Procesos de hurst y movimientos brownianos fraccionales en mercados fractales

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G u illerm o S ierra J u ¶a rez 1

V o lu m en 1 , N ¶u m ero 1 (2 0 0 7 ), p p . 1 -2 1 w w w .csf.itesm .m x / eg a d e/ p u b lica cio n es

R ecib id o 2 0 d e a g o sto 2 0 0 6 , a cep ta d o 2 3 d e o ctu b re 2 0 0 6

P ro cesos d e H u rst y m ov im ien tos b row n ian osfraccion ales en m ercad os fractales

G u ille rm o S ie rra J u ¶a re z ¤

R e su m e n

E l su p u esto d e in d ep en d en cia en la d e¯ n ici¶o n d el m ov im ien to b row n ia n o q u e es el p ro ceso

esto c¶a stico u tiliza d o en la d ed u cci¶o n d e la ecu a ci¶o n d el m o d elo B la ck -S ch o les y la va lu a ci¶o n

d e d eriva d o s es cu estio n a d o en el p resen te tra b a jo . L o s resu lta d o s d e la a p lica ci¶o n d e la

m eto d o lo g¶³a (R / S ) d e la teo r¶³a d e fra cta les p a ra la d eterm in a ci¶o n d el co e¯ cien te H u rst, rev ela n

u n co m p o rta m ien to d e m em o ria la rg a en a lg u n a s va ria b les d e m erca d o d e M ¶ex ico y E sta d o s

U n id o s. E l m ov im ien to b row n ia n o fra ccio n a l (M B F ) es u n p ro ceso esto c¶a stico m ¶a s g en era l,

q u e co m o ca so p a rticu la r, en lo s p ro ceso s in d ep en d ien tes, in clu y e a l m ov im ien to b row n ia n o .

A p a rtir d e este p ro ceso y co n b a ses m a tem ¶a tica s m ¶a s g en era les co n stru id a s d esd e u n esp a cio

d e H ilb ert se recu p era n id ea s y co n cep to s d e la s ¯ n a n za s d el m erca d o B la ck -S ch o les co m o

so n la s p ro b a b ilid a d es co n d icio n a d a s, la s m a rtin g a la s y el L em a d e Ito . C o n b a se en esto s

n u ev o s p ro ceso s y h erra m ien ta s se d ed u ce u n a fo rm a m ¶a s g en era l d e va lu a ci¶o n d e d eriva d o s y

la ecu a ci¶o n B la ck -S ch o les, a s¶³ co m o la ecu a ci¶o n g en era l d e b o n o s y la estru ctu ra d e p la zo s d el

m o d elo d e ta sa s d e V a sicek , so b re to d o p a ra ca so s en d o n d e la s series ¯ n a n ciera s m u estra n

co m p o rta m ien to s d e p ersisten cia . E sta g en era liza ci¶o n ta m b i¶en p u ed e ex ten d erse a l m ¶eto d o

H -J -B p a ra la d eterm in a ci¶o n co n su m o o p tim o en u n p ro ceso b row n ia n o fra ccio n a l, en d o n d e

a d em ¶a s d el a ctiv o su b y a cen te, ta m b i¶en se p ro p o n e m o d ela r la v o la tilid a d co n u n seg u n d o

p ro ceso b row n ia n o fra ccio n a l in d ep en d ien te d el p rim ero . A l ¯ n a l se d ed u ce u n a ecu a ci¶o n

B la ck -S ch o les g en era liza d a p a ra u n d eriva d o cu y o su b y a cen te y su v o la tilid a d so n m o d ela d o s

p o r M B F .

A b str a c t

T h e in d ep en d en ce a ssu m p tio n o f b row n ia n m o tio n u sed in B la ck -S ch o les eq u a tio n a n d d eriva -

tiv es va lu a tio n is rev ised in th is p a p er. T h e resu lts o f (R / S ) m eth o d fro m F ra cta ls T h eo ry in

¤ C en tro d e In v estig a ci¶o n en F in a n za s, T ecn o l¶o g ico d e M o n terrey, C a m p u s C iu d a d d e

M ¶ex ico , C a lle d el P u en te 2 2 2 , C o l. E jid o s d e H u ip u lco , c.p . 1 4 3 8 0 , D eleg . T la lp a n , M ¶ex ico ,

D .F ., M ¶ex ico .

D irecci¶o n p a ra co rresp o n d en cia : 1er a C erra d a C u itla h u a c, M 1 -1 1 1 A . C o l. A su n ci¶o n .

D eleg . T la h u a c, M ¶ex ico D .F . C o rreo electr¶o n ico : g sierra j@ y a h o o .co m .m x

E l p resen te a rt¶³cu lo es resu lta d o d e la in v estig a ci¶o n rea liza d a p a ra o b ten er el g ra d o d e

D o cto r en C ien cia s F in a n ciera s p o r el T ecn o l¶o g ico d e M o n terrey, C a m p u s C iu d a d d e M ¶ex ico .

E l a u to r d esea a g ra d ecer a lo s d icta m in a d o res a n ¶o n im o s p o r su s va lio sa s o b serva cio n es. E l

a u to r es el ¶u n ico resp o n sa b le p o r lo s erro res co m etid o s en el p resen te tra b a jo .

2 P ro ceso s d e H u rst y m ov im ien to s b row n ia n o s fra ccio n a les en m erca d o s fra cta les

o rd er to g et th e H u rst'co e± cien t sh ow n th e ex isten ce o f lo n g m em o ry in va ria b les in M ex ico

a n d U n ited S ta tes. F ra ctio n a l b row n ia n m o tio n (F B M ) is a sto ch a stic p ro cess m o re g en era l

th a n tra d itio n a l b row n ia n m o tio n . F B M in clu d in g in d ep en d en t a n d n o in d ep en d en t p ro cess.

F in a n cia l id ea s a n d co n cep ts lik e m a rtin g a les, co n d itio n a l ex p ect va lu e, Ito 's L em m a fro m

tra d itio n a l b row n ia n m o tio n a re rep ro d u ced w ith F M B a n d n ew a n d m o re g en era l m a th em a t-

ica l to o ls b u ild in g in a H ilb er sp a ce a re d ev elo p m en t fo r su p p o rt th is p ro cess. B la ck -S ch o les

F ra ccio n a l eq u a tio n , d eriva tiv es va lu a tio n , g en era l b o n d s eq u a tio n a n d term stru ctu re fro m

V a sicek m o d el fo r p ersisten t ¯ n a n cia l series a re sh ow ed in th is p a p er. T h e g en era liza tio n in -

clu d in g th e d ed u ctio n w ith H -J -B m eth o d fo r sto ch a stic co n su m er o f B la ck -S ch o les eq u a tio n

fo r a n va ria b le m o d eled fo r a F B M p ro cess a n d its v o la tility m o d eled fo r a seco n d F B M .

C la si caci¶o n J E L : C 6 1,G 1 2

P a lab ras clave: B row n ia n o fraccio n a l, p ro ceso esto c¶a stico , ecu aci¶o n d e B lack -S ch o les

1 . In tro d u c c i¶o n

El c¶alculo de Ito y el movimiento browniano son las bases matem¶aticas sobrelas que se han constru¶³do varios de los conceptos y resultados las Finanzas y laAdministraci¶on de Riesgos modernos. El modelo de Black-Scholes, la valuaci¶onde derivados, la estimaci¶on de curvas de tasas de inter¶es y la medici¶on de riesgosest¶an desarrollados sobre estos procesos matem¶aticos con importantes supuestossobre los procesos y las caracter¶³sticas de las variables ¯nancieras, los mercadosy sus participantes.

