Prof. André Marcelo Santos de Souza Prof. Saulo Vargas

2008

Geometria Descritiva

Prof. André Marcelo Santos de SouzaProf. Saulo Vargas

1a Edição

Copyright © UNIASSELVI 2008

Elaboração:

Prof. André Marcelo Santos de Souza

Prof. Sauylo Vargas

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

Impresso por:

S729g Souza, André Marcelo Santos de

Geometria descritiva / André Marcelo Santos de Souza e SauloVargas.

Indaial : Uniasselvi, 2008. 131 p. : il

ISBN 978-85-7830- 059-3

1.Geometria descritiva. I. Centro Universitário Leonardo da Vinci II.

Núcleo de Ensino a Distância III. Título

CDD 516.6

III

apresentação

APRESENTAÇÃO

Caro acadêmico,

Iniciaremos a disciplina de Geometria Descritiva. Esta disciplina introduzirá os conceitos necessários para que vocês possam projetar e entender uma projeção tridimensional num plano.

Para facilitar a compreensão do aluno leitor, organizamos este caderno em três unidades de estudo, obedecendo a um critério de conhecimentos. Tentamos, com isso, fazer com que o aluno tenha o conceito teórico dos temas antes de aplicá-lo. Para um melhor desenvolvimento das habilidades práticas e teóricas, projetamos este caderno levando em conta que cada aluno disponha de, pelo menos, uma régua, um compasso e dois esquadros (30° e 45º), bem como folhas A4 e lápis 6B para desenho.

A Unidade 1 traz os conceitos e definições básicas de geometria, ensina como construir ângulos e retas. Na Unidade 2, o aluno conhecerá o que é um sistema de projeção, os tipos que existem, qual usaremos, o que é épura, cota, afastamento e abscissa, além de iniciar a projeção com pontos. E, finalmente, na Unidade 3, o aluno projeta segmentos de retas e polígonos e faz um estudo básico sobre a Verdadeira Grandeza dos objetos projetados.

Com isso, este caderno proporcionará um apoio pedagógico para você iniciar seus conhecimentos no mundo geométrico das projeções.

Prof. Saulo Vargas Prof. André Marcelo Santos de Souza

IV

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.

Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.

O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos!

NOTA

V

VI

VII

UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA ................................... 1

TÓPICO 1 - DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA ............ 31 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 32 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS ................................................................................................... 33 PROPOSIÇÕES .................................................................................................................................. 64 ELEMENTOS IMPRÓPRIOS ........................................................................................................ 10RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 11AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 12

TÓPICO 2 - CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO ......................................... 131 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 132 DEFINIÇÃO ÂNGULO .................................................................................................................. 13

2.1 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS ........................................................................................ 142.1.1 Ângulo Reto ....................................................................................................................... 142.1.2 Ângulo Agudo ................................................................................................................... 14

2.2 Ângulo Complementar .............................................................................................................. 153 CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS DE 60º E 120º ........................................................................ 16

3.1 ÂNGULO DE 60º ........................................................................................................................ 163.2 ÂNGULO DE 120º ...................................................................................................................... 18

4 BISSETRIZ ........................................................................................................................................ 184.1 COMO CONSTRUIR UMA BISSETRIZ .................................................................................. 19

5 ÂNGULOS DE 15º, 30º, 45º, 75º E 90º ............................................................................................ 215.1 ÂNGULO DE 30º ........................................................................................................................ 215.2 ÂNGULO DE 90º ........................................................................................................................ 215.3 ÂNGULOS DE 15º, 45º E 75º ..................................................................................................... 22

6 TRANSPOSIÇÃO DE ÂNGULO .................................................................................................. 22RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 25AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 26

TÓPICO 3 - CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES. ....................................................................................................................... 291 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 292 RETAS PARALELAS ....................................................................................................................... 293 RETAS PERPENDICULARES ....................................................................................................... 324 MEDIATRIZ ...................................................................................................................................... 345 TRANSPOSIÇÃO DE IMAGEM .................................................................................................. 36RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 43AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 44

UNIDADE 2 - SISTEMAS DE PROJEÇÕES ................................................................................. 47

TÓPICO 1 - PROJEÇÕES .................................................................................................................. 491 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 49

sumário

VIII

2 O QUE É PROJEÇÃO ...................................................................................................................... 49RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 52AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 53

TÓPICO 2 - SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 552 SISTEMA CÔNICO ......................................................................................................................... 553 SISTEMA CILÍNDRICO ................................................................................................................ 564 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS X PROJEÇÕES CÔNICAS ........................................................ 58RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 60AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 61

TÓPICO 3 - SISTEMA MONGEANO ............................................................................................ 631 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 632 SISTEMA MONGEANO ................................................................................................................ 633 ÉPURA ................................................................................................................................................ 644 COTA E AFASTAMENTO .............................................................................................................. 67RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 69AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 70

TÓPICO 4 - PROJEÇÃO DE UM PONTO ..................................................................................... 711 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 712 PROJEÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA .................................................................................. 71

3.1 PONTO PERTENCENTE AO PLANO HORIZONTAL ........................................................ 763 PROJEÇÃO DE UM PONTO PERTENCENTE AO PLANO NA ÉPURA ............................ 76

3.2 PONTO PERTENCENTE AO PLANO VERTICAL ............................................................... 773.3 PONTO PERTENCENTE A LINHA DA TERRA ................................................................... 78

RESUMO DO TÓPICO 4................................................................................................................... 81AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 82

UNIDADE 3 - PROJEÇÕES DE RETAS, VERDADEIRA GRANDEZA E POLÍGONOS NA ÉPURA ................................................................................................................................................... 85

TÓPICO 1 - PROJEÇÃO DE RETAS PARALELAS EM RELAÇÃO A UM DOS PLANOS . 871 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 872 IDEIAS BÁSICAS ............................................................................................................................ 873 PROJETANDO SEGMENTOS PARALELOS ............................................................................. 88

3.1 SEGMENTO PARALELO AOS DOIS PLANOS ..................................................................... 883.2 SEGMENTO PERPENDICULAR A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO .......................... 903.3 SEGMENTO PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO ....................................... 92

RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 98AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 99

TÓPICO 2 - SEGMENTOS OBLÍQUOS AOS DOIS PLANOS DE PROJEÇÃO ................. 1011 INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 1012 SEGMENTO ORTOGONAL A LT. ............................................................................................ 1013 SEGMENTO OBLÍQUO A LT ..................................................................................................... 103RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................. 105AUTOATIVIDADE .......................................................................................................................... 106

TÓPICO 3 - PROJEÇÃO DE POLÍGONOS ................................................................................. 1071 INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 107

IX

2 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA DE PERFIL ........................................ 1073 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA QUALQUER ..................................... 112RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................. 118AUTOATIVIDADE .......................................................................................................................... 119

TÓPICO 4 - PROJEÇÃO DE POLÍGONOS ................................................................................. 1211 INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 1212 POLÍGONO PARALELO A UM DOS PLANOS ..................................................................... 121

2.1 1º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PH....................................................................... 1222.2 2º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PV ....................................................................... 123

3 POLÍGONO ORTOGONAL AOS PLANOS DE PROJEÇÃO .............................................. 124RESUMO DO TÓPICO 4................................................................................................................. 135AUTOATIVIDADE .......................................................................................................................... 136REFERÊNCIAS .................................................................................................................................. 137

X

1

UNIDADE 1

INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:

• Conhecer os conceitos fundamentais da Geometria.

• Entender a construção teórica da Geometria.

• Construir ângulos, retas paralelas e perpendiculares.

Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você encontrará atividades que reforçarão o seu aprendizado.

TÓPICO 1 – DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DA GEOMETRIA

TÓPICO 2 – CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM O COMPASSO

TÓPICO 3 – CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES

2

3

TÓPICO 1UNIDADE 1

DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DE

GEOMETRIA

1 INTRODUÇÃO

Segundo Ardevan Machado (1973, p.11), “a Geometria Descritiva tem por finalidade representar no plano as figuras do espaço, de modo a podermos, com o auxílio da Geometria Plana, estudar suas propriedades e resolver os problemas relativos às mesmas”.

Esse tópico tem como principal objetivo proporcionar a você o entendimento de como funciona a construção dos conceitos e das idéias da geometria. Busca também introduzir você aos conceitos e idéias fundamentais que regem a Geometria.

Claro que selecionamos as idéias que serão importantes para a compreensão da Geometria Descritiva, que é a nossa disciplina. Porém, você verá que Geometria é sempre Geometria.

Apesar de teórica essa parte é muitíssimo importante para o aluno, caso a compreensão não se dê por completo nesse tópico, todo o aprendizado futuro ficará comprometido.

2 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS

Geometria: estuda figuras (objetos) através das propriedades dos seus elementos, definindo, caracterizando e padronizando suas formas e dimensões.

Formas Geométricas: formas específicas usadas para estudo de todas as figuras em geometria

Veja alguns exemplos de formas geométricas que provavelmente você deve já deve ter estudado.

FIGURA 1: POLÍGONOS

FONTE: AUTOR

UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA

4

As formas geométricas estão presentes em vários elementos do nosso mundo. Basta que você olhe atentamente ao seu redor. Pare um minuto e conte quantas formas geométricas tem ao seu redor.

IMPORTANTE

Proposições Geométricas: conceitos e propriedades estabelecidas através de observações e experiências que fundamentam todo o estudo geométrico.

Postulado: é uma proposição, aceita consensualmente, e que não precisa de demonstração matemática. Os postulados fundamentam a Geometria.

Teorema: é uma proposição “mais elaborada”, e que não é tão trivial ao entendimento. Esta proposição só é tida como verdadeira se houver uma demonstração matemática que a comprove.

Corolário: é uma proposição decorrente diretamente de um teorema qualquer. A validação do teorema “mãe” faz, quase que instantaneamente, o corolário ser demonstrado e, conseqüentemente, validado.

Problema: é uma proposição que exige solução, a qual deve ser obtida através de aplicações de preposições específicas (postulados, teoremas e corolários).

Forma: quando comparamos a aparência de algo com outro objeto qualquer, estamos avaliando a forma dos dois elementos. Por exemplo, se dizemos que uma determinada melancia se parece com uma bola de futebol, estamos querendo dizer que as formas de ambas são parecidas.

Dimensão: ao classificarmos objetos pelo tamanho, estamos avaliando a dimensão (altura) dos mesmos. Por exemplo, determinado cachorro é maior (dimensão: altura) que o outro.

OBS: No espaço tridimensional, todos os objetos têm três dimensões: altura, largura e espessura.

Ponto: é o mais simples dos elementos e o que dá suporte a todas as outras idéias. Entendê-lo é a parte mais importante e o suficiente para que possamos entender toda a geometria. Não existe definição para ponto, pois é um ente primitivo da Matemática, uma idéia que todo ser humano é capaz de compreender sem explicação. Mesmo assim, “o fato de ponto, reta, plano e espaço serem noções primitivas da Geometria não significa que não se possa reforçar a intuição do aluno a respeito dessas noções”. (ELON et al, 2004, p. 164).

TÓPICO 1 | DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA

5

Para indicar um ponto usamos uma letra maiúscula do nosso alfabeto.

Por exemplo, a ponta de um compasso nos dá a idéia de ponto.

Linha: é uma seqüência contínua de pontos.

O trajeto feito por um beija-flor ao beber o néctar das flores nos dá a idéia de linha.

Reta: se a distância entre dois pontos quaisquer de uma linha é a menor possível, então essa linha é chamada de reta. Para indicar uma reta, utilizamos uma letra minúscula do nosso alfabeto:

FIGURA 2: RETA

FONTE: AUTOR

O encontro de duas paredes nos dá a idéia de uma parte da reta.

Segmento de reta: Dados dois pontos distintos de uma reta qualquer, o trecho entre os dois pontos é denominado segmento de reta. Para indicar um segmento de reta, utilizamos as letras da extremidade.

FIGURA 3: SEGMENTO AB

FONTE: AUTOR

A parte da reta contida na intersecção de duas paredes nos dá a idéia de segmento de reta.

Se dois segmentos têm a mesma medida. Eles são chamados de segmentos congruentes. E indicamos por AB ≅ CD.

Semi-reta: um ponto A qualquer de uma reta a divide em duas partes, que são chamadas de semi-retas. Conseqüentemente, podemos dizer que uma semi-reta tem começo (no ponto que divide a reta), mas não tem fim. Para indicar uma semi-reta, basta considerar um ponto em cada uma das partes. Para determinar a direção da semi-reta referida, colocar uma flecha acima do ponto A e do ponto considerado.


6

→ →

FIGURA 4: SEMI-RETA

FONTE: AUTOR

Plano: é a região formada pelo deslocamento de uma reta por uma única direção. Para indicar um plano, ou parte dele, utilizamos uma letra do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), γ (gama),...

FIGURA 5: PLANO

FONTE: AUTOR

O deslocamento da concha de uma retro escavadeira ao espalhar um monte de barro nos dá a idéia de um plano. Assim também a folha desse caderno de estudo nos dá a idéia de plano.

3 PROPOSIÇÕES

A construção da geometria perpassa por proposições importantes. O aluno tem que ter familiaridade com os termos geométricos e notar a construção da matemática geométrica pelas proposições, percebendo que nada é por acaso. Todos os conceitos têm uma afirmação anterior devidamente comprovada.

Aparecerão também algumas novas definições que serão necessárias para um melhor entendimento das proposições, estas definições aparecem nesse momento e não anteriormente, para que o leitor possa ver sua conseqüência direta.

As proposições estão indicadas por P1, P2, P3, ... E as definições por Def1, Def2, Def3, ...

P1: Há um número infinito de pontos, retas e planos.

P2: Um ponto pertence a um número infinito de retas e planos.

P3: Uma reta contém infinitos pontos e pertence a infinitos planos.

P4: Um plano contém um número infinito de pontos e retas.


7

Def1: Três ou mais pontos são ditos colineares quando pertencem a uma mesma reta.

FIGURA 6: PONTOS COLINEARES

FONTE: AUTOR

AB

C

P5: Três pontos não colineares determinam um plano.

