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UNIVERSITA' POLITECNICA DELLE MARCHE
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Corso di laurea in Ingegneria Meccanica
PROGETTAZIONE DI UN TUBO DI KUNDT PER LA
VALUTAZIONE DEI PARAMETRI ACUSTICI DEI MATERIALI
FONOASSORBENTI
Relatore: Prof. Nicola Paone Correlatori: Paolo Chiariotti Alfonso Cavuto
Candidato: Alessandro Annessi Matricola 1048113
Anno accademico 2013/2014
1
INDICE
1. INTRODUZIONE .............................................................................................................................. 3
2. STORIA ........................................................................................................................................... 4
3. CONFIGURAZIONI DEL TUBO AD ONDE STAZIONARIE .................................................................... 6
3.1 Configurazione per la misura del coefficiente di assorbimento normale ............................................................... 6
3.2 Configurazione per la misura del coefficiente di perdita di trasmissione .............................................................. 6
4. CALCOLO DEI PARAMETRI CARATTERISTICI DEL MATERIALE .......................................................... 6
4.1 Metodo tradizionale (misura per mezzo del microfono sonda) ............................................................................... 7 4.1.1 Principio di funzionamento ................................................................................................................................... 8 4.1.2 Coefficiente di assorbimento sonoro ................................................................................................................... 10 4.1.3 Fattore di riflessione ............................................................................................................................................ 11 4.1.4 Impedenza ........................................................................................................................................................... 11 4.1.5 Lunghezza d’onda ............................................................................................................................................... 11
4.2 Metodo della funzione di trasferimento (Transfer-function method) .................................................................. 12 4.2.1 Applicato al calcolo del coefficiente di assorbimento normale del materiale considerato .................................. 12
4.2.1.1 Principio di funzionamento .......................................................................................................................... 13 4.2.1.2 Misura ripetuta con microfoni intercambiati ................................................................................................ 15 4.2.1.3 Fattori di calibrazione predeterminati .......................................................................................................... 16 4.2.1.4 Determinazione della funzione di trasferimento tra due posizioni ............................................................... 16 4.2.1.5 Determinazione del fattore di riflessione ..................................................................................................... 17 4.2.1.6 Determinazione del coefficiente di assorbimento sonoro............................................................................. 18 4.2.1.7 Determinazione del rapporto di impedenza specifico .................................................................................. 18 4.2.1.8 Determinazione del rapporto di ammittanza specifico ................................................................................. 18
4.2.2 Applicato al calcolo del coefficiente di perdita di trasmissione normale del materiale considerato ............... 18 4.2.2.1 Rappresentazione del campo sonoro ............................................................................................................ 19 4.2.2.2 Formulazione della funzione di trasferimento .............................................................................................. 20 4.2.2.3 Calcolo dei coefficienti di riflessione, assorbimento e trasmissione ............................................................ 22 4.2.2.4 Calcolo del numero d’onda e dell’impedenza caratteristica ......................................................................... 23
5. PROGETTAZIONE.......................................................................................................................... 24
5.1 Geometria e requisiti dei vari componenti ............................................................................................................. 24
5.2 Frequenze di lavoro .................................................................................................................................................. 25
5.3 Componenti ............................................................................................................................................................... 28 5.3.1 Tubo principale.................................................................................................................................................... 29 5.3.2 Tubo terminale e coperchio ................................................................................................................................. 30 5.3.4 Stantuffo .............................................................................................................................................................. 30 5.3.5 Adattatori ............................................................................................................................................................. 31
5.3.5.1 Inserto A ....................................................................................................................................................... 33 5.3.5.2 Inserto B ....................................................................................................................................................... 33
2
5.3.5.3Adattatore ½” ................................................................................................................................................ 34 5.3.5.4 Adattatore ¼” ............................................................................................................................................... 34
6. SIMULAZIONE DEL COMPORTAMENTO DEL TUBO DI KUNDT ...................................................... 35
6.1 Simulazione 2D .................................................................................................................................................. 35 6.1.1 Parametri ............................................................................................................................................................. 35 6.1.2 Varabili ................................................................................................................................................................ 35 6.1.3 Geometria ............................................................................................................................................................ 36 6.1.4 Materiali .............................................................................................................................................................. 37 6.1.5 Interazione Acustico-Solida nel dominio delle frequenze .................................................................................. 38 6.1.6 Mesh .................................................................................................................................................................... 40 6.1.7 Studio .................................................................................................................................................................. 40 6.1.8 Risultati ............................................................................................................................................................... 40
6.2 Simulazione bidimensionale con l’inserimento del Perfect Matched Layer ................................................. 47
6.3 Simulazione 3D .................................................................................................................................................. 52 6.3.1 Studio a regime stazionario ................................................................................................................................. 53 6.3.2 Studio a regime transitorio .................................................................................................................................. 54
7. CONCLUSIONI .............................................................................................................................. 60
8. APPENDICE .................................................................................................................................. 62
Assieme esploso ............................................................................................................................................................... 62
Tubo ................................................................................................................................................................................. 63
Inserto A .......................................................................................................................................................................... 64
Inserto B .......................................................................................................................................................................... 65
Adattatore ½” .................................................................................................................................................................. 66
Adattatore ¼” .................................................................................................................................................................. 67
Terminazione .................................................................................................................................................................. 68
Coperchio ........................................................................................................................................................................ 69
Pomello ............................................................................................................................................................................ 70
Stantuffo .......................................................................................................................................................................... 71
Assieme in sezione ........................................................................................................................................................... 72
9. BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 73
10. SITOGRAFIA .............................................................................................................................. 73
3
1. INTRODUZIONE
Nella progettazione di un veicolo, di un’abitazione o di un capannone industriale è di fondamentale
importanza soddisfare la condizione di benessere acustico degli individui che usufruiscono di tali
ambienti e quindi limitare il rumore generato dalle varie fonti (motore, calpestio, macchinari
industriali) a valori accettabili, concordi con quelli presenti nella norma di riferimento. Tale
limitazione può essere effettuata impiegando tecniche costruttive che mirano ad assorbire ed isolare
la vibrazione sonora tramite l’ausilio dei cosiddetti materiali fonoassorbenti e fonoisolanti. Nella fase
di progettazione è necessario disporre delle caratteristiche acustiche dei materiali in commercio
(principalmente il coefficiente di assorbimento, il coefficiente di riflessione, l’impedenza acustica, il
coefficiente di perdita per trasmissione) così da poterli scegliere e dimensionare in relazione
all’applicazione considerata. Uno strumento in grado di valutare tali caratteristiche è il tubo di Kundt
o tubo di impedenza. Nella prima parte della tesi viene descritto qualitativamente lo strumento
considerato, partendo dalla sua storia sino ad arrivare alle moderne applicazioni; successivamente si
espongono i principi fisici ed i metodi alla base della misurazione secondo le tecniche descritte nella
normativa di riferimento, ISO-10534-1 (misurazioni realizzate adoperando un microfono-sonda
all’interno del tubo) e ISO-10534-2 (misurazioni effettuate tramite dei microfoni installati in
determinate posizioni usando il metodo della matrice di trasferimento). Una volta presentato il
background teorico dello strumento, ho spostato l’attenzione sull’aspetto realizzativo del tubo
definendo i requisiti di costruzione e elencando le fasi principali della progettazione, fino ad arrivare
al modello finale riportato sui disegni tecnici presenti in appendice. Dato che lo strumento è formato
da vari componenti e all’interno del tubo sono presenti discontinuità dovute agli scassi per il
posizionamento dei microfoni, durante le misurazioni si possono generare errori di disallineamento
e/o fenomeni di interferenza causati dalla mancata continuità della parete interna del tubo o da urti
dell’onda con le pareti. Per questo motivo, nella seconda parte del lavoro, è esposto il procedimento
attraverso il quale abbiamo verificato se lo strumento progettato possa funzionare correttamente
all’interno dell’intervallo di frequenze di lavoro, tramite simulazioni numeriche, basate su modelli
matematici verificati all’interno dell’apposito paragrafo. Inoltre con l’ausilio di uno studio nel tempo
abbiamo analizzato come si propagano le particelle dell’onda incidente all’interno del tubo,
considerando in questo modo anche le eventuali riflessioni ed interferenze che possono prender luogo.
4
2. STORIA August Kundt fu un fisico tedesco (Schwerin
1839-Israelsdorf 1894) che effettuò numerose
ricerche sulle proprietà fisiche dei gas,
nell'ambito delle quali ideò e costruì un
dispositivo per determinare la velocità del
suono nei diversi gas.
Il primo tubo che progettò era di vetro
trasparente e cosparso al suo interno con
polvere di licopodio o sabbia fine, delle polveri
molto leggere che possono essere spostate dalle
vibrazioni prodotte. Il tubo doveva essere
chiuso agli estremi con tappi e fissato
orizzontalmente tramite una morsa, al centro o
in due punti equidistanti dagli estremi di un quarto della sua lunghezza. Così disposto, lo si faceva
suonare sfregandolo con un panno bagnato (o imbevuto di pece greca): la polvere si raccoglieva in
cumuli, piccole pieghe, zone anulari vuote orlate da pieghe (vedi figura 1) e nei nodi si osservavano
sempre cumuli o zone vuote orlate e fra di essi o una serie di pieghe o nulla. La modalità in cui la
polvere si disponeva era influenzata dalla frequenza e dall'intensità del suono, nonché dalla vibrazione
propria del vetro.
Un altro modo per effettuare l’esperimento è
usare un tubo in vetro della lunghezza di circa 2
m e del diametro di circa 4 cm. Inizialmente si
produce un suono tramite un fischietto di Galton,
un diapason o un altoparlante alimentato da una
corrente alternata di frequenza acustica f in una
sua estremità aperta e all'estremità opposta è
inserito un pistone scorrevole nel tubo, di
superficie perfettamente speculare. Variando la
posizione di questo si riesce ad ottenere una
condizione per cui si producono onde
stazionarie. Oltre al gas in esame, all'interno del
tubo viene introdotta della polvere di licopodio
che può essere spostata dalla variazione di
pressione sonora dovuta all’onda acustica nel
tubo. Alle frequenze f per cui 𝑙 =
𝑛𝜆
2 (con l, distanza fra l'estremità del tubo e il pistone, e λ lunghezza d'onda del suono), si forma un
sistema di onde stazionarie nel tubo. Grazie a questo, in corrispondenza dei nodi, la polvere tende ad
accumularsi mentre, in corrispondenza dei ventri, il moto prodotto dall’onda non ne permette
l’accumulo. La distanza 𝑑 fra due accumuli consecutivi di polvere serve a determinare la lunghezza
d'onda λ del suono, poiché 𝑑 = λ/2; considerando nodi non consecutivi avremmo 𝑑 =𝑘λ
2, con 𝑘
intero positivo. Quindi sarà possibile calcolare la velocità di propagazione del suono nel gas
considerato come 𝑐 = 𝜆𝑓 ad una determinata temperatura ambiente.
Figura 1 – Distribuzione della polvere all’interno del tubo
di Kundt fatto suonare per sfregamento.
Figura 2 – Andamento della sabbia all’interno del tubo
di impedenza con fonte sonora sull’estremità aperta.
5
Nella sua forma attuale, la distanza fra i nodi successivi della pressione sonora non è più determinata
dal moto delle polveri che si dispongono sui nodi dell’onda ma mediante un microfono-sonda mobile
(perché montato su un asta scorrevole) lungo l'asse del tubo. È possibile così determinare il livello
fra i successivi massimi e minimi di pressione.
Nella figura sottostante è rappresentata la versione del tubo di Kundt commercializzata dalla ditta
Brüel&Kjær di Copenaghen:
Figura 3 – Tubo di Kundt commerciale
Si possono adoperare due tubi permutabili: uno dal diametro di circa 100mm e lungo circa 1,5m e un
altro (già montato) che ha un diametro di 29mm ed è lungo circa 0,5m. All’estremità si collocano i
porta provino (gli anelli di acciaio che si intravedono in alto a destra), all’interno dei quali si posiziona
il materiale da provare (intonaco, gommapiuma, lana di roccia, …).
Il tubo viene quindi montato sullo scatolotto di legno di forma rettangolare (contenente
l’altoparlante); il microfono è quel cilindro orizzontale che si muove su di un carrellino (visibile in
Figura 3) e prende il segnale attraverso un tubicino (il "microphone probe" indicato nella immagine
sottostante, Figura 4) che scorre dentro al tubo centrale e fa quindi da trasduttore di pressione lungo
l’asse del tubo. Sulla guida su cui scorre il carrello del microfono è posizionata un’asticella graduata
con un cursore che consente di misurare con la precisione di 1/10mm la distanza della sonda dal
provino.
Figura 4 – Schema di un tubo ad onde stazionarie
Nello schema di figura 4 è rappresentato il classico uso del tubo: per compiere le misure è necessario
un generatore di segnale sinusoidale da applicare all’altoparlante. I valori del rapporto tra la pressione
massima e quella minima si misurano grazie alla lettura sul voltmetro (in μV, su una scala con alta
precisione) dei valori di tensione provenienti dal microfono (logicamente il microfono riceve un
segnale di pressione che trasforma in tensione); i dati acquisiti ci permettono di calcolare, come
vedremo, il coefficiente di assorbimento ed i parametri caratteristici del materiale analizzato.
6
3. CONFIGURAZIONI DEL TUBO AD ONDE STAZIONARIE
Illustriamo ora le componenti presenti in un tubo ad onde stazionarie riferendoci alla configurazione
di lavoro da noi scelta. A seconda del parametro acustico da misurare vengono usate due differenti
configurazioni.
a) Tubo per la misura del coefficiente di
assorbimento.
b) Tubo per la misura del coefficiente di
perdita per trasmissione
3.1 Configurazione per la misura del coefficiente di assorbimento normale
Dalla figura a) possiamo notare che il tubo per la misura del coefficiente di assorbimento normale è
formato da un minor numero di componenti rispetto a quello per la misura del coefficiente di perdita
per trasmissione: da sinistra a destra si trova l’altoparlante che emette l’onda piana di riferimento, la
quale si propaga nel tubo raggiungendo il provino, tenuto in loco da un apposito porta-provino, sino
ad un tratto terminale reso anecoico in via teorica. Tra il provino e l’altoparlante sono posizionati tre
microfoni (utilizzati una coppia per volta così da permettere delle misurazioni in differenti range di
frequenza) per la misura della pressione incidente e riflessa.