Estudios m¶as detallados han demostrado que algunos de los supuestos ¯-nancieros o matem¶aticos no se ajustan a la realidad y se requiere cada vez denuevas teor¶³as m¶as generales que incluyan como casos particulares a las ya ex-istentes. Un ejemplo, es el supuesto sobre el comportamiento Gaussiano de losrendimientos de instrumentos ¯nancieros. Es cierto, que debido a sus caracter¶³s-ticas una distribuci¶on de tipo normal simpli¯ca la valuaci¶on de instrumentos¯nancieros como las opciones. Sin embargo, en un an¶alisis de rendimientos¯nancieros de series reales las distribuciones se presentan con sesgos, mayorcurtosis en el los valores centrales o bien colas anchas incluso distribucionesdiferentes de la normal. Lo anterior invita a pensar en la utilizaci¶on de fun-ciones m¶as generales como puede ser la de L¶evy o en teor¶³as como la de valoresextremos para realizar evaluaciones m¶as precisas.

En la literatura sobre el tema de fractales, adem¶as de los art¶³culos sem-inales de Hurst[1951 ] sobre su estudio de hidrolog¶³a y su metodolog¶³a para ladeterminaci¶on del coe¯ciente del mismo nombre y de los importantes art¶³culosde considerado padre de la geometr¶³a fractal Mandelbrot [1968 y 1982] con unaserie de publicaciones entre las que destacan en el tema del presente trabajolas que estan relacionadas la movimiento browniano fraccional. Los libros dePeters[1991 y 1992] son una referencia importante sobre las ideas, t¶ecnicas yconceptos de los mercados fractales, su obra resume del estado del arte so-bre los fractales y caos y su relaci¶on con los mercados. De forma amable ysencilla aplica estos conceptos matem¶aticos al an¶alisis de los mercados prin-cipalmente de Estados Unidos. De forma complementaria tambi¶en resume elart¶³culo de McCulloch[1978 y 1985] sobre la estad¶³stica fractal y la evoluci¶onde opciones con funciones m¶as generales como son las de Levy, aunque tam-bi¶en es posible recurrir al autor original. Por otra parte, el trabajo de PalomasMolina[2002] es un antecedente sobre la aplicaci¶on del coe¯ciente Hurst para el


caso de M¶exico. Con respecto a la extensi¶on de la propiedad de no arbitraje enel movimiento browniano fraccional, entre los primeros intentos de utilizaci¶onde una integral de trayectoria est¶an los trabajos de Dai y Hayde [1996] y losde Lin[1995] . Debido a que no se llega a demostrar el no arbitraje, una nuevaintegral y el producto Wick fue planteada por Dasgupta[1997 y 2002] y porShryaveev[1998] . Una vez recuperada esta propiedad con la utilizaci¶on de laintegral de l¶³nea en las integrales de procesos brownianos fraccionales, quien hapublicado la mayor cantidad de material sobre el movimiento browniano y suaplicaci¶on en las Finanzas son Hu y Oksendal[2000] , adem¶as de los trabajos deDuncan y Pasik-Duncan[2002] . En estos trabajos desde la m¶etrica de un espa-cio de Hilbert se recuperan varias de las t¶ecnicas matem¶aticas que el modeloBlack-Scholes tradicional utiliza, adem¶as mediante la utilizaci¶on del productoWick y las derivadas Malliavin es posible reconstruir una idea generalizada delteorema de Girsanov, de las esperanzas condicionales y de Lema de Ito para suposterior aplicaci¶on en las ¯nanzas. Los art¶³culos de Necula [2002a y 2002b]presentan un resumen de los trabajos de Oksendal y Hu y de forma practicapresenta una deducci¶on de la ecuaci¶on Black-Scholes a partir de movimientosbrowniano de fraccionales,adem¶as en el Trabajo de Rosek tambi¶en presenta unade deducci¶on alternativa del Lema de Ito del caso fraccional. El trabajo de Gio-vanni Vasconcelos[2004] tambi¶en resume de manera importante el paso de losmodelos brownianos cl¶asicos a los brownianos fraccionales y sus implicacionesy sus implicaciones en sus supuestos y resultados.

En el presente trabajo se pretende hacer una re°exi¶on sobre el compor-tamiento real de los mercados y los supuestos tradicionales de estudio en elmodelo Black-Scholes. A lo largo del trabajo el supuesto que se cuestiona prin-cipalmente es el de independencia de las variables ¯nancieras y su impacto sobrelos modelos de ¯nanzas y riesgo tradicionales. Se propone la utilizaci¶on del pro-ceso estoc¶astico conocido como movimiento browniano fraccional y se tratan dereproducir los resultados conocidos bajo este esquema.

El trabajo esta dividido en seis secciones, a continuaci¶on se resume breve-mente los temas de cada uno de ellos:

La secci¶on 2 es una introducci¶on a los fractales y su relaci¶on con los mer-cado ¯nancieros, se contrastan las hipotesis de mercados e¯cientes (HME) yfractales(HMF) . La secci¶on 3 esta dedicada a los procesos Hurst que determinalas caracter¶³sticas de independencia de una serie. Se explica y posteriormente seaplica la metodolog¶³a al caso real del Tipo de Cambio (TDC) del Indice de Pre-cios y Cotizaciones (IPC) , Indice Dow Jones Industrial(DJI) y Tipo de CambioD¶olar-Euro (TDCUS) . En la secci¶on 4 se establecen los resultados m¶as impor-tantes del movimiento browniano fraccional y se mencionan las caracter¶³sticasque cumple el nuevo proceso y la secci¶on 5 se deduce la ecuaci¶on de Black-Scholes y el precio de opciones considerando un activo subyacente descrito porun movimiento browniniano fraccional. Esta nueva valuaci¶on de opciones seaplica al caso de las variables IPC,DJI,TDC y TDCUS y se compara con lavaluaci¶on tradicional Black-Scholes. En la secci¶on 6 se deduce la ecuaci¶on gen-eral de los Bonos y la estructura de plazos para un modelo Vasicek con t¶erminoestoc¶astico de un movimiento browniano fraccional y en la ¶ultima parte, sec-ci¶on 7, se generaliza el m¶etodo HJM del consumidor estoc¶astico al movimientofraccional browniano y las esperanzas cuasicondicionales. De la misma forma


que los subyacentes se propone un comportamiento browniano fraccional parala volatilidad y luego se generaliza el m¶etodo H-J-B considerando una volatili-dad de esas caracter¶³sticas. Al ¯nal se presenta las principales conclusiones deltrabajo.

2 . M e r c a d o s F r a c ta le s

En la actualidad no existe una de¯nici¶on precisa de lo que es un fractal, nisiquiera, Benoit Mandelbrot, el padre de la geometr¶³a fractal ha desarrolladouna de¯nici¶on precisa y formal , aunque no es demasiado dif¶³cil de reconocercuando se encuentra alguno. En t¶erminos pr¶acticos los fractales tienen ciertaspropiedades que son ideales para prop¶ositos de modelaci¶on y ciertas caracter¶³s-ticas que los hacen medibles. La m¶as importante propiedad de los fractaleses la autosimilaridad , que signi¯ca que todas sus partes est¶an relacionadas dealguna forma con el todo o bien cada una de las partes del ob jeto tienen las car-acter¶³sticas del ob jeto completo. Esta propiedad hace a los fractales invariantesen la escala.

