pROF. MSC. LUIZ HENRIQUE MORAIS DA SILVA

PROF. MSC. LUIZ HENRIQUE MORAIS DA SILVA

1

AUTOR:

Luiz Henrique M. da Silva

Graduado em Matemática e

habilitado em Física pelo UNIFEB.

Especialista em Educação

Matemática pela Faculdade São

Luís.

Mestre em Matemática pela

Unesp (S.J.R.P.) – IBILCE –

PROFMAT (SBM) /CAPES.

Programa de Matemática em

rede Nacional - Área: Ensino de

Matemática.

Fevereiro 2014

2014

UNIFEB

Barretos/ SP

Ementa

1. Definições de razão e proporção, propriedades;

2. Grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais, Regra

de três;

3. Porcentagem;

4. Problemas sobre custo e venda;

5. Fator de capitalização e taxa unitária.

6 Acréscimos e descontos Percentuais simples e Sucessivos;

7. Juros simples e compostos;

8. Taxa nominal e taxa efetiva;

9. Serie uniforme e perpetuidade;

10. Descontos simples: racional; desconto comercial, desconto bancário;

11. Descontos compostos: racional e Comercial;

12. Sistemas de amortização: S.A.C. e Tabela Price;

Bibliografias (Sugestão de Estudo) - Básicas:

Assaf Neto, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 11a ed. São

Paulo , ed. Atlas, 2009

Crespo, Antônio Arnot. Matemática Financeira Fácil. 14a ed. São Paulo:

Saraiva, 2009.

Complementares:

Samanez, Calos Patricio. Matemática Financeira (Aplicações à análise

de investimentos), 4ª. Edição, Ed. Person Education, 2009.

Lima, Elon Lajes, e outros. A matemática do Ensino médio, 6a. ed. Rio de

janeiro, SBM, volume 2, 2006.


2

SUMÁRIO

1. RAZÃO E PROPORÇÃO .................................................................. 5

1.1 Razão .......................................................................................... 5

1.2 Proporção ..................................................................................... 5

Atividade 1 – Razão e Proporção ......................................................... 6

2. GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS . 7

2.1 Grandeza ..................................................................................... 7

2.2 Grandezas Diretamente Proporcionais .............................................. 7

2.3 Grandezas Inversamente Proporcionais ............................................ 8

Atividade 2 – Regra de Três Simples e Composta, Direta e Inversa ......... 8

3. Porcentagem (ou percentagem) .................................................. 9

3.1 Taxa unitária ................................................................................ 9

Atividade 3 - Porcentagem ................................................................. 9

4. Aumentos e descontos Percentuais simples ................................ 10

4.1 Fator de Capitalização ................................................................... 10

4.2 Fator de descapitalização .............................................................. 10

4.3 Aumentos (Acréscimos) percentuais simples .................................... 10

Atividade 4 – Aumentos e Descontos Percentuais simples ..................... 11

5. Aumentos e descontos percentuais sucessivos ........................... 12

5.1 Aumentos (Acréscimos) percentuais sucessivos ............................... 12

5.2 Descontos (Abatimento) percentuais sucessivos ............................... 12

Atividade 5 – Aumentos e descontos Percentuais sucessivos ................. 13

6. Operações sobre mercadorias ..................................................... 14

6.1 Introdução .................................................................................. 14

6.2 Cálculos de lucro ou prejuízo ......................................................... 14

6.3 Vendas com lucro ......................................................................... 15

6.3.1 Vendas com lucro sobre o preço de custo ..................................... 15

6.3.2 Vendas com lucro sobre o preço de venda .................................... 15

6.4 Vendas com prejuízo .................................................................... 16

6.4.1 Vendas com prejuízo sobre o preço de custo ................................. 16

6.4.2 Vendas com Prejuízo sobre o preço de venda ................................ 17

Atividade 6 – Operações sobre mercadorias ........................................ 17


3

7. Sistema de Capitalização – Regime de Juros ............................... 18

7.1 Introdução .................................................................................. 18

7.2 Unidade de medida ....................................................................... 18

7.3 Taxa de juros .............................................................................. 18

7.4 Diagrama de capital no tempo ....................................................... 18

7.4.1Convenções empregadas ............................................................. 19

7.5 Tipos de sistemas de Capitalização ou Regime de Juros .................... 19

8. Sistema de Capitalização Simples – Regime de Juros simples .... 20

Atividade 7 – Juros Simples .............................................................. 21

9. Sistema de Capitalização Composto – Regime de Juros Compostos

....................................................................................................... 22

9.1 Cálculo do valor futuro ou montante ............................................... 23

9.2 Cálculo do valor atual ................................................................... 23

9.3 Diagrama de juros simples x Juros compostos ................................. 23

Atividade 8 – Juros Compostos .......................................................... 24

10. Taxa de Juros............................................................................ 26

10.1 Taxa de juros nominal ................................................................. 26

10.2 Taxa Efetiva .............................................................................. 27

10.3 Taxa Over (Taxa por dia útil) ....................................................... 27

Atividade 9 – Taxa de Juros .............................................................. 28

10.4 Leitura Complementar ................................................................. 29

10.4.1 Taxa real, aparente e de inflação ............................................... 29

10.4.2 Cálculo das taxas real, aparente e de inflação ............................. 29

11. Série Uniforme e Renda Perpétua ............................................. 30

11. 1 Introdução – Série de pagamentos .............................................. 30

11.1.1 Tipos de série de pagamento ..................................................... 30

11.2 Séries periódicas uniforme ........................................................... 31

11.3 Renda Perpétua .......................................................................... 32

Atividade 10 – Séries Uniforme e Renda Perpétua ................................ 33

11.4 Leitura complementar - Rendas certas ou anuidades ....................... 34

12. Operações de curto prazo - Operações financeiras com Desconto

Simples ........................................................................................... 36


4

12.1 Introdução ................................................................................. 36

12.2 Desconto Racional Simples (Desconto por dentro) .......................... 36

12.3 Desconto Comercial Simples (Desconto por fora) ............................ 37

12.4 Desconto Comercial bancário ....................................................... 37

12.5 Leitura complementar ................................................................. 38

Atividade 11 – Desconto Simples ....................................................... 40

13. Operações de longo prazo – Operações financeiras com

Desconto Composto ........................................................................ 41

13.1 Introdução ................................................................................. 41

13.2 Desconto racional composto ........................................................ 41

13.3 Desconto Comercial composto ...................................................... 42

Atividade 12 – Desconto Composto .................................................... 43

14. Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos ... 44

14.1 Introdução ................................................................................. 44

14.2 Conceitos básicos ....................................................................... 44

14.3 Sistema de Amortizações Constantes – SAC .................................. 45

Atividade 13 – Sistema SAC .............................................................. 47

14.3 Sistema de Amortizações Francês – Tabela Price ............................ 48

Atividade 14 – Sistema de Amortização Francês .................................. 50

Referências Bibliográficas............................................................... 51


5

1. RAZÃO E PROPORÇÃO

1.1 Razão

Definição 1: Dados dois números reais a e b, define-se a razão de a para b

por:

).0( bb

a

Onde a é chamado antecedente e b consequente.

Observação 1: A razão é usada na comparação de grandezas.

Exemplo: A razão entre a atura de Pedro e Paulo é 2/3.

1.2 Proporção

Definição 2: Dados os números reais a,b,c e d onde a esta b assim como b

esta pra c, define-se a seguinte proporção:

),0,( dbkd

c

b

a

sendo k a constante de proporcionalidade.

Generalizando: ,...)3,2,1;0(...3

3

2

2

1

1 ibkb

a

b

a

b

a

b

ai

n

n

Observação 2: Uma proporção pode ser entendida como sendo uma igualdade

entre duas ou mais razões.

Proposição 1: Definida a proporção )0,( dbkd

c

b

a, ou

)0,( dbkdcba , então: dacb ..

Ou seja, o produto dos meios da igualdade é igual ao produto dos

extremos da mesma.

Prova: Definida a proporção )0,( dbkd

c

b

a,então temos:

)0( kk

abk

b

a I

dkckd

c.. II

Dai, por I e II, temos: dacbdkk

acb ..... (c.q.p.)


6

Proposição 2: Definida a proporção )0,( dbkd

c

b

a, então:

).0,(

dbk

d

c

b

a

db

ca

Prova: Provaremos apenas a adição, pois a subtração é análoga.