3.2 Configurazione per la misura del coefficiente di perdita di trasmissione
Dalla figura b) si deduce, invece, che questa configurazione non è altro che una modifica della
precedente: dopo la sede del porta-provino, il tubo è prolungato di un altro tratto in cui sono installati
altri tre microfoni tramite i quali si può calcolare il ritardo dell’onda che attraversa il materiale stesso;
il tubo termina anche questa volta con un tratto finale che può essere a seconda del caso libero, rigido
o anecoico.
4. CALCOLO DEI PARAMETRI CARATTERISTICI DEL MATERIALE Per calcolare il coefficiente di assorbimento e l’impedenza superficiale del materiale preso in esame
si possono usare due metodi differenti: il metodo tradizionale o il metodo della funzione di
trasferimento.
Per il calcolo del coefficiente di perdita per trasmissione viene utilizzato il metodo della funzione di
trasferimento applicato alla configurazione di tubo utilizzata.
Figura 5 – Tubi di impedenza commerciali per misurazioni
tramite l’applicazione del metodo della matrice di
trasferimento
7
4.1 Metodo tradizionale (misura per mezzo del microfono sonda)
La ISO 10534-1 specifica un metodo per la determinazione del coefficiente di assorbimento, del
fattore di riflessione e dell’impedenza superficiale di materiali ed oggetti. I valori sono determinati
dalla valutazione di un modello di onda piana e stazionaria, generata dalla sovrapposizione di un’onda
piana sinusoidale incidente con l’onda piana riflessa dal provino stesso. Si definiscono di seguito le
grandezze impiegate nello studio:
- Coefficiente di assorbimento, α: rapporto tra la potenza sonora entrante rispetto la superficie
del provino e la potenza sonora incidente per un onda piana ad incidenza normale.
- Coefficiente di riflessione, r: rapporto complesso tra l’ampiezza della pressione dell’onda
riflessa e dell’onda incidente nel piano di riferimento per un’onda piana ad incidenza normale.
- Piano di riferimento: sezione trasversale del tubo di impedenza per il quale r (coefficiente di
riflessione) o Z (impedenza)o G (ammittanza) sono determinati e che è solitamente la
superficie piatta del provino. (Assunta come 𝑥 = 0).
- Campo di impedenza, Z(x): rapporto tra la pressione sonora p(x) e la velocità delle particelle
v(x) (dirette verso il provino) in un punto x del campo sonoro.
- Impedenza nel piano di riferimento, 𝑍𝑟: Rapporto tra la pressione sonora p(x) e la velocità
delle particelle v(x) nel piano di riferimento
𝑍𝑟 = 𝑝 𝑣⁄ .
- Impedenza superficiale, Z: rapporto complesso tra la pressione sonora p(0) e la componente
normale della velocità delle particelle v(0) nel piano di riferimento.
- Ammittanza superficiale, G: rapporto complesso tra la componente normale della velocità
delle particelle v(0) e la pressione sonora p(0) nel piano di riferimento.
- Ammittanza superficiale, 𝐺𝑠: componente dell’ammittanza sulla superficie del provino e
normale ad essa.
- Impedenza caratteristica, 𝑍0: campo di impedenza (nella direzione della propagazione) di una
singola onda piana
𝑍0 = 𝜌0𝑐0
𝑐0 velocità del suono nel mezzo.
𝜌0 densità del mezzo (aria).
- Impedenza normalizzata, z: rapporto tra l’impedenza Z e l’impedenza caratteristica 𝑍0
𝑧 = 𝑍 𝑍0⁄
- Ammittanza normalizzata, g: prodotto dell’ammittanza G e dell’impedenza caratteristica 𝑍0
𝑔 = 𝐺𝑍0
- Rapporto di onda stazionaria, s: rapporto dell’ampiezza della pressione sonora nella
condizione di pressione massima e della pressione sonora nella condizione adiacente di
minimo
𝑠 =|𝑝max|
|𝑝𝑚𝑖𝑛|
- Numero d’onda a campo libero, 𝑘0:
8
𝑘0 =𝜔
𝑐0=
2𝜋𝑓
𝑐0
𝜔 velocità angolare
𝑓 frequenza
𝑐0 velocità del suono
In generale il numero d’onda è una grandezza complessa 𝑘0 = 𝑘0′ − 𝑗𝑘0
′′
𝑘0′ componente reale (𝑘0
′ = 2𝜋/𝜆0)
𝑘0′′ componente immaginaria (cioè la costante di attenuazione)
- Fase del coefficiente di riflessione, Ф: deriva dalla rappresentazione complessa del
coefficiente di riflessione secondo ampiezza e fase
𝑟 = 𝑟′ + 𝑗𝑟′′ = |𝑟| ⋅ 𝑒𝑗Φ = |𝑟|(cos Φ + 𝑗 sin Φ)
|𝑟| = √𝑟′2 + 𝑟′′2
Φ = arctan𝑟′′
𝑟′
𝑟′ = |𝑟| cos Φ
𝑟′′ = |𝑟| sin Φ
- Range di frequenze di funzionamento, 𝑓: intervallo di frequenza all’interno del quale le misure
possono essere realizzate nel tubo di impedenza dato
𝑓𝑙 < 𝑓 < 𝑓𝑢
𝑓𝑙 limite inferiore di frequenza di funzionamento
𝑓𝑢 limite superiore di frequenza di funzionamento
4.1.1 Principio di funzionamento
Il provino circolare è montato ad un’estremità di un tubo di impedenza dritto, rigido e liscio; l’onda
sinusoidale incidente 𝑝𝑖 è generata da un altoparlante posto all’altra estremità del tubo. La
sovrapposizione 𝑝 = 𝑝𝑖 + 𝑝𝑟, dell’onda incidente 𝑝𝑖 e dell’onda riflessa 𝑝𝑟 dal provino, produce un
modello di onda stazionaria nel tubo. La valutazione procede con le misurazioni delle ampiezze
riferite alla pressione sonora, nella condizione di pressione minima |𝑝(𝑥min)| e massima |𝑝(𝑥max)|. Questi dati sono sufficienti per la determinazione del coefficiente di assorbimento; in aggiunta, la
distanza 𝑥min,1del primo minimo di pressione sonora dal piano di riferimento 𝑥 = 0 e la lunghezza
d’onda 𝜆0 devono essere determinate per poter calcolare il fattore di riflessione 𝑟, l’impedenza 𝑍 o
l’ammittanza 𝐺 = 1 𝑍⁄ .
9
Figura 6 – Andamento di un’onda stazionaria in un tubo di impedenza
Il metodo usato è basato sull’ipotesi che esistono solamente onde piane incidenti e riflesse che si
propagano perpendicolarmente all’asse longitudinale del tubo. La generazione di altri tipi di onda
all’interno deve essere evitata. Si assume inoltre che l’onda sonora si propaga nel tubo senza
attenuazione. Delle correzioni possono essere attuate riguardo le attenuazioni residue causate da
frizione e perdite termiche attraverso le pareti della condotta.
NOTA il fattore di tempo 𝑒𝑗𝜔𝑡 viene omesso nella seguente trattazione.
Si assume l’onda sonora incidente 𝑝𝑖 piana, armonica nel tempo con la frequenza 𝑓 e avente velocità
angolare pari a 𝜔 = 2𝜋𝑓, senza attenuazione e diretta lungo gli assi del tubo di impedenza (nella
direzione negativa delle x)
𝑝𝑖(𝑥) = 𝑝0 ⋅ 𝑒𝑗𝑘0𝑥 (1)
𝑘0 =𝜔
𝑐0=
2𝜋𝑓
𝑐0 (2)
dove l’ampiezza 𝑝0 è arbitraria.
L’onda riflessa dal provino è caratterizzata dal fattore di riflessione 𝑟, quindi
𝑝𝑟(𝑥) = 𝑟 ⋅ 𝑝0 ⋅ 𝑒−𝑗𝑘0𝑥 (3)
Le velocità delle particelle delle onde (considerate positive nel verso negativo delle x, vedi figura 1)
sono rispettivamente
𝑣𝑖(𝑥) =1
𝑍0𝑝𝑖(𝑥) (4)
𝑣𝑟(𝑥) =1
𝑍0𝑝𝑟(𝑥) (5)
Il campo di impedenza (nella direzione negativa delle x) nell’onda stazionaria è
𝑍(𝑥) =𝑝𝑖(𝑥) + 𝑝𝑟(𝑥)
𝑣𝑖(𝑥) + 𝑣𝑟(𝑥)= 𝑍0
𝑝𝑖(𝑥) + 𝑝𝑟(𝑥)
𝑝𝑖(𝑥) − 𝑝𝑟(𝑥) (6)
10
Sul piano di riferimento per 𝑥 = 0, abbiamo che
𝑍 = 𝑍(0) = 𝑍0
1 + 𝑟
1 − 𝑟 (7)
E quindi
𝑟 =(𝑍 𝑍0⁄ ) − 1
(𝑍 𝑍0⁄ ) + 1 (8)
Il coefficiente di assorbimento 𝛼 per un’onda piana è
𝛼 = 1 − |𝑟|2 (9)
dove |…| indica l’ampiezza di una grandezza complessa.
Essendo il piano di riferimento coincidente con la superficie piatta del provino, le quantità ricavate
sono l’impedenza superficiale, il fattore di riflessione (con suono incidente normalmente) e il
coefficiente di assorbimento (ad incidenza normale della pressione sonora) del provino.
Un massimo di pressione in un onda stazionaria si verifica quando 𝑝𝑖 e 𝑝𝑟 sono in fase
|𝑝𝑚𝑎𝑥| = |𝑝0| ⋅ (1 + |𝑟|) (10)
Un minimo di pressione in un onda stazionaria si verifica quando 𝑝𝑖 e 𝑝𝑟 sono in controfase (la fase
di una è opposta all’altra)
|𝑝𝑚𝑖𝑛| = |𝑝0| ⋅ (1 − |𝑟|) (11)
Usando il rapporto di pressioni di un onda stazionaria
𝑠 =|𝑝𝑚𝑎𝑥|
|𝑝𝑚𝑖𝑛| (12)
Sostituendo le relazioni precedentemente ricavate (10) e (11)
𝑠 =1 + |𝑟|
1 − |𝑟| (13)
E quindi
|𝑟| =𝑠 − 1
𝑠 + 1 (14)
4.1.2 Coefficiente di assorbimento sonoro
Il coefficiente di assorbimento è ricavato dalle equazioni (9), (12) e (14) con le misurazioni delle
ampiezze di |𝑝𝑚𝑎𝑥| e di |𝑝𝑚𝑖𝑛| alla frequenza data.
Se la pressione sonora nel tubo di impedenza è misurata in scala logaritmica (in decibel) e la
differenza di livello tra la pressione massima e la pressione minima è Δ𝐿 dB, quindi
𝑠 = 10Δ𝐿20 (15)
Ne segue che il coefficiente di assorbimento sonoro
11
𝛼 =4 × 10
Δ𝐿20
(10Δ𝐿20 + 1)2
(16)
4.1.3 Fattore di riflessione
La fase angolare Ф del fattore complesso di riflessione
𝑟 = |𝑟| ⋅ 𝑒𝑗Φ (17)
può essere ricavato dalla condizione di fase per un minimo di pressione nell’onda stazionaria
Φ + (2𝑛 − 1)𝜋 = 2𝑘0𝑥min,𝑛 (18)
per l’ 𝑛𝑡ℎ minimo (𝑛 = 1,2, … ) di fronte al piano di riferimento (verso la sorgente sonora).
Da ciò segue che
Φ = 𝜋 (4𝑥min,𝑛
𝜆0− 2𝑛 + 1) (19)
E per il primo minimo (𝑛 = 1)
Φ = 𝜋 (4𝑥min,1
𝜆0− 1) (20)
Il fattore di riflessione complesso è poi
𝑟 = 𝑟′ + 𝑗𝑟′′ (21)
𝑟′ = |𝑟| cos 𝛷 (22)
𝑟′′ = |𝑟| sin Φ (23)
4.1.4 Impedenza
Dall’equazione (7) possiamo ottenere l’impedenza normalizzata 𝑧 = 𝑍 𝑍0⁄ :
𝑧 = 𝑧′ + 𝑗𝑧′′ (24)
𝑧′ =1 − 𝑟′2 − 𝑟′′2
(1 − 𝑟′)2 + 𝑟′′2 (25)
𝑧′′ =2𝑟′′
(1 − 𝑟′)2 + 𝑟′′2 (26)
4.1.5 Lunghezza d’onda
La lunghezza d’onda 𝜆0 alla frequenza 𝑓 del segnale sonoro segue sia l’equazione
𝜆0 =𝑐0
𝑓 (27)
12
dove 𝑐0 è la velocità del suono; oppure dalla distanza tra due minimi di pressione dell’onda stazionaria
(con una terminazione rigida del tubo di impedenza), numerati n ed m rispettivamente
𝜆0 =2
𝑛 − 𝑚(𝑥min,𝑛 − 𝑥min,𝑚) (28)
4.2 Metodo della funzione di trasferimento (Transfer-function method)
4.2.1 Applicato al calcolo del coefficiente di assorbimento normale del materiale considerato
Questo metodo, definito dalla norma ISO 10534-2, sfrutta l’uso di un tubo di impedenza, due
microfoni posizionati in determinate locazioni e un sistema di analisi in frequenza digitale per la
determinazione del coefficiente di assorbimento di materiali fonoassorbenti con incidenza normale
del suono. Inoltre tramite questo tipo di studio si possono determinare l’impedenza acustica
superficiale o l’ammittanza superficiale di materiali fonoassorbenti. Dato che i rapporti di impedenza
di un materiale fonoassorbente sono correlati alle sue proprietà fisiche, come la resistenza al flusso
d’aria, la porosità o la densità, le misure descritte in questo metodo sono utili per la ricerca di base e
lo sviluppo di prodotto.
Questa metodologia di testing è simile a quella specificata nella ISO 10534-1, ma la tecnica di misura
è differente: le onde piane sono generate nel tubo da una sorgente di rumore e la scomposizione del
campo di interferenza è ottenuta dalla misurazione della pressione acustica in due punti fissati usando
dei microfoni montati sulle pareti della condotta in maniera opportuna; segue il calcolo della funzione
di trasferimento complessa e quindi dell’assorbimento ad incidenza normale e dei rapporti complessi
di impedenza dei materiali acustici.
Questa metodologia intende fornire un’alternativa, solitamente più veloce, del tecnica di misura usata
nella ISO 10534-1.
NOTA Varie definizioni sono valide dalla trattazione precedente, qui verranno integrate con altri concetti necessari alla
comprensione di questo metodo.
- Pressione sonora complessa, 𝑝: trasformata di Fourier della pressione acustica
- Cross spectrum, 𝑆12: prodotto 𝑝2 ⋅ 𝑝1∗, determinato dalle pressioni sonore complesse 𝑝1 e 𝑝2
nelle posizioni dei due microfoni.
