PROFESSOR RIKEY FELIX 2014 Sorriso MT - Matemática... · Introdução a noções de medidas numéricas, razão e proporção, porcentagem e princípio de equivalência. ... Regra

Matemática Instrumental – Unidade de Sorriso - SENAC MT, Prof Rikey Felix

Prof Rikey Felix, www.professorrikey.com

1 1

PROFESSOR RIKEY FELIX



2 2

Matemática Instrumental

Introdução a noções de medidas numéricas, razão e proporção,

porcentagem e princípio de equivalência.

Professor Rikey Paulo Pires Felix,

Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Goiás,

pós Graduado em Gestão Empresarial pela Faculdade Montes

Belos - Goiás, funcionário concursado em exercício do Banco do

Brasil, instrutor do SENAC, unidade de Sorriso MT, ex professor

de rede POSITIVO de ensino, ex professor da rede Pitágoras de

ensino, e cursos preparatórios para concursos públicos e

vestibulares.

Objetivos: Conhecer assuntos introdutórios de Matemática

Elementar, apresentando conceitos teóricos e aplicações de razões

e proporções, resolução de exercícios, exemplos no cotidiano,

noção intuitiva e empírica, bem como suas respectivas aplicações

na contabilidade, administração e secretariado, trazendo uma

didática e proposta pedagógica voltada para um curso

profissionalizante.



3 3

Conteúdos abordados:

Razão de dois números

Razão de duas grandezas

Proporção – definição

Elementos da proporção

Propriedade fundamental

Cálculo de um termo desconhecido

Recíproca da propriedade fundamental

Transformadas

Séries de razões iguais.

Grandezas diretamente proporcionais – definição e gráfico

Propriedade característica

Números diretamente proporcionais

Grandezas inversamente proporcionais – definição e gráfico

Propriedade características

Números inversamente proporcionais

Grandezas proporcionais a várias outras – definição e

propriedade.

Divisão em partes proporcionais

Divisão em partes inversamente proporcionais

Divisão proporcional composta

Regra da sociedade

Regra de três simples e composta

Percentagem taxa unitária, fórmula para cálculo percentual

Operação sobre Mercadorias



4 4

Vendas com lucro (sobre o preço de custo) e (sobre o preço

da venda)

Vendas com prejuízo (sobre o preço de custo) e (sobre o

preço da venda)

Aumento sucessivo

Abatimento sucessivo

Operações com porcentagem

Resolução de exercícios



5 5

Razão de dois números

Os números a e b são os termos da razão: O elemento a é

chamado de antecedente e o elemento b é chamado de

conseqüente

b

a

Calcule a razão entre os números:

A) 256 e 960

B) 1,25 e 3,75

C) 5 e 3

1

D) 2

1e 0,2

E) )5

12( e 3

Razão de duas grandezas

Se as grandezas forem da mesma espécie, suas medidas devem

ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um

número puro.

Veja a razão de 2m para 3m:

3

2

3

2

m

m

Veja a razão de 30dm para 6m:

26

3

6

30

m

m

m

dm



6 6

Se as grandezas não forem da mesma espécie, a razão é um

conjunto cuja unidade depende das unidades das grandezas a

partir das quais se determina a razão.

Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a

distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:

hkmh

km/80

2

160

2

160

Calcule a razão entre as seguintes grandezas:

a) 27 km e 3l de álcool

b) 40 g e 5cm³

c) 24kg e 80kg

d) 20cm e 4dm

e) 20d e 2 me 15d

Proporção (a, b, c, d)

O conceito de proporção é sem dúvidas de extrema

importância em nossas vidas, assim como em toda a matemática

financeira e elementar. Sempre estamos fazendo comparações em

relação às proporcionalidades das formas, objetos e tamanhos das

coisas, carros e etc.

Por se tratar de um princípio de grande viabilidade na

administração financeira, começamos por aqui a abordagem do

conteúdo.



7 7

A razão de dois números ou a razão entre dois números de a e

b ou b

a que se lê “razão de a para b ” ou “razão entre a e b ” ou “ a

está para b ”.

