Procesamiento Digital de Señales: Transformada Z · Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes

Procesamiento Digital de Señales:

Transformada Z

2

Objetivo

Presentar los aspectos generales de la transformada Z, sus propiedades y las técnicas relacionadas con su uso en sistemas discretos.

Dar una introducción a las transformaciones directa e inversa, los pares de transformación así como su empleo en la identificación de sistemas y en el análisis de señales.

El alumno aprenderá las capacidades y limitaciones de la transformada Z, así como los procedimientos comúnmente empleados en la identificación de sistemas.

Al finalizar esta unidad el alumno deberá ser capaz de manejar dichas transformaciones y construir soluciones con base en estas.

Relación con la transformada de Fourier

La transformada de Laplace, empleada en señales continuas, tiene su equivalente para señales discretas en forma de la Transformada Z. Cada una de estas transformaciones mantiene una relación de manera correspondiente con la transformaciones equivalentes de Fourier.

La transformada Z es una generalización de la Transformada discreta de Fourier

Al igual que la transformada de Laplace, la Transformada Z tiene la ventaja de permitir la convergencia de mayor número de señales que gracias a la inclusión de un exponente complejo, (en el caso de Laplace se usa una exponencial compleja).

Transformada Z

La transformada discreta de Fourier:

La transformada de una serie h[n] está definida como:

Al separar los términos independientes de los dependientes:

Transformada Z

zn → H ( z)=∑n=−∞

∞

h[n ] zn−k

H (Ω)=H (e jω)=∑n=−∞

∞

h (k )e− j ωk

zn → H ( z)=zk ∑n=−∞

∞

h [n ] z−n

Sustituyendo la variable compleja z por la representación en forma polar (r e jw), se puede representar X(z) en términos de la Transformada de Fourier:

Con esto se observa que la Transformada Z equivale a la transformada de Fourier multiplicada por una secuencia exponencial.

Transformada Z

X (z)=X (r e jω) = ∑

n=−∞

∞

x [n ](r e jω)−n

X (r e j ω) = ∑

n=−∞

∞

x [n]r−n e− j ωn

Se puede también observar que la Transformada de Fourier discreta (de una secuencia) coincide con la transformada Z si se la evalúa sobre el círculo unitario (i.e. R = 1 ).

Transformada Z

X (r e jω)= ∑

n=−∞

∞

x [n]r−n e− jω n

Transformada Z

Ventajas

La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias.

Permite la utilización de la Teoría de variable compleja en problemas de señales y sistemas discretos

Facilita la resolución de problemas analíticos.

Análogamente a la Transformada de Fourier, la transformada Z convierte una convolución en el domino temporal en una multiplicación en el dominio Z.

Transformada Z

Ventajas

Su principal uso se encuentra en el análisis y síntesis de filtros digitales.

La configuración de las singularidades determina el tipo de filtro digital, bien recursivo o no recursivo, y puede usarse para interpretar su comportamiento frecuencial.

La cuestión de la estabilidad puede enfocarse en términos de la localización de los polos en el plano Z (Dentro del circulo unitario)

Representación General

En general y[n] = (x[n])

Al aplicar Transformada Z a esta ecuación queda como :

Y(z) = Z{ (x[n])}

entonces el objetivo es estudiar esa ecuación en el plano z

Transformada Z

Sistema Lineal Invariante en Tiempo

(LTI)

x[n] Z{x[n]}=X(z) y[n] Z{y[n]}=Y(z)

Definición

Dada una función x(n) su Transformada Z Bilateral sera:

mientras que la Transformada inversa Bilateral se define:

x [n ]↔ XB( z)= ∑n=−∞

∞

x [ n ] z−n

x [n ]=1

2πj∮ X B ( z ) z

n−1dz ↔ X B( z )

Transformada Z

Definición

De igual manera la su Transformada Z Unilateral de x(n) se define como:

y su Transformada inversa Unilateral igual a:

x [n ]↔ XU ( z )=∑n=0

∞

x [n ] z−n

x [n ]=1

2πj∮ X U ( z ) z

n−1dz ↔ X U ( z )