NOTA * questo simbolo sta ad indicare il complesso coniugato.
- Auto spectrum, 𝑆11: prodotto 𝑝1 ⋅ 𝑝1∗, determinato dalla pressione sonora complessa 𝑝1 nella
posizione del microfono 1
- Funzione di trasferimento (transfer function), 𝐻12: funzione di trasferimento dalla posizione
1 alla posizione 2 del microfoni, definita dal rapporto complesso
𝑝2
𝑝1=
𝑆12
𝑆11 𝑜𝑟
𝑆22
𝑆21 𝑜𝑟√(
𝑆12
𝑆11) (
𝑆22
𝑆21) (29)
- Fattore di calibrazione, 𝐻𝐶: fattore usato per correggere disallineamenti di ampiezza e fase
tra i due microfoni.
13
4.2.1.1 Principio di funzionamento
Il provino è montato ad un’estremità del tubo di impedenza, che deve essere dritto, rigido e liscio. Le
onde piane sono generate nel tubo da una sorgente sonora e la pressione sonora è misurata nella zona
vicina al provino. La funzione di trasferimento complessa dei segnali dei due microfoni è usata per
calcolare il fattore di riflessione complesso ad incidenza normale, il coefficiente di assorbimento ad
incidenza normale e il rapporto di impedenza del materiale testato.
Le grandezze sono determinate in funzione della frequenza; la risoluzione dei dati acquisiti dipende
dalla frequenza di campionamento e dall’intervallo registrato dal sistema di analisi digitale usato per
le misurazioni.
L’intervallo di frequenza di lavoro dipende dalla larghezza del tubo e dallo spazio tra le posizioni dei
due microfoni. Una gamma estesa di frequenze si potrebbe ottenere dalla combinazione di
misurazioni con differenti larghezze e differente spaziamento.
La misura può essere eseguita impiegando due tecniche:
1. Metodo a due microfoni (usando due microfoni in posizioni fissate).
Questa tecnica richiede una procedura di correzione volta a minimizzare la differenza tra
l’ampiezza e la fase dei due microfoni usati; comunque combina velocità, alta accuratezza e
facilità di implementazione; è raccomandata per fini di prove generali.
2. Metodo ad un microfono (usando un solo microfono successivamente in due posizioni fissate).
Questo tipo di tecnica, invece, ha una particolare generazione del segnale e specifici requisiti
di elaborazione, infine potrebbe richiedere più tempo; comunque, elimina disallineamenti di
fase tra i due microfoni e permette la selezione di posizioni ottimali del microfono per
qualsiasi frequenza. È raccomandata per la valutazione di risonatori accordati e per la sua
precisione.
L’apparecchiatura per la misurazione deve essere assemblata, come mostrato in figura 2, e provata
prima dell’uso tramite una serie di test, che aiutano ad escludere fonti di errore e assicurano i minimi
requisiti per la misura. I controlli preliminari possono essere di due tipi: i primi vengono effettuati
prima e dopo ogni misurazione ed assicurano una certa costanza nella risposta dei microfoni; i secondi
sono test periodici di calibrazione effettuati a tubo vuoto con terminazione rigida, il loro scopo è
quello di determinare il centro acustico del microfono e/o le correzioni da apportare a causa
dall’attenuazione dell’onda nel tubo di impedenza.
Una volta effettuate le verifiche preliminari, viene quindi inserito il provino in maniera opportuna e
definito propriamente il piano di riferimento (a seconda di variazioni della forma del provino, come
un profilo di superficie non piatto o una struttura laterale, si potrebbe decidere di posizionare il piano
di riferimento davanti al materiale da testare).
Prima di iniziare una misurazione è necessario determinare la velocità del suono 𝑐0, dopo di questa
verranno calcolate le lunghezze d’onda e le frequenze delle misurazioni.
Conoscendo la temperatura ambiente 𝑇 (in Kelvin) possiamo determinare la velocità del suono
tramite la seguente relazione:
𝑐0 = 343,2 √𝑇
293
𝑚
𝑠 (30)
Segue la lunghezza d’onda
𝜆0 =𝑐0
𝑓 (27)
14
La densità dell’aria può essere calcolata come
𝜌 = 𝜌0
𝑝𝑎𝑇0
𝑝0𝑇 (31)
Dove
𝑇 la temperatura, misurata in Kelvin
𝑝𝑎 pressione atmosferica, misurata in kPa
𝑝0 = 101,325 𝑘𝑃𝑎
𝜌0 = 1,186 𝑘𝑔 𝑚3⁄
L’impedenza caratteristica dell’aria è data dal prodotto 𝜌𝑐0.
Figura 7 – Posizioni dei microfoni e componenti dell’apparecchiatura per la misura.
L’ampiezza del segnale sorgente dovrà essere almeno 10 dB superiore al rumore di fondo rispetto
tutte le frequenze di interesse, nelle posizioni in cui si trovano i microfoni.
Usando una media dei vari spettri acquisiti durante la misurazione, gli errori causati dal rumore
potranno essere cancellati; il numero di medie richiesto dipende dal tipo di materiale e
dall’accuratezza richiesta della funzione di trasferimento stimata.
Per correggere i disallineamenti nella configurazione a due microfoni sarà necessario attuare una delle
procedure di correzione seguenti: misure ripetute con microfoni invertiti oppure fattore di
calibrazione predeterminato.
15
4.2.1.2 Misura ripetuta con microfoni invertiti
La correzione dei disallineamenti dei microfoni è fatta cambiando canale ad ogni misurazione sul
provino. Questo tipo di procedura è da preferire quando i materiali ad essere testati sono un numero
limitato.
Si posiziona il provino nel tubo e si misurano le due funzioni di trasferimento 𝐻12𝐼 e 𝐻12
𝐼𝐼 , usando le
stesse formule matematiche.
Mettendo i microfoni nella configurazione I si registra la funzione di trasferimento 𝐻12𝐼 .
Figura 8 – Configurazione standard (configurazione I)
Possiamo quindi scambiare i microfoni (assicurandoci che essi occupino la posizione precisa del
microfono che era presente in precedenza, senza però scambiare le connessioni all’analizzatore di
segnale) definendo quindi la configurazione II.
Figura 9 – Configurazione con microfoni scambiati (configurazione II)
Possiamo quindi misurare la funzione di trasferimento 𝐻12𝐼𝐼 e calcolare la funzione di trasferimento
𝐻12 usando l’equazione:
16
𝐻12 = √(𝐻12𝐼 ⋅ 𝐻12
𝐼𝐼 ) = |𝐻12|𝑒𝑗𝜙 (32)
4.2.1.3 Fattori di calibrazione predeterminati
Questa procedura di calibrazione usa uno speciale provino e, una volta effettuata, la correzione è
valida per tutte le misure successive. Questo tipo di procedura dovrebbe essere usata come premessa
al testing di una serie di campioni, dopo la calibrazione il microfono rimane posizionato.
Viene posizionato nel tubo un provino assorbente per prevenire forti riflessioni acustiche e vengono
così misurate le due funzioni di trasferimento 𝐻12𝐼 e 𝐻12
𝐼𝐼 , usando per entrambe le stesse formule
matematiche.
Posizionando i microfoni nella configurazione I, si misura la funzione di trasferimento 𝐻12𝐼 .
Possiamo quindi scambiare i microfoni (assicurandoci che essi occupino la posizione precisa del
microfono che era presente in precedenza, senza però scambiare le connessioni all’analizzatore di
segnale) definendo la configurazione II.
Possiamo perciò misurare la funzione di trasferimento 𝐻12𝐼𝐼 e calcolare il fattore di calibrazione 𝐻𝐶
usando l’equazione:
𝐻𝐶 = √(𝐻12𝐼 ⋅ 𝐻12
𝐼𝐼 ) = |𝐻𝐶|𝑒𝑗𝜙𝑐 (33)
Per test successivi, posizionare i microfoni in configurazione I; inserire quindi il provino e misurare
la funzione di trasferimento
�̂�12 = |�̂�12|𝑒𝑗�̂� = �̂�𝑟 + 𝑗�̂�𝑖 (34)
Dove
�̂�12 funzione di trasferimento non corretta
�̂� fase angolare non corretta
�̂�𝑟 parte reale di �̂�12
�̂�𝑖 parte immaginaria di �̂�12
La correzione del disallineamento dei microfoni si considera usando l’equazione
𝐻12 = |𝐻12|𝑒𝑗𝜙 =�̂�12
𝐻𝐶 (35)
4.2.1.4 Determinazione della funzione di trasferimento tra due posizioni
Si inserisce il materiale da testare e si misura la funzione di trasferimento sonora complessa.
La funzione di trasferimento complessa può essere definita in tre modi:
𝐻12 =𝑆12
𝑆11= |𝐻12|𝑒𝑗𝜙 = 𝐻𝑟 + 𝑗𝐻𝑖 (36)
17
𝐻12 =𝑆22
𝑆21= |𝐻12|𝑒𝑗𝜙 = 𝐻𝑟 + 𝑗𝐻𝑖 (37)
𝐻12 = √𝑆12
𝑆11⋅
𝑆22
𝑆21= 𝐻𝑟 + 𝑗𝐻𝑖 (38)
Dove
𝐻𝑟 parte reale di 𝐻12
𝐻𝑖 parte immaginaria di 𝐻12
L’equazione (36) è usata in situazioni normali.
L’equazione (37) è raccomandata per i casi in cui è presente rumore all’ingresso.
L’equazione (38) è raccomandata per i casi in cui è presente rumore all’uscita.
4.2.1.5 Determinazione del fattore di riflessione
Il metodo di misura è basato sul fatto che il coefficiente di riflessione sonoro ad incidenza normale 𝑟
può essere determinato dalla misura della funzione di trasferimento 𝐻12 tra le posizioni dei due
microfoni davanti al provino.
La pressione sonora dell’onda incidente 𝑝𝐼 e dell’onda riflessa 𝑝𝑅 sono rispettivamente:
𝑝𝐼 = �̂�𝐼 ⋅ 𝑒𝑗𝑘0𝑥 (39)
𝑝𝑅 = �̂�𝑅 ⋅ 𝑒−𝑗𝑘0𝑥 (40)
Dove
�̂�𝐼 e �̂�𝑅 sono i moduli di 𝑝𝐼 e 𝑝𝑅 dal piano di riferimento (𝑥 = 0);
𝑘0 = 𝑘0′ − 𝑗𝑘0
′′ è il numero d’onda complesso;
Le pressioni sonore 𝑝1 e 𝑝2 nelle posizioni dei due microfoni sono:
𝑝1 = �̂�𝐼 ⋅ 𝑒𝑗𝑘0𝑥1 + �̂�𝑅 ⋅ 𝑒−𝑗𝑘0𝑥1 (41)
𝑝2 = �̂�𝐼 ⋅ 𝑒𝑗𝑘0𝑥2 + �̂�𝑅 ⋅ 𝑒−𝑗𝑘0𝑥2 (42)
La funzione di trasferimento per la sola onda incidente 𝐻𝐼 è
𝐻𝐼 =𝑝2𝐼
𝑝1𝐼= 𝑒−𝑗𝑘0(𝑥1−𝑥2) = 𝑒−𝑗𝑘0𝑠 (43)
Dove 𝑠 = 𝑥1 − 𝑥2 è la distanza tra i due microfoni.
In maniera similare, la funzione di trasferimento per la sola onda riflessa 𝐻𝑅 è
𝐻𝑅 =𝑝2𝑅
𝑝1𝑅= 𝑒𝑗𝑘0(𝑥1−𝑥2) = 𝑒𝑗𝑘0𝑠 (44)
La funzione di trasferimento 𝐻12 per il campo sonoro complessivo può essere ottenuta usando le
equazioni (41) e (42); notando che �̂�𝑅 = 𝑟�̂�𝐼, abbiamo che
18
𝐻12 =𝑝2
𝑝1=
�̂�𝐼 ⋅ 𝑒𝑗𝑘0𝑥2 + �̂�𝑅 ⋅ 𝑒−𝑗𝑘0𝑥2
�̂�𝐼 ⋅ 𝑒𝑗𝑘0𝑥1 + �̂�𝑅 ⋅ 𝑒−𝑗𝑘0𝑥1 (45)
𝐻12 =𝑝2
𝑝1=
𝑒𝑗𝑘0𝑥2 + 𝑟𝑒−𝑗𝑘0𝑥2
𝑒𝑗𝑘0𝑥1 + 𝑟𝑒−𝑗𝑘0𝑥1 (45𝑎)
Manipolando l’equazione (45a) possiamo arrivare a definire r:
𝑟 =𝐻12 − 𝐻𝐼
𝐻𝑅 − 𝐻12𝑒2𝑗𝑘0𝑥1 (46)
𝑟 = |𝑟|𝑒𝑗𝜙𝑟 = 𝑟𝑟 + 𝑗𝑟𝑖 (47)
4.2.1.6 Determinazione del coefficiente di assorbimento sonoro
Dopo aver calcolato il coefficiente di riflessione, risulta immediato calcolare il coefficiente di
assorbimento ad incidenza normale
𝛼 = 1 − |𝑟|2 = 1 − 𝑟𝑟2 − 𝑟𝑖
2 (48)
4.2.1.7 Determinazione del rapporto di impedenza specifico
Possiamo quindi calcolare il rapporto di impedenza
𝑍𝜌𝑐0
⁄ = 𝑅𝜌𝑐0
⁄ + 𝑗 𝑋𝜌𝑐0
⁄ =(1 + 𝑟)
(1 − 𝑟) (49)
Dove
𝑅 componente reale
𝑋 componente immaginaria
𝜌𝑐0 impedenza caratteristica
4.2.1.8 Determinazione del rapporto di ammittanza specifico
Inoltre è possibile calcolare il rapporto di ammittanza
𝐺𝜌𝑐0 = 𝑔𝜌𝑐0 − 𝑗𝑏𝜌𝑐0 =𝜌𝑐0
𝑍 (50)
Dove
𝑔 componente reale
𝑏 componente immaginaria
4.2.2 Applicato al calcolo del coefficiente di perdita di trasmissione normale del materiale
considerato
Come è stato già accennato, il tubo per la misurazione del coefficiente di perdita di trasmissione (e
delle relative proprietà acustiche) è dotato di 4 microfoni per la misurazione della pressione sonora
su entrambe le facce del materiale posizionato nel provino (2 microfoni a monte e 2 a valle del
19
portaprovino, posizionati ad una determinata geometria). Per calcolare la matrice di trasferimento
(una matrice 2 per 2) vengono usate due differenti condizioni riguardanti la terminazione del tubo:
aperto o approssimativamente anecoico (two – load method o four – load method)
Quando il materiale è simmetrico rispetto alle due facce, una singola misurazione effettuata in una
sola condizione delle due sopra elencate è sufficiente per calcolare gli elementi della matrice di
trasferimento (one – load method).