La geometr¶³a fractal es un conjunto de estructuras irregulares y complejasque puede ser descrita a trav¶es de algoritmos matem¶aticos y computacionalesy estudia las formas no suaves y as¶³metricas a diferencia de la geometr¶³a tradi-cional que sustituyen a los puntos, rectas y super¯cies y tienen la propiedadfundamental de autosimilaridad y de vivir en dimensiones fraccionarias.

En el mundo de la Finanzas se ha explicado la estructura estad¶³stica delos mercados a trav¶es de movimientos brownianos y de conceptos de juegosjustos y martingalas que tienen caracter¶³sticas deseables de tipo matem¶aticoy estad¶³sticamente supone comportamientos normales de sus distribuciones deprobabilidades. La hipotesis de mercados e¯cientes (HME) pretende explicar elcomportamiento estad¶³stico de los mercados, adem¶as de a¯rmar que los preciosre°ejan toda la informaci¶on disponible y todos los inversionistas tienen igualacceso a ella, por tanto los inversionistas en forma agregada no pueden ganarlesistem¶aticamente al mercado debido a la e¯ciencia del mismo.

Por otro lado, la Hip¶otesis de Mercados Fractales (HFM) enfatiza la im-portancia de la liquidez y de los diferentes horizontes de inversi¶on en el com-portamiento de los inversionistas. Para que la hip¶otesis sea tan general comosea posible no se le exige ning¶un requerimiento de tipo estad¶³stico sobre losprocesos que pretende modelar. La informaci¶on por si misma no tiene un im-pacto uniforme sobre los precios, esta ser¶a asimilada en forma diferente por losdiferentes horizontes de inversi¶on.

En resumen la HMF propone los siguientes puntos: 1

a) El mercado es estable cuando esta constituido de un gran n¶umero de hori-zontes de inversiones, lo cual asegura la liquidez del mercado.

b) El conjunto de informaci¶on esta m¶as relacionado a la sensibilidad del mer-cado y a factores t¶ecnicos del corto que del largo plazo. Conforme el horizontede inversi¶on se incrementa, la informaci¶on de los fundamentales de largo plazodomina. Entonces los cambios en los precios pueden re°ejar informaci¶on im-portante solo para ese horizonte de inversi¶on.

1 Para mayor informaci¶on consultar los libros de Peters.


c) Si un evento ocurre que hace cuestionable la validez de la informaci¶on funda-mental, los inversionistas de largo plazo dejaran de participar en el mercado ocomenzaran a comerciar basados en el conjunto de informaci¶on de corto plazo.Cuando todos los horizontes de inversi¶on del mercado se reducen a un mismonivel, el mercado se vuelve inestable.

d) Los precios re°ejan una combinaci¶on de comercio t¶ecnico de corto plazo yvaluaci¶on fundamental de largo plazo. Los cambios en los precios de corto plazoson probablemente m¶as vol¶atiles o ruidosos que los de largo. Las tendenciascorto plazo son probablemente resultados del comportamiento colectivo. Nohay raz¶on para creer que la longitud de las tendencias de corto plazo est¶arelacionada con las tendencias econ¶omicas de largo plazo.

e) Si un t¶³tulo no tiene un v¶³nculo al ciclo econ¶omico, entonces no habr¶atendencia de largo plazo. Por tanto, comercio, liquidez e informaci¶on dominaranen el corto plazo.

En el mercado tradicional,el modelo Black-Scholes tiene una estructurapoderosa y elegante y considera a los mercados como Gaussianos2 , completos,e¯cientes y libres de arbitraje. Algunas de los principales aspectos que alejanlos mercados reales con respecto a los mercado Black-Scholes son los siguientes:

i) Los rendimientos de los activos, en general, no se distribuyen de formatan parecida a una normal te¶orica sino que con frecuencia las distribuciones devariables reales presentan colas pesadas y curtosis.

ii) Las series de los subyacentes presentan efectos de memoria larga y por lotanto los eventos tampoco son completamente independientes.

Del mismo modo, la autosimilaridad puede tener diferentes origenes, siproviene de una alta variabilidad en donde los incrementos son independientesy de colas pesadas su descripci¶on puede realizarse con procesos de L¶evy. Encambio si las series tiene la propiedad de una alta dependencia, entonces sumodelaci¶on deber¶³a de ser con movientos brownianos fraccionales. En el primercaso es posible plantear una soluci¶on a trav¶es de la construcci¶on de funciones deL¶evy con caracter¶³sticas estables y con la ayuda de sus funciones caracter¶³sticases posible modelar distribuciones m¶as generales. El segundo caso correspondea series donde sus eventos muestran cierta persistencia, este tipo de problemaspueden planearse a tr¶aves de una generalizaci¶on del movimiento brownianoconocida como movimiento browniano fraccional con la utilizaci¶on del coe¯-ciente Hurst. El presente trabajo esta enfocado al planteamiento y soluci¶on deeste ¶ultimo caso.

3 . P r o c e so s d e H u r st

El primero en estudiar las series fractales fue el cient¶³¯co brit¶anico Harold EdwinHurst (1880-1978) , posteriormente sus ideas fueron retomadas por Mandelbrotquien coloc¶o su trabajo en un contexto m¶as general bajo el nombre de \An¶alisisde Rango Reescalado" (R/S) . Hurst era constructor de presas en los inicios delSiglo XX y por un tiempo trabajo en el proyecto de la presa del r¶³o Nilo. Enel momento del dise~no de la presa se le present¶o un problema interesante de

2 Las distribuciones normales presentan dos ventajas: entran en la teor¶³a delimite central y la suma de normales se distribuye como normal


hidrolog¶³a concerniente en determinar la capacidad de almacenamiento depen-diente del °ujo que entra al r¶³o proveniente de diferentes elementos como lluviasy riachuelos y un °ujo controlado de salida del r¶³o utilizado primordialmenteen el riego. Con anterioridad, muchos hidr¶ologos hab¶³an supuesto este com-portamiento del in°ujo como un proceso aleatorio, una suposici¶on razonablecuando se trabaja en un ecosistema complejo. Sin embargo, a ¶el no le pareci¶oque se explicara de forma tan f¶acil este comportamiento. El estudi¶o los registroshist¶oricos (de 622 D.C. a 1469 D.C.) que manten¶³an los egipcios y observ¶o queen el proceso °ujos m¶as grandes del promedio eran seguidos por sobre °ujos to-dav¶³a mas grandes. Inesperadamente el proceso cambiaba °ujos menores que elpromedio eran seguidos por °ujos todav¶³a menores que los anteriores. Parec¶³anciclos pero cuya longitud no era peri¶odica. Un an¶alisis est¶andar revelaba la noexistencia de correlaci¶on estad¶³sticamente signi¯cativa entre las observaciones,por lo que Hurst desarrollo su propia metodolog¶³a.

