm cual es la probabilidad de ocurrencia.

Figura 3 Análisis exploratorio de los datos.

En la tabla se muestran un resumen de los estadísticos para los DATOS AGRUPADOS. Incluye medidas

de tendencia central, medidas de variabilidad y medidas de forma. De particular interés aquí son el sesgo

estandarizado y la Curtosis estandarizada, las cuales pueden utilizarse para determinar si la muestra

proviene de una distribución normal. En este caso, el valor de sesgo estandarizado no se encuentra

dentro del rango esperado para datos provenientes de una distribución normal. El valor de Curtosis

estandarizada se encuentra dentro del rango esperado para datos provenientes de una distribución

normal. Estos resultados no dan criterio suficiente para afirmar que los datos provienen de una

ANEXOS

distribución normal, pero dan la idea de que pudiera estar cerca a esta. Lo que nos conduce a probar en

el ajuste con distribuciones de teóricas semejantes.

III. Ajuste de los datos a una distribución teórica

Para el ajuste de los datos experimentales (X) a una función de probabilidades determinada f(X) se sume la siguiente hipótesis:

Sea

X: Variable aleatoria poblacional

f0(x): Distribución de probabilidad supuesta para X

H0: No se rechaza la posibilidad de que f0(x) =f(x)

Ha: En contraste con la hipótesis alterna f0(x) no=f(x) (se niega H0)

Se probaron cuatro distribuciones posibles y para verificar cual era la que mejor se ajustaba, se le realizó dos test de bondad de ajuste (Kolmogorov-Smirnov y Chi-cuadrado). Los resultados se muestran en la siguiente tabla y gráfico.

Tabla 1 Parámetros de las Distribuciones Ajustadas

Gamma Lognormal Normal Weibull

forma = 10.7588 media = 1.044 media = 1.03894 forma = 3.75533

escala = 10.3555 desviación estándar = 0.345774 desviación estándar = 0.302488

escala = 1.14985

Escala log: media = -

0.00898748

Escala log: desv. est. =

0.322623

Tabla 2 Pueda de bondad de ajuste de Kolmogorov – Smirnov

Gamma Lognormal Normal Weibull

DMAS 0.0258746 0.0411191 0.0515277 0.0576842

DMENOS 0.0341297 0.0398117 0.0408034 0.048574

DN 0.0341297 0.0411191 0.0515277 0.0576842

Valor-P 0.496822 0.262358 0.0822286 0.0366452

nivel de significancia: 0.05

Tabla 3 Prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado

Gamma Lognormal Normal Weibull

Chi-Cuadrada 60.4592 82.7987 71.8735 77.2546

G.l. 46 46 46 46

Valor-P 0.0747513 0.000711094 0.00868524 0.00265545

ANEXOS

a). b).

Figura 4 Resultados gráficos del ajuste de los datos a varias distribuciones de probabilidad. a).

Histograma con funciones de probabilidades, b) gráfico de cuartiles.

Para saber si una determinada función de probabilidades f(x) se ajusta adecuadamente a los datos

experimentales se evalúa a partir del p-valor, el que cual se define como la probabilidad de obtener un

resultado al menos tan extremo como el que realmente se ha obtenido (valor del estadístico calculado),

suponiendo que la hipótesis nula es cierta, en términos de probabilidad condicional.

En el caso que se estudia, cuando el p-valor sean menores que 0.05 indicarían que los datos

experimentales no provienen de la distribución seleccionada con 95% de confianza. En el test de

Kolmogorov-Smirnov da como resultado que solo la distribución Weibull no cumple tal condición

quedando como descartada automáticamente. Luego se aplicó el test Chi-cuadrado resultando que solo

pasa la prueba la distribución Gamma.

Para la investigación seleccionamos la distribución Gamma pues es la mayor p-valor propone en el test

Kolmogorov-Smirnov y es como se observa en la tabla 3 es la única que cumple con el test Chi-cuadrado,

por tanto, esta es la de mejor ajuste al comportamiento de los datos experimentales.

IV. Obtención del por ciento de vehículos pesados en las inmediaciones del borde.

Para obtener del por ciento de vehículos pesados en las inmediaciones del borde se representó la función

de masa/densidad y la probabilidad acumulada de la función seleccionada (Gamma) a partir de sus

parámetros sacados de la tabla 1. Luego se entra en el gráfico con la distancia de 60 cm y se leyó en el

eje correspondiente a la probabilidad acumulada el por ciento de vehículos dentro de la franja.

ANEXOS

Figura 5 Resultados de la distribución tomada.

Como se observa en el gráfico de la derecha aproximadamente para 60 cm se tiene cerca de un 6% de

vehiculos en las inmediaciones del borde (5.88%).

