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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11. PROCESSI ALEATORI. - PowerPoint PPT Presentation
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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11
PROCESSI ALEATORI
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.1
PROCESSI ALEATORI
: VARIABILE ALEATORIA ASSOCIATA ALL’ ESPERIMENTO DOVE S=SPAZIO
DEGLI EVENTI E P =PROBABILITA’.
: E’ UNA FUNZIONE NUMERICA ASSOCIATA ALLE USCITE ELEMENTARI
DELL’ ESPERIMENTO .
UN PROCESSO ALEATORIO E’ UNA FAMIGLIA DI FUNZIONI DEL TEMPO, CIASCUNA
ASSOCIATA AD UNA REALIZZAZIONE
x
x
E S P,
zi
X zi
z X t zi i ,
t0
AD UN ISTANTE FISSATO ,IL PROCESSO ALEATORIO COINCIDE CON UNA VARIABILE ALEATORIA
t0 ,
,
,
2
1
nztx
ztx
ztx
t
t
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.2
ESEMPIO : VARIABILE ALEATORIA, COSTANTE E’ UN PROCESSO
ALEATORIO SE .
LE COSINUSOIDI SONO TUTTE IN FASE, MA CON AMPIEZZE CHE DIPENDONO DALLE
USCITE ELEMENTARI DELL’ ESPERIMENTO.
x x tcos , 0 0
x R
t
t
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.3
ESEMPIO :
SEQUENZA DI 0 E 1 EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI (EQUIVALENTI A USCITA
CONVERTITORE A/D).
PROCESSO BINARIO SORGENTE DI BIT A T sec SENZA MEMORIA
ESPERIMENTO ESEGUITO INFINITE VOLTE
X t zi,
ziINTERA SEQUENZA DI 0 E 1.
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.4
ALTERNANZA DI 0 E 1 DIPENDENTE DA UNA DISTRIBUZIONE POISSONIANA.
SE SI MANTIENE COSTANTE LA DENSITA’ DEI PUNTI E SI RIPETE L’ ESPERIMENTO
OTTENGO FUNZIONI NEL TEMPO SIMILI CHE COSTITUISCONO UN PROCESSO
ALEATORIO.
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.5
STATISTICHE DEL I ORDINE
SE SI CONSIDERA UN ISTANTE DI TEMPO “GENERICO” , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE
LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI PROBABLITA’ ;
DA CUI SI PUO’ RICAVARE LA RELATIVA DENSITA’ (OPERAZIONE DI DERIVATA).
IN PRATICA SI CONOSCETUTTA LA STATISTICA DEL I ORDINE (FUNZIONE DI
DISTRIBUZIONE E DENSITA’)
F X x t X tx t Pr
STATISTICHE DEL II ORDINE
SE SI CONSIDERANO DUE ISTANTI GENERICI , , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE :
CHE E’ LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CONGIUNTA TRA 2 V.A.
IN MODO ANALOGO SI POSSONO CALCOLARE LE STATISTICHE DI ORDINE
SUPERIORE A N=2 IN MODO DA CARATTERIZZARE COMPLETAMENTE IL
PROCESSO ALEATORIO. IN PRATICA, CI SI FERMA ALLA STATISTICA DI II ORDINE,
OSSIA AL CALCOLO DEI PARAMETRI CHE LA DEFINISCONO.
t1
Pr , ,x t X x t X t t1 1 2 2 1 2
F X Xx t x t1 1 2 2
1 2,
t2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.6
,
,
,ˆ
2121
212*
1
21*
2211
2
ttRtxtxE
ttRtxtxE
ttCtxtxtxtxE
ttxtxE
tx
x
x
x
VALORE MEDIO
VARIANZA
FUNZIONE DI COVARIANZA
FUNZIONE DI CORRELAZIONE
(PROC. COMPLESSI)
FUNZIONE DI CORRELAZIONE
(PROC. REALI)
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.7
x t x t*2 2 SE I PROCESSI SONO COMPLESSI ALTRIMENTI x t*
2
STAZIONRIETA’ DI UN PROCESSO ALETORIO
DEF : LE PROPRIETA’ STATISTICHE DEL PROCESSO SONO INVARIANTI ALLE
TRASLAZIONI TEMPORALI.