Para entender essa proposição, basta imaginar três pontos distintos e não colineares em uma mesa de cozinha. Por esses três pontos, podemos desenhar três retas distintas, tomando os pontos dois a dois. Usamos essas retas como direção de deslocamento e, com uma régua, desenhamos inúmeros segmentos de reta por toda a extensão dessas três direções. Quando desenharmos “todas” os segmentos de reta, verificaremos que a mesa ficará toda preenchida e, além disso, não há como desenharmos segmentos de reta fora da mesa. Concluiremos, então, que os três pontos iniciais foram suficientes para “construirmos” a superfície da mesa, o que é a nossa proposição inicial.

(ATENÇÃO)! Observe P5 no esquema abaixo. Se você continuar a preencher a

região limitada pelas retas, por segmentos de reta, teremos um plano.

UNI

FIGURA 7: TRÊS PONTOS FORMAM UM PLANO

FONTE: AUTOR


8

Def2: Duas ou mais retas são ditas coplanares quando pertencem a um mesmo plano.

FIGURA 9: RETAS CONCORRENTES

FONTE: AUTOR

Esse ponto A não é impróprio. Veremos a definição de elementos impróprios posteriormente.

ESTUDOS FUTUROS

Def4: Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam entre si ângulos de 90o.

FIGURA 10: RETAS PERPENDICULARES

FONTE: AUTOR

Quando r é perpendicular a s, indicamos por: r ⊥ s.Def5: Duas retas distintas são paralelas quando têm a mesma direção.

FIGURA 11: RETAS PARALELAS

FONTE: AUTOR


9

As retas r e s têm a mesma direção, ou seja, não possuem pontos em comum. Então, dizemos que r e s são retas paralelas e indicamos r // s.

Def6: Duas retas são reversas quando não existe um plano que contenha as duas ao mesmo tempo.

FIGURA 12: RETAS REVERSAS

FONTE: AUTOR

Para medir o ângulo formado por duas retas reversas, basta tomar um ponto A qualquer de da reta r e traçar por esse ponto uma nova reta t paralela à reta s. Agora, é só medir o ângulo entre a reta r e t.

FIGURA13: ÂNGULOS DE REVERSAS

FONTE: AUTOR

Se o ângulo formado por duas retas reversas for reto, podemos chamá-las de retas ORTOGONAIS, caso contrário, chamamos de retas OBLÍQUAS.


10

No próximo tópico, você estudará os principais tipos de ângulos.

IMPORTANTE

P6: Duas retas concorrentes determinam um plano.

P7: Dois planos distintos determinam uma reta a qual pertence aos dois. (Esta reta pode ser imprópria).

P8: Três planos distintos, que não contêm uma mesma reta em comum, determinam um ponto em comum. (Este ponto pode ser impróprio)

P9: Uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano.

P10: Uma reta pertence a um plano, quando pelo menos dois de seus pontos pertencem ao plano.

P11: Duas retas coplanares determinam um ponto comum. (Esse ponto pode ser impróprio)

4 ELEMENTOS IMPRÓPRIOS

É sabido que duas retas paralelas não terão pontos em comum. Porém, ao olharmos os trilhos de uma estrada de ferro, mesmo sabendo que eles nunca se tocarão, temos a nítida impressão que eles se encontram no “horizonte”. Com isso, temos a idéia de um “ponto de encontro”. Esse ponto é chamado de ponto impróprio.

Podemos estender a idéia para planos paralelos que, no infinito “se encontrarão”, formando uma reta imprópria. Imagine as paredes laterais de um grande corredor. Temos a impressão que elas se encontrarão no horizonte, formando uma reta imprópria.

Um plano impróprio necessita de elementos impróprios, por exemplo, um ponto (é preciso três) impróprio, ou uma reta (é preciso duas) imprópria.

11

Neste Tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da Geometria. A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para que você, caro(a) acadêmico(a), possa fixá-los melhor:

Definições fundamentais: Geometria, Forma Geométrica, Proposições Geométricas. Postulados, Teorema,

Corolário, Problema, Forma, dimensão, Linha, Reta, Segmento de Reta, Semi-reta, Plano, Retas Paralelas, Retas concorrentes e Retas Perpendiculares, Retas Reversas, Pontos Colineares, Retas Coplanares.

Proposições importantes: Há um número infinito de pontos, retas e planos. Um ponto pertence a um número infinito de retas e planos. Uma reta contém infinitos pontos e pertence a infinitos planos. Um plano contém um número infinito de pontos e retas. Duas retas concorrentes determinam um plano. Dois planos distintos determinam uma reta a qual pertence aos dois. (esta reta

pode ser imprópria) Três planos distintos, que não contêm uma mesma reta em comum, determinam

um ponto em comum. (este ponto pode ser impróprio) Uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano. Uma reta pertence a um plano, quando pelo menos dois de seus pontos

pertencem ao plano. Duas retas coplanares determinam um ponto comum. (esse ponto pode ser

impróprio) Elementos impróprios: “algo que não existe, mas nossos olhos vêem”.

RESUMO DO TÓPICO 1

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AUTOATIVIDADE

Para saber se você entendeu os conceitos desse tópico, responda as atividades a seguir.

1 Utilize as palavras ponto, reta ou plano, e escreva a idéia que você tem quando vê:

a) um campo de futsal.b) a marca de um lápis numa folha de papel.c) um fio da rede elétrica bem esticado.d) a porta da sua sala de aula.e) as linhas divisórias de uma quadra de basquete.f) uma estrela no céu.

2 Observe o paralelepípedo abaixo, e dê um segmento que seja congruente com:

a) o segmento ABb) o segmento BCc) o segmento CG

3 Ainda observando a figura da questão 2, dê um segmento que seja reverso com:

a) o segmento AEb) o segmento BCc) o segmento DC

4 O que são retas ortogonais?

5 Quantas retas podemos traçar passando por um ponto de um plano?

6 Quantas retas podemos traçar passando por dois pontos de um plano?

7 Marque, sobre uma reta r, quatro pontos distintos A, B, C, D. Quantos segmentos de reta você obteve?

8 Como podem ser duas retas de um mesmo plano, cuja intersecção não é vazia?

9 Sobre um mesmo plano são dados três pontos não colineares: A, B, C. Quantas semi-retas com origem em cada um desses pontos e passando por um dos outros pontos podem ser traçadas? Sugestão: faça a figura para dar a resposta.

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TÓPICO 2

CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Neste Tópico, você, caro(a) acadêmico(a) poderá familiarizar-se com o uso do compasso. Construiremos, passo a passo, os ângulos mais simples, veremos como dividi-los ao meio, permitindo, assim, a construção de vários outros.

Aproveitaremos também para definirmos o que é ângulo agudo, obtuso, reto e raso, bem como o que são ângulos complementares e suplementares.

Esses conceitos são fundamentais para facilitar a compreensão da geometria projetiva que veremos nas unidades posteriores.

2 DEFINIÇÃO ÂNGULO

Duas semi-retas, de mesma origem, formam duas regiões a que chamamos de ângulo.

FIGURA 14: ÂNGULO

FONTE: AUTOR

• O ponto O é o vértice do ângulo.

• As semi-retas e são os lados do ângulo.


14

Geralmente, usamos apenas o menor ângulo entre α e β.

ATENCAO

2.1 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

Podemos classificar os ângulos de acordo com a sua medida, conforme segue:

2.1.1 Ângulo Reto

É o ângulo de 90º. É importante para definirmos a idéia de perpendicularismo entre retas.

FIGURA 15: ÂNGULO RETO

FONTE: AUTOR

2.1.2 Ângulo Agudo

Todo ângulo menor que 90º.

FIGURA 16: ÂNGULO AGUDO

FONTE: AUTOR

TÓPICO 2 | CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO

15

Quando as duas semi-retas coincidem, podemos ter, também, um ângulo nulo.

IMPORTANTE

FIGURA 20: ÂNGULO NULO

FONTE: AUTOR

2.2 Ângulo Complementar

Dizemos que um ângulo α é complementar de um ângulo β, quando α + β = 90º. Em outras palavras, será complementar de um ângulo à medida que falta para completar 90º.

FIGURA 21: ÂNGULO COMPLEMENTAR

FONTE: AUTOR

Observe os seguintes exemplos:

1 Calcule o valor do ângulo x indicado na figura:

Resolução:A figura acima representa um ângulo reto, cuja medida é de 90o.


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De acordo com o problema, temos a seguinte equação:x + 2x +15o = 90o

3x = 90o – 15o

3x = 75o

x = 75o

3x = 25o

2 A metade da medida do suplemento de um ângulo é igual a 40o. Qual é a medida desse ângulo?

Resolução: Indicando a medida desse ângulo por x, a medida do complemento do

ângulo será indicada por 180o – x.

De acordo com o problema, temos a seguinte equação:

3 CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS DE 60º E 120º

São os ângulos mais simples que temos para construir, com exceção óbvia do 180º (ângulo raso) e do 360º.

3.1 ÂNGULO DE 60º

O processo é muito simples:

1º passo: Traçamos um segmento de reta qualquer e marcamos um ponto sobre esse segmento (mais ou menos ao meio).

FIGURA 23: 1º PASSO PARA 60º

FONTE: AUTOR


17

Repita cada passo numa folha para você internalizar o processo.

IMPORTANTE

2º passo: Colocar a ponta seca do compasso no ponto inicial, construir uma meia lua, e marcar

o ponto de intersecção entre a meia lua e o segmento de reta.


FONTE: AUTOR

3º passo: Mantendo a abertura do compasso que foi usada para construir a meia lua, coloque a ponta seca no ponto de intersecção marcado e trace uma marca sobre a meia lua.


FONTE: AUTOR

4º passo: Marque um ponto na intersecção da marca feita com o compasso e a meia lua, depois trace uma semi-reta que inicie no ponto inicial e passe por esse ponto.


FONTE: AUTOR


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Pronto! Temos um ângulo de 60º. Se quisermos fazer do outro lado, basta marcar o ponto do 2º passo no lado esquerdo ao invés do direito, como nós fizemos.

3.2 ÂNGULO DE 120º

Na verdade, ao construirmos um ângulo de 60º, como visto acima, acabamos construindo um ângulo de 120º também, basta olhar “o outro lado”. Isso acontece porque 120º é suplementar de 60º.

Veja o ângulo de 60º que construímos no item 3.1

FIGURA 27: ÂNGULO DE 120 º - ESQUERDA

FONTE: AUTOR

FIGURA 28: ÂNGULO DE 120 º - DIREITA

FONTE : AUTOR

Então, sabemos que, o lado esquerdo, é 120º

Se quisermos construir 120º no lado direito, basta fazer o 60º no lado esquerdo.

4 BISSETRIZ

É denominada bissetriz de um ângulo qualquer a semi-reta que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.


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FIGURA 29: BISSETRIZ

FONTE: AUTOR

A semi-reta divide o ângulo Ô em dois ângulos congruentes, AÔC ≅ CÔB.

Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

ATENCAO

4.1 COMO CONSTRUIR UMA BISSETRIZ

Usaremos apenas uma régua (pode ser o esquadro) e um compasso.

Sejam duas semi-retas com ponto inicial O e com um ângulo qualquer entre elas.

FIGURA 30: PASSO 0 PARA BISSETRIZ

FONTE: AUTOR

1º passo: Colocamos a ponta seca do compasso no ponto inicial e fazemos marcas nas duas semi-retas. A abertura do compasso tem que permanecer a mesma para as duas marcas.


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FIGURA 31: 1° PASSO PARA BISSETRIZ

FONTE: AUTOR

2º passo: Marcamos pontos de intersecções P1 e P2 entre as marcas feitas com o compasso e as semi-retas.


FONTE: AUTOR

3º passo: Arrumamos o compasso com uma abertura maior que a metade da distância entre P1 e P2. Colocamos a ponta seca em P1 e fazemos uma marca entre as semi-retas. Repetimos o procedimento com a ponta seca em P2. Essas marcas têm que ser feitas de tal forma que haja ponto em comum entre elas.


FONTE: AUTOR

4º passo: Marcar um ponto na intersecção P das duas marcas feitas no passo anterior. Traçar uma semi-reta com início em O e que passe por P. Essa semi-reta é a bissetriz do ângulo dado.


21

FIGURA 34: 4° PASSO PARA BISSETIRZ

FONTE: AUTOR

Se você repetiu cada passo numa folha, PARABÉNS. Se não, repita todo o processo para um melhor entendimento.

ATENCAO

5 ÂNGULOS DE 15º, 30º, 45º, 75º E 90º

Esses ângulos são muito usados, e veremos que, a partir da idéia de obtenção destes ângulos, poderemos construir vários outros.

5.1 ÂNGULO DE 30º

Passo 1: Construímos um ângulo de 60º como explicado anteriormente.Passo 2: Determinamos a bissetriz deste ânguloPronto, como a bissetriz divide o ângulo ao meio, temos um ângulo de 30º.

5.2 ÂNGULO DE 90º

1º Passo: Construa no mesmo desenho um ângulo de 60º e outro de 120º.

FIGURA 35: 1° PASSO PARA 90°

FONTE: AUTOR


22

2º Passo: Faça a bissetriz dos ângulos 60º e 120º.

FIGURA 36: 2° PASSO PARA 90°

FONTE: AUTOR

Pronto, a bissetriz marca um ângulo de 90º.

5.3 ÂNGULOS DE 15º, 45º E 75º

São bissetrizes de outras construções já vistas.O ângulo de 15º é a bissetriz entre os ângulos 0º e o 30º.O ângulo de 45º, por sua vez, é a bissetriz entre o 30º e o 60º.E, como você já deve ter percebido, o 75º é a bissetriz entre 60º e 90º.Vários outros ângulos podem ser construídos a partir da idéia de divisão

de ângulos.

Construa, numa folha, os ângulos de 15o, 45o e 75o e mostre o que você aprendeu.

IMPORTANTE

6 TRANSPOSIÇÃO DE ÂNGULO

Muitas vezes não sabemos a medida de um ângulo e precisamos transpô-lo sobre uma reta qualquer. Veremos, agora, como isso é feito.

Não esqueça de repetir cada passo do processo numa folha para facilitar o entendimento.

IMPORTANTE


23

Considere o ângulo BÔA, que iremos transpor para sobre uma reta.

FIGURA 37: ÂNGULO PARA TRANSPOR

FONTE: AUTOR

1º passo: Desenhe uma reta qualquer e marque um ponto O’ sobre a mesma.

FIGURA 38: 1° PASSO PARA TRANSPOR

FONTE: AUTOR

2º passo: Abra o compasso na medida OA, e trace um arco com essa medida, colocando a ponta seca sobre O’. Na intersecção desse arco com a reta, marque o ponto A’.