O primeiro número (numerador) é chamado de

antecedente “ a ” o segundo (denominador) é chamado de

conseqüente “b ”

Exemplo: b

a

Proporção e elementos

Dados, em certa ordem, quatro números (a, b, c, d)

diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção

quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão

entre os dois últimos (c e d)

Propriedade fundamental

Kd

c

b

a, b e c são os meios, a e d são os extremos, a e c

são antecedentes, b e d são conseqüentes. Então temos: a.d=cb.

Exercício:

Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções:

a) 28

24

7

6 b)

15

12

3

2 c)

270

75

15

4 d)

16

15

4

3 e)

2

15

3

6

15

2

d)

1

8,03

2

3

29

5



8 8

Cálculo de um termo desconhecido (Cálculo da quarta

proporcional).

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, é

sempre possível determinar o valor de um termo qualquer

quando são conhecidos os outros três.

Ex: Calcule x nas proporções:

a) x

60

20

15 b)

2

3

56

7

x, aplicando a propriedade fundamental.

Calcule x, sabendo que:

a) x

18,0

25,0

06,0 b)

5

1

4

33

2

x c)

4

13

4

11

3

12

x

Recíproca da propriedade fundamental

Consideremos quatro números reais quaisquer (a, b, c, d),

diferentes de zero, tais que o produto de dois dels seja igual ao

produto dos outros dois, quer dizer a.d=b.c, dividindo ambos os

menbros dessa igualdade pelo produto de um dos fatores do

primeiro membro por um dos fatores do segundo (por exemplo

d.b, temos:

bd

cb

bd

da

.

.

.

.então temos:

d

c

b

a



9 9

Transformadas

Toda proporção possui oito transformadas, ou proporções

distintas duas a duas. Quer dizer, podemos escrever uma

proporção em uma ordem diferente da original, mantendo sempre

a mesma equivalência.

Exemplo: 32

20

8

5, podendo ser escrito com exatidão desta forma:

* 5

20

8

32

* 32

8

20

5

* 20

32

5

8

* 8

5

32

20

É fácil perceber que podemos formar até oito transformadas duas

a duas:

Série de Razões Iguais ou proporção múltipla

O conceito da propriedade múltipla é de extrema

importância no estudo das proporções, também conhecida como

propriedade fundamental das proporções.

Por este motivo, vamos fazer uma análise da fórmula,

bem como sua formação.

db

ca

b

a... K , proporção múltipla,



10 10

Em seguida a demonstração da Fórmula

Seja a série de razões iguais.

kn

m

d

c

b

a

Fazendo a razão comum igual a k, obtemos:

kb

a, k

d

c, ... k

n

m

Então: bka , dkc , nkm ,

Somando membro a membro nessas igualdades, temos:

nkdkbkmca ......

Trabalhando esta igualdade, chegamos à propriedade

múltipla:

kn

m

d

c

b

a

ndb

mca...

...

...

Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma

dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu

respectivo conseqüente.

Sistema de medidas:

Sistema métrico decimal

Km > hm > dam > m > dm > cm > mm

Sistema de capacidade

kl > hl > dal > l > dl > cl > ml (Exemplos de metro cúbico)



11 11

Relações importantes de capacidade.

1 m³ = 1000 litros

1 litro = dm³

1 cm³ = ml

Medidas agrárias:

ha = hm²

a = dam²

ca = m²

1ha = 100 a

1 a = 100 ca

Exercício:

1) Calcule x, y e z, sabendo que 15119

zyx e x + y + z = 420

2) Determine os antecedentes de uma proporção sabendo que

sua soma é 47 e os conseqüentes são 2 e 8.

3) Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que

a razão entre eles é 3

2.

4) Calcule a, b, e c, sabendo que a + b + c = 180 135

cba

5) Determine os conseqüentes de uma proporção, sabendo que

sua soma é 60 e que os antecedentes são 108 e 72.

6) Determine dois números, sabendo que a razão entre eles é

90

18e que sua soma é 30.



12 12

7) Calcule a razão entre as seguintes grandezas:

a) 80 m e 48 dam

b) 150 m² e 45 ares

c) 0,725 m³ e 5000 l

d) 9 d 17 h 20 min e 8 d 12 h 10 min

8)Escreva uma razão igual a 4

15, cujo antecedente seja

3

5

9) Calcule dois números, sabendo que a soma é 169 e que a

razão é 9

4?