El R/S tiene media cero y se expresa en t¶erminos de la desviaci¶on est¶an-dar. En general los valores de R/S se incrementan con n , por el valor de laley de potencias igual al exponente Hurst, esta es la primera conexi¶on del fen¶o-meno Hurst y la geometr¶³a Fractal. El exponente de Hurst puede aproximarsepor medio de una regresi¶on lineal de los puntos de ln(R = S ) n contra ln(n ) enparticular puede ser a trav¶es de la siguiente ecuaci¶on:

ln(R = S ) n = ln(c) + H ln(n ) ; (1)

Si el sistema estuviera distribuido independientemente entonces H = 0:50,sin embargo de su investigaci¶on del r¶³o Nilo el encontr¶o H = 0:91. Mandel-brot demostr¶o emp¶³ricamente que en series de tiempo cuyas observaciones sonindependientes el estad¶³stico (R/S) es asint¶oticamente proporcional a la ra¶³zcuadrada, es decir si H = 0:5 resulta un evento aleatorio puro. Hurst suponecomo hip¶otesis nula que el comportamiento de fen¶omemo sea de una caminataaleatoria o un movimiento browniano. Dependiendo de el valor que tome Hpuede clasi¯carse la independencia o dependencia de los procesos de acuerdo alsiguiente criterio:

Si H = 0:5 implica un proceso independiente, es importante notar queun an¶alisis (R/S) no requiere que el proceso subyacente se distribuya normal-mente, solo independiente. El an¶alisis R/S es no param¶etrico por lo que puedenconsiderarse distribuciones como t de student, gamma etc.

Si 0:5 < H < 1 implican series de tiempo persistentes, es decir caracteri-zadas por efectos de memoria de largo plazo. Te¶oricamente lo que suceda hoyimpactara en el futuro por siempre. No hay escala de tiempo caracter¶³stica, quees la propiedad clave de las series de tiempo fractales. En t¶erminos de din¶amicaca¶otica existe sensibilidad sobre las condiciones iniciales. Las series persistentesson las mas com¶unes encontradas en la naturaleza y son las mas comunes enlos mercados de capitales y econom¶³a.

Si 0 < H < 0:5 signi¯ca antipersistencia en la serie de tiempo. Un sis-tema antipersistente cubre menos distancia que uno aleatorio, en el caso de unapart¶³cula err¶atica. Para que ocurra debe darse reversi¶on as¶³ mismo m¶as el pro-ceso aleatorio. Algunos te¶oricos igualan este comportamiento con un procesode reversi¶on a la media, que sin embargo se asume que el sistema bajo estudioseguramente no tiene media estable.


Hurst desarrollo una metodolog¶³a para el calculo del coe¯ciente H queaplic¶o al caso del °ujo del r¶³o Nilo, pero que en t¶erminos generales puede apli-carse a cualquier serie que se sospeche se comporte como fractal en cualquier¶area de estudio. La idea es dividir el conjunto o serie original de datos en sub-conjuntos m¶as peque~nos pero de igual tama~no que se analizan por separado.Para cada grupo se determina el valor esperado de la dicha muestra y se calculala diferencias de cada elemento de la serie respecto de la media, posteriormentese construye una variable que vaya sumando dichas diferencias. En cada sub-conjunto se determina los valores m¶aximos, m¶³nimos y en seguida la diferenciaentre ambos para luego se promediar dicha diferencia en todos los subgrupos.Esta desviaci¶on calculada de esta forma se compara con la desviaci¶on est¶andarmuestral y de esta forma se estima el rango reescalado (R = S ) n para diferentestama~nos de subconjuntos de n. Al ¯nal de hace una regresi¶on de ln(R = S ) contraln(n ) y de esta manera se obtiene el coe¯ciente H . 3

A continuaci¶on se aplica la metodolog¶³a de estimaci¶on del coe¯ciente Hurstal caso de M¶exico en dos de sus variables importantes del mercado ¯nancierocomo son el ¶Indice de precios y Cotizaciones (IPC) y el tipo de cambio peso-d¶olar (TDC) y para el caso de Estados Unidos (EU) las variables analizadas sonel ¶Indice Dow Jones Industrial (DJI) y el tipo de cambio d¶olar-euro (TDCUS) ,para determinar si estos dos mercados pueden tener caracter¶³sticas de mercadosfractal y la independencia de sus series. En el caso del IPC tomamos la serieSF 43716 de cierre de ¶Indice de Precios y Cotizaciones de 1800 datos que vandel 4 de Enero de 1999 al 20 de Febrero de 2006.En el caso de TDC se tomala serie SF 43788 del Tipo de Cambio pesos por d¶olar EUA interbancario 48horas al cierre de compra de 2800 datos que van del 2 de Enero de 1995 al 14de Febrero del 2006. Para el caso de EU la serie de DJI y el TDCUS y va del19 de Junio de 1999 al 22 de Mayo del 2006.

La Gr¶a¯ca 1 muestra las curvas asociadas a las variables ln(R = S ) contraln(n ) para el caso de los ¶³ndices IPC y DJI comparadas con el caso brownianode incrementos independientes(H = 1= 2) . Se puede apreciar que la funci¶ontiene una pendiente positiva creciente y constante hasta el valor de seis (400d¶³as habiles) , donde registra una peque~na ca¶³da.

Gr¶a¯ca 1.

3 Para mayor detalle sobre los trabajos y la metodolog¶³a de Hurst consultarPeters.


En la Gr¶a¯ca 2 se muestran las variables ln(R = S ) contra ln(n ) para lasseries del TDC y TDCUS en comparaci¶on con el caso(H = 1= 2) . En el casoTDC la funci¶on tiene una pendiente positiva, creciente y constante hasta elvalor de seis y su comportamiento es parecido al del IPC. El TDCUS, tiene uncomportamiento m¶as irregular.

Gr¶a¯ca 2.

Aplicando la metodolog¶³a de Hurst para la determinaci¶on del coe¯ciente delmismo nombre, se hace una regresi¶on de ln(R = S ) contra ln(n ) . Los resultadosde H para cada una de las cuatro series aparecen en la siguiente tabla:

Tabla 1.

Serie H R 2 Prob.

IPC 0.5573 0.990 0.00TDC 0.5255 0.994 0.00DJI 0.5038 0.988 0.00

TDCUS 0.5587 0.995 0.00

Se puede observar, de acuerdo al coe¯ciente Hurst que las series de IPC , TDC,DJI y TDCUS presentan un comportamiento m¶as cercano a una serie persis-tente que una independiente,en otras palabras, los eventos diarios presentancomportamiento de memoria de largo plazo con excepci¶on del Dow Jones esla serie mas cercana a un browniano tradicional. En el art¶³culo de Palomaspara rendimientos diarios del IPC reporta un coe¯ciente de H = 0:5838 y si sehace una permutaci¶on de los datos obtiene una H = 0:5088, la diferencia en losvalores de H se puede explicar por el tama~no de la muestra en ambos estudios.

Si cada unas de las variables IPC, DJI, TDC y TDCUS, se separa en cincogrupos de series consecutivas y luego con la misma metodolog¶³a su calcula sucoe¯ciente Hurst, se tienen los resultados que aparecen el la Tabla 2.

Tabla 2.

Serie P 1 P 2 P 3 P 4 P 5IPC 0.6644 0.5904 0.5923 0.5497 0.5768TDC 0.5700 0.5919 0.6032 0.5992 0.5010DJI 0.5582 0.6293 0.6030 0.5451 0.5011

TDCUS 0.5423 0.5699 0.5971 0.5470 0.5702


De los resultados anteriores se muestran dos importantes conclusiones; laprimera de ellas es que el exponente Hurst es una funci¶on del tiempo y deltama~no de la muestra, de forma parecida a la volatilidad. Por lo tanto, sedebe precisar cual es el periodo de tiempo considerado para el calculo de laH . La segunda conclusi¶on es que de forma general el exponente Hurst se havenido reduciendo, a excepci¶on de TDCUS, lo que implicar¶³a que los mercadosde tener caracter¶³sticas de persistencia se han venido convirtiendo en en seriescon propiedades m¶as parecidas a los mercados brownianos.