FONTE: AUTOR

3º passo: Abra o compasso na medida AB, e trace um arco com essa medida, colocando a ponta seca sobre A’, cortando o arco anterior. Na intersecção dos arcos, marque o ponto B’.


24


FONTE: AUTOR

4º passo: Trace uma semi-reta com origem O’ e que passe por B’.


FONTE: AUTOR

Pronto, o ângulo B’Ô’A’ é a transposição do ângulo BÔA

25

RESUMO DO TÓPICO 2

Neste Tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da Geometria. A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para que você, caro(a) acadêmico(a), possa fixá-los melhor:

A região formada por duas semi-retas, de mesma origem, é chamada de ângulo.

Classificação dos ângulos:

ângulo agudo: menor que 90o

ângulo reto: igual a 90o

ângulo obtuso: maior que 90o e menor que 180o

ângulo raso: igual a 180o

ângulo de uma volta: igual a 360o

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for igual a 90o.

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for igual a 180o.

Como construir os principais ângulos: 15o, 30o, 45o, 60o, 75o, 90o, 120o.

Bissetriz de um ângulo qualquer é a semi-reta que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.

Como construir a bissetriz de um ângulo utilizando apenas régua e compasso.

Transposição de ângulos usando apenas régua e compasso.

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AUTOATIVIDADE

Para que você, caro acadêmico, possa melhor fixar o conteúdo, procure responder as seguintes auto-atividades.

1 A medida de um ângulo é igual a medida do seu complemento aumentada de 60o. Qual é a medida desse ângulo?

2 Sabendo que o dobro da medida de um ângulo é igual ao suplemento desse ângulo, podemos dizer que este ângulo é:

a) rasob) agudoc) retod) obtuso

3 Se a soma de um ângulo com a quarta parte de seu complemento é igual a um ângulo raso, qual é a medida desse ângulo e como podemos classificá-los?

4 Determine o valor de x em cada uma das figuras:

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5 Utilizando somente régua e compasso, desenhe os seguintes ângulos:a) 15o b) 30o

c) 45º d) 75o

e) 105o f) 135o

6 Usando compasso e régua transponha o ângulo TÂG para a reta r.

28

29

TÓPICO 3

CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS

PERPENDICULARES.

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Reservamos este espaço para que o aluno aprenda a construir retas paralelas e perpendiculares, bem como consiga definir e construir a mediatriz de um segmento.

Para um bom desempenho, aconselhamos o uso de dois esquadros (30º e 45º) e um compasso, embora todos as construções possam ser feitas com a substituição de um dos esquadros por uma régua. Exemplificaremos, levando em conta a disposição de dois esquadros.

2 RETAS PARALELAS

Já vimos, no Tópico 1, a definição de retas paralelas. Vimos também que duas retas paralelas “geram” um ponto impróprio (que é “o ponto de encontro” das retas no infinito). Agora, vamos aprender como construir retas paralelas a uma reta r qualquer.


IMPORTANTE

Veja:Seja uma reta r qualquer:

______________________________________ rFIGURA 42: RETA QUALQUER

FONTE: AUTOR

30


1º passo: Apóie um dos esquadros sob a reta r. Esse esquadro será o 1.

FIGURA 43: 1° PASSO PARA PARALELISMO

FONTE:AUTOR

2º passo: Coloque o segundo esquadro abaixo do primeiro. Esse será o esquadro 2.

FIGURA 44: 2° PASSO PARA O PARALELISMO

FONTE: AUTOR

3º passo: Segure o esquadro 2 firmemente, e faça o esquadro 1 “deslizar” pelo 2.


FONTE: AUTOR

TÓPICO 3 | CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES.

31


FONTE: AUTOR

4º passo: Sem mexer no esquadro 1, tire o esquadro 2 e trace uma reta s paralela a r. Notação de paralelismo: r // s.

FIGURA 46: 4° PASSO PARA PARALELISMO

FONTE: AUTOR

Pronto! Temos duas retas paralelas entre si.

Podemos colocar essa reta s em qualquer lugar. Basta “levá-la” com os esquadros apoiando o que irá se deslocar no outro fixo repetidas vezes.

Se você quiser fazer a reta s acima da reta r, basta deslocar o esquadro 1 para cima, no passo 3.

ATENCAO


32

3 RETAS PERPENDICULARES

No tópico passado, aprendemos a construir um ângulo reto e podemos usar aquele conhecimento para construir duas retas perpendiculares. Contudo, nesse espaço, faremos isso usando os esquadros, apenas por ser uma forma mais rápida.

1º passo: Desenhe uma reta r, apóie um dos esquadros nessa reta.

FIGURA 47: 1° PASSO PARA PERPENDICULARISMO

FONTE: AUTOR

2º passo: Afaste este esquadro da reta r usando os mesmos procedimentos vistos na construção de retas paralelas (2º e 3º passos)

FIGURA 48: 2° PASSO PARA O PERPENDICULARISMO

FONTE: AUTOR

3º passo: Deixe o esquadro 1 bem firme e apóie um dos catetos do esquadro 2 em cima dele.


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FONTE: AUTOR

4º passo: Trace a reta s, perpendicular à r. Notação de perpendicularismo: r ⊥ s


FONTE: AUTOR

Se você repetiu cada passo numa folha, PARABÉNS. Se não, repita todo o processo para um melhor entendimento.

ATENCAO


34

4 MEDIATRIZ

Dado um segmento de reta AB, mediatriz será a reta que divide o segmento de reta AB em duas partes congruentes. Em outras palavras, é a reta que passa no meio de AB. Ou ainda, “a mediatriz de um segmento AB é a reta m perpendicular à AB, passando pelo ponto médio M desse segmento”. (RUBIÓ, 2005, p.200)

Veremos como construir a mediatriz de um dado segmento AB:1º passo: Faça um segmento AB

FIGURA 51: 1° PASSO PARA MEDIATRIZ

FONTE: AUTOR

2º passo: Abrir o compasso com uma medida maior que a metade do segmento AB. Colocar a ponta seca em A e construir um arco (marcação longa) que intercepte o segmento AB, como abaixo:


FONTE: AUTOR

3º passo: Repetir o 2º passo com a ponta seca do compasso em B, na intersecção dos arcos marcar os pontos P1 e P2.


35


FONTE: AUTOR

4º passo: Passar uma reta sobre os dois pontos de intersecções P1 e P2, obtidos através das marcações feitas nos dois passos anteriores.

FIGURA 54: 4° PASSO DA MEDIATRIZ

FONTE: AUTOR

A reta que passa pelos pontos P1 e P2 é a mediatriz do segmento AB.

36


5 TRANSPOSIÇÃO DE IMAGEM

Através de um exemplo, mostraremos como reproduzir uma imagem utilizando apenas régua, esquadro, compasso e os conhecimentos adquiridos nos itens anteriores.

Observe o seguinte exemplo:

A figura a seguir representa a vista de cima do telhado de uma empresa. Utilizando compasso e esquadros, reproduza essa figura, na mesma escala.

FIGURA 55: TRANPOSIÇÃO DE IMAGEM

FONTE: AUTOR

Para reproduzir essa figura, precisamos usar todos os conteúdos vistos até aqui, além, é claro, de uma boa criatividade.


IMPORTANTE

1º passo: Representar os vértices da figura por letras maiúsculas.

FIGURA 56: 1° PASSO – TRANSPOR IMAGEM

FONTE: AUTOR


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2º passo: Traçar um segmento de medida O’E’. Para isso, basta abrir o compasso na medida OE e marcar esse comprimento sobre uma reta suporte.


FONTE: AUTOR

3º passo: Faça uma reta perpendicular a O’E’ que passe pelo ponto O’. Veja no item 3 (retas perpendiculares) como se faz.


FONTE: AUTOR

4º passo: Abra o compasso na medida OA e com a ponta seca em O’ marque na reta perpendicular o ponto A’.


FONTE: AUTOR

38


5º passo: Trace uma reta paralela a O’E’ passando por A’. Veja no item 2 (retas paralelas) como se faz.


FONTE: AUTOR

6º passo: Trace uma reta paralela a O’A’ passando por E’. Veja no item 2 (retas paralelas) como se faz. Marque o ponto U’ na intersecção das duas últimas retas traçadas.

FIGURA 61: 6° PASSO A – TRANSPOR IMAGEM

FONTE: AUTOR

Já temos o contorno do telhado, falta transpor os ângulos Â, Ô, Ê, Û. Faremos isso de maneira bem simples, é só observar os próximos passos.

FIGURA 62: 6° PASSO B – TRANSPOR IMAGEM

FONTE: AUTOR


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7º passo: Abra o compasso na medida AB e, com a ponta seca em A’, trace um arco.


FONTE: AUTOR

8º passo: Abra o compasso na medida OB e, com a ponta seca em O’, trace um arco. Na intersecção desses arcos, marque o ponto B’.


FONTE: AUTOR

9º passo: Repita o 7º e 8º passo, mas, abrindo o compasso em EC e UC, temos o ponto C’.

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FONTE: AUTOR

10º passo: Traçar um segmento de reta entre: O’ e B’, A’ e B’, B’ e C’, E’ e C’, U’ e C’.


FONTE: AUTOR

O compasso e a régua (sem escala) são conhecidos como instrumentos euclidianos, pois os postulados dos Elementos de Euclides restringem o uso da régua e do compasso de acordo com as regras:- com a régua permite-se traçar uma reta de comprimento indefinido, passando por dois pontos distintos dados.- com o compasso, permite-se traçar uma circunferência com centro num ponto dado, passando por um segundo ponto qualquer dado. O traçado de construções geométricas com régua e compasso mostrou-se ser um dos jogos mais fascinantes e absorventes jamais inventados. (EVES, 2004, p. 134)

NOTA


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LEITURA COMPLEMENTAR

Compasso ou Régua Apenas?Howard Eves

O geômetra e poeta italiano do século XVIII, Lorenzo Mascheroni (1750-1800), fez a surpreendente descoberta de que todas as construções euclidianas, na medida em que os elementos dados e procurados são pontos, podem ser feitas apenas com o compasso, sendo a régua, portanto um instrumento supérfluo. Obviamente, não se pode traçar uma reta com o compasso, mas qualquer reta a que se chegue numa construção euclidiana pode ser determinada com o compasso apenas encontrando-se dois de seus pontos. Essa descoberta foi revelada em 1797 na Geometria Del Compaso, de Mascheroni.

Como numa construção euclidiana encontram-se novos pontos, a partir de pontos antigos, (1) pela intersecção de duas circunferências, (2) pela intersecção de uma reta e uma circunferência ou (3) pela intersecção de duas retas, tudo que Mascheroni tinha de fazer era mostrar como, apenas com o compasso, se podiam resolver os problemas (2) e (3), entendendo-se por reta dois de seus pontos dados.

Pouco antes de 1928, um aluno do matemático dinamarquês J. Hjelmslev (1873-1950), ao perlustrar as prateleiras de uma livraria em Copenhague, deparou com um velho livro, Euclides danicus, publicado em 1672 por um escritor obscuro chamado Georg Mohr (1640-1679). Depois de examinar o livro, Hjelmslev se surpreendeu ao verificar que ele continha a descoberta de Mascheroni, com uma publicação que antecedia a publicação de Mascheroni em 125 anos. Em 1890, o geômetra vienense August Adler (1863-1923) publicou uma nova demonstração dos resultados de Mascheroni fazendo uso da transformação de inversão.

Inspirando-se na descoberta de Mascheroni, o matemático francês Jean Victor Poncelet (1788-1867) considerou as construções com régua apenas. Nesse caso, nem todas as construções podem ser levadas a efeito mas, curiosamente, contando-se com uma circunferência e seu centro traçados no plano de construção, a régua se torna suficiente para essas construções. Esse teorema foi concebido por Poncelet em 1822 e, mais tarde, em 1833, desenvolvido plenamente pelo gênio do geômetra suíço-alemão Jacob Steiner (1796-1863). O que se precisa mostrar agora é que, contando-se com a circunferência e seu centro, as construções (1) e (2) podem ser efetuadas com a régua apenas, entendendo-se que uma circunferência fica dada pelo seu centro e um de seus pontos.

Por volta do ano 980, o matemático árabe Abûl-Wefã (940-998) propusera o uso da régua junto com um compasso enferrujado,i sto é, um compasso de abertura fixa. Em vista do teorema de Poncelet-Steiner precisamos, na verdade, usar o compasso apenas uma vez, depois do que podemos abandoná-lo. Em 1904, o italiano Francesco Severi foi ainda além e mostrou que tudo de que se

42


precisa é um arco, por menor que seja, de uma circunferência e seu centro, a fim de levar a termo todas as construções euclidianas com régua apenas. Também foi demonstrado, por Adler e outros, que se pode realizar qualquer construção euclidiana com uma régua de duas bordas, não importa se estas sejam ou não paralelas. Há muitos teoremas de construção intrigantes como estes, cujas demonstrações requerem engenhosidade considerável.

Recentemente, mostrou-se que o supramencionado Georg Mohr era o autor de um opúsculo publicado anonimamente em 1673, com o título de Compendium Euclidis curiosi, no qual se prova efetivamente que todas as construções de Elementos de Euclides são possíveis com régua e compasso enferrujado.

FONTE: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da UNICAMP, 2004. p.587 – 588.

43

RESUMO DO TÓPICO 3

Neste Tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da Geometria. A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para que você, caro acadêmico, possa fixá-los melhor:

Como construir retas paralelas utilizando apenas dois esquadros.

Como construir retas perpendiculares usando apenas dois esquadros.

Mediatriz será a reta que divide o segmento de reta AB em duas partes congruentes.

Como construir a reta mediatriz usando régua e compasso.

Como transpor figuras.

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AUTOATIVIDADE

Com vistas a que você, caro(a) acadêmico(a), possa melhor fixar os conteúdos, apresentamos, em seguida, alguns exercícios referentes ao conteúdo estudado:

1 Utilize dois compassos e trace uma reta paralela a cada reta dada.

a)

b)

2 Trace uma reta perpendicular a cada reta dada.

a)

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b)

3 Trace a mediatriz do segmento AB.

4 Utilizando compasso e esquadro, reproduza figura a seguir, na mesma escala.

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47

UNIDADE 2

SISTEMAS DE PROJEÇÕES


PLANO DE ESTUDOS

Esta unidade tem por objetivos:

• Conhecer e identificar os tipos de projeções.

