nº05MATEMÁTICA

Matemática e suas Tecnologias

Professor Alexmay Soares

O PRINCÍPIO DA SIMILITUDE DE GALILEUOU QUAL É O TAMANHO CERTO?

O princípio da similitude de Galileu, também conhecido como a lei do quadrado e do cubo, é um princípio matemático, com ampla aplicabilidade científica, tecnológica e econômica. Tal princípio descreve a relação entre o volume e a área à medida que aumentamos as dimensões de um objeto. Foi descrito pela primeira vez em 1638 por Galileu Galilei em suas duas novas ciências .

Este princípio estabelece que, quando um corpo aumenta de tamanho, o seu volume aumenta mais depressa do que a sua área. Isso ajuda a explicar fenômenos biológicos tais como o fato de que grandes mamíferos têm mais dificuldade de refrigeração do que os pequenos ou porque que existem limites para o tamanho que se pode construir um castelo de areia.

A lei do quadrado e do cubo pode ser declarada como segue:Quando um objeto é submetido a um aumento proporcional de

tamanho, o seu volume novo é proporcional ao cubo do multiplicador e a sua área de superfície nova é proporcional ao quadrado do multiplicador.

Por exemplo, um cubo com um comprimento lateral de 1 metro tem uma área superficial de 6 m2 e um volume de 1 m3. Se as dimensões do cubo fossem duplicadas, a sua área de superfície seria aumentada para 24 m2 e o seu volume seria aumentado para 8 m3. Perceba que a superfície ficou 4 vezes maior, enquanto que o volume ficou 8 vezes maior. Este princípio aplica-se a todos os sólidos.

EXEMPLO DE CUBOS DE TAMANHO VARIÁVEL

Lado Área da face

Áreatotal

Volume de cubo

Razão entre a área de superfície e o volume

1 m 1 m2 6 m2 1 m3 6,0 m–1 (ou m2 · m–3)2 m 4 m2 24 m2 8 m3 3,0 m–1

4 m 16 m2 96 m2 64 m3 1,5 m–1

6 m 36 m2 216 m2 216 m3 1,0 m–1

8 m 64 m2 384 m2 512 m3 0,75 m–1

12 m 144 m2 864 m2 1728 m3 0,5 m–1

20 m 400 m2 2400 m2 8000 m3 0,3 m–1

Descoberta no século XVI, essa lei ajuda a explicar, por exemplo, porque grandes animais terrestres, como o elefante ou o rinoceronte, possuem patas proporcionalmente bem mais largas do que pequenos animais, como alguns insetos. É fácil de entender, acompanhe:

Se, por exemplo, dobrarmos o tamanho de um organismo, iremos aumentar a área de sua superfície pelo quadrado de 2, ou seja, 4 vezes, e seu volume pelo cubo de 2, ou seja, 8 vezes. A massa, mantida constante a densidade, é diretamente proporcional ao volume. Assim, ao dobrarmos as dimensões de um organismo, estaremos multiplicando por 8 a sua massa.

Suponha um cubo com 1 metro de altura por 1 metro de largura por 1 m de profundidade. Agora, atribua a esse cubo 1 kg de massa. Você pode obter a área de superfície deste cubo fazendo em uma de suas faces um corte transversal de 1 m² (e isso é muito importante de se entender, porque a força de um organismo está associada à area de corte transversal do músculo ou osso). Agora, dobre o tamanho da aresta para

2 metros: você tem um cubo 2 vezes mais fundo, largo e alto. Porém, o corte transversal da face do cubo não terá 2 m², mas 4 m² (2 m × 2 m), ou seja, se fosse uma criatura viva, o corte transversal de seu músculo ou osso seria 4 vezes maior que antes. Isso porque, ao dobrar as medidas, o volume do cubo mudou de 1 cubo para 8 cubos (2 × 2 × 2) e sua massa foi de 1 kg para 8 kg.

Ele seria 2x mais alto, 4x mais forte... mas 8x mais pesado. São fatos importantes para a biomecânica: essa lei mostra que se dobrarmos o tamanho de um animal, sua força irá quadruplicar, mas seu peso octoplicará! Consequentemente, animais maiores precisarão de patas proporcionalmente mais largas para sustentar o peso extra.

Esqueleto de um elefante.

Esqueleto de um pequeno mamífero (perceba que os ossos de um elefante são proporcionalmente mais largos do que o do pequeno mamífero).

É claro que há uma diferença muito grande (não apenas uma) entre formigas e pessoas: aqui, a principal é que nosso esqueleto é interno, mas o delas é externo. Temos 2 braços e pernas, elas têm 6 pernas e mandíbulas feitas para levantar, enquanto que o corpo de um ser humano não é feito para levantar.

