Procesamiento de imagenes

Introduccin a las imgenes digitales

Segunda parte

Topologa Digital

El proceso de digitalizacin

Una imagen natural capturada con una cmara, un telescopio, un microscopio o cualquier otro tipo de instrumento ptico presenta una variacin de sombras y tonos continua. Imgenes de este tipo se llaman imgenes analgicas.

Para que una imagen analgica, en blanco y negro, en escala de Para que una imagen analgica, en blanco y negro, en escala de grises o a color, pueda ser "manipulada" usando un ordenador, primero debe convertirse a un formato adecuado. Este formato es la imagen digital correspondiente.

La transformacin de una imagen analgica a otra discreta se llama digitalizacin y es el primer paso en cualquier aplicacin de procesamiento de imgenes digitales.

Clasificacin de imgenes digitales:

Por dimensin: Imgenes 2D y 3D Por paleta de colores: imgenes binarias, en escala de grises y a color

Ej. de Imgenes 2D y 3D: imgenes mdicas

http://www.3d-doctor.com/volume.html

Imagen en escala de grises Imagen a colorImagen binaria

El proceso de digitalizacin

El proceso de digitalizacin: muestreo y cuantificacin

Un muestreo consiste en una subdivisin de la imagen analgica en porciones. Nos centraremos en imgenes 2D. Slo estudiaremos particiones que envuelven polgonos regulares: tringulos, cuadrados y hexgonos.

Imgenes 2D

Estos polgonos representan sensores sensibles a la intensidad de luz.

PixelStudio

En el modelo matemtico de una imagen, un pxel se identifica con su centro, pudiendo representar los pxeles como puntos (x,y) del plano, donde (x,y) son las tpicas coordenadas cartesianas.

Dependiendo de los distintos tipos de mallado, la distribucin de los pxeles es distinta:

Imgenes 2D

Los bordes de las regiones estn pintados en negro. Los pxeles estn representados por puntos en color rosa. Hemos conectado dos pxeles si las regiones correspondientes comparten un lado comn.


Imgenes 2D

Cuantificacin: La salida de estos sensores es un valor (amplitud) dentro de una escala (color). La salida pueden ser, o bien un nico valor (escala de grises) o bien un vector con tres valores por polgono (RGB) que se corresponden con la intensidad de color rojo (R), verde (G) y azul (B). La escala de colores tambin tiene un rango discreto (por ejemplo, de 8-bits = 256 valores).

Las imgenes en escala de grises con slo 2 colores: blanco y negro (0 y 1, respectivamente), se llaman imgenes binarias.

A este proceso de discretizacin del color se le llama cuantificacin.

Un polgono de color constante se le llamar pxel.

Nos centraremos en imgenes digitales cuadradas o rectangulares, cuyos pxeles (x,y) representan regiones cuadradas. La coordenada xespecifica la fila donde est localizado el pxel; la coordenada yrepresenta la columna. Por convencin, el pxel (0,0) est localizado en la esquina superior izquierda de la imagen.

Imgenes 2D

Una imagen digital de MxN pxeles en escala de grises es una funcin f: [0,M-1] x [0,N-1] -> [0, L-1],

tal que a cada punto (pxel) (x,y), le asigna un valor (nivel de gris).

Si representamos esta funcin en el espacio, obtenemos una nube de puntos. Si representamos esta funcin en el espacio, obtenemos una nube de puntos. Uniendo los puntos formando un mallado, obtenemos una superficie. El estudio analtico de dicha superficie nos puede dar informacin acerca de la imagen.

Ejemplo de digitalizacin de una imagen. El muestreo se ha hecho usando un mallado cuadrangular de 9 por 9 cuadrados y la cuantificacin consiste en una paleta de 256 niveles de gris (donde 0 indica el color negro y 255 el color blanco):

Imgenes 2D


Partiendo de una misma imagen y dependiendo del mallado que escojamos, la imagen digital obtenida es diferente:

Imgenes 2D


Tambin hay que tener en cuenta la paleta de colores, como se observa en el ejemplo siguiente:

Imgenes 2D


Llegados a este punto, es lgico preguntarse Qu muestreo y cuntos niveles de gris son necesarios para una buena aproximacin? La resolucin (el grado de detalle discernible) de una imagen depende estrechamente de estos dos parmetros. Cuanto ms se incrementan, ms se aproxima la imagen digitalizada a la original.

Imgenes 2D


La cantidad de niveles de gris (resolucin de intensidad) y la finura del mallado (resolucin espacial) que escojamos, deben producir una imagen digital aceptable, en el sentido de que no sea perceptible al ojo humano el paso de un color a otro, entre dos pxeles consecutivos.