Definida a proporção )0,( dbkd

c

b

a,então temos:

bkakb

a. I

dkckd

c.. II

Dai, por I e II, temos:

kdb

cadbkdkkbca

)(. III

Comparando I e III conclui-se que:

kb

a

db

ca

IV

Analogamente, para II e III, temos:

kd

c

db

ca

V

Portanto, de IV e V conclui-se que: ).0,(

dbk

d

c

b

a

db

ca

Generalizando: ,...)3,2,1;0(......

...

2

2

1

1

21

21

ibk

b

a

b

a

b

a

bbb

aaai

n

n

n

n

Atividade 1 – Razão e Proporção

1) A razão entre dois números é 5

3

o menor deles é 6. Qual é o maior?

2) A razão de um número x para um número y é 4. Qual a razão de y para x?

3) Determine o valor de x e y em cada item:

2

1

64)

yxa

3

24

15)

y

xb

4) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8,

assim como o outro está para 9. Quais são os dois números?

5) Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para

13, assim como b está para 7. Qual o valor de a e de b?

http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex1





7

2. GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS

2.1 Grandeza

Definição 3: Considera-se como sendo uma grandeza, algo que possa ser

medido e comparado a algo de mesma natureza.

Exemplo: Altura, largura, espessura, área, volume, etc.

2.2 Grandezas Diretamente Proporcionais

Definição 4: Duas ou mais grandezas são ditas diretamente proporcionais,

quando existe uma constante de proporcionalidade k, onde:

,...)3,2,1;0(...3

3

2

2

1

1 ibkb

a

b

a

b

a

b

ai

n

n

Exemplo: Um carro a velocidade constante, percorre distancias cada vez

maiores relativa ao aumento do tempo de percurso.

Graficamente temos:

Gráfico 1 – Grandezas diretamente proporcionais.

Como ktgkb

a

b

a

b

a

b

atg

n

n ...3

3

2

2

1

1


8

2.3 Grandezas Inversamente Proporcionais

Definição 5: Duas ou mais grandezas são ditas inversamente proporcionais,

quando existe uma constante de proporcionalidade c, onde:

,...)3,2,1;0(1

...111

3

3

2

2

1

1 ibc

b

a

b

a

b

a

b

ai

n

n Ou cbabababa nn ....... 332211

Graficamente temos:

Gráfico 2 – Grandezas inversamente proporcionais.

Atividade 2 – Regra de Três Simples e Composta, Direta e Inversa

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com

motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts hora de energia.

Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um

determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo

percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

3) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou

determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido

para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

4) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas,

quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

5) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias.

Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?


9

3. Porcentagem (ou percentagem)

Definição 6: Define-se o valor x % como sendo a razão

.100

%x

x

Exemplos: 02,0100

2%2)1 3,0

100

30%30)2 001,0

100

1,0%1,0)3

3.1 Taxa unitária

Definição 7: Define-se a taxa unitária i % como sendo a razão

.100

%i

i

Quando se trabalha com operações sobre mercadorias, efetuando-se

descontos, aumentos e juros, a taxa unitária é de essencial importância.

Exemplo: Encontre o valor em reais de 45% de R$300,00.

Resolução: 00,135$300100

45300%).45( R .

Atividade 3 - Porcentagem

Completa a tabela de valores abaixo:

Tabela 1 – Porcentagem

Porcentagem (fração) Porcentagem (decimal)

11%

63 %

72,4 %

8,2 %

0,04 %

Cálculo Taxa unitária Valor final

8% de R$ 60,00

0,5 % de R$200,00

11% de R$ 12, 00

25% de R$ 45,00

2% de 3 %


10

4. Aumentos e descontos Percentuais simples

4.1 Fator de Capitalização

Definição 8: Define-se o fator de capitalização como um número,

representado por )1(%)%100( ix , onde i é a taxa unitária.

Podemos entender o fator de capitalização como sendo um número o

qual deve multiplicar o valor de uma certa mercadoria (produto) para obter

o resultado final, ou seja, o novo preço desta mercadoria acrescido do

percentual de aumento que se deseja utilizar.

Por exemplo: O valor de R$ 30,00 acrescido de 15% é dado por

50,34$30)15,01(30%).15(30 R .

4.2 Fator de descapitalização

Definição 9: Define-se o fator de descapitalização como um número,

representado por )1(%)%100( ix , onde i é a taxa unitária.

Podemos entender o fator de descapitalização como sendo um número

o qual deve multiplicar o valor de uma certa mercadoria (produto) para obter

o resultado final, ou seja, o novo preço desta mercadoria abatido do

percentual de desconto que se deseja utilizar.

Por exemplo: O valor de R$ 40,00 abatido de 20% é dado por

00,32$40)2,01(40%).20(40 R .

4.3 Aumentos (Acréscimos) percentuais simples

Proposição 3: Seja p o valor de uma determinada mercadoria (produto),

define-se um amentos simples sobre p como sendo o valor A, dado por:

)1.( ipA .

Prova: Seja P o preço de uma determinada mercadoria (produto) e A o seu

valor após sofre um aumento de x% = i, temos:

p _______ 100% ou seja, p __________ 1

A _______ 100% + x% A __________ (1 + i)

Portanto, )1.( ipA .


11

Exemplo: Um produto custa R% 1500,00 ao sofre um acréscimo de 20%

passará a custar? Resolução: 00,1800$)2,01(1500)1.( RAipA

4.4 Descontos (Abatimentos) percentuais simples

Proposição 4: Seja p o valor de uma determinada mercadoria (produto),

define-se um desconto (abatimento) simples sobre p como sendo o valor D,

dado por: )1.( ipD .

Prova: Seja P o preço de uma determinada mercadoria (produto) e D o seu

valor após sofre um abatimento de x% = i, temos:

p _______ 100% ou seja, p _________ 1

D _______ 100% - x% D ____________ (1 – i)

Portanto, )1.( ipD

Exemplo: Uma mercadoria custa R% 1500,00 ao sofre um abatimento de

20% passará a custar?

Resolução: 00,1200$)2,01(1500)1.( RDipD

Atividade 4 – Aumentos e Descontos Percentuais simples

1) Um equipamento eletrônico no valor de R$1200,00 sofre um desconto de

25%.

a) Qual o seu preço após o desconto?

b) Qual o valor do desconto em reais?

2) No período de festa de uma cidade as mercadorias sofrem um aumento de

15%. Um produto que custa hoje R$ 180, 00.

a) Após o aumento irá custar?

b) Qual o valor do desconto em reais deste produto?

3) Um gerente de uma loja decide dar um aumento de 10% em suas

mercadorias a fim de aumentar os lucros. Mas no decorrer da semana que

fora repassado este aumento, o fluxo de clientes diminuiu. Para suprir este

aumento ele decide realizar uma promoção e após este aumento as

mercadorias sofrem um desconto de 10%.

a) Um produto que custe R$ 250, 00 após o aumento passaria a custara?

b) Após o aumento dado ao referido produto, com o desconto de 10% o

produto passará a custar?


12

5. Aumentos e descontos percentuais sucessivos

5.1 Aumentos (Acréscimos) percentuais sucessivos

Proposição 5: Seja p o valor de uma determinada mercadoria (produto)

que sofre k aumentos nas taxas unitárias i1, i2, i3, ..., ik , define-se os

aumentos sucessivos sobre p como sendo o valor Ak, dado por:

)1(.1).1).(1.( 321 kk iiiipA

Ou,

k

n

nk ipA1

)1(. .

Prova: Seja P o preço de uma determinada mercadoria (produto) e A1 o seu

valor após sofre um primeiro aumento de x% = i1, temos )1.( 11 ipA .

Ao sofre um segundo aumento de x% = i2, temos )1.( 221 iAA , após

mais um amento (terceiro) de x% = i3, passamos a ter )1.( 323 iAA , e

assim sucessivamente, ou seja, para um aumento de x% = ik, teremos

)1.(1 kkk iAA .

Portanto, temos

)1()1).(1).(1.()1.(

)1).(1).(1.()1(

)1).(1.()1.(

)1.(

3211

321323

21212

11

kkkk iiiipiAA

iiipiAA

iipiAA

ipA

5.2 Descontos (Abatimento) percentuais sucessivos

Proposição 6: Seja p o valor de uma determinada mercadoria (produto) que

sofre k descontos nas taxas unitárias i1, i2, i3, ..., ik , define-se os abatimentos

sucessivos sobre p como sendo o valor Dk, dado por:

)1(.1).1).(1.( 321 kk iiiipD Ou,

k

n

nk ipD1

)1(. .