4.2.2.1 Rappresentazione del campo sonoro
In questa trattazione si assume che il campo sonoro nella parte a monte e a valle del provino nel tubo
ad onde stazionarie possa essere rappresentato dalla sovrapposizione di onde piane positive e
negative:
𝑝𝑢𝑝 = 𝐴𝑒−𝑗𝑘0𝑥 + 𝐵𝑒𝑗𝑘0𝑥 (51)
𝑝𝑑𝑜𝑤𝑛 = 𝐶𝑒−𝑗𝑘0𝑥 + 𝐷𝑒𝑗𝑘0𝑥 (52)
La relazione (51) usata per la pressione a monte del provino e la relazione (50) per la pressione a valle
di questo.
𝑘 è il numero d’onda nell’ambiente fluido, 𝑝𝑢𝑝 e 𝑝𝑑𝑜𝑤𝑛 sono delle pressioni complesse e i coefficienti
A,B,C,D rappresentano le ampiezze complesse.
Figura 10 – Configurazione con 4 microfoni (two – load method)
I valori complessi delle pressioni nelle posizioni dei microfoni 1,2,3,4 possono essere scritte come
segue:
𝑝1 = 𝐴𝑒−𝑗𝑘0𝑥1 + 𝐵𝑒𝑗𝑘0𝑥1 (53)
𝑝2 = 𝐴𝑒−𝑗𝑘0𝑥2 + 𝐵𝑒𝑗𝑘0𝑥2 (54)
𝑝3 = 𝐶𝑒−𝑗𝑘0𝑥3 + 𝐷𝑒𝑗𝑘0𝑥3 (55)
20
𝑝4 = 𝐶𝑒−𝑗𝑘0𝑥4 + 𝐷𝑒𝑗𝑘0𝑥4 (56)
Tramite le equazioni da (53) a (56) si possono ricavare i coefficienti A, B, C, D in funzione della
pressione misurata:
𝐴 =𝑗(𝑝1𝑒𝑗𝑘0𝑥2 − 𝑝1𝑒𝑗𝑘0𝑥1)
2 sin 𝑘( 𝑥1 − 𝑥2) (57)
𝐵 =𝑗(𝑝2𝑒−𝑗𝑘0𝑥1 − 𝑝1𝑒−𝑗𝑘0𝑥2)
2 sin 𝑘( 𝑥1 − 𝑥2) (58)
𝐶 =𝑗(𝑝3𝑒𝑗𝑘0𝑥4 − 𝑝4𝑒𝑗𝑘0𝑥3)
2 sin 𝑘( 𝑥3 − 𝑥4) (59)
𝐷 =𝑗(𝑝4𝑒−𝑗𝑘0𝑥3 − 𝑝3𝑒−𝑗𝑘0𝑥4)
2 sin 𝑘( 𝑥3 − 𝑥4) (60)
Questi ultimi coefficienti forniscono i dati di ingresso per il successivo calcolo della matrice di
trasferimento. Il numero d’onda 𝑘 dovrebbe essere complesso per tenere conto degli effetti della
dissipazione viscosa e termica nello strato limite oscillatorio e termo-viscoso che si forma sulla
superficie interna del condotto.
4.2.2.2 Formulazione della funzione di trasferimento
I coefficienti trovati possono essere usati per calcolare la pressione sonora e la velocità delle particelle
sulle due facce del provino (fig – 5, 𝑝𝑒𝑟 𝑥 = 0 e 𝑥 = 𝑑), le grandezze così ricavate possono essere
relazionate tra di loro da una matrice di trasferimento 2x2:
[𝑃𝑉
]𝑥=0
= [𝑇11 𝑇12
𝑇21 𝑇22] [
𝑃𝑉
]𝑥=𝑑
(61)
Nell’equazione matriciale appena scritta, 𝑃 è la pressione sonora esterna e 𝑉 è la velocità acustica
normale esterna delle particelle. Queste due grandezze sulle due facce del provino possono essere
espresse in termini di ampiezza di un’onda piana positiva e negativa:
𝑃|𝑥=0 = 𝐴 + 𝐵 (62)
𝑉|𝑥=0 =𝐴 − 𝐵
𝜌0𝑐 (63)
𝑃|𝑥=𝑑 = 𝐶𝑒−𝑗𝑘0𝑑 + 𝐷𝑒𝑗𝑘0𝑑 (64)
𝑉|𝑥=𝑑 =𝐶𝑒−𝑗𝑘0𝑑 − 𝐷𝑒𝑗𝑘0𝑑
𝜌0𝑐 (65)
𝜌0 = Densità del fluido nell’ambiente
𝑐 = Velocità del suono nell’ambiente
21
Quindi, una volta note le componenti dell’onda acustica piana (basate sulla misurazione delle
pressioni complesse ai 4 microfoni) le pressioni e le velocità delle particelle sulle due facce sono
determinate.
È importante determinare i valori degli elementi della matrice di trasferimento poiché questi sono
direttamente correlati alle proprietà del materiale testato.
Tuttavia bisogna notare che l’equazione matriciale (61) rappresenta due equazioni nelle 4 incognite
𝑇11, 𝑇12, 𝑇21, 𝑇22. Quindi sono necessarie altre 2 equazioni per risolvere la matrice di trasferimento;
queste possono essere ricavate effettuando indipendentemente una seconda misurazione sui 4
microfoni modificando l’impedenza della terminazione del tubo (se prima la terminazione era libera,
sarà approssimativamente anecoica o viceversa), per questo motivo questo approccio è detto two –
load method.
Indicando con i pedici 1 e 2 le differenti condizioni della terminazione del tubo:
[𝑃1
𝑉1
𝑃2
𝑉2]
𝑥=0
= [𝑇11 𝑇12
𝑇21 𝑇22] [
𝑃1
𝑉1
𝑃2
𝑉2]
𝑥=𝑑
(66)
Invertendo quest’ultima espressione possono essere ricavati gli elementi della matrice:
[𝑇11 𝑇12
𝑇21 𝑇22] =
1
𝑃1|𝑥=𝑑 𝑉2|𝑥=𝑑 − 𝑃2|𝑥=𝑑 𝑉1|𝑥=𝑑×
× [𝑃1|𝑥=0 𝑉2|𝑥=𝑑 − 𝑃2|𝑥=0 𝑉1|𝑥=𝑑 − 𝑃1|𝑥=0 𝑃2|𝑥=𝑑 + 𝑃2|𝑥=0 𝑃1|𝑥=𝑑
𝑉1|𝑥=0 𝑉2|𝑥=𝑑 − 𝑉2|𝑥=0 𝑉1|𝑥=𝑑 − 𝑃2|𝑥=𝑑 𝑉1|𝑥=0 + 𝑃1|𝑥=𝑑𝑉2|𝑥=0] (67)
Sotto determinate circostanze è possibile generare due equazioni addizionali sfruttando la natura
reciproca del campione invece di effettuare un secondo set di misurazioni. Pierce osservò che questa
reciprocità del materiale richiede che il determinante della matrice di trasferimento sia l’unità. Allard
mostrò che questa condizione deriva direttamente dal requisito che il coefficiente di trasmissione di
un sistema acustico piano e con strati arbitrari sia lo stesso in entrambe le direzioni. Ulteriormente
Pierce osservò che per sistemi simmetrici 𝑇11 = 𝑇22. Si può facilmente dimostrare che quest’ultima
condizione è conseguente quando i coefficienti di riflessione delle due facce di un sistema piano a
strati sono uguali.
Perciò, dall’ipotesi di simmetria (68) e reciprocità (69) deriva che:
𝑇11 = 𝑇22 (68)
𝑇11𝑇22 − 𝑇12𝑇21 = 1 (69)
Queste due ultime condizioni di vincolo insieme ad una singola misurazione per un'unica condizione
della terminazione del tubo completa l’insieme delle 4 equazioni necessarie per ricavare gli elementi
della matrice di trasferimento. Combinando le equazioni (61), (68) e (69), gli elementi della matrice
di trasferimento di un campione, soddisfando le precedenti condizioni, possono essere espressi
direttamente in termini di pressioni e velocità sulle due facce dello strato poroso per una determinata
terminazione del tubo:
[𝑇11 𝑇12
𝑇21 𝑇22] =
1
𝑃|𝑥=0𝑉|𝑥=𝑑 − 𝑃|𝑥=𝑑𝑉|𝑥=0×
× [𝑃|𝑥=𝑑𝑉|𝑥=𝑑 + 𝑃|𝑥=0𝑉|𝑥=0
𝑉|𝑥=02 − 𝑉|𝑥=𝑑
2𝑃|𝑥=0
2 − 𝑃|𝑥=𝑑2
𝑃|𝑥=𝑑𝑉|𝑥=𝑑 + 𝑃|𝑥=0𝑉|𝑥=0] (70)
Quest’ultima proceduta utilizzata viene definita one – load method.
22
4.2.2.3 Calcolo dei coefficienti di riflessione, assorbimento e trasmissione
Una volta ricavati i valori dei coefficienti della matrice di trasferimento, le proprietà acustiche del
campione possono essere calcolate.
Considerando un campione di spessore 𝑑 sorretto da una terminazione perfettamente anecoica, così
da poter assumere che 𝐷 è praticamente nulla nella sezione di tubo a valle. Quando l’ampiezza
dell’onda piana incidente è assunta uguale all’unità, le pressioni sonore e le velocità delle particelle
sulle due facce del materiale poroso diventano:
𝑃|𝑥=0 = 1 + 𝑅𝑎𝑢 (71)
𝑉|𝑥=0 =1 − 𝑅𝑎
𝜌0𝑐 (72)
𝑃|𝑥=𝑑 = 𝑇𝑎𝑒−𝑗𝑘0𝑑 (73)
𝑉|𝑥=𝑑 =𝑇𝑎𝑒−𝑗𝑘0𝑑
𝜌0𝑐 (74)
Dove, per un campione con terminazione anecoica:
𝑅𝑎 = 𝐵/𝐴 è il coefficiente di riflessione ad incidenza normale per un onda piana
𝑇𝑎 = 𝐶/𝐴 è il coefficiente di trasmissione ad incidenza normale per un onda piana
Quando le equazioni (71), (72), (73), (74) sono sostituite nell’equazione (61) si possono ricavare
rispettivamente i coefficienti di riflessione Ra e di trasmissione Ta a pressione normale incidente nel
caso di terminazione anecoica nel tubo ad onde stazionarie:
𝑅𝑎 =𝑇11 +
𝑇12
𝜌0𝑐 + 𝜌0𝑐 𝑇12 − 𝑇22
𝑇11 +𝑇12
𝜌0𝑐 + 𝜌0𝑐 𝑇12 + 𝑇22
(75)
𝑇𝑎 =2𝑒−𝑗𝑘0𝑑
𝑇11 +𝑇12
𝜌0𝑐 + 𝜌0𝑐 𝑇12 + 𝑇22
(76)
In aggiunta, l’impedenza di superficie normale 𝑍𝑎 del campione con terminazione anecoica può
essere calcolato come:
𝑍𝑎 =𝑇11 +
𝑇12
𝜌0𝑐
𝑇21 +𝑇22
𝜌0𝑐
(77)
In contrasto con la situazione in cui il campione è posizionato contro un sostegno rigido, si avrebbe
𝑉|𝑥=𝑑 = 0. Sostituendo quindi quest’ultima condizione e le equazioni (71), (72) nella (61) si ottiene
il coefficiente di riflessione ad incidenza normale, 𝑅ℎ nel caso con supporto rigido:
23
𝑅ℎ =𝑇11 − 𝜌0𝑐 𝑇21
𝑇11 + 𝜌0𝑐 𝑇21 (78)
Espressioni simili potranno essere derivate nel caso di un materiale poroso multistrato sostenuto da
un materiale con impedenza arbitraria.
Mentre il coefficiente di assorbimento ad incidenza normale con terminazione anecoica, 𝛼𝑛𝑎 , può
essere calcolato come:
𝛼𝑛𝑎 = 1 − |𝑅𝑎|2 (79)
Tramite il metodo considerato è possibile distinguere la fazione di energia incidente che è dissipata
all’interno del campione da quella che è semplicemente trasmessa attraverso di esso. Si definisce
perciò il coefficiente di dissipazione ad incidenza normale con terminazione anecoica, 𝛼𝑛𝑑:
𝛼𝑛𝑑 = 1 − |𝑅𝑎|2 − |𝑇𝑎|2 (80)
Tale parametro è indice della capacità del materiale nel dissipare energia.
La perdita di trasmissione ad incidenza normale di un campione può essere calcolata come:
𝑇𝐿 = 10 log1
|𝑇𝑎|2 (81)
Nota che quando lo stesso fluido è su tutti e due i lati del campione, |𝑇𝑎|2 è il coefficiente di
trasmissione di potenza ad incidenza normale per un campione riferito alla condizione di terminazione
è anecoica. Questo è il rapporto tra la pressione sonora trasmessa dal campione e la pressione sonora
incidente al campione. Nel caso di una terminazione perfettamente anecoica 𝐷 = 0 e 𝑇𝑎 = 𝐶/𝐴.
Tuttavia la pressione sonora trasmessa da un campione dipende in generale sia dalle proprietà del
materiale testato, sia dalla condizione della terminazione del tubo. Per esempio nel caso di una
terminazione perfettamente rigida i coefficienti di onda piana 𝐶 e 𝐷 sono uguali in ampiezza e la
pressione sonora trasmessa al provino è, in linea di principio, nulla causando apparentemente una
perdita di trasmissione infinita. Anche quando la terminazione del tubo è approssimativamente
anecoica, piccole riflessioni dalla terminazione potrebbero avere un effetto rilevante sul coefficiente
di trasmissione se è solamente calcolato come 𝐶/𝐴.
Il maggiore vantaggio dell’approccio usando la matrice di trasferimento è che gli elementi di tale
matrice sono proprietà solo del campione e non dell’ambiente di misurazione. Quando questi elementi
sono noti, la potenza sonora trasmessa dal campione può essere calcolata per qualsiasi condizione
della terminazione del tubo. Quando questo ultimo calcolo viene effettuato in base ad una
terminazione perfettamente anecoica, come nell’equazione (76), la corrispondente perdita di
trasmissione da una valida indicazione sulle prestazioni isolanti del provino.