•Familiarizar-se com as nomenclaturas usadas na projeção.

•Verificar a diferença entre sistema cônico e sistema cilíndrico.

•Entender e construir o sistema mongeano e a épura.

•Definir afastamento, cota e abscissa.

•Projetar um ponto na épura e dar sua localização.

Esta unidade está dividida em quatro tópicos. Ao final de cada tópico, vocês encontrarão atividades que lhe ajudarão na fixação da aprendizagem.

TÓPICO 1 – PROJEÇÕES

TÓPICO 2 – SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO

TÓPICO 3 – SISTEMA MONGEANO

TÓPICO 4 – PROJEÇÃO DE UM PONTO

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TÓPICO 1

PROJEÇÕES

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Podemos afirmar que o pai da Geometria Descritiva foi Gaspar Monge, um sábio desenhista francês e excepcional geômetra, que a definiu como sendo a “arte” de representar figuras espaciais num plano.

Essa forma de representação permite trabalhar todos os problemas

tridimensionais com desenhos feitos num plano.

Para conseguirmos representar um objeto tridimensional num plano, usamos projeções. A seguir, estudaremos as principais formas que existem para projetarmos uma figura espacial. O cuidado que temos que tomar é que, ao projetarmos uma figura espacial num plano, acabamos perdendo detalhes deste objeto. Essa perda pode ser insignificante, mas também pode ser importantíssima para a compreensão total do objeto original.

Imaginem se, ao ler uma planta de alguma construção, o engenheiro não fosse capaz de obter com exatidão o seu tamanho, a distância entre os pilares, etc. Por isso, Monge fez algumas adaptações nos sistemas de projeção existentes, conseguindo extrair todos os detalhes necessários para solucionar os problemas de um objeto tridimensional.

Nessa Unidade, estudaremos os sistemas que serviram de base para Monge e evoluiremos até chegarmos ao Sistema Mongeano.

2 O QUE É PROJEÇÃO

Projeção é o processo pelo qual incidem raios sobre um objeto em um plano chamado plano de projeção.

A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de projeção.

UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES

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Como os objetos têm três dimensões, sua representação num plano bidimensional se dá através de alguns artifícios de desenho. Para tanto, são considerados os elementos básicos da projeção:

Plano de projeçãoObjetoRaio projetanteCentro de projeção

Não há motivo para complicarmos o que é projeção porque a idéia de projeção é quase que intuitiva, uma vez que sua ocorrência se dá em diversos segmentos do nosso cotidiano. Trata-se de um fenômeno físico que acontece normalmente na natureza ou que pode ser produzido artificialmente pelo homem.

Vejam os seguintes exemplos dados por Rabello (2005, p.11):

1º) “Ao incidirem sobre uma placa opaca, os raios solares produzem sobre a superfície de um piso claro, uma figura escura a que chamamos comumente de sombra. O contorno da sombra nada mais é que a projeção do contorno da placa na superfície do piso”.

Plano de projeção: superfície do pisoObjeto: PlacaRaio projetante: raios solaresCentro de projeção: sol

FIGURA 67: PROJEÇÃO DE FIGURA

FONTE: AUTOR

2º) “As imagens que vemos numa tela de cinema são as projeções dos fotogramas contidos na fita de celulóide quando sobre eles incidem os raios luminosos emitidos pela lâmpada do projetor”.

TÓPICO 1 | PROJEÇÕES

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Plano de projeção: tela do cinemaObjeto: os fotogramas da fitaRaio projetante: raios luminosos da lâmpadaCentro de projeção: a lâmpada do projetor

O contorno da sombra, assim como as imagens produzidas na tela de cinema são figuras projetadas em superfícies de projeção identificadas nos exemplos, respectivamente, na superfície do piso e na tela de cinema (Planos de projeção).

Em linguagem matemática, podemos formalizar a seguinte definição:

Projeção é o conjunto de operações geométricas que permitem obter a figura formada pelos pontos de interseção dos raios projetantes que partem de um centro projetivo e incidem sobre uma figura do espaço, com uma superfície.

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RESUMO DO TÓPICO 1

Neste Tópico, você, caro(a) acadêmico(a) teve oportunidade de estudar os seguintes conteúdos:

Gaspar Monge é considerado por muitos o “pai” da projeção espacial num plano;

Projeção é a “sombra” obtida de um objeto num plano

Obtivemos a noção de: Plano de Projeção Objeto Raio Projetante Centro de Projeção

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AUTOATIVIDADE

Caro acadêmico, para que você possa melhor fixar os conteúdos estudados neste Tópico, procure resolver estas atividades:

1 Um carro estacionado sob um poste com luz ligada, à noite, em uma rua, tem sua sombra projetada sobre a rua. Identifique, no problema, o plano de projeção, o centro de projeção, o raio projetante e o objeto.

2 Dê um exemplo observado no cotidiano de alguma projeção.

3 Em qual(is) ramo(s) da(s) atividade(s) humana(s) você acha que a projeção ajudará para o estudo de objetos?

4 Na sua opinião, qual a vantagem de se estudar apenas a projeção de um objeto ao invés de estudar o próprio objeto?

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TÓPICO 2

SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

A forma de representar desenhos evoluiu ao longo dos anos. É sempre benéfico estudarmos, mesmo que de forma superficial, os sistemas que foram usados e que em alguns casos ainda o são.

Neste Tópico, apresentaremos dois sistemas muito importantes, para que o aluno tenha conhecimento de sua existência.

2 SISTEMA CÔNICO

É o sistema de projeção em que os raios projetantes partem de um ponto “visível”. Esse ponto será o vértice do cone, que se formará entre esse ponto, o objeto e a sua projeção no plano de projeção. Esse tipo de projeção acontece quando o centro de projeção (fonte de luz) está a uma distância finita do objeto. Nesse caso, o ponto de vértice recebe o nome de ponto próprio.

Veja no desenho:

FIGURA 68: SISTEMA CÔNICO

FONTE: AUTOR


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Esse sistema faz com que a projeção não represente o tamanho verdadeiro do objeto. Não é difícil notar que quanto mais próximo do objeto o centro de projeção estiver, maior será a distorção entre o tamanho original e a projeção. Para que isso não ocorra, o método mais utilizado é o cilíndrico.

3 SISTEMA CILÍNDRICO

No sistema anterior (cônico) foi visto que, quanto mais próximo o centro de projeção estiver do objeto, pior será a comparação entre tamanho do objeto e tamanho da projeção. Lembre-se que nosso objetivo é projetar o objeto de tal forma que a projeção nos indique tudo sobre o mesmo, e quanto mais rápido e fácil for a leitura, melhor. Para tanto, basta afastar o centro de projeção o máximo que pudermos. Esse máximo será o infinito.

Portanto, sistema cilíndrico é quando o centro de projeção se encontra no infinito, nesse caso esse ponto é chamado de impróprio.

Como o centro de projeção está no infinito, os raios de projeção são paralelos entre si, tornando a projeção do mesmo tamanho que o objeto original.

Observe no desenho:

FIGURA 69: SISTEMA CILÍNDRICO

FONTE: AUTOR

Lembrem que esse ponto no infinito é um ponto impróprio.

UNI

TÓPICO 2 | SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO

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Esse tipo de projeção é excelente, pois dá uma indicação precisa do tamanho do objeto, sem precisarmos de cálculos auxiliares de proporção e trigonometria. Uma escala direta será o bastante.

A projeção cilíndrica é dividida em ortogonal e oblíqua. Uma idéia simples para entender é pensar que a ortogonal é quando o centro de projeção é o “sol do meio dia”, e a oblíqua seria quando o centro de projeção é o “sol das outras horas”.

Veja:

FIGURA 70: SISTEMA CILÍNDRICO – OBLÍQUO E ORTOGONAL

FONTE: AUTOR

O que utilizaremos é a projeção cilíndrica ortogonal, por motivos de facilidade e transparência na relação entre objeto e projeção no plano, que é o maior objetivo da geometria descritiva.

Contudo é notório que, mesmo com a projeção cilíndrica, muitas características do objeto se perdem principalmente se for complexo como uma casa, um prédio, uma ponte, um viaduto, etc.

Pensando nisso é que Monge criou seu sistema de projeção, que consiste em projetar o objeto em dois planos ortogonais, um plano horizontal (PH) e um Plano Vertical (PV) que será estudado no próximo tópico.


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4 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS X PROJEÇÕES CÔNICAS

Apesar do sistema de projeção cônica não representar o tamanho real do objeto como o sistema de projeção cilíndrico, ele aparece com freqüência nas revistas em quadrinhos e até mesmo nosso dia a dia.

O texto a seguir (HARRIS; SCALO, 2008), analisa perfeitamente essa situação.

Observe por 1 minuto a figura a seguir e tente compreendê-la tridimensionalmente.

FIGURA 71 - QUADRINHO USANDO PROJEÇÃO CILÍNDRICA

FONTE: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M2.htm Acesso em: 29 de Mai. 2008

Observe agora a seguinte figura.

FIGURA 72 - QUADRINHO USANDO PROJEÇÃO CÔNICA

FONTE: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M2.htm Acesso em: 29 de Mai. 2008

TÓPICO 2 | SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO

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Qual das duas você compreende melhor?

Na primeira figura, foi usada uma técnica de projeção cilíndrica e na segunda uma técnica de projeção cônica.

Embora as duas figuras sejam projeções bidimensionais de uma situação tridimensional, a segunda figura parece-nos mais familiar.

Isto se dá devido ao fato deste tipo de projeção estar mais próximo a como nossos olhos vêem.

Quando observamos o desenho a seguir,

FIGURA 73: - UMA VISÃO CÔNICA

FONTE: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M2.htm Acesso em: 29 Mai. 2008

Embora saibamos que trilhos da linha de trem são paralelos e, portanto, “nunca deveriam se encontrar”, podemos ver seu encontro: “eles se encontram num ponto de fuga (PF)”. Como este ponto é real apenas para nossos olhos, dizemos que duas paralelas se encontram sim, mas no infinito, onde está seu centro de projeções impróprio. (0∞).

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RESUMO DO TÓPICO 2

Amigo acadêmico, apresentamos, a seguir, de maneira resumida, os conteúdos apresentados neste Tópico, a fim de que você possa revê-los e fixá-los melhor:

Sistema cônico é quando o ponto de projeção está a uma distância finita do objeto.

No sistema cônico o real tamanho da figura não é mantida, dificultando o estudo do objeto apenas pela projeção.

O sistema cilíndrico tem como ponto de projeção um ponto impróprio, ou seja, o seu ponto de projeção está no infinito.

Dentro do sistema cilíndrico podemos ter o caso oblíquo e o ortogonal. Este último é mais usado por manter as proporções do objeto mais fidedignas.

A base do sistema mongeano é o sistema de projeção cilíndrico ortogonal.

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AUTOATIVIDADE

Caro acadêmico, com vistas a uma melhor fixação dos conteúdos estudados neste tópico, procure resolver os exercícios que seguem:

1 Comente os tipos de sistemas de projeção estudamos neste tópico.

2 Por que o sistema cilíndrico é considerado melhor que o sistema cônico?

3 Apresente os problemas podem ocorrer ao estudarmos uma projeção obtida por um sistema de projeção oblíqua.

4 Você consegue imaginar no cotidiano uma situação perfeita de uma projeção cilíndrica? Justifique.

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TÓPICO 3

SISTEMA MONGEANO

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Poderíamos ter juntado este tópico com o anterior, mas o sistema Mongeano é tão usado atualmente que preferimos dar uma ênfase especial ao falarmos dele.

Como esse sistema é o adotado no mundo das projeções, o assunto é tratado de forma bem completa, para que o aluno consiga entender e visualizar seu formato e suas nomenclaturas.

2 SISTEMA MONGEANO

Para suprir os problemas da projeção de um objeto em um único plano, Monge bolou um sistema de dupla projeção simultânea. O objeto é projetado, ao mesmo tempo, num plano horizontal (PH) e num plano vertical (PV). Verifique:

FIGURA 74: SISTEMA MONGEANO

FONTE: AUTOR

64


Notem que, na figura, estamos projetando um círculo que estava situado no espaço, em dois planos. No plano horizontal (PH), vimos a circunferência exatamente como ela é. No plano vertical (PV) vimos apenas um segmento de reta. Embora pareça que o PH já seria suficiente, é o PV que nos dá a certeza que o objeto é apenas um círculo. Além do mais, sem o PV não saberíamos a localização do objeto.

Observem também que os planos horizontais e verticais repartem o espaço em quatro subespaços a que chamamos de diedros. A intersecção entre os dois espaços é chamada de Linha de Terra.

Embora, a figura acima seja muito bonita, ela não é fácil de desenhar, pois estes planos ortogonais complicam bastante. Contudo, não precisamos desenhá-los, basta lembrarmos que eles existem, e isso é fundamental. Nós usaremos a épura para representar os desenhos projetados no sistema mongeano. Com a épura, o desenho fica facílimo, mas sua leitura só fica clara quando lembrarmos onde e de como ela fora obtida.

3 ÉPURA

Nada mais é que o modo de apresentação e como desenhamos uma projeção no sistema mongeano. Com este modo, o desenho de qualquer objeto se resume a alguns segmentos de reta.

Cabe salientar aos alunos, novamente, que é importantíssimo entender bem como é conseguida a épura, pois a sua leitura fica óbvia quando os conceitos básicos estão entendidos.

A épura vem da rotação do plano horizontal (PH) até se encontrar ao plano vertical (PV). Ao ser feito isso, parecerá que temos um único plano, o que facilita muito na hora de desenhar, mas que exige cautela na hora de fazer sua leitura.

Obtendo a épura:

Para facilitar a visualização, imaginaremos um ponto P no 1º diedro, com projeção P’ no PVS e projeção P’’ no PHA.

TÓPICO 3 | SISTEMA MONGEANO

65

FIGURA 75: DUPLA PROJEÇÃO ORTOGONAL

FONTE: AUTOR

Agora faremos a rotação, no sentido horário, do plano horizontal até que ele coincida com o plano vertical.

FIGURA 76: REBATIMENTO DO PH

FONTE: AUTOR

A rotação do plano horizontal de 90o feita acima é conhecida como rebatimento.

UNI

66


Temos, então, a sobreposição de dois planos. Visualizando esta sobreposição de frente, fica bem evidente a facilidade de desenhar.