4 . M o v im ie n to B r o w n ia n o F r a c c io n a l (M B F )

El MBF fue originalmente de¯nido por Kolmogorov dentro de un espacio deHilbert y en un inicio lo llamo proceso Wienerhelix, posteriormente Mandelbrotle di¶o el nombre de movimiento browniano fraccional. Un MBF con par¶ametroHurst (H ) ,0 < H < 1, es un proceso Gaussiano que se de¯ne de tal forma que:

i) B H (0) = 0

ii) E[B H (t) ] = 0 8 tiii) C H (t;s ) =

12

£jsj2 H + jtj2 H ¡ js ¡ tj2 H ¤; 8 s y t ²REl coe¯ciente Hurst (H ) determina el signo de la covarianza de los eventos

pasados y futuros, y dependiendo de su valor tiene una cierta interpretaci¶on:

Si H = 12 y C H (t;s ) = 0 entonces B H (t) coincide con el movimiento browniano

Si H > 12 y C H (t;s ) > 0 entonces B H (t) es persistente en el sentido que tiene

una dependecia de largo plazo

Si H < 12 y C H (t;s ) < 0 entonces B H (t) es antipersistente

De la misma forma que el Movimiento Browniano, el Movimiento Brown-inao Fraccional tiene la propiedad de autosimilaridad, que hace a un sistemaser fractal. De manera m¶as formal el MBF es autosimilar si para cualquierH ²(0;1) y ® > 0

B H (® t) = ®H B H (t); 8 t (2)

En los casos H 6= 12 , el MBF no puede ser considerado como un proceso Marko-

viano, ni como martingala y por tanto no puede ser analizado mediante elc¶alculo estoc¶astico tradicional.En los art¶³culos de Hu y Oksendal[2000] , Das-gupta [1997 y 2000] , Shiryaev[1998] sostienen que con el uso de la integral detrayectoria de¯nida como una suma de Riemann en general tiene un valor es-perado diferente de cero y como consecuencia no se esta libre de arbitraje. Sinembargo, si ahora se considera la integral Skorohod (Wick-Ito ) desarrolladapor Duncan, Hu y Pasik-Duncan[2002] denotada (y que tambi¶en puede llegarsede¯nirse en t¶erminos de suma de Riemann) a trav¶es del conocido como pro-ducto Wick,entonces si es posible llega a un valor esperado de cero y garantizarla no existencia arbitraje. 4

En los trabajos de Hu y Oksendal [2000] y de Duncan y Pasik-Duncan[2002] se justi¯ca las bases matematicas y se recuperan los resultados que yaexistencian en el movimiento brwniano tradicional. En un espacio de Hilbert sede¯ne el producto Wick y sus propiedades y de las de la derivadas Malliavian sepuede recuperar conceptos como el de arbitraje y teoremas como el de Girsanov,

4 Para mayor informaci¶on ver sus art¶³culos originales.

10 P ro cesos d e H u rst y m ov im ien to s b row n ia n o s fraccion ales en m erca d o s fracta les

martingales y esperanzas condicionales. El resultado que se ocupar¶a en lasaplicaciones del presente trabajo es las esperanzas condicionales y el Lema deIto para movimiento brownianos fraccionales.

Se considera el comportamiento el activo subyacente como:

d S (t) = ¹ S (t)dt + ¾ S (t) d B H (t): (3)

Uno de los principales resultados es el Lema de Ito generalizado, en el cual eldiferencial de funci¶on C (t;S (t) ) que depende del tiempo y un subyacente S (t)con componente browniano fraccional estara dado por:

d C (t;S )=

h@ C (t;S )

@ t + ¹ S@ C (t;S )

@ S + ¾ 2 S 2 H t2H ¡ 1 @ 2 C (t;S )@ S 2

idt+ ¾ S @ C (t;S )

@ S dB H (t): (4)

5 . E c u a c i¶o n B la c k -S c h o le s F r a c c io n a l

Con el proceso estoc¶astico del movimiento browniano fraccional y del Lema deIto generalizado se puede deducir una ecuaci¶on Black-Scholes fraccional similara la original publicada 1973 por Fischer Black y Myron Scholes, pero con laaportaci¶on de describir derivados cuyos subyacentes tengan comportamientosque no necesariamente de tipo independiente. Tomando en cuenta los mismossupuestos como son:

El mercado es l¶³quido para el activo subyacente y el derivado, la no exis-tencia de costos de transacci¶on y que no hay pago de dividendos, as¶³ como laposibilidad de prestar y pedir prestado a la misma tasa.

Siguiendo la misma idea para la deducci¶on de la ecuaci¶on Black-Scholesoriginal, se construye un portafolio de cobertura con una combinaci¶on de underivado y del subyacente, luego se busca una combinaci¶on de posiciones queanule la parte estoc¶astica por ejemplo, w 1 = ¡ @ C

@ S w 2 = 1 y posteriormenteutilizando el hecho de no arbitraje podemos igualar los rendimientos de ambosportafolios y se llega a la ecuaci¶on Black-Scholes Fraccional siguiente:

@ C

@ t+ ¾ 2 S 2 H t2 H ¡ 1

@ 2 C

@ S 2+ r S

@ C

@ S¡ r C = 0 (5a )

con condiciones de frontera:

C (t;S ) = Max(S ¡ K ;0): (5b)

Se puede comprobar que una soluci¶on a la ecuaci¶on anterior esta dada por elprecio de una Opci¶on Call Europea en cualquier 0 · t · T , un precio deejercicio K , tasa libre de riesgo r , volatilidad ¾ 2 y vencimiento en T esta dadopor: 5

C (t;S (t) ) = S (t) N (d 1 ) ¡ K e ¡ r (T ¡ t)N (d 2 ) ; (6)

donde

d 1 =ln³S (t)K

´+ r (T ¡ t) + ¾ 2

2 (T2 H ¡ t2 H )

¾pT 2 H ¡ t2 H ; (7a )

5 Para revisar la deducci¶on consultar Necula.

G u illerm o S ierra J u ¶arez 11

d 2 =ln³S (t)K

´+ r (T ¡ t) ¡ ¾ 2

2 (T2 H ¡ t2 H )

¾pT 2 H ¡ t2 H : (7b)

Las Gr¶a¯cas 3 y 4 muestran las valuaci¶on de una opci¶on call europea sobre lossubyacentes del ¶Indice de Precios y Cotizaciones (IPC) y el Dow Jones (DJI)y las gra¯cas 5 y 6 aparecen el Tipo de Cambio peso d¶olar (TDC) y el tipode cambio d¶olar-euro (TDCUS) como funci¶on de S (t) y para diferentes curvascuyos valores de H est¶an entre 0:5 y 1:0. Los valores de los par¶ametros paravaluar los Call de cada serie aparece en la Tabla 3.