4.2.2.4 Calcolo del numero d’onda e dell’impedenza caratteristica
La matrice di trasferimento ad incidenza normale per uno strato di finito spessore di un materiale
poroso omogeneo e isotropico il quale può essere considerato cedevole o rigido, quindi potrà essere
modellato come un fluido equivalente:
24
[𝑇11 𝑇12
𝑇21 𝑇22] = [
cos 𝑘𝑝𝑑 𝑗𝜌𝑝𝑐𝑝 sin 𝑘𝑝𝑑
sin 𝑘𝑝𝑑
𝜌𝑝𝑐𝑝cos 𝑘𝑝𝑑
] (82)
dove
𝑘𝑝 = Numero d’onda complesso nel materiale acustico
𝑑 = Spessore dello strato
𝜌𝑝𝑐𝑝 = Impedenza caratteristica complessa del materiale
Possiamo quindi associare i quattro elementi della matrice di trasferimento con le proprietà del
materiale poroso. In particolare, il numero d’onda può essere valutato in entrambi i modi:
𝑘𝑝 =1
𝑑cos−1 𝑇11 (83)
Oppure
𝑘𝑝 =1
𝑑sin−1 √−𝑇12𝑇21 (84)
L’impedenza caratteristica di un materiale acustico può essere calcolata più direttamente come:
𝜌𝑝𝑐𝑝 = √𝑇12
𝑇21 (85)
Le grandezze di velocità del suono complessa 𝑐𝑝 e di densità complessa 𝜌𝑝 possono essere facilmente
determinate una volta note 𝑘𝑝 e 𝜌𝑝𝑐𝑝, tramite le relazioni:
𝑐𝑝 =𝜔
𝑘𝑝 (86)
𝜌𝑝 =𝜌𝑝𝑐𝑝
𝑐𝑝 (87)
5. PROGETTAZIONE
5.1 Geometria e requisiti dei vari componenti
L’apparato di misura è essenzialmente un tubo la cui sezione trasversale è circolare (preferibilmente
in acciaio, ma spesso realizzato anche in alluminio) dotato di uno spazio per sorreggere il campione
ad un’estremità (porta provino) e di una sorgente sonora nota dall’altra. Le porte microfoniche sono
solitamente posizionate in 2 o 3 punti del tubo.
È necessario che il tubo sia dritto con sezione trasversale uniforme (compresa nel ±0,2%) e con pareti
rigide, lisce e non porose, privo di buchi o fessure (ad eccezione dei fori per i microfoni). Queste
devono essere pesanti e spesse abbastanza da non essere messe in vibrazione dal segnale e non
risuonare nel range di frequenze usato per le misurazioni. È consigliato uno spessore che sia circa il
5% del diametro; inoltre il tubo deve essere isolato così da impedire l’interferenza di rumore o
vibrazioni esterne.
25
5.2 Frequenze di lavoro
Determinazione della lunghezza d’onda
La determinazione della lunghezza d’onda in un tubo ad onde stazionarie è empiricamente effettuata
determinando la velocità del suono 𝑐0 nel tubo, tramite la relazione:
𝜆0 =𝑐0
𝑓 (88)
La misurazione di 𝑐0 deve essere effettuata usando una terminazione rigida nel tubo ad onde
stazionarie a salti di frequenza di un terzo di ottava su tutta la gamma della frequenza di lavoro.
Le lunghezze d’onda 𝜆0(𝑓) sono determinate dalle posizioni di pressione minima 𝑥𝑚𝑖𝑛,𝑛 usando la
seguente equazione:
𝜆0 =2
𝑛 − 𝑚(𝑥𝑚𝑖𝑛,𝑛 − 𝑥𝑚𝑖𝑛,𝑚) (89)
La velocità del suono 𝑐0 è perciò:
𝑐0(𝑓) = 𝜆0(𝑓) ⋅ 𝑓 (90)
Le curve dei valori trovati, una volta tracciate su dei grafici rispetto alla frequenza, possono essere
appianate e interpolate. Picchi e valli nel grafico sono indicazioni di difetti nel setup di misura (perdite
nel tubo, modi alti, frequenze e/o posizioni di lettura irregolari, …).
Se la misura di 𝑐0 è stata eseguita ad una certa temperatura 𝑇0 (in Kelvin) all’interno del tubo ma i
risultati devono essere applicati a misurazioni nelle quali la temperatura è 𝑇 (in Kelvin), allora i valori
devono essere corretti per la temperatura 𝑇:
𝑐0(𝑇) = 𝑐0(𝑇0)√𝑇 𝑇0⁄ (91)
La velocità del suono alla temperatura di prova 𝑇 può essere determinata dalla seguente espressione
in maniera alternativa:
𝑐0(𝑇) = 343,30√𝑇 293⁄ (91)
Per la norma ISO 10534-1
La frequenza di funzionamento di un tubo ad onde stazionarie è determinata dalla sua lunghezza e
dalla dimensione della sua sezione trasversale. Per essere in grado di esaminare due minimi di
pressione anche per fasi di riflessione non favorevoli, la lunghezza della sezione di prova deve essere
𝑙 ≥ 3𝜆0 4⁄ al limite inferiore di frequenza 𝑓𝑙 (lower frequency).
L’altoparlante generalmente produrrà modi di frequenza maggiore accanto all’onda piana. Questi si
estingueranno entro una distanza di circa tre volte il diametro del tubo al di sotto della frequenza di
taglio inferiore del primo modo. Provini con qualità acustiche lateralmente variabili (ad esempio
risonatori) produrranno modi alti rispetto l’onda riflessa.
La sezione del tubo di impedenza deve esse dimensionata in maniera tale da evitare possibili modi
superiori. Quindi la lunghezza del tubo 𝑙 tra la superficie frontale del provino (test object) e
l’altoparlante è connessa al limite inferiore di frequenza 𝑓𝑙 della gamma di frequenze di lavoro dalla
relazione:
26
𝑙 ≥ 250 𝑓⁄ + 3𝑑 (92)
Dove
𝑙 = lunghezza, in metri;
𝑓 = frequenza, in Hz;
𝑑 = diametro interno, in metri.
Il limite superiore della frequenza di lavoro 𝑓𝑢 (upper frequency) è dato dalla possibile insorgenza di
modi superiori che si potrebbero propagare. La relazione che regola 𝑓𝑢 è la seguente:
𝑑 ≤ 0.58𝜆0 (93)
𝑓𝑢 ⋅ 𝑑 ≤ 200 (94)
Per la norma ISO 10534-2
La frequenza di lavoro 𝑓 è compresa tra un limite inferiore 𝑓𝑙 (limitato dalla precisione
dell’attrezzatura usata per processare il segnale) ed uno superiore 𝑓𝑢 (scelto per evitare che l’onda si
propaghi in maniera non piana), si definisce quindi una gamma di frequenze di lavoro:
𝑓𝑙 < 𝑓 < 𝑓𝑢
La condizione per 𝑓𝑢 è:
𝑑 ≤ 0.58𝜆𝑢 (95)
𝑓𝑢 ⋅ 𝑑 ≤ 0,58 𝑐0 (96)
Lo spazio 𝑠 (in metri) tra i microfoni deve essere scelto in maniera tale che:
𝑓𝑢 ⋅ 𝑠 ≤ 0,45 𝑐0 (97)
Il limite inferiore di frequenza dipende dalla distanza tra i microfoni e dalla precisione del sistema di
analisi, ma in via generale, la spaziatura tra i microfoni deve superare del 5% la lunghezza d'onda
corrispondente alla frequenza inferiore di interesse, purché le condizioni dettate dall’equazione (97)
siano soddisfatte. Uno spazio maggiore tra i microfoni aumenta la precisione delle misurazioni.
Il tubo deve essere lungo abbastanza da permettere lo sviluppo dell’onda piana tra la sorgente ed il
campione. I punti di misura dei microfoni devono essere posizionati all’interno del campo dell’onda
piana.
L’altoparlante generalmente produrrà modi non piani oltre l’onda piana. Questi si estingueranno entro
una distanza di circa tre volte il diametro del tubo al di sotto della frequenza di taglio inferiore del
primo modo superiore. Si raccomanda di posizionare i microfoni non più vicini alla sorgente di quanto
suggerito sopra, ma comunque non più vicini di un diametro.
I provini, una volta montati in sede, causeranno distorsioni di prossimità al campo acustico, perciò
sarà necessario avere delle accortezze rispetto alla distanza tra microfono e provino; a seconda della
tipologia di materiale studiato (strutturato o non strutturato, simmetrico o non simmetrico) gli effetti
di bordo saranno più o meno intensi e dovrà essere usata una distanza maggiore o minore.
27
Di seguito si riporta il calcolo delle dimensioni minime e massime in relazione all’intervallo di
frequenze di funzionamento del tubo di Kundt:
Dimensione arbitraria del diametro per tubi a sezione circolare
10,0 cm
ISO 10534-1
Lunghezza d’onda
A bassa f 490,5 cm
Ad alta f 13,7 cm
Dimensione limite (ISO 10534-1 p.6.1.2)
d < 8,0 cm
Lunghezza del tubo l (ISO 10534-1
p.6.1.2)
A bassa
ed alta f > 367,8 cm
Distanza tra l’altoparlante ed il provino
(ISO 10534-1 p.6.1.2)
≥ 387,1 cm
Intervallo di frequenza (ISO 10534-1 p.6.1.2)
bassa f ≥ 208 Hz
alta f ≤ 2.000 Hz
ISO 10534-2
Distanza s tra i microfoni: (ISO
10534-2 p.4.2)
lower freq. s > 24,5 cm
upper freq. s < 6,2 cm
Distanza arbitraria tra l’altoparlante ed il campione
150,0 cm
Frequenze di lavoro
Bassa f 70,0 Hz
Alta f 2.500,0 Hz
Temperatura
20,0 °C
28
Distanza tra l’altoparlante ed il microfono (ISO 10534-2
p.4.3)
> 30,0 cm
Distanza tra il campione ed il microfono (ISO 10534-2
p.4.3)
> 20,0 cm
Le celle iniziali definiscono i valori di ingresso al foglio di calcolo; nel nostro caso usando dei
microfoni per la misurazione e quindi il metodo della funzione di trasferimento, ci riferiremo alla
norma ISO 10534-2: si possono quindi scegliere le dimensioni del tubo nel rispetto dei vincoli imposti
dalla norma per il range di frequenze di utilizzo.
Lunghezza del tubo 100 cm
Distanza tra i microfoni alla frequenza più bassa 5 cm
Distanza tra i microfoni alla frequenza più alta 25 cm
Distanza tra l’altoparlante ed il microfono 50 cm
Distanza tra il campione ed il microfono 25 cm
5.3 Componenti
Figura 11 – Vista in esploso del tubo di Kundt
29
Di seguito viene riportato un
elenco delle varie componenti
del tubo, con le rispettive
caratteristiche progettuali e
l’idea con cui sono state
pensate.
Per la misura del coefficiente
di assorbimento ad incidenza
normale sarà necessario
misurare solamente l’onda
riflessa dal campione e non
quella trasmessa, per questo
motivo la struttura risultante
avrà un ingombro minore
rispetto alla configurazione
usata per la misura del
coefficiente di perdita, poiché
in quest’ultimo caso sarebbe
necessario aggiungere un altro
tubo, speculare al precedente,
così da poter misurare anche la
porzione d’onda trasmessa
attraverso il provino.
5.3.1 Tubo principale
Il componente principale del tubo di Kundt è
appunto un tubo di acciaio del diametro interno
𝜙 = 10 𝑐𝑚, di spessore 𝑠 = 1 𝑐𝑚 e lunghezza 𝑙 =
100 𝑐𝑚; come già detto, è necessario che tale
componente sia massiva in modo da spostare la
frequenza di risonanza del materiale ad un valore
minore rispetto a quello di lavoro.
Da un punto di vista progettuale la difficoltà
maggiore è quella di inserire i microfoni, in
maniera tale che gli adattatori da ¼” e da ½” siano
funzionali, fattibili e semplici da montare.
Figura 12 – Vista compatta del tubo di Kunt per la misura del trasmission loss coefficient
Figura 13 – Corpo tubolare dello strumento di misura
30
5.3.2 Tubo terminale e coperchio
Le vare parti tubolari saranno tutte dello stesso diametro e
spessore, collegate con una filettatura (collegamento adatto
per un tubo di impedenza per la sola misura
dell’assorbimento) o delle clips (quest’ultima soluzione è
auspicabile nel caso in cui si pensi di realizzare un tubo per
la misura del coefficiente di perdita di trasmissione,
altrimenti le varie parti tubolari non combacerebbero
angolarmente e i microfoni su uno dei tubi due sarebbero
inclinati rispetto agli altri). La parte finale del tubo sarà di
una lunghezza 𝑙 = 21 𝑐𝑚. Per evitare fughe d’aria tra le
varie parti, le giunzioni sono conformate a gradino, così da
poter consentire il posizionamento di una guarnizione O-
RING tra di esse
nella sede
prevista. Il tubo
sarà chiuso tramite un coperchio filettato che si avviterà
alla parte finale del sistema; in esso sarà presente un foro
per il passaggio dell’asta dello stantuffo. La parte
terminale del tubo dovrà essere massiva oppure dovrà
contenere materiale fonoassorbente così da avere
differenti tipologie di terminazione (riflettente, anecoica,
libera), necessarie per la misura.
5.3.4 Stantuffo
Lo stantuffo è il componente con cui
riusciamo ad avere più massa nell’ultima parte
del tubo (essendo esso un cilindro in acciaio
di diametro 𝜙 = 10 𝑐𝑚 e di lunghezza 𝑙 =
10 𝑐𝑚). Esso è reso aderente alle pareti
tubolari (per evitare fughe) da due tenute O-
RING posizionate sul diametro del
componente.
Figura 14 – Coperchio
Figura 15 – Corpo tubolare terminale del tubo
Figura 16 – Stantuffo
31
5.3.5 Adattatori
Per avere a disposizione differenti frequenze di
lavoro è necessario usare differenti microfoni (con
membrana grande, per misurare le medie e basse
frequenze, o membrana piccola, per misurare le alte
frequenze); quindi si è deciso di realizzare degli
adattatori che permettano di cambiare differenti
tipologie di microfono, da ½” e ¼” di diametro.
Il primo modello di tubo si discosta di molto rispetto
all’ultimo soprattutto riguardo l’idea di inserire un
basamento, un supporto su cui sarebbero stati
inseriti più comodamente gli adattatori ed i
microfoni stessi, poiché questo sarebbe stato
rimovibile dal tubo e sarebbe potuto essere
strumentato su un piano di lavoro.