Hemos de tener en cuenta que si el muestreo consiste en un mallado de M por N pxeles y el nmero de niveles de gris permitido es L=2k, entonces el nmero de bits necesarios para almacenar una imagen digitalizada es:

M x N x k

Imgenes 2D


Por ejemplo, una imagen de 128 x 128 con 64 niveles de gris necesita 98.304 bits = 12 KB de memoria.

Una de 256 x 256 con 132 niveles de gris necesita 458.752 bits = 56 KB.

Y una de 1024 x 1024 con 256 niveles de gris necesita 8.388.608 bits = 1024 KB = 1 MB.

Imgenes 3D

Imgenes 3D

Para imgenes 3D tambin se pueden considerar distintos tipos de mallado:

Mallado BCC (body-centered-cubic grid).

Mallado FCC (face-centered-cubic grid).

Mallado cbico, que es el ms usual.

Voxelo

Introduccin a la topologa digital

Estn representadas las estaciones y las lneas de metro de Madrid. Pero no es geomtricamente exacto.

La curvatura de las lneas de metro no coincide, ni su longitud a escala, ni la posicin relativa de las estaciones...

Sin embargo este plano representa fielmente cierto tipo de informacin: informacin topolgica.

(wikipedia)

Preliminares topolgicos

La idea fundamental en topologa es la de continuidad o "proximidad".

Espacios mtricosEspacios mtricos

Debemos dar una definicin coherente a la idea de cerca y lejos.

Sea X un conjunto. Se dice que d: X x X -> [0, + infinito) define una distancia si:

d(x,y)=0 si y slo si x=yd(x,y)=d(y,x)

d(x,y)

El concepto de distancia

La distancia ms usual en Rn es la distancia eucldea.

La distancia eucldea en R2 viene dada por la frmula:2

21

2

212211 )()()),(),,(( yyxxyxyxd +=

Otras distancias conocidas en R2 son:

d(x,y)=0 si x=y; d(x,y)=1 en otro caso (distancia discreta)

d((x1, y1),(x2,y2))=|x1-x2|+|y1-y2| (distancia City-block)

d ((x1, y1),(x2,y2))=max{|x1-x2|,|y2-y2|} (distancia Chessboard)

El concepto de vecindadSea (X,d) un espacio mtrico. Se llama bola abierta centrada en un punto x de X, de radio e>0 al conjunto:

B(x,e)={y en X tal que d(x,y)

ContinuidadSean (X,d) y (X',d') dos espacios mtricos.

La funcin f: X-> X' es continua en un punto x de X si cualquier bola abierta B(x,e) se transforma en otra bola abierta B(f(x),e). Es decir, si valores muy cercanos a x se transforman en valores igualmente cercanos a f(x).

El concepto de continuidad depende de la distancia escogida.

La funcin de Dirichlet:

f: R-> R tal que f(x)=

no es continua en ningn punto.

1 si x es racional 0 si x es irracional

Ejemplo: f: R-> R tal que f(x)=2x es continua.

Objetos HomeomorfosSe dice que dos objetos X e Y son homeomorfos (o topolgicamente iguales) si existe una funcin f:X->Y tal que f y f -1 son biyectivas y continuas.

un cuadrado y un crculo son homeomorfos. Sin embargo, un crculo y un segmento no lo son.

Ejemplo:

Dado que es muy difcil comprobar si dos espacios son homeomorfos, existe un concepto ms dbil que es el de homotopa: se dice que dos espacios son homotpicos si existe una deformacin continua que lleve el uno en el otro.

Por ejemplo, aunque un crculo y un segmento no son homeomorfos, s son homotpicos.

Propiedad topolgicaUna propiedad se dice que es propiedad topolgica si se preserva por homeomorfismo.

Algunas propiedades topolgicas:

Nmero de componentes conexas Nmero de agujeros La compacidad (el hecho de ser cerrado y acotado) El nmero de cavidades (si estamos en 3D) ...

Dado un espacio mtrico (X,d), se llama camino simple de x a y, a una funcin continua y biyectiva f: [0,1] -> X, tal que f(0)=x, f(1)=y.

Se llama curva simple si x=y.

Conectividad

El teorema de Jordan. Una curva simple en R2 divide al plano en dos componentes conexas, una acotada y otra no.

X se dice que es conexo si para cualesquiera par de puntos de Xexiste un camino que los une.

Topologa Digital

El concepto de vecindad en imgenes digitales

Veremos cmo dotar a una imagen digital de una estructura que permita el estudio de conceptos topolgicos.

La definicin de topologa digital se basa en la definicin de una vecindad en cada pxel.