Tabla 3

Serie D :E : r K T H

IPC 0.1369 0.09 16,500 0.5 0.5573DJI 0.1156 0.09 11,500 0.5 0.5038TDC 0.0572 0.03 10.5 0.5 0.5255TDCUS 0.0561 0.03 0.78 0.5 0.5587

En las Gr¶a¯cas de los ¶³ndices IPC y DJI se observa que para cada curva delcall como funci¶on de S (t) a medida que el valor de H aumenta las curvas se vandesplazando hacia la parte inferior. Entonces de forma general, para cada S (t)mientras el valor de H va pasando de 0:5 a 1:0 es decir entre m¶as persistentesea las series del subyacente, la valuaci¶on te¶orica tradicional Black-Scholes deun Call estar¶a dando un valor mayor al de una opci¶on por el nuevo m¶etodo.En otras palabras, entre mayor sea la dependecia de una serie ¯nanciera consu pasado, el valor de una opci¶on call europea asociada a ella ser¶a menor com-parada con el valor de un call europeo tradicional.

Gr¶a¯ca 3

De las Gr¶a¯cas 3 y 4 parece que el mayor cambio en el precio del call paraambos ¶³ndices ocurre cuando se esta cerca del precio de ejercicio. Sin embargo,el mayor valor ocurre cuando se est¶a fuera del dinero S < K y H es cercana auno y puede llegar a ser del cien por ciento en los dos casos. Para los valoresde H obtenidos de la metodolog¶³a de la secci¶on 3 y que aparecen en la Tabla4 la valor sobrevaluaci¶on de los ¶³ndices son para el IPC y DJI, 44% y 8%respectivamente.


Gr¶a¯ca 4Las Gr¶a¯ca 5 y 6 del Calls sobre tipo de cambio TDC y TDCUS como funci¶onde S (t) tambi¶en se observa una valuaci¶on mayor como en el caso del IPC ydel DJI, del modelo browniano si se calcula con los valores Call del modelotradicional de Black-Scholes y este efecto va aumentando conforme H se acercaa 1. Con los valores de H mencionados para TDC y TDUS, la sobrevaluaci¶onm¶axima en cada caso es de 16% y 82% respectivamente.

Gr¶a¯ca 5La diferencia entre las dos se acent¶ua cuando se esta dentro del dinero en ambosopciones del tipo de cambio y puede llegar en el caso extremo a ser del cienpor ciento para H grandes y valores peque~nos comparados con el precio deejercicio. La misma caracter¶³stica de diferencia en las valuaciones de los Callsde los subyacentes de los ¶³ndices y tipos de cambio tambi¶en se aprecia en losPuts europeos sobretodo cuando se est¶a cerca de H igual a uno y fuera deldinero S > K .

Gr¶a¯ca 6


6 . M o d e lo d e ta sa s V a sic e k c o n m o v im ie n to b r o w n ia n o fr a c c io n a l

De manera similar al apartado anterior, es posible generalizar el modelo detasas de Vasicek suponiendo un comportamiento estoc¶astico de tipo movimientobrowniano para la tasa corta, as¶³ como tambi¶en hacer la deducci¶on de la ecua-ci¶on general de los bonos y la funci¶on de estructura de plazos. El modelo detasa corta de Vasicek tiene la caracter¶³stica de reversi¶on a la media, es decir,que no importa cual es el valor inicial de la tasa corta, en el largo plazo seconverge a un valor constante de tasa. A continuaci¶on se presenta la forma decomportamiento ex¶ogeno de la tasa en el modelo Vasicek:

dr t = a(b ¡ r t)dt + ¾ dB H : (8)

Con esta propuesta de esta tasa corta y los principios de cobertura y arbitraje sepuede deducir la ecuaci¶on general de los bonos. El primero de los principios seutiliza en la construcci¶on de un portafolio integrado por dos bonos con diferentesvencimientos y que en una combinaci¶on de ambos se elimina la parte est¶ocasticadel problema. La condici¶on de arbitraje se ocupa en el momento de igualarlos rendimientos libres de riesgo con los de una cuenta bancaria de tasa ¯ja.Despues de aplicar lo anterior se llega a la ecuaci¶on general de los bonos con lacondici¶on de frontera siguiente:

@ B

@ t+ ¾ 2 H t2 H ¡ 1

@ 2 B

@ r 2+ a(b ¡ r t) @ B

@ r¡ r B = 0 (9a )

con la condici¶on de frontera

B (r T ;T ; T ) = 1: (9b)

Para encontrar la funci¶on del precio del bono a partir de la ecuaci¶on generalanterior, se propone la siguiente soluci¶on:

B = B (t;r t) = eA (t;T )¡ rtD (t;T ) (10a )

conA (T ;T ) = D (T ;T ) = 0: (10b)

Se sustituye la soluci¶on propuesta y sus derivadas parciales ( @ B@ t ) ;(@ B@ r ) y (

@ 2 B@ t2 )

en la ecuaci¶on general y despues de resolver la ecuaci¶on diferencial se llega aque los valores de A (t;T ) y D (t;T ) :

A =b

a¡ ¾ 2

2a3¡ ¾ 2

4a3¡ b(T ¡ t) ¡ b

ae ¡ a(T ¡ t) +

¾ 2

2a2(T 2 H ¡ t2 H )

+2¾ 2 H

a3e ¡ a(T ¡ t)(t ¡ 1

a) 2 H ¡ 1 ¡ ¾

2 H

2a3e ¡ 2a(T ¡ t)(t ¡ 1

2a) 2 H ¡ 1

: (11)

En el caso l¶³mite cuando H ! 12 , se tiene que los valores de de las funciones

A (t;T ) y D (t;T ) de la soluci¶on browniana fraccional convergen a la soluci¶ondel browniano tradicional, es decir


D M B F ! D M B y A M B F ! A M B entonces B M B F (t;T ) ! B M B (t;T )

Una vez que se conoce precio de un bono B (t;rt ; T ) como funci¶on de D (t;T )y A (t;T ) en el caso del mercado browniano fraccional, se puede ahora estimarfunci¶on de estructura de plazos con ayuda de la expresi¶on siguiente:

R (t;T ) =r D ¡ AT ¡ t : (12)

Para poder estimar la estructura de plazos, previamente fue necesario determi-nar los par¶ametros que aparecen en la Tabla 5. Para el an¶alisis se tomaron 320datos de la informaci¶on diaria de la tasa interbancaria de M¶exico (TIIE) del 31de Enero de 2005 al 4 de Abril de 2006, en donde ¾ corresponde a la desviaci¶onest¶andar hist¶orica de la serie y los valores de a y b se obtienen a partir de losestimadores de la regresiones de r t contra r t+ 1 en t¶erminos de diferenciales.

Tabla 5

P¶arametros b a r ¾

Valores 0.099 -0.006 7.6 0.008

En las Gr¶a¯ca 7 aparece un comparativo de la estructura de plazos del modeloVasicek obtenidas a partir de un modelo de tasas con t¶ermino browniano ybrowniano fraccional para valores de H ligeramente diferentes de 0.5. Se debenotar que la curva de estructura de plazos es mucho m¶as sensible a peque~nasvariaciones del coe¯ciente Hurst que en el caso de la valuaci¶on del Call Europeode la secci¶on anterior, adem¶as de mencionar que ahora el valor de R (t;T ) ahoraes funci¶on de t y H . A continuaci¶on se muestra la Gr¶a¯ca 7.

Gr¶a¯ca 7Si H pasa de 0:5 a 0:50001como se aprecia en la gra¯ca 7 en el largo plazo, enplazos mayores a 5 a~nos, las tasas de las tasas de los modelos de estructura dePlazos del modelo Vasicek tradicional y Vasicek Fraccional empiezan a convergera una misma tasa. Sin embargo, para plazos peque~nos a corto plazo el valor dela curva fraccional se dispara. En la gra¯ca tambi¶en aparece el caso donde Hpasa 0:5 a 0:49999 y se observa el mismo efecto pero la explosi¶on de las tasas


cortas pero en sentido contrario. De todo lo anterior, se puede concluir que elsupuesto de independencia de los incrementos de la series de las tasas TIIE esm¶as importante que en los casos de las valuaciones de las opciones analizadaen la secci¶on anterior.

