Programação Linear

PROGRAMAO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota tcnica 1

A D M I N I S T R A O D A P R O D U O E O P E R A E Spara Vantagens Competitivas

1 1 a e d i o

R I C H A R D B . C H A S E

F. R O B E R T J A C O B S

N I C H O L A S J . A Q U I L A N O

Traduo

Claudia Freire

Lucas M. F. Yassumura

Monica Rosemberg

Reviso TcnicaDigenes de Souza BidoMestre e Doutor em Administrao de Empresas pela FEA/USPDocente do CCSA/Mackenzie e da FAC/FITO

Bangcoc Beijing Bogot Caracas Cidade do Mxico Cingapura

Londres Madri Milo Montreal Nova Delhi Nova York

Santiago So Paulo Seul Sydney Taip Toronto

2 seo 1 ESTRATGIA DE OPERAES E ADMINISTRAO DE MUDANAS

nota tcn ica do isPROGRAMAO LINEAR USANDO O SOLVERDO EXCEL

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nic

aA chave para operaes rentveis fazer uso melhor dos recursos disponveis de

pessoal, materiais, planta, equipamentos e dinheiro. O gerente de hoje tem uma ferramenta de modelagem matemtica poderosa sua disposio, com a programao linear. Nesta nota, mostraremos como o uso do Solver do Microsoft Excel para resolver os problemas da PL abre um novo mundo aos gerentes inovadores e traz uma fora inestimvel ao conjunto de habili-dades tcnicas para quem quer fazer carreira na rea de consultoria. Mostraremos o uso dessa ferramenta utilizando um problema de planejamento de produto. Encontraremos o melhor mix de produtos que tenham custos e necessidades de recursos diferentes. Esse problema certamente relevante para o mercado competitivo na atualidade. As verdadeiras empresas de sucesso oferecem um mix de produtos, desde os modelos bsicos at os de alto luxo. Todos eles competem pelo uso de pro duo limitada e outras capacidades. Com o tempo, manter o mix adequado desses produtos pode reforar consideravelmente os ganhos e o retorno sobre os ativos de uma empresa.

Comeamos com uma introduo rpida programao linear e as condies sob as quais a tcnica aplicvel. Em seguida, resolveremos um problema simples de mix de produtos. Outras aplicaes de programao linear aparecero ao longo do restante do livro.

3 Introduo

Definio de programao linear 4 O Modelo de Programao Linear

5 Programao Linear Grfica

Definio de programao linear grfica 7 Programao Linear Usando o Microsoft Excel

11 Opo Gentica do Solver


INTRODUO

A programao linear (ou simplesmente PL) refere-se s vrias tcnicas matemticas usadas para alocar recursos limitados entre as demandas concorrentes, de maneira otimizada. A PL a mais popular das abordagens que se enquadram no tpico geral das tcnicas de otimizao matemtica e tem sido aplicada a muitos problemas de administrao de operaes. A seguir, apresentaremos suas aplicaes tpicas:

Planejamento agregado das operaes e das vendas: Encontrar a programao de produo de custo mnimo. O problema est em desenvolver um plano de trs a seis meses para atender demanda esperada, considerando as restries na capacidade produtiva e no dimensionamento da mo-de-obra previstos. Os custos relevantes considerados no problema incluem as taxas de mo-de-obra normal e de hora extra, contratao e dispensa, terceirizao e o custo de manuteno do estoque.Anlise da produtividade do servio/manufatura: Avaliar a eficincia das sadas dos servios e manufaturas diferentes no uso de seus recursos, comparada unidade de melhor desempenho. Isso feito usando-se uma abordagem chamada anlise do envolvimento dos dados.Planejamento do produto (Problema do Portflio): Encontrar o melhor mix de produtos, no qual vrios produtos tm custos e necessidades de recursos diferentes. Os exemplos incluem encontrar a melhor mistura de componentes qumicos para a gasolina, tintas, dietas humanas e alimentao animal. Exemplos desse problema so abordados nesta nota tcnica.Rota do produto: Encontrar o melhor caminho para fabricar um produto que deve ser processado em seqncia atravs de muitos centros de usinagem, no qual cada mquina tem seu prprio custo e caractersticas de sada.Programao do veculo/tripulao: Encontrar o melhor caminho para usar recursos como avies, nibus e caminhes, e seu pessoal operacional respectivo, que fornece servios de transporte aos clientes e materiais que devem ser trasladados entre localidades diferentes.Controle do processo: Minimizar a quantia de material de refugo gerado pelo corte de ao, couro, ou tecido, a partir de rolos ou chapas do estoque.Controle do estoque: Encontrar a melhor combinao de produtos a serem estocados em uma rede de depsitos ou locaes de armazenamento.Programao de distribuio: Encontrar a melhor programao de embarque para distribuir os produtos entre as fbricas e depsitos ou entre os depsitos e os varejistas.Estudos sobre a localizao da planta: Encontrar a melhor localizao de uma nova planta para avaliar os custos de embarque entre os locais alternativos e as fontes de fornecimento e demanda.Manuseio do material: Encontrar em uma planta, as rotas de custo mnimo dos dispositivos de manuseio de material (como empilhadeiras) entre os departamentos ou o transporte de materiais de um local de armazenamento at produo, por exemplo. Cada empilhadeira deve ter capaci-dade e desempenho diferenciados.

A programao linear tem ganho aceitao ampla em muitas indstrias, em razo da disponibili-dade das informaes operacionais detalhadas e do interesse em otimizar os processos para reduzir os custos. Muitos distribuidores de software oferecem opes de otimizao para uso em conjunto com os sistemas de planejamento de recursos empresariais (ERP). Algumas empresas se referem a eles como opes avanadas de planejamento, planejamento sincronizado e otimizao do processo.

H cinco condies essenciais em uma situao de problema que dizem respeito programao linear. Primeira: deve haver recursos limitados (como nmero limitado de trabalhadores, equi pa mentos, finanas e materiais), de outro modo no haveria problemas. Segunda: deve haver um objetivo expl-cito (como maximizar os lucros ou minimizar os custos). Terceira: deve haver linearidade (dois so duas vezes maior que um; se so necessrias trs horas para fabricar uma pea, ento duas peas devem levar seis horas e trs gastariam nove horas). Quarta: deve haver homogeneidade (os produtos fabricados em uma mquina so idnticos, ou todas as horas disponveis de um trabalhador so igual-mente produtivas). Quinta: deve haver divisibilidade; a programao linear normal assume que os

Programao linear (PL)


produtos e os recursos podem ser subdivididos em fraes. Se essa subdiviso no for possvel (como voar com a metade de um avio ou contratar um quarto de pessoa), pode-se usar uma modificao da programao linear, chamada programao inteira.

Quando um nico objetivo deve ser maximizado (como o lucro) ou minimizado (como os custos), podemos usar a programao linear. Quando existem objetivos mltiplos, usamos a programao por metas. Se um problema deve ser resolvido em etapas ou intervalos de tempo, emprega-se a pro-gramao dinmica. Outras restries na natureza do problema podem precisar de variaes dessa tcnica, como a programao no-linear ou a programao quadrtica.