ANEXOS

Anexo 3.2 (a)

Espesor de losa (mm)

TENSIÓN EQUIVALENTE PARA PAVIMENTOS SIN PASEO DE HORMIGÓN (MPa)

MÓDULO RESILIENTE DEL CIMIENTO (MPa)

40 60 80 100 150 200 250 300 350 400 450 500

ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET

130 4.04 3.44 3.68 3.08 3.41 2.85 3.21 2.71 2.83 2.32 2.56 2.11 2.36 1.94 2.20 1.80 2.05 1.69 1.93 1.56 1.83 1.47 1.73 1.44

140 3.74 3.15 3.41 2.83 3.16 2.62 2.99 2.50 2.64 2.16 2.39 1.96 2.21 1.82 2.06 1.68 1.93 1.59 1.82 1.47 1.73 1.39 1.64 1.36

150 3.47 2.90 3.17 2.62 2.95 2.43 2.79 2.31 2.47 2.02 2.25 1.83 2.08 1.70 1.95 1.58 1.82 1.50 1.72 1.39 1.64 1.32 1.55 1.29

160 3.24 2.69 2.97 2.44 2.76 2.26 2.61 2.15 2.32 1.89 2.12 1.72 1.96 1.61 1.84 1.50 1.73 1.42 1.64 1.32 1.56 1.25 1.48 1.23

170 3.04 2.50 2.79 2.28 2.60 2.11 2.46 2.00 2.19 1.78 2.00 1.62 1.86 1.52 1.75 1.42 1.64 1.35 1.56 1.26 1.48 1.20 1.41 1.17

180 2.86 2.34 2.63 2.14 2.45 1.98 2.33 1.88 2.08 1.69 1.90 1.53 1.77 1.44 1.66 1.35 1.57 1.29 1.49 1.20 1.42 1.14 1.36 1.12

190 2.70 2.20 2.48 2.01 2.32 1.86 2.20 1.77 1.97 1.60 1.81 1.45 1.69 1.37 1.59 1.29 1.50 1.23 1.43 1.15 1.36 1.10 1.30 1.07

200 2.56 2.07 2.36 1.90 2.20 1.75 2.09 1.67 1.88 1.52 1.72 1.37 1.61 1.31 1.52 1.23 1.43 1.18 1.37 1.11 1.31 1.06 1.25 1.03

210 2.43 1.95 2.24 1.80 2.10 1.66 2.00 1.58 1.79 1.45 1.65 1.31 1.54 1.25 1.46 1.18 1.38 1.13 1.32 1.07 1.26 1.02 1.21 1.00

220 2.31 1.85 2.13 1.70 2.00 1.57 1.90 1.50 1.71 1.38 1.58 1.25 1.48 1.20 1.40 1.13 1.33 1.09 1.27 1.03 1.21 0.98 1.17 0.96

230 2.20 1.75 2.04 1.62 1.91 1.50 1.82 1.42 1.64 1.32 1.52 1.20 1.42 1.15 1.35 1.09 1.28 1.05 1.22 0.99 1.17 0.95 1.13 0.93

240 2.11 1.67 1.95 1.55 1.83 1.43 1.75 1.36 1.58 1.27 1.46 1.15 1.37 1.11 1.30 1.05 1.23 1.01 1.18 0.96 1.14 0.92 1.09 0.90

250 2.02 1.59 1.87 1.48 1.76 1.36 1.68 1.29 1.52 1.22 1.41 1.10 1.32 1.07 1.26 1.01 1.19 0.98 1.14 0.93 1.10 0.89 1.06 0.87

260 1.93 1.52 1.80 1.41 1.69 1.30 1.61 1.24 1.46 1.17 1.36 1.06 1.28 1.03 1.22 0.98 1.15 0.95 1.11 0.90 1.07 0.86 1.03 0.84

270 1.86 1.45 1.73 1.35 1.62 1.25 1.55 1.19 1.41 1.13 1.31 1.02 1.24 0.99 1.18 0.95 1.12 0.92 1.08 0.87 1.04 0.84 1.00 0.82

280 1.79 1.39 1.66 1.30 1.57 1.20 1.50 1.14 1.36 1.09 1.27 0.98 1.20 0.96 1.14 0.92 1.09 0.89 1.04 0.85 1.01 0.82 0.97 0.80

290 1.72 1.33 1.60 1.25 1.51 1.15 1.45 1.09 1.32 1.05 1.23 0.95 1.16 0.93 1.11 0.89 1.05 0.86 1.02 0.83 0.98 0.80 0.95 0.78

300 1.66 1.28 1.55 1.20 1.46 1.11 1.40 1.05 1.28 1.02 1.19 0.92 1.13 0.90 1.08 0.86 1.03 0.84 0.99 0.80 0.95 0.78 0.92 0.76

310 1.60 1.23 1.50 1.16 1.41 1.07 1.35 1.02 1.24 0.99 1.15 0.89 1.09 0.88 1.05 0.84 1.00 0.82 0.96 0.78 0.93 0.76 0.90 0.74

320 1.55 1.19 1.45 1.12 1.37 1.03 1.31 0.98 1.20 0.95 1.12 0.86 1.06 0.85 1.02 0.81 0.97 0.80 0.94 0.76 0.91 0.74 0.88 0.72