FIGURA 77: OBTENÇÃO DA ÉPURA

FONTE: AUTOR

Onde: PH – Plano Horizontal PV – Plano Vertical PVS – Semi-plano Vertical Superior PVI – Semi-plano Vertical Inferior PHA– Semi-plano Horizontal Anterior PHP – Semi-plano Horizontal Posterior LT – Linha de Terra

Todos os desenhos das projeções no sistema mongeano serão feitos na épura, que é esta última etapa desenhada acima.

Na épura são representadas exclusivamente as projeções de uma determinada figura.

UNI

O segmento de reta que liga as projeções P’ e P’’ é chamado de linha de chamada e é perpendicular à Linha de terra.

A Linha de Terra em épura pode ser representada por LT ou pelas letras x e y nas suas extremidades, mas o usual é colocarmos dois pequenos traços nas extremidades como mostra a figura acima.

TÓPICO 3 | SISTEMA MONGEANO

67

4 COTA E AFASTAMENTO

Trabalhar com a projeção na épura é muito vantajoso devido à facilidade de desenhar, embora a leitura requeira certo conhecimento e cuidado.

Para dar a localização de um ponto no espaço necessitamos de duas medidas: a cota e o afastamento.

Vamos visualizar novamente uma épura com a projeção obtida de um ponto P:

FIGURA 78: ÉPURA

FONTE: AUTOR

A cota do ponto P será a exata distância entre P’’ e a Linha de Terra (LT). Podemos pensar como sendo a “altura” do ponto P, ou a distância entre o ponto e o plano horizontal (PH).

O afastamento do ponto P será a exata distância entre P’ e a Linha de terra (LT). Podemos pensar como sendo o deslocamento lateral do ponto P, ou a distância entre P e o plano vertical (PV).

Para reforçar, Pinheiro (1990, p. 12) explica da seguinte maneira: “a distância de um ponto ao plano horizontal (π) de projeção denomina-se cota; a distância de um ponto ao plano vertical (π’) de projeção denomina-se afastamento”.

A cota e o afastamento constituem as coordenadas de um ponto, mas não são suficientes para a exata localização desse ponto no espaço, pois temos uma infinidade de pontos com a mesma cota e afastamento.

Precisamos então de mais uma coordenada, a abscissa, que tomamos a

partir de um ponto marcado arbitrariamente sobre a linha da terra, denotado por 0 (zero), que chamaremos de origem do sistema. Quando a abscissa estiver situada à direita da origem ela é positiva, e se estiver à esquerda ela é negativa.

68


Observe na figura abaixo a representação da abscissa, da cota e do afastamento no sistema mongeano e na épura.

FIGURA 79: COMPARAÇÃO – SISTEMA MONGEANO X ÉPURA

FONTE: AUTOR

Podemos dizer que, no sistema mongeano, a abscissa é a menor distância entre a origem (0) é o ponto de intersecção das projeções(I). Na épura é a menor distância entre a origem e a linha de chamada.

Assim, um ponto fica definido por três coordenadas: abscissa (a), afastamento (b) e cota (c), nessa ordem, P[a, b, c].

69

RESUMO DO TÓPICO 3

Para que você, caro acadêmico, possa melhor relembrar os conteúdos estudados neste Tópico, apresentamos, a seguir, um breve resumo dos mesmos:

Sistema mongeano: dupla projeção ortogonal, uma projeção com ponto de projeção acima do objeto (dando a projeção no plano horizontal PH) e outra com ponto de projeção ao lado do objeto (gerando a projeção no plano vertical PV)

Épura: é obtida através da rotação do Plano Horizontal. É o método mais utilizado por preservar todas as informações importantes e por ser muito fácil de desenhar e manipular.

Linha de terra: é a reta de intersecção entre o PV (plano vertical) e o PH (plano horizontal). Também podemos notar sua presença na épura, dividindo esta ao meio.

Linha de chamada: é o segmento de reta que une as projeções P’ e P’’ de um ponto.

Cota: é a “altura” de um ponto no espaço. Na épura é a exata distância entre a LT e P’’.

Afastamento: é a “distância lateral” de um ponto no espaço. Na épura é a distância entre a LT e P’.

Abscissa: é a distância da origem do sistema a intersecção das projeções. Na épura é a distância entre a origem e a linha de chamada.

70

AUTOATIVIDADE

É importante que você responda as questões abaixo, COM SUAS PRÓPRIAS PALAVRAS, para que você se aproprie das definições que serão usadas nos próximos tópicos.

1 Escreva o que você entende por rebatimento.

2 Como você explicaria a alguém o que significa:

a) cota:

b) afastamento:

c) abscissa:

3 Faça as projeções do ponto P no PH e PV, e destaque a cota, o afastamento e a abscissa na figura abaixo. (você pode usar a técnica de retas paralelas, vista no tópico1, para desenhar as projeções):

4 Faça o rebatimento dos planos da figura da questão 4 para obter a épura, e destaque a cota o afastamento e a abscissa.

71

TÓPICO 4

PROJEÇÃO DE UM PONTO

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

A projeção de um ponto é bem fácil de aprender e muito importante, porque, se imaginarmos toda e qualquer forma geométrica como um conjunto de pontos, bastará generalizar a idéia aprendida sobre os pontos e expandir para as outras formas.

É exatamente nisso que nos baseamos ao organizarmos esse material, reforçar bastante a projeção de ponto e de reta para que depois o aluno possa “caminhar” sozinho na planificação de figuras mais complexas.

Neste tópico daremos a noção exata de como projetar um ponto na épura, mostraremos o que acontece com a cota e com o afastamento quando o ponto se encontra nos quatro diedros e, por fim, conseguiremos saber o diedro de origem do ponto no espaço apenas observando o sinal da cota e do afastamento. Não levaremos em conta a abscissa do ponto, pois ela não interfere no sinal da cota e do afastamento.

2 PROJEÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA

Quando olhamos a épura, temos que lembrar que o que vimos é a projeção do ponto P inicial e não o próprio ponto P. Esta noção, apesar de óbvia, causa muita confusão nos alunos mais distraídos.

72


FIGURA 80: PONTO DO 1° DIEDRO

FONTE: AUTOR

Notem que, além da economia de espaço e de informações pouco importantes, podemos fazer algumas generalizações sobre a cota e o afastamento obtidos na épura quando o ponto se encontra no 1º diedro.

A épura traz a projeção P’ abaixo da LT e a P’’ acima da LT. Contudo, observando o ponto no espaço, sabemos que tanto a cota quanto o afastamento são positivos.

Concluímos, então, que, quando a cota (distância entre P’’ e LT) está acima da LT, terá um valor positivo. E quando o afastamento (distância de P’ e LT) está abaixo da LT, terá um valor positivo.

Para reforçar: Para ter valor positivo, a cota tem que aparecer acima da LT e o afastamento abaixo.

UNI

No 1º Diedro

TÓPICO 4 | PROJEÇÃO DE UM PONTO

73

FIGURA 81: PONTO DO 2° DIEDRO

FONTE: AUTOR

Notem que, ao “girarmos” o plano horizontal, a projeção P’ do ponto P vai parar acima da LT. Porém, ela ainda indica o afastamento e, com isso, concluímos que, quando o ponto está no segundo diedro, tanto a cota como o afastamento aparecem acima da LT na épura.

Vale lembrar que a cota é positiva (está aparecendo acima da LT) e o afastamento é negativo (está acima da LT e é para baixo que ele é positivo).

No 3º diedro

FIGURA 82: PONTO NO 3° DIEDRO

FONTE: AUTOR

74


Notem que a cota aparece abaixo da LT e o afastamento acima. Isso indica que ambos os valores são negativos, uma vez que estão localizados numa posição contrária à que ocorre com o ponto do 1º diedro.

No 4º diedro

FIGURA 83: PONTO NO 4° DIEDRO

FONTE: AUTOR

A épura nos mostra as duas medidas abaixo da LT, o que nos indica que o afastamento é positivo e a cota, negativa.

Exemplos

1) Construa a épura de um ponto P [1, 5, -3]. Solução: Sabemos que o 1 é a abscissa, 5 é o afastamento e -3 é a cota.

Afastamento positivo e cota negativa nos dão um ponto no 4º diedro (ver quadro resumo). A épura do 4º diedro tem ambas as medidas abaixo da LT, logo:


75

Imagine o ponto do espaço e a rotação dos planos. Faça a construção em outra folha e depois compare os resultados.

UNI

2) Determine as coordenadas do ponto representado na épura abaixo:

Solução: Com o uso de uma régua graduada, medimos que a origem (0) está a 1,5cm da linha da chamada. Portanto, a abscissa mede 1,5cm. Como a linha de chamada está à esquerda da origem, temos abscissa negativa.

Medimos que P’ está a 2cm acima da LT, que P’’ está 4cm abaixo, P’

representa o afastamento e P’’ a cota. Temos o afastamento acima da LT e a cota abaixo da LT. Isso indica que ambas as medidas são negativas e o ponto se encontra no 4º diedro.

Portanto: P [-1,5; -2; -4].

3) Determine o diedro que se encontra o ponto P [3, -8, 7]

Solução: Sabemos que o 3 é a abscissa, -8 é o afastamento e 7 é a cota. Como o afastamento é negativo e a cota é positiva, então, o ponto P pertence ao segundo diedro (ver quadro resumo).

76


Para sabermos em qual diedro está um ponto, não precisamos da abscissa, basta que tenhamos o valor da cota e do afastamento.

UNI

3 PROJEÇÃO DE UM PONTO PERTENCENTE AO PLANO NA ÉPURA

Até o presente momento, tratamos apenas dos pontos que estão localizados em um dos quatro diedros. Mas, um ponto pode pertencer a alguns dos planos: PHA, PHP, PVS, PVI, ou até mesmo a intersecção dos planos que chamamos de linha da terra (LT).

3.1 PONTO PERTENCENTE AO PLANO HORIZONTAL

Todos os pontos de cota nula pertencem ao plano horizontal, que pode ser PHA ou PHP.

Caro estudante, como você está familiarizado com o sistema mongeano e com a épura, faremos a representação dos pontos P ∈ PHA e Q ∈ PHP na mesma figura

FIGURA 84: PONTO NO PH

FONTE: AUTOR


77

Notem que, após o rebatimento, a projeção P’ ≅ P vai parar abaixo da LT, e a projeção P’’ permanece sobre a LT. Podemos observar que a cota é nula, pois está em cima da linha da terra e o afastamento é positivo, pois está abaixo da linha da terra.

Já a projeção Q’ ≅ Q fica acima da LT, e a projeção Q’’ permanece sobre a LT. E podemos dizer que a cota é nula, pois está em cima da linha da terra e o afastamento é negativo, pois está acima da linha da terra.

3.2 PONTO PERTENCENTE AO PLANO VERTICAL

Todos os pontos de afastamento nulo pertencem ao plano vertical, que pode ser PVS ou PVI.

Veja agora, a representação dos pontos P ∈ PVS e Q ∈ PVI, no sistema mongeano e na épura.

FIGURA 85: PONTO NO PV

FONTE: AUTOR

Notem que, após o rebatimento, a projeção P’’ ≅ P fica acima da LT, e a projeção P’ permanece sobre a LT. Logo o afastamento é nulo, pois está em cima da linha da terra e a cota é positiva, pois está acima da linha da terra.

Já a projeção Q’’ ≅ Q vai parar abaixo da LT, e a projeção Q’ permanece sobre a LT. E podemos dizer que o afastamento é nulo, pois está em acima da linha da terra e a cota é negativa, pois está abaixo da linha da terra.

78


3.3 PONTO PERTENCENTE A LINHA DA TERRA

Todos os pontos de cota nula e afastamento nulo pertencem à linha da terra, e suas projeções coincidem.

Observe a figura em que P ∈ LT:

FIGURA 86: PONTO NA LT

FONTE: AUTOR

Após o rebatimento as projeções P’ e P’’ ficam sobre a linha da terra, veja o resumo no quadro, a seguir.

QUADRO 1: RESUMO

FONTE: AUTOR

1º Diedro

2º Diedro

3º Diedro

4º Diedro

PHA PHP PVS PVI LT

Afastamento +Abaixo

LT

-Acima

LT

-Acima

LT

+Abaixo

LT

+Abaixo

LT

-Acima

LT

0 0 0

Cota +Acima

LT

+Acima

LT

-Abaixo

LT

-Abaixo

LT

0 0 +Acima

LT

-Abaixo

LT

0


79


GASPARD MONGE (1746-1818)Howard Eves

Monge fez seus estudos básicos em escolas oratorianas, primeiro em Beaunne, sua cidade natal, depois em Lyon, onde, aos dezesseis anos de idade, tornou-se instrutor de física. Uma planta de sua cidade natal, em escala apreciavelmente grande, elaborada com notável perícia, abriu-lhe as portas de escola militar de Mézières como desenhista. Tendo de desenhar a planta de um forte com os canhões em lugares a serem determinados por certos dados experimentais, Monge contornou o tedioso procedimento aritmético da época, substituindo-o por um outro, geométrico, mais rápido. Seu método, que consistia em inteligentemente representar objetos tridimensionais por meio de projeções convenientes sobre um plano bidimensional, foi adotado pelos militares e considerado segredo absoluto. Posteriormente, veio a se tornar matéria amplamente ensinada com o nome de geometria descritiva. Em 1768, Monge chegava a professor de Matemática e, em 1771, a professor de Física da mesma escola militar. Em 1780, foi designado para a cátedra de hidráulica do Liceu de Paris.

FIGURA 87: GASPARD MONGE

FONTE: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Monge.html Acesso em: 29 Mai. 2008

Monge foi ministro da marinha e, como tal, engajou-se na tarefa de produzir armas e munições para armada. Foi o maior responsável, junto ao Diretório, pela criação da Escola Politécnica, da qual se tornou professor. Ganhou o afeto e a admiração calorosos de Napoleão, a quem acompanhou, juntamente com o matemático Joseph Fourier (1768-1830), à malfadada expedição de 1798 ao Egito. No retorno à França, reassumiu suas funções na Escola Politécnica, na qual sempre se mostrou um professor singularmente brilhante. Suas aulas serviram de inspiração a uma série de grandes geômetras, entre eles Charles Dupin (1784-1873)

80


e Jean Victor Poncelet (1788-1867), o primeiro responsável por contribuições de vulto ao campo da geometria diferencial e o segundo ao da geometria projetiva.