O MODELO DE PROGRAMAO LINEAR

Formalmente definido, o problema da programao linear implica um processo de oti-mizao no qual valores no-negativos para um conjunto de variveis decisrias X1, X2,..., Xn so selecionados para maximizar (ou minimizar) uma funo objetivo na forma

Maximizar (minimizar) Z C1 X1 C2 X2 . . . Cn Xn

sujeito s restries de recursos na forma

A11 X1 A12 X2 . . . A1n Xn B1A21 X1 A22 X2 . . . A2n Xn B2

. . .

Am1 X1 Am2 X2 . . . Amn Xn Bm

em que Cn, Amn e Bm so constantes dadas.Dependendo do problema, as restries tambm so definidas com sinais de igualdade () ou

maior ou igual a ().

EXEMPLO NT2.1: PUCK AND PAWN COMPANYDescreveremos os passos envolvidos na resoluo de um modelo simples de programao linear usando, como exemplo, a Puck and Pawn Company, que fabrica bastes de hquei e jogos de xadrez. Cada basto de hquei gera um lucro incremental de US$ 2,00 e cada jogo de xadrez US$ 4,00. Um basto de hquei precisa de quatro horas de processamento no centro de mquinas A e duas horas no centro de mquinas B. Um jogo de xadrez precisa de seis horas no centro A, seis horas no centro B e uma hora no centro de mquinas C. O centro A tem uma capacidade mxima de 120 horas disponveis por dia, enquanto o centro B tem 72 horas e o centro C tem dez horas.

Se a empresa deseja maximizar os lucros, quantos bastes de hquei e jogos de xadrez devem ser produzidos por dia?

SOLUOModele o problema em termos matemticos. Se H o nmero de bastes de hquei e C, o nmero de jogos de xadrez, para maximizar o lucro a funo objetivo pode ser definida como

Maximizar Z US$ 2H US$ 4C

A maximizao estar sujeita s seguintes restries:

4H 6C 120 (restrio do centro de mquinas A)

2H 6C 72 (restrio do centro de mquinas B)

1C 10 (restrio do centro de mquinas C)

H, C 0 (restrio de no-negatividade das variveis decisrias)


Essa modelagem satisfaz os cinco requisitos para a PL-padro definida na primeira seo desta nota:

1. H recursos limitados (um nmero fi nito de horas disponveis em cada centro de mquinas).2. H uma funo objetivo explcita (sabemos quanto vale cada varivel e qual o objetivo na

resoluo do problema).3. As equaes so lineares (no h expoentes ou produtos cruzados).4. Os recursos so homogneos (tudo est em uma unidade de medida: horas-mquina).5. As variveis decisrias so divisveis e no-negativas (podemos fazer fraes de bastes de

hquei ou partes de jogos de xadrez; contudo, se isso fosse considerado indesejvel, teramos de usar programao inteira).

Embora limitada na aplicao de problemas que envolvam duas variveis decisrias (ou trs variveis, para um grfico tridimensional), a programao linear grfica permite uma compreenso rpida da natureza da programao linear. Descrevemos os passos envolvidos no mtodo grfico no contexto da Puck and Pawn Company. Os passos seguintes ilustram a abordagem grfica:

1. Modele o problema em termos matemticos. As equaes para o problema foram dadas anteriormente.

2. Desenhe as equaes de restrio. As equaes de restrio so facilmente traadas atribuindo valor zero a uma varivel e resolvendo-as para que um eixo intercepte o outro. (As desigualdades das restries so ignoradas neste passo.) Para a equao de restrio do centro de mquinas A, quando H 0, C 20, e quando C 0, H 30. Para a equao de restrio do centro B, quando H 0, C 12, e quando C 0, H 36. Para a equao do centro C, C 10 para todos os valores de H. Essas linhas esto traadas na Figura NT2.1.

PROGRAMAO LINEAR GRFICA

30

20

16

12108

4

(3)

(2)

(1)10 16 20 30 32 3624

2H + 6C = 72 (2)

4H + 6C = 120 (1)

2H + 4C = US$ 642H + 4C = US$ 32

C = 10 (3)

a

Regio invivel

Linhas defunes

objetivos

timo

Regiovivel

Bastes de hquei por dia

Jogos dexadrezpor dia

Grfi co do Problema dos Bastes de Hquei e Jogos de Xadrez fi gura NT2.1

Programao linear grfica


3. Determine a rea de viabilidade. A direo dos sinais de desigualdade em cada restrio defi ne a rea onde uma soluo vivel encontrada. Nesse caso, todas as desigualdades so do tipo menor ou igual a, o que signifi ca que seria impossvel fazer qualquer combinao de produtos que fi casse direita de qualquer linha de restrio no grfi co. A regio das solues viveis est som-breada no grfi co e forma um polgono convexo, que existe quando uma linha traada entre dois pon-tos no polgono fi ca dentro de seus limites. Se essa condio de convexidade no existir, o problema est confi gurado incorretamente, ou no deve ser tratado pela programao linear.

4. Trace a funo objetivo. A funo objetivo pode ser traada assumindo-se alguns nmeros de lucro total arbitrrios, e ento resolvendo-a pelas coordenadas dos eixos, como foi feito com as equaes de restrio. Outros termos para a funo objetivo, quando usada nesse contexto, so isolu cro ou linha de contribuio igual, porque ela mostra todas as combinaes de produo possveis para dado valor de lucro. Por exemplo, a partir da linha pontilhada mais prxima da origem no grfi co podemos deter-minar todas as combinaes possveis de bastes de hquei e jogos de xadrez que resultem no valor de US$ 32, separando um ponto na linha e fazendo a leitura de cada produto que possa ser fabricado nesse ponto. A combinao que valha US$ 32 no ponto a seria de dez bastes e trs jogos de xadrez. Isso pode ser verifi cado substituindo-se H 10 e C 3 na funo objetivo:

US$ 2(10) US$ 4(3) US$ 20 US$ 12 US$ 32

H C EXPLICAO

0 120/6 20 Interseo da Restrio (1) e eixo C

120/4 30 0 Interseo da Restrio (1) e eixo H

0 72/6 12 Interseo da Restrio (2) e eixo C

72/6 36 0 Interseo da Restrio (2) e eixo H

0 10 Interseo da Restrio (3) e eixo C

0 32/4 8 Interseo da linha isolucro de US$ 32 (funo objetivo) e eixo C

32/2 16 0 Interseo da linha isolucro de US$ 32 e eixo H

0 64/4 16 Interseo da linha isolucro de US$ 64 e eixo C

64/2 32 0 Interseo da linha isolucro de US$ 64 e eixo H

5. Encontre o ponto timo. Pode-se mostrar matematicamente que a combinao tima das variveis decisrias sempre encontrada em um ponto extremo (vrtice) do polgono convexo. Na Figura NT2.1 h quatro vrtices (excluindo a origem) e podemos defi nir qual deles o timo usando qualquer uma das duas abordagens. A primeira abordagem encontrar algebricamente os valores de vrias solues de vrtice. Isso implica a resoluo simultnea das equaes de vrios pares de linhas de interseo e a substituio de quantidades das variveis resultantes na funo objetivo. Por exemplo, os clculos para a interseo de 2H 6C 72 e C 10 so:

Substituindo C 10 em 2H 6C 72, temos 2H 6(10) 72, 2H 12, ou H 6. Substituindo H 6 e C 10 na funo objetivo, teremos

Lucro US$ 2H US$ 4C US$ 2 (6) US$ 4(10)

US$ 12 US$ 40 US$ 52

Uma variao dessa abordagem fazer a leitura das quantidades H e C diretamente do grfico e substitu-las na funo objetivo, conforme mostrado nos clculos anteriores. A desvantagem dessa abordagem que, em problemas com um nmero grande de equaes de restrio, haver muitos pontos possveis a avaliar e o procedimento para testar cada um deles matematicamente ineficiente.

