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Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico TecnologicoAnno Scolastico 2006-07

Polinomi e Equazioni

Simonetta Guglielmetto

CHE COS’E’ CHE COS’E’ L’ALGEBRA ?L’ALGEBRA ?

Risposte diverse a seconda dei periodi storici

L'algebra si caratterizza prima di tutto per il suo metodo, che comporta l'uso di lettere e di espressioni letterali sulle quali si eseguono delle trasformazioni secondo regole ben definite.

Il metodo algebrico, cioè il metodo del calcolo letterale, permea tutta la matematica.

Una parte essenziale della soluzione di un qualsiasi problema matematico spesso non è altro che un calcolo algebrico più o meno complesso

Il valore del metodo algebrico è cresciuto enormemente negli ultimi decenni:

alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi

algebrici avanzati.

i rami superiori dell'algebra hanno trovato applicazioni

nella fisica moderna

alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi

algebrici avanzati.

alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi

algebrici avanzati.

alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi

algebrici avanzati.…….

1)PER EULERO

.

2) ALLA FINE DEL XVIII SECOLO

il problema centrale è trovare la soluzione delle equazioni algebriche e in particolare la soluzione della equazione algebrica di grado n in 1 incognita:

1 21 2 1... 0n n n

n nx a x a x a x a

l'algebra è la teoria del calcolo con quantità diverse

l'algebra era definita come la teoria delle equazioni algebriche.

3) NEL XX SECOLO

.L'algebra come studio di diversi sistemi algebrici

Molti problemi pratici si trasformano

nella risoluzione di un’equazione polinomiale

PROBLEMA DI PRIMO GRADO

Pierino ha 8 anni e suo padre 37; tra quanti anni l’età del padre sarà doppia di quella di Pierino?

(37+x)=2(8+x)x= 21

FORMULA RISOLUTIVAFORMULA RISOLUTIVAEQ. PRIMO GRADOEQ. PRIMO GRADO

0ax b

bx

a

PROBLEMA DI SECONDO GRADO

Calcolare il perimetro di un campo rettangolare, sapendo che un lato è il doppio dell’altro e che la superficie

misura 7200 m2

(x2x)=7200x= 60

FORMULA RISOLUTIVAFORMULA RISOLUTIVAEQ. SECONDO GRADOEQ. SECONDO GRADO

² 0ax bx c

² ²²

4 ² 4 ²

b b b cx x

a a a a

²

4 ²

b c

a aSi divide per a e si aggiunge ad

ambo i membri

2 ² 4

2 4 ²

b b acx

a a

² 4

2 4 ²

b b acx

a a

² 4

2

b b acx

a

NB sempre due soluzioni

che però possono essere non reali

PROBLEMA DI TERZO GRADO

Una pianta ha prodotto nel 1° anno di vita un certo numero di rami; nel 2° anno, da ogni ramo del 1° anno uno in meno

rispetto a quelli del 1°; nel 3° anno, da ogni ramo del 2° anno due in meno rispetto a quelli del primo. Se nel 3° anno

i rami prodotti risultano 210, quanti rami sono stati prodotti nel 1° anno?

1 2 210x x x

COME LA RISOLVO?

SVOLGO I CALCOLI?

SO USARE IL TEOREMA DI

RUFFINI?

Data l’equazione

1 21 2 1... 0n n n

n nx a x a x a x a

Soluzione con stratagemmi:

binomie, trinomie,…

Metodi di scomposizione

Metodo di Ruffini per trovareun divisore

del polinomio

ESISTE UNA FORMULA RISOLUTIVA PER RADICALI PER EQUAZIONI DI TERZO

E QUARTO GRADO

Spesso è più conveniente utilizzare il teorema di Ruffini ovvero

fattorizzare il polinomio

determinare innanzitutto le soluzioni razionali

TEOREMA DI RUFFINITEOREMA DI RUFFINI Siano F(x) un polinomio di grado n e c un numero reale.