ALLORA, SE IL PROCESSO E’ STAZIONARIO :
STAZIONARIETA’ IN SENSO STRETTO (S.S.S.) : OGNI STATISTICA E’ INVARIANTE
ALLE TRASLAZIONI NEL TEMPO (DIPENDE SOLO DA ).
Pr , Pr ,x t X x t X x t t X x t t X1 1 2 2 1 1 2 2
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.8
STAZIONARIETA’ IN SENSO LATO (S.S.L.) : SE LA STATISTICA DEL I E DEL II
ORDINE NON DIPENDONO DAL TEMPO t .
SI CONSIDERANO SOLO PROCESSI ALEATORI DEL TIPO S.S.L
SSL
x t x
R t t E x t x t R t t R t tx x x
1 2 1 2 2 1 2 1, con
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.9
SI VERIFICHI SE IL PROCESSO , CON , V.A E’ S.S.L.
V.A. GENERICA.
V.A. CON DENSITA’ UNIFORME TRA E
E INDIPENDENTI TRA LORO
E’ IMPORTANTE L’ ORDINE DI (IN PARTICOLARE NEL CASO DI PROCESSI
COMPLESSI) :
a t cos 0 a a 0 2
t t1 2,
R t t E x t x t
R t t E x t y t
x
xy
1 2 2 1
2 1 1 2
,
,
*
*
AUTOCORRELAZIONE
CROSS-CORRELAZIONE (1)
ESEMPIO 1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.10
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.11
NEL CASO DI PROCESSI REALI, SCAMBIANDO LE VARIABILI SI HA :
CHE IN GENERE E’ DIVERSA DA (OSSIA NON E’ INVARIANTE RISPETTO ALLO
SCAMBIO DI V.A.).
NEL CASO DI PROCESSI COMPLESSI SI HA :
SE SI SCAMBIANO GLI ISTANTI TEMPORALI, SI OTTIENE :
R t t E y t x tyx 1 2 1 2,
Rxy
R t t E y t x tyx 1 2 1 2, *
R t t E y t x tyx 2 1 2 1, *
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.12
MA POICHE’ QUESTA E’ COMPLESSA CONIUGATA DELLA (1) , ALLORA :
SE SI TIENE CONTO DEL SIGNIFICATO FISICO DI TALI FUNZIONI, ALLORA :
R t t R t txy yx1 2 2 1, ,*
R t t E x t
C t t E x t x t
x
x
,
,
2
2
POTENZA DEL PROCESSO
POTENZA MENO IL VALOR MEDIO AL QUADRATO2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.13
INOLTRE SI NOTI CHE :
• SEMPRE
• SE SONO 2 V.A. , ALLORA PER CARATTERIZZARLE E’ NECESSARIO
CONOSCERE :
• VALOR MEDIO
• VARIANZA
• COVARIANZA
R t tx , 0
x t x t1 2,
x t
var ,x t E x t x t R t t x tx
22 2
C t t E x t x t x t x t R t t x t x tx x1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.14
SI DEFINISCE QUINDI IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE :
DOVE :
SI NOTI CHE, PER PROCESSI SSL, LA POTENZA DEL PROCESSO E’ COSTANTEMENTE
PERI AL VALORE , QUINDI :
x t x t
x
x x
R t t x t x t
R t t x t R t t x t1 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
,
, ,
R t t x tx 1 1 1
2
,
E ANALOGAMENTE PER x t2
Rx 0
x t x t
x
x
R x
R x1 2
2
20
x t1
1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.15
ESEMPIO 2 : PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE
E’ LEGATO ALLA DISTRIBUZIONE POISSONIANA DEI PUNTI :
RICORDO CHE E’ IL NUMERO MEDIO DI PUNTI SULL’ INTERVALLO UNITARIO t
E’ UNA DENSITA’.
IN GENERALE :
Pr
!n t k e
t
kt
k
!