330 1.50 1.15 1.40 1.08 1.33 1.00 1.27 0.95 1.16 0.93 1.09 0.83 1.03 0.83 0.99 0.79 0.95 0.78 0.92 0.75 0.89 0.72 0.86 0.70

340 1.45 1.11 1.36 1.04 1.29 0.96 1.24 0.91 1.13 0.90 1.06 0.81 1.01 0.80 0.97 0.77 0.92 0.76 0.89 0.73 0.87 0.71 0.84 0.69

350 1.41 1.07 1.32 1.01 1.25 0.93 1.20 0.88 1.10 0.87 1.03 0.79 0.98 0.78 0.94 0.75 0.90 0.74 0.87 0.71 0.85 0.69 0.82 0.67

ANEXOS

Anexo 3.2 (b)

Espesor de losa (mm)

TENSIÓN EQUIVALENTE PARA PAVIMENTOS CON PASEO DE HORMIGÓN (MPa)

MÓDULO RESILIENTE DEL CIMIENTO (MPa)

40 60 80 100 150 200 250 300 350 400 450 500

ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET

130 3.08 2.62 2.80 2.35 2.60 2.17 2.45 2.07 2.16 1.77 1.95 1.61 1.80 1.48 1.68 1.37 1.56 1.29 1.47 1.19 1.39 1.12 1.32 1.09

140 2.85 2.40 2.60 2.16 2.41 2.00 2.27 1.90 2.01 1.65 1.82 1.50 1.68 1.38 1.57 1.28 1.47 1.21 1.39 1.12 1.31 1.06 1.25 1.03

150 2.64 2.21 2.42 2.00 2.25 1.85 2.12 1.76 1.88 1.54 1.71 1.40 1.58 1.30 1.48 1.21 1.39 1.14 1.31 1.06 1.25 1.00 1.18 0.98

160 2.47 2.05 2.26 1.86 2.10 1.72 1.99 1.63 1.77 1.44 1.61 1.31 1.50 1.22 1.40 1.14 1.32 1.08 1.25 1.01 1.18 0.95 1.13 0.93

170 2.31 1.91 2.12 1.73 1.98 1.61 1.88 1.53 1.67 1.36 1.53 1.23 1.42 1.16 1.33 1.08 1.25 1.03 1.19 0.96 1.13 0.91 1.08 0.89

180 2.18 1.78 2.00 1.63 1.87 1.50 1.77 1.43 1.58 1.28 1.45 1.16 1.35 1.10 1.27 1.03 1.19 0.98 1.13 0.92 1.08 0.87 1.03 0.85

190 2.06 1.67 1.89 1.53 1.77 1.42 1.68 1.35 1.50 1.22 1.38 1.10 1.28 1.05 1.21 0.98 1.14 0.94 1.09 0.88 1.04 0.84 0.99 0.82

200 1.95 1.58 1.79 1.45 1.68 1.34 1.60 1.27 1.43 1.16 1.31 1.05 1.23 1.00 1.16 0.94 1.09 0.90 1.04 0.84 1.00 0.80 0.95 0.79

210 1.85 1.49 1.71 1.37 1.60 1.26 1.52 1.20 1.36 1.10 1.26 1.00 1.18 0.95 1.11 0.90 1.05 0.86 1.00 0.81 0.96 0.78 0.92 0.76

220 1.76 1.41 1.63 1.30 1.52 1.20 1.45 1.14 1.31 1.05 1.20 0.95 1.13 0.91 1.07 0.86 1.01 0.83 0.97 0.78 0.93 0.75 0.89 0.73

230 1.68 1.34 1.55 1.23 1.46 1.14 1.39 1.08 1.25 1.01 1.16 0.91 1.08 0.88 1.03 0.83 0.97 0.80 0.93 0.76 0.89 0.72 0.86 0.71

240 1.60 1.27 1.49 1.18 1.39 1.09 1.33 1.03 1.20 0.97 1.11 0.87 1.04 0.84 0.99 0.80 0.94 0.77 0.90 0.73 0.87 0.70 0.83 0.68

250 1.54 1.21 1.42 1.12 1.34 1.04 1.28 0.99 1.16 0.93 1.07 0.84 1.01 0.81 0.96 0.77 0.91 0.75 0.87 0.71 0.84 0.68 0.81 0.66

260 1.47 1.16 1.37 1.08 1.29 0.99 1.23 0.94 1.11 0.89 1.03 0.81 0.97 0.78 0.93 0.74 0.88 0.72 0.84 0.69 0.81 0.66 0.78 0.64

270 1.41 1.11 1.32 1.03 1.24 0.95 1.18 0.90 1.07 0.86 1.00 0.78 0.94 0.76 0.90 0.72 0.85 0.70 0.82 0.67 0.79 0.64 0.76 0.63

280 1.36 1.06 1.27 0.99 1.19 0.91 1.14 0.87 1.04 0.83 0.96 0.75 0.91 0.73 0.87 0.70 0.83 0.68 0.80 0.65 0.77 0.62 0.74 0.61