Considera-se ainda que Monge, além de criador da geometria descritiva, seja também o pai da geometria diferencial.

FONTE: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da UNICAMP, 2004. p. 489 – 490.

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RESUMO DO TÓPICO 4

Neste tópico estudamos que:

Conseguir projetar um ponto é um grande passo para projetar qualquer objeto, uma vez que qualquer objeto é formado por infinitos pontos.

No 1º diedro a cota e o afastamento são positivos, na épura a cota aparece acima da LT e o afastamento abaixo.

No 2º diedro a cota é positiva e o afastamento é negativo, na épura ambos aparecem acima da LT.

No 3º diedro a cota e o afastamento são negativos, na épura o afastamento aparece acima da LT e a cota abaixo.

No 4º diedro a cota é negativa com o afastamento positivo, a cota e o afastamento aparecem na épura abaixo da LT.

Quadro de resumo:

1º Diedro

2º Diedro

3º Diedro

4º Diedro

PHA PHP PVS PVI LT

Afastamento +Abaixo

LT

-Acima

LT

-Acima

LT

+Abaixo

LT

+Abaixo

LT

-Acima

LT

0 0 0

Cota +Acima

LT

+Acima

LT

-Abaixo

LT

-Abaixo

LT

0 0 +Acima

LT

-Abaixo

LT

0

Quando a cota é nula o ponto pertence ao plano horizontal, e o afastamento é positivo se estiver abaixo da LT e negativo se estiver acima da LT.

Quando o afastamento é nulo o ponto pertence ao plano vertical, e a cota é positiva se estiver acima da LT e negativa se estiver abaixo da LT.

Quando a cota e o afastamento são nulos o ponto pertence a linha da terra.

82

AUTOATIVIDADE

1) Determine o diedro que se encontra cada um dos pontos:

a) A[0,-3, 12]b) B[5,13, 2]c) C[-1,-6, -1]d) D[2,5, -4]

2) Desenhe a épura dos pontos abaixo, considerando que todos tem abscissa nula:

a) cota = 2, afastamento = -3b) cota = 4, afastamento = 5c) cota = -1, afastamento = -6d) cota = -4, afastamento = 5e) cota = 0, afastamento = 2,5f) cota = -1,2; afastamento = 0g) cota = 0; afastamento = 0

3) Com o auxílio de uma régua graduada, determine a cota, o afastamento e o diedro dos pontos representados nas épuras abaixo:

a)

b)

83

c)

d)

e)

84

85

UNIDADE 3

PROJEÇÕES DE RETAS, VERDADEIRA GRANDEZA E POLÍGONOS NA ÉPURA


PLANO DE ESTUDOS

Esta unidade tem por objetivos:

• Projetar retas na épura e identificar sua localização no espaço.

• Identificar e nomear os diferentes tipos de retas em relação à sua posição em relação ao plano.

• Definir e encontrar a Verdadeira Grandeza dos segmentos.

• Projetar um polígono na épura.

Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No final de cada um deles

você encontrará exercícios e desafios que lhe ajudarão a compreender toda

a Unidade.

TÓPICO 1 – PROJEÇÃO DE RETAS PARALELAS EM RELAÇÃO A UM DOS PLANOS

TÓPICO 2 – SEGMENTOS OBLÍQUOS AOS DOIS PLANOS DE PROJEÇÃO

TÓPICO 3 – VERDADEIRA GRANDEZA

TÓPICO 4 – PROJEÇÕES DE POLÍGONOS

86

87

TÓPICO 1

PROJEÇÃO DE RETAS PARALELAS

EM RELAÇÃO A UM DOS PLANOS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

Desde o início do caderno, o aluno está adquirindo conhecimentos para que consiga desenhar e entender desenhos tridimensionais projetados em épura.

Evidentemente, a quantidade de conceitos não presentes nesse compêndio é gigantesca, mas os que existem são suficientes para que o aluno curioso consiga estudar sozinho e sanar suas dúvidas.

O que o estudante deveria entender é que não importa a forma do objeto no mundo tridimensional. O objeto terá sempre apenas três dimensões. Cada parte do objeto pode ser pensada como uma figura num plano. Esta figura, por sua vez, pode ser pensada como a união de várias retas e sabemos que uma reta é a união de infinitos pontos.

Claro que não ficaremos projetando infinitas retas para formar um objeto, muito menos infinitos pontos. Para projetar um objeto, projetamos os segmentos que “contornam” o objeto.

É para isto que estudaremos agora. Veremos como projetar retas nas mais variadas posições no plano de dupla projeção ortogonal e representaremos as mesmas na épura.

2 IDEIAS BÁSICAS

Já foi visto anteriormente que uma reta é a união de infinitos pontos, embora necessitemos de apenas dois para definir exatamente a reta. É nessa pequena necessidade que nos basearemos para projetar a reta, pois a projeção de um ponto pertencente a qualquer reta faz parte da projeção dessa reta.

Em outras palavras, para projetar uma reta, basta projetar dois pontos dessa reta e traçar, pelos pontos projetados, as retas projetadas (uma projetada no PH e outra no PV).

UNIDADE 3 | PROJEÇÕES DE RETAS, VERDADEIRA GRANDEZA E POLÍGONOS NA ÉPURA

88

3 PROJETANDO SEGMENTOS PARALELOS

Projetaremos segmentos de reta, que nada mais são que partes finitas de uma reta, embora seja sabido que, ao desenharmos um segmento, praticamente desenhamos a idéia da sua reta suporte. Por esse motivo, as definições vistas para segmentos, neste tópico e no tópico 2, estendem-se às retas.

Reta suporte é a reta que contém o segmento

UNI

3.1 SEGMENTO PARALELO AOS DOIS PLANOS

Dado um segmento AB no 1º Diedro, paralelo ao PV (Plano Vertical) e ao PH (Plano Horizontal). Temos a seguinte projeção, usando os planos ortogonais:

FIGURA 88: SEGMENTO PARALELO

FONTE: AUTOR

Essa dupla projeção ortogonal nos dará a seguinte épura:

TÓPICO 1 | PROJEÇÃO DE RETAS PARALELAS

89

FIGURA 89: ÉPURA DO SEGMENTO PARALELO

FONTE: AUTOR

Este tipo de segmento é o mais fácil de ser projetado na épura, pois ambas as projeções dão a verdadeira grandeza (VG) do segmento.

Verdadeira Grandeza (VG) é o real tamanho do segmento. Estudaremos como definir a VG de um segmento, posteriormente.

ESTUDOS FUTUROS

Notem que o segmento A’’B’’ e o segmento A’B’, são projeções do segmento original AB. O interessante é que conseguimos a projeção do segmento sem nos preocuparmos com este, apenas projetamos os seus pontos extremos A e B da mesma forma feita na unidade passada.

Usaremos esta tática para todos os segmentos, reduzindo, com isso, a sua projeção a uma projeção simultânea de dois pontos.

Para projetar um segmento, projetamos seus pontos extremos como visto na unidade anterior.

IMPORTANTE

Cabe salientar, ainda, que as retas que tenham as duas projeções na épura, paralelas à linha de terra, podem ser chamadas de reta paralela à linha de terra ou ainda reta fronto-horizontal.


90

3.2 SEGMENTO PERPENDICULAR A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

Veja o segmento AB e suas projeções representadas na dupla projeção ortogonal abaixo.

FIGURA 90: SEGMENTO PERPENDICULAR AO PH

FONTE: AUTOR

Usamos o símbolo: ≅ para indicar a coincidência entre os pontos

UNI

Vale chamar atenção do aluno para que perceba que o segmento AB é perpendicular ao PH, fazendo com que a projeção dos pontos extremos A e B no PH coincidam.

Na épura teremos a situação descrita da seguinte forma:


91

FIGURA 91: ÉPURA DO SEGMENTO PERPENDICULAR AO PH

FONTE: AUTOR

Como o segmento AB é perpendicular ao PH, ele aparece na épura sempre como descrito na figura acima e podemos destacar algumas características:

Se o segmento é perpendicular ao PH, então, ele é paralelo ao PV. Com isso, a projeção A’’B’’ tem o mesmo tamanho de AB, ou seja, representa a VG de AB.

O afastamento e a abscissa são idênticos para todos os pontos do segmento AB, por isso A’ e B’ são pontos coincidentes na épura. A reta que tenha essas características também é conhecida por reta vertical.

Caso o segmento seja perpendicular ao PV, então as características são similares, embora tenhamos que fazer ajustes nas generalizações finais.

Para uma melhor absorção dos conceitos faremos a projeção e a épura também para esse caso, embora tenhamos a certeza de que, com algum esforço, o aluno já tenha a capacidade de imaginar o que irá acontecer.

Plano de dupla projeção ortogonal:

FIGURA 92: SEGMENTO PERPENDICULAR AO PV

FONTE: AUTOR


92

Na épura:

FIGURA 93: ÉPURA DO SEGMENTO PERPENDICULAR AO PV

FONTE: AUTOR

Como o segmento AB é perpendicular ao PV, temos que ele é paralelo ao PH.

A projeção no PH mostra a VG do segmento AB. Esta projeção é o segmento A’B’ na épura.

A cota e a abscissa de todos os pontos do segmento AB são as mesmas, por isso, as projeções A’’ e B’’ são coincidentes.

A reta com estas características pode ser chamada de reta de topo.

3.3 SEGMENTO PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

Quando temos certeza de que um segmento AB é paralelo a um dos planos, não podemos afirmar muito em relação ao outro plano, porque o segmento pode ser paralelo, perpendicular ou oblíquo.

Já houve casos de ele ser paralelo aos dois planos e de ser paralelo a um e perpendicular ao outro. Então, ater-nos-emos a mostrar a projeção de um segmento paralelo a um plano e oblíquo ao outro.

Começaremos com o segmento paralelo ao PH. Na dupla projeção ortogonal teremos:


93

FIGURA 94: SEGMENTO PARALELO AO PH

FONTE: AUTOR

Na épura:

FIGURA 95: ÉPURA SEGMENTO PARALELO AO PH

FONTE : AUTOR

Observando a projeção desse segmento paralelo ao PH e oblíquo ao PV, podemos notar a presença de algumas características.

A mais relevante é o fato de que a projeção no PH representa a VG do segmento AB. Na épura, essa projeção é o segmento A’B’.

A cota dos pontos de AB são as mesmas, por isso o segmento A’’B’’ na épura aparece paralelo a LT.

O ângulo entre a reta suporte do segmento A’B’ e a LT da épura é o mesmo que o ângulo formado entre a reta suporte do segmento AB e o PV.


94

Esta reta recebe o nome de reta horizontal.

Analisando agora um segmento AB paralelo ao PV e oblíquo ao PH. No plano de dupla projeção ortogonal tal segmento terá a seguinte forma:

FIGURA 96: SEGMENTO PARALELO AO PV

FONTE: AUTOR

Na Épura

FIGURA 97: ÉPURA DE SEGMENTO PARALELO AO PV

FONTE: AUTOR

Características observadas nas projeções:

A projeção do plano vertical tem a VG do segmento AB. Na épura, esta projeção, bem como a VG, aparecem no segmento A’’B’’.


95

Como o afastamento é igual em todos os pontos do segmento AB, o segmento A’B’, na épura, é paralelo a LT.

O ângulo formado pela reta suporte do segmento A’’B’’ e a LT na épura é o mesmo que o ângulo formado entre a reta suporte do segmento AB e o PH.

É dado o nome de reta frontal ou reta de frente às retas que tenham estas características.

Exemplos

1) Represente no sistema mongeano e na épura as projeções do segmento de reta AB de extremos A [1, 2, 3] e B [3, 2, 3].

Solução: No sistema mongeano. Basta desenhar os planos perpendiculares, fazer as marcações da abscissa, afastamento e cota dos pontos A e B, e unir esses pontos.

FIGURA 98: EXEMPLO 1 – SIST. MONGEANO

FONTE: AUTOR

Solução: Na épura. Você pode fazer as projeções da reta nos planos perpendiculares e depois fazer o rebatimento. Ou simplesmente localizar os pontos na épura conforme visto no exemplo do Tópico 4 da Unidade 2, e unir esses pontos.


96

FIGURA 99: EXEMPLO 1 – ÉPURA

FONTE: AUTOR

Observações:

1ª) Como os pontos A e B têm afastamento e cotas iguais, ambas as projeções dão a verdadeira grandeza (VG) da reta.

2ª) A reta que passa pelos pontos A e B chama-se reta fronto-horizontal, pois é paralela aos dois planos, ou porque tem abscissas diferentes e afastamentos e cotas iguais.

2) Represente na épura o segmento de reta AB de extremos A [1, 1, 3] e B [3, 2, 3].

Qualquer dúvida com relação ao sinal do afastamento ou da cota, consulte o quadro de sinais no final do Tópico 4, da Unidade 2.

IMPORTANTE

Solução: O ponto A [1, 1, 3] tem afastamento (1) abaixo da LT e cota (3) acima da LT.

O ponto B [3, 2, 3] tem afastamento (2) abaixo da LT e cota (3) acima da LT.


97


FONTE: AUTOR

Observações:

1ª) Como os pontos A e B têm cotas iguais, então, a projeção A’’B’’ representa a VG e é paralelo a LT.

2ª) A reta que passa pelos pontos A e B chama-se reta horizontal, pois é paralela ao plano horizontal, ou porque tem abscissas e afastamentos diferente e cotas iguais.

98

RESUMO DO TÓPICO 1

A seguir, apresentamos de maneira resumida os assuntos tratados no presente Tópico. Leia-os e estará contribuindo para a fixação dos mesmos.

Para projetar um segmento de reta, basta fazermos as projeções de seus pontos extremos e depois uni-los.

Se os pontos extremos de um segmento têm abscissas diferentes e afastamentos e cotas iguais, então, o segmento é paralelo aos dois planos de projeção em que se projeta a VG.

Se os pontos extremos de um segmento têm cotas diferentes e abscissas e afastamentos iguais, então, o segmento é perpendicular ao PH e paralelo ao PV em que é projetada a VG do segmento.

Se os pontos extremos de um segmento têm afastamentos diferentes e cotas e abscissas iguais, então, o segmento é perpendicular ao PV e paralelo ao PH em que é projetada a VG do segmento.

Se os pontos extremos de um segmento têm abscissas e afastamentos diferentes e cotas iguais, então, o segmento é paralelo ao PH em que é projetada a VG.