Llamamos q-vecindad q-adyacencia de un pxel p, Nq(p), al conjunto de pxeles que definimos como vecinos de p.

Nos centraremos en el estudio de imgenes digitales binarias. Supondremos que el borde del mallado est compuesto por pxeles blancos. Los objetos de las imgenes estarn formados por pxeles negros y el fondo por pxeles blancos.

Los vecinos de un pxel vienen condicionados por el mallado considerado en la imagen digital.

Veamos los distintos tipos de vecindades para cada tipo de mallado.

Imgenes binarias

Veamos los distintos tipos de vecindades para cada tipo de mallado.

Mallado hexagonalEn este caso particular, definimos la 6-vecindad 6-adyacencia de un pxel p como los 6 pxeles cuyas regiones comparten un lado con p.

Mallado cuadrangularLa 4-vecindad o 4-adyacencia de un pxel p son los 4 pxeles cuyas regiones comparten un lado con p.

Imgenes binarias

La 8-vecindad u 8-adyacencia de un pxel p, consiste en los 8 pxeles cuyas regiones comparten un lado o un vrtice con p.

Mallado triangular

La 3-vecindad de un pxel p son los 3 pxeles cuyas regiones comparten un lado con p.

Imgenes binarias

La 12-vecindad de un pxel p, consiste en los pxeles cuyas regiones comparten un lado o un vrtice con p.

Caminos digitales

Dada una imagen digital binaria con una relacin de vecindad definida (t-adyacencia), un camino digital ( t-camino) de un pxel p a otro pxel q se define como una sucesin de pxeles Ppq={pi ; i=0,...,n} (del mismo color, todos distintos), tal que:

p =p, p =q

Imgenes binarias

p0=p, pn=q Para todo i=1,...,n-1, pi tiene exactamente dos vecinos en Ppq que

son pi-1 y pi+1 p0 y pn tienen exactamente un vecino que son p1 y pn-1,

respectivamente.

La longitud de un camino digital con n+1 pxeles es n.

Curva digital

Definimos curva digital como un conjunto de pxeles tal que al eliminar cualquiera de ellos, se convierte en un camino digital.

Ejemplo:

Imgenes binarias

Curva digital con la 4-adyacencia y la 8 adyacencia, respectivamente.

El concepto de distancia digital

Considerada fijada una q-adyacencia, la q-distancia entre dos pxeles se define como la longitud del camino ms corto que los une.

Imgenes binarias

Ejemplo:Considerando el mallado cuadrado, se puede observar que la 4-distancia (definida a partir de la 4-adyacencia) produce la distancia city-block. Anlogamente, la 8-distancia produce la chessboard.

Algunas propiedades topolgicas:Nmero de componentes conexasNmero de agujeros o huecosNmero de Euler digitalNmero de cavidades (en 3D)

Imgenes binarias

Propiedades Topolgicas

Componente conexa digital

Una componente conexa digital es un conjunto de pxeles tal que para cualquier par de pxeles del conjunto, existe un camino digital que los une.

Se dice que una componente conexa est acotada si no posee ningn pxel del borde del mallado.

Agujeros Un agujero en una imagen digital binaria 2D es una componente blanca que es adyacente a una componente negra que la rodea.

Nmero de Euler

Imgenes binarias


Nmero de Euler

Si C es el nmero de componentes conexas y A es el nmero de agujeros, el nmero de Euler de una imagen digital binaria 2D se define como

E=C-A

Recorremos la imagen binaria de izquierda a derecha y de arriba a abajo.

Usando la 4-adyacencia en negro:

Paso 1. Para cada pixel P(x,y) que sea negro, examinamos a los vecinos superiores (x,y-1) y (x-1,y).

Algoritmo de clculo de componentes conexas

Imgenes binarias


Si son blancos, damos a P una nueva etiqueta; Si tan slo uno es negro, le damos a P su etiqueta; Si ambos son negros, le damos a P la etiqueta de uno de ellos, y si sus

etiquetas son diferentes, registramos el hecho de que son equivalentes.

Paso 2. Ordenamos las parejas equivalentes en clases de equivalencia, y escogemos una etiqueta para representar cada clase.

Paso 3. Realizamos un segundo rastreo de la imagen y sustituimos cada etiqueta por el representante de cada clase; cada componente ha sido ahora etiquetada de forma nica.

Algoritmo de clculo de componentes conexas

Consideremos la siguiente imagen:

Imgenes binarias


El resultado del primer rastreo, usando 4-adyacencia es :

Resultado del segundo rastreo, reemplazando todas las etiquetas equivalentes por una representativa:

Paradojas de Jordan

Mallado hexagonalConsiderando 6-adyacencia tanto para pxeles blancos como para

Teorema de Jordan digital

Una curva digital (en negro) define exactamente dos componentes conexas (blancas) en el mallado, una acotada y otra no.