.Pr 121221 k
ttekttn
ktt
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.16
E INDIPENDENTI SE GLI INTERVALLI NON SONO SOVRAPPOSTI.
SI DEFINISCE PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE (PTC)
DOVE E’ IL NUMERO DI PUNTI NELL’ INTERVALLO (0,t).
n t t n t t1 2 3 4, ,
x tn t
n t
1
1
se e' pari
se e' dispari
n t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.17
PARTENDO DA t=0 OVE x(t)=1, POICHE’ n(t)=0 E’ PARI, SI HANNO COMMUTAZIONI
DA +1 A -1 E VICEVERSA OGNIQUALVOLTA E’ PRESENTE UN PUNTO.
SE MANTANGO LA STESSA DENSITA’ E RIPETO L’ ESPERIMENTO OTTENGO UNA
DIVERSA SEQUENZA.
IL LORO INSIEME FORMA IL PROCESSO ALEATORIO.
SI CALCOLI IL VALOR MEDIO :
E x t x t x t 1 1 1 1Pr Pr
-1
+1
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.18
DOVE, ESSENDO EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI :
ANALOGAMENTE :
Pr Pr Pr Pr .....
! !.....
x t n t n t n t
e et
et
ee e
t t t
tt t
1 0 2 4
2 4
2
2 4
Pr Pr Pr ....
!....
x t n t n t
e tt
ee et t
t t
1 1 3
3 2
3
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.19
QUINDI :
LA MEDIA E’ DIPENDENTE DAL TEMPO PROCESSO NON STAZIONARIO.
SI CALCOLI LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.
E x t e t 2
1,1Pr1,1Pr1-
1,1Pr1,1Pr1
,
2121
2121
2121
txtxtxtx
txtxtxtx
txtxEttRx
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.20
QUINDI (LEGGE DI BAYES) :
DOVE
MENTRE LA PROBABILITA’ CONDIZIONATA IMPLICA UN NUMERO PARI DI
COMMUTAZIONI NELL’ INTERVALLO .
Pr x t ee et
t t
1 12
1
1 1
Pr , Pr Pr /x t x t x t x t x t1 2 1 2 11 1 1 1 1
t t2 1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.21
ANALOGAMENTE SI OTTIENE (RICORDANDO CHE : E ).
Pr ,x t x t
ee e
ee et
t tt t
t t t t
1 21 1
2 21
1 1
2 1
2 1 2 1
cosh xe ex x
2
2senh
xx eex
R t t e t t e t t
e t t e t t
xt t t
t t t
1 2 1 1 2 1
1 1 2 1
1 2 1
1 2 1
, cosh senh cosh
cosh senh senh
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.22
ESSENDO FUNZIONE PARI SI HA
SE SI VUOLE RENDERE IL PROCESSO STAZIONARIO, ALLORA SI CONSIDERI :
e t t t t e
e
t t t t
2 1 2 1
2 1 2 12
2
cosh senh
R t tx 1 2,
R t t ex 1 22,
y t a x t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.23
DOVE CON UGUAL PROBABILITA’ ED INDIPENDENTEMANTE DA x(t) ALLORA :
POICHE’
IL VALOR MEDIO E’ ORA COSTANTE, MENTRE
DATO CHE
ORA IL PROCESSO E’ S.S.L.
OSS : SI NOTI CHE ORA NON ESISTE PIU’ IL VALORE PREVILEGIATO +1 NELL’ ORIGINE DEI TEMPI.
a 1
R t tx 1 2,
E y t E a E x t E a 0 0
E y t y t E ax t ax t E a R t t R t tx x1 2 1 22
1 2 1 2 , ,
E a 2 1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.24
ESEMPIO 3 : DISTRIBUZIONE POISSONIANA
(PROCESSO TELEGRAFICO)
SI CONSIDERI LA DISTRIBUZIONE DI POISSON :
DOVE E’ LA DENSITA’, CIOE’ IL NUMERO MEDIO DI ATTRAVERSAMENTI PER LO
ZERO NELL’ UNITA’ DI TEMPO. LA PROBABILITA’ DI AVERE PUNTI IN E IN , CON E NON SONO SOVRAPPOSTI E INDIPENDENTI.