A segunda abordagem, e geralmente a preferida, inclui o uso da funo objetivo, ou linha isolucro, diretamente para encontrar o ponto timo. O procedimento est em simplesmente traar uma linha reta


paralela a qualquer linha do isolucro inicial selecionada arbitrariamente, para que a linha do isolucro fique o mais distante possvel da origem do grfico. (Nos problemas de minimizao de custos, o objetivo seria traar a linha pelo ponto mais prximo da origem.) Na Figura NT2.1, a linha tracejada rotulada como US$ 2H US$ 4C US$ 64 atravessa o ponto mais extremo. Observe que a linha de isolucro inicial selecionada arbitrariamente necessria para demonstrar a inclinao da funo objetivo para o problema especfico.1 Isso importante, pois uma funo objetivo diferente (tente lucro 3H 3C) pode indicar que algum outro ponto est mais distante da origem. Considerando que US$ 2H US$ 4C US$ 64 timo, a quantidade a ser produzida de cada varivel pode ser lida a partir do grfico: 24 bastes de hquei e quatro jogos de xadrez. Nenhuma outra combinao do produto resultar em um lucro maior.

PROGRAMAO LINEAR USANDO O MICROSOFT EXCEL

Podemos usar planilhas para resolver os problemas de programao linear. O Microsoft Excel possui uma ferramenta de otimizao chamada Solver cuja utilidade demonstraremos na reso-luo do problema dos bastes de hquei e jogos de xadrez. Acessa-se o Solver no menu Ferramentas; uma caixa de dilogo pede as informaes exigidas pelo programa. O exemplo seguinte descreve como o nosso problema-exemplo pode ser resolvido com o uso do Excel.

Se o Solver no aparecer no seu menu Ferramentas, clique em Suplementos, selecione a caixa Solver e clique em OK. Ele ficar disponvel para usos futuros diretamente pelo menu Ferramentas a partir de ento.

No exemplo seguinte, trabalharemos passo a passo, configurando uma planilha para resolver o problema da Puck and Pawn Company. Nossa estratgia bsica ser definir, primeiramente, o pro-blema dentro da planilha. A partir disso, acessaremos o Solver e o alimentamos com as informaes necessrias. Finalmente, executaremos o Solver e interpretaremos os resultados impressos nos rela-trios emitidos pelo programa.

P a s s o 1 : D e f i n a a s C l u l a s Va r i v e i s Um ponto de incio conveniente identi-ficar as clulas que sero usadas para as variveis decisrias no problema. Estas so H e C, o nmero de bastes de hquei e de jogos de xadrez a produzir. O Excel se refere a elas como clulas variveis no Solver. Observando a tela do Excel na Figura NT2.2, vemos que B4 est designada como o local para o nmero de bastes de hquei que sero produzidos e C4 para o nmero de jogos de xadrez. Veja que deixamos o valor inicial de 2 para essas duas clulas. Poderamos dar qualquer outro valor a elas, mas melhor usarmos um valor diferente de zero, para facilitar a verificao de que nossos clculos esto corretos.

P a s s o 2 : C a l c u l e o L u c r o ( o u C u s t o ) To t a l Esta a nossa funo objetivo e ela calculada multiplicando-se o lucro associado com cada produto pelo nmero de unidades produzidas. Inserimos os lucros nas clulas B5 e C5 (US$ 2 e US$ 4) para que o lucro seja calculado pela seguinte equao: B4*B5 C4*C5, dentro da clula D5. O Solver a chama Target Cell (Clula de Destino) e ela corresponde funo objetivo para um problema.

P a s s o 3 : C o n f i g u r e o U s o d o R e c u r s o Nossos recursos so os centros de mquinas A, B e C, como j definidos no problema original. Configuramos trs linhas (9, 10 e 11) em nossa planilha, uma para cada restrio de recurso. Para o centro A, quatro horas de processamento so usadas para cada basto de hquei produzido (clula B9) e seis horas para cada jogo de xadrez (clula C9). Para uma soluo em especial, a quantidade total de uso de recursos do centro A calcu-lada em D9 (B9*B4 C9*C4). Indicamos na clula E9 que queremos que esse valor seja menor que a capacidade de 120 horas do centro de mquinas A, inserida em F9. O uso dos recursos para os centros B e C esto configurados da mesma maneira das linhas 10 e 11.


P a s s o 4 : C o n f i g u r e o S o l v e r V ao menu Ferramentas e selecione a opo Solver.

1. Defi nir Clula de Destino: confi gurada para o local onde calculado o valor que desejamos otimizar. Esse o lucro calculado em D5 na nossa planilha.

2. Igual a: confi gurada em Mx, uma vez que o objetivo maximizar o lucro.3. Clulas Variveis: so as clulas que o Solver pode alterar para maximizar o lucro. As clulas

B4 a C4 so as clulas variveis no nosso problema.4. Submeter s Restries: corresponde nossa capacidade do centro de mquinas. Aqui cli-

caremos em Adicionar e indicaremos que o total usado para um recurso menor que ou igual capacidade disponvel. A seguir, h um exemplo do centro de mquinas A. Clique em OK aps cada restrio especifi cada.

fi gura NT2.2 Tela do Microsoft Excel para a Puck and Pawn Company


5. Ao clicar em Opes, poderemos informar ao Solver qual o tipo de problema que desejamos resolver e como queremos que seja resolvido. O Solver tem muitas opes, mas queremos usar apenas algumas. A tela mostrada a seguir.

A maioria das opes se refere a como o Solver tenta resolver problemas no-lineares cujas resolues podem ser muito difceis e cujas solues timas so difceis de achar. Felizmente, nosso problema linear. Sabemos disso, pois nossas restries e nossa funo objetivo so todas calculadas com o uso de equaes lineares. Clique em Presumir Modelo Linear para informar ao Solver que queremos usar a opo de programao linear para resolver o problema. Alm disso, sabemos que nossas clulas variveis (variveis decisrias) devem conter nmeros maiores ou igual a zero, porque no tem sentido produzir um nmero negativo de bastes ou jogos. Indicamos isso selecionando a opo Presumir No Negativos. Agora, estamos prontos para resolver o problema. Clique em OK para voltar caixa de parmetros do Solver.

P a s s o 5 : R e s o l v a o P r o b l e m a Clique em Resolver; imediatamente aparece uma tela chamada Resultados do Solver, como a mostrada a seguir.