290 1.31 1.02 1.22 0.95 1.15 0.88 1.10 0.83 1.00 0.80 0.93 0.72 0.88 0.71 0.84 0.68 0.80 0.66 0.77 0.63 0.75 0.61 0.72 0.59

300 1.26 0.98 1.18 0.92 1.11 0.84 1.07 0.80 0.97 0.78 0.91 0.70 0.86 0.69 0.82 0.66 0.78 0.64 0.75 0.61 0.73 0.59 0.70 0.58

310 1.22 0.94 1.14 0.88 1.08 0.81 1.03 0.77 0.94 0.75 0.88 0.68 0.83 0.67 0.80 0.64 0.76 0.62 0.73 0.60 0.71 0.58 0.69 0.56

320 1.18 0.90 1.10 0.85 1.04 0.78 1.00 0.75 0.91 0.73 0.85 0.65 0.81 0.65 0.77 0.62 0.74 0.61 0.71 0.58 0.69 0.56 0.67 0.55

330 1.14 0.87 1.07 0.82 1.01 0.76 0.97 0.72 0.89 0.71 0.83 0.63 0.79 0.63 0.75 0.60 0.72 0.59 0.70 0.57 0.68 0.55 0.65 0.54

340 1.11 0.84 1.04 0.80 0.98 0.73 0.94 0.70 0.86 0.69 0.81 0.62 0.77 0.61 0.74 0.59 0.70 0.58 0.68 0.55 0.66 0.54 0.64 0.52

350 1.07 0.81 1.01 0.77 0.95 0.71 0.91 0.67 0.84 0.67 0.79 0.60 0.75 0.60 0.72 0.57 0.69 0.56 0.67 0.54 0.65 0.53 0.63 0.51

ANEXOS

Anexo 3.3

Análisis estocástico de la resistencia a compresión a los 28 días.

Procedencia de los datos.

Para la investigación se trabajaron con datos experimentales de ensayos a compresión realizados en

probetas de 20MPa, 25MPa y 30MPa a los 28 días, suministrados por los laboratorios del CITEC

(MINFAR) correspondiente a la producción de hormigón premezclado. Se analizaron múltiples lotes,

agrupando aquellos que tuvieran aproximadamente el mismo número de series ensayadas (3 muestras).

Los datos contemplan un período de cinco años. A partir de aquí se pretende realizar una caracterización

estadística de las poblaciones partiendo de la teoría que sus resistencias a compresión siguen una

distribución normal.

Caracterización estadística de las poblaciones

La caracterización estadística se realizó a partir de obtener las medidas de tendencia central y dispersión

para cada población (20,25 y 30 MPa). Para ellos se agrupan los datos teniendo en cuenta lo planteado

por la (NC-192, 2005) en el acápite seis. El software estadístico STATGRAPHICS sirvió como

herramienta para realizar la estadística descriptiva de las poblaciones.

Tabla 1: Resumen estadístico de los datos extraídos del laboratorio

Resumen estadístico

Resistencia Característica 20MPa 25MPa 30MPa

Media 23.830 26.684 30.743

Error típico 0.576 0.707 0.637

Mediana 23.296 27.493 30.723

Moda #N/A #N/A 30.723

Desviación estándar 3.909 3.871 4.175

Varianza de la muestra 15.279 14.984 17.434

Curtosis -1.121 -0.972 -1.095

Coeficiente de asimetría -0.041 -0.141 -0.068

Rango 13.015 14.218 14.218

Mínimo 17.094 19.971 23.343

Máximo 30.110 34.189 37.561

Suma 1096.198 800.516 1321.953

Cuenta 46.000 30.000 43.000

Nivel de confianza (%) 1.161 1.445 1.285

Generación aleatoria de las resistencias

La generación de variables aleatorias ocupa un lugar importante en las aplicaciones modernas de la

Teoría de Probabilidades, para aquellas situaciones en que se requiera conocer, el comportamiento

estocástico de un sistema por medio de simulación intensa por ordenador. El objetivo de la generación

es obtener una muestra sintética de una variable, cuya función de densidad empírica se ajuste, lo más

fielmente posible, a la dada como modelo probabilista de ella.

ANEXOS

22.500

23.000

23.500

24.000

24.500

25.000

25.500

0 5 10 15 20 25 30

Med

ia (

MP

a)

Tamaño de muestras generadas Cientos

20 MPa Medias generadas

Media supuesta

Normas internacionales como la ACI-318-05, EHE-07 y la propia NC-192-05 asumen que los resultados

de resistencia a compresión a los 28 días se ajustan a una distribución normal de probabilidades.

Partiendo de este criterio en la investigación se emplearán generadores de números aleatorios que sigan

tal distribución. La selección del generador se realizó evaluando los criterios seguidos (Rodríguez, 2010)

en su investigación, empleando como generador de números aleatorios la función “rnorm” del software

profesional MATCAD 14.0.0.164. Tal función tiene como parámetros de entrada la media, la desviación

y el tamaño de la muestra a generar.