Se os pontos extremos de um segmento têm abscissas e cotas diferentes e afastamentos iguais, então, o segmento é paralelo ao PV em que é projetada a VG.

99

AUTOATIVIDADE

1) Cite o dado a uma reta que possui o afastamento e a cota constantes.

2) Dê as características de uma reta vertical.

3) Dê as características de uma reta topo.

4) Dê as características de uma reta frontal.

5) Apresente as características de uma reta horizontal.

6) Represente no sistema mongeano o segmento de reta AB de extremos A [0, 2, -3] e B [2, -1, 4].

7 Represente na épura os segmentos de extremos: a) A [0, 2, 3] e B [5,2, 3]b) C [1, 3, 4] e D [1, 3, 2]c) E [2, 1, 4] e F [2, 2, 4]d) G [0, 2, 3] e H [2, 4, 3]e) I [0, 3, 2] e J [1, 3, 3]

8) Como podemos chamar a reta suporte de cada um dos segmentos da questão 7.

100

101

TÓPICO 2

SEGMENTOS OBLÍQUOS AOS

DOIS PLANOS DE PROJEÇÃO

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

No tópico passado, já vimos como projetar um segmento de reta. Não mudará nada agora, pois faremos a projeção do mesmo jeito. Colocamos os segmentos oblíquos em um tópico separado para que o leitor consiga identificar que a projeção dos segmentos oblíquos não têm a Verdadeira Grandeza (VG).

Quando o segmento de reta é oblíquo aos dois planos (PV e PH), em relação à Linha de Terra (LT) ele poderá ser oblíquo ou ortogonal.

2 SEGMENTO ORTOGONAL A LT.

Observaremos, primeiramente, o caso em que o segmento AB é oblíquo em relação aos planos PH e PV, e ortogonal em relação a LT.

Uma reta é dita Ortogonal a outra se forem reversas e formarem um ângulo de 90º.

IMPORTANTE

FIGURA 101: SEGMENTO ORTOGONAL A LT

FONTE: AUTOR

102


Na épura

FIGURA 102: ÉPURA DO SEGMENTO ORTOGONAL A LT

FONTE: AUTOR

Nenhuma das projeções A’B’ ou A’’B’’ tem a VG do segmento AB.

As duas projeções, tanto no PH quanto no PV, são perpendiculares à LT. Isso acontece porque todos os pontos do segmento AB têm a mesma abscissa e afastamento e cota diferente.

A reta que tem essas características é chamada de reta de perfil.

Exemplo: Represente na épura o segmento de reta AB de extremos A [1, 2, 3] e B [1, 3, 2].


O ponto B [1, 3, 2] tem afastamento (3) abaixo da LT e cota (2) acima da LT.


FONTE: AUTOR

TÓPICO 2 | SEGMENTOS OBLÍQUOS AOS

103

Observações:

1ª) Como os pontos A e B têm abscissas iguais e afastamentos e cotas diferentes, então, os segmentos projetados A’B’ e A’’B’’ não representam a VG.

2ª) A reta que passa pelos pontos A e B chama-se reta perfil, pois é ortogonal à LT, ou porque tem abscissas iguais e afastamentos e cotas diferentes.

3 SEGMENTO OBLÍQUO A LT

Uma reta é oblíqua à outra se ambas forem reversas e não formarem um ângulo de 90º.

IMPORTANTE

FIGURA 104: SEGMENTO OBLÍQUO A LT

FONTE: AUTOR

Na épura:

FIGURA 105: ÉPURA DO SEGMENTO OBLÍQUO A LT

FONTE: AUTOR

104


Nenhum dos segmentos que aparecem na épura tem a VG do segmento AB.

As duas projeções, tanto no PH quanto no PV, não são perpendiculares a LT. Isso acontece porque todos os pontos do segmento AB têm abscissa, afastamento e cota diferente.

A reta que tem essas características é chamada de reta qualquer ou reta genérica.

Exemplo: Represente na épura o segmento de reta AB de extremos A [1, 1, 2] e B [2, 2, 3].


O ponto B [2, 2, 3] tem afastamento abaixo (2) da LT e cota (3) acima da LT.

FIGURA 106: EXEMPLO DE ÉPURA DE RETA QUALQUER

FONTE: AUTOR

Observações:

1ª) Como os pontos A e B têm abscissas, afastamento e cotas diferentes, então, os segmentos projetados A’B’ e A’’B’’ não representam a VG.

2ª) A reta que passa pelos pontos A e B chama-se reta qualquer, pois é oblíqua a LT, ou porque tem abscissas, afastamento e cotas diferentes.

105

RESUMO DO TÓPICO 2

Neste tópico estudamos vários pontos referentes aos segmentos oblíquos aos dois planos de projeção, os quais apresentamos, resumidamente, a seguir, para que vocês, caros (as) acadêmicos (as), possam fixá-los melhor:

Se os pontos extremos de um segmento têm abscissas iguais e afastamentos e cotas diferentes, então, o segmento é ortogonal à LT, suas projeções são perpendiculares a LT e não apresentam a VG.

Se os pontos extremos de um segmento possuem abscissas, afastamentos e cotas diferentes, então, o segmento é oblíquo à LT, suas projeções não são perpendiculares à LT e não apresentam a VG.

106

AUTOATIVIDADE

1 Apresente as características de uma reta perfil.

2 Apresente as características de uma reta qualquer.

3 Represente na épura os segmentos de extremos:

a) A[1, 3, 4] e B[1,2, 3]b) C[-1, 3, 4] e D[-1, 2,3]c) E[1, 1, 4] e F[2, 2, 3]d) G[1, 2, 3] e H[-2, 4, 5]

4 Explique como podemos chamar a reta suporte de cada um dos segmentos da questão 3.

107

TÓPICO 3

PROJEÇÃO DE POLÍGONOS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

A Verdadeira Grandeza (VG) de um segmento de reta é o seu real tamanho. Como você já viu nos tópicos anteriores, nem sempre as projeções ficam do mesmo tamanho do que o segmento original. Na verdade, para a projeção ficar com o mesmo tamanho, o segmento tem que estar em determinadas posições em relação aos planos de projeção.

Nada disso é novidade para vocês. Contudo, no Tópico 2 desta Unidade, lidamos com segmentos cujas projeções não apresentam a VG do segmento original. Por motivos óbvios, é evidente que ter pelo menos uma das projeções mostrando a VG do segmento original é muitíssimo benéfico.

O que mostraremos neste tópico é o que fazer para conseguir a VG de segmentos projetados como os do Tópico 2 que, primeiramente, não nos dão projeções que mostram a VG.

2 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA DE PERFIL

Não esqueçam de que este tipo de reta foi vista e explicada no Tópico 2 desta Unidade. Naquele momento, vimos que nenhuma das projeções do segmento conservava a VG grandeza do segmento original. Contudo, sabíamos que o segmento inicial era ortogonal à LT (Linha de Terra).

Sabendo disso, para conseguir a VG do segmento, basta “criar” um plano ortogonal à LT e aos planos de projeção. Este plano será, evidentemente, paralelo ao segmento. Como sabemos que planos paralelos têm projeções com VG, solucionaremos o nosso problema.

Para facilitar a compreensão das frases escritas acima, faremos um esquema mostrando tal fato.

Começamos com a projeção de um segmento AB contido numa reta de perfil, como visto no tópico passado:


108

FIGURA 107: VG DO SEGMENTO CONTÍDO NUMA RETA PERFIL

FONTE: AUTOR

Agora, ao invés de fazermos a épura normalmente a partir das projeções no PV e no PH, criamos um terceiro plano ortogonal à LT, ao PH e ao PV

FIGURA 108: PLANO PERFIL (PP)

FONTE: AUTOR

Este Plano é chamado de Plano de Perfil (PP).

Observando só o 1º diedro dos três planos ortogonais entre si, teremos:

TÓPICO 3 | PROJEÇÃO DE POLÍGONOS

109

FIGURA 109: PROJEÇÃO NO PP

FONTE: AUTOR

Para construir a épura, primeiramente fazemos o que estamos acostumados, ou seja, rebatemos o PH “para baixo”. Em seguida, rebatemos o PP “para trás”. Teremos, então, uma épura com duas LT.

FIGURA 110: OBTENÇÃO DA ÉPURA REBATENDO PH, PV E PP

FONTE: AUTOR


110

Com essa simples medida nós conseguimos uma projeção A’’’B’’’ com a VG do segmento AB, que era o nosso objetivo inicial.

Podemos construir a épura de um segmento contido numa reta perfil com a VG sem representá-la no sistema mongeano. Para isso, teremos que utilizar compasso e as técnicas de construção de retas paralelas com esquadros, conforme estudado no Tópico 3, da Unidade1.

Observe a seguinte situação: Construir a épura com a VG do segmento projetado na épura abaixo:

FIGURA 111: ÉPURA DO SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA PERFIL

FONTE: AUTOR

1º Passo: Trace duas retas r e s paralelas à LT, passando por B’’ e A’’.

FIGURA 112: 1° PASSO – VG DO SEGMENTO DE RETA PERFIL

FONTE: AUTOR

2º passo: Projete o segmento A’B’ na reta r, colocando a ponta seca do compasso em B’’ e a outra ponta em A’ e, em seguida, a ponta seca em B’’ e a outra ponta em B’. O resultado dessa operação foi o segmento CB’’’.


111


FONTE: AUTOR

3º passo: Construir o segmento CA’’’ paralelo e congruente a A’’B’’.


FONTE: AUTOR

4º PASSO: Traçar o segmento de extremos A’’’B’’’ que apresenta a VG.


FONTE: AUTOR


112

Observe que construímos a épura com a VG, sem precisar da nova LT.

IMPORTANTE

3 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA QUALQUER

Vimos, no Tópico 2 desta unidade, que uma reta qualquer é oblíqua aos dois planos de projeção e também a LT.

Conseqüentemente, nenhuma projeção conserva a VG do segmento real. Para conseguir visualizar uma projeção com a VG, fixamos um dos planos (o PV ou o PH) e rotacionamos o outro, mantendo sempre a ortogonalidade entre ambos, até que este plano fique paralelo ao segmento.

Como sabemos, uma vez tendo o plano paralelo, teremos uma projeção com a VG garantida. Os desenhos facilitarão a compreensão:

Essa é a projeção de um segmento AB, contido numa reta qualquer:

FIGURA 116: PROJEÇÃO DE UMA RETA QUALQUER

FONTE: AUTOR


113

Agora, rotacionamos um dos planos, até que ele fique paralelo ao segmento, sempre mantendo a ortogonalidade entre o PV e o PH.

FIGURA 117: ROTAÇÃO DO PH

FONTE: AUTOR

Abandonando o PH (Plano de Projeção Horizontal inicial) e adotando como “novo” PH o PH’ (Plano de Projeção Horizontal rotacionado), teremos o seguinte:

FIGURA 118: “NOVO” PH PARA SISTEMA ORTOGONAL

FONTE: AUTOR


114

Observando o que aconteceu na perspectiva de épura:

FIGURA 119: ÉPURA ANTES E DEPOIS DA ROTAÇÃO

FONTE: AUTOR

Antes: (sem PH’) Depois: (com o PH’)

Comparando as duas épuras:

FIGURA 120: VISÃO CONJUNTA

FONTE: AUTOR


115

E, finalmente, a “nova” épura:

FIGURA 121: ÉPURA ROTACIONADA

FONTE: AUTOR

Notem que os afastamentos dos pontos A e B não mudam com a rotação. O que muda são as cotas apenas, que igualam entre si.

Se tivéssemos optado por rotacionar o PV ao invés do PH quem permaneceria eram as cotas, e igualaríamos os afastamentos. Porém a teoria e o jeito de fazer são similares.

Veremos como construir a épura de um segmento contido numa reta qualquer com a VG sem representá-lo no sistema mongeano. Para isso, teremos que utilizar o compasso e as técnicas de construção de retas paralelas com esquadros, estudadas no Tópico 3 da Unidade1.

Observe a seguinte situação: Construir a épura com a VG do segmento projetado na épura abaixo

FIGURA 122: OBTENÇÃO DA VG DO SEGMENTO QUALQUER

FONTE: AUTOR


116

1º passo: Traçar duas retas r e s paralelas a LT, passando por A’ e B’’.

FIGURA 123: OBTENÇÃO DA VG DO SEGMENTO QUALQUER – 1° PASSO

FONTE: AUTOR

2º passo: Projetar o segmento A’B’ na reta r, colocando a ponta seca em A’ e a outra ponta em B’, gerando o segmento CA’ paralelo a LT.

FIGURA 124: OBTENÇÃO DA VH DO SEGMENTO QUALQUER – 2° PASSO

FONTE: AUTOR

117

3º passo: Trace um segmento CD paralelo a B’B’’ começando em C até a reta s.

FONTE: AUTOR


4º Passo: Traçar o segmento de extremos DA’’ que apresenta a VG.


FONTE: AUTOR

118

RESUMO DO TÓPICO 3

Neste tópico estudamos vários pontos referentes à verdadeira grandeza, os quais apresentamos, resumidamente, a seguir, para que vocês, caros acadêmicos , possam fixá-los melhor:

Plano Perfil é um plano ortogonal a LT, ao PH e ao PV.

Para obter a VG de uma reta perfil, basta projetá-la no PP.

Para obter a VG de uma reta qualquer, basta rotacionarmos um dos planos (PH ou PV) até que ele fique paralelo ao segmento.

119

AUTOATIVIDADE

1 Localize o segmento de extremos A [1, 3, 4] e B [1,2, 3], no sistema mongeano e faça sua projeção no plano perfil (PP).

2 Localize o segmento de extremos A [1, 1, 4] e B [2, 2, 3], no sistema mongeano e faça sua projeção no plano rotacionado (PH ou PV).

3 Construa a épura com a VG de cada um dos segmentos de extremos:

a) A [1, 3, 4] e B [1,2, 3]b) C [-1, 3, 4] e D [-1, 2,3]c) E [1, 1, 4] e F [2, 2, 3]d) G [1, 2, 3] e H [-2, 4, 5]

120

121

TÓPICO 4

PROJEÇÃO DE POLÍGONOS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

Consideraremos que o aluno já sabe perfeitamente o que é um polígono e que esteja habituado com suas nomenclaturas.