Prova: A prova é análoga a prova de aumentos sucessivos!


13

Atividade 5 – Aumentos e descontos Percentuais sucessivos

1) Calcule o líquido de uma duplicata no valor de R$8.600,00 que sofreu a

redução de 15% sobre este valor e, em seguida, outro abatimento de 8%

sobre o liquido da primeira redução.

2) Sobre um artigo de R$2.500,00 incide um imposto federal de 7% e um

estadual de 3,5%. Determine o preço final desse artigo.

3) Uma pessoa comprou um automóvel de R$15.800,00 (preço de tabela)

com desconto de 2,5%. No dia seguinte, vendeu o automóvel pelo valor de

2% acima do preço de tabela. Qual foi a taxa percentual de lucro total dessa

pessoa?

4) (VUNESP) Ana e Lucia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elas

tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu

aumentar em 20% suas vendas, em relação a maio, Lucia, por sua vez, teve

um ótimo resultado, conseguindo superar em 25% as vendas de Ana, em

junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas de Lucia teve um

crescimento de:

a) 35%

b) 45%

c) 50%

d) 60%

e) 65%

5) Qual será o valor liquido de uma fatura de R$36.000,00 que recebe

desconto sucessivos de 2%, 5% e 4% ?


14

6. Operações sobre mercadorias

6.1 Introdução

Quando se trabalha com compra e venda de mercadorias, tem-se a

possibilidade de obtenção de lucro ou prejuízo, que pode ser sobre o preço

de custo ou sobre o preço de venda. Para isso é necessário saber primeiro o

que é preço de custo de uma mercadoria. O preço de custo de uma

mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido das despesas diretas

sobre a compra e a venda e, ainda, das despesas de administração,

tributárias (PIS, COFINS, ICMS, IPI e outras) e de funcionamento da

empresa.

Quando se fala em taxa de lucro ou de prejuízo, imediatamente se

pensa em taxa de lucro ou de prejuízo sobre o preço de custo; pois é este

que representa o capital empregado pelo comerciante na compra das

mercadorias a serem vendidas. Na prática, entretanto, é mais cômodo ao

comerciante calcular a taxa de lucro ou de prejuízo sobre o preço de venda;

pois esse preço, presente nas tabelas de uso comercial e também nas

etiquetas das mercadorias, é de mais fácil acesso do que o preço de custo.

Além disso, o conhecimento da taxa de lucro sobre o preço de venda

possibilita a determinação da taxa de lucro sobre o preço de custo, uma vez

que existe uma relação entre as duas taxas.

6.2 Cálculos de lucro ou prejuízo

Definição 10: Define-se o lucro L de uma determinada mercadoria (produto)

como sendo a função que associa o preço de custo C e o preço de venda V,

ou seja )(;),( CVCVLCVfL .

Exemplo: Um produto custa para um revendedor R$ 120, 00 se o mesmo é

vendido por R$ 185, 00, qual o lucro deste revendedor?

Resolução: Como 00,65$120185 RLCVL

Definição 11: Define-se o Prejuízo P de uma determinada mercadoria

(produto) como sendo a função que associa o preço de custo C e o preço de

venda V, ou seja )(;),( VCVCCVPCVfP .

Exemplo: Um produto custa para um revendedor R$ 120, 00 se o mesmo foi

vendido por R$ 95, 00, qual o prejuízo obtido por este revendedor?


15

Resolução: Como 00,25$12095 RPCVP

6.3 Vendas com lucro

Ao se vender uma mercadoria pode-se ocasionar um lucro, sobre o

preço de custo ou sobre o preço de venda da mesma, lembrando-se que ao

se comprar e ao se vender uma mercadoria, vale a lei da oferta e da

demanda.

6.3.1 Vendas com lucro sobre o preço de custo

Proposição 7: Ao se realizar uma venda com lucro sobre o preço de custo

de uma determinada mercadoria (produto), temos a seguinte relação

)1.(. iCVCiCV

Prova: Da definição 10 sabemos que LCVCVL , desenvolvendo

a fórmula: LCV .

V = preço de venda

C = preço de custo

L = lucro

i = taxa unitária de lucro

LCV , onde CiL . , Logo, CiCV .

Exemplo: Uma loja de departamentos coloca à venda uma determinada

mercadoria com um lucro de 13% sobre o preço de custo da mesma.

Determine o preço de venda sabendo-se que esta mercadoria custou

R$230,00.

Resolução: i = 13% = 0,13 , C = 230 , V = ?

Como 9,259)230.(13,0230. VCiCV .

6.3.2 Vendas com lucro sobre o preço de venda

Proposição 8: Ao se realizar uma venda com lucro sobre o preço de venda


)1.(. iVCViCV

Prova: A prova é análoga a proposição anterior!


16

Exemplo: O dono de uma loja de eletrodomésticos comprou uma mercadoria

por R$689,00 e quer vendê-la com um lucro de 25% sobre o preço de venda.

Qual deve ser o valor de venda dessa mercadoria?

Resolução: i = 25% = 0,25 , C = 689 , V = ?

Como 68975,068925,0.25,0689. VVVVVViCV

67,91875,0

689 VV

Resposta. O preço de venda é de R$ 918,67.

6.4 Vendas com prejuízo

Analogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser

vendida com prejuízo sobre o preço de custo ou de venda.

6.4.1 Vendas com prejuízo sobre o preço de custo

Proposição 9: Ao se realizar uma venda com prejuízo sobre o preço de custo


)1.(. iCVCiCV

Prova: Da definição 11 sabemos que PCVVCP , desenvolvendo

a fórmula: PCV .

V = preço de venda

C = preço de custo

P = Prejuízo

i = taxa unitária de Prejuízo

PCV , onde CiP . , Logo, CiCV .

Exemplo: Um aparelho de jantar foi vendido com um prejuízo de 40% sobre

o preço de custo. Sabendo-se que esse aparelho custou R$300,00, qual foi o

preço de venda?

Resolução: i = 40% = 0,4 , C = 300 , V = ?

Como 180120300)300.(4,0300. VCiCV

Resposta. O preço de venda é de R$ 180,00.


17

6.4.2 Vendas com Prejuízo sobre o preço de venda

Proposição 10: Ao se realizar uma venda com prejuízo sobre o preço de

venda de uma determinada mercadoria (produto), temos a seguinte relação

)1.(. iVCViCV

Prova: A prova é análoga a proposição anterior!

Exemplo: Uma mercadoria cujo custo é de R$96.000,00 foi vendida com um

prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda dessa

mercadoria.

Resolução: i = 20% = 0,2 , C = 96.000 , V = ?

Como

000.962,1000.962,0.2,0000.96. VVVVVViCV

000.802,1

000.96 VV

Resposta. O preço de venda é de R$ 80.000,00

Atividade 6 – Operações sobre mercadorias

1) Uma televisão foi revendida por R$1490,00, dando um lucro de 40% sobre

o custo. Quanto havia custado?

2) Quanto por cento sobre o custo se perdeu, ao se vender por R$238,00 um

objeto que custou R$280,00?

3) Vendendo um imóvel por R$150.000,00 tive um prejuízo de 17% sobre o

preço de venda. Por quanto comprei?

4) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$540,00 tendo

ganho 60% do preço de venda?

5) Vendi uma loja por R$32.000,00. Se tivesse vendido por mais R$1.999,00,

meu lucro seria de 40% sobre o preço da nova venda. Qual foi o meu lucro?

6) Certa mercadoria foi vendida por R$3.232,00 com um prejuízo de 8,7%

sobre o preço de compra. Por quanto deveria ser vendida, para dar lucro de

12% sobre o preço de custo?


18

7. Sistema de Capitalização – Regime de Juros

7.1 Introdução

Juros é a remuneração dada a qualquer título de capitalização, ou seja,

pelo uso do capital empregado, ou pela aplicação do capital em atividades

produtivas, durante um certo período e à uma determinada taxa.

Esse intervalo de tempo usado na aplicação do capital à uma referida

taxa, é denominado período financeiro ou período de capitalização.

Definição 12: Se aplicarmos um capital durante um certo período de tempo,

ao fim do prazo obteremos um valor (montante) que será igual ao capital

aplicado acrescido da remuneração obtida durante este período de aplicação

(juros): JCM

M – montante gerado em um período de investimento.

C – Capital investido.

J – juros grado no período de investimento.

