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Martingalas
Procesos EstocásticosLicenciatura en Matemáticas, 2010/11
Paloma Pérez Fernández
Departamento de MatemáticasUniversidad de Extremadura
Paloma Pérez Fernández TEMA 2. Teoría L2 de Procesos Estocásticos: Funciones de Covarianza
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Martingalas
Índice
1 MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
Paloma Pérez Fernández TEMA 2. Teoría L2 de Procesos Estocásticos: Funciones de Covarianza
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Repaso: Esperanza condicional
Sean (Ω,A,P) un e.p., B una sub- σ-álgebra de A e Y una v.a.r. definida enΩ, no negativa (resp. con esperanza finita). Llamaremos esperanzacondicional de Y respecto a B a cualquier v.a.r. g definida en Ω B-medibleno negativa (resp. con esperanza finita) tal que, para cada B ∈ B∫
BYdP =
∫B
gdP.
Denotaremos E(Y|B) a dicha esperanza condicional. Nótese que más queuna función es una clase de equivalencia de funciones que coinciden c.s..
Paloma Pérez Fernández TEMA 2. Teoría L2 de Procesos Estocásticos: Funciones de Covarianza
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Repaso: Algunas propiedades de la esperanza condicional
Sean Y , Y1 e Y2 v.a.r. definidas en (Ω,A,P) no negativas (resp. conesperanza finita). Entonces
Si C ⊂ B ⊂ A, E(E(Y|B)|C) = E(Y|C)Si Y1 ≤ Y2 entonces E(Y1|B) ≤ E(Y2|B).E(a1Y1 + a2Y2|B) = a1E(Y1|B) + a2E(Y2|B).Si Y1 es B-medible, E(Y1 · Y2|B) = Y1 · E(Y2|B). En particular,E(Y1|B) = Y1
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Repaso: Desigualdad de Jensen para la esperanza condicional
Sean (Ω,A,P) un e.p., X : (Ω,A) −→ (Ω′,A′) un v.a., C un convexo uniónnumerable creciente de convexos compactos de Rk, ϕ : C −→ R unafunción continua y convexa y Z una v.a. k-dimensional que toma valores enC, P-c.s. Si las v.a. ϕ Z y Z tienen esperanza finita, entonces la v.a. E(Z|X)toma valores en C, PX-c.s. y
ϕ(E(Z|X)) ≤ E(ϕ Z|X).
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
Repaso esperanza condicional
Definición (Esperanza condicional)
Sean (Ω,A,P) un e.p., Y una v.a.r. no negativa (resp. P-integrable), B unasub-σ-álgebra de A y X : (Ω,A) −→ (Ω′,A′) una v.a.. Llamamos (unaversión de la) esperanza condicional de Y respecto de B y la denotamosE(Y|B) a cualquier función f (Ω,A) −→ R, B-medible no negativa (resp.P-integrable) tal que,∫
BY(ω)dP =
∫B
f (ω)dP, ∀B ∈ B.
Llamamos (una versión de la) esperanza condicional de Y respecto de X yla denotamos E(Y|X) a cualquier función f (Ω′,A′) −→ R, no negativa (res.PX-integrable) tal que,∫
X−1(A′)Y(ω)dP =
∫A′
f (x)dPX(x), ∀A′ ∈ A′.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Introducción1 X1,X2, ... v.a.r. definidas en algún e.p.(Ω,A,P).2 Xn ≡ total de ganancias tras n partidas.3 Antes de la partida (n + 1)-ésima, se suponen conocidas las ganancias
totales en las partidas precedentes y el capital esperado tras esa partidaes E(Xn+1|X1, . . . ,Xn).