IL PROCESSO ALEATORIO SI OTTIENE FACENDO VARIARE UN SEGNALE TEMPORALE
IN RELAZIONE A TALE DISTRIBUZIONE.
R
Pr
!k punti in t e
t
kt
k
k1 t1 k2
t2 t1 t2
n t n t 1 2
V0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.25
LA DISTRIBUZIONE DI POISSON E’ LEGATA A PROBLEMI FISICI COME I CONTEGGI
DELLE CHIAMATE TELEFONICHE, LE EMISSIONI RADIOATTIVE,CODE.
LA STATISTICA DI TALE PROCESSO x(t) E’ DATA DA :
DATO CHE PER PROCESSI REALI :
E x t
E x t x t R V ex
0
02 2
VALORE MEDIO
R R E x t x t V ex x 02 2
Rx
12
V02
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.26
OSS : VA A ZERO TANTO PIU’ RAPIDAMENTE QUANTO E’ MAGGIORE, OSSIA
POCA “MAMORIA” SE GRANDE.
OSS : SE IL PROCESSO E’ REALE E SSL LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE E’
PARI
SE IL PROCESSO E’ SSL ALLORA NON VARIA SE INCREMENTO
L’ ISTANTE t DI UNA QUANTITA’ ARBITRARIA c .
Rx
R E x t x t R E x t x tx x
Rx
R E x t c x t c
R E x t c x t R R
x
x x x
MA SE ALLORA :c
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.27
PROPRIETA’ DEI PROCESSI S.S.L. REALI
•
•
DIM :
R R funzione pari
R R con
x x
x x
0 0
E x t x t sempre
E x t E x t R
E x t E x t R
R R
x
x
x x
2
2 2
2 2
0
2 0
0
0
c.v.d
MA
ALLORA
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.28
• POTENZA DEL PROCESSO (attenzione alle unita’ di misurax(t) si può
vedere come tensione su una resistenza di 1ohm : potenza [watt]=[volt]2 /[ohm]).
LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE ESPRIME IL LEGAME CHE C’E’ TRA 2
CAMPIONI (LEGAME DI COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE) . INFATTI, SE
ALLORA :
Rx 0
E x t x 0
x t x tx
x
R
Rx
00,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.29
QUESTA E’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NORMALIZZATA
INFATTI, DATE 2 V.A. x E y , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE VALE:
ALLORA SE E SI HA CHE :
x t x t 1
xy
xy
x y
E x x y y
E x x E y y
2 2
x x t y x t
x t x t
E x t x x t x
E x t x
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.30
OSSIA :
CHE SINTETIZZA LA RELAZIONE ESISTENTE TRA 2 CAMPIONI DEL SEGNALE NEL
CASO CHE , RAPPRESENTA LA MEMORIA DEL SEGNALE
NELL’ ULTIMO ESEMPIO, SI NOTI CHE LA MEMORIA SI PERDE DOPO CIRCA
QUINDI MAGGIORI LE COMMUTAZIONI NELL’ UNITA’ DI TEMPO ( ALTO) MINORE E’
LA MEMORIA DEL PROCESSO.
x t x tx
x
R x
R x
2
20
x 0 Rx 3 4
1
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.31
ESEMPIO :PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE
SI CONSIDERI UN PTC SIFFATTO :
TALE PROCESSO y(t) E’ IN RELAZIONE COL PRECEDENTE x(t) MEDIANTE:
ALLORA :
y t
x t
1
2
E y t
E x t
1
2
1
2
t
y(t)1
x t+1
-1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.32
INOLTRE :
IN GENERALE, SE SI HANNO 2 PROCESSI CON E
ALLORA E
R E y t y t E x t x t Ry x 1
41 1
1
4
1
4
x t x 0 y t x t c y c R t R t cy x 2
12
Ry
12
14
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.33
ESEMPIO : PROCESSO ALETORIO COSINUSOIDALE
SI CONSIDERI :
IL PROCESSO E’ PERIODICO, INFATTI CON
QUINDI :
E x t R E ax 01
22
0 cos
x t x t t t 0 00
2
E
a
tatx cos 0V.A. QUALUNQUE
V.A. CON DENSITA’ UNIFORMA TRA 0 E 2
t
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.34
CIOE’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE DI PROCESSI PERIODICI E’
PERIODICA DI PERIODO UGUALE A QUELLO DEL PROCESSO.