7.2 Unidade de medida

Os juros são fixados através de uma taxa percentual, que sempre se

refere à uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc..

7.3 Taxa de juros

A taxa de juros mede o custo da unidade de capital, no período a que

se refere. Essa taxa é fixada no mercado de capitais pela variação entre as

forças que regem a oferta de fundos e a procura de créditos.

Definição 13: É a razão entre os juros pagos ou recebidos e o capital

aplicado, num determinado período de tempo.

7.4 Diagrama de capital no tempo

Os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo (entradas e

saídas) de dinheiro no tempo. Esse fluxo é mais conhecido na prática como

fluxo de caixa e é geralmente representado por um diagrama convencional

de setor.


19

Figura 1 – Diagrama de capital no tempo.

Essa representação é muito útil para situações em que é necessário

visualizar o que está ocorrendo, quando temos entradas e saídas de capital

no tempo.

7.4.1Convenções empregadas

Reta horizontal: escala de tempo com progressão da esquerda para a

direita;

Períodos de tempo: representados em intervalos contíguos, de modo que

cada número representa períodos acumulados;

Flechas:

a) Para baixo: saída ou aplicação de dinheiro (ou valor negativo)

b) Para cima: entrada ou recebimento de dinheiro (ou valor positivo)

7.5 Tipos de sistemas de Capitalização ou Regime de Juros

Os sistemas de capitalização ou Regime de juros são classificados em

simples e compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado.


20

8. Sistema de Capitalização Simples – Regime de

Juros simples

Definição 14: Juros simples são aqueles calculados somente sobre o capital

inicial, ou seja, quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo

capital inicial aplicado (também chamado de principal ou ainda, valor

presente) é diretamente proporcional ao seu valor (capital) e ao tempo de

aplicação.

tiCJ ..

Onde:

C – Capital investido ou retirado.

i – taxa unitária de juros simples.

t – período de aplicação, investimento ou empréstimo.

Exemplo: Um capital de R$100,00 foi emprestado por 2 meses, à taxa de

juros simples de 3% ao mês. Qual o valor dos juros recebidos?

1º mês = R$100,00 x 0,03 = R$3,00 (R$100,00 de capital renderá

R$3,00 de juros).

2º mês = R$100,00 x 0,03 = R$3,00 (R$100,00 de capital renderá

R$3,00 de juros).

Total de juros nos dois meses = R$3,00 + R$3,00 = R$ 6,00.

Observe que os juros são sempre iguais; pois incidirá sempre sobre o

capital inicial.

Pela fórmula, teremos: 6203,0100.. JtiCJ


21

Atividade 7 – Juros Simples

1) Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, no

prazo de 3 meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor do juros neste período?

2) Determine o juros simples de um capital de R$10.000,00 que é aplicado

por 40 dias, à taxa de 36% ao ano.

3) Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil,

sabendo que o valor do montante acumulado em após 1 semestre foi de

R$118.000,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada pelo banco?

4) Qual é o juro simples e qual é o valor futuro (montante) de um capital de

R$45.000,00 aplicado à taxa de juro simples de 18% ao semestre, pelo prazo

de 5 anos e 9 meses

5) Um empréstimo de R$13.580,00 foi realizado em 20/08 e pago em 29/12

do mesmo ano. Sabendo-se que a taxa foi de 37,8% ao ano, determine o

juros simples total a ser pago.

6) Um investidor aplica 2/5 do seu capital a 4% ao mês e o restante a 45%

ao ano. Decorridos 4 anos e 5 meses, recebe um total de R$ 798.000,00 de

juro. Calcular o seu capital inicial.


22

9. Sistema de Capitalização Composto – Regime de

Juros Compostos

Definição 15: Juros compostos são aqueles calculados sobre o montante ou

valor futuro relativo ao período anterior, a partir do segundo período

financeiro. Portanto, podemos concluir que o montante no regime de juros

compostos é igual ao de juros simples no 1º período e maior do que no regime

de juros simples, a partir do segundo período a uma mesma taxa de juros.

Teorema 1: No Regime de juros compostos, aplicados a uma taxa unitária

i, sobre um capital inicial C, transforma-se, depois de t períodos de tempo,

em um montante

tiCM )1.(

Prova: Basta observar que os valores do capital aplicado crescem a uma taxa

constante i e, portanto, formam uma Progressão Geométrica (P.G.) de razão

(1+i).Ou seja, inicialmente temos no primeiro período de aplicação

).1.( iCM

À partir do segundo período de aplicação passamos a ter

.)1.()1).(1.( 2iCiiCM Já no terceiro período teremos,

.)1.()1).(1).(1.( 3iCiiiCM Assim, para um período de

t, .)1.()1()1).(1).(1.( tiCMiiiiCM

A diferença entre os dois regimes pode ser facilmente verificada

através do exemplo seguinte, pois o juro simples é linear e o juro composto

é exponencial.

Exemplo: Um capital de R$25.800,00 aplicados a 11,8% ao ano nos regimes

de juros simples e compostos, por um período de 4 anos, que juros renderão?

Resolução:

I. No regime de juros simples teremos:

60,177.124118,0800.25.. tiCJ

II. No Regime de juros compostos teremos:

60,307.40)118,01.(800.25)1.( 4 tiCM .

Como 60,507.14800.2560.307.40 JJCM


23

9.1 Cálculo do valor futuro ou montante

Como já provado no teorema 1, o valor futuro (montante) dos juros

compostos é dado pela expressão tiCM )1.( .Ou seja, para se obter o

valor futuro, no regime de juros compostos, basta multiplicar o capital atual

por ti)1( .

9.2 Cálculo do valor atual

Do cálculo do valor futuro t

t MCiCM

)11()1.(

.Ou seja,

para se obter o valor atual (presente), basta dividir o valor futuro por

ti)1( .

9.3 Diagrama de juros simples x Juros compostos

Gráfico 3 – Juros simples e Juros compostos.


24

Gráfico 4 – Juros simples x juros compostos.

Atividade 8 – Juros Compostos

1) Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 2.000,00 feita por 2 anos

a uma taxa de juros compostos de 20% ao ano?

2) Determinar o montante, no final de 9 meses, resultante da aplicação de

um capital de R$ 99.580,00 à taxa de 4,875% ao mês.

3) Uma aplicação de R$ 10.000,00 em fundos de ações, foi resgatada após 2

meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e

tributos), qual foi a taxa de juros mensal que este fundo remunerou o

investidor?

4) Em que prazo uma aplicação de R$ 125.480,00 à taxa de 3,75% ao mês,

gera um resgate de R$ 202.497,60?

5) Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal

de 2% a.m. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?

6) Pedro tomou um empréstimo de R$300,00, a juros de 1,5% ao mês. Dois

meses após, Pedro pagou R$150,00 e, um mês após esse pagamento, Pedro

liquidou seu débito. Qual o valor deste último pagamento?


25

7) Qual o valor de um produto à vista, sabendo que uma pessoa adquire este

produto em três prestações mensais e iguais no valor de R$ 100,00 cada

parcela a uma taxa mensal de 5% a.m. a juros compostos?

Miscelânea de Juros simples e compostos

8) Um capital de R$ 25.800 aplicados a 11,8% ao ano nos regimes de juros

simples e compostos, por um período de 4 anos, que juros renderão?

9) No final de quanto tempo um capital, aplicado a taxa de 3,8% ao mês,

triplica o seu valor:

a) No regime de capitalização simples?

b) No regime de capitalização composto?

10) Qual é mais vantajoso: aplicar R$13.000,00 por 3 anos, a juros

compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo

a juros simples de 5% ao mês?


26

10. Taxa de Juros

10.1 Taxa de juros nominal

Definição 16: A taxa nominal consiste em uma taxa referencial em

que os juros são capitalizados (incorporados ao capital inicial) mais de uma

vez no período a que a taxa se refere; taxa nominal é aquela calculada com

base no valor nominal. Portanto, taxas nominais são aquelas cujo período de

capitalização não coincide com aquele a que se refere a taxa.

k

iik

Apesar de vermos que o juro só é formado no final de cada período, na

prática vemos com frequência anúncios do tipo:

juros de 64% ao ano, capitalizados mensalmente;

juros de 425% ao ano, capitalizados bimestralmente.

Convencionou-se, então, chamar de taxas nominais essas taxas com

capitalizações diferentes dos períodos anunciados nos juros.

Também, por convenção, adotou-se que a taxa por período de

capitalização seja proporcional à taxa nominal.