La prima idea
sviluppata consisteva in
un basamento
rettangolare che doveva
poggiare su delle
apposite battute
ricavate nella parete del
tubo; il pezzo sarebbe
stato fissato con delle
viti non passanti (per
non avere discontinuità
sulla curvatura interna
del tubo); le fughe
sarebbero impedite da delle tenute rettangolari (non presenti nel disegno). Le problematiche
riscontrate in questo modello derivano dalla difficoltà in cui la fresa si trova ad operare: oltre a
realizzare uno scasso di date dimensioni sulla parete
tubolare (in più avente in via teorica spigoli vivi),
avrebbe dovuto realizzare due appoggi molto sottili
su cui far poggiare e fissare la piastra tramite viti non
passanti; un’altra difficoltà progettuale, anche se di
minore rilievo e riscontrabile anche nei progetti a
seguire, è dovuta alla lavorazione interna del
basamento che deve essere conformato
perfettamente come la parete tubolare interna.
Figura 17 – Prototipo primo di tubo
Figura 18 – 1° modello
Figura 19 – 1° modello
Figura 20 – Sede per il 1° modello
32
Successivamente si è
sviluppata un’altra tipologia
di basamento: in questo caso
il supporto si adatta anche
superficialmente alla forma
circolare del tubo, sarebbe
quindi sufficiente uno
scasso rettangolare sulla
parete tubolare. Il problema
realizzativo riguardante la
conformazione delle pareti
dell’adattatore è evidente: è
oltremodo oneroso realizzare la superficie di battuta del
basamento coincidente con la parete tubolare esterna.
Un’altra criticità riguarda il sistema per ostacolare le
fughe d’aria: avremmo utilizzato una tenuta rettangolare
(con relativo scasso) tra la parete esterna del tubo ed il
basamento stesso, ma la tenuta si deformerebbe a causa
dalla geometria irregolare delle componenti e quindi non
sarebbe efficace. Infine per fissare il componente si
userebbero viti passanti al basamento stesso con
filettatura non passante sulla parete del tubo.
Ancora un’altra
idea per la
progettazione del
basamento è quella
di realizzarlo e
posizionarlo in sito
con una battuta e
relativa tenuta sulla
parete del tubo,
conformando la
parte inferiore del
supporto secondo la
curvatura interna
del cilindro. Anche
in questo caso per il fissaggio del componente sarebbero necessarie delle viti passanti al basamento
con filettatura non passante sulla battuta del tubo. Dal punto di vista costruttivo queste le lavorazioni
sono più agevoli per la macchina, infatti in questo caso la battuta sarebbe realizzata tramite una fresa
che asporterebbe materiale su un piano parallelo a quello passante per l’asse del tubo, senza dover
realizzare quindi spigoli o facce perpendicolari a tale piano. La modifica introdotta permette una
lavorazione più agevole in superficie, ma non facilità la realizzazione sulla superficie tubolare dello
scasso passante, in cui saranno presenti le problematiche che nella lavorazione precedente erano state
Figura 21 – 2° modello
Figura 22 – 2° modello
Figura 23 – Sede per il 2° modello
Figura 24 – 3° modello
Figura 25 – 3° modello
33
eliminate. L’ulteriore problematica, comune ad
ogni tipologia di basamento, è quella relativa alla
realizzazione della curvatura della superficie
interna.
Dopo aver valutato i modelli sopra elencati è
evidente che le problematiche di realizzazione non
sono trascurabili, perciò si è preferito cambiare
tipologia di supporto; ricercando informazioni
online e valutando i modelli realizzati da aziende
del settore, si è giunti alla configurazione finale.
Il profilo interno degli adattatori è stato ispirato dai calibratori dei microfoni per ½” e ¼” che saranno
poi usati nelle misure; tramite un calibro abbiamo misurato la geometria interna dei calibratori,
compresa la posizione degli O-RING, parte fondamentale per avere ricircoli e fughe minimi.
5.3.5.1 Inserto A
Questo pezzo tubolare in acciaio di altezza ℎ = 4,0 𝑐𝑚 e
diametro interno 𝜙 = 2,7 𝑐𝑚 sarà l’elemento nel quale
verranno inseriti l’inserto B e l’adattatore vero e proprio
accoppiato per interferenza ai microfoni.
5.3.5.2 Inserto B
Questo inserto di altezza ℎ = 5,5 𝑐𝑚 e
diametro 𝜙 = 2,0 𝑐𝑚 realizzato in
acciaio, è utilizzato come supporto per
l’adattatore in materiale plastico in cui
saranno posizionati i microfoni; è
conformato per seguire la curvatura
interna del tubo ed è provvisto di una tacca
per l’allineamento del profilo.
Figura 26 – Sede per il 2° modello
Figura 27 – Inserto A
Figura 28 – Inserto B
Figura 29 – Vista in sezione
dell’inserto B
34
5.3.5.3Adattatore ½”
Questo adattatore di ℎ = 5,5 𝑐𝑚, con diametro intero di
𝜙𝑖 = ½” 𝑐𝑚, è progettato in maniera tale da creare meno
errori possibili (quindi meno fughe e ricircoli possibili)
tra la griglia del microfono e la superficie dell’adattatore
stesso.
5.3.5.4 Adattatore ¼”
Anche questo adattatore di ℎ = 5,5 𝑐𝑚, con diametro
intero di 𝜙𝑖 =¼” 𝑐𝑚, è progettato in maniera del tutto
simile al precedente; è bene che la geometria interna di
questo crei meno errori possibili (quindi meno fughe e
ricircoli possibili) tra la griglia del microfono e la superficie
dell’adattatore stesso.
Il montaggio finale degli adattatori è mostrato nella
figura al lato. Di fondamentale importanza sono la
dimensione della battuta del microfono e la
distanza della prima tenuta rispetto a tale battuta;
queste infatti sono correlate con l’insorgenza di
ricircoli d’aria interni all’adattatore, perciò
dovranno essere dimensionate in maniera tale da
aver trafilatura minore possibile.
Figura 30 –
Adattatore ½”
Figura 31 – Vista in
sezione
dell’adattatore ½”
Figura 32 –
Adattatore ¼”
Figura 33 – Vista in
sezione
dell’adattatore 1/4 ”
Figura 34 – Configurazione di
montaggio
35
6. SIMULAZIONE DEL COMPORTAMENTO DEL TUBO DI KUNDT Lo studio è effettuato utilizzando COMSOL Multiphysics, un software di simulazione, analisi e
risoluzione agli elementi finiti per varie applicazioni di fisica e di ingegneria, specialmente per
fenomeni che richiedono analisi differenti (termodinamiche, acustiche, fluidodinamiche, costruttive,
…) sullo stesso modello. Questo programma è basato sul Metodo degli Elementi Finiti (FEM), tramite
il quale si riesce a trovare delle soluzioni approssimate di problemi descritti da equazioni differenziali
alle derivate parziali riducendo queste ultime ad un sistema di equazioni algebriche applicabile ad
ognuno degli elementi finiti che formano la mesh (griglia) in cui è suddiviso il corpo.
Lo scopo finale di questo studio è capire se il tubo progettato possa effettuare misurazioni corrette e
quali errori si creano a causa delle varie discontinuità presenti in esso (come i fori per l’alloggiamento
dei microfoni, l’allineamento tra le varie parti, …).
6.1 Simulazione 2D
Tramite questo studio preliminare vogliamo verificare se il modello poro-elastico usato per i materiali
fonoassorbenti presi in esame, possa essere ben rappresentativo della situazione reale. Quindi
abbiamo realizzato un modello 2D per simulare lo studio acustico di tre materiali con specifiche
tecniche e parametri noti. Potremmo quindi ricreare virtualmente la misurazione e ricavarne dei
coefficienti di assorbimento; confrontandoli con i valori presenti in letteratura (quindi studiando il
trend delle curve di assorbimento) si può capire se il modello poro-elastico usato è efficace o meno.
6.1.1 Parametri
Il primo passo è definire i parametri necessari allo studio.
𝑓𝑚𝑎𝑥 10 [kHz ] Maximal frequency in the model
𝜆𝑚𝑖𝑛 343 [𝑚
𝑠] 𝑓𝑚𝑎𝑥⁄
Minimal wavelenght
𝜃0 0 [deg] Incident wave angle
𝐷𝑝 24 [mm] Porous layer depth
𝐻𝑝𝑚𝑙 386 [mm] Distance between the sample and the pml surface
L’onda che si propagherà all’interno del tubo sarà piana e perpendicolare all’asse, oscillante alla
frequenza di 10 [kHz].
6.1.2 Varabili
Si definiscono le variabili di studio riferite al modello considerato:
- La pressione incidente (avente direzione y coincidente con l’asse del tubo), essendo lo
studio stazionario, è definibile come:
𝑃𝑖𝑛𝑐 = 𝑃0 ⋅ 𝑒−𝑖(𝑘𝑥⋅𝑥+𝑘𝑦⋅𝑦)
Dove
𝑘𝑥 = 𝑘0 ⋅ sin(𝜗0) vettore d’onda in direzione x
36
𝑘𝑦 = −𝑘0 ⋅ cos(𝜗0) vettore d’onda in direzione y
𝑘0: numero d’onda in campo libero
- Il rapporto di pressione riflessa, cioè il rapporto tra pressione scatterata (cioè la variazione tra
la pressione incidente e quella calcolata dal modello sul campione 𝑃2 − 𝑃𝑖𝑛𝑐 ) e pressione
incidente:
𝑅 =𝑃𝑠𝑐𝑎𝑡
𝑃𝑖𝑛𝑐
- Il coefficiente di assorbimento in funzione della frequenza e dell’angolo di incidenza:
𝛼 = 1 − |𝑅|2
- L’impedenza acustica superficiale del materiale in funzione della frequenza e dell’angolo di
incidenza:
𝑧 =1
𝜌0𝑐
𝑝
𝑢𝑛
Dove
𝜌0: densità dell’aria
𝑐: velocità del suono
𝑢𝑛 = 𝑢 ⋅ 𝑛 : velocità normale sulla superficie del materiale poroso
Le proprietà assorbenti di un materiale fonoassorbente sono descritte dalle ultime due
variabili 𝛼 il coefficiente di assorbimento normale e 𝑧 l’impedenza superficiale.
Per il calcolo del coefficiente di assorbimento e dell’impedenza normalizzata ci si è riferiti
alla norma 10534-2 (equazioni (48) e (49) di tale documento, precedentemente riassunto)
6.1.3 Geometria
Si realizza quindi la geometria su cui verrà effettuato lo studio.
Questo modello è un semplice insieme
di rettangoli, i quali definiscono i vari
domini su cui verranno definiti i
materiali ed i differenti modelli di
pressione
Figura 35 – Geometria del modello
37
6.1.4 Materiali
Si definiscono i materiali e le loro rispettive caratteristiche:
- Air (aria): le cui proprietà sono fornite dalla libreria interna di COMSOL
- Structural Steel (acciaio da costruzione): le cui proprietà sono fornite dalla libreria interna
di COMSOL.
- Melamine Foam (schiuma di melamina)
- Acusticell
- Acustec
Acustec Acusticell Melamine Foam
Thickness [mm] 24,4 24 > 50
Air flow resistivity [Ns/m^4] 29000 22000 10500
Porosity [1] > 0,95 > 0,95 0.995
Tortuosity [1] 1,08 1,38 1.0059
Viscous lenght [m] 0,00003 0,000017 2.4E-4
Thermal lenght [m] 0,00008 0,00004 4.7E-4
Skeleton density [kg/m^3] 69 26 -
Young's modulus [kPa] 1060 192 -
Structural loss factor [1] 0,08 0,13
-
Poisson's ratio [1] 0 0,23 -
Gli ultimi tre della lista sono i materiali fonoassorbenti scelti come materiali da esaminare
nello studio; di essi conosciamo le caratteristiche acustiche necessarie per il calcolo e siamo
forniti di curve sperimentali (tratte quindi da prove in laboratorio) dell’assorbimento ad
incidenza normale riferite ad un data gamma di frequenze.
Una volta selezionati i materiali è necessario assegnare ad ogni parte del dominio il materiale
corrispondente; l’area interna alle pareti (i domini 2 e 3) sarà aria, mentre le pareti stesse (il
dominio 1) saranno realizzate in acciaio.
38
6.1.5 Interazione Acustico-Solida nel dominio delle frequenze
Questo tipo di interazione fisica combina i
moduli fisici presenti nel software di pressione
acustica, dominio della frequenza e meccanica
dei solidi così da connettere la variazione di
pressione acustica nel dominio fluido con la
deformazione strutturale nel dominio solido.
L’interazione acustico-strutturale si riferisce ad
un fenomeno multifisico dove la pressione
acustica dovuta al fluido causa un carico sul
dominio solido e l’accelerazione strutturale
agisce sul dominio fluido come
un’accelerazione normale attraverso il confine
fluido-solido.
Quando tale interfaccia è aggiunta, con essa
sono aggiunti i nodi di:
- Modello di pressione acustica 1: in
questo nodo vengono implementate le
equazioni per la modellazione acustica nel
dominio della frequenza. Essendo esso relativo
alla propagazione dell’aria nel tubo, viene scelto
per lo studio il modello di fluido lineare
elastico. Questo modello è implementato nel
dominio 2.
- Condizione al contorno di parete rigida 1: questo elemento aggiunge una condizione al
contorno in cui la componente normale dell’accelerazione è nulla; questa è applicata alla
terminazione del tubo (superficie 3) dove si creeranno delle riflessioni dell’onda incidente
al campione.
- Libero 1: è la condizione di bordo di default ed è applicata ai bordi 6 (le due sezioni
trasversali terminali del tubo, le quali definiscono geometricamente due corone circolari);
questo significa che non ci sono vincoli o carichi che agiscono su tale bordo.
- Contorno acustico-strutturale 1: Questa condizione di bordo include il carico del fluido e
l’accelerazione strutturale; è usata sui bordi fluido-solido, che nel nostro caso coincidono
con le superfici 2 e le superfici 5, cioè l’area definita dal diametro interno del tubo.
- Materiale lineare elastico 1: aggiunge le equazioni per un solido lineare elastico e
un’interfaccia per definire le proprietà del materiale; nel nostro modello tale materiale
coincide con l’acciaio, che è riferito al dominio 1.
- Valori iniziali 1: aggiunge valori iniziali per la pressione sonora ed il campo di
spostamenti, essi vengono definiti sull’interno modello.
- Irraggiamento ad onda piana 1 (da cui viene definito il campo di pressione incidente 1):
aggiunge una condizione al contorno di irraggiamento per modellare un’onda piana che si
propaga da una superficie. Le condizioni al contorto di irraggiamento permettono ad
un’onda piana uscente di lasciare il dominio del modello con una riflessione minima,
quando l’angolo di incidenza è vicino a quello normale; questa condizione è applicata alla
superficie 4.