10) A idade de um pai está para o seu filho como 7 está para .3

5

Se a soma das idades é 52, qual é a idade de cada um?

Grandezas diretamente proporcionais

A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia a dia

associa duas grandezas relacionadas de tal forma que, quando

uma delas varia, como conseqüência varia também a outra.

Assim, a quantidade de combustível consumido por um

automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O

tempo gasto numa construção depende do número de operários

empregados e etc.

Grandezas diretamente proporcionais

Exemplo: Uma barra de alumínio de 100 3cm de volume pesa 270

g , nas mesmas condições, uma barra de 200 3cm pesará 540 g e

uma de 300 3cm , 810 g . Então podemos dizer que as grandezas

citadas são diretamente proporcionais.



13 13

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais, se os

valores x e y são expressos por uma função do tipo: kxy , onde

k é um número real constante chamado de coeficiente de

proporcionalidade diferente de zero. Como a função desse tipo é

uma função linear, o gráfico que representa a proporcionalidade

direta de duas grandezas é uma reta passando pela origem.

Lembrando que para 0x temos 0y .

2

1

2

1

y

y

x

x

Em se tratando de Administração de Empresas, é mais

comumente, a utilização do conjunto do domínio Rdom , e como

conseqüência tempos uma imagem RIm , por se tratar de

objetos e quantidades, custos, consumo e todas essas medidas são

quantitativas maiores que zero. É importante lembrar, que a

proporcionalidade entre duas grandezas é aplicada dentro de

certos limites. Assim, na compra por atacado, por exemplo, o

preço por unidade é com certeza menor do que as compras feitas

a varejo. Para caracterizarmos a proporcionalidade de duas

grandezas, não é suficiente verificar se o aumento de uma delas

acarreta o aumento da outra. É necessário que, ao

multiplicarmos uma delas por um número real k diferente de

zero, a grandeza correspondente também fique multiplicada por

k . Outro exemplo, o lado de um quadrado e a sua área não são

grandezas proporcionais, pois, multiplicando – se o lado por 2, a

área fica multiplicada por 4.

Exemplos:

kxy



14 14

1) O comprimento de uma peça de tecido e o seu preço são

grandezas diretamente proporcionais? Por que?

2) O número de dias gastos na construção de um muro é

diretamente proporcional ao número de operários

empregados nesse serviço? Por que?

3) Determine os valores de a e b nas seqüências de números

proporcionais (6, a, 21) e (2, 5, b)

4) Quais são os menores números inteiros proporcionais aos

números 3

2,

4

3e

6

1

Grandezas inversamente proporcionais

Uma distancia de 1200 km pode ser percorrida por um avião, a

uma velocidade de 100 hkm/ , em 12 horas, a uma velocidade de

200 hkm/ , em 6 horas, e a uma velocidade de 300 hkm/ , em 4

horas. Então podemos dizer que as grandezas citadas são

inversamente proporcionais. Neste caso temos que a velocidade e

o tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se

os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do

tipo: x

ky1

. . Números inversamente proporcionais também

podem ser expressos da seguinte maneira: kyx. ou 1

2

2

1

y

y

x

xou

kyxyxyx 332211 ...



15 15

Sendo a função x

ky1

. uma função recíproca, o gráfico

representativo da proporcionalidade inversa de duas grandezas é

um ramo de uma hipérbole.

0 = y-1/x

Em se tratando de Administração de Empresas, é mais

comumente, a utilização do conjunto do domínio Rdom , e como

conseqüência tem uma imagem RIm , por se tratar de objetos e

quantidades, custos, consumo e todas essas medidas são

quantitativas maiores que zero.

Nota:

Dados, em certa ordem, quatro números proporcionais (a, b, c, d)

diferentes de zero, o termo “d” é chamado de quarta proporcional.

Dados, em certa ordem de quatro números proporcionais (a, b,

b,c) diferentes de zero, o termo “b” é chamado de terceira

proporcional. Nesse caso o termo “b” é chamado de média

proporcional, ou média geométrica do outros termos, e pode ser

escrito da seguinte forma: Ex: bab .2 ou bab .