Exemplos:

1) 12% ao ano em 3 anos, capitalizados bimestralmente.

Resolução: K = 6 (bimestres em um ano).

Logo, 02,06

12,06 i

k

iik ao bimestre.

Como n = 3 anos = 18 bimestres

Se precisássemos encontrar o valor futuro seria: 18

6)1.( iCM .

2) Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado por 3 anos a 24% ao ano,

capitalizado trimestralmente. Qual é o valor futuro?

Resolução: n = 3 anos = 12 trimestres

Logo, 06,04

24,04 i

k

iik ao bimestre.

91,304.50)06,01(000.25)1.( 1212

4 MiCM

Portanto, o valor futuro será de R$ 50.305,91


27

10.2 Taxa Efetiva

Definição 17: A taxa efetiva é a taxa calculada com base no valor

efetivamente aplicado ou tomado emprestado. Se a taxa de juros compostos

relativamente a um determinado período de tempo é igual a i, a taxa de juros

relativa a t períodos de tempo é I tal que,

tiI )1(1

Exemplo: Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado por 3 anos à taxa de 24%

ao ano, capitalizado trimestralmente. Qual é a taxa efetiva?

Resolução: n = 3 anos = 12 trimestres

Logo, 06,04

24,04 i

k

iik ao bimestre.

Portanto, %25,26)06,01(1)1(1 4 IIiI ta.a.

O esquema abaixo mostra a relação entre a taxa nominal e a taxa

efetiva.

Figura 2 – Taxa nominal x taxa efetiva.

10.3 Taxa Over (Taxa por dia útil)

A palavra overnight refere-se às operações realizadas no open Market

por prazo mínimo de um dia. O termo open Market, no sentido amplo, é

qualquer mercado sem local físico determinado e com livre acesso à

negociação. No Brasil, entretanto, tal denominação se aplica ao conjunto de

transações realizadas com títulos de renda fixa, de emissão pública ou

privada. A denominada taxa over é adotada geralmente nas operações

financeiras desse mercado, entretanto seu valor não é usado nos cálculos por

não representar uma taxa efetiva.

Definição 18: A taxa over é uma taxa nominal, pois costuma ser expressa

ao mês, com capitalização diária porém, válida somente para dias úteis, ou

seja, sua capitalização ocorre unicamente em dia de funcionamento do

mercado financeiro.


28

Caso se queira realizar uma operação com mais de um dia, utiliza-se o

conceito da taxa nominal para converter a taxa over por um dia e, em

seguida, utiliza-se o conceito da taxa efetiva para capitalizar, ou seja,

converter a taxa over por um dia para o prazo da operação. Assim, o

montante de um capital aplicado à taxa over mensal por um determinado

número de dias é:

du

overtaxaCM

301. ,Onde du = dias úteis no prazo da

aplicação.

Exemplo: Uma operação com duração de 30 dias corridos foi fechada à uma

taxa over de 2% ao mês, sendo computados 22 dias úteis nesse mês.

Determinar a taxa efetiva para o prazo da operação.

Resolução: Dados: taxa over = 2%a .m.; dc = 30 dias; du = 22 dias;

n = 30; I = ? %477,130

02,011

3011

22

II

overtaxaI

du

.

Atividade 9 – Taxa de Juros

1) Verônica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano com capitalização

mensal. Qual a taxa anual de juros a qual está investido capital de Verônica?

2) Qual a taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao semestre com

capitalização mensal?

3) Uma empresa toma emprestado em um Banco R$ 500.000,00 à taxa de

21% ao ano, com capitalizações quadrimestrais. Quanto deverá devolver ao

final de 2 anos? Qual a taxa efetivamente cobrada pelo Banco?

4) Quanto uma pessoa deve depositar em um Banco que paga 24% ao ano,

com capitalizações bimestrais, para que ao fim de 5 anos possua R$

200.000,00? Qual a taxa efetivamente paga pelo Banco?

5) Uma operação com duração de 35 dias corridos, foi contratada à uma taxa

over de 1,8% ao mês. Se durante esse prazo houve 22 dias úteis , calcular a

taxa efetiva mensal e o montante ao término do prazo, considerando-se que

foram aplicados R$100.000,00.

6) Em uma aplicação de R$ 120.000,00 pelo prazo de 38 dias corridos

correspondentes a 32 dias úteis foram resgatados R$ 126.500,00.

Determinar o valor da taxa over mensal.


29

10.4 Leitura Complementar

10.4.1 Taxa real, aparente e de inflação

Quando se realiza uma operação financeira, à uma determinada taxa,

espera-se uma remuneração do capital utilizado na operação, à essa mesma

taxa. Entretanto com a desvalorização das unidades monetárias, essa

remuneração fica distorcida. Um índice de inflação busca medir indiretamente

a desvalorização da unidade monetária, quando da aquisição de um

determinado grupo de bens e serviços, em um dado período.

10.4.2 Cálculo das taxas real, aparente e de inflação

A taxa aparente é aquela que vigora nas operações correntes. Quando

não há inflação, a taxa real é igual a taxa aparente; mas, quando a inflação

existe, a taxa aparente é formada pelos componentes da inflação e da taxa

real.

Notações:

C = valor presente ou capital inicial,

i = taxa aparente

iinf = taxa de inflação

ir = taxa real

M = valor futuro ou montante

a) Quando não há inflação: )1()1()1.()1.( rr iiiCiC

b) Quando há inflação:

infinf 1).1()1()1).(1.()1.( iiiiiCiC rr

Observação 3: a poupança é uma taxa de juros aparente, onde se reduz a

inflação para se ver o juro real. Se a taxa de inflação for menor do que a taxa

de poupança, tem-se um juro aparente; se for maior, tem-se uma perda real.

Exemplo: Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de

9% ao mês e uma inflação de 22% no período?

Resolução: ir = 9% = 0,09 iinf = 22% = 0,22 i = ?

%98,323298,0122,01.09,011).1(1 inf iiii r i

Portanto, 32,98% ao mês.


30

11. Série Uniforme e Renda Perpétua

11. 1 Introdução – Série de pagamentos

Este conteúdo pode ser visto como uma extensão do regime de Juros

compostos. Enquanto no juros compostos, um empréstimo, ou compra, eram

feitos para ser quitado em um único pagamento, em série de pagamentos,

como o próprio nome já diz, esse pagamento será feito por mais de uma

parcela.

11.1.1 Tipos de série de pagamento

As séries de pagamentos se dividem em dois tipos de séries: Série

Antecipada e série Póstecipada.

Definição 19: A série de pagamentos Postecipada é aquela que não existe

um depósito inicial, não existe entrada, no caso de empréstimos e

financiamentos, possui um comportamento descrito pelo fluxo abaixo

Figura 3 – Série de pagamentos 1.

Definição 20: A série de pagamentos Antecipada é aquela que exige um

depósito inicial, uma entrada, é mais utilizada em investimentos.

Observação 4: Cuidado, nem todas as operações que possuem entrada são

séries uniformes antecipadas. É necessário que a entrada seja o mesmo valor

das demais parcelas. Vejamos o comportamento descrito pelo fluxo a seguir

Figura 4 – Série de pagamentos 2.


31

11.2 Séries periódicas uniforme

Teorema 2: O valor de uma série uniforme de n pagamentos iguais a P, um

tempo antes do primeiro pagamento, sendo i a taxa de juros é dada por

i

iPV

n

)1(1

V – valor pago a vista pela mercadoria (produto);

P – Valor das parcelas;

i – taxa de juros;

n – número de parcelas.

Prova:

Figura 5 – Série uniforme.

O valor da série na época zero é:

ni

P

i

P

i

P

i

PV

11)1(1 32 ,

Que é a soma de n termos de uma progressão geométrica. Daí,

i

ip

i

i

i

PV

n

n

11

1

11

1

11

.1

.

Observação 5: Caso haja uma entrada no ato da compra, referente ao mesmo

valor das parcelas, então

i

iP

i

V n

)1(1

1

Prova: A prova é análoga ao teorema 2.

Exemplo: Um bem, cujo preço à vista é de 120,00 é vendido em 8 prestações

mensais iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra. Se os juros

são de 8% ao mês, determine o valor das prestações.

Resolução:

88,2008,0

)08,01(1120

)1(1 8

pPi

iPV

n


32

11.3 Renda Perpétua

Definição 21: Denomina-se renda à sucessão de depósitos (capitalizações)

ou de prestações (amortizações), em épocas diferentes, destinadas a formar

um capital ou pagar uma dívida.