Transformada Z

Propiedades

El operador Z denota la transformación:

mientras que el operador Z-1 se usa para denotar la transformación inversa:

1.- Linealidad:

XU ( z )=Z {x [n ]}

Z { a∗x1[n ]+b∗x2[n ] }= a∗X1( z )+b∗X 2( z )

Transformada Z

x [n ]=Z−1

{X U ( z )}

Propiedades

2.- Desplazamiento en el tiempo:

3.- Corrimiento en fase:

4.- Operación escalar en el dominio de Z

Z { z0n x [n ] }= X ( z

z0)

Z { e jω 0n x [n ] }= X (e− jω0 z )

Transformada Z

Z { x [n−n0 ]u [n−n0 ] }= z−n

0 X ( z )

Propiedades

5.- Inversión de Tiempo:

6.- Diferenciación en frecuencia:

7.- Conjugación:

Z { x [−n ] } = X ( 1z )

Transformada Z

Z { nx [n ] } =−zdX ( z )

dz

Z { x* [n ] } = X *( z*)

Propiedades

8.- Expansión en el tiempo:

9.- Convolución:

Z { x1[n ]∗x2[n ] } = X1( z ) X 2( z )

Transformada Z

Sea x(k )[n ]= x [ n /k ] , si n es múltiplo de k 0 , si n no es múltiplo de k

entonces , Z {x( k )[n ]}=X ( zk)

Pares Transformados

1)

2)

3)

4)

Transformada Z

Aδ [n−m ]↔ Az−m

Au [n ]↔A

1−z−1=Az

z−1

Aα nu [n ]↔A

1−αz−1=Az

z−α

nαnu [n ]↔αz−1

(1−αz−1)

2=

αz

( z−α )2

Pares Transformados

5)

6)

7)

8)

Transformada Z

cos(ω0 n )u [n ]↔1−cos(ω0 ) z−1

1−2cos(ω0 ) z−1+ z−2 =

z2−cos(ω0 ) z

z2−2cos(ω0 ) z+1

sen (ω0 n )u [n ]↔sen(ω0 ) z−1

1−2cos(ω0 ) z−1+ z−2 =

sen(ω0) z

z2−2cos(ω0) z+1

rn cos(ω0 n )u [n ]↔1−[ r cos(ω0 )] z−1

1−2r cos(ω0 ) z−1+r2 z−2 =

z2−[ r cos(ω0 )] z

z2−2r cos(ω0 ) z+r2

rn sen(ω0 n )u[n ]↔[ r sen(ω0) ] z−1

1−2r cos(ω0) z−1+r2 z−2 =

[r sen(ω0 )] z

z2−2r cos(ω0) z+r2

Región de convergencia (ROC)● Para una secuencia dada, es el conjunto de valores de z para los cuales la Transformada Z converge. En general son regiones anulares del plano Z: Rx - < | z | < Rx + donde Rx - puede ser tan pequeño como 0 y Rx + tan grande como ∞.

● Si X(z) es una función racional ( N(z) / D(z) ), las raíces de N(z) son los ceros de X(z). Las raíces de D(z) son los polos de X(z) (valores finitos de z que provocan X(z) = ∞). Además, hay que considerar los valores particulares z = 0 y z = ∞.

Transformada Z

Limites de Región de Convergencia

La región está limitada por los polos de la transformada

La secuencia:

Y su transformada:

Transformada Z

x [n]=anu [n]

X [ z ]=∑n=−∞

∞

an⋅u [n]⋅z−n

=∑n=−∞

∞

(a⋅z−1)n

X [ z ]=1

1−a⋅z−1 para ∣z∣>∣a∣

X [ z ]=z

z−a



La secuencia:

Y su transformada:

Transformada Z

x [n]=anu [n]

X [ z ]=∑n=−∞

∞

an⋅u [n]⋅z−n

=∑n=−∞

∞

(a⋅z−1)n

X [ z ]=1


X [ z ]=z

z−a



La secuencia:

Y su transformada:

Transformada Z

x [n]=anu [n]

X [ z ]= ∑n=−∞

∞

an⋅u [n]⋅z−n

= ∑n=−∞

∞

(a⋅z−1)

n

X [ z ]=1


X [ z ]=z

z−a

Limites de Región de Convergencia● Secuencia de –∞ a +∞ (longitud infinita):

La convergencia requiere que n1 ≤ n ≤ n2 para | x[n] | < ∞

● Casos particulares: z = ∞, si n1 < 0 y z = 0, si n

2 > 0

ROC : 0 < | z | < ∞ y puede incluir z = 0 ó z = ∞

Transformada Z

X [ z ]=∑n=n1

n2

x [n ]⋅z−n

Limites de Región de Convergencia● Secuencia hacia la derecha: x[n] = 0 para n < n

1

ROC : exterior del círculo | z | > Rx -

● Caso particular: La sumatoria diverge para z = ∞, si n

1 < 0

● Si la ROC incluye a z = ∞ entonces se trata de una secuencia causal

Transformada Z

X [ z ]=∑n=n1

∞

x [n ]⋅z−n

Limites de Región de Convergencia● Secuencia hacia la izquierda: x[n] = 0 para n > n

2

ROC : interior de un círculo | z | < Rx +

● Caso particular: La sumatoria diverge para z = 0, si n

2 > 0

● Si converge para z = 0 entonces x[n] = 0 para n ≥ 0

Transformada Z

X [ z ]= ∑n=−∞

n2

x [n]⋅z−n

Limites de Región de Convergencia● Secuencia bilateral:

ROC : hacia la derecha | z | > Rx -

ROC : hacia la izquierda | z | < Rx +

● ROC: si Rx- < Rx + , región anular Rx- < | z | < Rx +

si Rx- > Rx + entonces NO existe región común y la sumatoria diverge

Transformada Z

X [ z ] = ∑n=−∞

∞

x [n]⋅z−n= ∑

n=0

∞

x [n]⋅z−n+ ∑

n=−∞

−1

x [n]⋅z−n

Resumen (ROC)● La región de convergencia de la transformadas racionales de z no pueden contener ningún polo y está limitada por los polos o por 0 o ∞.

● En el caso general de secuencias bilaterales, algunos de los polos contribuyen sólo para n ≥ 0 y el resto sólo para n ≤ 0.

● Suponiendo una transformada que presenta tres polos (en z = a, b, c) en la figura se muestran las cuatro posibles elecciones para la región de convergencia.

Transformada Z

Resumen (ROC)● La primera región corresponde a una secuencia hacia la derecha, la segunda a una secuencia hacia la izquierda, y las dos restantes a secuencias bilaterales.

Transformada Z

a b ca b c a b c a b c

Plano Z

Métodos de Transformación Inversa

1) Integración en el campo complejo.

2) Identificación en una tabla de Transformadas.

2.1) Expansión en Fracciones Parciales.

2.2) División Larga.

Z - Transformada Inversa

Teoremas del valor inicial y valor final

1) Teorema del Valor Inicial.

Si Z{x[n]} = X(z) entonces:

2) Teorema del Valor Final

Si Z{x[n]} = X(z) entonces:

Z - Transformada Inversa

x [0 ]= limz →∞

X ( z )

)()1( ][1

zXz-limnxlimzn

Sea:

Aplicando la transformada Z a ambos lados:

La ecuación en diferencias se convierte en un problema algebraico, despejando Y(z):

Y se aplica la transformada inversa:

Solución de ecuaciones diferenciales

y [ n+1 ]−ay [ n ]=x [n ]

z [Y ( z )− y [ 0 ] ]−aY ( z )=X ( z )

Y ( z )=X ( z )+zy [ 0 ]

z−a

y [ n ]=Z−1{X (z )+zy [0 ]

z−a }=Z−1{ z−1 X (z )