4 Si E(Xn+1|X1, . . . ,Xn) = Xn se dice que el juego es justo o equitativo.5 Si E(Xn+1|X1, . . . ,Xn) ≥ Xn, el juego se dice favorable.6 Si E(Xn+1|X1, . . . ,Xn) ≤ Xn, el juego se dice desfavorable.7 Notación: Identificaremos E(Xn+1|X1, . . . ,Xn) con
E(Xn+1|σ(X1, . . . ,Xn)), donde σ(X1, . . . ,Xn) denota la σ-álgebra(X1, . . . ,Xn)−1(Rn) inducida por X1, . . . ,Xn.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Definición: Martingalas
Sean (Xn)n una sucesión de v.a.r. integrables sobre un e.p. (Ω,A,P) y (An)n
una sucesión creciente de sub-σ-álgebras de A.Diremos que (Xn) es una martingala respecto a (An), o que (Xn,An) es unamartingala si Xn es An-medible y
E(Xn+1|An) = Xn, para cada n ∈ N.
Diremos que (Xn) es una submartingala (resp., supermartingala) respecto a(An), o que (Xn,An) es una submartingala (resp., supermartingala) si Xn esAn-medible y
E(Xn+1|An) ≥ Xn (resp., E(Xn+1|An) ≤ Xn), para cada n ∈ N.
Diremos simplemente que (Xn) es una martingala (o submartingala, osupermartingala) si (Xn, σ(X1, . . . ,Xn)) lo es.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Observaciones1 Que (Xn,An)n sea una martingala significa que Xn es An-medible y,
además, ∫A
Xn+1 dP =
∫A
Xn dP, ∀A ∈ An,∀n ∈ N.
2 Análogamente, que (Xn,An)n sea una submartingala significa que Xn esAn-medible y, además,∫
AXn+1 dP ≥
∫A
Xn dP, ∀A ∈ An,∀n ∈ N.
3 (Martingala inversa) Sean (Xn) una sucesión de v.a.r. y (An) unasucesión decreciente de σ-álgebras. Diremos que (Xn,An) es unamartingala inversa si Xn es An-medible y E(Xn|An+1) = Xn+1, paracada n.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Proposición
(a) Si (Xn,An) es una martingala entonces E(Xn+k|An) = Xn, para cadak, n ∈ N.
(b) Si (Xn,An) es una martingala entonces (Xn, σ(X1, . . . ,Xn))n es tambiénuna martingala.
(c) Si (Xn,An) e (Yn,An) son submartingalas, también lo es(max(Xn,Yn),An)n. Si (Xn,An) e (Yn,An) son supermartingalas,también lo es (min(Xn,Yn),An)n.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Ejemplos
1) Si X es una v.a.r. P-integrable y hacemos Xn = X, para cada n, entonces(Xn) es una martingala.
2) Si X1 ≤ X2 ≤ X3 ≤ . . . y todas la variables son P-integrables, entonces(Xn) es una submartingala.
3) Sean Y1,Y2, . . . v.a.r. independientes con media nula y hagamosXn =
∑ni=1 Yi. Entonces (Xn) es una martingala pues
E(Xn+1|X1, . . . ,Xn) = E(Xn + Yn+1|X1, . . . ,Xn) = Xn + E(Yn+1) = Xn.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Ejemplos
4) Sean Y una v.a.r. P-integrable y (An)n una sucesión creciente desub-σ-álgebras. Si Xn = E(Y|An), entonces (Xn,An) es una martingala,pues
E(Xn+1|An) = E(E(Y|An+1)|An) = E(Y|An) = Xn.