7 . M ¶e to d o H J B y v o la tilid a d e sto c ¶a stic a c o n M B F

En las secciones anteriores, la modelaci¶on del comportamiento de los activossubyacentes mediante procesos estoc¶asticos siempre se ha considerado dentrode los supuestos de los movimientos brownianos fraccionales que la volatilidaddel proceso es una constante en el tiempo. Sin embargo, un sencillo an¶alisisgra¯co del comportamiento de la volatilidad de las variables del mercado deM¶exico y Estados Unidos (con las variables IPC, DJI, TDC y TDCUS) sepuede veri¯car que esto no es del todo correcto.

Para cada una de las series mencionadas se toma una ventana m¶ovil de una~no6 para el c¶alculo de la volatilidad.

La Gr¶a¯ca 8 presenta la volatilidad del IPC con informaci¶on 1600 datosque van de enero del 2000 a abril del 2006. Debido al la diferencias en el tama~node las muestras para las cuatro series, las fechas de inicio y ¯n de los datos nocoinciden.

Gr¶a¯ca 8La Gr¶a¯ca 9 muestra la volatilidad del DJI (una serie de 1800 datos) de marzode 1999 a mayo de 2006.

Gr¶a¯ca 9

6 Para series con d¶³as h¶abiles y naturales se toman datos de 252 y 365 d¶³asrespectivamente.


Con 1800 datos se calcula la volatilidad del TDC de 1997 a 2006, esto se puedeobservar en la Gr¶a¯ca 10.

Gr¶a¯ca 10Finalmente, la Gr¶a¯ca 11 se muestra la volatilidad de TDCUS con 1600 datosque llegan van de enero del 2002 a enero del 2006.

Gr¶a¯ca 11De las gr¶a¯cas anteriores se oberva que la volatilidad no tiene las caracter¶³sti-cas para ser considerada como una constante, sino que m¶as bien tendr¶³a queser pensada como un proceso estoc¶astico. Tradicionalmente este proceso se hamodelado con un movimiento browniano, como es el caso de art¶³culo de 1987para la valuaci¶on de opciones con volatilidad estoc¶astica de Hull y White. Endicho trabajo se llega a una soluci¶on cerrada a una generalizaci¶on de la f¶ormulaBlack-Scholes considerando la volatilidad modelada por un movimiento brown-iano. De lo anterior el siguiente paso es preguntarse si las volatilidades de los¶³ndices IPC y DJI y de los tipos de cambio TDC y TDUS son series con even-tos persistentes, antipersistenes o independientes. Para determinar esta cualpropiedad poseen se vuelve a aplicar la metodolog¶³a R/S para el c¶alculo delCoe¯ciente Hurst. Los resultados de este an¶alisis se muestran en la siguienteTabla 6:

Tabla 6

Serie H R 2 Prob.

IPC 0.7407 0.99 0.00TDC 0.7111 0.99 0.00DJI 0.7449 0.99 0.00

TDCUS 0.6492 0.99 0.00


La volatilidad de las series (IPC, DJI, TDC y TDCUS) tienen una persistenciade H > 0:5, incluso mayor que la de los rendimientos originales. Este resultadoes muy interesante e invita a modelar el comportamiento de la volatilidad me-diante un movimiento browniano fraccional. Como consecuencia de lo anteriorse pude pensar en un activo subyacente S (t) modelado por un browniano frac-cional con un exponente Hurst H 1 , cuya volatilidad V a su vez, sea modeladapor otro browniano fraccional exponente Hurst H 2 como en el caso siguiente:

dS = ¹ S dt + ¾ S dB H 1 ; (13)

dV = ® V dt + ¯ V dB H 2 ; (14)

Con V = ¾ 2 y adem¶as podemos suponer en el caso m¶as sencillo que los dosbrownianos fraccionales no est¶an relacionados es decir: COV (dB H 1 ;dB H 2 ) =0. Ahora se propone un derivado que sea funci¶on de un subyacente y de lavolatilidad est¶ocastica del mismo, entonces C = C (t;S ;V ) y la generalizaci¶ondel Lema de Ito entonces tomar¶³a la forma siguiente:

dC

C= ® cdt + · cdB H 1 + ´ cdB H 2 (15)

con ® c ; · c y ´ c dados por:

® c =1

C

µ@ C

@ t+ ¹ S

@ C

@ S+ ®

@ C

@ V+ ¾ 2 S 2 H 1 t

2 H 1 ¡ 1 @2 C

@ S 2+ ¯ 2 V 2 H 2 t

2 H 2 ¡ 1 @2 C

@ V 2

¶(16a )

· c =1

C¾ S@ C

@ S(16b)

´ c =1

C¯ V

@ C

@ V: (16c)

Considerando los mismos supuestos del agente racional que construye un por-tafolio con la posibilidad de elegir tres diferentes tipos de activos, un bono atasa ¯ja de tipo, una acci¶on y un derivado sobre esa acci¶on, pero considerandola volatilidad estoc¶astica del movimiento browniano. Nuevamente el problemaconsiste en determinar el consumo ¶optimo y las inversiones en cada uno de sustitulos de tal forma que maximicen su utilidad y para resolverlo utilizaremos elm¶etodo H-J-B.

La restricci¶on presupuestal del cambio en la riqueza compuesta por losrendimientos del bono, la acci¶on y el derivado, donde w 1 ,w 2 y 1 ¡ w 1 ¡ w 2 son lasproporciones del portafolio asignados a cada uno de los activos respectivamentey donde dB H es un movimiento browniano fraccional, y de la secci¶on anterior® C y ¾ C entonces tenemos:

dA = ® A dt + ¾ A 1dB H 1 + ¾ A 2 dB H 2 (17a )

con ® A , ¾ A 1 y ¾ A 2 como

® A = A (w 1 r + w 2 ¹ + (1 ¡ w 1 ¡ w 2 ) ® C ¡ C 0A) (17b) ;


¾ A 1 = A (w 2 ¾ + (1 ¡ w 1 ¡ w 2 ) · C ) ; (17c)

¾ A 2 = A ´ c (1 ¡ w 1 ¡ w 2 ) : (17d )

Se aplica el m¶etodo H-J-M est¶ocastico y el problema de elecci¶on consiste enencontrar C , w 1 y w 2 que maximice la siguiente ecuaci¶on sujeta a la resctricci¶on(6.23) , donde recordemos que ~E [] es la esperanza cuasi condicional de¯nida enHu y Oksendal

J (w 1 ;w 2 ;C 0 ) = maxf C 0 ;w 1 ;w 2 g ~E·Z 1

t

lnC 0 e¡ ½ tdtjF t : (18)

despues de aplicar el Lema de Ito generalizado, despreciar t¶erminos y de tomarel valor esperado se llega:

0 = m a x f C 0 ;w 1 ;w 2 g£ln C 0 e

¡ ½ t+ ( @ J@ t + ® A@ J@ A + (¾

2A 1 H 1 t

2H 1 ¡ 1 + ¾ 2A 2 H 2 t2H 2 ¡ 1 ) @

2 J

@ A 2)dt¤: (19)