Imgenes binarias

Considerando 6-adyacencia tanto para pxeles blancos como para pxeles negros, una curva cerrada digital en el mallado hexagonal siempre verifica el teorema de Jordan (no hay paradojas).

Mallado cuadradoUsando la 4-adyacencia para pxeles negros:

Ejemplo de curva cerrada pero que no encierra ningn pxel, por tanto, no se cumple el teorema de Jordan.

Imgenes binarias

Usando la 8-adyacencia para pxeles negros:

Cualquier curva cerrada encerrara por lo menos un pxel en su interior.Pero si consideramos la 8-adyacencia para blancos tambin, vemos que los pxeles blancos forman una nica componente conexa, por tanto, no se cumple el teorema de Jordan.

Mallado triangularUsando la 3- adyacencia para pxeles negros:

Imgenes binarias

Usando la 12-adyacencia para pxeles blancos y negros:

Conclusin

Las adyacencias que no provocan paradoja de Jordan son:

Mallado hexagonal: (6,6)-adyacencia. Mallado cuadrado: (8,4)-adyacencia Mallado triangular: (12,3)-adyacencia

Imgenes binarias

donde (p,q)-adyacencia indica la eleccin de p-adyacencia para negro y q-adyacencia para blanco.

Para practicar: Mallado hexagonal

Ejercicio: disear un algoritmo que calcule el nmero de componentes conexas y agujeros de una imagen binaria considerando la (8,4)-adyacencia.

Borde de una imagen Imgenes binarias

Dada una imagen con la (p,q)-adyacencia (p-adyacencia para negro y q-adyacencia para blanco).

El borde de la imagen (en negro) es el conjunto de pxeles en negro que tienen, al menos un q-vecino en blanco.

Anlogamente, el borde de la imagen (en blanco), es el conjunto de pxeles en blanco que tienen, al menos, un p-vecino en negro.en blanco que tienen, al menos, un p-vecino en negro.

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/topologiadigital/Transparencias/TD-Tema3.pdf

Definicin de punto simpleImgenes binarias

Un pxel negro P del borde de la imagen se considera simple si el nmero de componentes conexas de los vecinos en negro (y blanco) de P, as como el nmero de agujeros, no vara cuando P es reemplazado por un pxel blanco.

Por otro lado, un punto es final si tiene exactamente un vecino negro; un punto final no es ms que un punto extremo de la imagen.0 1 10 P 0 P es simple para la 4-adyacencia en negro, pero no para la 81 0 0

0 1 00 P 1 P es simple para la 8-adyacencia en negro pero no para la 4.0 0 0

punto final no es ms que un punto extremo de la imagen.

Ejercicio: Establecer todas las configuraciones posibles de puntos simples y puntos finales que puedan aparecer en el borde de una imagen.

EsqueletoImgenes binarias

Qu es un esqueleto?

Representa la estructura de un objeto con un nmero pequeo de pxeles , mientras que conserva las propiedades topolgicas del objeto original.

El esqueleto puede tener aplicaciones, por ejemplo, en deteccin de fallos en procesos de fabricacin o reconocimiento de formas (patrones).

EsqueletoImgenes binarias

Algoritmo de adelgazamiento: Punto simple

Bsicamente, el procedimiento de adelgazamiento consiste en ir borrando sucesivamente los puntos del borde de la imagen, de forma que se preserve la topologa de la figura.

Un punto del borde de la imagen se puede eliminar si es simple y no es final.

El borrado de puntos debe seguir un esquema de barridos sucesivos en las direcciones de los 4 puntos cardinales para que la imagen siga teniendo las mismas proporciones que la original y conseguir as que no quede deformada.

El borrado en cada rastreo (punto cardinal) debe hacerse en paralelo, es decir, sealar todos los pxeles "borrables" para eliminarlos todos a la vez.

Repetir hasta que no se produzcan cambios.

Topologa Digital 3D Distintos tipos de adyacencias en el mallado cbico: 6, 18, 26

Imgenes binarias

Paradoja de Jordan: cualquier superficie cerrada digital divide el espacio en dos partes: una acotada y otra no.

Ejercicio: Escribe una posible definicin para superficie digital.Indicar qu adyacencias deberamos considerar para que no se produjera paradoja de Jordan en 3D.

Topologa Digital Imgenes binarias

Referencias:http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/topologiadigital/A. Rosenfeld y A.C. Kak, Digital Picture Processing Computer Science and Applied Mathematics, Academic Press, 1982.

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