O Solver avisa que foi encontrada uma soluo aparentemente tima. No lado direito dessa caixa esto as opes para trs relatrios: um Relatrio de Resposta, um Relatrio de Sensibilidade e um Relatrio de Limites. Clique em cada um deles. Aps destac-los, clique em OK para voltar plani-lha. Foram criadas trs novas guias, que correspondem a cada um desses relatrios.


Os relatrios mais interessantes para o nosso problema so o Relatrio de Resposta e o Relatrio de Sensibilidade, ambos indicados na Figura NT2.3. O Relatrio de Resposta mostra as respostas finais para o lucro total (US$ 64) e as quantidades produzidas (24 bastes de hquei e quatro jogos de xadrez). Na seo restries do Relatrio de Resposta dado o status de cada recurso. Tudo das mquinas A e B usado e h seis unidades de folga para a mquina C.

O Relatrio de Sensibilidade dividido em duas partes. A primeira, intitulada Clulas Ajustveis, corresponde aos coeficientes da funo objetivo. O lucro por unidade para os bastes pode ser acima de, ou abaixo de, US$ 0,67 (entre US$ 2,67 e US$ 1,33) sem que tenha um impacto na soluo. Paralelamente, o lucro dos jogos poderia estar entre US$ 6 e US$ 3 sem alterar a soluo. No caso da mquina A, o lado direito poderia aumentar at 144 (120 24), ou diminuir para 84, com uma diminuio ou aumento por unidade resultando em US$ 0,33 por unidade na funo objetivo. O lado direito da mquina B pode aumentar at 90 unidades, ou diminuir at 60, com a mesma mudana de US$ 0,33 para cada unidade na funo objetivo. Para a mquina C, o lado direito aumentaria ao infinito (1E 30 a notao cientfica para um nmero muito grande), ou diminuiria at quatro unidades, sem alteraes na funo objetivo.

Relatrio de Resposta

CLULA DE DESTINO (MX)

CLULA NOME VALOR ORIGINAL VALOR FINAL

US$ D US$ 5 Lucro Total US$ 12 US$ 64

CLULAS AJUSTVEIS


US$ B US$ 4 Clulas Variveis Bastes de Hquei 2 24

US$ C US$ 4 Clulas Variveis Jogos de Xadrez 2 4

RESTRIES

CLULA NOME VALOR DA CLULA FRMULA STATUS TRANSIGNCIA

US$ D US$ 11 Mquina C Recursos Usados 4 US$ D US$ 11< US$ F US$ 11 Sem Agrupar 6

US$ D US$ 10 Mquina B Recursos Usados 72 US$ D US$ 10< US$ F US$ 10 Agrupar 0

US$ D US$ 9 Mquina A Recursos Usados 120 US$ D US$ 9< US$ F $ 9 Agrupar 0

Relatrio de Sensibilidade

CLULAS AJUSTVEIS

VALOR CUSTO COEFICIENTE ACRSCIMO DECRSCIMOCLULA NOME FINAL REDUZIDO OBJETIVO PERMISSVEL PERMISSVEL

US$ B US$ 4 Clulas Variveis Bastes de Hquei 24 0 2 0,666666667 0,666666667

US$ C US$ 4 Clulas Variveis Jogos de Xadrez 4 0 4 2 1

RESTRIES

VALOR PREO ACRSCIMO DECRSCIMOCLULA NOME FINAL SOMBRA LATERAL R.H. PERMISSVEL PERMISSVEL

US$ D US$ 11 Mquina C Recursos Usados 4 0 10 1E30 6

US$ D US$ 10 Mquina B Recursos Usados 72 0,333333333 72 18 12

US$ D US$ 9 Mquina A Recursos Usados 120 0,333333333 120 24 36

fi gura NT2.3 Relatrios de Resposta e Sensibilidade do Solver do Excel


OPO GENTICA DO SOLVER

No DVD-ROM disponvel na Editora para acompanhar este livro, inclumos um timo produto da Frontline Systems chamado Premium Solver. O programa se instala sobre o Solver e adi-ciona muitos recursos novos ao produto da Microsoft. Todas as caractersticas antigas do Solver so mantidas, mas, no modo Premium Solver, os novos recursos incluem:

Um novo solucionador evolucionrio para fazer pesquisas com algoritmos genticos. Ele pode ser muito til para resolver problemas no-lineares.

Um relatrio de linearidade, que encontra as violaes dos clculos de uma planilha nas con-dies de linearidade necessrias no uso de um algoritmo-padro de programao linear.

Um relatrio de viabilidade, para ajudar a identifi car por que no possvel encontrar uma soluo vivel para o seu problema.

Um relatrio populacional, que ajuda a explicar as solues geradas com o novo recurso de busca com algoritmo gentico.

Se estiver interessado nas ltimas novidades na resoluo de problemas com planilhas, instale o Premium Solver.

P A L A V R A S - C H A V EProgramao linear (PL) Refere-se s vrias tcnicas matemticas usadas para alocar recursos limitados entre as demandas concorrentes de maneira otimizada.

Programao linear grfi ca Permite uma compreenso rpida da natu-reza da programao linear.

P R O B L E M A S R E S O L V I D O S

PROBLEMA RESOLVIDO 1Uma fbrica de mveis produz trs itens: mesas de canto, sofs e cadeiras. Esses produtos so processados em cinco departamentos: serraria, corte de tecido, lixadeira, pigmentao e montagem. As mesas de canto e as cadeiras so fabricadas somente com madeira, enquanto os sofs precisam de madeira e tecido. Colas e costuras so muito usadas e representam um custo relativamente insignifi cante, que includo nas despesas operacionais. As necessidades especfi cas para cada produto so:

RECURSO OU ATIVIDADE

(QUANTIDADE DISPONVEL NECESSRIO POR MESA POR MS) DE CANTO NECESSRIO POR SOF NECESSRIO POR CADEIRA

Madeira (4.300 tbuas) 10 tbuas a US$ 10/tbua 7,5 tbuas a US$ 10/tbua 4 tbuas a US$ 10/tbua US$ 100/mesa US$ 75 US$ 40Tecido (2.500 m) Nada 10 m a US$17,50/m US$ 175 NadaSerraria (280 horas) 30 minutos 24 minutos 30 minutosCorte de tecido (140 horas) Nada 24 minutos NadaLixadeira (280 horas) 30 minutos 6 minutos 30 minutosPigmentao (140 horas) 24 minutos 12 minutos 24 minutosMontagem (700 horas) 60 minutos 90 minutos 30 minutos

* NRT: O valor correto 4.350. No original, a unidade utilizada para volume de madeira era board foot, que equivale a uma tbua de 1 p quadrado por 1 polegada de espessura. A traduo por tbua teve o objetivo de manter a simplicidade do enunciado.

As despesas diretas de mo-de-obra so de US$ 75.000 por ms para 1.540 horas de trabalho, a US$ 48,70 por hora. Baseada na demanda atual, a empresa pode vender 300 mesas de canto, 180 sofs e 400 cadeiras por ms. Os preos de vendas so de US$ 400 para a mesa de canto, US$ 750 para o sof e US$ 240 para a cadeira. Presumindo que o custo de mo-de-obra seja fi xo e que a empresa no planeje contratar ou demitir nenhum empregado no prximo ms:a. Qual maior recurso limitador para a fbrica de mveis?b. Determine o mix de produtos necessrio para maximizar o lucro na empresa. Qual o nmero timo de

mesas de canto, sofs e cadeiras que devem ser produzidos todos os meses?