Si (An)n una sucesión decreciente de sub-σ-álgebras y Xn = E(Y|An),entonces (Xn,An) es una martingala inversa.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Teorema
(a) Sean (Xn,An) una submartingala, g una función convexa creciente de Ren R. Si g(Xn) es integrable para cada n, entonces (g(Xn),An) es unasubmartingala. En particular, si (Xn) es una submartingala, también loes (X+
n ).(b) Si (Xn,An) es una martingala y g una función convexa de R en R tal
que g(Xn) es integrable para cada n, entonces (g(Xn),An) es unasubmartingala. En particular, si r ≥ 1 y (Xn) es una martingala tal que|Xn|r es integrable para cada n, entonces (|Xn|r) es una submartingala.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Teorema (Halmos)
Sean (Xn,An)n una submartingala y ε1, ε2, . . . v.a.r. definidas por
εk(ω) =
= 1 si (X1(ω), . . . ,Xk(ω)) ∈ Bk
= 0 si (X1(ω), . . . ,Xk(ω)) /∈ Bk
donde Bk ∈ Rk, k = 1, 2, . . . , son borelianos arbitrarios (pero fijos). Si
Y1 = X1,
Y2 = X1 + ε1(X2 − X1) · · ·Yn = X1 + ε1(X2 − X1) + · · ·+ εn−1(Xn − Xn−1), · · ·
Entonces (Yn,An)n es también una submartingala y E(Yn) ≤ E(Xn), paracada n. Si (Xn,An)n es una martingala, también lo es (Yn,An)n yE(Yn) = E(Xn), para cada n.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Interpretación del Teorema de Halmos
Si Xn denota la fortuna de un jugador después de n partidas, Yn sería lafortuna de ese jugador tras n partidas supuesto que sigue la siguienteestrategia: después de observar X1, . . . ,Xk, el jugador puede elegir apostaren la partida k + 1 (en cuyo caso εk = εk(X1, . . . ,Xk) = 1) o pasar (en cuyocaso εk = 0); la ganancia tras la partida k + 1 es εk(Xk+1 − Xk). El teoremaanterior establece que, cualquiera que sea la estrategia de este tipo seguidapor el jugador, si el juego es inicialmente justo (martingala) o favorable(submartingala), seguirá siendo justo o favorable, y ninguna estrategia deeste tipo puede aumentar la ganancia esperada.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Teorema (Doob)
Sea (Xk,Ak)1≤k≤n una submartingala finita. Si a < b son números reales,denotaremos por U(a,b) la v.a. discreta que asocia a cada ω ∈ Ω el número de“saltos hacia arriba” desde debajo de a hasta encima de b en la sucesiónfinita X1(ω), . . . ,Xn(ω); dicho de otro modo: sea T1 = T1(ω) el primerentero (si existe alguno) en 1, . . . , n tal que XT1(ω) ≤ a; sea T2 = T2(ω) elprimer entero (si existe alguno) en T1 + 1, . . . , n tal que XT2(ω) ≥ b; seaT3 = T3(ω) el primer entero (si existe alguno) en T2 + 1, . . . , n tal queXT3(ω) ≤ a; sea T4 = T4(ω) el primer entero (si existe alguno) enT3 + 1, . . . , n tal que XT4(ω) ≥ b; y así sucesivamente. HaremosTi(ω) = +∞ si no existe ningún entero satisfaciendo la condicióncorrespondiente. Si N = N(ω) es el número de i’es tales que Ti(ω) es finito,se define U(a,b)(ω) = N/2 si N es par y U(a,b)(ω) = (N − 1)/2 si N esimpar. Entonces
E(U(a,b)) ≤1
b− aE[(Xn − a)+].
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Ejemplo teorema de Doob
1 T1(ω) T2(ω) T3(ω) T4(ω) T5(ω)15
-εj(ω) = 0-εj(ω) = 1
-εj(ω) = 0-εj(ω) = 1
-εj(ω) = 0-εj(ω) = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
b
rX1(ω)
rX2(ω)
rX3(ω)
rX4(ω)
rX5(ω)
rX6(ω)rX7(ω)
rX8(ω) rX9(ω)
rX10(ω)
rX11(ω)
rX12(ω)rX13(ω)rX14(ω)
rX15(ω)
U(a,b)(ω) = 2
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Ejemplo Teorema de Doob
Y15 = X1 + 0 · (X2 − X1) + 0 · (X3 − X2) + 0 · (X4 − X3)+
1 · (X5 − X4) + 1 · (X6 − X5) + 1 · (X7 − X6) + 1 · (X8 − X7)+
0 · (X9 − X8) + 0 · (X10 − X9) + 1 · (X11 − X10) + 0 · (X12 − X11)+
0 · (X13 − X12) + 0 · (X14 − X13) + 1 · (X15 − X14)
= X1 + (X8 − X4) + (X11 − X10) + (X15 − X14)
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Repaso: Lema de Fatou
Sean f , f1, f2, . . . funciones reales medibles. Si fn ≥ f , para cada n, y∫fdµ > −∞, entonces
∫lim inf fn dµ ≤ lim inf
∫fn dµ.