QUINDI :MEMORIA PERIODICA COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE PERIODICO ”MEMORIA STRUTTURALE”
t0
Rx 1
22E a
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.35
RUMORE BIANCO
E’ UN PARTICOLARE PROCESSO ALEATORIO DOVE :
CHE NEL CASO STAZIONARIO DIVENTA :
• LA CORRELAZIONE TRA 2 CAMPIONI IN E E’ SEMPRE 0 (CAMPIONI SCORRELATI SE )
R t t q t t t q tx 1 2 1 2 1 1 0, ,
R c cx , 0
t1 t2t t1 2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.36
• NON E’ POSSIBILE STABILIRE CON CERTEZZA LA POTENZA DEL PROCESSO ( )
• SE ALLORA TALE PROCESSO SI CHIAMA RUMORE BIANCO
• UN PROCESSO SI DICE NORMALE O GAUSSIANO SE I SUOI CAMPIONI
PRESI AD ISTANTI ARBITRARI, SONO V.A. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE.
Rx 0
E x t 0
x t x t x tn1 2, , ....,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.37
PROCESSO BINARIO SEMICASUALE
SI CONSIDERI UN PROCESSO BINARIO SIFFATTO :• LE COMMUTAZIONI AVVENGONO A INTERVALLI FISSI DI LUNGHEZZA T.• I DUE VALORI SONO ASSUNTI CON UGUAL PROBABILITA’.• L’ ORIGINE DEI TEMPI COINCIDE CON UNA COMMUTAZIONE (PER TUTTE LE
REALIZZAZIONI).• IL PROCESSO E’ SENZA MEMORIA (OSSIA COMMUTAZIONI INDIPENDENTI TRA
LORO).
V0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.38
ESEMPIO : LANCIO RIPETUTO DELLA MONETA (+V0=TESTA, -V0=CROCE).
V0
V0
V0
V0
T
t
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.39
SE SI CONSIDERA UN PROCESSO x(t) SIFFATTO, ALLORA :
E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE
SI CONSIDERI E DIVIDIAMO IN DUE CASI :
1) INTERVALLI DI COMMUTAZIONE DIVERSI INDIPENDENTI
E x t 0
R t t E x t x tx 1 2 1 2,
t t2 1
t t T2 1
R t t E x t x t E x t E x tx 1 2 1 2 1 2 0,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.40
2)
SI SCELGA E
(NEL CASO COMPLETAMENTE ARBITRARIO, SARA’ SEMPRE POSSIBILE
SCRIVERE )
QUINDI DISTA DA E DI CONSEGUENZA PUO’ TROVARSI NELLO
STESSO INTERVALLO DI COMMUTAZIONE OPPURE IN QUELLO SUCCESSIVO.
t t T2 1
t T t t1 2 10 ,
t KT t1 1*
t1*
t2 t1 t2
0 T 2T 3T t
t1 t1
t2 t2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.41
• SE E SONO NELLO STESSO INTERVALLO, ALLORA :
• SE E SONO IN INTERVALLI ADIACENTI, ALLORA :
ALLORA LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NON DIPENDE DA , MA
ANCHE DALLA POSIZIONE DI PROCESSO NON STAZIONARIO.
t1 t2
t1 t2
E x t x t V1 2 02
E x t x t1 2 0
t t2 1t1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.42
ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALEPROCESSO BINARIO SIMILE A QUELLO PSEUDOCASUALE :• CADENZA FISSA T.• 2 VALORI EQUIPROBABILI• FASE CASUALE, CIOE’ LA DISTANZA DEL PIU’ VICINO ISTANTE DI
COMMUTAZIONE DALL’ ORIGINE DEI TEMPI E’ ALEATORIA (CON DENSITA’
UNIFORME). • ASSENZA DI MEMORIA TRA INTERVALLI SUCCESSIVI
V0
V0
V0
V0
T
t
tt
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.43
DATA L’ IPOTESI DI PROCESSO S.S.L., SI CALCOLI IL VALOR MEDIO E LA FUNZIONE
DI AUTOCORRELAZIONE.