SoluoDefi na X1 como o nmero de mesas de canto, X2 o nmero de sofs e X3 o nmero de cadeiras que devem ser produzidas todos os meses. O lucro calculado como a receita de cada item menos o custo dos materiais (madeira e tecido), menos o custo da mo-de-obra. Considerando que a mo-de-obra fi xa, subtramos esse valor da soma total. Matematicamente, teremos (400 100) (750 75 175) (240 40) 75.000. O lucro calculado da seguinte forma:

Lucro 400X1 750X2 240X3 75.000

As restries so:

Madeira: 10X1 7,5X2 4X3 4.350Tecido: 10X2 2.500Serraria: 0,5X1 0,4X2 0,5X3 280Corte: 0,4X2 140Lixadeira: 0,5X1 0,1X2 0,5X3 280Pigmentao: 0,4X1 0,2X2 0,4X3 140Montagem: 1X1 1,5X2 0,5X3 700Demanda:

Mesa: X1 300Sof: X2 180Cadeira: X3 400

Passo 1: Defi na as clulas variveis So B3, C3 e D3. Observe que elas foram preenchidas inicialmente com zero.

Passo 2: Calcule o lucro total Est na clula E4 (que igual a B3 vezes a receita de US$ 300 associada a cada mesa, mais C3 vezes a receita de US$ 500 para cada sof, mais D3 vezes a receita de US$ 200 para cada cadeira). Observe que os custos fi xos de US$ 75.000 foram subtrados da receita para o clculo do lucro.

Passo 3: Confi gure o uso do recurso Nas clulas E6 a E15, o uso de cada recurso calculado multi-plicando-se B3, C3 e D3 pela quantia necessria para cada item e somando-se o produto (por exemplo,E6 B3*B6 C3*C6 D3*D6). Os limites para essas restries so inseridos nas clulas F6 a F15.


Passo 4: Confi gure o Solver V para Ferramentas e escolha a opo Solver.

a. Defi nir Clula de Destino: confi gurada para o local onde calculado o valor que desejamos otimizar. Esse o lucro calculado em E4 nessa planilha.

b. Igual A: confi gurada em Mx, uma vez que o objetivo maximizar o lucro.c. Clulas Variveis: so as clulas que o Solver pode alterar para maximizar o lucro (clulas B3

a D3 neste problema).d. Submeter s Restries: o local onde se adiciona um conjunto de restries; indicaremos que

a faixa E6 a E15 deve ser menor ou igual a F6 a F15.

Passo 5: Confi gure as Opes H muitas opes nesta tela, mas, para o nosso propsito, precisaremos confi gurar apenas Presumir Modelo Linear e Presumir No-Negativos. Presumir Modelo Linear signifi ca que todas as nossas frmulas so equaes lineares simples. Presumir No-Negativos indica que as clulas variveis devem ser maior ou igual a zero. Clique em OK e estaremos prontos para resolver o problema.

Passo 6: Resolva o Problema Clique em Resolver. Veremos a soluo e dois relatrios especiais ao selecionar os itens na tela de aviso dos Resultados do Solver, que mostrada aps uma soluo ser encontrada.


Observe que no relatrio a seguir o Solver indica que achou uma soluo e que todas as restries e condies de otimizao foram satisfeitas. Na caixa de Relatrios direita, as opes Resposta, Sensibilidade e Limites foram destacadas, indicando que desejamos examin-las. Aps selecion-las, clique em OK para voltar planilha.

Observe que foram criadas trs novas guias: um Relatrio de Respostas, um Relatrio de Sensibilidade e um Relatrio de Limites. O Relatrio de Respostas mostra, na seo Clula de Destino, que o lucro associado a essa soluo ser de US$ 93.000 (comeamos com US$ 75.000). A partir da seo Clula de Destino, conseguiramos produzir 260 mesas de canto, 180 sofs e nenhuma cadeira. Na seo Restries, veja que as nicas restries que limitam o lucro so a capacidade de pigmentao e a demanda de sofs. Isso verifi cado na coluna que mostra se o status de uma restrio Agrupar ou Sem Agrupar. As restries Sem Agrupar tm transigncia (folga), conforme indicado na ltima coluna.



US$ E US$ 4 Lucro Total US$ 75.000 US$ 93.000

CLULAS AJUSTVEIS


US$ B US$ 3 Clulas variveis Mesas de canto 0 260

US$ C US$ 3 Clulas variveis Sofs 0 180

US$ D US$ 3 Clulas variveis Cadeiras 0 0

RESTRIES


US$ E US$ 6 Madeira Total 3.950 US$ E US$ 6US$ F US$ 6 Sem Agrupar 400

US$ E US$ 7 Tecido Total 1.800 US$ E US$ 7US$ F US$ 7 Sem Agrupar 700

US$ E US$ 8 Serraria Total 202 US$ E US$ 8US$ F US$ 8 Sem Agrupar 78

US$ E US$ 9 Corte de tecido Total 72 US$ E US$ 9US$ F US$ 9 Sem Agrupar 68

US$ E US$ 10 Lixadeira Total 148 US$ E US$ 10US$ F US$ 10 Sem Agrupar 132

US$ E US$ 11 Pigmentao Total 140 US$ E US$ 11US$ F US$ 11 Agrupar 0

US$ E US$ 12 Montagem Total 530 US$ E US$ 12US$ F US $ 12 Sem Agrupar 170

US$ E US$ 13 Demanda de Mesas Total 260 US$ E US$ 13US$ F US$ 13 Sem Agrupar 40

US$ E US$ 14 Demanda de Sofs Total 180 US$ E US$ 14US$ F US$ 14 Agrupar 0

US$ E US$ 15 Demanda de Cadeiras Total 0 US$ E US$ 15US$ F US$ 15 Sem Agrupar 400

claro que no estamos muito contentes com essa soluo, pois no atendemos toda a demanda das mesas, e pode no ser sensato descontinuar totalmente a fabricao de cadeiras.

O Relatrio de Sensibilidade (mostrado a seguir) d uma viso adicional soluo. A seo Clulas Ajustveis mostra o valor fi nal para cada clula e o custo reduzido, que indica quanto mudaria o valor da clula de destino se uma clula que estivesse confi gurada para zero fosse trazida para a soluo. Como as mesas de canto (B3) e sofs (C3) esto na soluo atual, seus custos reduzidos so zero. Para cada cadeira (D3) que produzimos, nossa clula de destino seria reduzida em US$ 100 (arredondaremos esses nmeros para um entendimento mais fcil). As trs colunas fi nais na seo Clulas Ajustveis do relatrio so o Coefi ciente Objetivo da planilha original e as colunas chamadas Acrscimo Permissvel e Decrscimo Permissvel.