Teorema (convergencia de submartingalas)
Sea (Xn,An)n una submartingala. Si supn E(X+n ) <∞, entonces existe una
v.a.r. integrable X∞ tal que Xn −→ X∞ c.s.
Corolario
Sea (Xn,An)n una submartingala inversa (es decir, (An) es decreciente, lasXn son integrables y E(Xn|An+1) ≥ Xn+1, ∀n). Si infn E(Xn) > −∞, existeuna v.a.r. integrable X∞ tal que Xn −→ X∞ c.s. (Notar que cualquiermartingala inversa satisface la hipótesis pues E(Xn) es constante).
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
1. Martingalas a tiempo discreto
Observaciones
La demostración prueba que, de hecho, (Xn) es L1-acotada, es decir,supn E(|Xn|) <∞. Entonces, para una submartingala, la condiciónsupn E(X+
n ) es equivalente a la L1-acotación, e implica convergencia c.s.Sin embargo, una submartingala puede converger sin que ello ocurra.Resultados análogos al teorema y corolario precedentes se obtienenpara supermartingalas. Concretamente, si (XnAn)n es unasupermartingala y supn E(X−n ) <∞, existe una v.a.r. integrable X∞ talque Xn converge a X∞ c.s.; en particular, una supermartingala nonegativa converge c.s. a una v.a.r. integrable. Por otra parte, si (XnAn)n
es una supermartingala inversa y supn E(Xn) <∞, existe una v.a.r.integrable a la que Xn converge c.s. La demostración de estos dosresultados se reduce a la de los anteriores sin más que tener en cuentaque (−Xn,An)n es una submartingala en el primer caso y unasubmartingala inversa en el segundo.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
2. Integrabilidad Uniforme
Definición: Integrabilidad uniforme
Sean (Ω,A, µ) un espacio de medida finito y F una familia de v.a. reales ocomplejas en (Ω,A). Diremos que las funciones de la familia F sonuniformemente integrables si
limc→∞
∫|f |≥c
|f | dµ = 0
uniformemente en f ∈ F .
Proposición
(i) Si F es una familia de v.a.r. uniformemente integrables, entonces cadav.a.r. f ∈ F es integrable. Incluso, supf∈F
∫|f |dµ <∞.
(ii) Si |f | ≤ g, para cada f ∈ F y g es integrable, entonces las funciones deF son uniformemente integrables.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
2. Integrabilidad Uniforme
Repaso: Lema de Fatou y teorema de la convergencia dominada
Sean g, f1, f2, . . . funciones reales medibles definidas en un espacio demedida (Ω,A, µ).
(i) Si fn ≥ g, para cada n, y∫
gdµ > −∞, entonces∫lim infn fn dµ ≤ lim infn
∫fn dµ.
(ii) Si fn ≤ g, para cada n, y∫
gdµ <∞, entonceslim supn
∫fn dµ ≤
∫lim supn fn dµ.
(iii) Si g es µ-integrable, |fn| ≤ g, µ-c.s., para cada n, y fn converge c.s. auna función medible f , entonces f , f1, f2, ... son µ-integrables y∫
f dµ = limn
∫fn dµ.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
2. Integrabilidad Uniforme
TeoremaSean f1, f2, . . . v.a.r. uniformemente integrables.
(i) ∫(lim inf
nfn)dµ ≤ lim inf
n
∫fn dµ ≤ lim sup
n
∫fn dµ ≤
∫(lim sup
nfn)dµ.