Definição 22: O termo “perpetuidade” sugere fluxos de duração infinita em

limite.

Definição 23 (Definição Educada de Perpetuidade): É mais apropriado

dizer que uma perpetuidade se constitui de um conjunto de rendas cujo

número não pode ser determinado exatamente, pois é muito grande e tende

ao infinito

Corolário 1 (Renda Perpétua): O valor de uma perpetuidade de termos

iguais a P, um tempo antes do primeiro pagamento, é, sendo i a taxa de

juros, igual a i

P.

Prova: Aplicando limite em ambos os termos do teorema 2 fazendo n tender

ao infinito temos

n

n

n

nn

n

ii

PV

i

ipV

i

iPV 11lim

)1(1limlim

)1(1

i

P

i

P

i

P

i

PV

nn

1.1lim1lim

Exemplo: Se o dinheiro vale 1% ao mês, por quanto deve ser alugado um

imóvel que vale R$ 200.000,00?

Resolução: Quando se aluga um imóvel, você cede s posse deste em troca de

uma renda perpétua cujos termos são iguais ao valor do aluguel. Então, o

valor do imóvel deve ser igual ao valor do conjunto de aluguéis. Portanto, de

acordo com o corolário 1

000.201,0

000.200 PP

i

PV

Logo, o valor do aluguem deve ser R$ 2.000, 00.


33

Atividade 10 – Séries Uniforme e Renda Perpétua

1) Um produto, cujo preço à vista é R$ 1.200,00 é vendido em 6 prestações

mensais e iguais, antecipadas (isto é, a primeira parcela é paga no ato da

compra). Se os juros são de 10% ao mês, determine o valor das prestações.

2) Eliane tem duas alternativas para obter uma copiadora:

a) Alugá-la por R$ 3.500,00 ao ano. Nesse caso, o locador se responsabiliza

pelas despesas de manutenção.

b) Comprá-la por R$ 15.000,00. Nesse caso, já que a vida econômica da

copiadora é de 5 anos, Eliane venderá a copiadora após 5 anos. O valor

residual da copiadora após 5 anos é de R$ 2.000,00. As despesas de

manutenção são de responsabilidade exclusiva de Eliane e são de

R$ 500, 00 por ano nos dois primeiros anos e de R$ 800,00 nos anos

seguintes. Se o dinheiro vale 7% ao ano, qual a melhor opção?

3) Uma geladeira custa R$ 1.000,00 à vista e pode ser paga em três

prestações mensais e iguais. Se são cobrados juros d 6% ao mês sobre o

saldo devedor, determine o valor da prestação, supondo que a primeira

prestação é paga:

a) no ato da compra;

b) um mês após a compra;

c) dois meses após a compra.

4) Um imóvel é locado por R$ 1.200, 00, se o dinheiro vale ao seu locatário

1% ao mês, qual o valor deste imóvel?


34

11.4 Leitura complementar - Rendas certas ou anuidades

Quando uma série de pagamentos tem valores variáveis e

periodicidade diferente é necessário que se resolva como se cada aplicação

ou pagamento fosse independente, o que acarreta, na maioria das vezes,

uma sobrecarga de cálculos. À uma série de pagamentos ou recebimentos

iguais, com intervalo de tempo iguais, chamamos de “rendas certas ou

anuidades” e, para elas temos mecanismos que facilitam a resolução dos

cálculos.

Nas aplicações financeiras, quando o objetivo é constituir um capital

em data futura, tem-se o processo de capitalização. Caso contrário, quando

se quer pagar uma dívida, tem-se o processo de amortização.

Pode ocorrer também o pagamento pelo uso sem que haja

amortização, que é o caso dos aluguéis.

As rendas ou anuidades, quanto à forma de pagamento ou de

recebimento, podem ser de dois tipos:

Rendas certas ou determinísticas: aquelas cuja duração e pagamentos

são predeterminados, não dependendo de condições externas.

Os diversos parâmetros como o valor dos termos, o prazo de duração,

a taxa de juros, etc., são fixos e imutáveis (Matemática Financeira). Podem

ser constituídas por aplicações iguais e em série, com a finalidade de se

formar um montante num futuro preestabelecido; prestações assumidas

hoje, como forma de empréstimo; prestações de bens adquiridos; etc...

Rendas aleatórias ou probabilísticas: ocorre quando, pelo menos um

dos parâmetros é uma variável aleatória, isto é, não pode ser

previamente determinada.

O número de termos é indeterminado (Matemática Atuarial). Exemplo:

Seguro de vida -- os valores de pagamentos (mensalidades) são certos;

sendo aleatórios o valor do seguro a receber (causa da morte) e a data do

recebimento (data da morte).

Definições importantes

Anuidade ou renda certa: capitais (pagamentos ou recebimentos)

referidos à uma dada taxa de juros i.

Termos da anuidade:

intervalo de tempo entre dois termos.

Duração da anuidade: soma dos períodos.


35

Valor atual ou presente de uma anuidade: soma dos valores atuais

dos seus termos, para uma mesma data focal, à uma mesma taxa de

juros.

Montante ou valor futuro da anuidade: soma dos montantes dos seus

termos, à uma mesma taxa de juros e uma mesma data focal.

Classificação das anuidades

Uma série de pagamentos ou recebimentos é representada por um

fluxo de caixa. Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas

formas e tipos.

Quanto à periodicidade:

Periódicas: todos os períodos são iguais.

Não periódicas: os períodos não são iguais entre si. Quanto ao prazo:

Temporárias: a duração é limitada ( 1 ano, 5 anos ).

Perpétuas: a duração é ilimitada (seguros de vida).

Quanto ao valor dos termos:

Constantes: todos os termos são iguais.

Variáveis: os termos não são iguais entre si. Quanto à forma de

pagamento ou de recebimento:

Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro

período.

Diferidas: quando os termos são exigíveis a partir de uma data que

não seja o primeiro período. Obs.: as anuidades imediatas e diferidas

se subdividem em:

Postecipadas ou vencidas: os termos são exigíveis no fim dos períodos.

Antecipadas: os termos são exigíveis no início dos períodos.

As séries de pagamentos que constituem as rendas certas ou

anuidades são simultaneamente:

Temporárias (duração limitada - 1 ano, 5 meses, etc.);

Constantes (valores ou termos iguais entre si);

Imediatas e Postecipadas;

Periódicas (todos os períodos iguais).

A taxa de juros i é referida ao mesmo período dos termos.


36

12. Operações de curto prazo - Operações financeiras

com Desconto Simples

12.1 Introdução

Definição 24: Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz

quando um título de crédito. É uma operação tradicional no mercado

financeiro e no setor comercial.

Pela sistemática da capitalização simples, os valores são obtidos por

meio de cálculos lineares. Nessa sistemática, o desconto é tradicionalmente

classificado em duas modalidades: Desconto Racional Simples (ou desconto

por dentro) e o Desconto comercial simples (ou desconto por fora).

12.2 Desconto Racional Simples (Desconto por dentro)

Definição 25: É o valor obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor

atual de um compromisso, que seja saldado n períodos antes do vencimento.

AFr VVD

Dr – desconto racional simples;

VF – valor nominal;

VA – Valor atual.

Proposição 11: Pode-se obter o valor de um desconto racional simples por

ni

niVD F

r.1

..

Prova:

I. Da definição de desconto racional simples temos: AFr VVD

II. Do cálculo de juros simples temos:

ni

VVniVVniVVVJVV F

AAFAAFAF.1

).1.()..(

Substituindo II na I, temos:

ni

niV

ni

VniVVD

ni

VVD FFFF

rF

Fr.1

..

.1

..

.1

Observação 6: O desconto racional simples não é utilizado no sistema de

capitalização simples (juros simples).


37

Exemplo: Um título de R$8.500,00 vai ser descontado à taxa de 2,8% ao

mês. Faltando 67 dias para o vencimento do título, determine:

a) O valor do desconto racional.

b) O valor a ser pago.

Resolução:

a) 25,500

6730

028,01

6730

028,0500.8

.1

..

r

Fr D

ni

niVD

b) 75,999.7500.825,500 AAAFr VVVVD

12.3 Desconto Comercial Simples (Desconto por fora)

Definição 26: É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o

valor nominal ou valor futuro do compromisso que seja saldado n períodos

antes do vencimento, à uma taxa i, fixada.

niVD FC .. ou AFC VVD

Exemplo: Um título de R$8.500,00 vai ser descontado à taxa de 2,8% ao

mês. Faltando 67 dias para o vencimento do título, determine:

a) O valor do desconto comercial.

b) O valor a ser pago.