O Acrscimo e Decrscimo Permissveis mostram em quanto o valor do coefi ciente correspondente poderia mudar para que no houvesse alterao nos valores das clulas variveis ( claro que o valor da clula de destino mudaria). Por exemplo, a receita para cada mesa poderia ser to alta quanto US$ 1.000 (US$ 300 US$ 700) ou to baixa quanto US$ 200 (US$ 300 US$ 100), e ainda assim desejaramos produzir 260 mesas. Tenha em mente que esses valores presumem que nada mais est se alterando no problema. Para o valor do acrscimo permissvel dos sofs, observe que h o valor de 1E30. um nmero muito grande, essencialmente infi nito, representado na notao cientfi ca.

CLULAS AJUSTVEIS


US$ B US$ 3 Clulas variveis Mesas de Canto 260 0 299,9999997 700,0000012 100,0000004

US$ C US$ 3 Clulas variveis Sofs 180 0 500,0000005 1E30 350,0000006

US$ D US$ 3 Clulas variveis Cadeiras 0 100,0000004 199,9999993 100,0000004 1E30

RESTRIES

FINAL SOMBRA RESTRIO PERMISSVEL PERMISSVELCLULA NOME VALOR PREO LATERAL R.H. ACRSCIMO DECRSCIMO

US$ E US$ 6 Madeira Total 3.950 0 4.350 1E30 400

US$ E US$ 7 Tecido Total 1.800 0 2.500 1E30 700

US$ E US$ 8 Serraria Total 202 0 280 1E30 78

US$ E US$ 9 Corte de tecido Total 72 0 140 1E30 68

US$ E US$ 10 Lixadeira Total 148 0 280 1E30 132

US$ E US$ 11 Pigmentao Total 140 749,9999992 140 16 104

US$ E US$ 12 Montagem Total 530 0 700 1E30 170

US$ E US$ 13 Demanda de Mesas Total 260 0 300 1E30 40

US$ E US$ 14 Demanda de Sofs Total 180 350,0000006 180 70 80

US$ E US$ 15 Demanda de Cadeiras Total 0 0 400 1E30 400

Para a seo Restries do relatrio, o uso fi nal real de cada recurso dado na coluna Valor Final. O Preo Sombra o valor de nossa clula de destino para cada aumento de unidade no recurso. Se pudssemos aumentar a capacidade de pigmentao, ele valeria US$ 750 por hora. A Restrio Lateral R.H.* o limite atual do recurso. O Acrscimo Permissvel a quantia de recurso que poderia ser aumentada enquanto o preo sombra for vlido. Outro trabalho de 16 horas da capacidade de pigmentao poderia ser adicionado, ao valor de US$ 750 por hora. De igual maneira, a coluna do Decrscimo Permissvel mostra a quantidade de recursos que poderiam ser redu-zidos sem alterar o preo sombra. H vrias informaes valiosas disponveis neste relatrio.

O Relatrio de Limites d informaes adicionais sobre a nossa soluo.

CLULA NOME DE DESTINO VALOR

US$ E $ 4 Lucro Total US$ 93.000

LIMITE RESULTADO RESULTADO CLULA NOME AJUSTVEL VALOR INFERIOR DESTINO LIMITE SUPERIOR DESTINO

US$ B US$ 3 Clulas variveis Mesas de canto 260 0 15.000 260,0000002 93.000

US$ C US$ 3 Clulas variveis Sofs 180 0 3.000 180 93.000

US$ D US$ 3 Clulas variveis Cadeiras 0 0 93.000 0 93.000

* NRT: R.H. literalmente quer dizer Mo direita, mas podemos entender essa expresso como Lado direito da equao e, nesse caso, lado direito da equao de restrio.

O lucro total para a soluo atual de US$ 93.000. O valor atual para B3 (mesas de canto) de 260 unidades. Se o valor fosse reduzido para 0 unidade, o lucro seria reduzido para US$ 15.000. A um limite superior de 260, o lucro fi ca em US$ 93.000 (a soluo atual). Paralelamente, para C3 (sofs), se reduzido a 0 o lucro cairia para US$ 3.000. A um limite superior de 180, o lucro fi ca em $ 93.000. Para D3 (cadeiras), se reduzido a 0, o lucro fi caria em US$ 93.000 (a soluo atual) e, nesse caso, o limite superior nas cadeiras tambm seria de 0 unidade.


Respostas aceitveis s questes so:a. Qual maior recurso limitador para a fbrica de mveis? Com relao aos recursos de nossa produo, a capacidade de pigmentao realmente um lucro que

di neste momento. Poderamos usar outras 16 horas da capacidade.b. Determine o mix de produtos necessrio para maximizar o lucro na empresa. O mix de produtos a produzir consistiria em 260 mesas de canto, 180 sofs e nenhuma cadeira.

bvio que apenas arranhamos a superfcie com essa soluo. Poderamos fazer um teste, na verdade, com a capacidade de aumento da pigmentao. Isso nos daria uma viso do prximo recurso limitador. Tambm poderamos elaborar cenrios em que precisamos produzir um nmero mnimo de cada produto, o que , provavelmente, uma opo mais realista. Isso nos ajudaria a determinar como poderamos realocar o uso da mo-de-obra em nossa ofi cina.

P R O B L E M A R E S O L V I D O 2So 14 horas de uma sexta-feira e Joe Bob, o chefe de cozinha (assados e grelhados) da Bruces Diner, est tentando decidir a melhor maneira para alocar a matria-prima disponvel nos quatro pratos especiais das sextas noite. A deciso tem de ser feita no incio da tarde, porque trs dos itens precisam comear agora (Sloppy Joes, Tacos e Chili). A tabela a seguir contm as informaes sobre a comida no estoque e as quan-tidades necessrias para cada item.

COMIDA CHEESEBURGUER SLOPPY JOES TACO CHILI DISPONVEL

Carne moda (libras) 0,3 0,25 0,25 0,4 100 libras

Queijo (libras) 0,1 0 0,3 0,2 50 libras

Feijes (libras) 0 0 0,2 0,3 50 libras

Alface (libras) 0,1 0 0,2 0,2 15 libras

Tomate (libras) 0,1 0,3 0,2 0,2 50 libras

Po 1 1 0 0 80 pes

Massa de Taco 0 0 1 0 80 massas

NRT: 1 libra 453,5 gramas, mas a converso de unidades no necessria para a resoluo do problema.

H outro fato relevante na deciso de Joe Bob: a demanda estimada do mercado e o preo de venda. CHEESEBURGUER SLOPPY JOES TACO CHILI

Demanda 75 60 100 55

Preo de venda US$ 2,25 US$ 2,00 US$ 1,75 US$ 2,50

Joe Bob quer maximizar as receitas, uma vez que ele j comprou todos os ingredientes, que esto no refrigerador.

Pede-se:

1. Qual o melhor mix de pratos especiais das sextas-feiras para maximizar a receita de Joe Bob? 2. Se um fornecedor se oferecesse para fornecer um pedido urgente de pes a $ 1,00 por po, valeria o custo?

SoluoDefi na X1 como o nmero de Cheeseburguers, X2 como o nmero de Sloppy Joes, X3 o nmero de Tacos e X4 o nmero de travessas de Chili preparados como os pratos especiais das sextas-feiras.