16 16

Exercícios:

a) Determine os valores a e b nas sequências de números

inversamente proporcionais (2,3,b) e (15,a,5)

b) Qual o fator de proporcionalidade entre as sequências de

números inversamente proporcionais (1,3,5) e (60,20,12)?

c) Sabendo que os números das (1, a, -4) e (4, 2, b ) são

inversamente proporcionais, determine a e b.

Exercícios

a) Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que

a razão entre eles é .3

2?

b) Calcule dois números, sabendo que sua soma é 169 e que a

razão é .9

4?

c) Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação .5

8 Quais

são esses números?



17 17

d) Qual é o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5

assim como 28 está para 20?

e) Decomponha o numero .6

35 em duas partes, tais que a razão

entre eles seja 2/3.?

f) A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para

o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois

números é igual a 69. Quais são os três números.?

g) Qual é o número que diminuído de 3 unidades, está para o

seu consecutivo assim como 5 está para 6.?

h) A importância de R$ 588 foi dividia entre 3 pessoas.

Sabendo que a parte da primeira está para a da segunda

como 5 está pra 7, e que a parte da segunda está para a

terceira como 7 está para 9, determine as três partes.

i) Determine quais são os menores números inteiros

inversamente proporcionais aos números (3 , 4, 5, 8)

Regra da sociedade.

Consiste na aplicação da divisão do dividendo de uma empresa,

(lucros ou prejuízos) avaliado em certo período determinado, em

partes diretamente proporcionais a quantia que cada sócio

investiu na formação da empresa.



18 18

Ex: Suponhamos que Antonio, José e Pedro tenham se associado

para comprar um terreno no valor de R$ 60.000. Antônio entrou

com R$ 30.000, José com R$ 20.000 e Pedro com R$ 10.000.

Algum tempo depois, venderam esse terreno por R$ 90.000. Qual

é a parte que caberá a cada um deles?

Vamos à resolução: 5,1000.60

000.90

Isso quer dizer que o imóvel teve uma valorização de 50% ou 0,5.

Sendo assim, para calcularmos quanto cabe em cada parte após a

venda, é só atribuirmos 50% em cada valor inicial.

Antonio: 30.000 x1, 5 = R$ 45.000,00

José: 20.000 x1, 5 = R$ 30.000,00

Pedro: 10.000 x1, 5 = R$ 15.000,00

Podemos também usar a idéia que aprendemos anteriormente de

proporção múltipla.

kcba

102030 , sabendo que 90cba

Então temos: 30102030

acba

3060

90 a, então 45a e conseqüentemente 30b e 15c

Exercícios:

Ex: Dividir 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5, 11?



19 19

Resposta: 20, 50, 110,

Ex: Dividir o número 210 e partes inversamente proporcionais a

3, 5, 6.

resposta: 100, 60, 50?

resolução:

As seqüências de números reais e não nulos ),...,,( 21 naaa e ),...,,( 21 nbbb

são inversamente proporcionais se, e somente se:

kbababa 332211 ... ou então: k

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1

111

Podemos usar o conceito descrito anteriormente, kcba 6.5.3. ,

para concluirmos esta resolução, é necessário fazermos algumas

substituições

210cba ca 63 então ca 2

2102 cbc

2103 bc 5

6cb

2105

63

cc Resolvendo temos: 50c 60b 100a

Ex: Um pai deixou R$ 2.870,00 para serem divididos entre seus

filhos na razão inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos Quanto

recebeu cada um?

Resposta: 1470, 980, 420

Divisão proporcional composta.



20 20

Neste caso, o problema consiste em dividir um número em partes

direta ou inversamente proporcionais a certos números ),,( cba e

simultaneamente, em partes diretamente ou inversamente

proporcionais a outros tantos números ),,( 111 cba .

Sejam zyx ,, os valores das partes pedidas. Como zyx ,, são

proporcionais a cba ,, e também a 111 ,, cba são grandezas compostas,

portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos

111 .,.,. ccbbaa .

Ex 1: Dividir 392 em partes ao mesmo tempo diretamente

proporcionais a 2, 3, 4 e 3, 5, 7.