Evaluación de las generaciones

Cuando se genera números aleatorios en un ordenador se parte de la hipótesis de que los valores de

partida generados corresponden a variables aleatorias y siguen cierta distribución de probabilidades,

pero esta suposición realmente no se cumple, puesto que los generadores de números aleatorios son

simplemente programas determinísticos que intentan reproducir una sucesión de valores que parezca

aleatoria, por tanto, estos se denominan pseudo-aleatorios. Para realizar la comprobación de números

pseudo-aleatorios es preciso verificar dos elementos, el carácter aleatorio propiamente dicho y la

correspondencia de los datos generados con la distribución de probabilidades supuesta.

Para evaluar la generación en la investigación primero se determina el tamaño mínimo que puede tener

cada muestra generada de manera tal que las medias de tendencia central y dispersión sean lo más

parecidos a las supuestas (permitiendo un error del 2%). Luego, al tamaño de muestra seleccionada se

le realizo un “Test de rachas” para comprobar la aleatoriedad de la generación. Finalmente, se le realizan

diversos test de bondad de ajuste para ver si las muestras de cada población seleccionada se ajustan a

una distribución normal.

Determinación del tamaño mínimo de las muestras

Para la determinación del tamaño mínimo de las muestras se generaron valores manteniendo la misma

media y desviación, cambiando el tamaño de datos generados. A continuación, se observan los gráficos

de la media y desviación típica obtenidos para las tres resistencias.

ANEXOS

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Des

viac

ión

típ

ica

(MP

a)

Tamaño de muestras generadas Cientos

20 MPa

Desviacionesn Típicas generadas

Desviación típica supuesta

25.000

26.000

27.000

28.000

29.000

30.000

31.000

32.000

0 5 10 15 20 25 30

Med

ia (

MP

a)

Tamaño de las muestras generadas Cientos

25MPa Medias generadas

Media supuesta

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Dev

iaci

ón

típ

ica

(MP

a)

Tamaño de las muestras generadas Cientos

25 MPa

Desviación típica generada

Desviación típica supuesta

29.000

29.500

30.000

30.500

31.000

31.500

0 5 10 15 20 25 30

Med

ia (

MP

a)

Tamaño de las muestras generadas Cientos

30 MPa

Medias generadas

Media supuesta

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Des

viac

ión

típ

ica

(MP

a)

Tamaño de las muestras generadas Cientos

30 MPa

Desviación típica generada

Desviación típica supuesta

.

Figura 1: Comportamiento de las medidas de tendencia central con el aumento del tamaño de muestra.

ANEXOS

Como se observa en las figuras a medida que el tamaño de muestra crece los estadígrafos descriptivos

se asemejan a los supuestos. Con el objetivo de reducir al máximo el tamaño de las muestras generadas

se permite cometer un error en la convergencia con los valores supuestos de un 2%. Los resultados del

estudio se muestran a continuación en la siguiente tabla.

Tabla 2: Resumen a partir de cuales valores se estabilizan los tamaños de muestras con un error menor que el 2%.

Resistencia Característica 20MPa 25MPa 30MPa

Media estabiliza a partir de los: 200 valores 23.83 MPa

100 valores 26,83 MPa

250 valores 30.74 MPa

Desviación Típica estabiliza a partir de los:

600 valores 3,91 MPa

600 valores 3.87 MPa

800 valores 4.17 MPa

Tamaño de la muestra definitivo: 600 600 800

Con se observa en la tabla las soluciones estabilizan con un tamaño en la media y otro en la desviación,

por ello seleccionamos el mayor de los dos para definirlo como tamaño definitivo.

Contraste de aleatoriedad.

Para contrastar la aleatoriedad de los datos se realizó un Test de Rachas, la cual contrasta si es aleatorio

el orden de aparición de dos valores de una variable. Una racha es una secuencia de observaciones

similares. Una muestra con un número excesivamente grande o excesivamente pequeño de rachas

sugiere que la muestra no es aleatoria. Se trabaja para una probabilidad del 95%.

Se plantea las siguientes hipótesis:

H0: Para un nivel de significación del 5%, no se rechaza la hipótesis de aleatoriedad si P-valor > 0.05

H1: Se rechaza la hipótesis de aleatoriedad en el caso contrario.

Tabla 3: Prueba de rachas teniendo en cuenta valores por encima y por debajo de la media

Parámetros M20MPa M25MPa M30MPa

Valor de prueba 23.682 26.8318 30.5145

Casos < Valor de prueba 291 320 398

Casos >= Valor de prueba 309 330 402

Casos totales 600 650 800

Número de rachas 318 326 392

Z 1.413 0.006 -0.636

P-Valor 0.158 0.995 0.525

Los tamaños de muestra seleccionada cumplen con H0 por tanto se puede asegurar que las generaciones

tienen carácter aleatorio con un nivel de confianza del 95%.

Contraste de normalidad

ANEXOS

A continuación, se muestra como se verificó la uniformidad de los números aleatorios generados por el

método seleccionado. Se trata de decidir si los números generados se pueden considerar como

realización de una muestra aleatoria simple con distribución normal. Para ello con empleo del software

STATGRAPHICS se realizan tres test de normalidad teniendo como nivel de significancia 0.05 (95 % de

probabilidad).