(ii) Si fn converge a f c.s. o en medida, entonces f es integrable y
limn
∫fn dµ =
∫f dµ.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
2. Integrabilidad Uniforme
TeoremaLas v.a.r. de una cierta familia F son uniformemente integrables si y sólo silas integrales
∫|f |dµ, f ∈ F , están uniformemente acotadas y son
uniformemente continuas en el sentido de que
limµ(A)→0
∫A|f |dµ = 0
uniformemente en f ∈ F .
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
2. Integrabilidad Uniforme
Lema
(i) Si a, b ≥ 0 y p ≥ 1, entonces (a + b)p ≤ 2p−1(ap + bp).(ii) Si a, b ≥ 0 y 0 < p < 1, entonces (a + b)p ≤ ap + bp.
Teorema
Sean µ una medida finita en (Ω,A) y 0 < p <∞. Si fn converge a f enmedida y las |fn|p son uniformemente integrables, entonces fn converge a fen Lp.
CorolarioSean f1, f2, . . . uniformemente integrables. Si fn converge a f c.s. o enmedida, entonces fn converge a f en L1.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
2. Integrabilidad Uniforme
Lema
Sean Y una v.a.r. integrable en (Ω,A,P) y (Bi)i∈I una familia arbitraria desub-σ-álgebras de A. Entonces, las v.a.r. Xi := E(Y|Bi) son uniformementeintegrables.
Teorema (Lèvy)
Sea (An)n una sucesión creciente de sub-σ-álgebras de A, y sea A∞ laσ-álgebra engendrada por ∪nAn. Si Y es una v.a.r. integrable yXn = E(Y|An), n ∈ N, entonces Xn converge a E(Y|A∞) c.s. y en L1.
Teorema
Sean (An)n una sucesión decreciente de sub-σ-álgebras de A yA∞ = ∩nAn. Si Y es integrable y Xn = E(Y|An), n = 1, 2, . . . , entoncesXn −→ E(Y|A∞) c.s..
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
2. Integrabilidad Uniforme
Observación
Para cada i ∈ N, sea Zi : (Ω,A) −→ (Ω′i ,A′i) una v.a. Si en el teorema deLévy hacemos An = σ(Z1, . . . ,Zn) := (Z1, . . . ,Zn)−1(
∏ni=1A′i), entonces
la σ-álgebra A∞ = σ(∪nAn) coincide con σ(Z1,Z2, . . . ) y, por tanto,
E(Y|Z1, . . . ,Zn) −→n→∞ E(Y|Z1,Z2, . . . )
c.s. y en L1. Si hacemos An = σ(Zn,Zn+1, . . . ), entonces A∞ := ∩nAn es lallamada σ-álgebra final de la sucesión (Zn)n; de acuerdo con el teoremaanterior, se verifica que, si Y es una v.a.r. integrable, entonces
E(Y|Zn,Zn+1, . . . ) −→n→∞ E(Y|A∞)
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
2. Integrabilidad Uniforme
Teorema
Sea (Xn,An)n=1,2,... una submartingala uniformemente integrable. Entoncessupn E(X+
n ) <∞ y Xn converge a un límite X∞ c.s. y en L1. Además, si A∞es la σ-álgebra generada por ∪nAn, entonces (Xn,An)n=1,2,...,∞ es unasubmartingala. Si (Xn,An)n=1,2,... es una martingala, también lo es(Xn,An)n=1,2,...,∞. (Def.: Si (Xn,An)n=1,2,...,∞ es una (sub- o super-)martingala, donde A∞ es una σ-álgebra que contiene a todas las An,diremos que X∞ es un último elemento).
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
2. Integrabilidad Uniforme
Corolario
(Xn,An)n∈N es una martingala uniformemente integrable si y sólo si existeuna v.a.r. integrable Y tal que Xn = E(Y|An), n = 1, 2, . . . . En este caso, Xn
converge a E(Y|A∞) c.s. y en L1, donde A∞ es la σ-álgebra engendrada por∪nAn.