Método de resolução Kcc

z

bb

y

aa

x,,, ...

Resposta: 48, 120, 224

Ex 2: Dividir 175 em partes diretamente proporcionais a 4

5, ,3 4 ,

e ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 4

3,6 , 2 . Método

de resolução K

cc

z

bb

y

aa

x

,,,

1.

1.

1.

Resposta: 70, 21, 84

Ex: Dividir 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente

proporcionais a (3,5,6) e (4,6,9).



21 21

Ex: Divida 363 em três partes, de modo que a segunda seja o

dobro da primeira e a terceira o quádruplo da segunda.

1. Regra da sociedade 2.

A regra da sociedade é uma das aplicações da divisão

proporcional. Tem por objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos

entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião

do balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída

de um dos sócios ou da admissão de um novo sócio.

Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios

proporcionalmente aos capitais que empregaram, levando – se em

conta as condições estipuladas no contrato social.

Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.

Dividimos o lucro ou o prejuízo em partes iguais

Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo

tempo

Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente

proporcionais aos capitais dos sócios

Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais.

Na prática, em uma sociedade, os sócios não podem permanecer

por tempos desiguais. No momento em que um antigo sócio se

retira ou um novo sócio é admitido, procede – se a uma reforma



22 22

do contrato social, após o Balanço, calculando – se o Ativo e o

Passivo.

Também neste caso vale a observação feita para o caso anterior.

QUANDO OS SÓCIOS INTEGRALIZAM SUAS QUOTAS DE

CAPITAL EM ÉPOCAS DIFERENTES.

Exercícios:

Ex: Antonio e José organizaram uma firma comercial com um

capital social de R$ 2.000,00, devendo cada um deles entrar com

R$ 1.000,00. No ato da organização, 1º de março, Antônio

integralizou sua quota e José contribuiu com apenas R$ 700,00,

responsabilizando – se por integralizar sua quota após 5 meses.

Em 31 de dezembro foi procedido o balanço, tendo sido apurado

um lucro de R$ 740,00. Qual a parte a ser creditada a cada sócio?

Resposta: 400, 340

Vamos à resolução:

Antonio: 10 meses, então temos: 1000 x10 =10.000,00

José: 700 x 10 +300 x 5 = 7000 +1500 = 85.000,00

O segredo destes tipos de exercícios é conseguir obter uma

proporção correta para sócio. Então temos x está para 100 , assim

como y está para 85. Sabendo que x + y é igual á 740

Seja a proporção 100,85=20,17. então temos:



23 23

kba

1720

201720

aba

2037

740 a , então temos: 400a , e como conseqüência 340b

Ex: Dois sócios fundaram uma sociedade com um capital de R$

720.000. No momento de liquidar a sociedade, o primeiro recebeu

capital mais lucro num total de R$ 207.000. Sabendo que o lucro

total de R$ 108.000, qual o capital de cada sócio?

Resposta: 180.000, 540.000

Lucro proporcional ao capital investido.

Ex: Três sócios realizaram um capital de R$ 240.000,00. Sabendo

que ao fim de certo período de tempo, tiveram de lucro,

respectivamente 00,000.24$R ; 00,000.22$R e 00,000.18$R ; qual era o

capital de cada um?

É importante lembrar que o lucro é proporcional ao valor inicial

investido, ao mesmo tempo em que o valor investido é

proporcional ao lucro. Mesmo querendo descobrir o valor inicial

investido, vamos usar a mesma idéia de proporcionalidade

anteriormente comentada.

182224

zyx

24182224

xzyx

2464

240 x



24 24

90x , então 50,82y e 50,67y

Ex: Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de

R$ 90.000,00 e R$ 76.000,00 respectivamente. A primeira

recebeu na divisão do lucro, R$ 1.722,00 a mais que a segunda.

Calcule o lucro de cada uma delas.