Chi-Cuadrado

Kolmogorov-Smirnov

Shapiro-Wilk

La prueba de chi-cuadrada divide el rango de los datos en intervalos no trasladables y compara el número

de observaciones en cada clase con el número esperado con base en la distribución ajustada (Normal).

La prueba de Kolmogorov-Smirnov calcula la distancia máxima entre la distribución acumulada de los

datos y la función de densidad de la distribución normal ajustada y por último la prueba de Shapiro-Wilk

está basada en la comparación de los cuartiles de la distribución normal ajustada a los datos.

Tabla 4: Resultado de los P-valor de los diferentes test de normalidad

Estadígrafo de contraste P-valor

20 MPa 25 MPa 30 MPa

Chi-Cuadrado 0.617 0.583 0.995

Kolmogorov-Smirnov 0.646 0.708 0.959

Estadístico W de Shapiro-Wilk 0.154 0.988 0.176

Los resultados muestran que el P-valor más pequeño de las pruebas realizadas es mayor ó igual a 0.05,

por tanto, no se puede rechazar la idea de que las muestras provienen de una distribución normal con

95% de confianza. Los resultados se pueden evidenciar también en los histogramas de cada resistencia

generada.

ANEXOS

Figura 2: Histogramas de los tamaños de muestras definitivos.

Estos valores constituyen datos de entrada para generar las curvas teóricas de comportamiento en

compresión y tracción de los hormigones. Este proceso de generación y simulación computacional es

bastante complejo para los tamaños de muestras obtenidos es por eso que se decidió realizar un

remuestreo de los datos generados empleando la técnica de Muestreo Aleatorio Simple (MAS).

Remuestreo de los datos.

El Muestreo Aleatorio Simple no es más que cada unidad de la población tiene la misma probabilidad

de ser seleccionada para integrar la muestra. Puede decirse también que es el procedimiento mediante

el cual se eligen por sorteo, n unidades de una población de tamaño N haciendo la selección con

reposición (Aguilera, León, & Salgaco, 2010).

Es de esperar que mientras mayor sea el tamaño de la muestra que se selecciona en el MAS, mayores

eficiencias tendrán las estimaciones. Sin embargo, el aspecto económico y en el afán de ganar tiempo,

en toda investigación obliga a que las muestras sean lo más pequeñas posible procurando que al mismo

tiempo no dejen de ser representativas de la población que se investiga.

Lo primero que se buscó para realizar el muestreo aleatorio simple fue el tamaño que requiere la muestra

para que sea representativa de la población con un nivel de confianza del 95%. En nuestro caso se

conocen los tamaños de las poblaciones (cantidad de datos generados en cada resistencia)

2

1 /2

0 2

Z pqn

d

(1)

0

0( 1)1

nn

n

N

(2)

ANEXOS

Donde:

0 :n Tamaño de la muestra cuando se desconoce el tamaño de la población

:n Tamaño de la muestra transformado cuando se conoce el tamaño de la población.

:N Tamaño de la población.

1 /2 :Z Variable estandarizada de distribución normal.

:p Probabilidad de éxito

:q Probabilidad de fracaso

:d precisión del estudio

Como no se conoce los valores de probabilidad de éxito y fracaso se asume que tal probabilidad de tales

eventos es un medio (0.5). En el estudio se decide trabajar aceptando un error máximo a cometer (d) de

valor igual a 0,15MPa. Los tamaños de las muestras resultantes del remuestreo se muestran a

continuación en la tabla.

Tabla 5: Resumen del Muestreo Aleatorio Simple (MAS)

Resistencia Característica 20MPa 25MPa 30MPa

1 0.05 0.05 0.05

1 /2Z 1.96 1.96 1.96

N 300 300 300

p 0.5 0.5 0.5

q 0.5 0.5 0.5

d 0.15 0.15 0.15

Tamaño de Muestra 40 40 42

Con los tamaños de las muestras determinado, se procedió a realizar el muestreo aleatorio simple

resultando en cada caso como se muestra en la siguiente tabla.

ANEXOS

Tabla 6: Muestreo aleatorio simple de los números generados

f'c = 20 MPa f'c = 25 MPa f'c = 30 MPa

No. Resist. (MPa)

No. Resist. (MPa)

No. Resist. (MPa)

No. Resist. (MPa)

No. Resist. (MPa)

No. Resist. (MPa)