Figura 36 – Domini e superfici sul modello
39
- Modello di pressione acustica 2: in questo caso, a differenza del modello di pressione
acustica 1, il modello di fluido usato è quello nominato Equivalenze secondo Biot
(Johnson-Champoux-Allard) ed è applicato al dominio 3. Questo è un modello di fluido
equivalente che imita due comportamenti limite del completo modello di materiale
poroelastico definito dalla teoria di Biot; il primo è il modello di matrice porosa rigida ed
il secondo è il modello di matrice porosa cedevole. Vengono usati questi tipi di modello
poiché un modello fluido equivalente è computazionalmente meno esigente rispetto al
modello poroelastico completo. Tuttavia i due modelli considerati sono fisicamente
corretti solo sotto determinate scelte dei parametri dei materiali, è necessario quindi che il
pore factor s sia vicino all’unità; al contrario è bene usare direttamente la lunghezza
viscosa caratteristica 𝐿𝑣. Entrambi i modelli sono basati sulla descrizione della densità
effettiva e del modulo di massa effettivo del fluido che satura la matrice porosa, riferiti al
dominio della frequenza. I parametri da introdurre in questo modello sono:
Approssimazione della matrice porosa: Limp (cedevole) o Rigid (rigida)
Densità del materiale drenato (solo se la matrice è cedevole): è la quantità di
massa del materiale poroso, drenata del fluido che lo permea, per unità di volume.
Si misura quindi in [𝐾𝑔/𝑚3].
Porosità 𝜙: definita come il rapporto tra il volume di aria contenuta nei pori e il
volume complessivo del materiale (somma del volume della struttura porosa e
dell’aria intrappolata al suo interno); è quindi un coefficiente adimensionale. I
materiali fonoassorbenti hanno generalmente porosità > 0,9.
𝜙 =𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎
𝑉𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒= 1 −
𝑉𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑉𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒
Resistività al flusso d’aria σ: è la tendenza del materiale a non lasciarsi attraversare
dal flusso di aria. Si misura in [𝑁 ⋅𝑠
𝑚4] o [𝑃𝑎 ⋅𝑠
𝑚2].
σ =Δ𝑝
𝑣 ⋅ 𝑑
Lunghezza caratteristica viscosa Λ: Esprime la
dimensione caratteristica delle interconnessioni tra le
porosità del materiale.
Lunghezza caratteristica termica Λ′: Esprime la
dimensione caratteristica dei pori del materiale.
Figura 37 – Confronto tra materiali
bassamente e altamente resistivi
Figura 38 – Correlazione di Λ e Λ′ con la
geometria delle porosità interne di un materiale
40
Fattore di tortuosità α∞: è il limite a frequenze infinite del rapporto tra le velocità
dell’onda nel materiale e nell’aria.
α∞ = [ lim(𝜔−1 2⁄ )→0
(𝑐
𝑐0)]
−2
È un rapporto che tiene conto della tortuosità del
percorso compiuto dall’onda acustica all’interno
del materiale. Per i materiali fibrosi 1,00 < α∞ <
1,05 mentre per materiali porosi α∞ anche > 2.
- Vincolo fisso 1: tale nodo aggiunge una condizione che rende l’entità geometrica
considerata totalmente vincolata; gli spostamenti sono nulli in tutte le direzioni sulla
superficie 6.
6.1.6 Mesh
La mesh è una griglia, una
suddivisione di un corpo o una
superficie in geometrie
elementari di forma
triangolare, tetraedrica o
generalmente poliedrica su cui
possono essere applicati
vincoli e carichi; la realizzazione della cosiddetta griglia è necessaria poiché su ogni
“elementino” di essa viene applicato il metodo di analisi agli elementi finiti.
Nel nostro caso si è scelto di usare elementi triangolari di dimensione massima di 1/6 della
lunghezza d’onda minima (data dalla massima frequenza di analisi) per avere al minimo 6
elementi per lunghezza d’onda e quindi una mesh che descriva bene la fisica in gioco.
6.1.7 Studio
Questa sezione racchiude tutti i nodi che definiscono come risolvere il modello. Nel caso in
esame lo studio è realizzato in regime stazionario e deve essere definito perciò il range di
frequenze entro cui effettuare la simulazione: nel nostro caso si è scelto l’intervallo che si
estende da 0 [Hz] a 10 [kHz].
6.1.8 Risultati
La sezione risultati contiene strumenti e funzionalità per il processo e per la visualizzazione
dei risultati. In questa sezione sono realizzati i grafici di spostamento, pressione acustica,
assorbimento, impedenza e variazione di pressione del materiale considerato.
Figura 39 – Variare del coefficiente con la tortuosità del percorso
Figura 40 – Mesh usata nello studio
41
Il primo materiale
fonoassorbente usato nelle
simulazioni è l’Acustec, un
materiale realizzato in fibra
minerale con un’alta
resistenza meccanica. Come
è evidente dal grafico di
figura 41a la curva relativa al
coefficiente di assorbimento
da noi ricavata è
praticamente coincidente con
quella ricavata dal modello di
calcolo nella figura 41b;
inoltre il trend della curva
ricavata in laboratorio è
vicino a quella calcolata.
Figura 41b – Grafico del coefficiente di assorbimento per l’Acustec ricavato dallo studio effettuato con COMSOL
Figura 41a – Grafico del coefficiente di assorbimento dell’Acustec presente in letteratura
42
Figura 41c – Particolare del grafico del coefficiente di assorbimento, tracciato fino alla frequenza massima
Figura 41d – Grafico della pressione incidente e della pressione attraversante il provino alla
massima frequenza per l’Acustec
43
Dal confronto dei grafici si deduce che il modello
matematico usato è completamente funzionante; essendo il
nostro strumento studiato per lavorare fino ad una
frequenza massima di 2500[Hz], i grafici riportati di
seguito saranno tracciati fino alla frequenza di 3000 [Hz].
I valori di assorbimento ricavati all’infuori dell’intervallo
di frequenze di lavoro non corrispondono a quelli reali per
motivi operativi (ad esempio, non sarà possibile avere
un’onda piana ad alta frequenza in un tubo del diametro di
10 [cm], poiché l’altoparlante che la genera avrebbe un
diametro di qualche centimetro e quindi, essendo più
piccolo del diametro del tubo, genererebbe un’onda
sferica). I grafici riportati in figura 41d e figura 41e
visualizzano in maniera differente la perdita di pressione
dovuta all’assorbimento acustico del provino: il primo
mostra l’onda di pressione che si propaga verso il provino
su di una superficie, il secondo mostra la differenza tra la
sinusoide dell’onda incidente (blu) e la sinusoide dell’onda
trasmessa (verde) alla frequenza massima.
Il secondo materiale considerato è l’Acusticell, una schiuma assorbente in poliuretano espanso. Come
nel caso precedente il grafico di figura 42b, ricavato dal modello equivalente di Biot in COMSOL,
ha un andamento molto vicino alla curva del grafico presente in letteratura di figura 42a; inoltre i
valori sperimentali di
tale coefficiente
hanno un andamento
molto vicino alle
curve teoriche. Anche
in questo caso sono
riportati i grafici della
variazione di
pressione.
Figura 41e– Rappresentazione
dell’andamento della pressione nella sezione
centrale del tubo per l’Acustec
Figura 42a – Grafico del coefficiente di
assorbimento dell’Acusticell
presente in letteratura
[Pa]
[mm
]
[mm]
44
Figura 42b – Grafico del coefficiente di assorbimento per l’Acusticell ricavato dallo studio effettuato con COMSOL
Figura 42c – Grafico della pressione incidente e della pressione attraversante il provino alla frequenza massima
per l’Acusticell
45
Il terzo materiale in esame è la schiuma
melamminica, un composto polimerico
usato soprattutto come materiale
isolamente e fonoassorbente. Anche in
questo caso la curva teorica ricavata dallo
studio in COMSOL è molto vicina alla
curva teorica che è presente in letteratura,
inoltre l’andamento reale
dell’assorbimento è quasi coincidente con
quello teorico.
Figura 42d –
Rappresentazione
dell’andamento della
pressione nella sezione
centrale del tubo per
l’Acusticell
Figura 43a – Grafico del coefficiente di assorbimento della schiuma melamminica presente in letteratura
[Pa]
[mm
]
[mm]
46
Figura 43b – Grafico del coefficiente di assorbimento per la schiuma melamminica ricavato dallo studio
effettuato con COMSOL
Figura 43c – Grafico della pressione incidente e della pressione attraversante il provino alla frequenza massima
per la schiuma melamminica
47
[mm]
6.2 Simulazione bidimensionale con l’inserimento del Perfect Matched Layer
I grafici dei materiali esposti nel paragrafo precedente, sono stati ricavati da uno studio in cui si è
imposto che la terminazione del tubo sia perfettamente rigida; questo implica che la pressione
scatterata (derivante dal valore di pressione 𝑃2 calcolata nel dominio del materiale e da cui in seguito
viene calcolato il coefficiente di assorbimento) vari a seconda delle interferenze distruttive e
costruttive tra l’onda incidente e le eventuali riflessioni che si hanno all’interno del materiale poroso,
infatti analizzando i grafici della variazione di pressione si nota facilmente che l’onda incidente ha
un andamento sinusoidale costante con la lunghezza d’arco, mentre la curva descritta dalla pressione
𝑃2 non è regolare come la precedente; effettivamente la sua ampiezza varia a seconda di quale onda
interferisce con essa. Al fine di comprendere come varia l’assorbimento eliminando il fenomeno delle
riflessioni interne al materiale, si può modificare la condizione di superficie terminale rigida
introducendo la condizione di PML (Perfect Matched Layer). Quest’ultimo è uno strato assorbente
artificiale (virtuale) per equazioni d'onda, comunemente usato per troncare regioni computazionali in
metodi numerici o per simulare problemi con bordi aperti. La proprietà chiave di un PML, che lo
distingue da un materiale assorbente ordinario, è essere progettato in modo che le onde incidenti sul
PML non si riflettono all'interfaccia: quando realizzato appropriatamente, esso assorbe tutta l’energia
delle onde uscenti da un dominio di studio senza causare riflessioni spurie verso l’interno. Tutto
questo si traduce nei grafici di variazione di pressione come un andamento completamente sinusoidale
della variabile 𝑃2 fino allo smorzamento dovuto all’assorbimento dell’onda da parte del PML;
spostando lo sguardo sul grafico dell’assorbimento basta leggere i valori sulle ordinate per verificare
che i grafici di tutti i materiali hanno subito un incremento del potere assorbente, dovuto all’assenza
di riflessioni verso l’interno del materiale (e quindi assenza di interferenze). Nella realtà non
potremmo mai realizzare una misura con una superficie PML, perché dovremmo avere una
terminazione perfettamente anecoica che in realtà non potremmo ricreare: tutte le terminazioni
avranno una rigidità propria e rifletteranno parte dell’onda, anche se in minima parte. A conferma di
Figura 43d –
Rappresentazione
dell’andamento della
pressione nella sezione
centrale del tubo
[Pa]
[mm
]
48
queste osservazioni riporto in seguito i grafici delle simulazioni realizzate con superficie terminale
PML.
Per l’Acustec:
Figura 44a – Grafico del coefficiente di assorbimento per l’Acustec con terminazione PML
Figura 44b – Grafico della pressione incidente e della pressione attraversante il provino con PML per l’Acustec
49
[mm]
Per l’Acusticell:
Figura 45a – Grafico del coefficiente di assorbimento per l’Acusticell con terminazione PML
Figura 44c –
Rappresentazione
dell’andamento della
pressione nella sezione
centrale del tubo con
terminazione PML per
l’Acustec
[Pa]
[mm
]
50
Figura 45b – Grafico della pressione incidente e della pressione attraversante il provino con PML per l’Acusticell
Figura 45c –
Rappresentazione
dell’andamento della
pressione nella sezione
centrale del tubo con
terminazione PML per
l’Acusticell
[Pa]
[mm
]
[mm]
51
Per la schiuma melamminica:
Figura 46a – Grafico del coefficiente di assorbimento per la schiuma melamminica con terminazione PML
Figura 46b – Grafico della pressione incidente e della pressione attraversante il provino con PML per la schiuma
melamminica
52
6.3 Simulazione 3D
Di particolare interesse è studiare come l’onda piana si propaghi all’interno del tubo di Kundt nel
caso tridimensionale poiché vari possono essere i fattori che concorrono nel generare errori durante
la misurazione.
Figura 47 – Vista trasparente del modello 3D dove è facile individuare le sedi per i microfoni ed il campione di
materiale da esaminare
Figura 46c –
Rappresentazione
dell’andamento della
pressione nella sezione
centrale del tubo con
terminazione PML per la
schiuma melamminica
[Pa]
[mm
]
[mm]
53
Figura 48 – Vista piena del modello 3D
Si è realizzato quindi un modello 3D del tubo usando gli stessi parametri e gli stessi materiali del
modello precedente, ma essendo il dominio tridimensionale, è necessario aggiornare il modello di
pressione acustica e le condizioni al bordo (se nel modello 2D erano presenti linee di bordo, nel
modello 3D avremmo delle superfici).
6.3.1 Studio a regime stazionario
Il primo studio è stato realizzato come in precedenza in regime stazionario nel dominio della
frequenza. La pressione incidente varierà nelle 3 direzioni (x,y,z) (con l’asse del tubo coincidente con
la direzione z) perciò le equazioni si modificheranno nel seguente modo:
𝑃𝑖𝑛𝑐 = 𝑃0 ⋅ 𝑒−𝑖(𝑘𝑥⋅𝑥+𝑘𝑦⋅𝑦+𝑘𝑧⋅𝑧)
Dove
𝑘𝑥 = 𝑘0 ⋅ sin(𝜗0) vettore d’onda in direzione x
𝑘𝑦 = −𝑘0 ⋅ sin(𝜗0) vettore d’onda in direzione y
𝑘𝑧 = 𝑘0 ⋅ cos(𝜗0) vettore d’onda in direzione z
𝑘0: numero d’onda in campo libero
Visionando i risultati della simulazione è apparso evidente che il trend della curva di assorbimento è
praticamente identico a quello del caso bidimensionale. Tramite questo studio si è quindi verificata
la correttezza del modello tridimensionale rispetto a quello bidimensionale; oltre a questo si evince
che in regime stazionario le sedi dei microfoni non creano alcun problema nella misura
dell’assorbimento acustico (come era intuibile), al contrario si potranno produrre distorsioni quando
viene attivato lo strumento di misura, dato che il fluido all’interno del tubo è inizialmente
imperturbato. Per avvalorare quanto esposto si riportano di seguito i grafici del modello
tridimensionale in regime stazionario riferito all’Acustec.