Vamos aplicar a mesma regra para uma formiga com 6 mm, 3 mg de massa e capaz de erguer 150 mg (é um fato bem difundido que as formigas são capazes de erguer 50 vezes seu peso). Aumentando o comprimento da formiga para 1,8 m (300 vezes maior), ela teria 81 kg de massa (300³ = 27000000 vezes mais), mas, pela regra do cubo e do quadrado, a superfície de seu corpo e o consequente aumento de sua força será apenas 300² = 90000 maior. Assim, cada pata estará sobrecarregada com um peso extra 27000000/90000 = 300 vezes maior, daí a formiga poderia erguer apenas 50 · 81 kg/300 = 13,5 kg.

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Matemática e suas Tecnologias

Exercícios

01. Suponha que a embalagem de NutraFlora, suprimento alimentar, tem forma de cilindro reto com volume interno adequado para acondicionar 100 cápsulas do produto. Duplicando as dimensões (raio da base e altura) dessa embalagem, o volume interno será adequado para que quantidade de cápsulas?A) 200B) 400C) 800D) 1600E) 3200

02.Um gênero de filmes muitopopular no século XX, a chamada ficção científicaproduziu diversos títulos que se imprimiram em nossa memória. Alguns mais realistas e outros bastante fantasiosos. Em 1955, o filmeTarântula assustou suas plateias com a sinopse de uma aranha de laboratório (com aproximadamente 3 cm de altura) que, por conta de um experimento malsucedido, se vê transformada em um monstro de 3 metros de altura. Certamente, os roteiristas daquelaépocanãosepreocupavamcomasimplicaçõesfísicasde tais gigantismos (como o aumento de massa), pois, se o fizessem,aplicandooprincípiodasimilitudedeGalileu,émaisprovável que a aranha gigante tivesse, para manter-se em pé tão bem quanto uma aranha comum, em vez dos tradicionais 4 pares de patas:A) 16 patas.B) 32 patas.C) 80 patas.D) 240 patas.E) 800 patas.

03. Boa parte da energia perdida por uma pessoa é proveniente das trocas de calor para o meio ambiente por meio da superfície da pele. Considere que duas pessoas, uma criança de 60 cmde altura e um adulto com 1,80 m, estejam se alimentando para repor exclusivamente as perdas de energia devidas às trocas de calor com o ambiente. Admitindo proporcionalidade entre os corposdasduaspessoas,podemosafirmarque,emrelaçãoàcriança,oadultodeveráingerir:A) 3 vezes mais comida.B) 6 vezes mais comida.C) 9 vezes mais comida.D) 18 vezes mais comida.E) 27 vezes mais comida.

04. Um médico receita a seu paciente uma dose de 32 gotas de certo remédio. Ao chegar em casa, o paciente acidentalmente deixa o frasco de conta-gotas, que continha a medicação, cairao chão. Verificando que o frasco haviatrincado, ele resolve passar amedicaçãopara outro conta-gotas idêntico ao primeiro, exceto pelo fato de que, no novo recipiente, a abertura por onde saem as gotas éduasvezesmaiordoquenofrascooriginal.Pode-seafirmarque:A) o paciente deve alterar a dose para 64 gotas.B) o paciente deve alterar a dose para 4 gotas.C) se o paciente alterar a dose para 16 gotas, poderá ter uma overdose,

pois estará duplicando a dosagem estabelecida pelo médico.D) se o paciente alterar a dose para 8 gotas, ele estará reduzindo à

metade a dose estabelecida pelo médico.E) 2 gotas do novo frasco são suficientes, pois cada uma equivale a

16 gotas do frasco original.

05. Um verdadeiro homem-gigante deveria ter as pernas grossas como as de um tiranossauro para sustentar seu corpo, mas esse seria apenas o menor de seus problemas, pois provavelmente ele teria sua forçamuscular drasticamente reduzida. Imagineum guerreiro de 1,80 m com 90 kg de massa e capaz de erguer sua própria massa acima de sua cabeça. Se tiver sua alturadobradapara3,60m,passaráater720kgdemassa,eserácapazde erguer apenas 360 kg. Se por algum motivo o deixarmos 10 vezes maior, ele passaria a ter 18 metros de altura, 90000 kg de massa e seria capaz de erguer:A) apenas 50% de sua própria massa.B) apenas 25% de sua própria massa.C) apenas 12,5% de sua própria massa.D) apenas 10% de sua própria massa.E) apenas 1% de sua própria massa.

FB no Enem – Nº 04 – Professor: Sérgio Vasconcelos1 2 3 4 5E C A C D

Hercilia-21/02/2013Rev.:AM