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ppotenciasotencias
Prof. Nilsa I. ToroCatedrática
Recinto Universitario de MayagüezResidencial AFAMaC
Septiembre 4, 2010
• A veces es conveniente escribir productos de factoresrepetidos en forma corta.
• Por esto, usamos potencias para describir el resultadode multiplicar repetidamente un número por sí mismo.de multiplicar repetidamente un número por sí mismo.
• Para preparar a mano los fideosal estilo Chef Piñeiro, el Chefestira la masa de harina, la doblapor la mitad y vuelve a estirar.Esto se repite una y otra vez.Cada vez que estira la masa losfideos se hacen mas finos y cadavez que la dobla, el número de
veamos
vez que la dobla, el número defideos se duplica.
• Un buen fabricante de fideospuede doblar y estirar la masa 4veces. Un experto la puededoblar y estirar ocho veces.¿Cuántos fideos se obtendrán?
Números de dobleces
Multiplicación repetida Expresado como potencia
Número de fideos
1 2
2 4
3 8
1222
32
2 2⋅2 2 2⋅ ⋅
2
podemos preparar una tabla
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
32425262
2 2 2⋅ ⋅
2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅
2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2 2 2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2 2 2 2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
7282
Podemos hacer esto mismo con un cordón.
veamos
• Consideremos un papel.
1. Cortar en 3 pedazos iguales.
2. Cortar cada papel en 3 pedazos repetidas veces.
3. Completar la siguiente tabla
Números de cortes Multiplicación Expresado como Número de papeles
actividad
Números de cortes Multiplicación repetida
Expresado como potencia
Número de papeles
1
2
3
4
• El número que sucesivamente se multiplica por sí mismo se llama la base.
• El número de veces que la base se repite se escribe en la • El número de veces que la base se repite se escribe en la parte superior derecha de la base y es llamado el exponente.
5exponentebase
veamos
5
la quinta potencia de dosDos a la quinta potencia
• Más adelante demostraremos que para
cualquier número .
0 1a =0a ≠
observación
• Se puede expresar cualquier número entero en forma desarrollada usando potencias.
Notemos que las unidades, decenas y centenas , etc. son potencias de 10. Esto es,
aplicación (1) de la potencia
potencias de 10. Esto es,
unidades
decenas
centenas
01 1 0=
21 0 0 1 0=
11 0 1 0=
definición
• Si pertenece a los números reales, y pertenece a los números naturales entonces
.
n factores
na a x a x a x x a=6447448
K
a n
Llamamos base al número , exponente al número y se lee como
“a elevada a la potencia ”.
.na a x a x a x x a= K
a n
n
na
• Escriba cada uno de los siguientes números en forma
desarrollada.
1. 924
ejemplo
1. 924
2. 1906
3. 46,424
• Escriba cada uno de los siguientes números en forma
desarrollada.
1. 27
práctica
1. 27
2. 805
3. 23,041
• Podemos hacer varios ejemplos para llegar a concluir las reglas de las potencias.
• Ejemplo:
( )}
( )5 factores2 factores
2 5 7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =6447448
reglas de potencias
1. Regla del producto de potencias.
( ) ( )2 5 7
2 5 factores
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
+
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =144424443
m n m na a a +⋅ =
• Ejemplo:
( )( ){
5 factores
5
2
2 factores
5 2 factores
3 3 3 33 3 3 3 33
3 3 3
−
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = =
⋅
6447448
1442443
3⋅( )3 3⋅( )
33=
2. Regla del cociente de potencias.
5 2 factores−
mm n
n
aa
a−=
• Ejemplo:
( ) ( ) ( )}
( )}
( )}
2+2+2=3 2 factores
3 factores 2 factores 2 factores 2 factores32 2 2 2 64 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
64447444864748
3. Regla de potencia de una potencia.
( )nm m na a ⋅=
• Ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 factores 3 factores 3 factores
3 3 32 5 2 5 2 5 2 5 2 2 2 5 5 5 2 5⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅644474448 6474864748
}
{
2 factores 2 factores2 2
2
2 factores
4 4 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3
⋅ = ⋅ = = ⋅
678
4. Regla de potencia de un producto.
( )n n nab a b=
, 0n n
n
a ab
b b = ≠
• Ejemplo
0 1 si 0, pertenece a los números reales.a a a= ≠
definición
• Por esto usamos en la forma desarrollada de un número.
50 5 5
5
3 33 3
3−= = = 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅
3 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅1=
010 1=
• Notemos que
1 si 0, pertenece a los números naturalesn
na a n
a− = ≠
definición
• Notemos que
3
4
2 2
2= 2⋅ 2⋅
2 2⋅ 2⋅3
14
1
1
22
2ahora por las Reglas de los Exponentes 2,
21
por lo tanto 22
−
−
=⋅
=
=
1 14
4− =
1−
ejemplos
22
13
3− =
( )
4
4
2
2
− =
− =
observación
• PRÁCTICA
Simplificar la expresión:
( )( )( )
44
3 3
2 2
2 2
−− = =− −
( )( )( )
1
2
3
1 1
1 1
1 1
− = −
− =
− = −
potencias de
• En general,
( )( )
3
4
1 1
1 1
− = −
− =
( )entero impar1 1− = −
( )entero par1 1− =
Bingo
actividad
Bingo
• Muchos de los números que se utilizan en la ciencia son muy
grandes, por ejemplo, el numero de organismos unicelulares
que alimentan a una ballena durante unas cuantas horas:
400,000,000,000,000. Otros números son muy pequeños,
aplicación (2) de las potencias
400,000,000,000,000. Otros números son muy pequeños,
como la longitud de la onda mas corta de la luz visible, de
aproximadamente.0000004 metros. La escritura de estos
números se simplifica si se emplea notación científica.
• Un número esta escrito en notación científica si esta expresado en la siguiente forma
x 10na
notación científica
x 10adonde 1 10, y es entero.≤ <a n
• Escribir en notación científica:
1. .56
ejemplos
2. .0045
3. 9,874
4. 100,432
• En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de algunos planetas al Sol. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10.
Tierra Urano Neptuno Plutón
práctica
Tierra Urano Neptuno Plutón
Distancia
media
al Sol (km)
149.500,000 2,873,000,000 4,498,000,000 5,910,000,000
Distancia en
Notación
Científica
• El diámetro de un glóbulo rojo es .0065 expresa en
notación científica.
práctica
FINFINFINFIN