Se propone la soluci¶on para J (t;A ) = (¯ 0 + ¯ 1 lnA ) e¡ ½ t sustituyendo y aco-

modando t¶erminos se llega a:

0 = lnC 0 ¡ ½ (¯ 0 + ¯ 1 lnA ) + ® A ¯ 1A¡ (¾ 2A 1 H 1 t2 H 1 ¡ 1 + ¾ 2A 2 H 2 t

2 H 2 ¡ 1 )¯ 1

A 2: (20)

Se deriva parcialmente la ecuaci¶on anterior respecto a C 0 , w 1 y w 2 se llega alsiguiente sistema de ecuaciones:

C 0 =A

¯ 1; (21a )

w 1 +

³1 +

H 1 t2H 1 ¡ 1 ¾ · c

H 1 t2H 1 ¡ 1 · 2c + H 2 t2H 2 ¡ 1 ´ 2c

w 2 = 1 +r ¡ ® c

2(H 1 t2 H 1 ¡ 1 · 2c + H 2 t2 H 2 ¡ 1 ´ 2c )(21b)

w 1 +

³1 +

H 1 t2H 1 ¡ 1 ¾ (· c ¡ ¾ )

H 1 t2H 1 ¡ 1 · c (· c ¡ ¾ )+ H 2 t2H 2 ¡ 1 ´ 2c

w 2 = 1 +

¹ ¡ r2

H 1 t2 H 1 · c (· c ¡ ¾ ) + ´ 2c H 2 t2 H 2:

(21c)Si de la ecuaciones (25b y c) se toma soluci¶on de esquina w 1 = 0 y w 2 =1, se sustituyen las expresiones generales de · c y ® c (16a y b) se llega a laecuaci¶on Black-Scholes equivalente para movimientos brownianos fraccionalescon volatilidad estoc¶astica fraccional.

@ C

@ t+ r S

@ C

@ S+ ®

@ C

@ V+ ¾ 2 S 2 H 1 t

2 H 1 ¡ 1 @2 C

@ S 2+ ¯ 2 V 2 H 2 t

2 H 2 ¡ 1 @2 C

@ V 2¡ r C = 0: (22)

en donde r = ¹ ¡ 2¾ 2 H 1 t2 H 1 ¡ 1 y el valor de mercado de riesgo estara dado por:

¸ = 2¾ H 1 t2 H 1 ¡ 1 : (23)

La soluci¶on de la ecuaci¶on anterior nos es un problema sencillo y se deja comoun problema abierto a futuras investigaciones, as¶³ como la reproducci¶on de


la soluci¶on de la valuaci¶on de un derivadon con volatilidad estocastica con elmetodo de Hull y White, cuyas soluciones por ambos m¶etodos deber¶³an decoincidir.

8 . C o n c lu sio n e s

Los valores del coe¯ciente Hurst obtenidos por el m¶etodo (R/S) para las series¯nancieras (IPC,DJI,TDC y TDCUS) del mercado mexicano y norteamericanomuestran evidencia que dichas variables ¯nancieras no garantizan el supuesto deindependencia. A excepci¶on del Dow Jones las series presentan caracter¶³sticasde memoria larga. Por otra parte, de acuerdo al comportamiento observado delas variables sus distribuciones presentan sesgos y curtosis por un an¶alisis m¶aspreciso requiere del planteamiento de funciones m¶as generales como las de L¶evyo bien con un estudio de teor¶³a de valores extremos.

Debido a que el supuesto matem¶atico de independencia movimiento brow-niano tradicional no siempre se satisface, el presente trabajo propone el usode un proceso estoc¶astico m¶as general conocido como Movimiento BrownianoFraccional (MBF) . A partir de su de¯nici¶on el MBF esta relacionado con el co-e¯ciente Hurst (H ) y por lo tanto captura las caracter¶³sticas de independenciade la variable de forma m¶as general. Adem¶as, es posible extender propiedadesy supuestos deseables del mercado Black-Scholes como son: la no existencia dearbitraje, medidas equivalentes de probabilidad, martingalas y ProbabilidadesCondicionales (o Cuasicondicional) .

Con el proceso MBF es posible reproducir la ecuaci¶on de Black-Scholesy la valuaci¶on de derivados en un contexto m¶as general que toma en cuentalas caracter¶³sticas particulares del mercado dentro de su coe¯ciente H . De losresultados obtenidos, se llega a la conclusi¶on de que el modelo Black-Scholestradicional proporciona una valuaci¶on mayor que el nuevo modelo tanto el preciode Calls como de los Puts, en caso de que el activo subyacente tuviera carac-ter¶³sticas de persistencia. Esta sobrevaluaci¶on ser¶a mayor conforme mayor seala dependencia, es decir para H cercana a uno y todav¶³a se acent¶ua m¶as cuandola opci¶on esta fuera del dinero. La combinaci¶on de ambos efectos puede llegara sobrevaluar al opci¶on en cien por ciento.

De igual forma, si se incluye en la modelaci¶on de la tasa corta Vasicekun MBF en su t¶ermino estoc¶astico, se puede deducir la ecuaci¶on general delos Bonos, y la funci¶on de estructura de plazos. Comparando esta curva conla obtenida del modelo Vasicek del browniano tradicional se observa que lacurva de tasas es extremadamente sensible al valor de H , en otras palabras, alsupuesto de independencia de incrementos de las series de tasas cortas es muyestricto. En el caso de la TIIE se oberva que con una peque~na perturbaci¶onalrededor del valor de H = 1= 2, la funci¶on pierde su forma en el corto plazo yalos valores de las tasa se disparan. En el largo plazo ambas curvas convergen,respetando su caracter¶³stica de reversi¶on a la media. Por lo tanto en series conpersistencia, el modelo de estructura de plazos de Vasicek para tasas en el cortoplazo no es una buena aproximaci¶on.

Aplicando el M¶etodo H-J-B generalizado, es decir utilizando un proceso deun MBF,las formas de las ecuaciones y las soluciones no cambian en escenciaen comparaci¶on con las deducidas con el c¶alculo de Ito Tradicional. Ahora la

2 0 P ro ceso s d e H u rst y m ov im ien tos b row n ian os fra ccio n a les en m ercad os fra cta les

diferencia es que tanto las ecuaciones como las soluciones dependen del valordel coe¯ciente Hurst(H ) y el tiempo inicial del proceso(t) .

De la misma forma que las series de los ¶³ndices y del tipo de cambio paraM¶exico y Estados Unidos presentan propiedades de persistencia, as¶³ tambi¶en lasvolatilidades de dichas series presentan persistencia incluso mayor que las seriesoriginales. Entonces la propuesta de un activo subyacente modelado con unMBF y a su vez su volatilidad tambi¶en descrita por un MBF adquiere sentido eimportancia. Con la aplicaci¶on del m¶etodo H-J-B sobre un activo y su volatili-dad modelados por dos procesos brownianos fraccionales no correlacionados esposible llegar a una ecuaci¶on de tipo Black-Scholes generalizada. La soluci¶onde dicha ecuaci¶on es un tema de investigaciones futuras.

Con los procesos Hurst y el MBF es posible generalizar conceptos y for-malizaciones matem¶aticas del mercado te¶orico Black-Scholes y vincularlo coninformaci¶on de los mercados reales. Esta situaci¶on gradualmente nos lleva air sustituyendo las hipotesis de los mercados e¯cientes por las de mercadosfractales.

B ib lio g r a f¶³a

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Documents

Procesos de hurst y movimientos brownianos fraccionales en mercados fractales