Resolução:

a) 53,5316730

028,0500.8.. CFC DniVD

b) 47,968.7500.853,531 AAAFC VVVVD

12.4 Desconto Comercial bancário

Definição 27: O desconto bancário pode ser entendido como uma extensão

do desconto comercial, acrescido de um taxa administrativa pré fixada T,

cobrada sobre o valor nominal ou futuro,

TVDD FCB .

além de, na maioria das vezes, cobrar o encargo proveniente do IOF

(Imposto sobre Operações Financeiras), de responsabilidade do financiado.


38

Sendo assim, a taxa bancária linear efetivamente cobrada é muito

maior do que a contratada.

Exemplo: Um título de R$ 8.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra

1,5% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado

67 dias antes do seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial

é de 2,8% ao mês, determine:

a) Qual o desconto bancário?

b) Quanto recebeu o proprietário do título?

Resolução:

53,5316730

028,0500.8..) CFC DniVDa

03,659500.8015,053,531. BFCB DTVDD

97.840.7500.803,659) AAAFB VVVVDb

12.5 Leitura complementar

Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porém o devedor

pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento

denominado desconto. Portanto, desconto é a denominação dada a um

abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes do seu

vencimento.

Os títulos de créditos mais utilizados em situações financeiras são:

nota promissória

duplicata

letra de câmbio

Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:

que o devedor efetue o pagamento antes da data predeterminada;

que o credor necessite do dinheiro antes da data predeterminada.

Em ambos os casos há um benefício que, obtido em comum acordo,

recebe o nome de desconto. Essas operações são chamadas operações de

desconto e o ato de efetuá-las chama-se descontar um título. Observa-se

ainda:

data do vencimento -- fixado no título, para o pagamento (ou

recebimento) da aplicação;


39

valor nominal ou futuro – valor indicado no título, a ser pago no dia do

vencimento;

valor atual ou presente – líquido pago (ou recebido) antes do

vencimento;

prazo – número de períodos compreendidos entre aquele em que se

negocia o título e o do seu vencimento.

Relação entre os descontos: racional e comercial

Sabemos que o desconto racional simples é obtido por ni

niVD F

r.1

..

e

que o desconto comercial simples é dado por niVD FC .. , sendo assim,

podemos obter a seguinte relação:

).1.(.1

niDDni

DD rC

cr

Exemplo: O desconto comercial de um título descontado 67 dias antes do

seu vencimento e à taxa de 2,8% ao mês é de R$ 531,53. Determinar o

desconto racional.

Resolução:

53,5316730

028,0500.8.. CFC DniVD

25,500

6730

028,01

53,531

.1

rc

r Dni

DD


40

Atividade 11 – Desconto Simples

1) Determine o desconto comercial de uma promissória de R$ 9.000,00 à

taxa de 36% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento.

2) Uma dívida de R$ 28.700,00 será saldada 7 meses antes do seu

vencimento. Que desconto racional será obtido se a taxa for de 32% ao ano?

3) Um título de valor nominal de R$ 10.000,00 com vencimento em

23/09/2014 será resgatado em 15/06/2014. Qual o desconto racional se a

taxa foi de 32% ao ano?

4) Uma empresa possui um título cujo valor nominal é de R$ 13.550,00 com

vencimento daqui a 350 dias. Quantos dias antes do vencimento deve

descontá-lo, à taxa comercial de 60% ao ano, para que possa adquirir

mercadoria no valor de R$10.840,00?

5) O valor atual de um título de R$ 9.650,00 é R$ 8.320,00. Sabendo-se que

a taxa bancária de desconto é de 2,9% ao mês, qual o tempo de antecipação?

6) Uma empresa retira de um banco um empréstimo por cinco meses, no

valor de R$ 90.000,00. Se a taxa de juros for de 26% ao ano e além disso, o

banco cobrar 1% a título de despesas administrativas, qual será o desconto

bancário?

7) No desconto de um título é obtido um desconto racional de R$ 28.000,00.

Considerando uma taxa de desconto de 30% ao ano e que o título foi

resgatado 4 meses antes de seu vencimento, calcular o desconto comercial

obtido.

8) Calcular o valor de resgate (nominal) e a taxa de desconto efetiva de uma

nota promissória resgatada 5 meses antes do seu vencimento, considerando-

se que o banco desconta a Promissória por R$ 36.500,00 aplicando a taxa

de 7% ao mês.


41

13. Operações de longo prazo – Operações

financeiras com Desconto Composto

13.1 Introdução

Desconto, no regime de capitalização composta é como no simples,

corresponde à quantia a ser abatida do valor nominal antes do vencimento.

O valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.

Utilizamos o desconto composto nas operações de longo prazo onde, o

desconto simples pode ter resultados sem nexo.

O desconto composto pode também ser comercial (praticamente não é

usado no Brasil) e racional (que é o desconto usado entre nós).

13.2 Desconto racional composto

Definição 28: É o desconto obtido pela diferença entre o valor futuro ou

nominal e o valor presente ou atual de um compromisso, que seja saldado n

períodos antes do vencimento, à uma determinada taxa de juros.

AFr VVDC

DrC– desconto racional composto;

VF – valor nominal;

VA – Valor atual.

Proposição 12: Pode-se obter o valor de um desconto racional composto

por

nFri

VDC 1

11.

Prova: I. Da definição de desconto racional composto temos:

AFr VVDC

II. Do cálculo de juros compostos temos:

n

FA

n

AFi

VViVV

)1()1.(

Substituindo II na I, temos:

nFrn

FFr

iVD

i

VVD

CC 1

11

)1(


42

Exemplo: Um título de valor nominal de R$ 48.860,00 foi resgatado 8 meses

antes do seu vencimento, tendo sido contratada a taxa de 2,45% ao mês.

Qual foi o desconto racional concedido?

Resolução:

48,601.8

)0245,01(

11860.48

1

11

8

CC rnFr Di

VD

13.3 Desconto Comercial composto

Definição 29: É o desconto obtido pela diferença entre o valor futuro ou

nominal e o valor presente ou atual de um compromisso, que seja saldado n

períodos antes do vencimento, à uma determinada taxa de juros.

AFC VVDC

Proposição 13: Pode-se obter o valor atual de um desconto comercial

composto por

nFA iVV 1.

Prova: Aplicando um desconto sucessivo a uma mesma taxa unitária i:

n

FAFA iVViiiVV )1.()1()1.()1.(

Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule

o desconto comercial composto a ser concedido e o valor atual deste título

resgatado 2 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de

10% a.m.

Resolução: O valor atual será de R$ 8.100,00 pois:

100.8)1,01(000.101. 2 A

n

FA ViVV

O desconto comercial composto será de R$1.900,00, pois:

900.1100.8000.10 CC CAFC DVVD


43

Atividade 12 – Desconto Composto

1) Determine o valor atual de um título de R$ 12.500,00, saldado 9 meses

antes do vencimento, à taxa de desconto racional composto de 2,7% ao mês.

2) Qual é o desconto racional composto que um título de R$ 9.850,00 sofre

ao ser descontado, 8 meses antes do seu vencimento, à taxa de 3,75% ao

mês?

3) Um título no valor de R$ 29.500,00 foi saldado 2 meses antes do seu

vencimento. O possuidor do título obteve uma taxa de desconto composto de

1,8% ao mês.

a) Qual foi o desconto racional.

b) Qual a quantia recebida?

4) Ao descontar uma Nota Promissória no valor de R$ 15.000,00 no

vencimento, a financeira informou que sua taxa era de 45% ao ano. Se o

desconto fosse efetuado 5 meses antes do vencimento, qual seria o valor

líquido (valor do resgate) recebido pelo possuidor do título?

5) Se o valor nominal for igual a 52 vezes o seu desconto racional resultante

de um resgate, 3 meses antes do vencimento, qual é a taxa de juro anual?

6) Pedro receberia R$ 60.000,00 como parte de sua herança. Contudo,

necessitando do dinheiro 5 meses antes da data do recebimento, propõe a

um amigo a venda dos seus direitos por R$ 56.954,02. Que taxa de juros

anual Pedro pagou?

7) Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o

desconto comercial composto a ser concedido e o valor atual deste título

resgatado 2 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de

10% a.m.