000.90a , e 000.76a

7690

yx e yx 1722

Vamos usar a idéia de proporção múltipla

907690

xyx

90166

1722 xxx

154980180166 xx

11070x , temos como conseqüência

Uma empresa, organizada por três sócios em 1° de maio, deu um

lucro de R$ 688, apurado em 31 de dezembro. O capital social de

R$ 3000,00 foi dividido em partes iguais. O segundo sócio, tendo

entrado com R$ 600,00, só integralizou o seu capital em 15 de

julho. O terceiro, que havia entrado com a metade, completou a

sua parte em 1° de agosto. Quanto recebeu cada sócio?

Para execução de um serviço, foram empregados 12 homens, 20

mulheres e 30 menores. Sabendo que o pagamento total foi de R$



25 25

16200, que cada mulher recebeu 3/4 da quantia de um homem e

que cada menor recebeu 4/5 da quantia de cada mulher, quanto

recebeu cada um?

2. Regra de Três.

Regra de três:

Regra de três, nada mais é do que usar o princípio da

proporcionalidade para descobrir o termo desconhecido. Nos

problemas figuram uma grandeza que é direta ou inversamente

proporcional a uma ou mais grandeza. Na regra de três simples,

são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o

qual corresponde a uma dos valores da primeira grandeza.

Devemos então, obter o valor da segunda grandeza que

corresponde ao segundo valor da primeira.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha

com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de

duas grandezas.

Matematicamente falando, devemos tomar um certo

cuidado com alguns tipos de situações. Antes de desenvolver o

problema, devemos antes analisar se as variáveis segue o

princípio de proporcionalidade.

Por se tratar de um assunto básico, apenas citaremos

alguns exemplos relacionados.

Exercícios:



26 26

Ex: Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias

20 operários fariam a mesma obra?

Resposta:: 3 dias

Ex: Se 35m de um tecido custa R$ 140,00, quanto se pagará por

12m?

Ex: Um automóvel, correndo com a velocidade de 84 km/h, deve

percorrer certa distância em 9h. Depois de 3h de viagem houve

um desarranjo no motor e o automóvel teve de parar durante

45km. Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar

ao ponto final na hora fixada.

Ex 2: Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56

min, em que tempo 7 rotativas, iguais às primeiras, imprimirão

350.000 desses exemplares?

Resposta: 160 min. ou 2 h 40 min

Ex 3: Um motoqueiro, numa velocidade de 80 km/h, percorreu

uma determinada distancia em 6 dias, viajando h2

14 por dia.

“Afrouxando em 10

1a sua velocidade e viajando 6 h por dia, o

motoqueiro levará quantos dias para percorrer a mesma

distância?

Resposta: 5 dias



27 27

Ex4: Para fazer um muro de 52 m de comprimento, 30 operários

gastam 15 dias de 8 h. Quantos dias de 9 h gastarão 25 operários

para fazer 39 m de um muro igual?

Princípio de porcentagem

100xtotal

parcialPercentual

Operações sobre mercadoria.

O que vamos ver neste capítulo são problemas de percentagem

ligados às operações de compra e venda de mercadorias, isto é,

vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os

preços e de venda de mercadorias.

Vendas com Lucro

Legenda:

LLucro

CCusto

PejuízoPr

VVenda

Taxa Unitária do Lucro = i



28 28

Lucro sobre o preço de custo

CiLucro .

LCV

CiCV .

CiV ).1(

Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o

custo da mercadoria como equivalente a 100%.

Ex: Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8%

sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que

essas mercadorias custaram R$ 500,00

CiV ).1(

500).08,01(V

500).08,1(V

540V

Lucro sobre o preço de Venda

LCV

ViL .

ViCV .

CViV .

Então temos: i

CV

1



29 29

Ex: Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00.

Desejando ganhar 20% sobre o preço de custo, qual deve ser o

preço de venda?

i

CV

1

2,01

480V

600V

Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o

valor da venda como equivalente a 100%.

Prejuízo sobre o preço de custo.

V=C-P

P=i.C

V=C-P

V=C-Ic

V=(1-i)C

Prejuizo sobre o preço de venda

V=C-P

P=iV

V=C-P

V=C-iV

V+iV=C

V=C/(1+i)



30 30

3. Abatimentos e aumentos sucessivos.

)1)(1)(1( cbaPL

L = Valor líquido.

Aumento sucessivo

)1)(1)(1( cbaPM

M = montante acumulado



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