•
OSSIA SI DEVONO MEDIARE I VALORI CHE IL PROCESSO ASSUME IN TUTTE LE
REALIZZAZIONI PER UN ISTANTE GENERICO.
• FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE
x E x t MEDIA DI INSIEME
x E x p xi ii 1
2
0 DATA L’ EQUIPROBABILITA’ DI V0
R E x t x tx
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.44
IL PRODOTTO PUO’ VALERE OPPURE , ALLORA
MA SE E APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA IL
PRODOTTO VALE
SE E NON APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA SI
DEVONO CONSIDERARE LE POSSIBILITA’ CONDIZIONALI (NOTARE CHE GLI
IMPULSI SONO TRA LORO INDIPENDENTI).
x t x t V02 V0
2
R V V V Vx Pr Pr02
02
02
02
t t V0
2
t t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.45
SI RICORDA CHE :
DOVE :
E
QUINDI :
P A P B P A Bi ii /
B Sii
B Bi j 0
R t t t stesso ervallo E x t x t stesso ervallo
t t t diversi ervalli E x t x t diversi ervalli
x
Pr , int / int
Pr , int / int
S
B
B
B
B
A
i
1
2
3
S
Bi
B1
B2
B3A
….. …..
…..
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.46
SI SUPPONGA :
ALLORA E INTERVALLI DIVERSI
IN QUANTO
T t t Rx 0
Pr , int
Pr , int
t t stesso ervallo
t t diversi ervallo
E x t x t
0
1
0
E
PERCHE’ LA PROBABILITA’ DI AVERE O E’ PARI A 1/2 .V0
2 V02
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.47
EQUIVALE A TENER FISSA L’ ORIGINE E SCEGLIERE A CASO t NELL’ INTERVALLO
T (CASUALITA’ DELL’ ORIGINE).
ALLORA E STESSO INTERVALLO SE t E’ NEL SOTTOINTERVALLO
T-t t
T
Pr Pr int
Pr int
t in T t t stesso ervalloT
T
t t diversi ervalloT
,
,
////////////T
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.48
MA :
E x t x t stesso ervallo V
E x t x t diversi ervalli
RT
Tx
/ int
/ int
02
0
( CON UGUAL PROBABILITA’)V02
Rx V0
2
T T
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.49
QUINDI :
SI RICORDI CHE, PER UN PROCESSO A VALOR MEDIO NULLO, IL COEFFICIENTE DI
CORRELAZIONE TRA DUE CAMPIONI VALE :
OSSIA SI PUO’ FARE PREVISIONE SUL CAMPIONE CORRENTE A PARTIRE DA UNO
NOTO SE IL CORRENTE DISTA MENO DI T DAL CAMPIONE NOTO.
RT
TV se T
altrovex
02
0
x t x tx
x
R
R 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.50
AD ESEMPIO, LA STIMA LINEARE:
QUINDI SE x E y SONO DUE CAMPIONI DELLO STESSO SEGNALE ( ).
CHE E’ LA STIMA A MINIMO ERRORE QUADRATICO MEDIO (EQM).
y yy
xxy
x y
x t x t xx t x t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.51
ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALE CONDIZIONATO
SI CONSIDERI UN PROCESSO SIFFATTO :• PROCESSO BINARI CASUALE CON CONDIZIONAMENTO DEL VALORE CORRENTE SU
QUELLO SUCCESSIVO.
CONSEGUENZA : LA MEMORIA DEL PROCESSO CAMBIA DIVERSA FUNZIONE DI
AUTOCORRELAZIONE.