1−az−1 }+ y [0 ]Z−1 { 11−az−1 }

Donde

Da como resultado:


y [ n ]=x [ n ]* an+ y [ 0 ] an

y [ n ]=Z−1{X (z )+zy [0 ]

z−a }=Z−1{ z−1 X (z )

1−az−1 }+ y [0 ]Z−1 { 11−az−1 }

Ejemplo 1:

con C.I. y[-1] = 1

Aplicando la Transformada Z a ambos miembros

Despejando Y(z):

Y ( z )+3y [−1 ]+3z−1 Y ( z )=1

1−z−1

Y ( z )=1−3y [−1 ](1− z−1

)

(1−z−1 )(1+3z−1)=

3z−1−2

(1−z−1 )(1+3z−1 )


y [ n ]+3y [n−1 ]=x [ n ]=u[ n ]

Ejemplo 1:

Resolviendo:

Y ( z )=A

(1+3z−1 )+

B

(1−z−1)

Y ( z )=1−3y [−1 ](1− z−1

)

(1−z−1 )(1+3z−1)=

3z−1−2

(1−z−1 )(1+3z−1 )


3z−1−2

(1−z−1 )(1+3z−1 )=

A(1+3z−1 )

+B

(1− z−1 )

Ejemplo 1:

Sustituyendo z-1:

Para z-1=1


3z−1−2

(1−z−1 )(1+3z−1 )=

A(1+3z−1 )

+B

(1− z−1 )

3z−1−2=A (1−z−1

)+B(1+3z−1)

3(1)−2=A (1−1)+B(1+3 (1))

1=4 B → B=1 /4

Ejemplo 1:

Sustituyendo z-1: para z-1= -1/3

Por lo tanto:

Lo que permite calcular su transformada inversa


3z−1−2=A (1−z−1

)+B(1+3z−1)

3(−1 /3)−2=A(1−(−1 /3))+B(1+3 (−1/3))

−3=4 /3 A → A=−9/ 4

Y ( z )=−9/ 4

(1+3z−1 )+

1/4

(1−z−1)

Ejemplo 1:

Lo que permite calcular su transformada inversa usando:


y [ n ]=((−9/ 4 )(−3 )n+1/4 )u [n ]

Z−1 [Y ( z )]=Z−1[ −9/ 4

(1+3z−1 )+

1/4

(1−z−1 ) ]

Au [n ]↔A

1−z−1

Aα nu [n ]↔A

1−αz−1

Ejemplo 2:

con C.I. y[0] = 4, y[1] = 2

Aplicando la Transformada Z a ambos miembros

Agrupando Y(z):

z2 Y (z )−z2 y[0 ]−zy[1] −0.8 z Y (z)−(−0.8 )zy [0] +0.25 Y (z )=10 z

z−0.5

Solución de ecuaciones en diferencias

y [n+2]−0.8 y [n+1]+0.25 y [n] = x [n ]= 10(0.5)n

(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)−z2 y [0]−zy [1 ] +0.8 zy[0 ] =10 z

z−0.5

Ejemplo 2:

Sustituyendo las condiciones iniciales con C.I. y[0] = 4, y[1] = 2

Despejando Y(z):


(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)−z2 y [0]−zy [1 ] +0.8 zy[0 ] =10 z

z−0.5

(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)−4z2−2z +3.2z =10 z

z−0.5

(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)= 10 zz−0.5

+4z2+2z−3.2z

(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)= 10 zz−0.5

+(4z2

+2z−3.2z) (z−0.5)

z−0.5

Ejemplo 2:

Lo que resulta en:


(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)= 10 zz−0.5

+(4z2

+2z−3.2z) (z−0.5)

z−0.5

(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)= 10 zz−0.5

+(4z3

+2z2−3.2z2

−2z2−z+1.6z )

z−0.5

(z2−0.8 z+0.25 )Y (z)=(4z3

−3.2z2+10.6z )

z−0.5

Y (z )=(4z3

−3.2z2+10.6z)

(z−0.5 )(z2−0.8 z+0.25 )

Ejemplo 2:

Resolviendo en expansión de fracciones parciales:


Y (z )=(4z3

−3.2z2+10.6z)

(z−0.5 )(z2−0.8 z+0.25 )

Y (z )=(4z3

−3.2z2+10.6z)

(z−0.5 )(z2−0.8 z+0.25 )

Y (z )=z( A(z−0.5 )

+B

(z−0.5 e j0.6435)+

C(z−0.5e− j0.6435))

Ejemplo 2:

Resultando en: A = 100, B = -48 +j16, C = -48 -j16

Y con la transformada inversa igual a:


Y (z )=(4z3

−3.2z2+10.6z)

(z−0.5 )(z2−0.8 z+0.25 )

y[n ]=100(z−0.5 )n−(0.5)

n(96cos (0.6435n )+(32sen (0.6435n )))u [n ]

Y (z )=z( A(z−0.5 )

+B

(z−0.5 e j0.6435)+

C(z−0.5e− j0.6435))

Representación Gráfica

Sistemas Discretos Lineales

Se emplean tres elementos básicos:

1) Unidad de retraso.

2) Unidad multiplicadora.

3) Unidad de suma.



1) Unidad de retraso. La relación característica para esta unidad es:

Retraso de 2 unidades de tiempo:

y (k ) = u(k−1)

Z-1u(k ) y (k ) = u(k−1)

Z-1u(k ) y (k ) = u(k−2)Z-1u(k−1)



2) Unidad Multiplicadora. La relación característica para esta unidad es:

En algunas ocasiones se representa sólo como un enlace:

y (k ) = a⋅u(k )

u(k ) y (k ) = a⋅u(k )a

u(k ) y (k ) = a⋅u(k )a



3) Unidad de Suma. La relación característica para esta unidad es:

y (k ) = u1(k)+u2(k )

u1(k ) y (k ) = u1(k )+u2(k )+

u2(k )

u1(k )y (k ) = u1(k )+u2(k )+

u2( k )

10 1 1

10 1 1

... ( )( )

( ) ...

m mm m

n nn n

b z b z b z bq zH z

p z a z a z a z a

11 2

1 21

( )( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( ) ( )

m

jjmn

ni

i

z cz c z c z c

z p z p z p z p

1. Sistema en cascada

Función de transferencia

2. Sistema inverso ( ) ( )Y z U z

12

1( )

( )H z

H z

1 2( ) ( ) ( ) 1H z H z H z

La convolución en este caso resulta:

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i

y k h i k i i k i k


2. Sistema retroalimentado


1

1 2

( )( )

1 ( ) ( )

H z

Y zH z H z

● Un sistema discreto es estable cuando produce una salida acotada al aplicársele una entrada acotada ● Los sistemas discretos estables se caracterizan porque todos sus polos se ubican en el plano complejo z , dentro de un círculo centrado en el origen de radio unitario

Estabilidad de los sistemas Discretos

La localización de los polos de H(z) en el plano z permite caracterizar efectivamente las propiedades de la respuesta para un sistema discreto lineal.

A.- Polo real en . z aLa respuesta característica es de la forma cos ( ) kAr k

Donde A y Φ son constantes obtenidas de la expansión en fracciones parciales y: 2 2r a b 1tan

b

a


Casos:

1- . Sistema inestable. La respuesta a impulso es una oscilación creciente en magnitud.

2- . Sistema inestable. La respuesta es una oscilación parecida a un senoide con magnitud constante.

3-. Sistema estable. El resultado es una oscilación parecida a una senoide decreciente en magnitud.

2 2 1a b

2 2 1 a b

2 2 1a b


Son los que tienen una influencia de mayor importancia sobre la respuesta transitoria. Son los polos que están más cerca del circulo unitario.

Ej p1 y p2.

Filtros digitales: Se asume que la entrada a un sistema es una señal senoidal pura.