44

14. Sistemas de Amortização de Empréstimos e

Financiamentos

14.1 Introdução

Segundo as práticas habituais, os empréstimos classificam-se em: de

curto, de médio e de longo prazo.

Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para

operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo

desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. Os problemas

mais importantes num empréstimo de longo prazo dizem respeito à

explicitação do sistema de reembolso adotado e ao cálculo da taxa de juros

efetivamente cobrada. Existem várias maneiras de amortizar uma dívida,

devendo as condições de cada operação estarem estabelecidas em contrato

firmado entre o credor (mutuante) e o devedor (mutuário).

Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam,

basicamente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são

restituídos ao credor do capital.

14.2 Conceitos básicos

Encargos financeiros – Representam os juros da operação,

caracterizando–se como custo para o devedor e retorno para o credor.

Amortização – Refere-se exclusivamente ao pagamento do principal

(capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, através de

parcelas periódicas (mensais, trimestrais, etc.).

Saldo devedor – Representa o valor do principal da dívida, em

determinado momento, após a dedução do valor já pago pelo credor a

título de amortização.

Prestação – É composto do valor da amortização mais os encargos

financeiros devidos em determinado período de tempo. Assim:

Prestação = Amortização + Encargos.

Carência – Muitas operações de empréstimos e financiamentos

preveem um diferimento na data convencional do início dos

pagamentos.


45

14.3 Sistema de Amortizações Constantes – SAC

Definição 30: No Sistema de amortização constante (SAC), o capital inicial

(principal) é reembolsado em quotas de amortização iguais.

As prestações não são decrescentes, já que os juros diminuem a cada

prestação.

A amortização é calculada dividindo – se o valor principal pelo número

de pagamentos (parcelas).

n

DAk

0

Ak – valor da amortização (constante);

D0 – valor principal (Capital inicial financiado);

n – número de parcelas da amortização.

Esse tipo de sistema de amortização às vezes é usado pelos bancos

comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, em certos casos,

em empréstimos a empresas privadas, por meio de entidades

governamentais.

Teorema 3: No Sistema de amortização constante (SAC), sendo n o número

de pagamentos da dívida e i a taxa unitária de juros, temos

0.. Dn

knDI k

1.. KK DiJII

KKK JAPIII .

K – Período de tempo;

Dk – Estado da dívida no período de tempo k;

JK – Juros pago no período k;

Pk – valor da parcela correspondente ao período k.

Prova: Se a dívida Do é amortizada em n quotas iguais, cada quota é dada

por n

DAk

0 .

I. O Estado da Dívida, após K amortizações, é

00

0 .. Dn

kn

n

DkDDk


46

II. É Fácil perceber que os juros gerado em cada período é o produto da taxa

unitária de juros pelo estado da dívida anterior, logo

1. KK DiJ

III. Também é simples observar que o valor da parcela da dívida referente a

cada período k é o acúmulo da amortização no período k junto ao juros

gerado naquele período, ou seja

KKK JAPIII .

Exemplo: Uma dívida de R$ 1.000,00 é paga, com juros de 15% ao mês,

em 5 meses, pelo sistema SAC. Faça uma planilha de amortização.

Resolução: Como ad amortizações são iguais, logo cada amortização será

de 1/5 da dívida inicial, ou seja R$ 200, 00.

2005

000.10 Kk An

DA

Aplicando o Teorema 3, obtemos a tabela abaixo:

Tabela 2 – SAC 1.

K AK DK JK PK

0 - 1000 - -

1 200 800 150 350

2 200 600 120 230

3 200 400 90 290

4 200 200 60 260

5 200 - 30 230


47

Atividade 13 – Sistema SAC

1) Vamos considerar um determinado financiamento de R$ 10.000,00, em 5

prestações mensais, considerando juros compostos e efetivos de 2% ao mês.

Faça uma tabela de amortização no Sistema de capitalização constante S.A.C.

K (meses) AK DK JK PK

0 - - -

1

2

3

4

5 -

2) Uma empresa pede emprestados R$ 100.000,00 que o banco entrega no

ato. Sabendo-se que o principal será amortizado em prestações semestrais,

no prazo de 5 anos e que a taxa cobrada é de 30% ao ano, construa uma

planilha de amortização no sistema SAC.

K (semestres) AK DK JK PK

0 - - -

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 -

3) Considere a amortização de uma dívida de R$ 35.000,00, em 180 meses,

com juros de 1% ao mês, pelo sistema SAC. Determine:

a) o valor da Centésima prestação.

b) o estado da dívida nessa época.

c) contando com a ajuda de uma planilha eletrônica (por exemplo Excel)

construa uma tabela SAC para estes 180 meses.


48

14.3 Sistema de Amortizações Francês – Tabela Price

Definição 31: O Sistema de amortização francês (Tabela Price) caracteriza-

se por pagamentos do capital inicial (principal) em prestações iguais,

periódicas e sucessivas.

A denominação Sistema de Amortização Francês origina-se do fato de

esse sistema ter sido utilizado inicialmente na França, no século XIX, e a

denominação Tabela Price é uma homenagem ao economista inglês Richard

Price, que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de

empréstimos, no século XVIII

Esse tipo de sistema de amortização é o mais utilizado pelas

instituições financeiras e pelo comércio em geral. Como os juros incidem

sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações

são pagas, eles são decrescentes e, consequentemente, a amortizações do

principal são crescentes.

Teorema 4: No Sistema de amortização Francês (Tabela Price), sendo n o

número de pagamentos da dívida e i a taxa unitária de juros, temos

nKi

iDPI

)1(1. 0

n

kn

ki

iDDII

)1(1

)1(1.

)(

0

1.. KK DiJIII

KKK JPAI .

Prova: A primeira fórmula é simplesmente o teorema 2 (Séries Periódicas

uniforme) e as duas últimas fórmulas são uma consequência elementar.

Quanto segunda fórmula, observe que DK é a dívida que será liquidada,

posteriormente, por n – k pagamentos sucessivos iguais a Pk. Portanto,

novamente pelo teorema 2, temos

i

iPDII

kn

Kk

)()1(1.

.

Substituindo o valor de PK, obtemos a segunda fórmula.


49

Exemplo: Uma Dívida de R$ 1.500, 00 é paga em 4 meses, pelo sistema

Francês, com juros de 8% ao mês. Faça uma planilha de amortização deste

sistema:

Resolução: Pelo Teorema 4, temos

9,452)08,01(1

08,01500

)1(1 40

KnK P

i

iDP

Portanto, a Tabela é dada por:

Tabela 3 – Tabela Price.

k DK JK PK AK

0 1.500 - -

1 1.167,1 120 452,9 332,9

2 807,6 93,4 452,9 359,5

3 419,3 64,6 452,9 388,3

4 - 33,5 452,9 419,3


50

Atividade 14 – Sistema de Amortização Francês

1) Construir uma tabela referente à composição das parcelas de um

financiamento a R$156.278,16; em oito parcelas iguais a taxa de 2,1% ao

mês, pelo sistema Price.

k DK JK PK AK

0 - - -

1

2

3

4

5

6

7

8 -

2) Um financiamento de R$ 19.871,02 deverá ser amortizado em quatro

meses com taxa de juros de 0,8% a.m. Faça a planilha de amortização pelo

Sistema Francês de Amortização - Tabela PRICE.

k DK JK PK AK

0 - -

1

2

3

4 -

3) Considere a amortização de uma dívida de R$ 35.000,00, em 180 meses,

com juros de 1% ao mês, pelo sistema de amortização Francês. Determine:

a) o valor da Centésima prestação.

b) o estado da dívida nessa época.

c) contando com a ajuda de uma planilha eletrônica (por exemplo Excel)

construa uma tabela Price para estes 180 meses.


51

Referências Bibliográficas

[1] Abreu, Edgar, Matemática Financeira para concurso público (Apostila). data da atualização 23/03/ 2011. www.edgarabreu.com.br, acesso em 17/12/2013.

[2] Gotardelo, Davi Riani , Matemática Financeira (Apostila), Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ), 2010.

[3] Lima, Elon Lages e outros, A Matemática do Ensino Médio (SBM). Rio de Janeiro, Volume 2, 6ª. Edição, 1998.

[4] Samanez, Carlos Patrício, Matemática Financeira (Aplicação à

análise de investimentos). São Paulo, Ed. Pearson, 4ª. Edição, 2009.

http://www.edgarabreu.com.br/

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pROF. MSC. LUIZ HENRIQUE MORAIS DA SILVA