1 22.76 21 20.58 1 22.80 21 15.60 1 35.30 21 25.77

2 23.77 22 18.51 2 27.60 22 23.61 2 27.11 22 28.90

3 21.16 23 23.90 3 26.91 23 34.80 3 37.59 23 28.58

4 23.75 24 21.46 4 29.80 24 25.40 4 35.92 24 32.87

5 22.51 25 27.44 5 28.88 25 23.88 5 29.35 25 33.26

6 18.09 26 20.95 6 22.30 26 27.47 6 28.49 26 29.55

7 24.57 27 27.19 7 26.73 27 24.25 7 26.67 27 41.24

8 27.06 28 20.44 8 24.30 28 28.49 8 23.41 28 29.87

9 24.09 29 24.32 9 26.30 29 21.88 9 31.53 29 31.61

10 25.02 30 30.82 10 28.40 30 30.59 10 31.54 30 36.13

11 27.91 31 22.26 11 24.30 31 28.05 11 33.51 31 35.65

12 20.58 32 22.71 12 24.86 32 19.30 12 32.27 32 26.36

13 21.08 33 20.51 13 27.42 33 23.38 13 36.95 33 25.27

14 21.84 34 25.97 14 25.29 34 31.66 14 32.98 34 32.44

15 19.97 35 26.35 15 19.30 35 23.40 15 35.38 35 31.73

16 24.88 36 20.52 16 31.18 36 20.62 16 33.54 36 27.56

17 20.37 37 27.20 17 35.84 37 26.02 17 27.56 37 30.41

18 24.21 38 19.97 18 24.06 38 22.50 18 23.76 38 28.90

19 31.66 39 22.71 19 25.65 39 25.80 19 31.92 39 29.05

20 27.44 40 19.08 20 26.58 40 22.52 20 27.05 40 34.09 41 31.64 42 30.54

A cada uno de estos valores mostrado en la tabla se les estimó su propiedades elásticas (E,ν) y curvas

de comportamiento en compresión y tracción tomando como parámetro de la estimación la propia

resistencia en compresión. Anexos 2.11 (a) y 2.11 (b)

ANEXOS

Anexo 3.4

Resultados de las simulaciones generadas.

f´c = 20 MPa

Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)

Mr (MPa) Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)

Mr (MPa)

1 22.76 24057 3.21 21 20.58 22826 3.04

2 23.77 24642 3.29 22 18.51 21574 2.88

3 21.16 23144 3.09 23 23.90 24508 3.27

4 23.75 24635 3.28 24 21.46 23318 3.11

5 22.51 23975 3.20 25 27.44 26373 3.52

6 18.09 21297 2.84 26 20.95 23048 3.07

7 24.57 25103 3.35 27 27.19 26386 3.52

8 27.06 26331 3.51 28 20.44 22711 3.03

9 24.09 24838 3.31 29 24.32 24968 3.33

10 25.02 25354 3.38 30 30.82 28393 3.79

11 27.91 26702 3.56 31 22.26 23817 3.18

12 20.58 22826 3.04 32 22.71 24045 3.21

13 21.08 23117 3.08 33 20.51 22735 3.03

14 21.84 23598 3.15 34 25.97 25910 3.45

15 19.97 22462 2.99 35 26.35 26069 3.48

16 24.88 25279 3.37 36 20.52 22742 3.03

17 20.37 22663 3.02 37 27.20 26393 3.52

18 24.21 24876 3.32 38 19.97 22462 2.99

19 31.66 28695 3.83 39 22.71 24045 3.21

20 27.44 26376 3.52 40 19.08 21918 2.92

f´c = 25 MPa

Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)

Mr (MPa) Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)

Mr (MPa)

1 22.76 24057 3.21 21 20.58 22826 3.04

2 23.77 24642 3.29 22 18.51 21574 2.88

3 21.16 23144 3.09 23 23.90 24508 3.27

4 23.75 24635 3.28 24 21.46 23318 3.11

5 22.51 23975 3.20 25 27.44 26373 3.52

6 18.09 21297 2.84 26 20.95 23048 3.07

7 24.57 25103 3.35 27 27.19 26386 3.52

8 27.06 26331 3.51 28 20.44 22711 3.03

9 24.09 24838 3.31 29 24.32 24968 3.33

10 25.02 25354 3.38 30 30.82 28393 3.79

11 27.91 26702 3.56 31 22.26 23817 3.18

12 20.58 22826 3.04 32 22.71 24045 3.21

13 21.08 23117 3.08 33 20.51 22735 3.03

14 21.84 23598 3.15 34 25.97 25910 3.45

15 19.97 22462 2.99 35 26.35 26069 3.48

16 24.88 25279 3.37 36 20.52 22742 3.03

17 20.37 22663 3.02 37 27.20 26393 3.52

18 24.21 24876 3.32 38 19.97 22462 2.99

19 31.66 28695 3.83 39 22.71 24045 3.21

20 27.44 26376 3.52 40 19.08 21918 2.92

ANEXOS

f´c = 30 MPa

Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)

Mr (MPa) Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)

Mr (MPa)