Receita US$ 2,25 X1 US$ 2,00 X2 US$ 1,75 X3 US$ 2,50 X4

As restries so:

Carne moda: 0,30 X1 0,25 X2 0,25 X3 0,40 X4 100Queijo: 0,10 X1 0,30 X3 0,20 X4 50Feijes: 0,20 X3 0,30 X4 50Alface: 0,10 X1 0,20 X3 15Tomate: 0,10 X1 0,30 X2 0,20 X3 0,20 X4 50Pes: X1 X2 80Massas de Taco: X3 80


Passo 2: Calcule receita total Isso est na clula F7 (que igual a B3 vezes US$ 2,25 de cada Cheeseburguer, mais C3 vezes US$ 2,00 de um Sloppy Joe, mais D3 vezes US$ 1,75 de cada Taco, mais E3 vezes US$ 2,50 de cada travessa de Chili, a funo SOMARPRODUTO do Excel foi usada para tornar esse clculo mais rpido). Observe que o valor atual US$ 85, que o resultado das vendas de dez pratos de cada item.Passo 3: Confi gure a utilizao dos ingredientes Nas clulas de F11 a F17, o uso de cada ingrediente calculado multiplicando-se a coluna das clulas variveis pelo uso de cada item na tabela e ento somando-se o resultado. Os limites de cada tipo de ingrediente esto nas clulas de H11 a H17.

Passo 4: Confi gure o Solver e selecione as opes.

DemandaCheeseburguer X1 75Sloppy Joes X2 603Taco X3 100Chili X4 55

Passo 1: Defi na as clulas variveis B3, C3, D3 e E3. Observe que os valores na clula varivel esto confi gurados inicialmente como 10, para que as frmulas possam ser conferidas.

a. Defi nir a Clula de Destino: o local onde o valor que queremos calcular ser calculado. A receita calculada em F7 nesta planilha.

b. Igual a: ajustado para Mx, porque o objetivo maximizar as receitas. c. Clulas Variveis: so as clulas que informam a quantidade de cada prato especial a ser preparado. d. Submeter s Restries: aqui adicionamos duas restries separadas, uma para a demanda e outra para a

utilizao dos ingredientes.

Passo 5: Confi gure as Opes Ao clicar em Opes, deixaremos todas as pr-confi guraes inalteradas, mas faremos duas mudanas: 1. marcaremos a opo Presumir Modelo Linear e 2. marcaremos a opo Presumir No-Negativos. Essas duas opes asseguraro que o Solver entenda que este um problema de programao linear e que todas as clulas variveis devero ser no-negativas. Clique em OK para voltar tela dos parmetros do Solver.


Passo 6: Resolva o Problema Clique em Resolver. Aparecer uma caixa com os resultados do Solver. Certifi que-se de que nela aparea a frase O Solver encontrou uma soluo. Todas as restries e condies otimizadas foram atendidas.

No lado direito da caixa, h trs opes de relatrios: Resposta, Sensibilidade e Limites. Clique sobre os trs itens e depois em OK; voc voltar planilha, mas agora ter trs novas guias em sua rea de trabalho.

O relatrio de resposta indica que a clula de destino tem uma soluo fi nal de US$ 416,50 e que comeou com US$ 85. Na rea das clulas ajustveis, podemos ver que teramos de preparar 20 Cheeseburguers, 60 Sloppy Joes, 65 Tacos e 55 travessas de Chili. Essas respostas constituem o primeiro pedido da questo sobre qual deveria ser o mix de pratos especiais das sextas-feiras.



US$ F US$ 7 Receita Total US$ 85,00 US$ 416,25

CLULAS AJUSTVEIS


US$ B US$ 3 Clulas Variveis Cheeseburguer 10 20 US$ C US$ 3 Clulas Variveis Sloppy Joe 10 60

US$ D US$ 3 Clulas Variveis Taco 10 65

US$ E US$ 3 Clulas Variveis Chili 10 55

RESTRIES


US$ F US$ 11 Carne Moda (libra) Total 59,25 US$ F US$ 11


A segunda resposta pedida era se valeria pagar por um fornecimento urgente de po a US$ 1 a unidade. O rela-trio de respostas nos mostra que o status da restrio do po consta como agrupar. Isso signifi ca que, se tivs-semos mais pes, poderamos fazer mais dinheiro. Contudo, esse relatrio no nos diz se um pedido de urgncia a US$ 1 por po compensador. Para responder a essa questo, devemos analisar o relatrio de sensibilidade.

CLULAS AJUSTVEIS


US$ B US$ 3 Clulas Variveis Cheeseburguer 20 0 2,25 0,625 1,375

US$ C US$ 3 Clulas Variveis Sloppy Joe 60 0,625 2 1E 30 0,625

US$ D US$ 3 Clulas Variveis Taco 65 0 1,75 2,75 1,25

US$ E US$ 3 Clulas Variveis Chili 55 2,5 2,5 1E 30 2,5

RESTRIES

VALOR PREO RESTRIO ACRSCIMO DECRSCIMOCLULA NOME FINAL SOMBRA LATERAL R.H. PERMISSVEL PERMISSVEL

US$ F US$ 11 Carne Moda (libra) Total 59,25 0,00 100 1E30 40,75

US$ F US$ 12 Queijo (libra) Total 32,50 0,00 50 1E30 17,5

US$ F US$ 13 Feijes (libra) Total 29,50 0,00 50 1 1E30 20,5

US$ F US$ 14 Alface (libra) Total 15,00 8,75 15 3 13

US$ F US$ 15 Tomate (libra) Total 44,00 0,00 50 1E30 6

US$ F US$ 16 Po Total 80,00 1,38 80 55 20

US$ F US$ 17 Massa de Taco Total 65,00 0,00 80 1E30 15

Destacamos a linha do po para responder pergunta. Podemos ver que os pes tm um preo sombra de US$ 1,38. Isso signifi ca que cada po adicional gerar um lucro de $ 1,38. Podemos ver que outros ingredientes, como a carne moda, tm um preo sombra de $ 0. Os itens com preo sombra no agregam nada ao lucro, uma vez que no estamos usando atualmente tudo o que temos. Outra importante informao que temos a respeito dos pes que eles s retornaro US$ 1,38 no lucro at os prximos 55 pes, e por isso que o Acrscimo Permissvel de 55. Tambm podemos ver que 1 kg de alface retornar US$ 8,75 no lucro. Talvez possamos considerar uma entrega urgente de alfaces, e assim conseguiremos aumentar os nossos lucros nas noites de sexta-feira.

As respostas aceitveis para as perguntas so:

1. Qual o melhor mix de pratos especiais das sextas-feiras para maximizar a receita de Joe Bob? 20 Cheeseburguers, 60 Sloppy Joes, 65 Tacos e 55 travessas de Chili. 2. Se um fornecedor se oferecesse para fornecer um pedido urgente de pes a US$ 1,00 por po, valeria o

custo? Sim, cada po adicional traria US$ 1,38 de lucro, portanto, se eles custam US$ 1 a unidade, ento teremos

US$ 0,38 lquidos por po. Contudo, isso s verdadeiro para uma quantidade de at 55 pes.