Allora c è una radice di F(x) = 0 se e soltanto

se F(x) si può fattorizzare nel prodotto di x - c per un polinomio di grado n - 1.

Dim: Per sapere se un numero c è radice del polinomio F(x) possiamo eseguire la divisione con resto di F(x) per il polinomio di primo grado x - c ottenendo:

F(x) = (x- c) G(x) + rdove r è un polinomio di grado inferiore al grado di x - c, ossia

r è un numero reale

Calcolando F(c) si ottiene

F(c) = r

c è radice di F(x) se e soltanto se r = 0 ossia

se e soltanto se F(x) = (x - c) G(x).c.v.d.

una equazione polinomiale di grado n ha al massimo n radici,

anche contando la molteplicità di ciascuna.

Come applico Ruffini ?

Si applica la regola del resto ai divisori del termine noto

se il coefficiente del termine di grado massimo è 1

Esempio : x³-2x²+3x-6=0

Divisori di 6 : 1, 2, 3, 6

Calcolo F(divisori) ; se uno annulla fattorizzo

Come si opera se il coefficiente a 0

≠1 ?

REGOLA DEL RESTO GENERALIZZATA

Data l’equazione

1 20 1 2 1... 0n n n

n na x a x a x a x a

dove i coefficienti sono numeri interi e 0na

(in caso contrario 0 è una soluzione e possiamo dividere il polinomio per x).

Ogni sua soluzione razionale b/c , dove b, c sono numeri interi senza fattori comuni,

avrà la proprietà che il suo numeratore b è un divisore del termine noto

e il suo denominatore c è un divisore del coefficiente direttivo a0.

Dimostrazione:

Sostituiamo b/c nell'equazione e poi facciamo il m.c.m.

1 2 2 10 1 2 1... 0n n n n n

n na b a b c a b c a bc a c

Possiamo raccogliere b dai primi n addendi e portare l'ultimo a secondo membro:

1 2 3 2 10 1 2 1...n n n n n

n nb a b a b c a b c a c a c

Poichè b non ha fattori in comune con c, allora deve dividere an; allo stesso modo si prova che c deve dividere a 0.

IN PRATICA

1. scrivere l'elenco di tutte le frazioni che si ottengono mettendo un divisore di an al numeratore e un divisore di a0 al denominatore

2. sostituirle una ad una nell'equazione verificando se annullano

3. procedere alla fattorizzazione

Esempio4 3 21 3 1

02 2 2

x x x x

Formula di Cardano-Formula di Cardano-TartagliaTartaglia

a x3 + b x2 + c x +  d = 0

Formula risolutiva Formula risolutiva equazioni di quarto gradoequazioni di quarto grado

http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_quarto_grado

http://planetmath.org/encyclopedia/QuarticFormula.html

a x4 + b x3 + c x2 + d x + e = 0

TEOREMA DI ABEL-RUFFINITEOREMA DI ABEL-RUFFINI

NON ESISTONO FORMULE RISOLUTIVE PER RADICALI DELLE EQUAZIONI DI GRADO >=5

Formula di Cardano-TartagliaFormula di Cardano-Tartaglia

Vogliamo trovare una formula risolutiva per le equazioni di terzo grado, ossia per equazioni del tipo: :

3 2 0x ax bx c

Per prima cosa osserviamo che è sempre possibile ricondurre questa equazione ad una del tipo:

3 0x px q

Mediante una trasformazione 3

ay x

(1)

Introduco quindi u e v tali che

u+v=x e uv=-p/3.

Svolgendo i calcoli dalla 1 si ottiene

Quindi se trovo due numeri u e v che soddisfano questo sistema allora x=u+v soddisfa l’equazione [1].Sostituendo v e moltiplicando per u3 la prima equazione si ottiene un’equazione trinomia in z=u3 che si può risolvere come un’eq. di secondo grado…

3 3

3

u v q

puv

ESEMPI

1. x³-2x+3=0

2. x³-15x-4=0

E si ottiene la formula di Cardano-Tartaglia

2 3 2 33 3

2 2 3 2 2 3

q q p q q px