1 35.30 30545 4.07 21 25.77 25741 3.43

2 27.11 26417 3.52 22 28.90 27381 3.65

3 37.59 31823 4.24 23 28.58 27280 3.64

4 35.92 31038 4.14 24 32.87 29240 3.90

5 29.35 27428 3.66 25 33.26 29655 3.95

6 28.49 27203 3.63 26 29.55 27770 3.70

7 26.67 26289 3.51 27 41.24 33541 4.47

8 23.41 24448 3.26 28 29.87 27921 3.72

9 31.53 28804 3.84 29 31.61 28684 3.82

10 31.54 28807 3.84 30 36.13 30984 4.13

11 33.51 29808 3.97 31 35.65 30859 4.11

12 32.27 29211 3.89 32 26.36 26071 3.48

13 36.95 31556 4.21 33 25.27 25293 3.37

14 32.98 29421 3.92 34 32.44 28929 3.86

15 35.38 30668 4.09 35 31.73 28908 3.85

16 33.54 29816 3.98 36 27.56 26444 3.53

17 27.56 26444 3.53 37 30.41 28245 3.77

18 23.76 24640 3.29 38 28.90 27381 3.65

19 31.92 28955 3.86 39 29.05 27300 3.64

20 27.05 26475 3.53 40 34.09 30078 4.01 41 31.64 28694 3.83 42 30.54 28332 3.78

Bibliografía del anexo

Aguilera, M. E. A., León, M. L. P., & Salgaco, M. J. D. E. (2010). Manual de Probabilidades y estadísticas. 266.

NC-192. (2005). Hormigón hidráulico. Calculo de la Resistencia Característica Real a la Compresión. Cálculo de la Resistencia Característica Real a la Compresión del Hormigón La Habana. Cuba: ININ/ Oficina Nacional de Normalización.

Rodríguez, A. J. M. (2010). Modelación estocastica de problemas de ingeniería geotécnica. (Tesis de Doctorado), Universidad Central "Marta Abreu" de Las Villas, Villa Clara, Cuba.

ANEXOS

Anexo 4.1

Información general del caso de estudio.

Caso de estudio: Autopista Este-Oeste (Tramo intermedio entre el Puente de calle 100 y el puente de 114.)

I. Descripción de la vía

En una vía con categoría de autopista compuesta por 6 carriles de circulación (3 en cada sentido), la

sección de cada carril es aproximadamente 3.50 m. La vía fue construida aproximadamente hace 25

años con pavimento de hormigón simple de 21 cm de espesor sin paseo. En la actualidad tiene un flujo

considerable de vehículos pesados sobre todo en el tramo escogido para el estudio, ya que se encuentra

en la zona de uno de los vertederos de basura más grande que tiene la capital, además de ser una vía

que conecta La Habana con la provincia más occidental del país. (Ver figura 1)

Figura 1 Imágenes del tramo tomado para el estudio.

II. Estudio de tránsito

En el año 2012 el Departamento de Viales de la Facultad de Ingeniería Civil de la CUJAE realizó un

estudio de tránsito, con el fin de desarrollar varios trabajos de diplomas. El estudio consistió en una

caracterización del tráfico a partir de conteos clasificados.

El período de conteo fue de 12 horas, efectuado durante una semana, donde se registraron los tipos de

camiones que circulan, identificados por sus siluetas y la condición de carga, señalando si el vehículo

viene lleno, intermedio o vacío. Los resultados del estudio se muestran a continuación en la siguiente

tabla.

ANEXOS

Tabla 1. Resultado del conteo clasificado de vehículos.

Tabla 2. Espectro de carga obtenido del conteo

Escalón de cargas (kN) FRECUENCIA DE EJES SIMPLES

Escalón de cargas (kN) FRECUENCIA DE EJES

TÁNDEM TRÍDEM

0 10 250 60 80 96 0

10 20 370 80 100 6 9

20 30 349 100 120 41 0

30 40 326 120 140 66 0

40 50 242 140 160 21 0

50 60 10 160 180 152 2

60 70 189 180 200 14 0

70 80 45 200 220 21 0

80 90 166 220 240 7 6

90 100 2 240 260 0 0

100 110 6 260 280 0 3

110 120 44 280 300 0 0

120 130 14 total de ejes 424 20

130 140 12

total de ejes 2025

No. Siluetas No. de ejes Vehículos contados

Vacío Intermedio Llenos

ligeros 1538

1

2 ejes simples, 4 ruedas 56 10 4

2

2 ejes simples,6 ruedas. 96 47 74

3 1 eje simple, 1 eje tándem.

27 16 71

4 2 ejes simples, 6 ruedas 41 7 11

5 3 ejes simples, 10 ruedas

2 1 0

6 2 ejes simples,1 eje tándem.

5 9 4

7 1 eje simple, 2 eje tándem

4 16 7

8 1 eje simple, 1 eje tándem, 1 eje trídem.

2 1 0

9 2 ejes simples,1 eje trídem

3 0 3

10 3 ejes simples, 10 ruedas

4 0 0

11 Con silueta 2 3 1 14

12 Con silueta 3 4 3 2

TOTAL, DE CAMIONES 247 111 190

ANEXOS

III. Datos de los materiales

Después de 30 años toda la documentación de proyecto se ha deteriorado y se encontró poca

información relacionada con el proyecto, a partir de esto, supusimos algunos de los datos referido las

características de a los materiales. La suposición se realizó bajo la asesoría del Dr. Ing. Emilio Serrano

Rodríguez, el cual fue el proyectista de la obra.

Calidad del hormigón empleado en las losas 28-30 MPa

Base granular de material seleccionado calizo CBR 20%

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