1( ) u t sen T

1( ) u t sen k T

Polos Dominantes

Representación General

En general h[n] = ([n]) y[n] = x[n] * h[n]

Al aplicar Transformada Z a esta ecuación queda como :

Y(z) = X(z)H(z)

Respuesta de un Sistema Discreto en Z

Sistema Lineal Invariante en Tiempo (LTI)

Inicialmente en reposo

n h[n]

Función de transferencia● Despejando H(z) se tiene:

Donde H(z) es la Transformada Z de la respuesta impulsiva h[n].

● A la función H(z) también se le conoce como Función del sistema o Función de Transferencia.

● El conocimiento de la Función de Transferencia de un sistema proporciona un conjunto de informaciones importantes acerca del sistema que representa

H (z) =Y (z)X (z)


Función de transferencia● El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema proporciona información acerca de su respuesta natural y de la estabilidad

● POLOS: p es un polo de un sistema si H(p)

●CEROS: c es un cero de un sistema si H(c) 0


Ejemplo 3 : Función de transferencia

Los ceros del sistema son: c1=-0.5 y c2=0.3j

Los polos del sistema son: p1 = -0.3, p2 = -0.2, p3 = -0.3-4j y p4 = -0.3+4j


H ( z )=( z+0 .5 )( z−0.3j )

( z+0 .3 )( z+0. 2 )( z2+0. 6z+0. 25 )

H ( z )=( z+0 .5 )( z−0 .3j)

( z+0. 3 )( z+0.2 )( z+0. 3+ j0 . 4 )( z+0 .3− j0 . 4 )

Ejemplo 3 : Función de transferencia

c1=-0.5 y c2=0.3j

p1 = -0.3, p2 = -0.2

p3 = -0.3-4j y

p4 = -0.3+4j


ASL/RAD/2001

Re(z)

Imag(z)

0.3

-4

-0.2-0.3

-0.5

4

1

-1

1

-1


Sistemas de Primer Orden● Un sistema de primer orden tiene las siguientes características:

y [n ]−ay [n−1 ]=x [n ] H ( z )=1

1−az−1 =

zz−a

h [n ]=anu [n ] yu [n ]=

11−a

[ 1−an+1 ] u [n ]


Sistemas de Primer Orden● Respuesta del sistema

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

-4 1 6 11 16

yu[n]

h[n]

a = 0.75


Sistemas de Primer Orden

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5Respuesta Impulsiva de un Sistema Discreto de Primer Orden

Tiempo n

h[n]

a = 0.75


Sistemas de Primer Orden

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5Respuesta Escalón de un Sistema Discreto de Primer Orden

Tiempo n

yu[n

]

a = 0.75


Sistemas de Segundo Orden● Un sistema de segundo orden tiene las siguientes características:

y [n ]−2r cos(θ ) y [n−1 ]+r2

y [n−2 ]=x [n ]

con 0<r<1 y 0≤θ≤π

H ( ejω)=

1

1−2r cos(θ )e− jω

+r2e

− j2ω



h [n]={(n+1)r

nu [n ] si θ=0

rn sen((n+1)θ )

sen(θ )u [n ] si 0<θ<π

(n+1)(−r )nu [n ] si θ=π

}H (e

jω)=

1


+r2e

− j2ω



h [n]={(n+1)r

nu [n ] si θ=0

rn sen((n+1)θ )

sen(θ )u [n ] si 0<θ<π

(n+1)(−r )nu [n ] si θ=π

}H (e

jω)=

1


+r2e

− j2ω


Sistemas de Segundo Orden

serán y de valoresparaescalón y impulso respuestas las de gráficas las

)sen(2y

)sen(2 donde

si ][1

)()1(

)1(

)(

)1(

1

0 si ][ 1

)(1

1

)(1

0 si ][1

)1()1()1(

1

][y

22

11

1

2

1

2

u

r

je

Bj

eA

nur

rrn

r

rr

r

nure

reB

re

reA

nur

rnrr

r

n

jj

nn

j

nj

j

nj

nn


Sistemas de Segundo Orden

0

0,5

1

1,5

2

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-3

-2

-1

0

1

2

3

r = 0.75

= 0°

r = 0.75

= 45°

r = 0.75

= 180°

0

0,5

1

1,5r = 0.5

= 0°

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