Veremos dois casos: polígono paralelo a um dos planos de projeção e ortogonal aos dois planos.

Projetar um polígono nada mais é que projetar os vértices desse polígono. Sempre tentaremos projetar os polígonos mostrando uma projeção que tenha todos os lados, mantendo a VG, para conseguir ter uma noção correta do polígono.

2 POLÍGONO PARALELO A UM DOS PLANOS

É o caso mais fácil, pois em um dos planos de projeção o triângulo aparecerá com as projeções de todos os seus lados, mantendo suas VGs. Essa informação já é trivial para nós, porque nos tópicos anteriores vimos várias vezes que um plano paralelo “recebe” projeção de segmento mantendo a VG.

Vale lembrar que um polígono será paralelo a um plano α quando o plano que contém esse polígono é paralelo ao plano α. Esta afirmação é reforçada pela definição de planos paralelos feitos por Príncipe Junior (1977, p.147): “dois planos são paralelos quando um deles contiver duas retas concorrentes, paralelas ao outro”.

Temos dois casos: o polígono pode ser paralelo ao PH (1º caso) ou paralelo ao PV (2º caso).


122

2.1 1º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PH

O polígono será paralelo ao PH quando todos os pontos pertencentes a este polígono tiverem cotas iguais.


FIGURA 127: POLÍGONO PARALELO AO PH

FONTE: AUTOR

Para verificar se um polígono é paralelo ao PH, basta verificar se as cotas dos vértices são iguais.

IMPORTANTE


123

Na épura teremos:

FIGURA 128: ÉPURA DO POLÍGONO PARALELO AO PH

FONTE: AUTOR

Como o triângulo é paralelo ao PH, todos os pontos do triângulo têm a mesma cota, o que, na épura, aparece como um segmento (acima da LT). E, abaixo da LT, teremos o triângulo, mantendo a VG de seus lados.

2.2 2º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PV

O polígono será paralelo ao PV quando todos os pontos pertencentes ao polígono tiverem afastamentos iguais.


FIGURA 129: POLÍGONO PARALELO AO PV

FONTE: AUTOR


124

Para verificar se um polígono é paralelo ao PV, basta verificar se o afastamento dos vértices é igual.

IMPORTANTE

Na épura teremos:

FIGURA 130: ÉPURA DO POLÍGONO PARALELO AO PV

FONTE: AUTOR

Como o triângulo é paralelo ao PV, todos os pontos do triângulo têm o mesmo afastamento o que na épura aparece como um segmento (abaixo da LT). E acima da LT teremos o triângulo mantendo a VG de seus lados.

3 POLÍGONO ORTOGONAL AOS PLANOS DE PROJEÇÃO

O polígono será ortogonal aos planos PV e PH quando todos os pontos pertencentes ao polígono tiverem abscissas iguais.

Visualmente, no sistema de dupla projeção ortogonal, teremos o seguinte caso:


125

FIGURA 131: POLÍGONO ORTOGONAL AO PV E AO PH

FONTE: AUTOR

Para verificar se um polígono é ortogonal aos PV e OH basta verificar se a abscissa dos vértices são iguais.

IMPORTANTE

Na representação na épura temos:

FIGURA 132: ÉPURA DO POLÍGONO ORTOGONAL AOS PLANOS

FONTE: AUTOR


126

É nítida a falta de visualização do triângulo nessa épura. Faremos o que para sanar esse problema? O mesmo que fizemos para visualizar a VG da reta de perfil, criaremos um plano ortogonal ao PH e ao PV (que por conseqüência será paralelo ao polígono). Com isso, obteremos a épura:

FIGURA 133: INSERÇÃO DO PP

FONTE: AUTOR

FIGURA 134: ÉPURA DA PROJEÇÃO COM TRÊS PLANOS

FONTE: AUTOR


127

Com o plano auxiliar ortogonal ao PH e ao PV, temos a projeção do triângulo, mostrando a VG dos seus lados originais.

Observe os seguintes exemplos:

1) Construa a épura do triângulo ABC de vértices A [1, 2, 3], B [3, 2, 4] e C [2, 2, 3].

Solução: Como os três vértices possuem o mesmo afastamento (2), podemos dizer que o triângulo é paralelo ao PV, o que, na épura, aparece como um segmento (abaixo da LT), e acima da LT teremos o triângulo, mantendo a VG de seus lados.

Portanto, basta localizar cada vértice na épura e uni-los.

FIGURA 135: EXEMPLO DE TRIÂNGULO PARALELO AO PV

FONTE: AUTOR

Qualquer dúvida com relação ao sinal do afastamento ou da cota, consulte o quadro de sinais no final do Tópico 4, da Unidade 2.

IMPORTANTE

1) Construa a épura com a VG do triângulo ABC de vértices A [1, 3, 6], B [1, 4, 5] e C [1, 3, 4].

Solução: Como os três vértices possuem a mesma abscissa (1), podemos dizer que o triângulo é ORTOGONAL aos PV e PH, e que, na épura, aparecem como segmentos perpendiculares à LT.


128

FIGURA 136: EXEMPLO DE ÉPURA COM SEGMENTO ORTOGONAL

FONTE: AUTOR

É sabido que, se o polígono for oblíquo, precisamos projetá-lo no PP para obter a VG no sistema mongeano, mas na épura podemos obter a VG fazendo apenas as operações do Tópico 3, item 2, dessa Unidade, como veremos a seguir.

1º passo: Trace uma reta r paralela à LT, passando por B’’.

FIGURA 137: VG DO TRIÂNGULO ORTOGONAL – 1° PASSO

FONTE: AUTOR


129

2º passo: Projete o segmento A’B’ em r, que dará origem ao segmento DB’’’.


FONTE: AUTOR

3º passo: Leve o segmento A’’C” até D, que dará origem ao segmento A’’’C’’’.


FONTE: AUTOR


130

4º passo: Basta ligar os pontos A’’’, B’’’ e C’’’ e você terá a épura com a VG (∆A’’’B’’’C’’’).


FONTE: AUTOR


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MOSAICOS E ORIGAMI: A ANTIGA ARTE DE DOBRADURA DE PAPEL MOSTRA COMO SE ACHATA UM CILINDRO

Ian Stewart

O origami, que em japonês significa a arte da dobradura de papel, guarda numerosas relações com a matemática. Examinaremos neste texto suas contribuições para a teoria dos mosaicos e para a inteligência mecânica.

Tibor Tarnai, da Universidade de Budapeste, estudou um fenômeno que os engenheiros se esforçam para compreender - o esmagamento das estruturas: toda obra submetida a forças excessivas se deforma ou se rompe. Quando observado em folhas finas de metal, é particularmente interessante, pois essas peças têm uma resistência considerável, apesar de sua massa frágil. A mais conhecida é a lata de alumínio para bebidas, uma obra-prima da produção industrial.

Quando um cilindro de metal é comprimido seguindo seu eixo – ou seja, quando o movimento obedece a ele e é feito em seu sentido –, ele permanece cilíndrico até que as forças atinjam um valor crítico, a carga de esmagamento. E então ele é achatado de uma só vez. Durante a realização de experiências de laboratório, todavia, é possível limitar a deformação, por exemplo, a ajustar um cilindro um pouco menor do que aquele que está sendo testado em seu interior. Dessa forma, analisam-se as primeiras etapas do processo.

O esmagamento gera uma soberba estrutura simétrica, composta de losangos, que se assemelha bastante às figuras que obtemos ao dobrar uma folha de papel em triângulos e enrolá-la como um cilindro. O papel se deforma, então, como ocorre com uma folha de metal.

A Estrutura de Yoshimura corresponde ao modo principal de achatamento de um cilindro.


132

O primeiro tipo de deformação é chamado de estrutura de Yoshimura (ver ilustração abaixo). Obtém-se tal estrutura pavimentando-se um plano com triângulos isósceles (formando o que chamamos, aqui, de mosaicos), todos planos, ou seja, não deformados.

Podem outras pavimentações do plano ser dobradas do mesmo modo? Sabemos há muito tempo que existem exatamente três tipos de mosaicos (ou pavimentações) regulares e uniformes. “Regular” significa que as peças são todas polígonos regulares idênticos; “uniformes” quer dizer que as combinações das peças são idênticas a cada vértice. Os mosaicos regulares e uniformes são compostos de triângulos eqüiláteros, de quadrados ou de hexágonos.

Mosaicos Semi-Regulares

Em 1850, o matemático suíço Ludwig Schläfli demonstrou que existem, além dos regulares, oito tipos uniformes e “semi-regulares”, nos quais todas as peças são polígonos regulares, mas não necessariamente idênticos. Designamos essas peças pelo símbolo de Schläfli, que assinala a natureza das peças ao redor de cada vértice. Por exemplo, a colméia é assinalada (6³), quer dizer, seis triângulos eqüiláteros em cada vértice, e (44), ou seja, quatro quadrados.

Os mosaicos uniformes semi-regulares (ver seqüência de figuras) são: (34.6), (3³.4²), (3².4.3.4), (3.4.6.4), (3.6.3.6), (3.12²), (4.6.12) e (4.8²). O mosaico (3.4.6.4), por exemplo, tem, em cada vértice, um triângulo eqüilátero, um quadrado, um hexágono e um outro quadrado. Na estrutura de Yoshimura, a peça não é um polígono regular (os triângulos deveriam ser eqüiláteros e não isósceles), e não deveria, portanto, estar na lista. Ela corresponderia à fórmula (36).

Quais estruturas podem ser dobradas no sentido das arestas de polígonos, de modo que as faces poligonais permaneçam planas? É possível dobrar uma estrutura 44 no sentido de suas linhas horizontais, ou das verticais, sem que as peças quadradas se deformem. Em contrapartida, isso não pode ser feito com uma estrutura 44 no sentido das linhas horizontais e verticais, pois as peças se curvam.

Em 1989, Koryo Miura demonstrou que nenhum mosaico no qual três arestas se cruzam num vértice pode ser dobrado, o que elimina as possibilidades (6³), (3.12²), (4.6.12) e (4.8²). Acontece o mesmo com os mosaicos (34.6) e (3.4.6.4), nos quais as faces poligonais não permanecem planas. Linhas atravessam os mosaicos (3.6.3.6) e (44), que podem ser dobrados no sentido dessas linhas, mas, ainda desta vez, os resultados são pouco interessantes.

Só restam, então, os mosaicos (36), (3³.4²) e (3².4.3.4), que não só podem ser dobrados, como enrolados em cilindro, como a estrutura de Yoshimura. Esses três mosaicos devem merecer a atenção dos engenheiros. Eles podem ser dobrados de várias maneiras. A figura

133

2 mostra quatro maneiras de dobrar o mosaico (3².4.3.4); os segmentos negros indicam as dobras em relevo, e os pontilhados, as dobras em cruz. A mesma figura mostra os respectivos cilindros vincados.

A estrutura das linhas de dobradura se repete na totalidade do plano. Os paralelogramos coloridos da figura 2 indicam a unidade básica. A menor unidade básica possível (em vermelho) tem uma superfície igual a dois quadrados e três triângulos. Um desses quadrados é dividido em duas partes que daria um quadrado se as bordas opostas da unidade básica fossem coladas. É o único motivo de dobradura possível, cuja unidade básica contém dois quadrados.

A segunda unidade básica (em verde) contém quatro quadrados e supõe-se também que ela seja a única dobradura com essa particularidade. A terceira (em azul) contém seis quadrados; há várias dobraduras desse tipo, e deixo aos leitores a possibilidade de encontrar outras. A última (em laranja) contém oito quadrados, e há novamente várias dobraduras desse tipo. Deixo também aos leitores a possibilidade de encontrar as que correspondam a (36) e (3³.4²).

Como ocorre na estrutura de Yoshimura, determinadas dobraduras assemelham-se à superfície obtida pelo achatamento de um cilindro real. Além

134

disso, o achatamento pode ser simulado por computador; basta fazer como se as peças planas do mosaico sejam ligadas por um material elástico. Os resultados são úteis tanto em arquitetura como em inteligência mecânica. É sempre animador ver como a matemática reconcilia uma arte antiga com a modernidade.

FONTE: Extraído e adaptado de: STEWART, Ian. Mosaicos e origami. Scientific american. São Paulo, Ed. especial: Etnomatemática, n. 11, p. 78-79.

135

RESUMO DO TÓPICO 4

Para uma melhor fixação dos conteúdos tratados, apresentamos, para você, caro acadêmico, um breve resumo dos mesmos:

Para projetar um polígono, basta projetar os vértices desse polígono e ligá-los.

Se os vértices de um polígono têm cotas iguais, então, esse polígono é paralelo ao PH em que é projetada a VG do polígono.

Se os vértices de um polígono têm afastamentos iguais, então, esse polígono é paralelo ao PV em que é projetada a VG do polígono.

Se os vértices de um polígono têm abscissas iguais, então, esse polígono é ortogonal aos planos PH e PV, e sua VG fica projetada no PP.

136

AUTOATIVIDADE

1) Pesquise em livros de matemática do ensino médio ou na internet e dê:

a) a definição de polígonob) cinco exemplos diferentes de polígonos

2) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças abaixo:

a) ( ) Podemos ter um polígono paralelo ao PH e paralelo ao PVb) ( ) Existe como desenhar um polígono perpendicular ao PV e oblíquo ao

PHc) ( ) Sempre que o polígono é paralelo a LT ele será paralelo a um dos planos

de projeçãod) ( ) Se todos os segmentos pertencentes a um polígono são ortogonais a um

plano então esse polígono é ortogonal a esse plano.e) ( ) Há casos de polígonos oblíquos aos planos de projeção que produzem,

em um deles, a projeção com a VG.

3) Construa a épura dos triângulos de vértices relacionados abaixo e depois consiga suas VG:

a) A (0,2,3); B (0,2,5) e C (0,4,4)b) A (-1,3,3); B (8,3,4) e C (-6,3,10)c) A (-1,-1,6); B (3,6,6) e C (-7,3,6)

137

REFERÊNCIAS

HARRIS, Ana Lúcia N. C.; SCALO, Roberto. Projeções Cilíndricas x Projeções Cônicas. Disponível em: <http://www.rau-u.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M2.htm. Acesso em: 03 maio 2008.

LIMA, Elon Lages; et al. A Matemática do ensino médio – Vol. 2. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2004.

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ANOTAÇÕES

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Prof. André Marcelo Santos de Souza Prof. Saulo Vargas