54
Figura 49a – Grafico del coefficiente di assorbimento per l’Acustec nello studio tridimensionale
Figura 49b – Rappresentazione dell’andamento della pressione nella sezione centrale del tubo nello studio
tridimensionale alla frequenza di 3000 [Hz]
6.3.2 Studio a regime transitorio
Lo studio in regime transitorio permette di simulare come l’onda si propaga all’interno del tubo in un
noto intervallo temporale. Come già accennato, questa condizione si ha nell’istante in cui viene
azionato lo strumento di misura; infatti l’onda sonora generata dall’altoparlante non raggiungerà
immediatamente il campione, ma dovrà perturbare l’aria presente nel tubo (tramite il meccanismo di
compressione e depressione) fino ad arrivare alla superficie assorbente: questo processo avverrà in
un determinato intervallo di tempo, il quale è il dato principale richiesto dalla simulazione. Essendo
questo variabile a seconda della lunghezza d’onda dell’onda irraggiata, per definirlo è necessario
[Pa]
[mm]
[mm
]
55
scegliere la frequenza lavoro. Il modello matematico di pressione acustica non sarà più valido in
questo tipo di studio ma dovrà essere rinnovato come segue:
𝑃𝑖𝑛𝑐 = 𝑃0 ⋅ cos [(𝑘𝑥 ⋅ 𝑥 + 𝑘𝑦 ⋅ 𝑦 + 𝑘𝑧 ⋅ 𝑧) − 𝜔𝑡]
Dove
𝑘𝑥 = 𝑘0 ⋅ sin(𝜗0) vettore d’onda in direzione x
𝑘𝑦 = −𝑘0 ⋅ sin(𝜗0) vettore d’onda in direzione y
𝑘𝑧 = 𝑘0 ⋅ cos(𝜗0) vettore d’onda in direzione z
𝑘0: numero d’onda in campo libero
𝜔 = 2𝜋𝑓 =2𝜋
𝑇 pulsazione dell’onda
𝑓: frequenza dell’onda irraggiata
𝑡: variabile temporale
L’intenzione di questo studio è quella di capire come le sedi dei microfoni influenzino la
propagazione dell’onda sonora; per realizzare ciò si è scelto di effettuare la simulazione ad una
frequenza alta (che non verrà sicuramente usata durante il normale funzionamento dello strumento)
𝑓 = 10[𝑘𝐻𝑧] avente lunghezza d’onda 𝜆(𝑓 = 10[𝑘𝐻𝑧]) = 3,43 [𝑐𝑚] e periodo 𝑇(𝑓 =10[𝑘𝐻𝑧]) = 0,1 [𝑚𝑠], così che la sua lunghezza d’onda fosse paragonabile alle dimensioni delle sedi
microfoniche. Per definire l’intervallo temporale di studio si effettua un semplice calcolo: essendo la
lunghezza del concio di 𝑙 = 34 [𝑐𝑚] è possibile valutare quante volte l’intera sinusoide è sviluppata
all’interno del tubo tramite la
formula 𝑛 = 𝑙 𝜆⁄ ~10, perciò
sarà necessario un lasso di
tempo di circa 𝑡 = 10𝑇 =
1[𝑚𝑠] affinché l’onda si
propaghi fino alla
terminazione del tubo.
Figura 50a – Primo
modello 3D usato nello
studio in transitorio,
per la valutazione della
distorsione generata
dalle prese di pressione.
56
Risultati alla mano, si nota
subito una distorsione del
fronte d’onda in
corrispondenza delle sedi
microfoniche causata
dall’interruzione della
continuità della parete
tubolare. Il fronte d’onda
deformato procede poi
verso il provino
stabilizzandosi, come è
evidente in figura 50b: le
distorsioni, prima
evidenti, si appianano e
già a circa 10 [cm] a valle
dell’ultima sede
microfonica, sembra
essersi ristabilito un fronte
d’onda praticamente
piano.
Il modello di figura 50a è
stato allungato per poter
studiare meglio la stabilità
dell’onda irraggiata;
infatti ci si aspetta che un
tubo più lungo possa
fronteggiare meglio le
discontinuità.
Figura 50b – Rappresentazione dell’andamento della pressione e delle
deformazioni (frecce) nella sezione centrale del tubo
[Pa]
57
Un secondo studio pone il problema di eventuali errori di montaggio: è possibile che, posizionando
l’altoparlante, si stringa una vite più di un’altra e perciò si crei un disallineamento angolare rispetto
alla sezione d’ingresso del tubo. Questo problema di allineamento può essere facilmente modellato
variando l’angolo di incidenza dell’onda entrante (cioè variando il vettore d’onda) in un ipotetico
intervallo da 0° a 5°.
Figura 51a– Rappresentazione dell’andamento della pressione con disallineamento angolare nullo
Figura 51b– Rappresentazione dell’andamento della pressione con disallineamento angolare pari a 5°
Figura 50c– Rappresentazione dell’andamento della pressione e delle deformazioni
(frecce) sulle prese di pressione
[Pa]
[Pa]
58
Dai grafici di figura 51a e figura 51b salta subito all’occhio l’inclinazione di partenza del fronte
d’onda. Nel primo caso, il fronte d’onda di partenza è piano e conseguentemente si mantiene tale. Nel
secondo caso, il fronte d’onda è inclinato di 5° rispetto al precedente: l’onda, percorrendo il tubo, urta
la parete interna generando sovrappressione e sottopressione; come è accaduto in precedenza,
all’estremità finale del tubo il fronte d’onda tende ad appiattirsi e pertanto a tornare stabile.
Figura 51c– Confronto tra l’andamento della pressione con disallineamento angolare pari a 0° e a 5° sulla linea
interna che definisce il bordo sinistro
Figura 51d– Confronto tra l’andamento della pressione con disallineamento angolare pari a 0° e a 5° sulla linea
interna che definisce il bordo destro
59
Come già introdotto, nei grafici (riferiti al bordo destro e sinistro, definiti come intersezione di un
piano orizzontale con la superficie interna del tubo) si nota immediatamente un rilevante scostamento
tra la situazione a 0° e quella a 5° dovuta all’urto dell’onda sulle pareti interne. Come si può ben
vedere, i massimi ed i minimi di figura 51c e figura 51d si invertono tra loro: se sul bordo sinistro è
avvenuto l’urto dell’onda di pressione, localmente avremo una sovrappressione; al contrario sul bordo
sinistro avremo un minimo di pressione, poiché in quella zona le particelle saranno più rarefatte.
Da un punto di vista funzionale, un sistema operante in queste condizioni potrebbe riscontrare
notevoli problemi nelle misurazioni, infatti c’è la possibilità che, alla frequenza di lavoro si sia
realizzato un disallineamento angolare tale da far capitare i massimi e i minimi di pressione proprio
sulle prese di pressione dove sono posizionati i microfoni; quindi si avrebbe una lettura falsata delle
pressioni e quindi un calcolo errato del coefficiente di assorbimento. Una simulazione come quella
eseguita in questo paragrafo può essere un modo per verificare se la situazione in cui ci troviamo è
critica o meno, conoscendo la frequenza di lavoro e ipotizzando un errore di montaggio plausibile.
Figura 51e– Confronto tra l’andamento della pressione con disallineamento angolare pari a 0° e a 5° sull’asse
longitudinale del tubo
Il grafico di figura 51e confronta i valori della pressione sull’asse longitudinale del tubo nelle due
configurazioni di disallineamento: è evidente che le due curve (blu e arancione) siano pressoché
sovrapposte; la linea tratteggiata esprime la tendenza dei dati ricavati dalla simulazione, il suo
andamento è prossimo ad essere rettilineo. Queste osservazioni fanno intuire che le fluttuazioni di
pressione avvengono in modo maggiore agli estremi del tubo a causa dei rimbalzi dell’onda di
pressione, mentre nella parte centrale si nota una certa stabilità.
Serie1 Serie2 Linea di tendenza
[Pa]
[mm]
60
7. CONCLUSIONI Nel corso della fase progettuale siamo riusciti a produrre un valido prototipo dello strumento. È stato
pensato in maniera da essere realizzato con il minor numero di operazioni alle macchine utensili ed
in modo tale che queste operazioni siano le più agevoli possibile per l’operatore. Lo studio si è poi
concertato sulla progettazione degli inserti in cui verranno inseriti i microfoni durante la misurazione.
Poiché è necessario che questi offrano la possibilità di utilizzare microfoni sia da ½” che da ¼” (così
da poter variare l’intervallo di frequenze di lavoro) sono stati realizzati in più componenti, tra cui un
adattatore microfonico intercambiabile per i vari tipi di trasduttore.
Definita la geometria del prototipo, si è esaminato il comportamento dello strumento tramite delle
simulazioni, le quali hanno portato a importanti conclusioni. In primis si è verificato se il modello
numerico usato per simulare il comportamento del materiale poroso fosse efficiente o meno. Sono
stati ricavati, tramite uno studio bidimensionale eseguito con il software COMSOL, i grafici del
coefficiente di assorbimento di materiali con caratteristiche note dalla letteratura tecnica; perciò
confrontando i grafici dell’assorbimento da noi ricavati con quelli presenti nell’articolo, abbiamo
verificato che essi sono praticamente coincidenti: abbiamo quindi provato che il modello da noi
adoperato è pienamente funzionante. Si è quindi proseguito lo studio realizzando un modello 3D del
tubo e esaminando l’assorbimento degli stessi materiali su un dominio spaziale; i risultati ottenuti
sono prossimi a quelli del caso precedente. Possiamo concludere che il modello bidimensionale ed il
modello tridimensionale sono equivalenti rispetto ad uno studio effettuato in regime stazionario. Un
ulteriore analisi è stata eseguita per quantificare quanto gli errori intrinsechi al tubo (come le
discontinuità dovute all’inserimento degli strumenti di misura) o dovuti all’uomo (ad esempio una
distrazione nel montaggio dell’altoparlante) possano pesare sui dati in uscita. In questo caso abbiamo
esaminato la parte di tubo in cui sono racchiuse le discontinuità in un determinato intervallo
temporale, con una frequenza avente lunghezza d’onda paragonabile alle dimensioni delle asperità:
risulta evidente che il fronte d’onda, relativo all’onda piana irraggiata, viene distorto in
corrispondenza delle sedi microfoniche. Operativamente la distorsione generata delle discontinuità è
trascurabile poiché lo strumento di misura è ideato per lavorare a frequenze molto minori rispetto a
quella usata nello studio. È importante notare che analizzando la propagazione dell’onda in tutta la
lunghezza del tubo, si rileva, oltre alla distorsione in corrispondenza delle sedi, una tendenza alla
stabilità del fronte d’onda; se, passate le discontinuità, l’onda ha sufficiente spazio per propagarsi,
essa si riassesta e torna ad avere un fronte d’onda praticamente piano. Successivamente lo studio si è
focalizzato sulla quantificazione delle incertezze introdotte da eventuali errori dovuti alla distrazione
dell’operatore. Al fine di modellare e quantificare il possibile disallineamento angolare
dell’altoparlante, abbiamo usato la stessa equazione d’onda della simulazione precedente ma questa
volta con un vettore d’onda variabile nell’intervallo angolare da 0° a 5°. Perciò effettuando lo studio
in regime transitorio alla frequenza massima di lavoro (circa 3 [kHz]) si è osservato che ai bordi del
tubo avvengono urti e interferenze dovuti all’inclinazione di partenza dell’onda, generando così
sovrappressioni e sottopressioni complementari (se in un punto del bordo destro abbiamo
sovrappressione, nel corrispettivo punto del bordo sinistro abbiamo una sottopressione). Dai risultati
ottenuti si nota che per un determinato angolo di ingresso, ad una data frequenza di misura, potremmo
incappare nella situazione in cui le sovrappressioni e le sottopressioni si hanno proprio sulle prese di
pressione, in questo caso si genererebbe un errore in uscita non trascurabile. Inoltre confrontando i
grafici dell’andamento della pressione sull’asse longitudinale del tubo a 0° e a 5° notiamo che questa
rimane quasi costante: le particelle d’aria sull’asse del tubo risentono poco degli urti ai bordi.
Al fine di migliorare questa ricerca sarebbe utile implementare l’ultima simulazione effettuata. Al
fine di approssimare ancor meglio la realtà dovremmo considerare nello studio la naturale
61
attenuazione dell’onda che avviene durante la propagazione (dovuta alla viscosità dell’aria, già
considerata nelle norme di riferimento) e la presenza dello strato limite sulle pareti interne del tubo.
Infine per completare l’analisi dei materiali e quindi determinare le loro caratteristiche acustiche in
toto, potremmo ripetere gli studi effettuati fino a questo punto per valutare l’impedenza acustica
superficiale ed il coefficiente di perdita per trasmissione.
62
8. APPENDICE
Assieme esploso
63
Tubo
\
64
Inserto A
65
Inserto B
66
Adattatore ½”
67
Adattatore ¼”
68
Terminazione
69
Coperchio
70
Pomello
71
Stantuffo
72
Assieme in sezione
73
9. BIBLIOGRAFIA UNI EN ISO 10634-1, Determinazione del coefficiente di assorbimento acustico e dell’impedenza
acustica in tubi di impedenza, Metodo con le onde stazionarie, Ottobre 2001.
UNI EN ISO 10634-2, Determinazione del coefficiente di assorbimento acustico e dell’impedenza
acustica in tubi di impedenza, Metodo della funzione di trasferimento, Ottobre 2001.
J.Stuart Bolton, Taewook Yoo, Oliviero Olivieri, BRÜEL&KJÆR, Measurement of Normal Incidence
Transmission Loss and Other Acustical Properties of Materials Placed in a Standing Wave Tube,
Denmark.
Jason Kunio, Taewook Yoo, Kang Hou, Jan Enok, A Comparison of Two and Four Microphone
Standing Wave Tube Procedures for Estimating the Normal Incidence Absorption Coefficient,
INTER-NOISE, Ottawa, Canada, 2009.
X. Sagartzazua,, L. Hervellab, and J. M. Pagalday, Review in sound absorbing materials, Spain.
COMSOL
10. SITOGRAFIA http://it.wikipedia.org/wiki/Resina_melamminica
http://en.wikipedia.org/wiki/Perfectly_matched_layer
http://www.phys.uniroma1.it/DipWeb/museo/acu58.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/COMSOL_Multiphysics
http://www.sapere.it/enciclopedia/Kundt,+August+Adolph+Eduard.html