SI SUPPONGA :
IN QUESTO CASO CONVIENE SCINDERE IL PROBLEMA, OSSIA CONSIDERANDO
VALORI DI VIA VIA CRESCENTI.
Pr / . Pr / . V V V V0 0 0 00 8 0 8
ISTANTE CORRENTE ISTANTE PRECEDENTE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.52
10CASO :
ANALOGAMENTE AL CASO PRECEDENTE
INFATTI :
0 T
Pr , int ; / int
Pr , int ; / int
t t stesso ervalloT
TE x t x t stesso ervallo V
t t diversi ervalliT
E x t x t diversi ervalli
02
0
x(t) x(t+) x(t) x(t+) PROBABILITA’
0.5x0,8=0.4
0.5x0.2=0.1
0.5x0.2=0.1
0.5x0,8=0.4
V0
V0
V0
V0
V0
V0
V0
V0
V02
V02
V02
V02
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.53
ALLORA :
QUINDI :
ORA PER =T , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE NON E’ NULLO, QUINDI E’
POSSIBILE FARE PREVISIONE
E x t x t ervalli adiacenti
V V V V V
/ int
. . . . .
0 4 01 01 0 4 0 602
02
02
02
02
RT
TV
TV Tx
0
2020 6 0.
Rx
V02
0 6 02. V
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.54
20CASO :
ORA t E t+ POSSONO APPARTENERE A INTERVALLI ADIACENTI OPPURE NON
ADIACENTI.
INTERVALLI ADIACENTI t IN 2T- (\\\\\\\\)
INTERVALLI NON ADIACENTI t IN -T (||||||)
T T 2
\\\\\\\\\\\\ ||||||||||
2T
T2T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.55
ALLORA :
DOVE :
E
R t t ervalli adiacenti E x t x t ervalli adiacenti
t t ervalli non adiacenti E x t x t ervalli non adiacenti
x
Pr , int / int
Pr , int / int
Pr , int
/ int .
t t ervalli adiacentiT
T
E x t x t ervalli adiacenti V
2
0 6 02
Pr , intt t ervalli non adiacenti
T T
T
T
T
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.56
SI RICAVA
CON UN GRAFO :
AD ESEMPIO, SE ALLORA LA PROBABILITA’ CHE E’
0.8x0,8+0.2x0.2=0.68 E CHE
E ANALOGAMENTE PER .
E x t x t ervalli non adiacenti int
x t VV
V
V
VV
V
0
0
0
0
0
0
0
0.8
0.2
0.8
0.8
0.2
0.2
x t V 0 x t V 0
x t V 0
V0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.57
COSI’ ALL’ AUMENTARE DI ,LA MEMORIA DIMINUISCE.
QUINDI :
E x t x t
V V V V V
/
. . . . .
intervalli non adiacenti
1
20 68 0 32 0 32 0 68 0 360
202
02
02
02
Rx
V02
-2T -T T 2T
60%36%
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.58
OSS. : SI NOTI CHE LA CONDIZIONE
OSSIA UNA MEMORIA CHE IMPONE PIU’ PROBABILI CAMBI DI SEGNI,
SI OTTERRA’
P V V P V V 0 0 0 0 0 2/ / .
T
2T
3T
Rx
V02
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.59
ESEMPIO : PROCESSO MULTILIVELLO CASUALE
SI CONSIDERI UN PROCESSO SIFFATTO :
OSSIA :• UNA SERIE DI IMPULSI RETTANGOLARI DI DURATA T.• AMPIEZZA MULTIPLA DI V E SIMMETRICA RISPETTO ALLO ZERO MEDIA
NULLA.• LIVELLI EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI TRA INTERVALLI SUCCESSIVI• N=2M LIVELLI.
x t K V K M , ,2,...., 1
V
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.60
FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :
MA (COME NEL CASO DI PROCESSI CASUALI SENZA MEMORIA)
R E x t x t
P t t E x t x t
P t t E x t x t
x
, /
, /
stesso intervallo stesso intervallo
intervalli diversi intervalli diversi
E x t x t
P t tT
T
E x t x tM
K VK
M
/
,
/
intervalli diversi
stesso intervallo
stesso intervallo
0
1 2 2
1
POICHE’ INTERVALLI EQUIPROBABILI
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.61
POICHE’ :
CON PROBABILITA’ 1/M.