P R O B L E M A S 1. Resolva o seguinte problema com o Solver do Excel:

Maximizar Z 3X Y. 12X 14Y 85 3X 2Y 18 Y 4

2. Resolva o seguinte problema com o Solver do Excel:

Maximizar Z 2A 4B. 4A 6B 120 2A 6B 72 B 10


3. Uma empresa descontinuou a produo de certa linha de produto no-lucrativo. Uma capacidade de produo consideravelmente excessiva surgiu como resultado. A administrao considera redirecionar essa capacidade para um ou mais entre trs produtos: X1, X2 e X3.

As horas-mquina necessrias so:

PRODUTO

TIPO DE MQUINA X1 X2 X3

Fresadora 8 2 3

Torno 4 3 0

Esmeril 2 0 1

O tempo disponvel em horas-mquina por semana

HORAS-MQUINA POR SEMANA

Fresadoras 800

Tornos 480

Esmeris 320

O pessoal de vendas estima que pode vender todas as unidades de X1 e X2 que possam ser produzidas, mas a venda potencial para X3 de, no mximo, 80 unidades por semana.

Os lucros para os trs produtos so

LUCROS POR UNIDADE

X1 US$ 20

X2 6

X3 8

a. Confi gure as equaes que podem ser resolvidas para maximizar o lucro por semana. b. Resolva essas equaes usando o Solver do Excel. c. Qual a soluo tima? Quanto de cada produto deve ser fabricado e qual seria o lucro resultante? d. Qual a situao com relao aos grupos de mquinas? Eles trabalhariam dentro da capacidade ou

sobraria tempo disponvel? X3 estaria na capacidade mxima de vendas? e. Suponha que se possa obter um adicional de 200 horas por semana nas fresadoras, trabalhando em

horas extras. O custo incremental seria de US$ 1,50 por hora. Voc recomendaria isso? Explique como chegou sua concluso.

4. Uma dieta est sendo preparada para os alojamentos da Universidade do Arizona. O objetivo alimentar os estudantes com o menor custo, mas a dieta deve ter entre 1.800 e 3.600 calorias. No pode haver amido em mais de 1.400 calorias nem protena em menos de 400. A dieta variada deve ser feita de dois pratos: A e B. O prato A custa US$ 0,75 por libra* e contm 600 calorias, sendo 400 de amido e 200 de protena. No mais de duas libras do prato A pode ser usado por estudante. O prato B custa US$ 0,15 por libra e contm 900 calorias, das quais 700 so amido; 100, protenas; e 100, gorduras.

a. Escreva as equaes que representam essas informaes. b. Resolva o problema grafi camente para as quantidades de cada prato que deve ser feito. 5. Resolva o Problema 4 com a restrio adicional de que no mais de 150 calorias devem ser gordura e

que o preo do prato aumente para US$ 1,75 por libra para o prato A e para US$ 2,50 para o prato B. 6. A Fabricante Logan quer misturar dois combustveis, A e B, para seus caminhes, com o fi m de minimi-

zar o custo. Ela precisa de, no mnimo, 3.000 gales para fazer seus caminhes funcionarem durante o prximo ms. Sua capacidade mxima de armazenamento de combustvel de 4.000 gales. H dispo-nveu 2.000 gales do combustvel A e 4.000 gales do combustvel B. O combustvel misturado deve ter uma taxa de octanagem de 80, no mnimo.

* NRT: 1 libra 453,5 gramas, mas a converso de unidades no necessria para a resoluo do problema.


Quando os combustveis esto misturados, a quantidade fi nal obtida igual soma das quantidades usadas na mistura. A taxa de octanagem a mdia ponderada das octanagens individuais, em proporo aos seus res-pectivos volumes.

Sabe-se o seguinte: o combustvel A tem uma octanagem de 90 e custa US$ 1,20 por galo. O combustvel B tem uma octanagem de 75 e custa US$ 0,90 por galo. a. Escreva as equaes que expressem essas informaes. b. Resolva o problema usando o Solver do Excel, considerando a quantidade de cada combustvel a ser

usado. Defi na cada premissa necessria para resolv-lo. 7. Voc est tentando montar um oramento para otimizar o uso de uma parte de suas receitas disponveis.

Dispe de um mximo de US$ 1.500 por ms para dividir entre alimentao, moradia e lazer. A quantia gasta em alimentao e moradia juntas no deve exceder US$ 1.000. O valor destinado moradia no pode exceder a US$ 700. O lazer no pode consumir mais de US$ 300 por ms. Cada real gasto em alimentao tem um valor de satisfao de 2; cada real gasto em moradia tem um valor de 3; e cada real gasto em lazer traz um valor de satisfao de 5.

Presumindo uma relao linear, use o Solver do Excel para determinar a alocao tima de seus fundos. 8. A cervejaria C-town produz dois tipos de cerveja: o Chope Avanado e o Rio Flamejante. O Chope

Avanado vendido a US$ 20 por barril, enquanto o preo do Rio Flamejante de US$ 8 por barril. Para produzir um barril do Chope Avanado preciso de 8 libras de milho e 4 de lpulo. Para fazer o Rio Flamejante se usam 2 libras de milho, 6 de arroz e 3 de lpulo. A cervejaria tem 500 libras de milho, 300 de arroz e 400 de lpulo. Presuma uma relao linear, use o Solver do Excel para determinar o mix timo de Chope Avanado e Rio Flamejante que maximize as receitas da C-town.

9. A BC Petrol fabrica trs produtos qumicos em sua planta, no Estado de Kentucky: BCP1, BCP2 e BCP3. Esses produtos so feitos em dois processos produtivos conhecidos como zona e homem. O pro cesso zona custa US$ 48 por hora e rende trs unidades de BCP1, uma de BCP2 e uma de BCP3. O processo homem custa US$ 24 por hora e rende uma unidade de BCP1 e uma de BCP2. Para atender demanda dos clientes, pelo menos 20 unidades de BCP1, dez de BCP2 e seis de BCP3 devem ser produ-zidas diariamente. Presumindo uma relao linear, use o Solver do Excel para determinar o mix timo dos processos zona e homem, para minimizar os custos e atender s demandas dirias da BC Petrol.

10. Uma fazenda no municpio de Wood possui 900 acres de terra. Ela pretende plantar em cada acre milho, soja ou trigo. Cada acre plantado com milho rende um lucro de US$ 2.000, cada um com soja rende US$ 2.500, e cada acre com trigo rende um lucro de $ 3.000. Ela tem 100 trabalhadores e 150 toneladas de fertilizante. A tabela a seguir mostra as necessidades de cada acre para cada tipo de cultivo. Presumindo uma relao linear, use o Solver do Excel para determinar o mix de plantio timo de milho, soja e trigo com o fi m de maximizar seus lucros.

MILHO SOJA TRIGO

Mo-de-obra (trabalhadores) 0,1 0,3 0,2

Fertilizante (toneladas) 0,2 0,1 0,4

B I B L I O G R A F I A S E L E C I O N A D AANDERSON, D. R. et al. An Introduction to Management Science. 10. ed. Cincinatti: South-Western, 2002.

WINSTON, W. L.; ALBRIGHT, S. C. Practical Management Science.3. ed. Belmont, CA: Duxbury Press, 2002.

N O T A S 1 A inclinao da funo objetivo 2. Se P lucro, P US$ 2H US$ 4C; US$ 2H P US$ 4C; H P/2 2C. Com isso, temos que a inclinao 2.

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