ObservaciónSi en el corolario anterior exigimos que Y sea A∞-medible, entonces Y esesencialmente única, pues, si Xn = E(Y|An), entoncesE(Y|An) = E(X∞|An), n ∈ N, y, por tanto,
∫A YdP =
∫A X∞dP para cada
A ∈ ∪nAn (y, por el teorema de la clase monótona, para cada A ∈ A∞).Entonces Y = X∞ c.s.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
2. Integrabilidad Uniforme
Teorema
Sea (Xn,An)n=1,2,...,∞ una submartingala no negativa con un últimoelemento. Entonces las Xn son uniformemente integrables.
Ejemplo
Sean Y1,Y2, . . . v.a.r. independientes tales queP(Yj = 1) = p = 1− P(Yj = 0) para cada j, donde 0 < p < 1. HagamosXn = 1
pn
∏nj=1 Yj, y An = σ(Y1, . . . ,Yn). Entonces (Xn,An)n es una
martingala y, en particular, una supermartingala. Además, comosubmartingala, posee último elemento pero no es uniformemente integrable.
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
3. Aplicaciones de la Teoría de Martingalas
LemaSean X1, . . . ,Xn v.a.r. independientes e idénticamente distribuidas con mediafinita y Sn =
∑nk=1 Xk. Entonces
E(Xk|Sn) =1n
Sn, c.s., 1 ≤ k ≤ n.
Lema
Si X1,X2, . . . son v.a.r. y Sn =∑n
k=1 Xk, entonces
σ(Sn, Sn+1, Sn+2, . . . ) = σ(Sn,Xn+1,Xn+2, . . . ).
Lema
Sean Y una v.a.r. integrable y X y Z v.a. tales que (X,Y) y Z sonindependientes. Entonces E(Y|X,Z) = E(Y|X).
Paloma Pérez Fernández TEMA 2. Teoría L2 de Procesos Estocásticos: Funciones de Covarianza
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MartingalasMartingalas a tiempo discretoIntegrabilidad UniformeAplicaciones de la Teoría de Martingalas
3. Aplicaciones de la Teoría de Martingalas
Definición (σ-álgebra final)
Sea (Xn)n una sucesión de v.a.r. y denotemos por An la más pequeñaσ-álgebra que hace medible a Xn,Xn+1,Xn+2, . . . , para cada n ∈ N. Laσ-álgebra A∞ := ∩nAn se llama σ-álgebra final de la sucesión (Xn), y suselementos se llaman sucesos finales. Las funciones reales A∞-medibles sellaman funciones finales relativas a la sucesión (Xn).
Observación
Intuitivamente, un suceso final relativo a una sucesión (Xn) es un sucesocuya ocurrencia no resulta afectada al cambiar lo valores de un número finitode variables Xn. P.ej., los sucesos ω : Xn(ω) converge,ω :
∑n Xn(ω) converge, o ω : Xn(ω) < 1 para infinitos valores de n son
sucesos finales relativos a (Xn). lim supn Xn y lim infn Xn son funcionesfinales relativas a (Xn).
Paloma Pérez Fernández TEMA 2. Teoría L2 de Procesos Estocásticos: Funciones de Covarianza
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3. Aplicaciones de la Teoría de Martingalas
Teorema (Ley cero-uno de Kolmogorov)
Todos los sucesos finales relativos a una sucesión (Xn) de v.a.r.independientes tienen probabilidad 0 o 1, y todas las funciones finales sonconstantes c.s.
Teorema (Ley Fuerte de los Grandes Números, caso iid)
Sean X1,X2, . . . v.a.r. con media finita µ y hagamos Sn = X1 + · · ·+ Xn paracada n ∈ N. Entonces Sn/n converge a µ c.s. y en L1.
Paloma Pérez Fernández TEMA 2. Teoría L2 de Procesos Estocásticos: Funciones de Covarianza