SI NOTI CHE LA MEDIA RAPPRESENTA ANCHE LA POTENZA DEL SEGNALE,
QUINDI :
x t x t K V 2 2 SEMPRE
E x t2
RT
T MK V Tx
K
M
1 2 2
1
Rx
-T +T
1 2 2
1MK V
K
M
NEL CASO DI DUE PROCESSI E SI PUO’ CALCOLARE LA FUNZIONE DI
CROSS-CORRELAZIONE CHE ESPRIME LA DIPENDENZA TRA I DUE PROCESSI.
x t y t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.62
ESEMPIO : PROCESSO ALEATORIO COMPLESSO
QUESTO PROCESSO E’ UNA ASTRAZIONE CHE SERVE PER RAPPRESENTARE
PROCESSI REALI .
• V.A. AVENTI MEDIA NULLA
• MEDIA DEL PROCESSO
x t a eii
j ti
ai
E a i
E a a E a
i
i j i i
0
0 2 2
,
E SCORRELATE E VARIANZA
x t E x t 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.63
• FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :
E’ SSL.
R t t E x t x t
E a e a e
E a a e
R t t e R t t
x
ij t
kj t
ii
i kki
x ij t t
xi
i k
j it j k t
i
1 2 1 2
1 22
2 1
1 2
1 2
1 2
,
, ,
*
*
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.64
PROCESSI ALEATORI E STAZIONARI
• LA CONOSCENZA DI E E’ SUFFICIENTE PER TROVARE• IL PROBLEMA E’ ANALOGO AL CASO DELLA DEFINIZIONE DI UNA V.A. y DATA
LA V.A. x E LA RELAZIONE • SI TRATTERANNO SOLO SISTEMI LTI . CARATTERIZZATI DALLA RISPOSTA
ALL’ IMPULSO O ANALOGAMENTE
x t
y t
h t
H
y t
h t
y g x
H
h t
x t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.65
ESEMPIO DI SISTEMI NON LTI :
y
x
a
a
x
y
QUADRATORE
g x ax a 2 0 ,
HARD LIMITER
g xa x
a x
per
per
0
0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.66
SE E’ NOTO E STAZIONARIO, ALLORA SI CONOSCE IL VALORE MEDIO
E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE ,
QUINDI IL VALOR MEDIO DI E’:
x t x Rx
y t
E y t E x h t d x h t d
x h t dt xH y
=
0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.67
LA FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE :
LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :
R E x t y t E x t h x t d
E x t x t h d R h d R h R
xy
x x xy
R E x h t d y t h t E x y t d
h t R t d
y
xy
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.68
SE SI EFFETTUA IL CAMBIO DI VARIABILE ALLORA :t d d
2* fHfSfHfHfSfSRhhR
hRdRhR
dRhR
XXYyx
xyxyy
xyy
CON UN ULTERIORE CAMBIO d d
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.69
ESEMPIO (FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE)SE SI HA UN SISTEMA LTI CON SCONOSCIUTA, ALLORA PONENDO IN INGRESSO
UN RUMORE BIANCO CON
h t R cx
h t
H
x t CORRELATORE
y t
x t
Rxy
E CON LO SCHEMA DI FIGURA OTTENGO :
OSSIA LA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DEL SISTEMA (A MENO DI UNA COSTANTE)
R R h c h c hxy x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.70
ESEMPIO (FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE)SI CONSIDERI UN INTEGRATORE IDEALE (PASSA-BASSO), CON IN INGRESSO UN
RUMORE BIANCO :
h t
H
y t x t
RUMORE BIANCO
1 t Rx
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.71
h t
t
h t
t
T0
T0
Ry
T0 T0
a T20
a
a
DOVE : R h hy
SI OSSERVI CHE :
R a T a d h d
E y t y t R
y
T
y
0
0
20
2 2
0
0
E’ L’ ENERGIA DELLA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DEL FILTRO